Traitement du Signal Vu par Un Mesures Physiques Cette technique reste compliquée par les mathématiques qu il l accompagne. J ai découvert la première fois le TdS au travail (CEA) avec un ingénieur qui a eu comme Prof J.Max l une des références en la matière, mais aussi avec un technicien avec beaucoup de pratique. En tant que Mesures Physiques vous comprenez bien que j ai trouvé cet outil considérable en application. Surprenant mes propos, car j ai étudié le TdS durant mon DUT, mais en vain, je n ai vu à l époque qu une succession de formules de maths qui tournaient en rond et dont je ne voyais pas l intérêt!!! En fait, l utilisation d analyseur de spectre m a permis de mieux appréhender la théorie bien plus tard où j ai remis le nez dans les maths pour mieux comprendre ce que j ai vu dans la pratique et on s aperçoit qu avec on fait d énorme chose e jwt Ce document est une synthèse et reste non exhaustif, avec le temps, je l améliorerais. Je l ai fait avec peu de maths et beaucoup de schémas, ce qui manque dans la plus part des livres de TdS. BONNE LECTURE http://mesures.physiques.free.fr 1
Formation Les premiers outils du Traitement du Signal Etre CAPABLE de lire et d utiliser un SPECTRE de FREQUENCE Révision 02-29/01/02 - Chapitre 5 2
OBJECTIF: A l issu, de cette formation vous serez capable d utiliser les premiers outils du traitement du signal pour lire un spectre de fréquence 3
sommaire Introduction Echantillonnage Filtre Spectre Fenêtres de Pondération synthèse 4
INTRODUCTION >>>>>>>>>>>>>>> Initiation par la mesure vibratoire: être capable d appréhender l intérêt de l analyse spectrale 5
Introduction La mesure des VIBRATIONS est un bon moyen pour comprendre Le Traitement du Signal 6
Introduction La mesure des VIBRATIONS??!! impulsion t Masse M signal Ressort Amortisseur t 7
Introduction Les capteurs sont installés à demeure sur les machines et connectés à un système de surveillance. La mesure des VIBRATIONS??!! AL AL MOVISYS-2 X AL AL AL AL AL BY BY BY BY BY BY BY S'tell Diagnostic MAL MAMPV-BG MSCA MSCA MSCA MSCA MSCA PV-BG MSCA Moteur 3000 tr 440VAC - 70A Type 405TS 8
Introduction Verre en fusion 70 C Emplacement du capteur de mesure des vibrations: L ACCELEROMETRE Exemple de machine de fibrage 9
Introduction SIGNAL (mesure) A A0 Fourier SPECTRE U RMS A0 A/2 F 1 SIGNAL (mesure) SPECTRE Exemple: De mesure vibratoire. 10
Introduction Tout phénomène physique est en général transformé en signal électrique du fait de la conversion sous forme électrique des grandeurs physiques par des capteurs. Le traitement du signal recouvre une variété de techniques utilisées pour extraire des informations d'un signal complexe. Le bruit peut perturber l information. On cherche aussi à modifier cette grandeur physique et à l adapter aux moyens de transmissions. 11
Introduction A A0 Fourier U RMS A0 A/2 F 1 L'analyse spectrale est la méthode utilisée pour décomposer un signal complexe (signal non périodique) en ses constituants de base. Une représentation conventionnelle du signal se fait dans le domaine du temps (amplitude en fonction du temps a(t)). L'analyse spectrale reproduit dans le domaine fréquentiel l'amplitude en fonction de la fréquence. La transformée de Fourier (Discrète) est un moyen d'obtenir une représentation dans le domaine fréquentiel pour les signaux non périodiques en associant à un signal x(t) sa transformée de Fourier X(f) appelé spectre. 12
Introduction s 13
Introduction 14
Introduction Conclusion: Signal ANALOGIQUE Outil utilisé pour le traitement du signal est: SPECTRE La TFD: Transformée de Fourier Discrète 15
ECHANTILLONNAGE >>>>>>>>>>>>>>>> Etre capable d appliquer Le principe de SHANNON 16
L échantillonnage Pour construire un SPECTRE Il faut échantillonner le signal 17
L échantillonnage Définition Passage d un système continu possédant une infinité de valeurs à un système possédant un nombre fini de valeurs. t On distingue 2 étapes : La discrètisation La numérisation t 18
L échantillonnage La discrètisation du signal La discrètisation du signal consiste à prélever des échantillons à une cadence T E pendant une durée T. La fréquence de prélèvement des échantillons F E est appelée fréquence d échantillonnage. T E T=durée d acquisition T=N.T E F E = 1 T = N F E T E t 19
L échantillonnage La numérisation du signal La numérisation du signal consiste à quantifier les amplitudes A des échantillons successifs au moyen d une conversion dans un format binaire. n-1 A= a i.2 i i=1 ai{0;1} Le nombre de bits n de la conversion détermine la valeur du pas de quantification p, qui est la valeur de l incertitude. p = P.E 2 n P.E : Pleine Echelle 2 n-1 4 3 2 1 0 20
L échantillonnage Les effets de l échantillonnage : Altération du signal L échantillonnage provoque une altération du signal : Perte d échantillons temporels Perte d échantillons fréquentiels Cette altération dépend des performances du système de mesure et notamment : De la valeur de la fréquence d échantillonnage F E Du nombre de bits n du convertisseur Analogique / Numérique Exemple Un convertisseur 12 bits permet 4096 valeurs Un convertisseur 16 bits permet 65536 valeurs 21
L échantillonnage Les effets de l échantillonnage : Périodisation du spectre à la fréquence d échantillonnage F E t Fourier F -F M F M Fourier t F T E -F E -F M F M F E 22
L échantillonnage Les effets de l échantillonnage : Repliement du spectre t Fourier F -F M F M T E t Fourier F -F E F E 23
L échantillonnage Le Théorème de SHANNON Soit F MAX la fréquence maximale du spectre du signal à échantillonner et F E la fréquence d échantillonnage : F E >2.F MAX Si cette condition n est pas vérifiée, l échantillonnage introduit une distorsion du signal qui ne pourra être corrigée et due au repliement de spectre (sous échantillonnage). -F E -F MAX F MAX F E F 24
L échantillonnage Le Théorème de SHANNON Une autre interprétation du Théorème de SHANNON utilise la représentation temporelle du signal : F E >2.F MAX Echantillonnage correct T E < T MAX 2 Soit au moins 2 points par période! Sous- Echantillonnage 25
L échantillonnage Le Théorème de SHANNON En sous-échantillonnage, on visualise un autre signal : Si le signal, à l origine, est de F=60Hz, et que Fe =100Hz (Shannon non respecté). On se retrouve au final avec un signal de 40 Hz, au lieu de visualiser le 60Hz. C est le résultat du repliement. T E < T MAX 2 Soit au moins 2 points par période! Sous- Echantillonnage 26
L échantillonnage SHANNON respecté Fe-20 Fe-4 Fe+4 Fe+20 4 20 Fe=100 2Fe=200 27
L échantillonnage SHANNON JUSTE respecté Fe-40 Fe-4 Fe+4 Fe+40 4 40 Fe=100 2Fe=200 28
L échantillonnage SHANNON NON respecté Fe-60=4060 Fe-4 Fe+4 Fe+60 4 60 Fe=100 2Fe=200 29
L échantillonnage Le Théorème de SHANNON Le but de l'analyse spectrale étant de déterminer les composantes fréquentielles d'un signal, celles-ci ne sont donc pas au premier abord connues et le choix de la fréquence d'échantillonnage peut être fait sans avoir la certitude que toutes les composantes du spectre satisfont la condition de SHANNON. C'est l'effet indésirable de repliement de spectre que nous allons résoudre avec un FILTRE ANTIREPLIEMENT de spectre 30
L échantillonnage ET Les filtres anti-repliement Introduction La vérification du critère de SHANNON suppose que le spectre du signal soit borné, et que cette borne (F MAX ) soit connue. Afin de vérifier ces conditions dans tous les cas, on fait précéder l échantillonnage d un filtrage passe-bas dit filtre anti-repliement tel que : F M < 0,5.F E Filtre A.R Echantillonnage Le filtre utilisé est un filtre analogique à coupure très raide tel qu un filtre de CAUER d ordre élevé (8 ou 9). 31
L échantillonnage ET Les filtres anti-repliement Principe t Filtrage F t Echantillonnage -F M F M F t F -F E F M F E 32
L échantillonnage ET Les filtres anti-repliement Application aux analyseurs Sur nombre de collecteurs / analyseurs du marché, le filtre anti-repliement est positionné automatiquement en fonction de la gamme d analyse. La fréquence d échantillonnage est adaptée à la gamme d analyse, selon la relation : F E =2,56.F M F M :Fréquence maxi de la gamme d analyse [0;25]Hz [0;100]Hz [0;200]Hz [0;500]Hz [0;1k]Hz F E =64Hz F E =256Hz F E =512Hz F E =1.28kHz F E =2.56kHz [0;2k]Hz [0;5k]Hz [0;10k]Hz [0;20k]Hz F E =5.12kHz F E =12.8kHz F E =25.6kHz F E =51.2kHz 33
L échantillonnage ET Les paramètres d acquisition Les paramètres de l acquisition Soient : F E : Fréquence d acquisition ou d échantillonnage N : Nombre de point acquis T : Durée de l acquisition T E T=durée d acquisition T=N.T E t F E = 1 T E T = N F E 34
L échantillonnage ET Les paramètres d acquisition Les paramètres de la TFD Ils découlent des paramètres de l acquisition : En général, on trouve : F MAX : Fréquence supérieure de la gamme d analyse F MAX = F E 2 F E - N F MAX F : Résolution spectrale F = 1 T = F E N C : Nombre de points (lignes) du spectre C = N 2 F 35
L échantillonnage ET Les paramètres d acquisition Les paramètres de la TFD Sur beaucoup d analyseurs, afin de normaliser les gammes de fréquences, les tailles d échantillons et nombres de lignes dans le spectre, on trouve les relations suivantes : F E =2.56*F MAX avec F MAX =1Hz, 2Hz, 5Hz, 10Hz, 25Hz, 50Hz, 100Hz, 200Hz, 500Hz, 1kHz, 2kHz, 5kHz, 10kHz, 20kHz N = 256, 512,., 8192 points (taille de l échantillon temporel) C = N D où C=100, 200, 400, 800, 1600, 3200 lignes 2.56 Remarque : La résolution du spectre ne dépend que de la taille de l échantillon temporel. 36
L échantillonnage Conclusion: Le numérique implique un échantillonnage. L échantillonnage périodise le spectre. Le risque de la périodisation est le recouvrement. Ce dernier nous ne permettra pas ne retrouver notre signal temporel d origine (après un TFD -1 ). Pour palier à cette difficulté, on utilise un filtre anti-repliement et on respecte Shannon F E >2.F MAX 37
FILTRAGE >>>>>>>>>>>>>>> Etre capable de choisir le filtre Anti-Repliement 38
Le Filtrage Introduction Le filtrage est une opération dont l objectif est de mettre en évidence l information utile contenue dans le signal. Exemple : Elimination du bruit («parasites») 39
Le Filtrage Le Filtre Passe-Bas (Low-Pass filter) : Introduction Le gabarit du filtre est défini par les paramètres suivants : G MIN G MAX Ondulation 0 F P F A F G MIN : Gain mini en bande passante G MAX : Gain maxi en bande atténuée F P : Fréquence de la bande passante F A : Fréquence de la bande atténuée K : Sélectivité : K= F p <1 F A Exemple d application : Filtre anti-repliement 40
Le Filtrage Le Filtre Passe-Bas (Low-Pass filter) : Détermination Le gabarit du filtre est souvent en fonction de l atténuation : A MAX 0 F P F A F A MAX : Atténuation maxi en bande passante A MIN : Atténuation mini en bande atténuée A MIN Des abaques permettent alors de déterminer les caractéristiques du filtre 41
Le Filtrage Le Filtre Passe-Haut (High-Pass filter) : Introduction Le gabarit du filtre est défini par les paramètres suivants : G MIN G MAX Ondulation 0 F A F P F G MIN : Gain mini en bande passante G MAX : Gain maxi en bande atténuée F P : Fréquence de la bande passante F A : Fréquence de la bande atténuée K : Sélectivité : K= F p <1 F A Exemple d application : Suppression de composante continue 42
Le Filtrage Le Filtre Passe-Haut (High-Pass filter) : Détermination Le gabarit du filtre est souvent en fonction de l atténuation requise : A MAX A MIN Traitement du Signal 0 F A F P F A MAX : Atténuation maxi en bande passante A MIN : Atténuation mini en bande atténuée Des abaques permettent alors de déterminer les caractéristiques du filtre 43
Le Filtrage Le Filtre Passe-Bande (Band Pass filter) : Introduction Le gabarit du filtre est défini par les paramètres suivants : La sélectivité est : G MIN G MAX Ondulation K= F p2 -F p1 <1 F A2 -F A1 B : largeur de bande relative : 0 F A1 F P1 F 0 F P2 F A2 Exemple d application : Suivi d ordre F B= F p2 -F p1 F 0 44
Le Filtrage A MAX Traitement du Signal Le Filtre Passe-Bande (Band Pass filter) : Détermination Le gabarit du filtre est souvent en fonction de l atténuation requise : 0 F A1 F P1 F 0 F P2 F A2 F On rend souvent ce filtre symétrique : F P1.F P2 =F A1.F A2 =F 0 2 A MIN Des abaques permettent alors de déterminer les caractéristiques du filtre 45
Le Filtrage Le Filtre Coupe-Bande : Introduction Le gabarit du filtre est défini par les paramètres suivants : G MIN1 G MIN2 La sélectivité est : F A2 -F A1 K= <1 Fp2 -F p1 G MAX B : largeur de bande relative : 0 F P1 F A1 F 0 F A2 F P2 Exemple d application : Suppression du 50 Hz F B= F A2 -F A1 F 0 46
Le Filtrage A MAX A MIN Traitement du Signal Le Filtre Coupe-Bande : Détermination Le gabarit du filtre est souvent en fonction de l atténuation requise : 0 F P1 F A1 F 0 F A2 F P2 F On rend souvent ce filtre symétrique : F P1.F P2 =F A1.F A2 =F 0 2 A MAX1 =A MAX2 = A MAX Des abaques permettent alors de déterminer les caractéristiques du filtre 47
Le Filtrage Les différentes réponses Pour un gabarit donné, la fonction de transfert du filtre peut être représentée par différentes fonctions : Réponse de BUTTERWORTH Réponse de CHEBYSHEV Réponse de LEGENDRE Réponse de CAUER Réponse de BESSEL ou THOMSON Chacune de ces réponses présente des caractéristiques particulières dont la connaissance permet la sélection du filtre le plus adapté à une utilisation donnée. 48
Le Filtrage Les filtres de BUTTERWORTH 0 F P F A F Réponse régulière dans la Bande Passante Décroissance monotone en Bande Coupée Pente faible pour un ordre donné Utilisés pour la solution de problèmes simples lorsque la régularité de la réponse est un critère important 49
Le Filtrage Les filtres de CHEBYSHEV 0 F F P F A Oscillation dans la Bande Passante Décroissance monotone en Bande Coupée Pente élevée pour un ordre donné Filtres simples à calculer Bon rapport qualité - prix L inconvénient majeur est l oscillation dans la bande passante. Les abaques permettent la détermination du filtre pour une ondulation donnée : 0.01 db, 0.1 db, 1dB 50
Le Filtrage Les filtres de LEGENDRE 0 F P F A F Réponse régulière dans la Bande Passante Décroissance monotone en Bande Coupée Coupure comparable à celle d un filtre de CHEBYCHEFF d ondulation 0.1 db. La régularité de la réponse dans la bande passante associée à la pente intéressante en font un filtre qui peut être très avantageux. 51
Le Filtrage Les filtres de CAUER (ou filtres elliptiques) F P F A F Oscillation dans la Bande Passante Présence de zéros de transmission en Bande Coupée Pente la plus élevée pour un ordre donné Filtres complexes à calculer La très grandeur raideur de la bande de transition (pente) est bien adaptée à la réalisation de filtres antirepliement. Il est alors nécessaire de corriger les oscillations dans la bande passante. 52
Le Filtrage Les filtres de BESSEL 0 F P F A F Réponse la plus régulière dans la Bande Passante. Pente la plus faible pour un ordre donné Faible déformation des régimes transitoires Ces filtres ont optimisés pour présenter dans la bande passante la variation de phase la plus linéaire possible. La réponse en impulsion de cette structure se fait donc avec un minimum de distorsion. 53
Le Filtrage Réalisation pratique : Les filtres analogiques La sélectivité du filtre requise impose une pente plus ou moins importante à la fonction de transfert du filtre. Cette sélectivité détermine l ordre du filtre et par suite sa complexité : En effet, un filtre analogique est réalisé au moyen de cellules élémentaires du 1er et 2ème ordre mises en cascade pour parvenir à l ordre requis. Exemple d un filtre du 7ème ordre : 2ème Ordre 2ème Ordre 2ème Ordre 1er Ordre 54
Le Filtrage Réalisation pratique : Les filtres numériques Les filtres numériques sont destinés aux signaux échantillonnés. Ils offrent des avantages considérables sur les structures analogiques, et sont aujourd hui très répandus : Réalisation de fonctions complexes irréalisables en continu Caractéristiques proches de celles du filtre idéale (pente infinie, pas d atténuation dans la bande passante) Modification de la valeur du filtre par modification des tables de coefficients du filtre. Invariance du filtre dans le temps et en fonction des composants. 55
FILTRAGE Conclusion: Les filtres sont à choisir en fonction de ses besoins. Les filtres de CHEBYSHEV: Bon rapport qualité prix Mais aujourd hui, les filtres numériques restent les plus avantageux par leur flexibilité de conception. 56
SPECTRE >>>>>>>>>>>>>>>> Etre capable d utiliser la TFD (Transformée Fourier Discrète) avec les unités (RMS Veff²) 57
SPECTRES A A0 Fourier U RMS A0 A/2 F 1 Orthogonalité TFD (Transformée de Fourier Discrète) Représentations des spectres (Puissance, Energie Veff, RMS) 58
SPECTRES: Orthogonalité Expliquons l orthogonalité, dans un premier temps, simplement sans trop de Maths. 59
SPECTRES: Orthogonalité L orthogonalité explique en quoi la formule de la TFD permet d identifier les différentes fréquences dans un signal Historiquement, il est connu depuis longtemps que l addition de deux ou plusieurs fonctions périodiques donne une nouvelle fonction périodique. Il était aussi connu que si pour composer cette nouvelle fonction on utilisait uniquement des sinus (ou des cosinus), on pouvait les retrouver par analyse à l aide de la formule de Fourier 60
SPECTRES: Orthogonalité La somme de plusieurs signaux peut donner un signal carré 61
SPECTRES: Orthogonalité L orthogonalité nous permet d identifier toutes les fréquences constituant un signal, par le biais de Fourier. Pour ce faire on utilise le principe du produit scalaire que l on a tous appris au lycée. U. V = U. V.cos : angle entre les deux vecteurs U et V Si les deux vecteurs sont perpendiculaires (orthogonaux) donc = / 2 alors U. V = 0 Si les deux vecteurs sont non orthogonaux exemple = / 2 alors U. V = U. V 0 62
SPECTRES: Orthogonalité w.t = 2F Hz A A0 en radian Représentation orthonormée du signal temporel A0 = rayon du cercle Représentation de Fresnel (polaire) du signal temporel A = A0. Cos(w.t + ) Phase instantanée 63
SPECTRES: Orthogonalité Si les signaux A et B ont la même phase le produit scalaire =MAXI A = A0. Cos(wt + ) B = B0. Cos(wt + ) Si les signaux A et B n ont pas la même phase le produit scalaire sera = mini A = A0. Cos(wt + ) B = B0. Cos(wt + ) 64
SPECTRES: Orthogonalité Si les signaux A et B n ont pas la même phase le produit scalaire sera = mini La modulation d amplitude sans porteuse permet de comprendre le spectre résultant 65
SPECTRES: Orthogonalité Si les signaux A et B ont la même phase le produit scalaire =MAXI La modulation d amplitude sans porteuse permet de comprendre le spectre résultant 66
SPECTRES: Orthogonalité Quel est le lien entre l orthogonalité et la formulation de Fourier?: A = A0. Cos(wt + ) Peut s écrire aussi: A = A0. e jwt L exponentielle se retrouve dans la TFD : 67
SPECTRES: Orthogonalité La formulation de la TFD est: Le signal échantillonné à étudier L exponentielle dont la phase est variable Produit scalaire «amélioré» X k = 1 1 N N i= 0 X i e ik j 2 N La phase de l exponentielle est une variable, elle permet à l aide du produit scalaire d identifier les fréquences du signal échantillonné. Produit scalaire 68
SPECTRES: Orthogonalité Résumé sur l orthogonalité: 69
SPECTRES: Orthogonalité Et dans un deuxième temps, l orthogonalité qu avec des Maths. Ici, l orthogonalité est traitée d une façon discrète et non continue. On entrevoit l orthogonalité d une manière plus juste. 70
SPECTRES: Orthogonalité 71
SPECTRES: TFD Transformée de Fourier Discrète Comment çà marche la TFD? Considérez un signal très simple D.C ayant une amplitude constante de +1 V.Quatre échantillons de ce signal sont pris. Chacun des échantillons a une valeur +1, selon la séquence temporelle : x[0] = x[1] = x[3] = x[4] = 1 Les échantillons sont notés x[i], 0 i N 1 Vous avez un total de N échantillons=4 dans le domaine temporel. 72
SPECTRES: TFD Transformée de Fourier Discrète Signal temporel échantillonné X k = 1 1 N N i= 0 X i e ik j2 N Spectre: Représentation des x[i] dans le domaine fréquentiel La TFD est appliquée à ces N =4 échantillons temporels. Le résultat X[k], (0 < k < N 1) est la représentation du domaine fréquentiel des x[i] points temporels (au nombre de 4 dans notre exemple). 73
SPECTRES: TFD Transformée de Fourier Discrète Excepté pour la composante DC donc X[0], toutes les autres valeurs sont nulles. Cependant, la valeur calculée de X[0] dépend de la valeur de N (le nombre d échantillons). Parce que vous avez N = 4, X[0] = 4. Si N = 10, vous aurez X[0] = 10. Cette dépendance de X[ ] par rapport à N se produit également pour les autres composantes de fréquence. Ainsi, vous divisez généralement la sortie DFT par N, de façon à obtenir l amplitude correcte de la composante de fréquence. X k = N 1 1 N i= 0 X i e j2 ik N 74
SPECTRES: TFD Transformée de Fourier Discrète X k = 1 1 N N i= 0 X i e j2 ik N X[0]=1V à O Hz fréquence RESULTAT DE LA TFD SUR UN SIGNAL CONTINU ECHANTILLONNE 75
SPECTRES: TFD Transformée de Fourier Discrète Le logiciel LABView utilise la TFD ainsi: = S XX =(1/N²)[X(k)]²=V eff 2 X k X * k fournit une estimation de l'autospectre du signal, c'est-à-dire de la puissance moyenne sur la durée T, contenue dans une bande fréquence de largeur, l unité est le volt efficace au carré V eff ² ou RMS². 76
SPECTRES:La représentation des spectres Introduction Les algorithmes de calcul de la TFD (Transformation discrète de Fourier FFT) permettent la représentation du spectre en fréquences sous plusieurs formes Autospectre bi-latéral, uni-latéral ou crête Autospectre de puissance ou en amplitude (linéaire) Densité spectrale de puissance ou d énergie Dans ce qui suit, l autospectre sera appelé spectre. 77
SPECTRES:La représentation des spectres Avant d attaquer la pratique Faisons une synthèse de la représentation graphique d un spectre pour mettre en évidence les effets suivants de: l échantillonnage en temporel l échantillonnage fréquentiel (résolution) la fenêtre de pondération. C est une synthèse sous forme graphique beaucoup plus facile à comprendre que la formulation mathématiques. Néanmoins si elle était accompagnée d une explication orale ce serait encore plus facile à comprendre! 78
SPECTRES:La représentation des spectres On observe donc ici les effets d'une fenêtre de pondération rectangulaire qui modifie l'allure du spectre sous la forme d'un.sinx/x Multiplication en temporel X * Convolution en fréquentiel = = TRANSFORMEE DE FOURIER D'UNE SINUSOIDE TRONQUEE (OU PONDEREE) 79
SPECTRES:La représentation des spectres TRANSFORMEE DE FOURIER D'UNE SINUSOIDE ECHANTILLONNEE et TRONQUEE (OU PONDEREE) 80
SPECTRES:La représentation des spectres T f temps d acquisition temporel 1/T f = f f résolution spectrale Dans la réalité l'acquisition du signal se répète plusieurs fois : (voir fig III.c) 81
SPECTRES:La représentation des spectres Le calcul général de la TF s'effectue en théorie sur un temps infini. En réalité, le calcul de la TFD est effectué sur un signal de durée limitée à T f,ce qui assimile le signal traité à un signal périodique de période T f (ceci est vrai même si le signal analysé n'est pas périodique. Si le signal est de période To, la périodicité T f introduite par le traitement est au premier abord indépendant de To). Cet effet de périodisation, lié au nombre limité d'échantillons n traités, peut être considéré comme le résultat d'une convolution du signal x2(t) avec un peigne de Dirac de pas de T f. t C e C T f (t) Le spectre de x3(t) noté X3(f) est donc un spectre lui-même échantillonné (spectre de raies) avec un pas de f. 82
SPECTRES:La représentation des spectres Synthèse terminée expliquons l autospectre et la densité spectrale par la pratique 83
SPECTRES:La représentation des spectres autospectre Considérerons le signal temporel d origine constitué de : Une composante continue d amplitude A 0 Un sinus d amplitude crête A et de fréquence F 1 A A 0 84
SPECTRES:La représentation des spectres autospectre L algorithme de calcul de la TFD fournit un spectre bi-latéral de puissance, c est à dire une fonction paire présentant des amplitudes pour des fréquences négatives. Il représente la puissance du signal contenue dans l échantillon A A 0 FFT A 2 /4 U 2 RMS A 0 2 A 2 /4 -F 1 F 1 85
SPECTRES: La représentation des spectres autospectre Le spectre de puissance uni-latéral Il est déduit du précédent en «repliant» le spectre des fréquences négatives sur le spectre des fréquences positives, ce qui revient à doubler les amplitudes des fréquences strictement positives. A A 0 FFT U 2 RMS A 0 2 A 2 /2 F 1 86
SPECTRES: La représentation des spectres autospectre Le spectre d amplitude (ou linéaire) bi-latéral Il est déduit du spectre de puissance bi-latéral en considérant la racine carrée de la puissance de chacune des raies. Les spectres en amplitude permettent la visualisation de la phase des composantes, à l inverse des spectres en puissance. A A 0 FFT A/2 U RMS A 0 A/2 -F 1 F 1 87
SPECTRES: La représentation des spectres autospectre Le spectre d amplitude (ou linéaire) uni-latéral Il est déduit du spectre de puissance uni-latéral en considérant la racine carrée de la puissance de chacune des raies. Les amplitudes affichées sont donc homogènes aux valeurs efficaces ou valeurs RMS des composantes du signal. A A 0 FFT U RMS A 0 A/2 F 1 C est la représentation la plus courante en analyse vibratoire. 88
SPECTRES: La représentation des spectres autospectre Le spectre d amplitude crête (ou linéaire) uni-latéral Les amplitudes affichées sont homogènes aux valeurs crêtes des composantes du signal. A A 0 FFT U A 0 A F 1 89
SPECTRES: La représentation des spectres autospectre PRINCIPE La densité spectrale (DSP) est utilisée pour les mesures de bruit large bande, ou les mesures de bruit de fond. En effet, dans un spectre en puissance ou en amplitude, le niveau de bruit dans chaque canal dépend de la largeur F du canal et donc de la résolution du spectre. Niveau du bruit de fond Ainsi, le niveau de bruit de fond du spectre varie en fonction de la résolution choisie. Tout calcul de puissance ou d amplitude efficace dans une bande large sera également dépendant de la résolution. 90
SPECTRES: Traitement du Signal La représentation des spectres densité-spectrale La représentation en DSP ou en RMS (ou V eff ) La DSP est utilisée pour la mesure de BdF La RMS (ou Veff) est utilisée pour la mesure d Amplitude 91
SPECTRES: La représentation des spectres densité-spectrale La représentation en RMS ou V eff du BdF Si le nombre de points dans l échantillon temporel est doublé, F est divisé par 2 et le niveau de bruit dans chaque canal est divisé par 2 (en puissance). V eff x8 256 points 2048 points +8dB 92
SPECTRES: La représentation des spectres densité-spectrale La représentation en densité spectrale du BdF La densité spectrale de puissance s obtient en divisant les amplitudes de chacune des raies par F. Le niveau de bruit mesuré dans ce mode devient indépendant de la résolution. DSP 256 points 2048 points Rappel: DSP volt².s = V eff ²/Hz 93
SPECTRES: La représentation des spectres densité-spectrale La représentation en densité spectrale d une amplitude Attention : Cette représentation ne doit pas être utilisée pour des mesures d amplitudes discrètes. DSP 256 points 2048 points Erreur:+8dB Rappel: DSP volt².s = V eff ²/Hz 94
SPECTRES: La représentation des spectres densité-spectrale La DSP représente la puissance contenue dans une bande étroite f. La DSP n a aucune signification lorsque l on a affaire à un spectre de raie (sinus, cosinus ) Rappel: DSP volt².s = V eff ²/Hz 95
SPECTRES: La représentation des spectres La densité spectrale de puissance (DSP) bi-latérale Elle est déduite du spectre de puissance bi-latéral en divisant l amplitude de chacune des raies par la résolution fréquentielle F. A A 0 FFT U 2 RMS/Hz A 2 /4F A 2 /4F A 02 /F -F 1 F 1 96
SPECTRES: La représentation des spectres La densité spectrale de puissance (DSP) uni-latérale Elle est déduite du spectre de puissance uni-latéral en divisant l amplitude de chacune des raies par la résolution fréquentielle F. A A 0 FFT U 2 RMS/Hz A 2 /2F A 02 /F F 1 97
SPECTRES: La représentation des spectres La densité spectrale d énergie (DSE) bi-latérale Elle est déduite du spectre de puissance bi-latéral en divisant l amplitude de chacune des raies par la résolution fréquentielle F puis en la multipliant par la durée de la durée d observation T du signal avec T=N.T E =1/F. A A 0 FFT A 2 /4(F) 2 A 02 /(F) 2 U 2 RMS.S/Hz A 2 /4(F) 2 -F 1 F 1 98
SPECTRES: La représentation des spectres La densité spectrale d énergie (DSE) uni-latérale Elle est déduite du spectre de puissance uni-latéral en divisant l amplitude de chacune des raies par la résolution fréquentielle F puis en la multipliant par la durée de la durée d observation T du signal avec T=N.T E =1/F. A A 0 FFT A 02 /(F) 2 U 2 RMS.S/Hz A 2 /2(F) 2 F 1 99
SPECTRES: La représentation des spectres Les affichages en décibel Le décibel exprime le rapport de deux puissances sur une échelle logarithmique. Il permet de comparer deux mesures de puissance P 1 et P 2 : db =10.log 10 P 2 P 1 Il permet également d exprimer une puissance mesurée P par rapport à une puissance de référence P R : db =10.log 10 P P R La valeur de P R, qui fixe le niveau 0 db est déterminée par convention. 100
SPECTRES: La représentation des spectres Les affichages en décibel Si la grandeur mesurée n est pas homogène à une puissance, son carré est généralement proportionnel à la puissance portée par le signal et on exprime le rapport du carré de la mesure au carré de la valeur de référence de la grandeur considérée : db =10.log 10 U 2 U 2 R =20.log 10 U U R L affichage du spectre en décibel fournit ainsi le même résultat, que le spectre soit un spectre en puissance ou en amplitude. 101
SPECTRES: Conclusion: La formule de base de la TFD: X k = 1 1 N N i= 0 X i e ik j2 N La représentation des spectres bi ou uni-latérale: Spectre de puissance Veff² Spectre d Amplitude Veff DSP (Densité Spectrale de Puissance) Veff²/IF DSE (Densité Spectrale d Energie) Veff²/IF² 102
FENETRES DE PONDERATION >>>>>>>>>>>>>>>> Etre capable de choisir la fenêtre d acquisition du signal 103
Les fenêtres de pondération Le fenêtrage temporel : Introduction L échantillonnage consiste à prélever des échantillons du signal sur une durée finie T : Il s agit d un fenêtrage temporel. 1 = 104
Les fenêtres de pondération Problématique de la fenêtrage temporel Lors de l acquisition des discontinuités se produisent entre les périodes successives. Ceci survient lorsqu on échantillonne un nombre non entier de cycles. Ces discontinuités artificielles se révèlent être de très hautes fréquences dans le spectre du signal, fréquences qui n étaient pas présentes dans le signal original. Ces fréquences peuvent être bien plus hautes que la fréquence Nyquist, et comme vous l avez vu précédemment,sont repliées quelque part entre 0 et fe/2. 105
Les fenêtres de pondération Le fenêtrage temporel : Introduction Si la période d acquisition correspond à un nombre entier de périodes du signal : Il y a recouvrement des extrémités et la FFT ne crée pas de distorsion du spectre. T 0 T E =k.t 0 FFT T E F 0 106
T E F 0 Traitement du Signal Les fenêtres de pondération Le fenêtrage temporel : Introduction Si la période d acquisition ne correspond pas à un nombre entier de périodes du signal, il n y a pas recouvrement des extrémités et la FFT crée une distorsion du spectre. T 0 T E k.t 0 FFT 107
Les fenêtres de pondération Le fenêtrage temporel : Convolution des spectres Le fenêtrage du signal est un produit dans le domaine temporel. En application du Théorème de Plancherel : Produit temporel S(t) = X(t).H(t) Convolution Fréquentielle S(f)=X(f)*H(f)=X(g).H(f-g).dg 0 108
Les fenêtres de pondération Le fenêtrage temporel : Convolution des spectres X(t) X(f) Fourier H(t) Fourier -F 0 F H(f) F 0 Sinx/x ou sinc x F Fenêtre rectangulaire ou uniforme 109
Les fenêtres de pondération Rappel à propos du sinus cardinal (sinc) H(t) Fourier -F 0 H(f) F 0 Sinx/x ou sinc x F H(t) Fourier -F 0 H(f) F 0 Sinx/x ou sinc x F Fenêtre rectangulaire ou uniforme 110
Les fenêtres de pondérations Le fenêtrage temporel : Convolution des spectres X(t) T E Fourier S(f)=X(f)*H(f) T E =k.t 0 T 0 Les lobes latéraux ne génèrent pas de bandes latérales. L amplitude mesurée est la bonne. f résolution spectrale (CANAL) F -F 0 F 0 1/T E = f 111
Les fenêtres de pondération Le fenêtrage temporel : Convolution des spectres X(t) T E Fourier S(f)=X(f)*H(f) T E k.t 0 T 0 Les lobes latéraux génèrent des bandes latérales. 1/T E = f F -F 0 F 0 L amplitude mesurée n est pas la bonne. 112
Les fenêtres de pondération Le fenêtrage temporel Transformées de Fourier numériques X(f) du signal cosinusoïdal de fréquence f 0, Y(f) de la fenêtre et Z(f) du résultat de la convolution. Le cas ): correspond au cas où f 0 est un multiple de Fe/N Le cas ): correspond au cas où f 0 n'est pas un multiple de Fe/N. 113
Les fenêtres de pondération Les fenêtres de pondération : Utilité La condition T E =k.t 0 (nombre entier de périodes dans l échantillon) n est en pratique pas vérifiée en analyse spectrale car : On s intéresse à un grand nombre de fréquences On ne connaît pas à priori les fréquences du signal L utilisation des fenêtres de pondération permet de limiter les erreurs d estimation causées par le fenêtrage temporel simple, appelé fenêtre rectangulaire. 114
Les fenêtres de pondération Les fenêtres de pondération : Principe Les fenêtres de pondération créent artificiellement un recouvrement des extrémités de l échantillon temporel : = 115
Les fenêtres de pondération Les fenêtres de pondération : Principe Les profils des fenêtres de pondération ont pour but de limiter les amplitudes des lobes latéraux de leurs transformées de Fourier. Ceci est réalisé au détriment de la largeur du lobe principal qui augmente. Rectangulaire Hanning Flat-Top 116
Les fenêtres de pondération Caractéristiques des fenêtres de pondération Les caractéristiques principales des différentes fenêtres de pondération sont déterminées sur leur transformées de Fourier : Le rapport entre le maximum d amplitude du lobe secondaire le plus élevé et le maximum d amplitude du lobe central en db La largeur du lobe principal L atténuation des lobes secondaires en db/octave -6dB 117
Les fenêtres de pondération Caractéristiques des fenêtres de pondération Le tableau ci-dessous résume les caractéristiques des fenêtres courantes en analyse spectrale : Fenêtre Rectangulaire largeur -3dB Lobe princip. 0.88 F Niveau lobes secondaires -13 db Atténuation (db/octave) 6 Hamming 1.30 F -43 db 6 Hanning 1.44 F -32 db 18 Flat-Top 2.94 F -44 db 6 118
Les fenêtres de pondération Les fenêtres usuelles : La fenêtre rectangulaire Meilleure résolution fréquentielle pour un nombre d échantillons donné : Largeur du lobe à -3 db = 0.88 F Lobes secondaires d amplitude élevée (-13 db) à l origine d incertitudes importantes sur l amplitude des raies. Utilisation : Analyse temporelle du signal (pas de FFT) 119
Les fenêtres de pondération Les fenêtres usuelles : La fenêtre de Hamming C est une fenêtre qui présente des amplitudes de lobes secondaires plus faibles que la fenêtre de Hanning, et une largeur de lobe principal inférieure. Par contre, l atténuation des lobes latéraux suivants étant moindre, on lui préfère généralement Hanning, sauf en présence de raies spectrales très proches où sa résolution supérieure est avantageuse. 120
Les fenêtres de pondération Les fenêtres usuelles : La fenêtre de Hanning C est la fenêtre qui réalise le meilleur compromis entre la résolution fréquentielle et la précision sur la mesure de l amplitude. Elle convient pour la plupart des signaux rencontrés en analyse vibratoire. 121
Les fenêtres de pondération Les fenêtres usuelles : La fenêtre Flat-Top C est la fenêtre présentant les lobes secondaires de plus faible amplitude et donc la meilleure résolution en amplitude. Sa résolution en fréquence est par contre la plus faible. On l utilise donc exclusivement en calibration d instruments, ou pour la mesure très précise de raies spectrales connues. 122
Les fenêtres de pondération Influence de la fenêtre de pondération sur le spectre Dans le calcul de la FFT de l échantillon après fenêtrage, chaque canal du spectre se comporte comme un filtre dont la forme épouse le profil de la transformée de la fenêtre. 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 Une fréquence discrète du spectre réel est ainsi distribuée dans plusieurs canaux adjacents de l analyseur. 123
Les fenêtres de pondération Influence de la fenêtre de pondération sur le spectre 1 2 3 1 2 3 Rectangle 1 2 3 1 2 3 Hanning 124
Les fenêtres de pondération Erreur d amplitude due à la fenêtre Lorsque la fréquence d intérêt coïncide exactement avec la fréquence centrale d un canal d analyse, l amplitude affichée pour la raie correspondante est exacte. Les raies latérales, qui n ont pas de réalité physique, sont d amplitudes égales. 1 2 3 11 23 3 125
Les fenêtres de pondération Erreur d amplitude due à la fenêtre Lorsque la fréquence d intérêt ne coïncide pas exactement avec la fréquence centrale du canal d analyse, l amplitude affichée pour la raie correspondante est entachée d une erreur, variable selon les fenêtres. Les raies latérales sont d amplitudes différentes. 1 2 3 1 2 3 Erreur sur l amplitude Bandes latérales dissymétriques 126
Les fenêtres de pondération Erreur d amplitude due à la fenêtre Les erreurs d amplitude maximales dues au mauvais centrage de la raie dans le canal d analyse sont données dans le tableau ci-contre, en fonction du type de fenêtre utilisé. Fenêtre Rectangulaire Hamming Hanning Flat-Top Erreur max. (db) 3.92 1.42 1.75 <0.01 127
Les fenêtres de pondération Choix de la fenêtre de pondération pour la FFT Le choix d une fenêtre de pondération doit être fait en fonction du signal analysé et des grandeurs recherchées. Le tableau ci-dessous permet de déterminer en première approche le type de fenêtre adapté selon la nature du signal. Type de signal Sinus ou combinaison de sinus Sinusoïde (recherche de l amplitude) Signaux vibratoires Bruit large bande Sinusoïdes de fréquences proches Inconnu Fenêtre Hanning Flat-Top Hanning Rectangle Hamming Hanning 128
Les fenêtres de pondération Choix de la fenêtre de pondération : Exemple g C:(0.00000 khz, -25.28dBg, 54.45E-03 g) Spectrum Ch. 1 1 E0 Allure du spectre d un signal sinusoïdal pondéré par la fenêtre rectangulaire 1 E-1 1 E-2 1 E-3 1 E-4 1 E-5 1 E-6 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 khz 129
Les fenêtres de pondération Choix de la fenêtre de pondération : Exemple g C:(0.00000 khz, -25.17dBg, 55.14E-03 g) Spectrum Ch. 1 1 E0 Allure du spectre d un signal sinusoïdal pondéré par la fenêtre de Hamming 1 E-1 1 E-2 1 E-3 1 E-4 1 E-5 1 E-6 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 khz 130
Les fenêtres de pondération Choix de la fenêtre de pondération : Exemple g C:(0.00000 khz, -25.21dBg, 54.89E-03 g) Spectrum Ch. 1 1 E0 Allure du spectre d un signal sinusoïdal pondéré par la fenêtre de Hanning 1 E-1 1 E-2 1 E-3 1 E-4 1 E-5 1 E-6 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 khz 131
Les fenêtres de pondération Choix de la fenêtre de pondération : Exemple g C:(0.00000 khz, -25.41dBg, 53.64E-03 g) Spectrum Ch. 1 1 E0 Allure du spectre d un signal sinusoïdal pondéré par la fenêtre Flat-Top 1 E-1 1 E-2 1 E-3 1 E-4 1 E-5 1 E-6 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 khz 132
Les fenêtres de pondération Choix de la fenêtre de pondération : Exemple Rectangle Hamming Hanning 133
Les fenêtres de pondération Conclusion: Les fenêtres de pondération (fenêtre d acquisition temporelle) influe l estimation de lecture en amplitude et en fréquence du spectre. La fenêtre de Hanning est un bon compromis de résolution entre l amplitude et la fréquence. 134
SYNTHESE: Le traitement du signal reste une science compliquée. Néanmoins, vous possédez les premiers outils pour être capable d utiliser la TFD pour passer du domaine temporel au fréquentiel. En prenant soin de respecter Shannon et acquérir le signal avec une fenêtre d acquisition respectant vos exigences en terme de résolution en amplitude et fréquentielle pour une lecture spectrale qui répond à vos attentes. 135