Fractions et décimaux Les limites de l'enseignement à "coups de règles" Multiplier un nombre par 100 Nombre entier : "écrire deux 0" à droite 24 x 100 = 2 400 Nombre décimal : déplacer la virgule de 2 rangs vers la droite 2,345 x 100 = 234,5 4,7 x 100 = 470 (disparition de la virgule et apparition de 0!) Quelques résultats 2,3 x 10 (évaluation 6e 2001) 23 64 % 20,3 ou 2,30 ou 20,30 20 %» La virgule "frontière" et "écrire un 0" 230 5 %» La virgule "absente" et "écrire un 0" 35,2 x 100 (évaluation 6e 2001) 3 520 47 % 3500,2 ou 35,200 ou 3 500,200 15 %» La virgule "frontière" 352 15 %» Que faire quand la virgule "disparaît"? Règles et compréhension Comment justifier 23,45 x 10 = 234,5? Interpréter 23,45, par exemple : 2 dizaines + 3 unités + 4 dixièmes + 5 centièmes Savoir que multiplier le nombre par 10 revient à multiplier chaque "terme de la décomposition" par 10 Savoir que 20 dizaines, c'est 2 centaines (car 10 dizaines, c'est 1 centaine) Savoir que 40 dixièmes, c'est 4 unités (car 10 dixièmes, c'est 1 unité) Savoir que 50 centièmes, c'est 5 dixièmes (car 10 centièmes, c'est 1 dixième) Conclusion Quand on multiplie par 10, chaque chiffre prend une valeur "10 fois plus grande" Ce n'est pas la virgule qui se déplace, mais les chiffres qui "changent" de valeur, donc de place C'est la même chose pour les entiers et pour les décimaux! 1
Des difficultés qui persistent! (Extrait de la thèse de Jeanne Bolon, 1996) Par rapport à 7, quel est le nombre le plus proche : CM1 22 % 6,9 ou 7,08 CM2 6 e 30 % 27 % 5 e 29 % Quatre questions Comment interpréter les erreurs des élèves? Quelle en est l'origine? Que suppose la compréhension des connaissances relatives aux décimaux? Quel enseignement? L'interprétation des erreurs L'origine des erreurs La virgule conçue comme séparant 2 nombres entiers Le lexique conçu comme "symétrique" 234,567 dizaine dixième L'idée de "nombre" suivant persiste Confusion fractions / décimaux 96 + 2/100 = 96,200 pour 21 % des élèves (éva 2005) Des écritures qui ressemblent à celle des entiers "à la virgule près" Usage social : les écritures à virgule évoquent souvent des mesures à 2 unités 3,25 pour 3 25c ou 2,35 m pour 2m 35cm Expression orale : 3 virgule 25 plutôt que 3 et 25 centièmes ou 3 et 2 dixièmes et 5 centièmes Signification "spatiale" plus que "conceptuelle" pour les mots "dixième", "centième" 80,4 = 80/4 pour Roland 17 Charnay %- 2007 des élèves (éva 2005) Quel enseignement des décimaux? Enseigner directement des règles ou s'appuyer sur la compréhension? L'importance de la compréhension des écritures chiffrées Pour les entiers Pour les décimaux Pour les fractions (ou le symbole "séparateur" à une autre signification) Cf. l'erreur : 2/10 = 2,10 Les différents aspects de la maîtrise d'un Maîtrise d'un concept " " # concept! $% 2
L'apprentissage des fractions et des décimaux Quelques exemples de moments clés Fractions Sens et raisonnement avec problématisation des apprentissages Fractions de l'école primaire au collège Approche limitée à l'école primaire une seule signification : 5/3 c est 5 fois 1/3 travail par le raisonnement (sans techniques) relation avec 1 : 3/3 c est 1, donc 5/3 est supérieur à 1 décomposition en nombre entier et fraction inférieure à 1 : 7/3 c est 2 fois 3/3 plus 1/3, donc 2 + 1/3 Peu évalué à l'entrée en Sixième Au collège : une place centrale et des difficultés nouvelles Nouvelle signification, comme quotient : 7/3 c est le tiers de 7 Comprendre l'équivalence : 7 fois le tiers de 1, c est pareil que le tiers de 7 &'( ) %% *!!+&'(! (& Introduction des fractions d'après Cap Maths CM1 Egalité et raisonnement!" # 3
Fractions : des mesures aux graduations Décimaux Introduction Fractions décimales Ecritures à virgule! Les décimaux de l'école au collège Quelques constats CM 6e Lien avec fractions décimales Moyen d'approcher a/b Significatio Repérage sur ligne graduée n Lien avec système métrique Numération Calcul (sens, techniques) Partages de l'unité en 10, 100 Décomposition avec 0,1 ; 0,01 Décomposition en 1/10, 1/100 Approximation Addition, soustraction Comparaison, intercalation Multiplication de 2 décimaux Multiplication d'un décimal par un entier Quotient décimal de 2 entiers et de 2 décimaux Evaluations : difficultés pour 25 % à 50 % des élèves Au primaire comme au collège travail insuffisant sur la compréhension trop axé sur les techniques : revenir au sens chaque fois que c'est possible (ex 7 x 0,1 : c'est 7 dixièmes) marquant de manière insuffisante les ruptures avec les entiers 4
Ruptures principales Relativement à l'ordre procédure de comparaison intercalation Relativement à des procédures de calcul notamment multiplication et division par 10, 100 Relativement au "sens" des opérations Décimaux Un exemple de travail : Comparaison et raisonnement Raisonner pour comparer Exemples d'arguments pour la comparaison de 2,12 et 2,7 Trois phases Réponse individuelle, avec explication Prise de position sur des réponses/explications choisies par l'enseignant Par groupes de 2 Confrontation de 2 groupes de 2 Débat collectif Exemples d'arguments 2,12 > 2,7 parce que 12 > 7 2,7 > 2,12 parce que 2,7 = 2,70 (le 0 ne compte pas!) 2,7 > 2,12 parce que 2,70 > 2,12 (on a tout mis en centièmes) 2,7 > 2,12 parce que 7 dixièmes et plus grand que 1 dixième 2,7 > 2,12 parce que 2,7=27/10=270/100, 2,12=212/100 2,7 > 2,12 parce que le 7 de 2,7 c est 70 centièmes et le 12 de 2,12 c est seulement 12 centièmes 2,7 > 2,12 parce que dans 2,7 il y a 58 centièmes de Remettre en cause l'idée de "suivant" 5
Une idée d'une intercalation à l'infini 6