DM1 Page 1 北航中法工程师学院 ÉCOLE CENTRALE DE PÉKIN SCIENCES INDUSTRIELLES POUR L INGÉNIEUR Année académique 2016-2017 Devoir à la maison n 1 À rendre le lundi 28 novembre 2016 Numéro d étudiant à 8 chiffres : Prénom français : Nom chinois ( 姓名, en pinyin) : 姓名 :
DM1 Page 2 Asservissement d altitude d un avion Les avions de ligne modernes sont largement automatisés : un avion est capable de décoller, d atterrir et d effectuer son vol de croisière de façon automatique. Le pilote automatique est même obligatoire en croisière sur les itinéraires très fréquentés, où l avion doit impérativement rester dans un intervalle d altitude étroit, et à l atterrissage en cas de faible visibilité. Tous les paramètres de vol peuvent être asservis, comme le cap, l altitude, la vitesse, etc. L exercice s intéresse à l asservissement d altitude de l Airbus A380 (représenté sur la Figure 1) en vol de croisière. L avion présente une envergure de 80 m permettant de soulever les 550 tonnes de l appareil en charge. Figure 1 : un Airbus A380 Le contrôle de l altitude s effectue par les gouvernes de profondeur inclinant l avion et conduisant à une augmentation ou une diminution de la portance aérodynamique des ailes. La courbe de la Figure 2 représente la relation entre l angle d incidence i des gouvernes et la force de portance F p de l aile. Figure 2 : Force de portance F p en fonction de l'angle d'incidence i La force de portance des ailes est modifiée par les vents verticaux qui génèrent une force perturbatrice F v sur l avion. La force de portance compense le poids de l avion et génère des accélérations verticales, traduites par le principe fondamental de la dynamique appliqué à l avion : mz (t) = F p (t) F v (t) P fz (t) où : m = 550.10 3 kg est la masse de l avion, F p est la force de portance, F v est la force perturbatrice due au vent, P est le poids de l avion, avec g 10 m.s -2 l accélération de la pesanteur, fz est une force de trainée aérodynamique du fuselage, avec f = 2.10 4 N.s.m -1. L altimètre mesure l altitude de l avion et transmet l information à la partie commande. L écart ε(t) résultant de la comparaison entre la consigne d altitude z c (t) et l altitude mesurée z(t) est traité par le correcteur, qui élabore les consignes α(t) aux gouvernes de profondeur telles que α(t) = K c ε(t).
DM1 Page 3 L inclinaison α(t) de la gouverne impose un angle d incidence des ailes i(t) tel que i(t) = K g α(t), où K g = 2. 1) L asservissement considéré est-il un système régulateur ou suiveur? Justifier votre réponse. 2) À partir de la courbe de la Figure 2, déterminer l incidence i 0 correspondant au point de fonctionnement auquel la portance F p0 compense exactement le poids. En déduire l équation de portance de l aile linéarisée au voisinage du point de fonctionnement, en notant ΔF p (t) et Δi(t) les petites variations de F p (t) et i(t) autour du point de fonctionnement et K p le gain statique local. En clair, on a F p (t) = F p0 + ΔF p (t) et i(t) = i 0 + Δi(t). Vous préciserez l unité de K p. 3) Linéariser l équation de comportement de l avion mz (t) = F p (t) F v (t) P fz (t) au voisinage du point de fonctionnement, en notant z 0 l altitude du point de fonctionnement et Δz(t) les petites variations de z(t) autour du point de fonctionnement. En clair, on a z(t) = z 0 + Δz(t). 4) Transformer dans le domaine de Laplace l équation de comportement linéarisée de l avion, en supposant les conditions initiales de Heaviside vérifiées. En déduire la fonction de transfert de l avion H a (p) = ΔZ(p) F(p) avec F(p) = ΔF p (p) F v (p).
DM1 Page 4 5) Compléter le schéma-bloc ci-dessous du système asservi en petits écarts par rapport au point de fonctionnement, la consigne étant ΔZ c (p) et la sortie ΔZ(p). Vous ferez apparaître les fonctions de transfert des différents blocs, les différentes grandeurs physiques utilisées ainsi que le signe manquant dans le comparateur faisant intervenir la perturbation. 6) Déterminer la fonction de transfert en boucle ouverte, définie comme FTBO(p) = ΔZ(p) ε(p) 7) Déterminer la fonction de transfert en boucle fermée en poursuite, définie comme FTBF(p) = ΔZ(p) ΔZ c (p) F v (p)=0 8) Déterminer les expressions de l écart ε(p) lors d une étude en poursuite (F v (p) = 0) et lors d une étude en régulation (ΔZ c (p) = 0).
DM1 Page 5 9) Comme nous le verrons plus tard en cours, la précision et la robustesse d un système asservi peuvent être évaluées à partir de la valeur de l écart en régime permanent : ε = lim t + ε(t) Lors d une étude en poursuite, le système est dit précis si et seulement si ε = 0. Lors d une étude en régulation, le système est dit robuste si et seulement si ε = 0. En utilisant ce qui précède et le théorème de la valeur finale, déterminer si le système est précis (pour une consigne en échelon d amplitude Z 0 ) et robuste (pour une perturbation en échelon d amplitude F 0 ), pour une correction K c = 10 3.m -1. 10) En déduire si le système est stable. 11) La Figure 3 représente la réponse temporelle de Δz(t) pour une consigne indicielle de 100 m (c est-à-dire pour une consigne en échelon d amplitude 100 m). En déduire le temps de réponse à 5% et le pourcentage de dépassement du système. Figure 3 : réponse temporelle de la régulation d'altitude de l'a380 ***** fin de l énoncé *****