IDENTIFICATION DES EFFORTS APPLIQUES AUX PALIERS VILEBREQUIN D UN CARTER CYLINDRE DE GMP PAR PROBLEME INVERSE Résumé On considère le problème de l identification des sources de vibrations à l intérieur d un moteur à partir de mesures accélérométriques réalisées sur son enveloppe externe. Ce type de problème, qualifié d inverse, est caractérisé par l extrême sensibilité du résultat (la reconstitution des efforts face aux incertitudes sur les données (les mesures de déplacement. Par ailleurs, l application stricte du problème inverse nécessite la connaissance exhaustive du mouvement de la structure. Le cas d une structure complexe telle qu'un carter cylindre de moteur demande de recadrer le problème : il est impossible de disposer de mesures du mouvement sur l intégralité du modèle. Il est donc nécessaire de combler le manque d information sur les données du problème par une information a priori sur le résultat. On présente ici deux méthode numériques, s appuyant sur une modélisation éléments finis du carter cylindre dont l'information est à priori comblée par une pré-localisation des efforts. Une première méthode, s appuyant sur une suite de manipulations matricielles de l équation de mouvement, permet d interpoler les déplacements en tout point de la structure à partir des mesures et de la pré-localisation des forces, la connaissance globale du mouvement autorisant ainsi l application stricte du problème inverse. La seconde méthode utilise des fonctions de transfert calculées numériquement entre les points de pré-localisation des forces et les points de mesures. Ces deux méthodes sont testées en simulant des mesures par un calcul direct bruité aléatoirement en phase et en amplitude. Des résultats sont présentés dans le cas de la reconstitution d une distribution de forces appliquée aux paliers vilebrequin du carter cylindre. 300804 11 PI&GMP.doc
Introduction Le travail présenté au travers de ce document a pour objectif de mettre en œuvre une méthode inverse permettant de reconstituer des efforts vibrants appliqués à un carter cylindre de GMP (Groupe MotoPropulseur à partir de mesures de déplacement réalisées sur son enveloppe externe. Cette étude, réalisée en collaboration avec RENAULT dans le cadre d'un stage de D.E.A. (cf.[1, s'inscrit dans le prolongement d'un axe de recherche du laboratoire Vibrations-Acoustique de l'insa de Lyon. En effet, la méthode RIFF (Résolution Inverse Filtrée Fenêtrée, développée au laboratoire, décrit une méthodologie permettant d'obtenir la distribution de force appliquée à une structure fine connaissant le champ de déplacement ( cf.[2. La localisation des sources de vibration à l intérieur d un carter cylindre de GMP présente les caractéristiques inhérentes à tout problème inverse : la reconstitution des forces est extrêmement sensible aux erreurs introduites lors des mesures. En effet, en problème direct, le mouvement d une structure généré par une distribution de force n est autre que la somme des mouvements produits par chaque élément de cette force. L instabilité du problème inverse se situe dans l impossibilité de décomposer le mouvement d une structure en une somme de mouvements élémentaires sans mettre en jeux des efforts colossaux dont l intensité n a pas de sens physique. La reconstitution de la distribution de force à partir de ce type de décomposition est donc logiquement fortement instable. D autre part, on étudie une structure complexe qui nous interdit l accès à la mesure du mouvement en tout point : l application stricte du problème inverse et de la méthode RIFF est donc impossible. Cependant, il semble judicieux de combler le manque d information par une pré-localisation des forces que l on souhaite reconstituer. En effet, les zones d un carter cylindre de moteur soumises à des efforts sont a priori connues, et on se limitera dans notre étude à la reconstitution d efforts appliqués aux paliers vilebrequin. 1 Présentation de la structure étudiée La structure est un carter cylindre isolé de moteur K4M RENAULT munit des cinq chapeaux paliers, nécessaires à la représentation des efforts appliqués par le vilebrequin. On étudie le comportement modal de la structure libre libre : Le premier mode propre (figure 1, aux environs de 600 Hz, est un mode de torsion sur un axe parallèle au vilebrequin. Mode 1 580 Hz Fig.1 - Premier mode propre de la structure 300804 22 PI&GMP.doc
Les six modes suivants, situés entre 900 et 1250 Hz, sont des modes de flexion de paliers, plus ou moins locaux (figure 2. Mode 2 905 Hz Mode 4 1055 Hz Mode 3 990 Hz Mode 5 1080 Hz Mode 6 1105 Hz Mode 7 1240 Hz Fig. 2 Modes de paliers Le domaine d étude se limitera en fréquence à la bande 100 1000 Hz, avec deux fréquences de calcul à 300 Hz, avant le premier mode, et à 800 Hz, après le premier mode. 2 Présentation du modèle : Le système utilisé est une condensation Craig & Bampton (cf. [3 d un modèle éléments finis 3D d environ 3500 nœuds. La condensation est effectuée sur les 3 degrés de liberté de 73 nœuds situés à l intérieur et à l extérieur des paliers, et sur l enveloppe extérieure du carter. Les nœuds situés à l intérieur des paliers sont les nœuds de reconstitution des efforts, et les nœuds sur l extérieur des paliers ainsi que les nœuds sur l enveloppe sont les points de mesures. Le système est tronqué au 100 ème mode propre de structure contrainte, ce qui donne au final un système de taille 319*319 (73*3+100. 300804 33 PI&GMP.doc
3 La démarche adoptée : + && #, ω ω! " # $ $ ϕ %"&& # %"'# ' && # ' ( ( ϕ!$*%!! # La démarche adoptée pour la mise en œuvre des méthodes inverses (fig.3 est basée sur une simulation numérique des mesures. On réalise dans un premier temps le calcul direct pour obtenir le déplacement aux points de simulation des mesures. Ensuite, on réalise un bruitage aléatoire multiplicatif en amplitude et additif en phase sur la valeur de ces déplacements, l ensemble de ces valeurs bruitées constituant un tirage de mesures. La reconstitution des efforts à partir d un seul tirage de mesures n est pas représentative, les efforts reconstitués à partir de deux tirages sont très différents. Il est donc nécessaire d effectuer plusieurs calculs sur plusieurs tirages de mesures, afin d obtenir un ensemble de reconstitutions d efforts, caractérisé par une moyenne, un écart type sur l amplitude, et un écart type sur la phase pour chaque effort reconstitué. Les différentes entrées de la démarche sont donc la fréquence d étude, le bruit introduit sur les simulations de mesures, le nombre et l emplacement des points de mesures. Les sorties du problème sont d une part les moyennes des efforts reconstitués, nous permettant d introduire le critère de justesse du résultat par rapport aux efforts introduits, et d autre part les écarts types des efforts reconstitués, nous permettant d introduire le critère de stabilité du résultat par rapport au bruit introduit sur les mesures. 300804 44 PI&GMP.doc
4 Les deux méthodes inverses mises en œuvre Les données des deux méthodes inverses sont d une part les mesures du mouvement de la structure en un certain nombre de points (appelés points de mesures, et d autre part le choix des points sur lesquels les forces seront reconstituées (appelés points de reconstitution des efforts. Le nombre de points de reconstitution des efforts est bien sur limité par le nombre de points de mesures. 4.1 Méthode inverse simple La première méthode, appelée méthode inverse simple, a pour principe d interpoler dans un premier temps le mouvement de la structure en tout point du modèle à partir des mesures et de la prélocalisation des forces. Les efforts peuvent ensuite être reconstitués par une inversion stricte du système. Détail de la méthode : - Pré-localisation des efforts : La pré-localisation est effectuée en forçant à 0 les efforts sur les degrés de liberté supposés non chargés, les efforts sur les autres degrés de liberté restant inconnus : {. }. = (1 - Calcul du mouvement en tout point de la structure : On introduit les efforts pré-localisés dans le système : {. } [ = (2 [! [! [! [! [! [! [! [! [!. = (3 Nota : Les indices i sont utilisés pour les forces et déplacements inconnus, et m pour les déplacements mesurés. On s intéresse à la partie du système ayant un second membre nul : Soit : {. } {. } = [! [! [! [! [! [! [ [! [ [!! = [ [!!! (4 (5 300804 55 PI&GMP.doc
On obtient ainsi une interpolation des déplacements inconnus {D} i (non mesurés : [! [! [! [! [! [! = " 0 (6 * : L inversion peut être effectuée, en cas de système rectangulaire, à l aide de l inverse généralisée de Moore-Penrose (cf. [4 - Calcul des forces reconstituées : On peut finalement réintroduire les déplacements obtenus en (6 dans l'équation (1. = [ (7 4.2 Méthode inverse aux coefficients d influence dynamiques La seconde méthode mise en œuvre repose sur le calcul classique de fonctions de transfert entre les points de mesures et les points de reconstitution de efforts. On décompose le déplacement mesuré dans une base de déplacements calculés en appliquant un effort unitaire sur chaque point de reconstitution des efforts, cette base constituant pour une fréquence donnée l ensemble des coefficients d influence de chaque effort en chaque point de mesure. Ainsi, les coordonnées des mesures dans cette base n est autre que la valeur des efforts reconstitués. Détail de la méthode : - Pré-localisation des efforts : La pré-localisation est effectuée en forçant à 0 les efforts sur les degrés de liberté supposés non chargés, les efforts sur les autres degrés de liberté restant inconnus : {. }. = (8 - Construction des fonctions de transfert : On applique tour à tour sur chaque point de reconstitution d effort une force de 1N à la fréquence d étude. On définit {Φ 1 }, {Φ n } les (n mouvements produits aux points de mesures par les (n efforts unitaires. On obtient la matrice [H des fonctions de transfert entre les efforts recherchés et les points de mesure, à la fréquence d étude. [. Φ = ; Φ = [ {.}. [H = [{Φ 1 },,{Φ n } (9 - Reconstitution de la distribution d efforts à partir des déplacements mesurés, selon les fonctions de transfert, sur les seuls points de reconstitution des forces {F} f : {F} f =[H -1 {D} m (10 300804 66 PI&GMP.doc
5 reconstitution d une force répartie sur plusieurs paliers vilebrequin du carter cylindre On tente de modéliser simplement les effort sur les paliers résultants d efforts unitaires appliqués sur les pistons transmis par l intermédiaire du vilebrequin. Efforts appliqués par les pistons : 2.4 21.4 26.4 25.4 8 7",.2.$325.4.$32.4.$1234.$1234 Fig.4 Modélisation d'efforts appliqués par les pistons Résultantes aux paliers :.$32.4.2.$1234.$1234 Fig.5 Résultantes aux paliers.$325.4 300804 77 PI&GMP.doc
On simule des points de mesures à l extérieur des paliers ainsi que sur l enveloppe extérieure de la structure : Fig.6 Emplacement des points de mesures simulés On tente, par les deux méthodes inverses décrites en partie IV, et avec la démarche explicité en partie III, de reconstituer les efforts sur les cinq paliers. Calculs à 300 Hz : Fréquence d'étude (Hz Incertitude introduite sur les mesures (% nombre de tirs aléatoires de mesures Emplacement des efforts Effort introduit méthode inverse simple méthode des fonctions de transfert 300 5 50 Palier 1 Palier 2 Palier 3 Palier 4 Palier 5 Amplitude (N 0,5 0,7 0 0,7 0,5 Phase ( 0-45 - 135 180 Amplitude moyenne (N 0,52 0,73 0,24 0,76 0,52 Ecart type amplitudes (% 52 62 115 59 46 Phase moyenne ( -7-28 20 117 180 Ecart type phases ( 25 48 94 66 17 Amplitude moyenne (N 0,55 0,77 0,25 0,70 0,55 Ecart type amplitudes (% 46 55 111 56 43 Phase moyenne ( -2-45 20 112 184 Ecart type phases ( 23 25 94 77 22 Tableau 1 : résultats de calculs à 300Hz Les résultats sont semblables pour les deux méthodes : - une justesse (moyenne des efforts reconstitués peu fiable : un écart d environ 20 % par rapport aux efforts introduits, - Une mauvaise stabilité : un écart type d environ 50 % sur les efforts reconstitués avec un bruit de 5% introduit sur les mesures. 300804 88 PI&GMP.doc
Calculs à 800 Hz : Fréquence d'étude (Hz Incertitude introduite sur les mesures (% nombre de tirs aléatoires de mesures Emplacement des efforts Effort introduit méthode inverse simple méthode des fonctions de transfert 800 5 50 Palier 1 Palier 2 Palier 3 Palier 4 Palier 5 Amplitude (N 0,5 0,7 0 0,7 0,5 Phase ( 0-45 - 135 180 Amplitude moyenne (N 0,50 0,70 0,02 0,70 0,50 Ecart type amplitudes (% 4 8 110 5 4 Phase moyenne ( 0-45 200 134 180 Ecart type phases ( 2 3 100 2 2 Amplitude moyenne (N 0,51 0,70 0,02 0,70 0,50 Ecart type amplitudes (% 4 8 11 6 4 Phase moyenne ( 0-45 12 134 180 Ecart type phases ( 2 4 88 2 1 Tableau 2 : résultats de calculs à 800Hz A cette fréquence, les résultats restent semblables pour les deux méthodes, mais sont cette fois très encourageants : - une bonne justesse : un écart quasi nul entre la moyenne des efforts reconstitués et les efforts introduits - une stabilité satisfaisante : un écart type d environ 5% sur la reconstitution pour un bruit de 5% introduit sur les mesures. Introduction d un effort perturbateur : La contrainte des deux méthodes décrites est bien entendu l obligation de pré-localiser les efforts. Pour tester la réaction des méthodes à l introduction d un effort non pré-localisé (effort qui n est donc pas reconstitué, on effectue le même calcul que précédemment ( à 800 Hz en introduisant un effort de 1N appliqué sur l enveloppe extérieure de la structure. Fréquence d'étude (Hz Incertitude introduite sur les mesures (% nombre de tirs aléatoires de mesures Emplacement des efforts Effort introduit méthode inverse simple méthode des fonctions de transfert 800 5 50 Palier 1 Palier 2 Palier 3 Palier 4 Palier 5 effort perturb. Amplitude (N 0,5 0,7 0 0,7 0,5 1 Phase ( 0-45 - 135 180 0 Amplitude moyenne (N 0,53 0,63 0,12 0,58 0,73 Ecart type amplitudes (% 23 21 40 9 3 Phase moyenne ( 0-51 0 122 180 Ecart type phases ( 10 8 20 2 1 Amplitude moyenne (N 0,79 1,12 0,47 0,54 1,20 Ecart type amplitudes (% 4 6 10 9 2 Phase moyenne ( 0 26 180 293 180 Ecart type phases ( 1 2 3 3 1 Tableau 3 : résultats de calculs à 800Hzavec un effort perturbateur Cette fois, les deux méthodes ne réagissent pas de la même manière : - en terme de justesse, c est la première méthode, la méthode inverse simple, qui donne le plus de satisfaction : l écart entre la moyenne des efforts reconstitués et les efforts introduits reste inférieur à 20 %, contre un écart pouvant atteindre 60 % avec la méthode aux coefficients d influence dynamiques. - En terme de stabilité, c est la seconde méthode qui reste la plus satisfaisante : un écart type de moins de 10 % contre 20% à la méthode inverse simple. 300804 99 PI&GMP.doc
Conclusion Le contexte d application du problème inverse est étroitement cadré : on ne dispose de l information sur le déplacement qu en quelques points situés sur l enveloppe extérieure de la structure du carter cylindre (contrainte imposée par les conditions de mesures, ce qui impose une pré-localisation des efforts recherchés. Deux méthodes de calcul ont été mises au point, la première, ou méthode inverse simple, extrapole les déplacements en tout point du modèle à partir des mesures et de la localisation des efforts ; la deuxième, ou méthode inverse aux coefficients d influence dynamiques, recompose le déplacement mesuré du modèle dans une base de déplacements produits par des efforts unitaires appliqués aux points de localisation des forces. Ces deux méthodes, relativement satisfaisantes face aux erreurs de mesures, donnent des résultats intéressants surtout après la première fréquence propre de la structure (600Hz. Par ailleurs, les deux méthodes peuvent s avérer complémentaires : la seconde est plus rapide et plus stable, tandis que la première est plus précise face aux efforts parasites ( introduits mais non reconstitués. Ces méthodes inverses semblent intéressantes d'après les simulation numériques réalisées. L'étape suivante est l'introduction de mesures réelles dans le problème. Références bibliographiques [1 Q. LECLERE Identification des efforts appliqués aux paliers vilebrequin d un carter cylindre de GMP par problème inverse rapport de DEA septembre 2000 [2 C. PEZERAT, J.L.GUYADER Localisation d efforts appliqués sur des structures minces ; régularisation du problème inverse Revue Française de Mécanique n 1996-1 [3 J.F. IMBERT Analyse des structures par éléments finis Cépaduès Editions 1979, Chapitre X.3.3, Méthode avec interface fixe [4 R. BRONSON Calcul matriciel Série Schaum chapitre 21, Inverses généralisées 300804 1010 PI&GMP.doc