1 Thermodynamique 1) Compressions isothermes d un gaz parfait : On considère un cylindre droit, dont la base a une surface S = 100 cm 2, fermé par un piston mobile sans frottement et de masse négligeable et plongé dans un mélange eau + glace qui maintient une température T o de 273 K. On désigne par h la hauteur de ce cylindre. Un gaz parfait se trouve enfermé dans ce cylindre. La pression extérieure est P o = 1 bar. La hauteur initiale du cylindre est h 1 = 20 cm. La paroi du cylindre est diathermane, c'est-à-dire qu elle est conductrice de la chaleur. 1) Un opérateur appuie très lentement de façon réversible sur le piston jusqu à P 2 = 10 P 1. Dans cet état d équilibre, le gaz occupe un volume V 2 à la température T 2. a) Déterminer la hauteur h 2 du cylindre dans l état final. b) Calculer le travail W et le transfert thermique Q échangés par le gaz. Calculer la masse d eau transformée. On donne h fusion = 333 kj. kg 1 la variation d enthalpie massique de fusion de l eau. c) Calculer la variation d entropie S du gaz. 2) L opérateur place sur le piston à partir de l état initial (T o, P 1 ) une masse ( P P S M ) 2 1. g a) Déterminer la hauteur h 2 du cylindre dans l état final. b) Calculer le travail W et le transfert thermique Q échangés par le gaz. Calculer la masse d eau transformée. c) Calculer la variation d entropie S du gaz. Montrer qu elle peut être considérée comme la somme de deux termes : un terme d échange et un terme de création. Que pensezvous du signe de chacun de ces termes? 2) Cycle monotherme : On considère un système constitué d un gaz parfait (γ = 1.4) n échangeant de chaleur qu avec un thermostat à la température T o = 300 K et deux états A et C du système : A : T A = T o C : T C = To P A = 10 5 Pa P C V A = 1 L V C = 2 L On envisage deux transformations du système entre l état A et l état C: a- transformation (1) : isotherme réversible de A à C ; b- transformation (2) : adiabatique réversible de A à B, puis isochore de B à C. 1) Indiquer comment réaliser pratiquement ces deux transformations. Que peut-on dire de la réversiblité de l étape B-C de la transformation (2)? 2) Placer A, B et C sur un diagramme de Clapeyron. Calculer P B et T B. 3) Calculer le travail et la chaleur reçus par le système au cours de (1) et (2). 4) Le système étant considéré comme une machine thermique fonctionnant avec une seule source de chaleur, quel est le seul chemin possible : A-B-C-A ou A-C-B-A? Vérifier que ce résultat est en accord avec le second principe appliqué aux machines monothermes. 3) Evolution d un piston adiabatique ou diatherme :
2 Un cylindre adiabatique indéformable est séparé en deux compartiments par un piston coulissant sans frottements. A l'état initial, le piston est bloqué en position médiane, le compartiment de gauche contient un gaz parfait à 2P o, V o, T o et le compartiment de droite contient un gaz parfait à P o, V o, T o. 2P o V o T o Compartiment A On libère le piston. Dans l état final d équilibre, le piston est libre. 1) La piston est adiabatique. 1a) Montrer que la transformation ne peut être réversible que si le système échange algébriquement du travail de l extérieur, et calculer ce travail. Déterminer dans l état final P f, V f et T f dans chacun des deux compartiments. 1b) Montrer que si on abandonne le piston sans le retenir, on ne peut pas déterminer l état final 2) Le piston est diatherme. Reprendre la question 1a) 4) Gaz chauffé par un résistor : Un piston P adiabatique, vertical, coulisse sans frottement dans un cylindre C adiabatique. Les deux compartiments A et B du cylindre contiennent le même gaz parfait (γ = 7/5). Les conditions R initiales dont les mêmes en A et en B : A B P o, V o, T o. A contient une résistance chauffante dans laquelle on fait passer un courant électrique de manière que le piston se déplace très lentement. On coupe le courant quand le volume de A est devenu V A = xv o. Calculer dans l état final P A, T A, P B, V B, T B ainsi que le transfert thermique Q fourni au gaz contenu dans A. 5) Capacité thermique d un gaz comprimé par un ressort: Un cylindre horizontal est séparé en deux par un piston. Le compartiment de gauche est vide de gaz et contient un ressort fixé d un côté à la paroi gauche du cylindre, de l autre à un piston. GP Le compartiment de droite contient n moles d un gaz parfait monoatomique (P o, V o, T o ) ; l l Si on fait le vide dans le compartiment de droite, le o piston entre en contact avec la paroi de droite et le ressort n est pas déformé. Définit la capacité thermique du système. Evaluer cette capacité en négligeant les capacités thermiques du cylindre, du piston et du ressort. 6) Expérience de Clément et Désormes : On considère un ballon (dont les parois sont peu conductrices de la chaleur) rempli d'un gaz parfait à une pression P 1 légèrement supérieure à la pression atmosphérique P o : P o V o T o Compartiment B
3 le liquide manométrique dans le tube en U présente une dénivellation h 1. On ouvre le robinet pendant une durée brève, la dénivellation du liquide devenant nulle. Le robinet étant fermé, on attend l'équilibre: celui-ci correspond à une dénivellation h 2 du liquide. Déterminer la relation liant h 1, h 2 et γ. On donne la loi : P B = P a + ρ liq gh 1 avec P B = P gaz et P A = P ext 7) Oscillations d une bille dans un tuyau : Une enceinte verticale de volume V o = 5 L surmontée d un tuyau de section s = 5 cm 2 et de hauteur h o = 5 cm, fermée par une bille de masse m = 10 g qui peut osciller sans frottement. L enceinte contient un gaz parfait de coefficient sous la pression au repos P o. L air extérieur est à la pression P ext = 1 bar. Les oscillations de la bille sont assez rapides et d assez faibles amplitudes pour qu on puisse considérer les transformations du gaz comme adiabatiques et réversibles. Quelle est la période des oscillations de la bille? 8) Climatiseur : Un climatiseur est une machine thermique ditherme. Elle décrit des cycles à partir de deux sources thermiques constituées d une part par l air extérieur de température invariable T ex = 298 K et d autre part par une pièce de température initiale T i (T ex = T i ) que l on désire porter à la température T f = 293 K. 1) Déterminer le travail électrique W r nécessaire à la machine dans le cas où son fonctionnement est réversible. On supposera que la pièce, dont on évalue la capacité thermique à C = 5.10 3 kj. K 1, n échange de l énergie thermique qu avec la machine. On fera les hypothèses nécessaires. Quel est le temps nécessaire à la mise en température de la pièce pour une puissance électrique de 250W? 2) La machine fonctionne de façon réversible. Il existe maintenant un flux thermique entre la pièce et l air extérieur caractérisé par une puissance thermique: Pth h( Tex T). A puissance électrique d alimentation constante quelle est la température en régime stationnaire? 9) Gaz chassé dans le vide : Un gaz, supposé parfait, s écoule de façon rapide donc adiabatique dans le vide à travers un petit orifice percé dans un récipient cylindrique. La pression du gaz restant dans le cylindre est maintenue constante par le déplacement d un piston. 1) Justifie que dans ce cas la température ne varie pas non plus. 2) en dehors du récipient, la température diminue, par suite de détente adiabatique, jusqu à une valeur très inférieure à T o, la température intérieure.
4 Evaluer la vitesse du gaz dans le jet, en fonction de T o, de la masse molaire M du gaz et de sa capacité thermique à pression constante c p. 10) Turbine à vapeur : Un fluide circule de façon permanente dans une installation comportant une chaudière, une turbine, un condenseur et une pompe d alimentation. La pompe amène le liquide saturant pris à la sortie du condenseur à la pression P C de la chaudière ; cette opération peut être considérée comme isotherme, le liquide restant à la température T F. Le liquide est alors injecté dans la chaudière où il se vaporise entièrement à la température T C ; à la sortie de la chaudière, la vapeur saturante subit une détente adiabatique réversible dans la turbine l amenant à la pression P F et à la température T F du condenseur. 1) Représenter le cycle en diagramme de Clapeyron. Chaudière B (P C, T F ) C (P C, T c ) 2) Déterminer le titre en vapeur après détente dans la turbine. En déduire l enthalpie massique du fluide à la sortie de la turbine. 3) Calculer le travail utile w u reçu par 1 kg de fluide au cours du passage dans la turbine. 4) Déterminer le transfert thermique q c fourni à 1 kg de fluide dans la chaudière. 5) Calculer le rendement de l installation en négligeant le travail nécessaire à la compression du liquide dans la pompe ( justifier cette hypothèse). Le comparer au rendement de Carnot. On donne : T C = 250 C ; T F = 20 C Enthalpie massique de vaporisation à 250 C : h C = h VC h LC = 1710 kj. kg 1 Capacité thermique massique du liquide : c = 4,19 kj. K 1. kg 1 Pression de vapeur saturante à 250 C : P C = 40. 10 5 Pa Pression de vapeur saturante à 20 C : P F = 2300 Pa Enthalpie massique de la vapeur saturante à 250 C : h VC = 2800 kj. kg 1 Enthalpie massique de la vapeur saturante à 20 C : h VF = 2540 kj. kg 1 Enthalpie massique du liquide saturant à 20 C : h LF = 84 kj. kg 1 On négligera l énergie cinétique du fluide. 11) Vaporisation ou liquéfaction? Un tube cylindrique fermé, de section, de volume V = 10 L, est divisé en deux compartiments par un piston coulissant sans frottement. On suppose que la masse M du piston Mg est telle que : Po 1bar. Le premier compartiment contient n a = 0,1 mole d air et le second n e = 1 mole d eau. L eau vapeur et l air sont assimilés à des gaz parfaits. L ensemble est en équilibre thermique à la température t = 100 C. La pression de vapeur saturante de l eau à cette température est P sat = 1 bar. 1) Le tube est vertical, l air est en bas. La température est t = 100 C. Déterminer le titre molaire x en vapeur d eau. 2) Le tube pivote de 90. Il devient horizontal. Prévoir qualitativement l évolution du titre en vapeur puis calculer le nouveau titre x. 3) Le tube pivote à nouveau de 90 toujours dans le même sens. Il devient vertical avec l air en haut. Que devient le nouveau titre x? 4) Le tube est vertical, l air est en bas. On lâche le tube dans le champ de pesanteur. Quel est le nouveau titre en vapeur d eau x? Pompe A (P F, T F ) Turbine Condenseur D (P F, T F )
5 12) Etude de la surfusion du phosphore : Dans un tube à essai isolé thermiquement, on a 30 g de phosphore en surfusion à la température t en C. On fait cesser la surfusion brusquement par addition d'un microcristal. Déterminer la température et la composition du système à l'équilibre final dans les deux cas suivants: 1) t = 40 C 2) t = 12,5 C On donne : la température de fusion du phosphore: t o = 44 C, la capacité thermique du phosphore solide: c s = 795,5 J. kg 1 K 1, la capacité thermique du phosphore liquide cl = 840 J. kg 1 K 1 ; l enthalpie massique de fusion du phosphore: h f = 2.104 J. kg 1. Annexe : quelques expressions de l entropie Les expressions S(T, p) ou S(T, V) ne sont pas à mémoriser, mais seront toujours rappelées dans les problèmes. Cas d un gaz parfait : S = ns m = ms Avec les variables (T, P) : S m = Rγ γ 1 Ln ( T T ) RLn ( P P ) + S m Avec les variables (T, V) : S m = R γ 1 Ln ( T T ) + RLn ( V V ) + S m Avec les variables (P, V) : S m = R γ 1 Ln ( P P ) + Cas d une phase condensée incompressible et indilatable Rγ γ 1 Ln ( V V ) + S m S = ns m = ms et S m ne dépend que de T : S m = C m Ln ( T T ) + S m Cas d un corps pur diphasé En notant 1 et 2 les deux phases en équilibre à (T, P): S = n 1 S m1 + n 2 S m2 = n(x 1 S m1 + x 2 S m2 ) Indications : 1) Compressions isothermes d un gaz parfait : 1) la TF étant réversibles, on peut partir de l expression δw = PdV pour le calcul du travail des forces pressantes ; pour évaluer le transfert thermique, utiliser la première loi de Joule ; le signe du transfert thermique vous dira si la glace fond ou se forme ; pour l entropie, utiliser le formulaire ; 2) l état final de cette question est le même que celui de la question précédente, mais cette fois la transformation est irréversible, à pression extérieure constante P ext = P 2 ; pour l entropie d échange, remarquer la transformation est monotherme. 2) Cycle monotherme :
6 La pente de l adiabatique réversible est plus grande que celle de l isotherme ; il faut le justifier. 3) Evolution d un piston adiabatique ou diatherme : 1a) Combien y-a-t-il de paramètres inconnus dans l état final? Si la transformation était réversible sans travail, combien y-aurait-il de relations entre ces inconnues? conclusion? 1b) si l opérateur laisse évoluer le système sans intervenir, combien y-a-t-il de relations entre les paramètres inconnus de l état final? Conclusion? 4) Gaz chauffé par un résistor : Pour le gaz du compartiment B, on peut supposer que la TF est adiabatique réversible ; pour trouver le transfert thermique Q, appliquer le premier principe au cylindre. 5) Capacité thermique d un gaz comprimé par un ressort: On définit la capacité thermique par ( E T ) V avec E = U + E p ; trouver une relation entre la pression du gaz et la force de rappel du ressort d une part, et écrire l équation d état des gaz parfaits d autre part. 6) Expérience de Clément et Désormes : 1) La TF AB est une adiabatique réversible, la TF BC est une isochore et la TF AC est une isotherme ; 2) exprimer les pentes de l isotherme et de l adiabatique; exprimer le rapport de ces pentes en fonction de. 7) Oscillations d une bille dans un tuyau : Commencer par faire une étude à l équilibre lorsque la bille ne bouge pas ce qui donne la valeur de P o ; considérer que le gaz vérifie la loi de Laplace et que le déplacement << h o. 8) Climatiseur : 1) Le transfert thermique avec la pièce se calcule facilement mais attention au choix des systèmes et aux signes ; pour trouver le transfert thermique échangée avec la source froide, on suppose que lors d un cycle, les températures varient de façon infinitésimale ; utiliser alors l égalité de Clausius pendant un cycle ; 2) prendre comme système la pièce et faire un bilan des transferts thermiques entre t et t + dt pour trouver une expression du transfert thermique avec la source chaude δq c ; cette fois il faut tenir compte des pertes thermiques avec l air extérieur ; utiliser l égalité de Clausius pour trouver une expression du transfert thermique avec la source froide δq F ; en déduire la puissance échangée P, puis la température en régime stationnaire. 9) Gaz chassé dans le vide : 1) Pour le système { gaz restant dans le cylindre} la transformation est lente et adiabatique ; on peut appliquer la loi de Laplace ; 2) Appliquer le premier principe à la masse dm d air qui sort du cylindre entre t et t + dt et supposer P o >> P 1 et T o >> T 1. 10) Turbine à vapeur : 1) Commencer par représenter les deux isothermes du problème en diagramme (P, v) ; 2) sur le cycle la variation d entropie est nulle ; calculer les entropies pour chaque étape et en déduire x V ; 3) le travail utile s identifie avec la variation d enthalpie entre C et D ; 4) le transfert thermique s identifie avec la variation d enthalpie entre B et C ; 5) h = u + Pv ce qui donne dans la pompe h~v l P = w pompe. 11) Vaporisation ou liquéfaction? 1) et 2) Faire une hypothèse. Si le système est diphasé, la fraction molaire de vapeur doit être inférieur à 1 ; 3) montrer qu on n a que du liquide. 4) Penser aux forces d inertie. 12) Etude de la surfusion du phosphore : La réaction est rapide, et n a pas le temps d avoir de transfert thermique ; de plus elle est isobare ; la variation d enthalpie est donc nulle ; trouver un chemin pour calculer cette variation d enthalpie en faisant une hypothèse sur la composition finale du phosphore.
7 Solutions : 1) Compressions isothermes d un gaz parfait : 1) h 2 = 2 cm ; W = P o Sh 1 Ln h 2 h 1 = 460 J ; Q = 460 J ; une masse m = Q L f = 1,38 g d eau fond ; S = nrln h 2 h 1 = P osh 1 T o Ln h 2 h 1 = 1,68 J. K 1 ; 2) h 2 = 2 cm ; W = P 2 (Sh 2 Sh 1 ) = 1800 J ; Q = 1800 J ; m = Q L f = 5,40 g ; il est logique de trouver m > m, la TF étant irréversible ; S = S = 1,68 J. K 1 ; S échange = Q = 6,59 J. K 1 et S T créé = S o S échange = +4,91 J. K 1 grandeur positive puisque la TF est irréversible. 2) Cycle monotherme : 1) l étape 2 est un échange de chaleur, donc TF irréversible. V A 4 PBV C nr 2) PB PA 3.8.10 Pa V ; TB To 227K ; 3) Q AB = 0 ; WAB T B TA ; C PAV A 1 nr W BC = 0 ; QBC T C TB ; cycle monotherme donc W > 0, sens A-B-C-A. 1 3) Evolution d un piston adiabatique ou diatherme : 1a) W = 0,10P o V o ; V A = 1,20V o ; V B = 0,80V o ; T A = 0,88T o ; T B = 1,17T o ; P A = P B = 1,48P o ; 1b) Il n y a pas assez de relations pour trouver l état du système ; 2) V A = 2/3V o ; V B = 4/3V o ; T A = T B = T o ; P A = P B = 3/2P o 4) Gaz chauffé par un résistor : P A = P B = (2 x) γ P o ; V B = (2 x)v o ; T A = T o x(2 x) γ ; T B = T o (2 x) 1 γ ; Q = 2 [(2 γ 1 x) γ 1]P o V o 5) Capacité thermique d un gaz comprimé par un ressort: C v = n (c v + 1 R) = 2nR 2 6) Expérience de Clément et Désormes : P1 h1 P1 P2 h1 h2 7) Oscillations d une bille dans un tuyau : On a P o = P atm + mg s ~105 Pa et T = 2π m(v o+sh o ) = 5,3. 10 3 s P o γs 8) Climatiseur : Tf 1) W C( Tf Ti ) CTexLn 212kJ ; W / P 848s ; 2) En faisant des bilans entre t et T i t + dt on trouve : δq c = CdT c h(t c T ex ) ; δq F = C T ex dt T c + h T ex (T c T c T ex ) ; c P = C dt c (1 T ex ) + h(t dt T c T ex )(1 T ex ) ; en régime stationnaire P = +h (T c T ex ) 2. c T c T c 9) Gaz chassé dans le vide : 1) P o 1 γ T o γ = cte d où T o = cte ; 2) v = 2c pt o M 10) Turbine à vapeur : 2) x V = (c l Ln T C T F + h C T C ) T F h F = 0,68 ; h D = x V h VF + (1 x V )h LF = 1754 kj. kg 1 ; 3) w u = h D h C = 1045 kj. kg 1 ; 4) q c = h c + c L (T C T F ) = 2673 kj. kg 1 ; 4)
8 w pompe ~v L (P c P F ) = 4 kj. kg 1 ; ρ = w u q C = 0,39 ; ρ Carnot = 0,44 ; la transformation CD est en réalité irréversible. 11) Vaporisation ou liquéfaction? 1) système diphasé x = 0,27 ; 2) système diphasé x = 0,22 ; 3) liquide pur ; 4) système diphasé x = 0,22. 12) Etude de la surfusion du phosphore : 1) le phosphore à l équilibre est diphasé ; t f = 44 C et m solide = mc l h f = 5 g ; 2) le phosphore est solide à l équilibre ; t f = L f+c s t fusion c l (t fusion t i ) c s = 35 C.