I. Le principe du GPS II. Un récepteur «standard» III. La précision du positionnement III. Au delà de la précision métrique

I. Le principe du GPS II. Un récepteur «standard» III. La précision du positionnement III. Au delà de la précision métrique

«ECEF» x z Méridien origine O l R T h Equateur (x,y,z) f P x M (h,l,f) Coordonnées géographiques h : altitude l : longitude f : latitude y Modèles : Sphère WGS84 NAVIGATION Hier : Sextant Chronomètre Aujourd hui et demain : Récepteur GPS

Mesure de la longitude (XVIII ème ) Positionnement global (XX ième - XXI ème siècle) Horloges mécaniques Horloges atomiques Oscillateur à quartz H4 1978 2013 John Harrison (1693-1776) 0,3 s/jour 10-7 _ 10-9 s/jour 10-2 s/jour

Date d émission t E Eclair (lumière) Tonnerre (son) Foudre Date de réception t R d = c son (t R -t E ) ; d(km) durée(s)/3

Où suis-je? d 1 S 1 X «grave» d 1 = c son (t R1 - t E1 ) d 2 s 2 X «aigu» d 2 = c son (t R2 - t E2 )

Deux stations Trois stations M d 1 + s 1 + s 3 d 1 D 1 + M s 1 c son dt R d 2 + s 2 M + s 2 Distance d - pseudo-distance D

X X s 1 M s 2 d 1 L Attention : L horloge du capitaine est décalée de dt R! d 2 Pseudo-distances mesurées : D 1 = d 1 + c son dt R et D 2 = d 2 + c son dt R Valeurs corrigées : d 1 = (L + D 1 -D 2 )/2 d 2 = (L + D 2 -D 1 )/2 dt R = (D 1 +D 2 -L)/2c son

1. Des satellites munis d horloges atomiques synchronisées 2. Les satellites connaissent leurs positions grâce à des stations de contrôle 3. Chaque satellite transmet par ondes électromagnétiques son identification, son éphéméride et la date d émission 4. Le récepteur détermine les temps de parcours, calcule ses distances aux satellites, leurs positions puis sa propre position et la date «exacte» S 1 S 2 M S 3

z «ECEF» x S 1 Onde em x S k (x k,y k,z k ) D = c(t R -t E ) = d + cdt R x M(x,y,z) x S 2 1 m 30 ns! O y x [(x-x k ) 2 +(y-y k ) 2 +(z-z k ) 2 )] 1/2 + cdt R = D k, k = 1..4 Résolution du système (x,y,z) et dt R

En tout point et 24H/24 au moins 4 satellites au dessus de l horizon et «bien» disposés «ECI» «ECEF» Trajectoires dans le repère «géocentrique» Trajectoires dans le repère «terrestre»

«ECI» 31 satellites (en 2013) 6 plans orbitaux inclinés de 55 sur l équateur et décalés de 60 entre eux 5 satellites par plan Trajectoires quasi circulaires à 20 200 km d altitude Période : 11h 58 min Vitesse : 3,9 km/s

Les lois de Kepler (Interaction de deux corps à symétrie sphérique ; M >> m) 1. La trajectoire est une ellipse dont un foyer est au centre de force 2. Le mouvement suit la loi des aires Kepler (1571-1630) 3. Le carré de la période est proportionnel au cube du demi-grand axe

La mécanique newtonienne 1. P.F.D. (référentiel galiléen) ma = F Newton (1642-1727) 2. Loi de la gravitation F GMm u 2 r =...

Mouvement sur l orbite a : demi-grand-axe ( T) M Y e : excentricité t P : date de passage au périgée apogée a b C E M(t) r O n périgée X Equation de Kepler : E - e.sine =(2p/T).(t-t P ) = M Position à t : X = a.(cose - e) Y = a(1-e 2 ) 1/2.sinE

Positionnement de l orbite z I «ECI» i : inclinaison du plan de l orbite Origine des longitudes Satellite Périgée X W : longitude du nœud ascendant w : position du périgée Plan de l orbite x I Nœud ascendant y I Plan «équatorial» (w, i, W) Mvt Terre (X,Y) (x I,y I,z I ) (x,y,z) «ECI» «ECEF»

Au delà du problème des deux corps! Des perturbations - La Terre n est pas «sphérique» - Le référentiel géocentrique n est pas exactement galiléen (champ luni-solaire) - La pression de radiation - et leurs conséquences - Les éléments de l orbite évoluent et doivent être réactualisés. - Il est nécessaire de pouvoir déterminer leur évolution entre deux réactualisations.

Satellites GPS D après le livre : «Satellites : de Kepler au GPS», Michel Capderou

y R Onde em y R V D Doppler (1853-1928) R x f R f E E x Fizeau (1819-1896) Cinématique classique (V D <<c) f R = fe 1 V c D Éloignement f, rapprochement f

Ordre de grandeur V S «GPS» R V q E «Satellite» «GPS» R T O b r S V S b Horizon V D = V.cosq Δf V = D Vcosθ = f c c Δf Vsinβ V R = = S T f c c r S f = 1575 MHz Df +/- 5 khz

Emetteur (simplifié) signal L 1 Porteuse 1575 MHz A.cos(wt) A.c(t).d(t).cos(wt) Ampli f p =1575MHz Horloge Atomique 10,23 MHz Code C/A 1,023 MHz +1-1 c(t) Modulation de phase l p =19cm Données 50 Hz +1-1 d(t) Porteuse : signal sinusoïdal f p = 1575 MHz (= f H x154) Code d identification : signal pseudo aléatoire f c = 1,023 MHz (= f H /10) Données de navigation : signal numérique f D = 50 Hz (= f H /204600)

Données 50 bits/s Code C/A 1,023 Mbits/s Code modulé par les données Porteuse 1-1 1-1 1-1 Un «bit» 20 ms 1 ms 1 ns Signal modulé (BPSK)

Code C/A : suite de «0» et de «1» pseudo-aléatoire 1-1 Ex : code n 18/36 Un «chip» 1 ms/1023 1 ms Auto-corrélation (code 32) Corrélation croisée (codes 1 et 32)

Acquisition - poursuite Récepteur (très simplifié!) Démodulateur Données f I +Df D f p +Df D H.F. Corrélateur Détecteur corrélation f I +Df D Oscillateur local Générateur code Commande délai Commande fréquence

Facteur de corrélation Décalage du code Décalage Doppler

Structure du message T S1 T S2 T S1 Corrections d horloge T S2 T S3 Ephéméride Ephéméride T S4 T S5 Almanach, modèle ionosphère, dutc Almanach TLM : télémétrie T si : temps satellite (x6s)

Préambule : 10001011 Le «temps» du satellite reconstitué TLM T s «paragraphe» T s une semaine t s Temps satellite 1 tic = 20 ms Incréments : 1 tic = 0,997 ms Données : 20 ms Code : 1 ms 1 tic = 1 ms «chips» : 0,997 ms T s

Conclusion Exemple de données de navigation (almanach) z S k (x k,y k,z k ) x Onde em M(x,y,z) O x t R t Sk y x «ECEF»

20000 km v S g 20000 km L espace-temps est relativiste! Einstein 1879-1955 Dilatation des durées Décalage gravitationnel Ionosphère Stratosphère Troposphère La propagation n a pas lieu dans le vide! Heaviside 1850-1925 Ionosphère Troposphère

A chacun son temps 2 2 VS gor T 1 1 DtR DtSat DtSat - 2 2 2c c RT d R En une journée écart de : 7-45 = - 38 ms! T Compensation au niveau des horloges des satellites 10,23000000000 MHz 10,22999999543 MHz (soit 0,00457 Hz!)

Ionosphère : 50 < z < 1000 km Milieu ionisé, dispersif Caractéristiques variables dans le temps : densité électronique N e (z, t) c Ne B(t) c où ng 1+A D D - 2 2 n f f g Correction partielle par modélisation ou par mesure bi-fréquences : f DD = D -D 2 2 1 2 2 2 1 f2 f1 ( ) L1 : f 1 = 1575 MHz, L2C : f 2 = 1227 MHz

Troposphère : 0 < z < 15 km Milieu neutre, non dispersif ( n 1,0003) Composante «sèche» : N 2,O 2,Ar,CO 2 ; humide : H 2 O c P p p c où n 1+ k + k + k n T T T H2O H2O 1 2 3 2 Modélisation de l atmosphère nécessaire (météorologie)

Source d erreur Erreur(1s, m) Horloges satellites 2,0 et éphémérides Ionosphère 7,0 Dilution de la précision Troposphère 0,2 Bruit du récepteur 0,1 Multitrajet 1,0 Erreur totale (E T ) 7,5 «1,5» «5» «HDOP» Erreur pratique (2s - 95%) = E T x HDOP Ex : 2x1,5x7,5 = 22,5 m

Du GPS au DGPS De l absolu au relatif d 1 Atmosphère x S x M 1 M 2 (référence) Données d 2 D = d + cd t + cδt ε 1 1 R1 atm,1 D = d + cd t + cδt ε 2 2 R2 atm,2 «absolu» : d + cd t =D - cδt -ε 2 R2 2 atm,2 «relatif» : 1 2 (référence) d + c( dt - dt ) = d + (D -D ) -ε +ε 2 R2 R1 1 2 1 2 1 Élimination des termes communs aux deux récepteurs! 2

Du code à la phase (mesures à «1%») Code 1 ms décalage (modulation) Résolution spatiale : 1 300 x = 3 m 100 Phase Ambigüité entière N.2p déphasage (porteuse) Résolution spatiale : 1 0,19 x =1,9 mm 100

Résolution des ambigüités entières : illustration géométrique S 1 S 2 l S 3 l x r x M 1 M 2 Double différence : Élimination des termes communs (R et S) État initial N 1 x Point fixe N 2 Evolution

Code C/A Code C/A randonnée Code P géodésie

Précision sur la vitesse (mm/an) Vers la tectonique des plaques Précision sur la vitesse relative r M 1 M 2 x x 15 mm ρ - ρ 2 1 v r = t 2 - t 1 3 mm 5 mm 10 mm D v = r 2. Δρ t -t 2 1 1 Durée entre les mesures (an)

Une constellation de satellites à 20 000 km 20 000 km des déplacements de quelques cm!

Segment spatial : «Les musiciens» Segment contrôle : «Le chef d orchestre» Segment utilisateur : «L auditeur»

Glonass : Système d origine soviétique Constellation actuelle (2013) : 24 satellites opérationnels Les satellites émettent en bande L sur des fréquences différentes (15 canaux), par contre le code pseudo-aléatoire est identique pour tous. Galileo : Système européen Constellation actuelle (2013) : 4 satellites opérationnels (ce qui a permis de tester le système, mais est évidemment insuffisant ) Le principe est analogue au GPS mais avec une modulation plus complexe :

Secondes intercalaires 16 s (augmente) 19 s (constant) t(utc) t (GPS) t (TAI) Différents temps L origine du temps GPS remonte au 6 janvier 1980 00:00 (UTC), à cette date il était calé sur le temps UTC et présentait un retard de 19 s sur le temps TAI. Le temps GPS est compté en semaine depuis cette date origine, on est actuellement en semaine 1766 (au 15/11/2013). Le décalage avec TAI est resté constant (il s agit de deux temps atomiques!) mais l écart avec UTC augmente régulièrement à cause du ralentissement de la Terre ce qui a introduit un décalage cumulé d environ 1 ms sur un jour par rapport à l échelle atomique. D où la nécessité d introduire une seconde intercalaire périodiquement. Le décalage est actuellement (en 2013) de 16 s.

Secondes intercalaires depuis 1970 L origine du temps TAI a été fixée au 1 janvier 1958 à 00:00