N CYCLE 4 - SOMMAIRE Thème Fiche Titre de la leçon Niveau Page Enchainement N1 Calculer une expression SANS parenthèses 5e 4e 3e 3-4 d'opérations N2 Calculer une expression AVEC parenthèses 5e 4e 3e 5-6 N3 Utiliser et comparer des nombres relatifs 5e 4e 3e 8-9 N4 Additionner des nombres relatifs 5e 4e 3e 10 N5 Soustraire des nombres relatifs 5e 4e 3e 11 Nombres relatifs N6 Multiplier des nombres relatifs 4e 3e 12-13 N7 Diviser des nombres relatifs 4e 3e 14 N8 Repérer et placer des nombres relatifs dans un repère 5e 4e 3e 15-16 N9 Diverses représentations d'une fraction 5e 4e 3e 18 N10 Plusieurs écritures d'une fraction 5e 4e 3e 19-20 Utiliser l'égalité des produits en croix pour N11 Fractions déterminer si des fractions sont égales ou non 5e 4e 3e 21 N12 Additionner et soustraire des fractions 4e 3e 22 N13 Multiplier des fractions 4e 3e 23 N14 Diviser des fractions 4e 3e 24 N15 Décomposer en facteurs de nombres premiers 3e 26 N16 Rendre une fraction irréductible 3e 27 Divisibilité N17 Critères de divisibilité 5e 4e 3e 28 Racines carrées Puissances N18 Déterminer si un entier est divisible ou non par un autre entier 5e 4e 3e 29 N19 Carrés parfaits et notion de racine carrée 4e 3e 30 N20 Puissance d'un nombre 4e 3e 31 N21 Calculer avec des puissances de 10 4e 3e 32 N22 Utiliser la notation scientifique 4e 3e 33 Joan MAGNIER (RIGUET), enseignante de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 1
N23 Appliquer une formule 5e 4e 3e 34 N24 Tester une égalité 5e 4e 3e 35-36 N25 Réduire une expression littérale 5e 4e 3e 37 N26 Factoriser une expression en utilisant la distributivité simple 4e 3e 38 Calcul littéral Développer une expression en utilisant la N27 distributivité simple 4e 3e 39 N28 Développer une expression en utilisant la double distributivité 4e 3e 40 N29 Développer en utilisant les identités remarquables *Hors programme 41 N30 Factoriser en utilisant les identités remarquables *Hors programme 42 N31 Modéliser un problème par une équation 4e 3e 43-44 Résoudre des problèmes du 1er degré de façon N32 Equations exacte ou approchée 4e 3e 45 N33 Résoudre une équation du premier degré 3e 46 N34 Résoudre une équation produit nul *Hors programme 47-48 Inéquations N35 Résoudre une inéquation du premier degré 3e 49 *Hors-programme : cela signifie que la capacité n'est pas attendue en fin de cycle mais peut être abordée avec certains élèves ou dans le cadre d'une activité découverte. Joan MAGNIER (RIGUET), enseignante de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 2
5e 4e 3e ENCHAINEMENT D'OPÉRATIONS Calculer une expression SANS parenthèses N1-Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes N1 Ce qu'il faut apprendre et savoir reformuler à l'écrit et à l'oral! 1- Règles pour calculer une expression sans parenthèses Règle n 1 : En l absence de parenthèses, on effectue les additions et les soustractions de la gauche vers la droite. Règle n 2 : En l absence de parenthèses, on effectue les multiplications et les divisions de la gauche vers la droite. 2- Méthode : Calculer une expression sans parenthèses (exercice résolu) As-tu bien compris? Vérifie tes connaissances À LA MAISON Effectue les calculs suivants en ligne et en respectant les priorités des opérations. Joan MAGNIER (RIGUET), enseignante de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 3
Ce qu'il faut apprendre et savoir reformuler à l'écrit et à l'oral! 4- Règles pour calculer une expression sans parenthèses avec des priorités Règle n 3 : La multiplication est effectuée avant l addition et la soustraction! Règle n 4 : La division aussi! Ce qu'il faut savoir refaire dans les exercices! 3- Méthode : calculer une expression avec des priorités (exercice résolu) As-tu bien compris? Vérifie tes connaissances À LA MAISON Effectue les calculs suivants en ligne et en respectant les priorités des opérations. Joan MAGNIER (RIGUET), enseignante de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 4
5e 4e 3e ENCHAINEMENT D'OPÉRATIONS Calculer une expression avec parenthèses N1-Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes N2 1- Exemples La place des parenthèses a une importance, elles indiquent une priorité. Règle n 5 : On commence par effectuer les calculs entre parenthèses. Ce qu'il faut savoir refaire dans les exercices! 2-Méthode : calculer une expression avec des parenthèses (exercice résolu) As-tu bien compris? Vérifie tes connaissances À LA MAISON Effectue les calculs suivants en ligne et en respectant les priorités des opérations. Joan MAGNIER (RIGUET), enseignante de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 5
3- Parenthèses doubles Règle n 6 : On commence par effectuer les parenthèses les plus intérieures. Ce qu'il faut savoir refaire dans les exercices! 4-Méthode : calculer une expression avec des parenthèses doubles (exercice résolu) Calculer As-tu bien compris? Vérifie tes connaissances À LA MAISON Effectue les calculs suivants en ligne et en respectant les priorités des opérations. Joan MAGNIER (RIGUET), enseignante de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 6
Moyen mnémotechnique pour retenir l'ordre des opérations Méthode en entonnoir pour organiser les calculs Joan MAGNIER (RIGUET), enseignante de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 7
5e 4e 3e NOMBRES REALTIFS Utiliser et comparer des nombres relatifs N1-Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes N3 1- Qu'est ce qu'un nombre relatif? 1) Exemples de nombres positifs : 14 ans ; 25 mètres ; 2) Exemples de nombres négatifs : 287 : naissance d Archimède : 287 ans avant la naissance de J.C. 3 : température de 3 en dessous de 0 Remarque : Le signe + n est pas toujours noté : (+14) s écrit 14 ou (+25) s écrit 25 3) On appelle nombre relatif, tout nombre négatif ou positif. 2- Représentation des nombres relatifs sur une droite graduée 3- Opposé d'un nombre On obtient l opposé d un nombre en changeant son signe. Exemples : Remarque : Deux points dont les abscisses sont opposées sont situés à égale distance de l origine. Joan MAGNIER (RIGUET), enseignante de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 8
Ce qu'il faut savoir refaire dans les exercices! 4- Comparaison des nombres relatifs Rappel : Ordre croissant (comme croître) : du plus petit au plus grand. Ordre décroissant: du plus grand au plus petit. Méthode : comparer des nombres relatifs (exercice résolu) 1) Comparer : a) 2,5 et 5,5 b) 1,8 et (-3,2) c) (-1) et (-2,5) 2) Ranger les nombres suivants dans l ordre croissant : (-4,03) ; 2,5 ; (-4,3) ; (-3,4) ; 2,9 1) a) 2,5 < 5,5 b) 1,8 > -3,2 c) -1 > -2,5 Pour des nombres négatifs, la plus grande partie numérique donne le nombre le plus petit! 2) -4,3 < -4,03 < -3,4 < 2,5 < 2,9 As-tu bien compris? Vérifie tes connaissances À LA MAISON A- Compléter avec les symboles <, > ou = B- Droite-graduée 1. Donner l'abscisses des points A et B 2. Placer les points G et H d'abscisses respectives -3,5 et 4. Joan MAGNIER (RIGUET), enseignante de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 9
5e 4e 3e NOMBRES RELATIFS Additionner des nombres relatifs N1-Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes N4 Pour ADDITIONNER deux nombres relatifs: Ce qu'il faut savoir refaire dans les exercices! Les nombres ont le MÊME SIGNE LES NOMBRES SONT DE SIGNES CONTRAIRES http://mathix.org/linux /archives/4469 As-tu bien compris? Vérifie tes connaissances À LA MAISON Effectue les calculs ci-dessous : Joan MAGNIER (RIGUET), enseignante de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 10
5e 4e 3e NOMBRES RELATIFS Soustraire des nombres relatifs N1-Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes N5 1- Opposé d'un nombre Deux nombres sont opposés si leur somme est égale à 0. Exemple : 3 et (- 3) sont opposés car 3 + (-3) = 0 Ce qu'il faut apprendre et savoir reformuler à l'oral et à l'écrit! 2- Soustraire des nombres relatifs Soustraire un nombre revient à additionner son opposé. Ce qu'il faut savoir refaire dans les exercices! 3- Méthode : Soustraire des nombres relatifs (+ 5) (+6) (-7) (-1) = (+5) + opposé de (+6) = (-7) + opposé de (-1) = (+5) + (-6) = (-7) + (+1) = (-1) = (-6) As-tu bien compris? Vérifie tes connaissances À LA MAISON Effectue les calculs ci-dessous en détaillant les étapes : Joan MAGNIER (RIGUET), enseignante de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 11
4e 3e NOMBRES RELATIFS Multiplier des nombres relatifs N1-Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes N6 1- Multiplier deux nombres relatifs Règle des signes : Le produit de deux nombres relatifs est : POSITIF si ces deux nombres sont de même signe NÉGATIF si ces deux nombres sont de signes contraires. Exemples : 8 7 = 56 (-8) (-7) = 56 1 5,9 = 5,9 8 (-7) = - 56 (-8) 7 = - 56-4,6 1 = - 4,6 As-tu bien compris? Vérifie tes connaissances À LA MAISON Calculer : A = 4 x (- 6) B = (- 2) x (- 8) C = (+ 2) x (- 5) D = (- 3) x (+ 8) E = 100 x (- 0,1) F = (- 0,1) x (- 5,5) G = 4 x (- 0,01) Compléter les égalités ci-dessous : 7 x = - 56 (- 8) x = 64 (- 5) x = 35 6 x = - 2,4 Joan MAGNIER (RIGUET), enseignante de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 12
2- Multiplier plusieurs nombres relatifs Règle des signes : Le produit de plusieurs nombres relatifs est : POSITIF si le nombre de facteurs NÉGATIFS est PAIR NÉGATIF si le nombre de facteurs NEGATIFS est IMPAIR Exemples : As-tu bien compris? Vérifie tes connaissances À LA MAISON Donner le signe des expressions suivantes : A = (- 1) x (- 1) x (- 1) x (- 1) x (- 1) x (- 1) x (- 1) x (- 1) x (- 1) x (- 1) x (- 1) x (- 1) B = (- 8,4) x 7,8 x 3,2 x (- 2,9) x (- 4,9) x (- 9,9) x (- 2,5) Joan MAGNIER (RIGUET), enseignante de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 13
4e 3e NOMBRES RELATIFS Diviser des nombres relatifs N1-Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes N7 Règle des signes : Le quotient de deux nombres relatifs est : POSITIF si ces deux nombres sont de même signe NÉGATIF si ces deux nombres sont de signes contraires. As-tu bien compris? Vérifie tes connaissances À LA MAISON Parmi les nombres suivants, entoure les nombres négatifs : Calculer les expressions suivantes en détaillant toutes les étapes: Joan MAGNIER (RIGUET), enseignante de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 14
5e 4e 3e NOMBRES RELATIFS Repérer et placer un point dans un repère G1- Se repérer dans l'espace N8 1- Un repère orthogonal 2- Se repérer Pour le point A : Sur l axe des abscisses, on lit : 3 Sur l axe des ordonnées, on lit : 2 L abscisse de A est : 3 L ordonnée de A est : 2 Les coordonnées de A sont : 3 et 2 On écrit : A ( 3 ; 2 ) On note d abord l abscisse ensuite l ordonnée. Joan MAGNIER (RIGUET), enseignante de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 15
As-tu bien compris? Vérifie tes connaissances À LA MAISON Donner les coordonnées des points A; B; C; D et E. Joan MAGNIER (RIGUET), enseignante de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 16
source : http://www.chrismath.fr Joan MAGNIER (RIGUET), enseignante de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 17
5e 4e 3e FRACTIONS Différentes représentations d'une fraction N1-Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes N9 1- Comme expression d'une proportion a) Ce gâteau est partagé en 4 parts EGALES. Je mange 3 parts sur 4 les 3 quarts les du gâteau b) Pour représenter la fraction il vaut mieux passer à une représentation linéaire sur une droite graduée : 2- Comme quotient Joan MAGNIER (RIGUET), enseignante de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 18
5e 4e 3e FRACTIONS Plusieurs écritures d'une fraction N1-Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes N10 1- Fractions égales Les trois parts bleu, verte et rouge représentent des surfaces égales. On ne change pas une fraction quand on MULTIPLIE son numérateur et son dénominateur PAR UN MEME NOMBRE non nul. 2- Méthode : trouver des fractions égales (exercice résolu) Joan MAGNIER (RIGUET), enseignante de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 19
3- Comment simplifier une fraction? On ne change pas une fraction quand on DIVISE son numérateur et son dénominateur PAR UN MÊME NOMBRE. 3- Méthode : simplifier une fraction (exercice résolu) As-tu bien compris? Vérifie tes connaissances À LA MAISON Joan MAGNIER (RIGUET), enseignante de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 20
5e 4e 3e FRACTIONS Utiliser l'égalité des produits en croix pour vérifier si des fractions sont égales ou non N1-Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes N11 Propriété : Dire que revient à dire que a d = b c Remarque : Cette propriété porte le nom de produit en croix car elle consiste à faire des produits en croix sur les deux fractions égales. Exemple : Méthode : appliquer les produits en croix (exercice résolu) As-tu bien compris? Vérifie tes connaissances À LA MAISON Joan MAGNIER (RIGUET), enseignante de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 21
4e 3e FRACTIONS Additionner et soustraire des fractions N1-Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes N12 Pour ajouter (ou soustraire) deux fractions, il faut les réduire au même dénominateur. Exemples : As-tu bien compris? Vérifie tes connaissances À LA MAISON Joan MAGNIER (RIGUET), enseignante de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 22
4e 3e FRACTIONS Multiplier des fractions N1-Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes N13 Ce qu'il faut savoir refaire dans les exercices! Pour multiplier deux fractions, il suffit de multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Exemples : As-tu bien compris? Vérifie tes connaissances Joan MAGNIER (RIGUET), enseignante de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 23
4e 3e FRACTIONS Diviser deux fractions N1-Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes N14 Ce qu'il savoir refaire dans les exercices! Pour diviser deux fractions revient à multiplier la première par l'inverse de la deuxième. Exemple : As-tu bien compris? Vérifie tes connaissances Joan MAGNIER (RIGUET), enseignante de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 24
source : http://mathelot.blogspot.fr/2013 Joan MAGNIER (RIGUET), enseignante de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 25
3e DIVISIBILITÉ Décomposer un nombre en produit de facteurs premiers N2-Comprendre et utiliser les notions de divisibilité et de nombres premiers N15 1- Définition Un nombre est premier s il possède exactement deux diviseurs qui sont 1 et lui-même. Exemples : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, Cette liste est infinie. Remarque : Le nombre 1 n est pas premier car il n a qu un seul diviseur. 2- Méthode : décomposer un nombre en produit de facteurs premiers (exercice résolu) Décomposer 300 en produits de facteurs premiers. Pour le faire, il est important de bien connaître le début de la liste des nombres premiers : 2,,, 7, 11, 1, On commence pas tester si 300 est divisible par 2 (1er nombre premier). La réponse est «oui» car 300 se termine par un chiffre pair. Et on a : 300 : 2 = 150 On recommence, en testant si 150 est divisible par 2. La réponse est «oui» et 150 : 2 = 75 On recommence, en testant si 75 est divisible par 2. La réponse est «non»! On teste alors le nombre premier suivant dans la liste. Est-ce que 75 est divisible par 3. La réponse est «oui» car 7+5=12 est divisible par 3. Et on a : 75 : 3 = 25 On recommence, en testant si 25 est divisible par 3. La réponse est «non»! On teste alors le nombre premier suivant dans la liste. Est-ce que 25 est divisible par 5. La réponse est «oui» et on a 25 : 5 = 5. On recommence, en testant si 5 est divisible par 5. La réponse est «oui» et on a 5 : 5 = 1. C est fini, on trouve 1! La décomposition en facteurs premiers de 300 se lit dans la colonne de droite. Décomposer en facteurs premiers avec la calculatrice CASIO collège Décomposer en facteurs premiers avec la calculatrice TI collège écrire le nombre puis écrire le nombre puis Joan MAGNIER (RIGUET), enseignante de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 26
3e DIVISIBILITÉ Rendre une fraction irréductible N2-Comprendre et utiliser les notions de divisibilité et de nombres premiers N16 1- Définition On dit qu une fraction est irréductible, lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux. 2- Méthode : rendre une fraction irréductible (exercice résolu) Rendre une fraction irréductible avec la calculatrice CASIO collège Rendre une fraction irréductible avec la calculatrice TI collège puis puis Joan MAGNIER (RIGUET), enseignante de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 27
5e 4e 3e DIVISIBILITÉ Critères de divisibilité N2-Comprendre et utiliser les notions de divisibilité et de nombres premiers N17 Il n'est pas toujours nécessaire de faire une division pour savoir si un nombre est divisible par un autre. On peut utiliser des techniques simples appelés "critères de divisibilité". As-tu bien compris? Vérifie tes connaissances Compléter les cases du tableau suivant avec «oui» ou «non», sans poser d opération (et sans calculatrice): Joan MAGNIER (RIGUET), enseignante de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 28
5e 4e 3e DIVISIBILITE Déterminer si un nombre entier est divisible ou non N2-Comprendre et utiliser les notions de divisibilité et de nombres premiers N18 1- Division euclidienne a et b désignent deux nombres entiers positifs avec b 0. Effectuer la division euclidienne de a par b signifie déterminer deux nombres entiers positifs q et r tels que : a = b q r et r < b q s appelle le quotient entier et r s appelle le reste. Déterminer le reste d'une division avec SCRATCH EXEMPLE On a : 155 = 4 x 38 + 3 et 3 < 4 Dans la division euclidienne de 155 par 4, le quotient entier est 38 et le reste est 3. Déterminer le reste d'une division avec le tableur = MOD ( ; ) Déterminer le quotient et le reste d'une division avec la calculatrice CASIO collège écrire le dividende Déterminer le quotient et le reste d'une division avec la calculatrice TI collège écrire le dividende puis puis écrire le diviseur puis puis écrire le diviseur 2- Diviseurs d'un nombre a et b désignent deux nombres entiers positifs avec b 0. On dit que b est un diviseur de a ou que a est divisible par b si le reste de la division euclidienne de a par b est nul. b est un diviseur de a signifie qu il existe un entier k tel que a = b k et de b) k (a est dans la table de multiplication de EXEMPLE 2 est un diviseur de 18 car 18 est dans la table de 2 (18 = 2 x 9) n est pas un diviseur de 8 car 8 n est pas dans la table de car 5 x 9 = 45 et 5 x 10 = 50 13 est il un diviseur de 8021? Le reste de la division euclidienne est nul donc 13 est un diviseur de 8021 8021 = 13 x 617 REMARQUES : Tous les nombres entiers admettent au moins deux diviseurs évidents : 1 et le nombre luimême. Joan MAGNIER (RIGUET), enseignante de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 29
4e 3e RACINE CARREE Racines Carrées et Carrés Parfaits N1-Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes N19 1- Exemples 2- Définition Soit un nombre positif. On appelle racine carrée de le nombre dont le carré est égal à. On le note. Ce qu'il faut apprendre par cœur! 3- Méthode : calculer la racine carré d'un nombre (exercice résolu) Dans chaque cas, trouver le nombre positif qui vérifie l'égalité: Calculer la racine carré d'un nombre avec la calculatrice CASIO collège Calculer la racine carré d'un nombre avec SCRATCH Calculer la racine carré d'un nombre avec la calculatrice TI collège Joan MAGNIER (RIGUET), enseignante de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 30
PUISSANCES NOMBRES et CALCULS Puissances d'un nombre 4e 3e N20 N1-Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes 1- Définition De façon générale : Cas particuliers a1 = a pour tout nombre a a0 = 1 pour tout nombre a 0n = 0 pour tout nombre entier n 1n = 1 pour tout nombre entier n avec Ecrire une puissance avec la calculatrice CASIO facteurs Ecrire une puissance avec la calculatrice TI Attention aux signes! Ne pas confondre : (-3)4 = (-3) x (-3) x (-3) x (-3) = 81 et - 34 = - 3 x 3 x 3 x 3 = - 81 2- Puissance d'exposant négatif On dit que : est l inverse de a. De façon générale : Méthode : Utiliser les puissances d exposant négatif Ecrire les quotients sous la forme Joan MAGNIER (RIGUET), enseignante de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 31
4e 3e PUISSANCES Calculer avec les puissances de 10 N1-Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes N21 1- Quelques formules 2- Méthode : Appliquer les formules sur les puissances de 10 (exercice résolu) Ecrire sous la forme 10 n ou 10 -n : 3- Méthode : Appliquer les formules et donner le résultat sous forme scientifique (exercice résolu) Donner l écriture scientifique des nombres : Joan MAGNIER (RIGUET), enseignante de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 32
4e 3e PUISSANCES Utiliser la notation scientifique N1-Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes N22 1- Définition 2- Méthode : écrire un nombre sous sa forme scientifique (exercice résolu) Donner la notation scientifique des nombres suivants : A = 8 300 000 B = 0, 000 000 456 C = 0,002 31 D = 147,3 x 10 5 E = 0,0125 x 10-2 Compter le nombre de déplacements de la virgule A = 8 300 000 = 8,3 x 10 6 B = 0, 000 000 456 = 4,56 x 10-7 C = 0,002 31 = 2,31 x 10-3 D = 147,3 x 10 5 = 1,473 x 10 7 E = 0,0125 x 10-2 = 1,25 x 10-4 Ecrire un nombre sous forme sientifique avec la calculatrice CASIO collège Ecrire un nombre sous forme sientifique avec la calculatrice TI collège As-tu bien compris? Vérifie tes connaissances Compléter le tableau en donnant l'écriture scientifique de chaque nombre ci-dessous. Joan MAGNIER (RIGUET), enseignante de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 33
5e 4e 3e N3-Utiliser le calcul littéral CALCUL LITTERAL Appliquer une formule N23 Méthode : appliquer une formule (exercice résolu) On considère les deux frises L 1 et L 2 On a: L 1 = 6 x a et L 2 = 2 x a + 9 Calculer L 1 et L 2 lorsque a = 4 cm. Ici, a est connu, on peut donc remplacer a par 4 dans les deux formules : L 1 = 6 x a = 6 x 4 = 24 cm L 2 = 2 x a + 9 = 2 x 4 + 9 = 8 + 9 = 17 cm As-tu bien compris? Vérifie tes connaissances Calculer les expressions ci-dessous pour ; ; et Joan MAGNIER (RIGUET), enseignante de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 34
5e 4e 3e N3-Utiliser le calcul littéral CALCUL LITTERAL Tester une égalité N24 1- Définition Une égalité est une expression composée de deux membres séparés par le signe d égalité. Les deux membres d une égalité doivent être de valeurs équivalentes. Exemples : 3 + 5 = 4 x 2 2 + 4 = - 1 2- Méthode : tester une égalité (exercice résolu) On écrit séparément les deux membres. On remplace chaque lettre par sa valeur numérique. On calcule chaque membre puis on compare leurs résultats. S ils sont égaux, l égalité est vraie S ils sont différents, l égalité est fausse. Exemple 1 (5ème) Exemple 2 (4ème, 3ème) Joan MAGNIER (RIGUET), enseignante de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 35
As-tu bien compris? Vérifie tes connaissances Tester l'égalité pour Tester l'égalité pour et 3- Méthode : tester une égalité avec la calculatrice CASIO (exercice résolu) EXEMPLE : 5 est-il solution de l'inéquation 3x + 4 = 5x + 3? Joan MAGNIER (RIGUET), enseignante de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 36
CALCUL LITTERAL NOMBRES et CALCULS Réduire une expression 5e 4e 3e N3-Utiliser le calcul littéral N25 1- Simplification d'écriture On peut supprimer le symbole "x" entre un nombre et une lettre ou entre deux lettres. Exemples : s écrit s écrit s écrit s écrit Attention : - 2 x ne s écrit pas 2! - on écrit 2a, on n écrit pas a2 Par convention, on place le nombre avant la lettre. Nombres au carré, nombres au cube : Exemples : s écrit 3² s écrit 6² s écrit 53 s écrit ² et se lit «au carré». s écrit 3 et se lit «au cube». 2- Réduire une expression Pour réduire une expression on rassemble et on calcule : les termes constants (nombres sans lettre à côté) puis les termes en puis les termes en puis puis les termes en Exemple: Joan MAGNIER (RIGUET), enseignante de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 37
4e 3e CALCUL LITTERAL Factoriser une expression en utilisant la distributivité simple N3-Utiliser le calcul littéral N26 Ce qu'il faut comprendre! Factoriser une expression, c est transformer une somme ou une différence en produit. Méthode : FACTORISER en utilisant la distributivité simple (exercice résolu) Factoriser les expressions suivantes puis les simplifier le plus possible : Joan MAGNIER (RIGUET), enseignante de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 38
4e 3e Ce qu'il faut comprendre! CALCUL LITTERAL Développer une expression en utilisant la distributivité simple N3-Utiliser le calcul littéral N27 1 Développer une expression, c est transformer un produit en somme ou différence. Méthode : DEVELOPPER en utilisant la distributivité simple (exercice résolu) Développer les expressions suivantes : Joan MAGNIER (RIGUET), enseignante de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 39
3e CALCUL LITTERAL Développer une expression en utilisant la double distributivité N3-Utiliser le calcul littéral N28 1- Double distributivité 2- Méthode : développer en utilisant la double distributivité (exercice résolu) Exemples: Joan MAGNIER (RIGUET), enseignante de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 40
Hors Programme CALCUL LITTERAL Développer une expression en utilisant les identités remarquables Compétence Hors programme N29 1- Les 3 identités remarquables 2- Méthode : développer en utilisant les identités remarquables (exercice résolu) Exemples: Développer chaque expression en utilisant la bonne identité remarquable Joan MAGNIER (RIGUET), enseignante de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 41
Hors programme Compétence Hors programme CALCUL LITTERAL Factoriser en utilisant les identités remarquables N30 1- Les 3 identités remarquables 2- Méthode : Factoriser en utilisant les identités remarquables (exercice résolu) Exemples: Factoriser les expressions ci-dessous en utilisant les identités remarquables a) b) c) a) b) c) Joan MAGNIER (RIGUET), enseignante de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 42
4e 3e EQUATIONS Modéliser un problème par une équation N3-Utiliser le calcul littéral N31 Ce qu'il faut savoir refaire dans les exercices! Les étapes à suivre pour résoudre un problème avec une équation 1. Vérifier que l'on comprend le texte. 2. Faire un schéma correspondant au problème, SI BESOIN 3. Choisir les inconnues, en général le nombre correspondant à ce qui est demandé dans la question fait l'affaire. 4. Traduire le texte par des écritures mathématiques. 5. Résoudre la ou les équations obtenues 6. Vérifier que le résultat est vraisemblable 7. Répondre à la question posée. Exemple : Le collège Picasso a acheté 25 exemplaires d'un livre. Pour le même montant, le collège Renoir achète le même livre 1,20 de moins, ce qui lui permet d'en acheter de plus. Quel est le prix d'un livre acheté par le collège Picasso? Choix de l'inconnue : soit p le prix d'un livre acheté par le collège Picasso Mise en équation (traduction du texte par des écritures mathématiques) le collège Picasso paie 25 p le collège Renoir paie 30 (p-1,2) les deux collèges dépensent la même somme, donc 25 p = 30 (p-1,2) Résolution de l'équation: 25p = 30p - 36 25p -30p = 30p -36-30p -5p = -36 p = -36 (-5) p = 7,2 Vérification : 25 x 7,2 = 180 30 x 7,2-36 = 216-36 = 180 donc 7,2 est la solution de l'équation Conclusion : Le collège Picasso paie les livres 7,2. Joan MAGNIER (RIGUET), enseignante de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 43
Petit Guide pour la mise en équation Étape 1 : quel nombre dois je trouver pour répondre à la question? Étape 2 : Quelle égalité le texte fournit-il et quels sont les nombres inconnus qui interviennent dans cette égalité Étape 3 : Je choisis parmi ces nombres celui que je vais prendre comme inconnue Étape 4 : Je traduis les deux membres de l'égalité par une expression algébrique (des chiffres et des lettres) utilisant l'inconnue. As-tu bien compris? Vérifie tes connaissances Paul calcule que s'il achète deux croissants et une brioche à 1,8, il dépense 0, 7 de plus que s'il achète quatre croissants. Choix de l'inconnue Mise en équation Résolution de l'équation Vérification Conclusion Joan MAGNIER (RIGUET), enseignante de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 44
4e 3e EQUATIONS Résoudre des problèmes du 1er degré de façon exacte ou approchée N3-Utiliser le calcul littéral N32 Problème : Une carte d abonnement pour le cinéma coûte 10. Avec cette carte, le prix d une entrée est de. Question : Avec la carte d abonnement, un client du cinéma a payé 2 en tout. Combien d entrées a-t-il achetées? Méthode n 1 : par essais successifs On calcule le prix en fonction du nombre d'entrées 1 entrée : 10 + 1 x 4 =1 2 entrées : 10 + 2 x 4 =18 3 entrées : 10 + 3 x 4 =22 4 entrées : 10 + 4 x 4 =26 5 entrées : 10 + 5 x 4 = 0 6 entrées : 10 + 6 x 4 = 7 entrées : 10 + 7 x 4 = 8 8 entrées : 10 + 8 x 4 = 2 Il a donc acheté 8 entrées Méthode n 2 : avec le tableur dans la case B1, on entre la formule de calcul =10+ 4*A2 puis on étire la formule Joan MAGNIER (RIGUET), enseignante de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 45
EQUATIONS NOMBRES et CALCULS Résoudre une équation du premier degré 3e N3-Utiliser le calcul littéral N33 Ce qu'il faut comprendre! But : Trouver x! C'est-à-dire : isoler nombre dans l équation pour arriver à : Pour obtenir «= nombre», on considèrera que la famille des x habite à gauche de la «barrière =» et la famille des nombres habite à droite. Résoudre une équation, c est clore deux petites réceptions où se sont réunis des et des nombres. Une se passe chez les et l autre chez les nombres. La fête est finie, chacun rentre chez soi. On sera ainsi menés à effectuer des mouvements d un côté à l autre de la «barrière =» On peut additionner et soustraire de chaque côté de la «barrière =». On peut multiplier et diviser de chaque côté de la «barrière =» 2- Méthode : résoudre une équation (exercice résolu) As-tu bien compris? Vérifie tes connaissances Résoudre l'équation Joan MAGNIER (RIGUET), enseignante de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 46
CALCUL LITTERAL NOMBRES et CALCULS Hors Programme Résoudre des équations produits nuls Compétence Hors Programme N34 Ce qu'il faut comprendre! 1- Vocabulaire Les équations produits nuls sont des équations du type : (Expression 1) (Expression 2) = 0 Exemples : Contre- exemples : est une équation produit nul. sont des équations produits nuls. n est pas une équation produit nul (à cause du moins). n est pas une équation produit nul (à cause du 6). 2- Règles Un produit est nul si, et seulement si, un des facteurs au moins est égal à zéro». Autrement dit, a b = 0 si, et seulement si, a =0 ou b = 0. 3- Méthode : Résoudre une équation produit nul (exercice résolu) Exemples : Résoudre les équations suivantes Solutions : a) L équation a deux solutions : et 2,5 Joan MAGNIER (RIGUET), enseignante de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 47
3- Méthode : Résoudre une équation produit nul (exercice résolu suite) Exemples : Résoudre les équations suivantes Solutions : b) L équation a deux solutions : et 0,5 c) L équation a une solution : As-tu bien compris? Vérifie tes connaissances Résoudre les équations produits nuls suivantes : Joan MAGNIER (RIGUET), enseignante de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 48
3e INEQUATIONS Résoudre une inéquation du premier degré N3-Utiliser le calcul littéral N35 Ce qu'il faut comprendre! 1- Définition Une inéquation est une inégalité qui contient une inconnue. Résoudre une inéquation, c est trouver toutes les valeurs de qui vérifient cette inégalité. Il s agit d un ensemble de valeurs. 2- Méthode : résoudre une inéquation (exercice résolu) As-tu bien compris? Vérifie tes connaissances Joan MAGNIER (RIGUET), enseignante de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 49