Modélisation stochastique des données à partir d essais sur matériaux Pr. Denys Breysse Université Bordeaux 1
Hasard cause fictive de ce qui arrive sans raison apparente ou explicable (Petit Robert). Ce qui relève du hasard est considéré comme hors de portée de la conscience humaine, imprévisible. La question de l existence intrinsèque du hasard et de la nature réelle du monde (déterministe ou non déterministe) demeure une question de philosophie des sciences, traitée par de nombreux auteurs comme Henri Poincaré ou Karl Popper («Plaidoyer pour l indéterminisme»). marche au hasard (mouvement brownien)
Deux termes souvent pris pour synonymes Alea - aléatoire : en latin, «aleator» était le joueur de dé. On qualifie d «expérience aléatoire une épreuve dans laquelle la répétition d un même protocole conduit à différents résultats Stochastique : «stochastein», c'est viser et atteindre le but au javelot, sans calcul, mais avec une sûreté inexplicable. C'est le «jeter juste», comme on dit d'un peintre qu'il a su "attraper le ton juste".
Caractère stochastique des propriétés des matériaux manifestation expérimentale : dispersion des propriétés - est-on capable d estimer les propriétés (moyenne, dispersion, valeurs «risquées»)? - avec quel degré de précision? - peut-on «prédire» le comportement du composant/ouvrage qui découle de ces propriétés?
1. Approche empirique globale Wallodi Weibull (1887-1979) : mise en évidence de la distribution statistique de Weibull aciers suédois de Bofors, fibres de coton hindou, graines de phaseolus vulgaris, adultes mâles des Iles Britanniques si X > x o p (X < x) = 1 exp ( - (x-x o ) m / x 1 ) "En Statistisk Teori För Utmattmingshallfastheten", 1948 Cas particulier x o = 0 p (X < x) = 1 exp ( - x m / x 1 )
1 0,9 0,8 0,7 m = 6 m = 4 m = 2 X o = 10, X 1 = 5 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 9 10 11 12 13 14 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 x1 = 2 x1 = 5 x1 = 15 X o = 10, m = 5 0 9 10 11 12 13 14 Une loi «en S» qui a le mérite de bien «coller» à toute courbe en S par ajustement des trois paramètres. Ajustement aisé dans le cas où x o = 0
Exploitation de 30 mesures générées selon Weibull avec X o = 0, X 1 = 5, m = 2 y = 1,9097x - 1,5107 R 2 = 0,9305 4 3 2 1 0-1,5-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5-1 -2-3 -4-5 ln (ln (1 / (1 pf)) = m ln x ln X 1 X 1 = 4.53, m = 1.91
En 1951, relation établie entre la distribution de Weibull et la résistance d une chaîne de N maillons (weakest link concept) justification mécanique à une distribution empirique nombreuses applications en fiabilité des systèmes, en mécanique de la rupture des matériaux fragiles Développements en micro-mécanique aléatoire (distribution de tailles/d orientations de défauts)
2. Estimation des propriétés On dispose de n valeurs, «tirées au hasard» dans une population dont on ne connaît pas la distribution Hypothèses sur la forme de la distribution (gaussien, log-normal, Weibull ) Lois d estimation (théorie de l échantillonnage)
Exemple : simulations d un échantillon de n valeurs, selon une loi gaussienne (10, 2) 12 12 10 10 8 moyenne 8 moyenne 6 variance 6 variance 4 4 2 2 0 1 10 100 1000 10000 0 1 10 100 1000 10000 Convergence lente Les valeurs obtenues pour n fini ne sont que des approximations des valeurs vraies
Distribution des moyenne et variance pour 40 séries de 10 mesures 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 moyenne estimée (40 séries de 10 mesures) variance estimée (40 séries de 10 mesures) 0,2 0,1 0 0 2 4 6 8 10 12
Estimation de la moyenne Si x suit une loi normale de variance σ² connue [ X z α/2 σ/ n-1 µ X + z α/2 σ/ n-1 ] au seuil 1 α où X est la moyenne estimée et où σ² est la variance connue Si x suit une loi normale de variance inconnue [ X t α/2 s/ n-1 µ X + t α/2 s/ n-1 ] au seuil 1 α où X est la moyenne estimée et où s² est la variance estimée 12 11,5 moyenne estimée var. connue + var.connue - 12 11,5 moyenne estimée var. connue + var.connue - 11 var. inconnue + var. inconnue - 11 var. inconnue + var. inconnue - 10,5 10,5 10 10 9,5 9,5 9 9 8,5 8,5 8 0 20 40 60 80 100 8 0 20 40 60 80 100
Estimation d une valeur «risquée», par exemple fractile à 5 % «intervalle statistique de dispersion unilatéral» Si x suit une loi normale de variance σ² connue X k = µ - u k σ où µ est la moyenne et où σ² est la variance connue (par exemple = 1.645 pour le fractile à 5 %) Mais en pratique, ni µ ni σ ne sont connues X k = X - k s s avec k s = fct (u k, n, risque α) 12 11 10 moyenne estimée fractile à 5 % (k8 ) fractile à 5 % (ks(n)) (Norme NF X 06-032) 9 8 7 6 5 4 0 20 40 60 80 100
3. Identification des propriétés et simulation Idée : - on dispose d un modèle Y = f(x i ) - on cherche à identifier les distributions statistiques de X i - on les utilise dans le modèle pour prédire la distribution statistique de Y Questions d intérêt : - qualité du modèle - qualité de l identification des distributions des variables d entrée - qualité de la prédiction
A propos des incertitudes : - rôle de la variabilité «naturelle» représentativité d une mesure ««ponctuelle» Y incertitude aléatoire (en un point, dans un échantillon, entre échantillons) Répétabilité ponctuelle Répétabilité dans l échantillon
- variabilité-incertitude incertitude modèle incertitude épistémique Par exemple : détermination de la porosité et du taux de saturation Résistivité : ρ = c p -m S -n Capacimétrie : f = a - b S incertitude sur les valeurs des exposants incertitude sur les constantes Capacimétrie : f = a - b S S = (f a)/b Résistivité : ρ = c p -m S -n incertitude de mesure sur f ET incertitude sur (a, b) incertitude sur S incertitude sur S + incertitude de mesure sur la résistivité ET incertitude sur (m, n) incertitude sur p
Application : modèle de diffusion des chlorures et d amorçage de la corrosion dans le béton armé Activité icorr enrobage d coefficient de diffusion D Modèle d amorçage : xcrit = k D t tinit = d² / k² D Modèle de propagation : p = k' i ( t t ) x corr init
Modèle d amorçage : xcrit = k D t tinit = d² / k² D Paramètre de modèle Propriétés (aléatoires) du matériau Peuvent être évaluées (CND)
hypothèses Paramètre de modèle k supposé connu, exact = 50 Enrobage = gaussien (moy 2 cm, e.t. 0,5 cm) Coeff Diffusion = log normal (moy(lnd) = 0.96, e.t.(lnd) = 0.66)) (x10 12 ) On fait 10 mesures de d et D, à partir desquelles on POSTULE les paramètres des lois de distribution, et on simule t init 1 0,9 0,8 0,7 Résultats sur 200 Simulations Rôle de l échantillon 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 t init prédit 1 t init "vrai" t init prédit 2 0 0,1 1 10 100 1000
Le rôle de l erreur de mesure et de l incertitude de modèle Modèle identifié d après l analyse statistique de mesures sur échantillons V US = a 1 p + a 1 S + b 1 A radar = a 2 p + a 2 S + b 2 Principe : mesure de V US et de A radar et inversion du système pour déterminer p et S Mais - Erreurs de mesure : V US mesuré V US vrai, A radar mesuré A radar vrai - Incertitudes de modèle sur les coefficients a i, a i, b i
Influence de l erreur de mesure 20 19 18 17 16 Porosité estimée Bruit de mesures 1% 100 95 90 85 Sr estimé 15 14 13 12 11 10 10 12 14 16 18 20 Porosité vraie 80 75 70 65 60 60 65 70 75 80 85 90 95 100 Sr vrai 20 19 18 17 Porosité estimée Bruit de mesures 3% 100 95 90 Sr estimé 16 85 15 14 13 12 11 10 10 12 14 16 18 20 Porosité vraie 80 75 70 65 60 60 65 70 75 80 85 90 95 100 Sr vrai
Influence de l incertitude de modèle 100 95 90 85 80 75 70 65 Porosité estimée Porosité vraie 60 60 65 70 75 80 85 90 95 100 Bruit de mesures 1% sans incertitude de modèle 20 19 Sr estimé 18 17 16 15 14 13 12 11 10 10 12 14 16 18 20 Sr vrai 30 25 20 15 10 5 Porosité estimée Porosité vraie 0 0 5 10 15 20 25 30 Bruit de mesures 1% et incertitude de modèle (données SENSO) 100 90 Sr estimé 80 70 60 50 40 30 20 10 0 60 65 70 75 80 85 90 95 100 Sr vrai
En résumé. Les quelques points abordés - Description des aléas par des lois empiriques. Possibilité de procéder à des changements d échelle (données micro réponse macro) - Question de l échantillonnage : pour l estimation des propriétés, pour la qualité des prédictions à partir des valeurs estimées - Question de la qualité des modèles, établis à partir des données en nombre limité (incertitude de modèle)
D autres points essentiels La notion de corrélation entre propriétés (p.ex. C et phi dans un sol : physique? Statistique?) La notion de corrélation spatiale A retenir : - savoir ce que l on veut et adapter ses moyens (d acquisition de données et de modélisation) à ses objectifs - avoir conscience des limites des approches déterministes et probabilistes!