Exposé dans le cadre du cours ATE050-01 de Lise Massicotte 01/02/2010 Michel Beaudin, maître d enseignement en mathématiques michel.beaudin@etsmtl.ca
Doit-on TOUT recopier ce qui est écrit au tableau? Si c est ce qu on fait, alors il serait utile, par la suite, de résumer pour soi. Et même dans les cours où un livre est obligatoire: se faire de bons petits résumés! 2
Mais comment prendre des notes? À la main? Directement sur l ordinateur? Ne pas trop perdre de temps avec la technologie! Toujours être réaliste: dans un cours, on prend des notes pour se préparer à l examen! 3
Travaillez-vous, en plus, à temps partiel ou passez-vous toutes vos semaines à l École? Privilégier des révisions régulières de la matière vue en classe plutôt que de donner la claque à la dernière minute! 4
Sports et études vont de soi: allez au Centre Sportif régulièrement! Même pendant les examens, n arrêtez pas l exercice. On peut réviser en faisant du vélo ou en courant! Est-il préférable de se lever tôt le jour d un examen pour faire une dernière révision plutôt que de se coucher très tard la veille? 5
En ce qui concerne les mathématiques, on devient meilleur en pratiquant. La dextérité algébrique s acquiert à long terme... Heureusement, des systèmes de calcul symbolique peuvent pallier pour les faiblesses dans la manipulation d expressions complexes. Sans devenir trop dépendant de sa calculatrice symbolique, nous allons voir que cet outil peut faire de très belles choses! 6
Les logiciels de calcul symbolique (Computer Algebra Systems ou CAS en anglais) ont vu le jour dans les années 80. Aujourd hui, les ingénieurs utilisent beaucoup Matlab, les mathématiciens préfèrent Maple, Mathematica, Derive. Ces logiciels peuvent traiter les expressions algébriques tout comme une calculatrice ordinaire traite les nombres. 7
Au début des années 90, la compagnie Texas Instruments a demandé à David Stoutemeyer, l un des créateurs du logiciel Derive, de collaborer au développement d une calculatrice symbolique. La légendaire TI-92 fut présentée par Bernhard Kutzler, à Honolulu, en juillet 1995. Et la Coop ÉTS alors située au 4750 Henri-Julien mettait en vente ses 3 premières calculatrices TI-92 en avril 1995! Celui qui vous parle présentement devenait subitement excité... et s empressa d aller en acheter une! 8
Les gens trouvaient que cette calculatrice était d une facilité d utilisation déconcertante malgré sa puissance! Ce n est pas un hasard: l équipe derrière le noyau symbolique était très solide: 9
Date Juillet 95 à avril 96 Événement Présentation mondiale de la TI-92 par Bernhard Kutzler au symposium du ACDCA à Hawaii en juillet 1995 et vente à partir de décembre 95. Le système symbolique est de David Stoutemyer de Derive et la géométrie par Cabri de UJF, Grenoble. Système assez complet en calcul à une variable mais ne contient rien pour les É.D. Pas de fonctions statistiques ni financières et son solveur ne résout pas, au début, les systèmes polynomiaux. En avril 96, l ÉTS (sur Henri-Julien) reçoit 3 calculatrices TI-92 (prix de vente avec taxes : $290.87). Été 98 Module plus et TI-89 (Technologie Flash permettant de télécharger un nouveau système d exploitation ainsi que différentes applications). Les É.D. de base sont maintenant résolues symboliquement et numériquement (fenêtre 2D en mode DIFFEQ, Euler et RK, champ de pentes, plan de phase pour les systèmes d É.D.). L algorithme de Buchberger est implémenté pour les systèmes polynomiaux (très utile en optimisation à plusieurs variables). Été 99 Automne 99 La TI-92 Plus remplace la TI-92 (écran nettement amélioré et plusieurs applications Flash disponibles). Plus besoin de rajouter le «module plus», il est intégré dans les 92-Plus. La TI-92 Plus (ou la TI-89 ) devient obligatoire à l ÉTS au BACC (l application Stat/List Editor est utilisée en Mat 350). Un site internet maison verra le jour à partir de l été 2000: http://www.seg.etsmtl.ca/ti/home.html 10
Été 2002 à été 2005 Fin 2006 à début 2010 Arrivée de la Voyage 200 qui remplace la 92-Plus : applications nombreuses (dont Cabri), look différent mais même machine en fait : 6 fenêtres graphiques (dont une 3D). Si le système d exploitation OS 2.07 du début a connu quelques ratés, OS 3.10 est stable et efficace depuis juillet 2005. Malheureusement, aucun «upgrade» ne semble prévu. D ailleurs, on sait maintenant qu il n y en aura pas de nouveau. Depuis septembre 1999, près de 10 000 calculatrices vendues à la Coop de l ÉTS. À 300$ l unité, on parle de ventes d environ 3 millions de dollars! Arrivée de la Nspire, plateformes calculatrice et PC. Le CAS est celui de la Voyage 200 mais le processeur nettement plus rapide et beaucoup plus de mémoire. La géométrie dynamique, les statistiques, les finances, sont parties intégrantes du système. Mais la calculatrice Nspire n a pas, contrairement à la Voyage 200, un clavier QWERTY. Cela nous déçoit. Le prix toujours élevé de la Voyage 200 nous déçoit aussi d autant plus que le prix des (mini) portables a considérablement baissé. On se questionne à l École sur l outil de calcul (commun) que les étudiants devraient avoir Sur PC, Nspire CAS est sensé être le successeur du logiciel Derive, discontinué par TI depuis juin 2007 (non-renouvellement du contrat de Albert Rich avec TI en septembre 2005). La dernière version disponible de Derive est 6.10. Mais Nspire CAS sur PC se limite à 14 digits, il n y a pas encore début 2010 de 3D, pas d É.D. numériques, pas de couleurs! 11
Avec mes collègues Gilles Picard et Kathleen Pineau, nous sommes impliqués sur la scène internationale dans l enseignement des mathématiques à l aide du calcul symbolique. Nous présentons annuellement des communications dans des conférences internationales et 2 de celles-ci ont été organisées à l ÉTS. Détails: http://www.seg.etsmtl.ca/mbeaudin/ 12
Avant de faire quelques exemples, faisons une remarque importante. C est tout un privilège qu on a, à l ÉTS, depuis plus de 10 ans: pouvoir enseigner les mathématiques et les sciences à des étudiants qui POSSÈDENT tous le même outil de calcul symbolique sur leur PUPITRE. 13
Exemple 1 («Mat 144») : cette calculatrice doit aussi servir d échafaudage On doit se rendre à un arrêt d autobus le plus rapidement possible, arrêt situé de l autre côté d un parc gazonné, 2000 pi à l ouest et 600 pi au nord de notre position de départ. Sachant que l on peut marcher le long du trottoir qui longe le parc à une vitesse de 6 pi/s tandis que notre vitesse dans le parc n est que de 4 pi/s, quel trajectoire nous amènera le plus rapidement à l arrêt d autobus? 14
15
Exemple 2 («Mat 145») : la calculatrice ne pense pas pour nous Que se passe-t-il lorsqu on fait tracer le graphique d une expression comme celle-ci? On sait que 1000( x 1) (101x 100)(100 x 99) n 1 lim 1 e 2.72828 n n Faisons quelques essais avec des valeurs de n de plus en plus grandes 16
Exemple 3 («résolution d équations») Pourquoi, à certaines occasions, le message suivant apparaît-il dans le coin inférieur gauche de l écran de la calculatrice? «Warning: More solutions may exist» cos x 1 2 x 3 2x 1 0 x 10 1.005 x 1 x sin x 1 6 17
Exemple 4 («systèmes d équations, Mat 165/472») Une occasion en or de faire plus et non moins de mathématiques! (On ne pouvait faire cela avant l introduction de tels outils). Systèmes linéaires, systèmes polynomiaux: un algorithme existe et aucune solution ne sera «oubliée»! 2x 5y 6z 12 4x 2y 3z 10 2x 4y z 13 x 2 2 xy y 16 8 18
Exemple 5 («mathématiques financières») Même si des cours (GIA400) traitent de ce sujet, il peut être intéressant de définir soi-même des fonctions utiles. Par exemple, on peut montrer que le montant x des remboursements d un prêt personnel P, amorti sur n périodes, au taux de r % par période est: x n P r (1 r) n (1 r) 1 Utilisons cette formule de façon concrète en faisant un exemple pratique au tableau et sur la TI. 19
Exemple 6 («Les menus F2 Algebra, F3 Calculus») Il y a plein de fonctions utiles dans ces menus: cela permet d illustrer pleinement une affirmation faite un peu plutôt: on peut enseigner/apprendre les mathématiques avec une calculatrice symbolique! 20
Exemple 7 («Mat 265») Même après 10 ans d utilisation de la calculatrice symbolique à l ÉTS, on se contente (encore) dans le cours d É.D. de n utiliser que les 5 premiers termes non nuls dans une résolution en séries comme pour la question d estimer y(3) avec la série de puissances de l É.D. (2x 11) y y 3xy 0, y(0) 10, y (0) 4 21
n Solution en séries: y( x) c x c c x c x n 0 La formule de récurrence qu on obtient (à la main!) est la suivante: n 0 1 2 2 Ainsi c n 2 2n 7n 5 cn 1 3cn 3 11 nn ( 1) c 10, c 4, c 2 11, c 0 1 2 167 363, c 651 5324 3 4 y(3) 10447 5324 1.96225 Mais la réponse est... y(3) = 2.0367!!!! 22
La Voyage 200 dispose d un mode graphique SEQ. Pourquoi ne pas l utiliser? 23
La Voyage 200 possède aussi un mode graphique DIFF EQUATIONS. On convertit (à la main!) l É.D. du second ordre en un système du premier ordre: z y z z 3xy 2x 11 y(0) 10, z(0) 4 24
On entre le tout dans l éditeur et observe la valeur de y(3) à l aide du graphique: On est maintenant plus confiant! 25
Comment faire un bon résumé pour les examens? Comment bien prendre des notes? Est-ce mieux d attaquer les problèmes avant de lire la théorie? 26
Est-ce que c est efficace de construire des patrons pour se souvenir comment résoudre des problèmes? Si oui, comment devrait-on s y prendre? Est-ce une bonne méthode d aller voir la réponse pour trouver la solution au problème? 27
Est-ce qu il y a une méthode efficace pour résoudre un problème (de manière générale)? Comment réagir à un professeur qui ne semble pas motivé à répondre à une question? Par exemple, j ai pris du retard sur la matière et il semble fâché. 28
29