ESDEP GROUPE DE TRAVAIL 11 ASSEMBLAGES SOUS CHARGEMENT STATIQUE. Leçon 11.4.1

ESDEP GROUPE DE TRAVAIL 11 ASSEMBLAGES SOUS CHARGEMENT STATIQUE Leçon 11.4.1 Analyse des assemblages - 1 ère partie : Distribution élémentaire des efforts Fichier : L11-4-1.doc

OBJECTIF Examen du comportement et des bases du dimensionnement des composantes d'assemblage. PRE-REQUIS Leçons 1B.5.1 & 1B.5.2 : Introduction aux bâtiments industriels Leçons 1B.7.1 & 1B.7.2 : Introduction aux bâtiments à étages Leçons 2.3.1 & 2.3.2 : Propriétés des aciers Leçon 2.4 : Nuances et qualités des aciers Leçon 11.1.2 : Introduction au dimensionnement des assemblages Leçons 11.2.1, 11.2.2 & 11.2.3 : Assemblages soudés Leçons 11.3.1, 11.3.2 & 11.3.3 : Assemblages boulonnés LEÇONS CONNEXES Leçon 11.5 : Leçon 11.6 : Leçon 11.7 : Assemblages de type articulé pour les bâtiments Assemblages transmettant des moments de flexion dans les structures continues Assemblages à résistance partielle dans les structures semi-continues RESUME Ce groupe de leçons 11.4.1 à 11.4.4 aborde la manière dont le comportement des composantes d'assemblage peut être analysé, afin que chacune d'entre elles soit dimensionnée avec sécurité pour résister aux charges qu'elle a à transmettre. Il s'agit là de développer les concepts fondamentaux de transmission des efforts qui ont été introduits en termes généraux à la leçon 11.1.2. Dans cette première leçon, on explique les principes généraux relatifs à la détermination des efforts pour lesquels chacune des composantes de l'assemblage doit être dimensionnée. Ceux-ci font appel aux concepts fondamentaux en matière de structure, c'est-à-dire les concepts d'équilibre, de raideur et de déformation pour déterminer la manière dont les charges extérieures appliquées se répartissent entre les différentes composantes. Ceci Page 1

conduit à la notion de distributions d'efforts qui traduisent le passage le plus efficace des charges appliquées au travers de l'assemblage. Page 2

1. INTRODUCTION A la leçon 11.1.2, il a été montré, en termes très généraux, que le caractère satisfaisant des assemblages, d'un point de vue structural, pouvait être établi via l'étude de la résistance de leurs composantes individuelles. La résistance d'une composante est déterminée sur base de la résistance des boulons individuels ou des soudures et des plats. La résistance des soudures et des boulons est traitée aux leçons 1.2 et 11.3. Dans la présente, la résistance, la raideur et la capacité de déformation d'un certain nombre de composantes sont envisagées. Entre autres, on se réfère au contenu des leçons 11.1, 11.2 et 11.3 pour montrer la manière dont les composantes individuelles peuvent être dimensionnées avec sécurité. Ceci réclame une détermination des efforts auxquels chaque composante est soumise et des indications sur la manière dont les groupes de composantes transmettent les efforts entre les éléments assemblés. Les leçons 11.4.2, 11.4.3 et 11.4.4 mettent ces principes en application à l'occasion de l'étude de la transmission de différents types d'effort intérieurs dans les assemblages, par exemple traction seule, cisaillement, traction résultant de l'application d'un moment, etc., tandis que les leçons 11.5, 11.6, 11.7 et 11.8 utilisent ces principes pour traiter du dimensionnement de types d'assemblages particuliers. 2. DETERMINATION DES EFFORTS 2.1 Efforts sur l'assemblage En vue de la détermination des efforts appliqués à l'assemblage, une analyse statique de la structure s'impose. Cette analyse implique la détermination des charges de calcul agissant sur la structure ainsi que la définition des bases du dimensionnement de la structure. Lors de cette analyse, la prise en compte du comportement structural des assemblages est nécessaire. Les assemblages sont-ils rotulés, rigides ou semi-rigides? Sont-ils à résistance partielle ou complète? Des détails supplémentaires quant à l'influence du type d'assemblage sur la distribution des efforts dans la structure sont fournis aux leçons 11.1, 11.5, 11.6, 11.7 et 11.8. Page 3

2.2 Distribution des efforts dans l'assemblage Le choix de la distribution des efforts intérieurs au sein de l'assemblage fait suite à la détermination des efforts normaux et tranchants ainsi que des moments de flexion agissant sur les assemblages. La distribution des efforts dans l'assemblage peut s'effectuer, mais toujours de manière rationnelle, selon la voie qui apparaît la meilleure à condition, toutefois, que : a. Les efforts intérieurs supposés soient en équilibre avec les efforts et moments appliqués sur l'assemblage. b. Chaque partie de l'assemblage soit à même de résister aux efforts qui lui sont appliqués. c. Les déformations associées à la distribution d'efforts intérieurs choisie soient inférieures à la capacité de déformation des connecteurs, soudures ou autres parties d'assemblage. La figure 1 fournit un aperçu du processus de détermination des efforts agissant sur les composantes individuelles d'assemblage et de vérification de leur résistance ; Page 4

Il n'est pas nécessaire et il est même souvent impossible, de déterminer la distribution réelle des efforts dans l'assemblage. Une distribution réaliste des efforts intérieurs, en équilibre avec les efforts extérieurs appliqués à l'assemblage, est suffisante. En fait, le choix de cette hypothèse est l'opération la plus délicate à effectuer au cours de l'analyse. Elle requiert une compréhension poussée du comportement structural de l'assemblage au cours de son chargement. Les règles suivantes sont d'application : Page 5

a. La nature des efforts à transmettre entre les éléments connectés doit être prise en considération. Dans le cas de l'assemblage d'un profilé en I soumis à flexion et effort tranchant, ce dernier est transmis principalement au niveau de l'âme, alors que les semelles transmettent la majeure partie du moment de flexion. Une hypothèse simple et généralement satisfaisante consiste alors à transmettre, dans l'assemblage, l'intégralité de l'effort de cisaillement par l'âme et l'intégralité du moment de flexion par les semelles, voir figure 1. b. La rigidité des différentes parties de l'assemblage doit être prise en considération. Les déformations qui résultent de charges agissant longitudinalement dans les plats sont plus limitées que celles provoquées par des charges agissant perpendiculairement aux plats (effort normal contre moment de flexion). Dans de nombreux cas, la perception de l'influence des rigidités relatives des composantes sur la distribution des efforts est meilleure si on envisage la situation après ce qu'une petite déformation de l'assemblage soit survenue. Cette approche est illustrée au chapitre 3 à l'aide d'un certain nombre d'exemples. c. La distribution supposée des efforts doit être cohérente pour toutes les parties de l'assemblage. Cette règle est susceptible d'être violée lorsqu'on réalise un calcul distinct des différentes parties de l'assemblage. Un exemple est fourni à la figure 2. La distribution des efforts qui y est suggérée pour le calcul des boulons n'est pas cohérente avec la distribution des contraintes dans la poutre qui sert au calcul des soudures entre la poutre et la platine d'extrémité. A cause de cette incohérence, la surcharge des soudures dans la semelle supérieure de la poutre n'est pas prise en considération dans le calcul. Page 6

2.3 Cas de chargement fondamentaux des composantes L'analyse du comportement structural des assemblages peut amener à considérer un certain nombre de cas de chargement fondamentaux dans les composantes. L'exemple de l'assemblage en T est illustré à la figure 3. La transmission des efforts, dans presque tous les types d'assemblages, ne met en évidence que cinq cas de chargement fondamentaux. L'utilisation de ces cas fondamentaux permet une présentation claire et systématique des méthodes de calcul et ce, malgré le nombre important de types d'assemblages différents. L'Eurocode 3 ( 6 et Annexe J) suit cette approche. Aux leçons 11.4.3 et 11.4.4, des calculs relatifs aux cinq cas de chargement fondamentaux sont présentés, dans le cadre de l'étude de plusieurs assemblages. Pour chaque partie de l'assemblage, un certain nombre de modes de ruine sont identifiés. Ceux-ci surviennent dans : les connecteurs (soudures ou boulons) les membrures assemblées les autres parties de l'assemblage, par exemple les plats et les cornières. Il convient de démontrer que la composante (le maillon) la plus faible de l'assemblage est suffisamment résistante pour reprendre l'effort qui lui est appliqué. Page 7

Le dimensionnement des connecteurs (soudures et boulons) est traité aux leçons 11.2 et 11.3. Celui des autres parties de l'assemblage est couvert par les leçons 11.4. 3. DISTRIBUTION DES EFFORTS 3.1. Influence des différences de rigidité Les raideurs relatives des différentes composantes de l'assemblage doivent être prises en considération lorsque s'effectue la redistribution des efforts normaux, des efforts tranchants et des moments de flexion dans l'assemblage. En particulier, les déformations dues à des efforts normaux agissant longitudinalement dans les plats sont nettement plus faibles que celles qui résultent de l'application d'efforts agissant perpendiculairement. Une bonne démonstration de ce principe découle du calcul relatif à l'exemple de la figure 4 Le plat 100 100 10 mm, encastré sur un bord, est soumis à une charge perpendiculaire de 1000 N. Sa déformée transversale s'exprime : 3 F 3EI 3 3 1000.100 3 5 100. 10 2,1. 10 12 0,2 mm (3-1) Page 8

Si le même plat est ensuite soumis, dans son plan, à une charge de même intensité, le déplacement associé du bord libre vaut : F. 1000.100 0,0005 mm (3-2) EA 5 2,1. 10 100.10 A la figure 5, les deux plats sont connectés, ce qui impose une égalité des déplacements enregistrés à leurs extrémités. Un effort de 1000 N est alors appliqué à la structure. La charge est reprise par chacun des deux plats, proportionnellement à leur rigidité relative. Le plat soumis à traction est 0,2/0,0005 = 400 fois plus raide que le plat fléchi. Par conséquent, la quasi-intégralité de la charge est transmise par le plat tendu, voir figure 5b. Ce même principe est employé pour déterminer la distribution des efforts dans l'assemblage de contreventement de la figure 6, par exemple dans une structure de plancher. De nombreuses distributions d'efforts peuvent être imaginées, chacune d'entre elles respectant les équations d'équilibre. Page 9

On peut supposer, dans un premier temps, que l'effort est transmis par les deux assemblages, la résultante des efforts dans chacun des assemblages restant parallèle à celle de l'effort extérieur appliqué, voir figure 7. Dans cette analyse, l'effort 0,5 F se décompose en Fs = 0,35 F et Ft = 0,35 F. Page 10

La déformation dans la direction de l'effort de cisaillement (Fs) est nettement plus faible que la déformation dans la direction de l'effort de traction (Ft). Ceci se solde par la différence importante entre le déplacement 1 au point (1) et le déplacement 2 au point (2). Ce dont ne peut s accommoder le gousset! En fait, le déplacement au point (1) dû à Fs ( S1) doit être identique au déplacement du point (2) dû à Ft ( S2). Par conséquent, Fs est beaucoup plus important que Ft. La distribution des efforts à la figure 7 est incorrecte. La distribution correcte est indiquée à la figure 8. La charge F ne crée en fait que du cisaillement dans les groupes de boulons (1) et (2). L'effort de traction dans les boulons peut être ignoré. Page 11

Conclusion : Si deux modes de transmission des efforts se distinguent par une différence sensible de rigidité, il convient d'ignorer le mode de transmission auquel sont associés les déplacements les plus grands (déformation flexionnelle du plat) et de supposer que l'intégralité de la charge est transmise par les éléments les moins déformables (déformation axiale du plat). Ce principe s'applique également aux structures soudées, comme par exemple à la figure 9 qui illustre l'assemblage d'un plat à un profil creux de section carrée. La distribution supposée dans laquelle les soudures ne sont sollicitées qu'en cisaillement est correcte. Le rapport des rigidités au sein de l'assemblage peut déterminer le type d'hypothèse formulée pour le calcul des moments de flexion. Un exemple est fourni à la figure 10. Page 12

Dans l'assemblage de la figure 10a, la rotation de l'assemblage boulonné est plus importante que celle du plat soudé dans le plan de l'âme du poteau. La position supposée de la rotule qui détermine le calcul des moments de flexion se trouve, par conséquent, à hauteur de la rangée de boulons. Ces derniers sont soumis à un effort de cisaillement V. Les soudures, par contre, doivent être dimensionnées pour un effort de cisaillement V et un moment de flexion V.e. Dans l'assemblage de la figure 10b, le plat est soudé à la paroi non rigidifiée du profil creux de section carrée. Dans ce cas, il est plus logique de positionner la rotule au niveau de la paroi. La soudure n'est sollicitée qu'en cisaillement et la rangée de boulons est donc sollicitée en cisaillement (V) et flexion (V.e). Page 13

3.2. Centres de rotation libre et imposée a. Centre de rotation libre Les plats de la figure 11 sont assemblés à l'aide de boulons disposés arbitrairement. L'assemblage est soumis à un moment de flexion M. Les plats sont supposés rigides, par rapport aux connecteurs. La rotation entre les plats résulte donc de la déformation des connecteurs. Les plats tournent autour du centre de rotation. Pour de petites déformations des connecteurs, une relation linéaire entre les efforts Ri dans les boulons et les déplacements i peut être admise ; les efforts Ri sont proportionnels à la distance ri au centre de rotation et les déplacements i, à la rotation (figure 12). Page 14

i r i (3-3) r R i i R r max (3-4) max y y R i i xi R i R r r max (3-5) i max x x R i i yi R i R r r max (3-6) i max Si l'assemblage est soumis à flexion pure, la résultante des efforts selon les axes x et y doit, par équilibre, être nulle : R R max xi y i 0 yi 0 (3-7) r max R R max yi x i 0 yi 0 (3-8) r max Le centre de rotation coïncide par conséquent avec le centre de gravité des boulons. r 2 R M r i R max r 2 i.r i r max (3-9) r i max max max M rmax 2 ri M rmax 2 2 xi yi R (3-10) Page 15

Dans un cas comme celui-ci où le centre de rotation coïncide avec le centre de gravité du groupe de boulons, on parle de «centre de rotation libre». Si une charge excentrée est appliquée à un groupe de boulons dont le centre de rotation est libre, l'analyse suivante peut être réalisée, voir figure 13. L'effort excentré F est remplacé par un moment de flexion F.e et un effort F appliqués au centre de rotation. Les efforts dans les boulons s'obtiennent par sommation des efforts dus à M (comme expliqué précédemment) et des efforts dus à F. Dans un groupe de n boulons, chaque boulon reprend un effort F/n. L'effort total dans chaque boulon est obtenu en décomposant les efforts dus à M et F selon les directions x et y : Page 16

F x FxM FxF (3-11) F y FyM FyF (3-12) 2 2 F x Fy R (3-13) Pour une disposition arbitraire des boulons, il n'est pas aisé de prédire quel est le boulon le plus sollicité ; plusieurs boulons doivent par conséquent être vérifiés. Dans les faits, toutefois, les dispositions adoptées sont le plus souvent régulières et les boulons les plus sollicités sont rapidement identifiés. b. Centre de rotation imposé Dans un assemblage par platine d'extrémité semblable à celui représenté à la figure 14, la différence de raideur entre la zone tendue et la zone comprimée est sensible. Dans la zone comprimée, l'effort de compression est transmis directement de la semelle de la poutre à l'âme du poteau. Les déformations en zone comprimée sont très faibles par rapport à celles qui se développent en zone tendue où la platine et la semelle du poteau se déforment en flexion. En raison de cette différence de rigidité, le centre de rotation est en fait situé au point (1) de la figure 14. Parfois, pour des raisons qui touchent à l'aspect sécuritaire, le centre de rotation est placé à hauteur de la dernière rangée de boulons. Page 17

Si la platine d'extrémité est épaisse et donc raide, le centre de rotation peut également être localisé à l'extrémité inférieure de la platine. On dit, dans ces différentes situations, que l'on est en présence d'un «centre de rotation imposé». Si la rigidité est supposée identique en chaque rangée de boulons, les efforts dans les rangées de boulons sont directement proportionnels à leur distance au centre de rotation. Pour un centre de rotation situé au point (1), l'analyse suivante est réalisée : h1 2 T1 h2 2T2 h3 2T3 h4 2 T4 h5 2 T5 h6 2 T6 M (3-14) Pour des boulons de diamètres identiques : 2 T2 2 T3 2 T4 2 T5 h 2 T 2 1 h1 h3 2 T1 h1 h 2 T 4 1 h1 h5 2 T1 h1 De ces équations, on détermine l'effort T1 dans le boulon le plus sollicité : 2 T1 h1 2 hi M T1 M h1 2 2 hi (3-15) En fait, la raideur des rangées de boulons peut varier considérablement d'une rangée à l'autre ; à titre d'exemple, la partie débordante de la platine d'extrémité de la figure 15, au-delà de la semelle supérieure de la poutre, est bien moins raide que la zone située sous la semelle de la poutre et ce, en raison du raidissage procuré par l'âme de la poutre. En conclusion, la rangée de boulons 2 transmet un effort supérieur à la rangée de boulons 1. Page 18

Pour des platines peu épaisses, les différences de rigidités entre les rangées de boulons sont encore nettement plus prononcées et la distribution des efforts dans les rangées est très variable. Pour des dimensions «normales» de platine, on peut raisonnablement supposer que l'effort de traction agissant dans la semelle supérieure de la poutre se répartit de manière identique entre les rangées de boulons 1 et 2. Lorsqu'un assemblage par platine d'extrémité est sollicité conjointement par un moment de flexion M et un effort de traction FH, les deux situations - centre de rotation libre ou centre de rotation imposé - peuvent se rencontrer. Cela dépend de l'intensité de FH, voir figure 16. Si le centre de rotation est imposé (FH est petit), on suppose que FH est transmis au niveau du point dur (1). Le moment de flexion autour de (1) vaut : Page 19

2 T1 2 1 M FH. h h i 1 M (3-16) où : a est la distance entre l'axe de la poutre et le centre de compression (1). De la condition d'équilibre horizontal, on déduit que : 2T1 h1 D (3-17) hi 2 T1 Si : F H h1 (3-18) h 1 alors D = 0. Dès que D < 0, on n'est plus dans le cas d'un centre de rotation imposé. Des équations (3-16) et (3-17), il s'en suit que si : FH M F le centre de rotation est imposé et que si : le centre de rotation est libre. H M F H h h h h 2 i i 2 i i (3-19) (3-20) 4. CONCLUSION Lors du dimensionnement des assemblages, trois exigences fondamentales doivent être satisfaites : Les efforts intérieurs doivent être en équilibre avec les efforts et moments extérieurs appliqués. Chaque partie de l'assemblage doit être à même de résister avec sécurité aux efforts tels qu'ils résultent de la distribution supposée des efforts. Les déformations engendrées par la distribution supposée d'efforts intérieurs doivent être en deçà des capacités de déformation propres des parties de l'assemblage. Au départ de cinq cas de chargement fondamentaux, la transmission des efforts dans pour ainsi dire toute forme d'assemblage peut être appréhendée et ce, en les combinant convenablement. Page 20

La transmission des efforts est telle que la majorité des efforts transite par les éléments les plus rigides. La transmission d'un moment de flexion par l'intermédiaire d'un groupe de connecteurs peut mettre en évidence un «centre de rotation libre» ou un «centre de rotation imposé». Page 21

5. BIBLIOGRAPHIE [1] Eurocode 3 : «Design of Steel Structures» ENV 1993-1-1 : Part 1.1, General rules and rules for buildings, CEN, 1992. Page 22

6. LECTURES COMPLÉMENTAIRES 1. Owens, G. W. and Cheal, B. D., «Structural Steelwork Connections», Butterworths & Co. (Publishers) Limited, 1989. 2. Kulak, G. L., Fisher, J. W. and Struik, J. H. A., «Guide to Design Criteria for Bolted and Riveted Joints», Willey - Interscience, 2nd Edition, 1987. 3. Ballio, G. and Mazzolani, F. M., «Theory and Design of Steel Structures», Chapman & Hall 1983. 4. W. F. Chen «Joint Flexibility in Steel Frames» Journal of Constructional Steel Reseach Volume 8, 1987. Page 23

TRADUCTION DES FIGURES Chargement Structure idéalisée Moments Efforts tranchants Efforts normaux Assemblage Efforts intérieurs Parties de l'assemblage 1. Boulons < pression diamétrale/cisaillement Soudures 2. Section nette du plat Boulons 3. Soudure Plats 4. Âme de la poutre Figure 1 - Grandes lignes de l'analyse des assemblages Erreur Efforts dans les boulons Contraintes dans les soudures Figure 2 - Exemple de distributions d'efforts et de contraintes non cohérentes Traction induite Traction ou compression axiale Panneau cisaillé Assemblage en T Cisaillement Compression induite Figure 3 - Cas de chargement fondamentaux Figure 4 - Exemple permettant d'illustrer l'influence du chargement (normal ou perpendiculaire au plan) sur les déformations (a) Système (b) Distribution des efforts Figure 5 - Distribution des efforts entre un "élément fléchi" et un "élément soumis à effort normal" Élévation Section B-B Section A-A Figure 6 - Assemblage de contreventement dans une structure de plancher Déformation de l'âme Distribution des efforts Déformation du plat de recouvrement Déformations Page 24

Figure 7 - Hypothèse incorrecte quant à la distribution des efforts Distribution des efforts Déformations Figure 8 - Distribution correcte des efforts Figure 9 - Exemple d'hypothèse correcte quant à la distribution des efforts dans un assemblage soudé Figure 10 - Idéalisation de la rotule dans un assemblage rotulé Centre de rotation Figure 11 - Groupe de boulons sollicité par un moment de flexion M Figure 12 - Détermination des efforts dans les boulons R résulte de M = F.e résulte de F Figure 13 - Détermination des efforts dans les boulons pour un groupe de boulons à centre de rotation libre et sollicité par une charge excentrée Centre de rotation Efforts de compression Figure 14 - Efforts dans les boulons pour un assemblage par platine d'extrémité à centre de rotation imposé Platine d'extrémité épaisse Platine d'extrémité peu épaisse Figure 15 - Influence de l'épaisseur de la platine d'extrémité sur la distribution des efforts dans les boulons Centre de rotation imposé Centre de rotation libre Figure 16 - Assemblage par platine d'extrémité soumis à un moment de flexion M et un effort de traction FH Page 25