Mécanique quantique 1 Bases de la mécanique quantique 0. Théorie quantique - pourquoi? La théorie quantique est étroitement liée avec la notion du "dualisme onde - corpuscule". En physique classique, on distingue entre une onde (qui transporte l'énergie de manière continue) et une corpuscule (qui porte une quantité d'énergie définie). Considérant p.ex. un détecteur recevant de la lumière pendant un certain temps, on imagine que cette énergie est absorbée de manière tout à fait continue, tandis qu'un détecteur recevant un rayonnement de particules absorbe l'énergie par portions, telles qu'elles sont livrées par les particules. Des expériences exécutées au début du 20 e siècle démontrèrent que cette vue des choses n'est pas correcte. Le rayonnement électromagnétique (et tout autre) lui aussi ne peut transporter l'énergie que par portions ("quanta"). On peut en fait s'imaginer que la lumière se compose de particules (photons). A part l'énergie, d'autres grandeurs importantes telles que la quantité du mouvement et le moment cinétique apparaissent en forme quantisée. Egalement important, on constate aussi des propriétés ondulaires chez les particules. En physique classique, une onde se distingue par l'effet d'interférence (deux ondes avec décalage de phase approprié peuvent s'annuler) tandis que deux particules ne s'annulent jamais mutuellement. On rappellera que les effets d'interférence apparaissent lorsque les distances expérimentales se rapprochent de la longueur d'onde. En se rapprochant des dimensions très petites (atomiques), on constata expérimentalement l'apparition d'effets d'interférence même avec les particules! Par conséquent la distinction classique entre ondes et particules doit être abandonnée. Les phénomènes physiques montrent les deux propriétés simultanément. On peut visualiser ce résultat à l'aide de la notion du "paquet d'ondes": c'est un train d'onde (dont on peut définir une fréquence et une longueur d'onde) de durée finie (dont on pourra donc définir la position et le contenu en énergie - nous reviendrons plus tard à la question de la précision avec laquelle ces grandeurs peuvent être définies). La théorie quantique décrit tous les objets du monde microscopique par des "paquets d'ondes" en ce sens: ayant en même temps la capacité d'interférence et une énergie, un moment cinétique, une masse etc. quantisés. 0.1. Ondes corpusculaires Les ondes plus typiques de la physique classique sont celles électromagnétiques, dont les caractéristiques interférentielles sont étudiées au détail (diffraction sur une fente, interférence sur une couche mince etc.). Au début du 20 e siècle, 3 expériences démontrèrent que la rayonnement électromagnétique présente également des caractéristiques corpusculaires. 0.1.1 La radiation du corps noir - dépendance de la longueur d'onde Les corps chaux émettent de la radiation électromagnétique. Le modèle idéal est constitué par le "corps noir", réalisé expérimentalement par une cavité avec une petite ouverture. En analysant son rayonnement en fonction de la longueur d'onde, un problème théorique se pose: d'après l'électrodynamique classique, l'intensité du rayonnement émis devrait augmenter indéfiniment avec la diminution de la longueur d'onde ("catastrophe UV"). Expérimentalement, on trouve que l'intensité est maximale pour une certaine longueur d'onde λ max (dépendant de la température), et diminue pour les λ plus petites, ultérieurement approchant zéro. Max Planck chercha d'abord une formule capable d'interpoler les points expérimentaux et démontra ensuite que cette formule s obtient en admettant que le corps noir ne rayonne pas son énergie de manière continue, mais en forme de paquets ("quanta") de grandeur E = h f = ω (h = 2π = 6.6256 10-34 J s constante de Planck, f = fréquence rayonnée, ω = 2π f )
Mécanique quantique 2 0.1.2 L'effet photoélectrique Lorsqu'on expose une feuille métallique, à l'intérieur d'un tube évacuée, à de la lumière, l'énergie photonique peut libérer des électrons de leur liaison métalique. En appliquant une tension électrique appropriée, les électrons quittant le métal sont accélérés vers une électrode de détection. En imposant une tension inverse (de freinage), les électrons sont empêchés de sortir du métal. Expérimentalement, on constate que: la tension de freinage empêchant la sortie des électrons ne dépend pas du tout de la quantité de la lumière incidente. aucun électron ne sort du métal si la fréquence de la lumière incidente reste inférieur à une valeur seuil. les électrons sortent du métal immédiatement (ca. 10-9 s) après qu'on ait allumé la lampe. Ces résultats sont incompatibles avec l'idée d'une énergie qui s'accumule dans le temps à l'endroit de l'électron. Par contre, tous ces résultas s'expliquent de la manière la plus naturelle en imaginant que les électrons interagissent avec des quanta de lumière (photons) dans un choc de particules. Le critère pour quitter le métal n'est alors pas donné par l'énergie globale du rayonnement (répartie sur plusieurs photons), mais par l'énergie d'un quantum. En admettant que cette énergie est égale à h f, selon Planck, toute observation s'explique naturellement. Le même raisonnement explique aussi pourquoi les rayons x sont dangereux pour nous, mais non pas la lumière visible, même à intensité élevée. 0.1.3. L'effet Compton On appelle effet Compton la diffusion de la lumière sur des particules, p.ex. des électrons. La lumière diffusée ne change pas seulement de direction, mais aussi de fréquence et de longueur d onde. Les résultats expérimentaux sont totalement compatibles avec l'idée de particules de lumière distinctes (photons) se heurtant contre les électrons dans un choc élastique, les changements de l'énergie et de la quantité de mouvement étant données par les lois de conservation bien connues. 0.2. Particules ondulaires Lorsque la lumière passe à travers d'une fente ou d'une série de fentes ou de raies (réseau), l'interférence produit un certain nombre de franges lumineuses. Lors du passage d'une ouverture circulaire ou d'une série d'obstacles ponctuels, les franges sont circulaires. Les atomes d'un cristal forment une série d'obstacles ponctuels de petite dimension. Lorsqu'un tel cristal est soumis à l'irradiation d'un faisceau électronique, une figure de diffraction se produit qui ressemble à celle de la diffraction lumineuse (expérience de Davisson et Germer). Les particules peuvent donc interférer comme des ondes!
Mécanique quantique 3 1. Dualisme ondes - corpuscules I.1. Ondes de de Broglie Louis de Broglie, un physicien français, fut le premier à énoncer l'hypothèse que non seulement les ondes électromagnétiques mais aussi toute particule ont simultanément des propriétés d'onde et de corpuscule. Les caractéristiques corpusculaires, l'énergie E et la quantité du mouvement, p, sont directement liés aux caractéristiques ondulaires, à savoir la fréquence f (ou pulsation ω) et la longueur d'onde λ (ou le nombre d'onde k = 2π/λ). La transformation entre ces grandeurs se fait en utilisant la constante de Planck, h (ou h = h / 2π). E = ω = ( h f ) p = k (= h / λ ) h = 6.625 10-34 Js, = 1.054 10-34 Js Exemple: Calculer la fréquence et la longueur d'onde correspondant à un faisceau d'électrons après son accélération, sous l'action de 5 kv, dans un microscope électronique. E = e U = 1.6 10-19 5 10 3 VAs = 0.8 10-15 J f = E / h = 1.2 10 18 Hz v = 4.2 10 7 m/s (à partir de E = ½ m v 2, correction relativiste négligée, m = 0.91 10-30 kg) p = m v = 3.8 10-23 Ns λ = 1.74 10-11 m C'est 4 ordres de grandeur plus petit que les longueurs d'onde de la lumière visible. Elle permet, en principe, une résolution atteignant les dimensions atomiques (< 10-10 m). La nature ondulaire des objets microscopiques est démontrée par les expériences de diffraction où l'on constate des effets d'interférence pour les électrons aussi bien que pour les protons, les neutrons, les atomes et les molécules. D'autre part, la quantisation de l'énergie et les interactions de collision mettent en évidence des caractéristiques corpusculaires. La relation entre l'énergie et la quantité du mouvement est non-linéaire (E = p 2 /2m ou, dans le cas relativiste: E tot = m o 2 c 4 + p 2 c 2 ), ce qui vaut aussi pour la relation entre la fréquence et le nombre d'ondes, k : Les ondes de debroglie sont soumises à la dispersion. Vitesse particulaire = vitesse de groupe de l'onde de de Broglie. I.2. Relation d'incertitude En mécanique classique, la trajectoire d'une particule est considérée comme totalement déterminée lorsqu'on connaît la position et la vitesse initiales ainsi que les forces qui agissent. D'autre part, la nature ondulaire des particules microscopiques rend impossible de déterminer simultanément la position et la quantité du mouvement. Cette dernière correspond à la longueur d'onde, et il ne fait pas de sens de parler d'une longueur d'onde en un point. Une traînée d'onde monochromatique idéale s'étend infiniment. Afin de localiser une onde, cette traînée doit être limitée. En régime transitoire (au commencement et à la fin de la traînée) des fréquences (ou des longueurs d'ondes) supplémentaires se produisent auto-matiquement. La théorie de Fourier permet de représenter un "paquet d'ondes" limité en superposant une multitude de fréquences. Plus exacte la localisation, plus de fréquences sont requises. Et vice-versa: le plus étroit qu'est le spectre, plus large est le paquet d'ondes. W. Heisenberg en tira la conclusion qu'il existe une incertitude de principe si l'on essaie de déterminer simultanément des grandeurs complémentaires (position / quantité du mouvement, temps / énergie): x p x > / 2 y p y > / 2 z p z > / 2 relation d incertitude t E > / 2 Ici, x et p x représentent l'incertitude expérimentale lorsqu'on tente de déterminer ces grandeurs simultanément. Plus exacte l'une, moins exacte l'autre, de manière que le produit n'en devienne jamais inférieur à /2.
Mécanique quantique 4 Dans la pratique, la relation d'incertitude s'exprime par une perturbation du système lors de la mesure d'un paramètre (p.ex. la position) qui engendre une variation aléatoire du para-mètre complémentaire (p.ex. la quantité du mouvement), en rendant sa détermination incertaine. Il faut toutefois réaliser que la relation d'incertitude découle non pas des problèmes de mesure mais directement du dualisme onde - corpuscule des objets microscopiques. I.3. Le monde microscopique et le monde macroscopique Pourquoi la mécanique quantique est-elle valable pour les objets microscopiques, mais non pas pour les objets macroscopiques? Réponse: elle vaut de manière universelle, mais pour les objets macroscopiques les effets quantiques sont trop petits pour être mesurés. Voici deux exemples démontrant ce constat: Calculons la longueur d'onde de debroglie pour une particule de masse 1 gramme se mouvant avec une vitesse d' 1 m/s: λ = h/mv = 6.625 10-34 /0.001 /1 = 6.6 10-31 m. Une longueur d'onde aussi petite est sans valeur pratique. Pour les objets plus lourds ou plus rapides, l'argument est valable à plus forte raison. Calculons l'incertitude pour la détermination de la vitesse d'une graine de poussière de 10-12 kg dont le diamètre soit de 10-8 m. Admettons que le diamètre soit connu à 1% près. Alors: x = 10-8 m p x / x = 10-26 Ns v = p x / m = 10-14 m/s. L'incertitude de la vitesse est donc totalement négligeable même pour cette graine de poussière, et d'autant plus pour des objets plus lourds. Afin de voir la différence, analysez l'incertitude de la vitesse d'un électron dans un atome d'hydrogène! Vous allez remarquer que l'incertitude y sera plus grande que la vitesse elle-même! II. Interférence et probabilité Dans ce chapitre nous examinons un peu plus au détail certaines notions importantes de la mécanique quantique. Nous nous référons au "cours de physique de Feynman", vol. 3. II.1. Interférence Considérons une double fente. Des particules (p.ex. des balles de fusil) arrivent de gauche. Nous admettons qu'il y a une certaine dispersion au passage des fentes. Si on n'ouvre qu'une seule fente on trouvera alors la distribution de balles selon la fig. 1a (détectée à l'aide d'une rangée de détecteurs). Pour l'autre fente, on aura le même résultat (ligne pointillée). Si l'on ouvre les deux fentes, on trouve la distribution indiquée qui est la somme des deux distributions individuelles (fig. 1b). La situation est totalement différente lorsque c'est de la lumière qui passe à travers les fentes. L'interférence des ondes produit alors une figure de diffraction, avec des maxima et minima alternants (fig. 2).
Mécanique quantique 5 Qu'est-ce qui arrive lorsqu'on répète l'expérience avec des électrons au lieu des balles de fusil? (Evidemment, il faudra réduire la largeur des fentes de manière convenable. Feynman a inventé cette expérience comme une version simplifiée de la dispersion de Bragg). Etonnant: on trouve aussi une figure de diffraction! Comment expliquer ce résultat? Intuitivement, on supposerait qu'un électron individuel devrait passer ou la fente supérieure ou la fente inférieure. Le nombre d'électrons détectés serait alors simplement le nombre de ceux qui ont passé la fente supérieure (distribution pour une fente individuelle) et de ceux qui ont passé la fente inférieure. Cela ne pourrait donner qu'une distribution semblable à la fig. 1. (Notez qu'à la fig. 2 l'intensité au milieu excède le double de l'intensité maximale enregistrée pour une fente seule!).le fait d'observer une figure de diffraction signifie donc qu'il est impossible de dire si l'électron est passé par une fente déterminée. Sa trajectoire est totalement indéterminée par rapport à cette question. On pourrait alors envisager de positionner un détecteur près de l'un des trous afin de vérifier si l'électron y passe ou non. (Feynman propose d'installer une petite source de lumière; la lumière pourrait être dispersé par un électron à son passage). Le résultat est remarquable: Si l'on monte l'expérience de manière à pouvoir vérifier le passage de l'électron, on ne détecte plus de figure de diffraction, mais une distribution conforme à la fig. 1! Mieux encore: il n'a aucune importance si la détection de l'électron passant a réussi ou non. Tout ce qui compte c'est la possibilité de principe de déterminer la trajectoire de l'électron. (Notez d'ailleurs qu'au moment de la dispersion de la lumière la quantité de mouvement de l'électron se modifie: en déterminant plus précisément la position on perdra automatiquement de la précision sur la détermination de la quantité de mouvement). Quel est d'ailleurs la différence entre les balles de fusil et les électrons qui fait qu'on observe dans l'un des cas une figure de diffraction mais pas dans l'autre? Il n'y a pas de différence fondamentale. La longueur d'onde de de Broglie est simplement beaucoup plus petite pour les balles de fusil ce qui produit une figure de diffraction correspondante extrêmement étroite. Tout détecteur concevable ne pourra qu'enregistrer une moyenne couvrant beaucoup de maxima à la fois ce qui rend la structure diffractive invisible (fig. 3). II.2. Fonction d onde et probabilités Les distributions observées dans les expériences décrites ci-dessus s'expriment par des probabilités P. Soit P 1 la probabilité qu'un objet passe par la fente 1, P 2 la probabilité correspondante pour la fente 2. La distribution de la fig. 1b s'obtient alors très facilement: P = P1 + P2 En ce qui concerne la figure de diffraction, la théorie ondulaire nous dit comment procéder: il ne faut pas sommer les intensités des ondes individuelles, mais leurs fonctions d'onde. L'intensité résultante s'obtient alors comme le module au carré de la somme de ces fonctions. C'est ainsi qu'il faut procéder aussi pour les électrons. Soit Ψ 1 la fonction de l'onde passant par la fente 1, Ψ 2 la fonction de l'onde passant par la fente 2. La probabilité de passer par une seule fente i ouverte (l'autre fente étant fermée) est P i = Ψ i 2. A deux fentes ouvertes, la distribution de probabilités est donnée par P = Ψ 1 + Ψ 2 2 On écrit les fonctions de probabilité aussi en forme de fonction de transition d'un état A à un état B: < B A > (à lire de droite à gauche comme pour la multiplication des matrices) : Ψ A ---> B = <B A >
Mécanique quantique 6 De même, on définit la fonction d onde Ψ (r, t) = fonction d onde pour une particule à l endroit r au temps t Le module au carré de cette fonction représente la probabilité de trouver la particule à l endroit r au temps t. Ψ (r, t) 2 = probabilité de présence en r au moment t [l expression «à l endroit» signifie plus précisément : dans un environnement dv = dx dy dz autour du point r]. Comment faut-il calculer la probabilité d'arriver d'un état A à un état B, si pour cela existent plusieurs chemins, p.ex. plusieurs états intermédiaires alternatifs C i? Fonction d'onde pour la transition de A à B par voie de C i : Ψ A -->Ci --> B = <B C i > <C i A > Il faut alors distinguer: a) si l'on peut déterminer - par principe - quel chemin est choisi: P A --> B = i <B C i > <C i A > 2 b) si par orincipe on ne peut pas déterminer quel chemin est pris: P A --> B = ( i <B C i > <C i A >) 2 donc avec interférence! Si le chemin pris par la particule ne peut pas être déterminé (de par principe), il faut d'abord sommer les fonctions d'onde et sommer seulement après pour trouver le carré du module. Cela correspond à la situation dans la théorie des ondes, liée à la formation d'interférences. III. Equation de Schrödinger L'équation de Schrödinger est l'equation fondamentale de la mécanique quantique (non-relativiste), analogue aux équations de Newton pour la mécanique classique. Comme pour celles-là, il s'agit d'une équation axiomatique qui ne peut pas être prouvée (mais justifiée). L'équation de Schrödinger permet de décrire le comportement des systèmes microscopiques de manière correcte (c.-à-d. vérifiée par les résultats expérimentaux). III.1. Forme de l équation de Schrödinger L'équation de Schrödinger est une équation ondulatoire. Elle s'écrit: h 2 Ψ 2 2 2 - ---- Ψ + U (r,t) Ψ = j h ----- ( = ----- + ----- + ----- ) 2m t x 2 y 2 z 2 Ici, U est le potentiel auquel la particule est exposée. L'équation se simplifie pour des "états stationnaires" d'énergie constante où l'on peut séparer la partie temporelle: Equation de Schrödinger stationnaire: 2m Ψ( r ) + ---- (E - U) Ψ ( r ) = 0 h 2 - j ω t (Ψ (r, t) sera alors obtenue en multipliant Ψ ( r ) par une fonction temporelle e ). Justification de l'équation de Schrödinger: Considérons le cas le plus simple d'une onde harmonique plane. - j (ω t - k x) - j / h (E t - p x ) Ψ = e = e On en dérive: Ψ / t = - (j / h) E Ψ Ψ = 2 Ψ / x 2 = - (1 / h 2 ) p 2 Ψ
Mécanique quantique 7 En résolvant pour E et p 2 et introduisant ces résultats dans l'équation de l'énergie totale, E = p 2 / 2m + U, on obtient l'équation de Schrödinger. Notez que l équation de Schrödinger ne peut pas être dérivée. Il s agit d une équation axiomatique au même titre que les axiomes de Newton. III.2. Exemples simples a) Considérons d'abord une particule libre. La force étant nulle, U peut être posé = 0. Il est alors facile de démontrer que la fonction A exp j (k x) est une solution de l'équation de Schrödinger, avec la condition que E = ( h k) 2 / (2 m) = p 2 / 2 m. C'est la même relation énergie - quantité du mouvement qu'en physique classique. Des valeurs arbitraires d'énergie sont permises. L'onde de debroglie correspond dans ce cas à une onde passante plane. b) En introduisant pour U un potentiel qui augmente in-dé finiment sur les deux côtés (en forme de caisse, ou parabolique comme pour un oscillateur harmonique), on obtient des solutions de l'équation stationnaire de Schrödinger qui correspondent à des ondes stationnaires. Ne sont permises que quelques valeurs discrètes bien déterminées de l'énergie (cf. fréquences des ondes stationnaires). Dans le cas de l'oscillateur harmonique, on trouve que l'énergie minimale n'est pas = 0. Cela contre-dirait en fait le principe d'incertitude, puisqu' au fond de la courbe de potentiel aussi bien la position (x=0) que la quantité du mouvement (v = 0 p = 0) sont parfaitement déterminées. En introduisant pour U une force électrique de Coulomb entre charges, on obtient également des valeurs discrètes de l'énergie. Ce sont les niveaux d'énergie atomiques. c) Si le potentiel U correspond à une barrière de hauteur limitée, l'équation de Schrödinger donne lieu à une solution qui ne s'annulle ni dans ni derrière la barrière, même si l'énergie de la particule, E < hauteur de la barrière. Il y aura donc une probabilité finie de trouver la particule derrière la barrière même si son énergie ne suffirait pas pour la surmonter, d'après le raisonnement classique. C'est l' "effet tunnel". Il correspond à l «onde évanescente» connue de l optique, donc le fait que l onde «se glisse» dans la région interdite où elle décroît de manière exponentielle. Lorsque la région interdite se situe entre deux régions de propagation, l onde peut passer à travers par l effet tunnel, pourvu que la région intermédiaire ne soit pas trop épaisse.
Mécanique quantique 8 Conclusions, physique atomique et nucléaire Dans un puits de potentiel (de forme quelconque, oscillateur harmonique, potentiel de Coulomb ou autres) ne sont permises que les fonctions d'onde appartenant à des valeurs d'énergie particulières ("discrètes"). Ces énergies correspondent à des ondes stationnaires telles que l'onde aller / retour (oscillateur harmonique) ou l'onde contournant le noyau (atome) ait juste la longueur adapté à l'espace disponible. Autrement, la phase de l'onde serait différente à chaque passage et en moyenne l'onde serait éliminé par interférence. Il est particulièrement intéressant que le niveau d'énergie le plus bas de l'oscillateur harmonique ne soit pas nul. On l'explique par le fait qu'un niveau nul à la position nul permettrait de connaître en même temps la position et l'énergie (donc aussi la longueur d'onde, le nombre d'onde et donc la quantité du mouvement) ce qui est interdit par la relation d'incertitude. On démontre plus bas que le moment cinétique lui-aussi (y inclus le moment cinétique propre ou spin) ne peut prendre que des valeurs discrètes. Les électrons obéissent au principe de Pauli (voir ci-dessous) et s'opposent à se trouver voisins les uns des autres tout en ayant le même état quantique. Ils se distribuent donc sur les les différents états d'énergie et de moment cinétique. Cela explique la construction des atomes. Si les électrons étaient des particules de Bose, ils se ramasseraient tous au même niveau d'énergie. On trouve des résultats semblables en physique nucléaire, les protons et les neutrons ayant un spin ½, donc étant des fermions. Eux aussi obéissent au principe de Pauli et remplissent un à un des "couches" d'énergie du noyau. Les noyaux où ces niveaux sont juste remplis, montrent une stabilité extraordinaire ("nombres magiques"). Pour le reste, les noyaux se décrivent par le "modèle de la goutte": La force d'attraction entre les composants du noyau ("nucléons"), l'interaction forte, est en fait très forte, mais de très coutre portée. Par conséquent, un nucléon se trouve énergétiquement favorisé s'il se voit contourné par beaucoup de voisins, les nucléons au centre sont favorisés par rapport aux nucléons de la périphérie. Cela explique pourquoi on gagne en fusionnant des noyaux légers parce que plus de nucléons peuvent passer à l'intérieur du noyau. Par contre, pour les noyaux très lourds, la plupart des nucléons se trouvent déjà à l'intérieur, on ne peut plus gagner en fusionnant. L'énergie de liaison par nucléon est à peu près au maximum. Mais la répulsion électrique entre les protons augmente avec chaque proton ajouté: la force électrique n'a pas une courte portée et chaque proton repousse tous les autres. Par conséquent, les noyaux lourds rendent de l'énergie par fission ou par expulsion d'une partie des nucléons (radioactivité alpha = émission d'une particule alpha constituée de 2 protons et 2 neutrons). De même que les ondes électromagnétiques p. ex, les fonctions d'onde de la mécanique quantique ne deviennent pas nulles d'un coup à la transition vers une région énergétiquement interdite, mais elles y pénètrent, étant atténuées de manière exponentielle ("onde évanescente"). Pourvu que la région interdite soit suffisamment mince, l'onde peut même continuer à se propager derrière. C'est l'effet tunnel avec ses applications multiples.
Mécanique quantique 9 IV. Particules identiques et non-identiques, statistique de Bose et de Fermi Les règles de probabilité discutés ci-dessus mènent à des résultats curieux lorsqu'on les applique aux expériences avec des particules identiques. Considérons l'expérience de dispersion suivante (dans le repère lié au centre de masse): des particules alpha sont dispersées sur des noyaux d'oxygène, O, et nous observons les particules qui arrivent sous un angle θ, à la position du détecteur D 1. Apparemment, les deux possibilités représentées dans la figure sont à considérer. Dans le premier des deux cas, une particule alpha est enregistrée au détecteur, dans le deuxième c'est un noyau d'oxygène. Soit Ψ(θ) la fonction de probabilité de trouver une particule alpha sous l'angle θ. En vertu de la conservation de la quantité du mouvement, il faut alors qu'un noyau d'oxygène soit détecté à la position π - θ. On trouve alors la probabilité d'enregistrer une particule quelconque dans le détecteur 1: P = Ψ(θ) 2 + Ψ( π - θ ) 2 Même si nous ne nous intéressons pas à l'identité de la particule détectée, on pourra distinguer entre une particule alpha et un noyau d'oxygène en principe. Il faut donc sommer les probabilités P i. Ce formalisme reste valable en considérant la dispersion des particules alpha sur n'importe quelles autres particules, sauf sur des particules alpha! Dans ce dernier cas il sera impossible par principe de distinguer si le détecteur enregistre la particule dispersante ou la particule dispersée. Il faudra donc sommer non pas les probabilités, mais les fonctions d'ondes - il y aura interférence: P = Ψ(θ) + Ψ( π - θ ) 2 C'est tout à fait différent du résultat précédant. Considérons à titre d'exemple l'angle θ = π/2 Dans ce cas, θ = π -θ et nous avons Ψ(θ) = Ψ( π - θ ). Nous obtenons: pour les particules distinctes: P = 2 Ψ(π/2) 2 pour les particules non distinctes P = 4 Ψ(π/2) 2. On pourra dire: à cause de l'impossibilité de distinguer ces particules, le fait qu'une particule alpha soit là augmente la probabilité d'en trouver une autre dans un certain état (= position angulaire). Dans le livre de Feynman (chap. 4.2 et 4.3) vous trouverez le raisonnement exact, expliquant pourquoi la probabilité de trouver n particules alpha dans le même état est agrandie d'un facteur n! par rapport à ce qu'on attendrait normalement.
Mécanique quantique 10 Cette propriété ne se limite pas aux particules alpha mais reste valable pour toute particule ayant un spin 0 ou entier. Ces particules obéissent à ce qu'on appelle la "statistique de Bose". La caractéristique principale de cette statistique est la suivante: La probabilité de trouver des particules dans un certain état quantique est augmentée si d'autres particules identiques s'y trouvent déjà. La statique de Bose est valable pour des particules ayant un spin 0 ou entier (particules de Bose ou bosons). Pour les particules ayant un spin non nul il faut toutefois tenir compte du fait que leur orientation peut prendre des valeurs différentes. Les possibilités diverses sont à considérer correctement dans le formalisme des probabilités. A des températures très basses on trouve en fait beaucoup de particules s accumulant au même état quantique qui montrent alors un comportement collectif et non plus individuel. On appelle ce phénomène condensation Bose Einstein. Des phénomènes liés sont La suprafluidité Elle apparaît avec l hélium 4 He à très basse température. L hélium coule alors sans résistance, est capable de grimper des parois etc. La supraconductivité Ce phénomène va être discuté plus au détail ci-dessous. IV.2. Particules identiques et principe de Pauli Pour les particules ayant un spin mi-entier (électrons, protons, neutrons) on trouve une autre règle d'interférence. Plus haut, nous avions conclu: si θ = π -θ, alors Ψ(θ) = Ψ( π - θ ) C'était en fait une conclusion prématurée. Tout ce qu'on peut vraiment dire, c'est que les probabilités Ψ( θ ) 2 et Ψ( π - θ ) 2 doivent être égales. Mais l'égalité des modules ne comporte pas forcément l'égalité des fonctions d'onde. Ces dernières peuvent être multipliées par un facteur de phase du type exp j φ sans pour autant changer leur module. En fait, ce facteur n'est pas unité (donc φ = 0) pour les particules de spin mi-entier, mais égale à - 1 (ce qui correspond à φ = π ). Lorsqu'on interchange des particules de ce type, les fonctions d'onde correspondantes sont à sommer avec un signe opposé! Nous obtenons (en admettant l'orientation parallèle des spins des particules dispersante et dispersée): P = Ψ(θ) - Ψ( π - θ ) 2 et dans le cas particulier de l'angle θ = π/2 : P = 0. Les particules de spin mi-entier obéissent à la statistique de Fermi (particules de fermi, fermions). La probabilité de trouver deux de ces particules voisines l'une à l'autre au même état quantique est nulle (principe de Pauli). Les fonctions d onde ayant cette propriétés sont appélées antisymétriques (p.r. à la rotation autour de 180 ). Feynman, dans son livre, démontre avec de la logique simple et convanicante que l antisymétrie suit obligatoirement du fait que le spin soit mi-entier.
Mécanique quantique 11 V. Spins Beaucoup de particules microscopiques (p.ex. électron, proton, neutron, photon) possèdent un moment cinétique intrinsèque, nommé spin. Une charge électrique en rotation engendre un moment magnétique, c'est à dire elle se comporte comme un petit aimant capable à interagir avec des champs magnétiques extérieurs. (Le fait que le neutron lui-aussi possède un moment magnétique prouve que cette particule doit contenir des charges se compensant à zéro). En 1922, Stern et Gerlach montrèrent qu'un faisceau d'atomes d'hydrogène se divise en deux faisceaux distincts au passage d'un champ magnétique inhomogène. Evidemment, le faisceau original doit contenir deux composantes qui interagissent différemment avec le champ. On savait déjà à ce temps-là que le moment cinétique de trajectoire est nul au niveau fondamental de l'atome d'hydrogène. On en tira donc la conclusion que les électrons doivent posséder un moment cinétique intrinsèque (justement le spin) qui peut s'orienter parallèle ou anti-parallèle au champ magnétique en produisant les interactions différentes. Le spin est décrit par un nombre quantique s. Une particule de spin s possède un moment cinétique intrinsèque L propre = h s(s+1). V.1 Spins dans un champ magnétique La projection du spin sur l'axe d'un champ magnétique ne prend pas des valeurs quelconques, mais est quantisée. Les valeurs de projection permises apparaissent en intervalles de + h. C.-à-d. qu'un électron (s = ½ ) peut avoir des projections de spin sur une direction donnée de + ½ ou - ½, en unités de h.(la même chose vaut pour les protons et les neutrons, eux aussi des particules de spin ½ ). Un boson avec s = 1 donne lieu à des projections sur une direction donnée, égales à +1, 0, - 1. Supposons qu'un faisceau d'électrons passe à travers une machine du type Stern-Gerlach, le champ magnétique étant dirigé dans la direction des z. Le faisceaux est alors divisé en deux faisceaux partiels, l'un parallèle au champ (projection de s = + ½) et l'autre antiparallèle au champ (projection de s = - ½). Qu'est ce qu'on observera en posant derrière cette machine une deuxième ayant le champ magnétique orienté suivant l'axe des y? Les deux faisceaux partiels se diviseront chacun en deux, la moitié ayant les spins dirigés en direction de + y, l'autre moitié en direction de - y. Ici aussi, on ne peut donc donner que certaines probabilités de trouver l'électron dans l'un ou dans l'autre état. (Le traitement des rotations du système de référence est très clairement décrit au ch. 6 de Feynman. On y trouve aussi la preuve qu'une particule ayant deux orientations possibles par rapport à un axe donné doit obligatoirement avoir le nombre de spin ½. De même, on y explique que la fonction d'onde d'une telle particule ne reste pas la même après une rotation de 360 o, mais change de signe!)