Chapitre 4bis STATISTIQUES 2 : MOYENNE, MEDIANE, ECART-TYPE BAC PRO 3 Objectifs (à la fin du chapitre, je dois être capable de ) : - Calculer une moyenne - Calculer une médiane (caractère discret) - Tracer un polygone des FCC et déterminer une médiane. - Calculer une variance - Calculer un écart-type I. Moyenne d'une série statistique Activité 1 Une enquête a été réalisée auprès d'élèves d'une classe de CAP Photo. La question posée est la suivante : "Quelle est la note obtenue au dernier contrôle de maths?". Les réponses obtenues sont les suivantes : 06 12 15 07 07 12 14 18 12-18. 1. Quelle est la population étudiée? La population étudiée est l'ensemble des élèves d'une classe de CAP photo. 2. Quel est le caractère étudié? Le caractère étudié est la note obtenue au dernier contrôle de maths. 3. Le caractère est-il qualitatif? quantitatif? discret? continu? Le caractère est quantitatif et discret. 4. Compléter le tableau suivant à l'aide des données de l'énoncé. Note obtenue x i Effectif n i Produit x i n i x 1 = 06 1 6 x 2 = 07 2 14 x 3 = 12 3 36 x 4 = 14 1 14 x 5 = 15 1 15 x 6 = 18 2 36 TOTAL N = 10 121 5. Calculer la moyenne de cette série statistique 121 10 = 12,1. La moyenne de cette classe est de 12,1/20. chapitre 4bis Statistiques 2 1/6
Activité 2 Une enquête relative à la corpulence de 150 enfants d'une crèche a donné les résultats suivants : Poids (en kg) Nombre d'enfants n i Centre des classes x i Produit x i n i [0 ; 3[ 30 1,5 45 [3 ; 4[ 27 3,5 94,5 [4 ; 5[ 15 4,5 67,5 [5 ; 7[ 18 6 108 [7 ; 9[ 54 8 432 [9 ; 12[ 6 10,5 63 TOTAL N = 150 810 1. Compléter la deuxième colonne du tableau. 2. Le caractère étudié est-il discret ou continu? Le caractère étudié est continu. 3. Calculer les centres de classe et compléter la troisième colonne du tableau. 4. Compléter la dernière colonne du tableau. 5. Calculer le poids moyen des bébés de cette crèche. 810 = 5,4. Le poids moyen d'un enfant de cette crèche est de 5,4 kg. 150 À retenir Pour calculer la moyenne d'une série statistique, si le caractère est discret, il faut : calculer l'effectif total N si le caractère est continu, il faut : calculer l'effectif total N calculer les produits x i n i calculer les centres de classe x i effectuer la division x i n i N calculer les produits x i n i effectuer la division x i n i N Exercices n 1 / 2 / 3 chapitre 4bis Statistiques 2 2/6
II. Médiane et Fréquences Cumulées Croissantes Activité 1 Une élève de BEP a un les notes suivantes au 1 er trimestre : 05 11 14 08 13 1. Classer ces notes dans l'ordre croissant. 05 08 11 13-14 2. Quelle est la note qui se trouve "au milieu"? 11 se trouve au milieu : c'est la médiane. Un autre élève, qui a fait un devoir supplémentaire, a obtenu comme notes : 15 13 18 14 11 05 1. Classer ces notes dans l'ordre croissant. 05 11 13 14 15-18 2. Quelle note se trouve "au milieu"? 13 et 14 se trouvent au milieu. 13+14 = 13,5. 13,5 est la médiane. 2 À retenir La médiane est la valeur centrale ("du milieu") d'une série statistique. Cette valeur sépare la population en deux parties égales. Pour déterminer la médiane dans le cas d'un caractère discret, il faut : Classer les valeurs dans l'ordre croissant. Trouver la valeur du "milieu" Dans le cas d'un nombre impair de valeurs : la médiane est la valeur "du milieu". Dans le cas d'un nombre pair de valeurs, il faut calculer la moyenne des 2 valeurs du milieu. Cette valeur est la médiane. Activité 2 La prime annuelle de 40 employés d'une entreprise se répartit de la façon suivante : Prime (en ) Nombre d'employés n i Centre de classe Fréquence f i Fréquences cumulées croissantes [0 ; 60[ 10 30 0,25 0,25 [60 ; 100[ 4 80 0,10 0,35 [100 ; 200[ 8 150 0,20 0,55 [200 ; 300[ 12 250 0,30 0,85 [300 ; 500[ 6 400 0,15 1 N = 40 1 1. Calculer les centres de classe et compléter la troisième colonne. 2. Calculer les fréquences f i de répartition des primes et compléter la quatrième colonne. Calcul d'une fréquence : Une fréquence est égale à la valeur décimale d'un pourcentage. Ex : La fréquence qui correspond à 25 % est 0,25. Remarque : la somme des pourcentages est égale à 100 % ; la somme des fréquences est égale à 1. chapitre 4bis Statistiques 2 3/6
3. Calculer les effectifs cumulés croissants. 4. Construire ci-dessous le polygone des fréquences cumulées croissantes. Construction du polygone des FCC - L axe horizontal porte le caractère étudié. (Ici le montant de la prime). - L axe vertical porte les fréquences cumulées croissantes. - Placer les points de coordonnées (valeur maximale de la classe ; FCC) - Relier ces points suivants des bouts de droites. Fréquence 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 M 100 200 300 400 500 Prime ( ) 5. Placer le point M d'ordonnée 0,5. Quelle est l'abscisse correspondante? L'abscisse du point M est environ égale à 175. 6. Quel est le pourcentage d'employés ayant moins de 175 de prime? 50 % des employés ont moins de 175 euros de prime. 7. Quel est le pourcentage d'employés ayant plus de 175 de prime? 50 % des employés ont plus de 175 euros de prime. À retenir Pour déterminer la médiane dans le cas d'un caractère continu, il faut : o Construire un tableau contenant : Les effectifs n i. Les centres de classe x i. Les fréquences. Les fréquences cumulées croissantes. o Tracer le polygone des fréquences cumulées croissantes (ou polygone des ECC, voir exercices). o Placer le point M ayant pour coordonnées une fréquence de 0,5. o Lire la valeur de la médiane m (abscisse du point M). Exercices n 4 / 5 / 6 chapitre 4bis Statistiques 2 4/6
III. Variance et Ecart-type Activité On considère deux classes de BEP secrétariat d'un même lycée. Voici la répartition des notes dans les deux classes, pour le même contrôle. Classe 1 : 07 09 10 11 12 13-15 Classe 2 : 01 03 05 15 16 18-19 1. Calculer la moyenne des notes dans les deux cas. 07 + 09 + 10 + 11 + 12 + 13 + 15 Classe 1 : x 1 = = 77 6 7 = 11 01 + 03 + 05 + 15 + 16 + 18 + 19 Classe 2 : x 2 = = 77 6 7 = 11 2. Placer dans les repères ci-dessous les 7 notes de chaque classe, ainsi que la moyenne. 20 20 15 15 10 10 05 05 0 0 3. Que remarque-t-on quant à la répartition des notes autour de la moyenne? Dans le 1 er cas, les notes sont plus rapprochées autour de la note moyenne. 4. Nous allons désormais montrer cet "écart à la moyenne" par le calcul. Pour cela, remplir les tableaux suivants : chapitre 4bis Statistiques 2 5/6
Notes x i Effectif n i x i - x n i (x i x )² 07 1 4 16 09 1 2 4 10 1 1 1 11 1 0 0 12 1 1 1 13 1 2 4 15 1 4 16 7 42 Notes x i Effectif n i x i - x n i (x i x )² 01 1 10 100 03 1 8 64 05 1 6 36 15 1 4 16 16 1 5 25 18 1 7 49 19 1 8 64 7 354 5. Calculer la moyenne des carrés des écarts à la moyenne dans les deux cas : Cas n 1 : V = 42 7 = 6 Cas n 2 : V = 354 7 50,6 6. Calculer la racine carrée de ces valeurs. Cas n 1 : σ = V = 6 2,45 Cas n 2 : σ = V = 50,6 7,11 À Retenir Pour calculer la variance, il faut : calculer la moyenne calculer l'écart à la moyenne (x i - x ) calculer le carré des écarts à la moyenne (x i - x )² calculer la moyenne des écarts à la moyenne n1(x1 - x )² + n2(x 2 N - x )² + Pour trouver l'écart-type, il faut calculer la racine carrée de la variance : σ = V Remarque : plus les valeurs prises par le caractère seront centrées autour de la valeur moyenne, plus la variance et l'écart-type seront de petites valeurs. Exercices n 7 / 8 chapitre 4bis Statistiques 2 6/6