APPRENDRE ET S ENTRAINER A RESOUDRE UN PROBLEME MATHEMATIQUE Animation pédagogique Brest Iroise Marianne André, Psychologue Scolaire ER Michel Malgorn, Maître E puis Enseignant Clis Nadia Météry, Coordonnatrice RRS Sylvaine Talarmin CPC IUFM Brest 28/11/2012
Enjeux de la formation: Comment faire progresser tous les élèves en proposant des situations adaptées de résolution de problème. Présentation: Compte-rendu d une expérimentation Réflexions, aspects théoriques
APPRENDRE À RÉSOUDRE UN PROBLÈME MATHÉMATIQUE Expérimentation «Ecole de Pen ar Streat» «Faire un problème, ce n est pas un problème». (Un élève de cycle 3)
Contexte Mauvais résultats aux évaluations nationales CM2 de janvier 2010. Nouvelle passation en juin 2010; mesure de progrès en numération, calcul et géométrie mais pas en organisation et gestion des données (résolution de problèmes.) Questionnement! Interrogations! Comment faire progresser tous les élèves en proposant des situations adaptées?
Réflexions, aspect théorique Les membres du RASED proposent à l équipe du cycle 3 une expérimentation. Celle -ci débute par une évaluation. Cette première évaluation diagnostique proposée, a été construite en tenant compte des travaux menés par le groupe de recherche auquel Michel Malgorn participait et les réflexions et travaux de Marianne André menés depuis plusieurs années. 15 problèmes sont proposés aux élèves de CM1 et CM2 Listes problèmes.docx Mise en situation ( questionnement écrit individuel): «A votre avis, quelles sont les difficultés rencontrées par les élèves dans chacun des problèmes suivants?»
6 : Trente-six enfants et quatre adultes montent dans un bus de cinquante places. Combien reste-il de places libres dans le bus? 8 : Un maraîcher range ses pommes dans des caissettes qui en contiennent 24. Combien de pommes range-t-il dans 3 caissettes? 10 : 5 enfants partagent 20 bonbons. Combien de bonbons chaque enfant aura-t-il? 14 : Pour faire un bracelet, Marion utilise 10 perles vertes, 7 perles rouges et 9 perles bleues. Combien de perles lui faudrait-il pour fabriquer 3 bracelets? 15: Une école souhaite organiser un spectacle avec 5 artistes. Chaque artiste sera payé cinquante euros. Le voyage des artistes coûtera deux cents euros. Les parents d élèves donnent à l école cent-dix euros et la mairie donne deux-cents quarante euros. Combien d argent manque-t-il à l école pour payer le spectacle? Vous avez 5 mn...
Les difficultés présumées: 6: Trente-six enfants et quatre adultes montent dans un bus de cinquante places. Combien reste-il de places libres dans le bus? 8 : Un maraîcher range ses pommes dans des caissettes qui en contiennent 24. Combien de pommes range-t-il dans 3 caissettes? 10 : 5 enfants partagent 20 bonbons. Combien de bonbons chaque enfant aura-t-il?
14: Pour faire un bracelet, Marion utilise 10 perles vertes, 7 perles rouges et 9 perles bleues. Combien de perles lui faudrait-il pour fabriquer 3 bracelets? 15: Une école souhaite organiser un spectacle avec 5 artistes. Chaque artiste sera payé cinquante euros. Le voyage des artistes coûtera deux cents euros. Les parents d élèves donnent à l école cent-dix euros et la mairie donne deux-cents quarante euros. Combien d argent manque-t-il à l école pour payer le spectacle?
Analyse de l évaluation d une classe de CM2 de Brest Iroise Sur 25 élèves: - 8 ont réussi entre 7 et11problèmes - 17 ont réussi entre 12 et 15 problèmes - 12 élèves n ont pas réussi le problème de partage des bonbons - 19 n ont pas réussi les perles - 23 sur 25 n ont pas réussi le 15 (spectacle APE) - 4 élèves ont un utilisé un seul schéma et tous pour résoudre le problème du partage Les erreurs: - Sens de l opération - Phrase réponse ne correspondant pas à la question posée: pas de représentation mentale - Problèmes complexes: arrêt à la première partie et donc un réponse ne répondant pas à la question posée.
Expérimentation de Pen Ar Stréat Analyse des évaluations Sur 21 élèves, 14 n ont pas réussi à résoudre la moitié des problèmes. On constate par ailleurs que le recours au schéma est inexistant. Les élèves n écrivent pas toujours d opération. La phrase réponse n apparaît pas toujours ou est incorrecte. Constats - n utilisent pas le schéma - pour la plupart d entre eux n ont ni méthode ni rigueur - ont peur des problèmes - ont de grandes difficultés à analyser une situation mathématique - n ont pas pour un certain nombre d entre eux le sens des opérations
Pour pallier à ces difficultés, deux axes de travail sont à privilégier: Mobiliser des ressources cognitives Favoriser des attitudes pour apprendre
Les ressources cognitives à mobiliser. Utiliser les nombres entiers et décimaux Comprendre le sens des opérations et les utiliser à bon escient Utiliser les mesures de longueur, masse Aborder la notion de tout ou partie Travailler la compréhension de textes Travailler sur le lexique
Les attitudes pour apprendre. Se faire des images mentales Schématiser( lire et réaliser des schémas ) Se concentrer et réfléchir Travailler seul Argumenter et expliquer sa démarche Savoir demander de l aide de façon pertinente Accepter l erreur comme étape de l apprentissage Mobiliser des compétences transversales Combattre des habitudes Avoir de la rigueur Dédramatiser le terme «problèmes» Développer la notion de plaisir pour les élèves et les enseignants
Classe de CM2: 3 groupes : L expérimentation. 5 élèves en difficulté sont pris en charge par Marianne André, psychologue scolaire du RASED. 5 élèves en difficulté sont pris en charge par Michel Malgorn, enseignant maître E du RASED 15 élèves plus performants mais groupe hétérogène pris en charge par Maryse Le Guen, enseignante de la classe Les séances se déroulent deux fois par semaine et durent 45 minutes «S entraîner c est essentiel sinon il n y a pas d apprentissage.»
La démarche: une séance avec des élèves en difficulté Présentation des enjeux de la séance :( clarté cognitive) Pourquoi sommes-nous là? De quels outils dispose-t-on pour résoudre ces problèmes? Phase de manipulation: Travail sur le sens des opérations et l organisation du nombre (cartes opérations + objets) Travail sur le lexique ( cartes-mots ) Phase de transposition Apprendre à lire et à réaliser des schémas Phase de réinvestissement Résolution de problèmes (Def Clarté cognitive.docx)
Quels Outils? Pourquoi les utiliser? Les cartes mots : Pourquoi? Pour travailler le lexique et associer une opération mathématique au mot ou à l expression. Les objets pour la manipulation: (jetons, bûchettes, tableaux de Montessori) Les cartes opérations : Pourquoi? Pour travailler le sens des opérations. Pour travailler l organisation du nombre Les carnets de schémas Pourquoi? Pour apprendre à lire un schéma Pour apprendre à faire un schéma Le But : Associer un schéma et une opération afin de les utiliser dans la résolution des problèmes
Les carnets de problèmes: Pourquoi? Pour travailler la résolution de problèmes Pour favoriser le transfert des compétences acquises par les cartes mots, cartes opérations et carnet de schémas. Les batteries de situations utilisées en CM2 Les élèves travaillent en autonomie. Chacun avance à son rythme, les situations sont déclinées sur un même thème avec une graduation de la difficulté. Les exigences 1 schéma pour concrétiser l opération Des controverses existent sur cette question mais dans le champ de la difficulté, le choix de cette étape permet de donner aux élèves toutes les clefs nécessaires. On pourra faire l économie de cette étape pour les plus forts.
Ce schéma permet d exiger des explications car le calcul ne suffit pas, pour éviter l intuition et être sur de la pensée et des images mentales. La présence des opérations 1 phrase réponse sans faute d orthographe les carnets de problèmes : lire 3 fois le texte, souligner la question, échanger sur la situation en reformulant La calculatrice est utilisée pour casser la mauvaise habitude du calcul à tout prix, montrer que c est le raisonnement le plus important, gagner du temps. Nous ne sommes pas dans la technique
Entraînement à la résolution de problèmes CM1 - CM2 De septembre 2010 - juin 2011 Groupes RASED Les premières séances : 1 ère période (pendant 10 semaines à raison de 2 fois par semaine)
1. Rappel du but de ces séances : «Pourquoi êtes-vous là?» Pour apprendre à résoudre des problèmes. «De quoi dispose-t-on pour résoudre les problèmes?» on dispose de 4 opérations : addition, soustraction, multiplication, division il est nécessaire d apprendre et de mémoriser les termes exacts (et non plus : plus, moins, fois ).
2. Manipulation : (pendant 10 à 15 minutes) Les élèves reçoivent une carte opération o ils doivent l illustrer avec des bûchettes, des jetons, des pions, du matériel Montessori o et donner le nom de l opération en y associant le terme somme, différence, produit ou quotient et verbaliser leur action. Ces situations ont conduit à des discussions et à des réflexions sur la commutativité de l addition et de la multiplication
3. Lecture et réalisation de schémas (pendant 10 à 15 minutes) pour comprendre le sens des opérations Fiches que les élèves complètent : (6 présentations par fiche / 3 à 4 fiches par séance)
4. Résolution de problèmes : (15 à 20 minutes) Pour commencer des extraits de problèmes sont proposés aux élèves. Au début de l expérimentation, nous avons proposé d emblée des énoncés complets aux enfants mais ces derniers rencontraient d importantes difficultés à trier les informations données et à se faire des images mentales, d où la mise en place de cette étape «Extraits de problèmes». On leur demande de se faire des images puis de schématiser ce qui est écrit et d écrire l opération qui correspond au schéma.
Durant cette période, ce sont des problèmes simples qui ont été donnés aux élèves (1 ou 2 opérations). On leur demandait de : -lire le texte au minimum 2 fois, -d être capable de le reformuler, -de surligner la question - de faire un schéma -d écrire l opération correspondante au schéma -d écrire la phrase réponse sans erreur (exigence au niveau de la formulation et de l orthographe). A noter que les élèves disposaient des calculatrices pour gagner du temps et bien se focaliser sur le raisonnement mathématique.
Pendant une période assez longue, il a fallu lutter contre l habitude qu avaient développée les élèves à vouloir à tout prix trouver le résultat et cela sans prendre le temps de vraiment réfléchir et raisonner Nous avons aussi tenté de leur apprendre à ne plus avoir «peur» des problèmes et à ce que cela entraînait : " C est trop dur." "Je n aime pas les problèmes." "De toute façon, je n y arriverai jamais." "Je suis nul(le) en mathématiques." "Je n y comprends rien.«durant ces séances, nous avons tenté de faire de la résolution de problèmes un moment de plaisir et de réussite.
Lorsque nous avons commencé cette expérimentation, nous pensions pouvoir d emblée aborder la résolution de problèmes. Mais il nous a fallu revoir ce que nous avions prévu et construire les séances au fur et à mesure de l évolution des élèves. Nous avons dû commencer par reprendre : l étude du sens des 4 opérations, revoir des notions que nous supposions acquises et qui ne l étaient pas (autant, de plus, de moins, le triple, la moitié ). Certes les élèves connaissaient ces mots mais n en connaissaient pas vraiment le sens, ne les visualisaient pas ou peu ou mal et se trouvaient dans l incapacité de les expliciter et de les représenter. Leur apprendre à schématiser et à différencier schéma et dessin.
Nous savons que: certains élèves n ont pas besoin de schématiser pour comprendre et résoudre des problèmes certains auteurs estiment que ces représentations sont avant tout des représentations d adultes et donc peu accessibles aux enfants des classes élémentaires Cependant nous avons décidé d exiger cette étape dans notre expérimentation afin de donner aux élèves un outil supplémentaire pour la résolution.
Les séances suivantes : 2 ème période Rappel du but de ces séances : «Pourquoi êtes-vous là?» - pour apprendre à résoudre des problèmes «De quoi dispose-t-on pour résoudre les problèmes? - pour résoudre les problèmes, on dispose de 4 opérations : addition, soustraction, multiplication, division «Comment fait-on pour résoudre un problème?» - pour résoudre un problème, il faut d abord lire le texte 2 ou 3 fois, comprendre en se faisant des images
2. Travail sur le lexique : (5 minutes) Les élèves reçoivent une carte qu ils lisent à voix haute et à laquelle ils doivent associer une opération. Un jeu d une cinquantaine de cartes a été réalisé. Les enseignantes ont un exemplaire et l utilisent également dans leur classe pendant les séances-problèmes.
3. Carnet de schémas : (15 minutes) Pour apprendre à lire et à réaliser des schémas. Jusqu alors les schémas se faisaient sur des feuilles volantes données à chaque élève au fur et à mesure de ses progrès et cela devenait difficile à gérer d où l idée de réaliser ces carnets. Au cours de chaque séance, l adulte demande à chacun d inventer un énoncé de problème pour illustrer un ou deux des schémas qu il a réalisés ou qu il a traduits en opération.
4. Résolution de problèmes : (15 à 20 minutes) Un problème collectif est proposé (texte présenté sur un pupitre). Les élèves le lisent 2 à 3 fois silencieusement, l adulte le lit à voix haute puis le texte est caché on leur demande de le reformuler, d expliquer ce qui se passe et où cela se passe et enfin ce qu ils vont devoir chercher. Ceci a pour but d aider les enfants -à se faire des images mentales -- à acquérir un savoir-faire face à un problème en travaillant notamment sur le vocabulaire et l attitude -- à comprendre un énoncé
Texte proposé: Jean achète une cravate qui coûte 26 euros, un bermuda valant 38 euros et trois paires de chaussettes à 8 euros chaque. Il donne un billet à la vendeuse et celle-ci lui rend 12 euros. Un billet de combien d euros Jean a-t-il donné à la vendeuse? Texte caché -De qui parle-t-on? De Jean. - Où est-il? Dans un magasin. -Dans quel genre de magasin? Un magasin de vêtements ou un rayon vêtements d un grand magasin. - Qu a-t-il fait? Il a acheté des chaussettes, une cravate et un bermuda. - Dans quel endroit du magasin exactement est-il? Il est à la caisse. - Que cherche-t-on? On cherche combien d euros il a donnés à la vendeuse -De quoi devra parler la réponse? D euros. Face à ce genre d énoncé, il a fallu à plusieurs reprises, jouer la scène en utilisant des pièces et des billets, les enfants ayant des difficultés à comprendre et accepter que lorsqu on achète quelque chose, on entre et on sort du magasin avec la même somme : une partie de cette somme s étant transformée en achats, l autre partie étant l argent rendu
Travail sur le «tout et partie» Depuis le mois d avril, les notions de «tout» et «partie» ont été introduites et travailler à chaque séance. - Pour chercher un «tout», on dispose de 2 opérations : l addition et la multiplication.» - Pour chercher une «partie», on dispose de 2 opérations : la soustraction et la division. Ces notions sont travaillées et entraînées avec une batterie de problèmes courts lus 2 fois par l adulte. Les élèves ne voient pas le texte travail sur la mémoire de travail, la représentation mentale, le sens des opérations et le raisonnement mathématique. Les élèves résolvent rapidement ces problèmes sur ardoise (dans cet exercice, on leur demande de faire un schéma et l opération correspondante).
Quelques exemples -Pour faire 7 pulls identiques, il faut 56 pelotes de laine. Combien de pelotes fautil pour faire 14 pulls? -- Il a acheté un pantalon à 27 et une chemise à 19. On lui rend 4. Combien d euros a-t-il donnés? -- Il a perdu 27 cartes. A présent, il en a 19. Combien de cartes avait-il au départ? -- Sachant qu il faut 162 perles pour réaliser 6 bracelets identiques, combien fautil de perles pour faire un bracelet? 12 bracelets? 18 bracelets? -- Elle a rempli 3 cartons contenant chacun 24 boîtes de 6 œufs. Combien a-t-elle d œufs? -- Sachant qu une brique mesure 45 cm de long, combien faut-il de briques pour faire une bordure de 540 cm de long?
Carnet de problèmes : Comme précédemment, on leur demande de : -lire le texte au minimum 2 fois, -d être capable de le reformuler, -de surligner la question -de faire un schéma ou des schémas -d écrire l opération (ou les opérations) correspondante(s) au(x) schéma(s) -d écrire la phrase réponse sans erreur (exigence au niveau de la formulation et de l orthographe).
Les problèmes déclinés La déclinaison consiste à proposer un même problèmes dont l énoncé se complexifie. Il y a donc six versions du même problème à disposition de chaque élève. Quand un élève a résolu le problème 1, il le présente à l enseignante. Si le raisonnement est validé il passe au suivant et ainsi de suite. Cela permet à chacun de progresser à son rythme et d avoir un échange individuel avec l enseignante à chaque étape. La répétition des situations-problèmes constitue en soi un apprentissage. En partant d un même énonce qui se complexifie, on élimine l effet de surprise qui peut désarçonner certains élèves: on facilite ainsi la pensée et le raisonnement.
Evaluation CM2 janvier 2011 - Résultats en hausse - Les élèves sont plus performants - Des efforts dans la présentation - Des traces de réflexion (schémas) Premiers Constats De la part des élèves et des enseignants - Du plaisir partagé par tous (élèves et enseignants) «les enfants souhaitent finir à la maison entre 12h et 14h parfois» «ils aiment les problèmes, moi aussi» - Moins de réticences des enseignants pour «faire des problèmes» - Des exigences fortes - Ambition pour les élèves et lutter contre le déterminisme - Tous les élèves cherchent «ils savent ce que résoudre un problème signifie : on construit du sens» - Une différentiation est proposée grâce à l organisation - Plaisir de raisonner sans danger - Autonomie des élèves - Sens des opérations
Bibliographie Appuis théoriques -Comptes pour petits et grands (Ed Magnard) Stella Baruk -Le nombre et la numération (Ed Papyrus) Michelle Bacquet et Bernadette Gueritte- Hess -Difficultés en mathématiques : Evaluation et rééducation ( Ed Papyrus, ISOSCEL) Hélène Koppel -L enfant en difficulté d apprentissage en mathématiques C.Van Nieuwerhoven et S.De Vriendt -Troubles du langage et dyscalculies chez l enfant ( Ed Masson) Anne Van Hout et Claire Meljac -Ouvrages de Montessori -Psychologie des apprentissages scolaires sous la direction de M.Crahay et M. Dutrévis
Apprendre et s entraîner à résoudre des problèmes: Des propositions de travail pour une progressivité des apprentissages: Niveau 1 : Transposition de la démarche expérimentée à Pen-ar-Stréat Premiers apprentissages pour tous sur quelques séances à partir du CE2 jusqu au CM2 Elèves fragiles : aussi longtemps que nécessaire en différenciation de classe (CE2,CM1,CM2) Elèves en difficulté : en aide personnalisée. (CE2,CM1,CM2) Niveau 2: Carnets de problèmes (Type Macmaths RRS) Problèmes Macmaths CE2\Carnets problèmes Niv 2.doc Niveau 3: Problèmes déclinés et 100% Problèmes Problèmes Macmaths CE2\Problèmes Niv 3.doc Niveau 4: Démarche automatisée, vers une complexification des problèmes proposés.