Groupe n 61 La montée de la sève dans les végétaux

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1 Lycée Camille Guérin XX ème olympiades de Physique France Groupe n 61 La montée de la sève dans les végétaux Par Jean-Baptiste BENIELLI, Nahil BENKHAÏ, Bilal TRAIY Professeur encadrant : M.BELAZREG

2 INTRODUCTION GENERALE CHAPITRE 1 : LES PHENOMENES DE SURFACE 1. Qu est ce que la tension superficielle d un liquide? 1.1 Introduction. 1.2 Forces intermoléculaires dans un fluide Définition 1.3 La tension superficielle Définition 1.4 Quel est le rôle de la loi de Laplace? Mise en évidence Cas particuliers Formule de Laplace, généralisation 1.5 Liquide en contact d un solide, angle de raccordement Quel est le rapport entre les tensions superficielles d un point triple et l angle de raccordent Qu est un angle de raccordement? Diversité des angles de raccordement à causes de nombreux facteurs 2 Qu est ce que l ascension capillaire? 2.1 La capillarité, c est quoi? 2.2 Loi de Jurin et démonstration Expérience relative : la hauteur atteinte par l eau dans des capillaires différents, application de la loi de Jurin CHAPITRE 2 : LA TRANSPIRATION FOLIAIRE 1 Introduction 2 Comment la cohésion des molécules d eau accélère la montée de la sève? 3 Expérience 3.1 Expérience du sachet. 3.2 Expérience de Dixon 4. Quels sont les facteurs influençant la transpiration? 5. Quel est le rapport avec la tension superficielle?.. 6. Conclusion CHAPITRE 3 : L OSMOSE 1. Qu est ce que l osmose? Quelle est la différence avec le phénomène de diffusion? 3. Qu est ce que la pression osmotique? 4. Application CONCLUSION GENERALE. BIBLIOGRAPHIE

3 INTRODCUTION GENERALE La sève est le milieu liquide qui circule grâce à des cellules spécialisées appelées «vaisseaux», entre les différents organes des plantes pour transporter les éléments nutritifs nécessaires à leur croissance et redistribuer les substances organiques élaborées par la photosynthèse. Tous les végétaux, des petites plantes aux grands arbres, utilisent un double système de vaisseaux analogue à celui de la circulation sanguine chez l'homme. Comment la sève arrive-t-elle à monter dans les végétaux? Chronologiquement, la montée de la sève débute grâce aux phénomènes de surfaces qui assurent une montée de cette dernière à un mètre de hauteur environ, ensuite viennent l osmose et la transpiration foliaire, elles deux assurent la montée de ce liquide à une hauteur phénoménale. CHAPITRE 1 : LES PHENOMENES DE SURFACES Les phénomènes de surfaces sont des phénomènes se produisant au niveau de la surface de séparation entre deux milieux différents en contact (par exemple eau-air) sans se mélanger. Ils permettent à la sève de monter à un mètre de haut, et constituent une amorce indispensable à la montée de la sève dans les végétaux. 1.Qu est ce que la tension superficielle d un liquide? 1.1 Introduction De nombreuses observations montrent que la surface d un liquide présente certaines particularités qui semblent remettre en cause les lois de l hydrostatique : les liquides contenus dans des capillaires ont tendances à s élever ou s abaisser par rapport au niveau du liquide environnant. De même, les surfaces libres des liquides sont tendues comme une membrane élastique. Effectivement, un trombone déposé délicatement sur la surface de l eau d un verre rempli, flotte. L addition d un détergent détruira ce fragile équilibre (voir expérience du trombone) Ces phénomènes s expliquent par l existence des forces de tensions superficielles, également appelés forces capillaires Forces intermoléculaires dans un fluide. Énergie de surface L étude des fluides a montré qu il y avait des forces d interactions attractives entre les molécules avec un rayon d action faible, d une douzaine de nanomètres. Ainsi, pour une molécule donnée, de centre O, seules les molécules contenues dans la sphère de centre O et de rayon r d environ 12 nm agissent sur elle. Figure 1 Une molécule à l intérieur du liquide est en équilibre grâce aux forces exercées sur elle, dans toutes les directions, par les autres molécules qui l entoure. Pour les molécules superficielles, c'est-à-dire celles qui appartiennent aux couches constituant l interface gaz (air)-liquide, il n y a plus de compensation possible. Chacune de ces molécules

4 sera soumise à une force dirigée vers l intérieur du liquide. En effet, comme les molécules dans le liquide - sont stables à l état liquide, la résultante de ces forces est donc égale au vecteur nul, elles s annulent ; mais les molécules à la surface de l eau sont dirigées vers le bas, car la somme des forces qui s exercent n est pas égale au vecteur nul. L ensemble de ces forces tend à comprimer légèrement la couche de surface et a tendance à réduire la surface libre du liquide. Pour accroître l air de la surface libre du liquide, il faut amener des molécules de l intérieur vers la surface libre et donc fournir de l énergie au fluide. Le travail fourni par le milieu extérieur au fluide, pour accroitre sa surface ds, est proportionnel à la variation de surface soit : dw = ds correspond à la constante ou coefficient de proportionnalité de tension superficielle, elle en N/m. - dw correspond à l énergie de surface, elle s exprime en J/m - ds correspond à la surface du fluide, elle s exprime en m 2 s exprime en J/m ou Par ailleurs, la tension superficielle d une interface entre deux composés 1 et 2 de tensions superficielles 1 et 2 peut être exprimée à partir de l expression suivante : 1,2 = x ( ) 1/2 1.3 La tension superficielle Dans le cadre dans notre problématique, nous choisissons d étudier une portion rectangulaire de la surface plane horizontale d un liquide (film) : Figure 2 L expérience montre qu elle exerce sur le côté droit du rectangle une force F dirigée vers l intérieur, parallèle à Oz et de norme proportionnelle à la longueur L du coté droit du rectangle : F = γ.l γ : constante de tension superficielle du liquide.

5 Pour accroître la surface du film d une quantité ds =L.dl, il faut une énergie dw qui correspond simplement au travail élémentaire de la force F et s exprime par : dw = F. dl = 2.L. dl = 2.dS La sève étant composée d eau et sels minéraux, la constante de tension superficielle de la sève est donc celle de l eau environ soit : sève = N.m Quel est le rôle de la loi de Laplace? En mécanique des fluides, la loi de Laplace relit la courbure locale d une interface à la différence de pression entre les deux milieux en présence. En thermodynamique, la loi de Laplace relie la pression et le volume, la température et le volume, ou la pression et la température. Cette loi décrit la discontinuité de pression de part et d autre d une interface courbée Mise en évidence Si on gonfle à l aide d une paille creuse une bulle de savon et qu on arrête de souffler, la bulle se dégonfle. Il y a donc une surpression à l intérieur de la bulle. Laplace a calculé cette surpression Cas particuliers Dans le cas de notre problématique, on choisit de traiter uniquement la différence de pression dans la goutte liquide comme se présente la sève Surpression dans la goutte liquide On considère une goutte liquide, sphérique, de rayon R, immobile. La goutte est en équilibre donc : Comme : -F pression =PS=-P(P e -P i )4 R 2 et F tension = (ds/dr)= 8 R alors, l expression de la suppression interne est : P =P e -P i =2 /R P, P e, P i en Pascale en N.m -1 R en m Formule de Laplace - Capillarité Si l interface n est pas sphérique, on a donc deux rayons de courbure : R 1 et R 2 ; suivant deux directions orthogonales, la surpression est calculée grâce à la formule de Laplace à une interface de forme quelconque : P= (1/ R 1 +1/R 2 )= C voir unités ci-dessus

6 Figure Liquide en contact d un solide. Angle de raccordement Quel est le rapport entre les tensions superficielles d un point triple et l angle de raccordent? On a vu précédemment qu au niveau des interfaces, la discontinuité des forces moléculaire implique l existence d une tension de surface, qui est relié à la cohésion des molécules entre elles qui est différent selon les états de la matière. L équation de Young-Dupré l angle de contact d un point triple, ou point de contact, aux tensions de surfaces des trois interfaces : -tension superficielle pour l interface liquide-solide : LS -tension superficielle pour l interface solide-gazeux : GS -tension superficielle pour l interface liquide gazeux : GL D où : cos θ = ( GS - LS )/ GL ; en J/m Qu est ce qu un angle de raccordement? Si la goutte liquide est immobile posée sur une surface solide horizontale, il faut considérer trois interfaces : gazeux/liquide, gazeux/solide et solide/gazeux. Au point I de contact entre la paroi solide, le gaz et le liquide, la surface libre du liquide fait un angle θ avec la paroi, on l appelle angle de raccordement ou angle de mouillage. Ce dernier traduit l équilibre entre les forces de tensions superficielles dues aux interactions des molécules aux interfaces G/L, G/S et L/S

7 1.5.3 Diversité des angles de raccordement à causes de nombreux facteurs Cet angle θ dépend : -de la nature des trois phases en présence -de l état de propreté de la paroi solide -du degré de polissage de cette même paroi Il y a des différents types d angle selon deux différents cas : -si l angle est aigue, c'est-à-dire : O<θ< /2 ; le liquide mouille le solide, en effet les forces de tensions superficielles résultantes notées F R, exercée sur le liquide dans le plan tangent à la surface du liquide est dirigée vers le solide. Figure 4 Cas particulier : si θ=o rad alors la mouillabilité est parfaite ou totale, on parle d étalement infini du liquide. -si l angle est obtus, c'est-à-dire : /2<θ< ; le liquide ne mouille pas le solide, A la limite, le mouillage est nul lorsque θ=, on dit que le liquide ne mouille pas le solide. est dirigée vers le liquide. Figure 5 En outre, l adjonction d un agent mouillant (savon) à l eau diminue l angle θ et permet à l eau de s introduire jusque dans la trame la plus fine des étoffes afin de les laver. Mais, des agents imperméabilisants ont un effet contraire. Ainsi, la différence d angle de mouillage va accélérer ou décélérer la montée de la sève 2. Qu est ce l ascension capillaire? Il existe deux phénomènes d ascension capillaire : le phénomène d ascension capillaire près d une paroi et le phénomène d ascension capillaire dans un tube. Dans le cadre de notre problématique, on s intéresse uniquement à l ascension capillaire dans un tube car l ascension de la sève par capillarité se fait dans des vaisseaux de l ordre de 50 μm. 2.1 Capillarité, c est quoi? L existence des forces de tension superficielle ou forces capillaires explique l ascension des liquides dans des tubes capillaires comme par exemple : l ascension de la sève dans les vaisseaux de l arbre.

8 Si on plonge un tube capillaire dans de l eau, on observe que l eau monte dans le tube. De plus, la surface libre de l eau dans le capillaire n est pas plane et horizontale. Cette ascension de l eau, dans le capillaire, caractérise les phénomènes de capillarité et s explique par la dépression qui accompagne le ménisque. Ce phénomène dépend des grandeurs relatives des forces de cohésion et d adhésion des substances. Le degré d ascension ou d abaissement d un liquide est lié à la tension superficielle ainsi qu à l angle de raccordement θ et au rayon r du capillaire. Figure Loi de Jurin Considérons un liquide mouillant dans lequel on plonge un tube capillaire de rayon r. La hauteur d ascension de l eau est h et l angle de raccordement est θ. Etudions l équilibre du cylindre d eau de hauteur h et de rayon r Il est soumis d une part à son poids et d autre part à la résultante des tensions superficielles. L équilibre de cette colonne d eau se traduit par : + = où P=mg= Vg= Shg=p r 2 hg En projetant l équation + = selon un axe vertical ascendant, on obtient : Comme F z = F cosθ avec F = l = 2 r car l = 2 r Alors : 2 r cosθ- p r 2 hg = 0 D où la loi de Jurin : F z p r 2 hg = 0 h = 2 cosθ / ρgr avec h en m, en N/m, θ en rad, ρ en m/kg, g en N/kg 2 /m -2, r en m.

9 Figure Expérience relative : la hauteur atteinte par l eau dans des capillaires différents, application de la loi de Jurin Objectif : -on cherche à vérifier que la hauteur atteinte par un liquide dépend du diamètre du capillaire Matériel : -coupelle d eau liquide -capillaire de diamètres différents (en prendre trois par exemple) Protocole : -introduire un des trois capillaires dans l eau et noter à l aide d un marqueur la hauteur atteinte par l eau par ascension capillaire -faire de même pour les deux autres capillaires NB : noter h 1 la hauteur du capillaire possédant le plus faible diamètre d 1, h 2 la hauteur pour le diamètre d 2, et h 3 pour le diamètre d 3, tels qu on est : d 1 >d 2 >d 3 Constat : - h 1 <h 2 <h 3 Conclusion :- comme d 1 >d 2 >d 3, on a : h 1 <h 2 <h 3, d où la hauteur atteinte par l eau par ascension capillaire est d autant plus élevés que les diamètres des capillaires sont faibles. Schématiquement : d 1 d 2 d 3 : on a d 1 >d 2 >d 3 d où : h1<h2<h3 h 1 h 2 h 3 C 1 C 2 C 3 Cependant, les phénomènes de surfaces n expliquent pas entièrement la montée de la sève à des hauteurs très importante

10 CHAPITRE 2 : LA TRANSPIRATION FOLIAIRE 1. Introduction La transpiration foliaire est définie comme étant l'émission d'eau à l'état de vapeur par les feuilles des végétaux dans l'atmosphère. La transpiration est le mécanisme essentiel qui permet le maintien de l'équilibre hydrique des végétaux, et la régulation de la température de l arbre. Plus de 98% de l eau absorbée par les racines est rejetée au niveau des feuilles. Seul 2 % environ de l eau puisée dans le sol sert à la photosynthèse, le reste est évaporé lors de la transpiration foliaire. Cette transpiration va créer une différence de pression entre le haut de l arbre au niveau des feuilles et le bas de l arbre au niveau des racines. La pression va être plus forte au niveau des feuilles qu au niveau des racines. Schématiquement, on a : P 1 P 2 -P 1 et P 2 représentent respectivement la différence de pression au niveau des feuilles et au niveau des racines : P=P 2 -P 1 > 0 d où : P 2 >P 1, comme les liquides vont de la pression de la plus forte vers la pression la plus faible, la sève monte des racines vers les feuilles. 2. Comment la cohésion des molécules d eau accélère la montée de la sève? Figure 8 - Schéma de la polarisation de la molécule d'eau

11 Figure 9 - Schéma représentatif des liaisons hydrogènes entre ces molécules -Cette interaction entre les molécules d'eau (contenues dans la sève) induit la cohésion entre chacune d'elles, et les molécules forment ainsi une unité. Par différence de pression ces molécules vont migrer vers le sommet de l arbre et ainsi permettre la montée du liquide (sève) lors de la transpiration : l'eau circulant dans les vaisseaux constitue une colonne continue depuis les racines jusqu'au sommet de la plante et ainsi permet la montée de celle-ci lorsque cette colonne est "tirée". -Il arrive parfois qu une perte de cohésion entre les molécules soit à l origine d'une cavitation (formation de bulles de gaz) qui empêche la montée de l eau à cause de l équilibre hydrique : c est l embolie. Cependant, nous pouvons nous interroger sur la force qui permet la montée de cette colonne. 3. Expériences 3.1 Expériences du sachet Objectifs On réalise deux expériences dans le but de mettre en évidence la transpiration foliaire et d'en dégager les caractéristiques. Protocole : - Préparer un pot de plante en recouvrant la terre autour du pied par du plastique bien hermétique, de manière à éviter une évaporation au niveau du sol. - Entourer le feuillage avec un sac en plastique hermétique. - Attendre 1 à 2 heures et observer le sac plastique. Schéma de l expérience : Schéma et photo du dispositif pour réaliser l expérience :

12 Observation et interprétation : On observe de fines gouttelettes d eau visibles à l intérieur du sac : de l eau s est évaporée de la plante par transpiration. 3.2 Expérience du cône (similaire à l expérience de Dixon) Objectifs : Mettre en évidence le phénomène de transpiration au niveau des feuilles. Et rendre compte de son importance sur la remonté de la sève. Matériel: - Cône poreux en terre cuite : les pores jouent le rôle des stomates des feuilles. - Sèche-cheveux classique qui agit sur deux paramètres : la température et la convection. - Tige de verre creuse avec un diamètre intérieur proche de 3 mm représentant le xylème. - Huile (de cuisine) et eau distillée. Protocole : - Laisser tremper entièrement le cône poreux dans un bécher rempli d eau distillée afin d évacuer tout l air. - Préparer un bécher contenant de l huile. - Assembler la tige au cône à l aide de divers joints bien hermétiques. - Remplir le tout d eau par le bas, faire évacuer toutes les bulles d air encore présentes, boucher la tige avec le doigt puis la placer dans le bécher rempli d huile et fixer le tout à un support. - Créer une convection d air proche du cône à l aide du sèche-cheveux fixé à un support. Remarque : - Cette expérience n est probante que si la colonne d eau est ininterrompue. - L expérience est réalisée ici avec de l huile afin d observer une interface très visible entre les deux liquides. Schéma :

13 Observations et conclusions : On peut remarquer que lorsque le sèche -cheveux est en marche, le liquide s'évapore : cela est visible car l'interface eau/huile monte du fait que l'eau s'évapore par le cône. Plus la température monte, plus il y a évaporation de l'eau. De même plus l'agitation de l'air est importante, plus l eau s évapore. Ainsi cette expérience qui reproduit bien le phénomène de transpiration dans l'arbre nous montre que l'évaporation permet en partie l'ascension du liquide jusqu'aux feuilles (cône ici) et que le débit de transpiration est influencé par la température et l agitation de l air. 4. Quels sont les facteurs influençant la transpiration? Au niveau de la plante, la transpiration dépend de la surface d'évaporation et donc du nombre de feuilles, de leur constitution, de la densité des stomates, mais aussi elle dépend du climat, de l'humidité du sol et de l'air, de la température, de l'agitation de l'air, de la lumière... L agitation de l air favorise la transpiration : l'air au contact des tissus est renouvelé ce qui permet l'évacuation de la vapeur à peine sortie, empêchant ainsi le stockage de la vapeur d eau autour de la feuille. L expérience du cône démontre bien ce phénomène d évaporation. 5. Interprétation rapport avec les tensions superficielles La feuille, du point de vue de la transpiration, se comporte comme un corps poreux, c est à dire que les stomates des feuilles se comportent comme des pores. La surface libre de l eau dans les pores forment des ménisques et une force liée à la tension superficielle s exerce sur l eau. Cette force est dirigée vers l extérieur des pores, et elle est d autant plus intense que les pores sont fins et le ménisque creusé. (cf 2.2 CHAPITRE 1) Lors de l évaporation de l eau, le film d eau se rétracte et les ménisques se creusent (positions a, b et c sur le schéma ci-dessous à droite), la force s intensifie et la colonne est alors tirée, comme si elle subissait une aspiration vers le haut. Cette force, très intense, permet d expliquer le maintien de la colonne d eau à des hauteurs importantes. Figure 10

14 [ ] des forces de tensions superficielles attirent toute la colonne liquide, comme dans un capillaire. La hauteur de la colonne d eau ainsi soutenue est inversement proportionnelle au rayon du ménisque : pour soutenir une colonne d eau de 120 mètres, le rayon du ménisque d évaporation doit être inférieur ou égal à 0,12 micromètres (millième de millimètres). En fait, les ménisques qui se forment sur le réseau de fibrilles cellulosiques des parois auraient un rayon de courbure de 2 à 4 millièmes de micromètre seulement, si bien que la colonne d eau pourrait monter encore plus haut. Source : Dossier hors-série Pour la science de janvier 2000, article : «Les sèves et leur circulation» de S.Delrot. 6. Conclusion Comme dans la plupart des phénomènes naturels, beaucoup de facteurs influent sur la transpiration foliaire, et plus précisément sur le débit de transpiration. Cette transpiration est à l'origine des mouvements hydrauliques dans la plante : en transpirant, la plante libère de l'eau ; par conséquent elle absorbe l'eau du sol pour compenser cette perte. Parallèlement, les propriétés de l'eau permettent ce flux. En effet il existe une cohésion importante entre les molécules d'eau, ce qui permet à la colonne d eau de ne pas se rompre. Lorsqu'il y a transpiration, les molécules d'eau, s'évaporant, sont remplacées par celles du dessous, et ainsi la colonne d'eau monte. Les forces exercées sur celle-ci permettent une ascension à des hauteurs vertigineuses La transpiration foliaire a pour conséquence une différence de pression au niveau des feuilles et au niveau des racines ce qui permet à la sève de monter, mais un autre phénomène vient l intensifier CHAPITRE 3 : L OSMOSE 1.Qu est ce que l osmose? L osmose est la tendance qu a un système à atteindre la même concentration dans les deux solutions. L osmose est le phénomène de diffusion qui se produit sous la seule influence de l agitation moléculaire lorsque deux solutions de concentrations différentes se trouvent séparées par une membrane semi-perméable laissant passer le solvant mais non la substance dissoute. Le solvant traverse la membrane du milieu hypotonique (qui contient le moins de substances dissoutes) vers le milieu hypertonique (contenant le plus de substances dissoutes). Ce phénomène nécessite donc un liquide peu concentré, un liquide plus concentré et une membrane semi-perméable séparant les 2 solutions.

15 Si l'on considère les membranes des cellules végétales comme semi-perméables, alors l osmose permet un échange d eau au niveau des membranes de ces cellules. 2. Quelle est la différence avec le phénomène de diffusion? Le phénomène de diffusion vise à équilibrer deux solutions de concentrations en solutés différentes séparées par une membrane perméable. La solution la plus concentrée se diffusera vers la solution la moins concentré jusqu'à équilibre des concentrations des solutions. La différence avec le phénomène d'osmose réside donc dans la perméabilité de la membrane séparant les deux solutions au soluté ou non. La cellule végétale doit donc être parfaitement semiperméable sans quoi un phénomène de diffusion serait observé plutôt que celui de l'osmose, entraînant de grave problèmes pour le végétal.

16 3.Qu est ce que la pression osmotique? 3.1 Définition La pression osmotique est par définition la pression suffisante permettant d'éviter qu'il y ait échange de solvant au travers de la membrane semi-perméable dans le cadre de l'osmose. Figure 11 Osmose Etat d'équilibre du système L'équilibre du système désigne ici une absence de flux net entre les solutions. 3.2 Loi de Van't Hoff La pression osmotique peut être calculée par la loi de Van't Hoff : π = RTC Avec : - π la pression osmotique en Pascals - R la constante universelle des gaz parfaits ( à-peu-près égale à 8,3 J K -1 mol-1 ) - T la température en Kelvins -C la concentration en soluté en mol.l -1 Démonstration : La loi des gaz parfaits nous dit que PV = n.r.t -P est la pression du gaz en Pascals -V est le volume occupé par le gaz en mètre cube -n est la quantité de matière en mole Soit encore P =(n.r.t)/v = (n/v) x (RT) or n/v= C la concentration D où : P = C.R.T en notant, P, la pression exercée en solution, la pression osmotique On obtient P= R.T.C

17 4. Application Nous savons que π = r sève g h avec r sève la masse volumique de la sève en kg m -3, g la constante de pesanteur ( qui est à-peu-près égale à 9,81m.s 2 ) et h la hauteur de la montée de l'eau engendré par la pression en m. Prenons l'exemple de la sève d'érable de masse volumique r sève = 10 3 kg m -3, avec une température T = 300 K. La concentration en saccharose de formule brute C 12 H 22 O 11 dans la sève d'érable C = 30 mol.l -1. On a donc : π = RTC = 8,3 x 300 x 30 = 7, Pa. h = π / ( r sève x g) = 7, / (10 3 x 9,81) = 7,6 m. Le phénomène de l'osmose permet donc d'expliquer l'élévation de la sève d'environ 7,6 mètres. Or l'érable peut mesurer jusqu'à 30 mètres. Ce processus ne permet donc pas à lui seul de répondre à la question posé. 5.Expérience avec un osmomètre de type Dutrochet L'expérience vise à remplir un osmomètre d'une solution de sulfate de cuivre (ou d'une solution saturée en glucose) puis on le fixe de façon à ce que la membrane semi-perméable trempe dans un récipient rempli d'eau distillée. Ensuite, on laisse agir pendant environ 20 minutes. On observe que le niveau de l'osmomètre monte. Il y a donc eu passage de l'eau distillé de son récipient d'origine à la solution de sulfate de cuivre, au niveau de la membrane semi-perméable. Figure 12 Schéma et photos du dispositif ci-dessus :

18 CONCLUSION GENERALE Les phénomènes de surfaces, la transpiration foliaire, l osmose assurent donc la montée de la sève dans les végétaux, qui peut atteindre parfois une hauteur de l ordre de 10 2 m pour les plus grands arbres. BIBLIOGRAPHIE Hydrodynamique physique, édition cnrs, écrit par Etienne Guyon, Jean Pierre Hulin, et Luc Petit publié en juin 2001 Thermodynamique, écrit par Diu, Guthmann, Lederer et Roulet