Rallye mathématique 2006/2007 des écoles de Haute-Loire Cycle 3 Première manche Eléments de solutions 1. Les œufs de Pâques (10 points)

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1 Rallye mathématique 2006/2007 des écoles de Haute-Loire Cycle 3 Première manche Eléments de solutions 1. Les œufs de Pâques (10 points) Il s'agit d'un problème qui fait appel aux connaissances sur la numération. Dans 256, il y a 256 unités, 25 dizaines (et non pas 2) et 2 centaines. Par conséquent, on dénombre : 256 étiquettes rouges 25 étiquettes jaunes 2 étiquettes vertes Cela fait un total de 283 étiquettes 2. L école buissonnière (10 points) Il s agit ici de résoudre un petit problème de dénombrement. Olivier peut emprunter 3 rues de sa maison au marchand de bonbons. Une fois arrivé à ce magasin, quatre alternatives s offrent à lui pour fabriquer un chemin différent conduisant jusqu à l école. Cela fait donc un total de 3 4, 12 chemins différents permettant d aller de sa maison à l école et passant par le marchand de bonbons. Si l on ajoute à ce total le chemin direct, cela fait donc 13 chemins différents permettant à Olivier d aller de chez lui à l école. Pour aider les enfants à matérialiser les différents chemins, une possibilité peut consister à dupliquer le schéma de l énoncé et à utiliser des feutres de couleurs différentes pour mettre en évidence les différents chemins. La difficulté pour l élève consiste à mettre en place une organisation cohérente qui va lui permettre soit de les énumérer tous, soit de mettre en place la stratégie permettant de les énumérer tous (auquel cas la mise en évidence des 12 possibilités ne sera pas nécessaire). C est la mise en place d une énumération construite qui va permettre aux élèves de se convaincre que tous les chemins ont bien été mis en évidence (ou sont bien susceptibles de l être).. 3. Les comptes du vigneron (15 points)

2 Les élèves peuvent procéder par distribution : Il y a au total 15 tonneaux, donc chaque enfant reçoit 5 tonneaux. Il y a 5 tonneaux pleins, ce qui fait que chacun peut recevoir un tonneau plein. Il reste deux tonneaux pleins qui peuvent être donnés à deux des trois enfants. Pour compenser, le troisième recevra deux tonneaux à moitié pleins. Il reste alors trois tonneaux à moitié pleins à partager: chacun en reçoit un.récapitulation provisoire : 1er et 2ème enfant: 2 tonneaux pleins et un tonneau à moitié plein. 3ème enfant: 1 tonneau plein et 3 tonneaux à moitié pleins. Il faut enfin partager les tonneaux vides de telle sorte que chaque enfant ait au total le même nombre de tonneaux : les deux premiers en reçoivent deux et le troisième un. Les élèves peuvent utiliser une stratégie de découpage comme ci-contre. 3 solutions possibles : Lisa 2V, 1M, 2P Lisa 1V, 3M, 1P Lisa 2V, 1M, 2P Geoffroy 1V, 3M, 1P Geoffroy 2V, 1M, 2P Geoffroy 2V, 1M, 2P Camille 2V, 1M, 2P Camille 2V, 1M, 2P Camille 1V, 3M, 1P 4. Les carrés carrément carrés. (15 points) Dans ce problème, il s agit encore d organiser une énumération de la collection fabriquée. Attention à utiliser correctement l indication qui est donnée par l énoncé ; Certains élèves risquent de l interpréter de la manière suivante : pour dénombrer tous les carrés dans une telle figure, il faut dénombrer le nombre de petits carrés et rajouter 1 au total obtenu (le grand carré). Cette procédure, qui marche pour l exemple proposée, ne peut pas s appliquer dans le cas présent. Essayons d organiser l énumération : Déterminons le nombre de carrés unités. Ils sont au nombre de 16 (tout le monde sera facilement convaincu par cette assertion). Le type de carré suivant que nous allons essayé de dénombrer sera fabriqué à l aide de 4 carrés unité (on retrouve un objet du même type que celui présenté dans l exemple). On peut faire apparaître 9 carrés de ce type dans le grand carré (en décalquant le carré 4 unités et en le faisant glisser sur le grand carré). Les voici mis en évidence.

3 Le type de carré suivant que nous allons dénombrer est le carré fabriqué à l aide de9 carrés unité. On peut utiliser un dispositif à l aide de calque, comme pour la situation précédente. Ce qui en fait 4 de plus.

4 Il faut aussi penser au grand carré (le carré fabriqué avec 16 carrés unité) Effectuons le bilan de notre énumération : 16 carrés unité 9 carrés «4 unités» 4 carrés «9 unités» 1 carré «16 unité» Ce qui fait un total de 30 carrés. On peut faire remarquer aux élèves que les nombres 1, 4, 9, 16 seront nommés carrés pour une raison géométrique assez évidente dans le contexte de ce problème. D ailleurs, quel serait l entier suivant que l on pourrait nommé carré? Est-il possible de trouver tous les nombres carrés inférieurs à 100?

5 5. Un carré magique (20 points) Différentes contraintes apparaissent dans ce problème, qui le rendent difficile : - il n'y a jamais deux fois le même nombre dans la même ligne ni dans la même colonne; - la somme des nombres de chaque ligne et la somme des nombres de chaque colonne est 16; - le produit des nombres de chaque ligne et le produit des nombres de chaque colonne est 180. La méthode la plus efficace consiste à commencer par voir comment on peut obtenir 180 avec 4 des nombres donnés. On obtient une seule possibilité : 180 = 2x3x5x6 On remarque : = 16, et c'est heureux! Il reste à placer correctement les nombres dans les cases de la grille pour respecter la première condition énoncée. Voici une solution (il y en a d'autres, obtenues notamment par des symétries et des rotations du carré) : Le coffre fort (20 points) Un pur problème de logique, type MasterMind! Il n'avait aucun chiffre correct : Indication au combine important pour la suite, puisque maintenant nous savons qu aucun de ces chiffres ne figure dans la bonne combinaison) Il avait un seul chiffre correct bien placé. : Cette seconde indication n est guère utilisable en l état, tout au plus pouvons-nous affirmer que dans la bonne combinaison, un seul de ces trois chiffres figurera Il avait un seul chiffre correct mais mal placé : Là encore, cette indication ne nous aide pas beaucoup à avancer dans la mise en évidence du code Il avait un seul chiffre correct mais mal placé. : Voilà l indication décisive qui va relancer notre réflexion. Depuis la première indication, nous

6 savons que les chiffres 1 et 2 ne figurent pas dans la bonne combinaison. C est donc le chiffre 6 qui est dans la combinaison cherchée. Il faut maintenant arrêter la lecture linéaire de notre énoncé pour revenir aux indications précédentes en les traitant avec ces éléments nouveaux. Si nous reprenons la seconde indication, nous pouvons déterminer la position exacte du chiffre 6 (il sera en troisième position). Mieux encore : 6 était le seul chiffre correct, c est donc que 4 et 5 ne figurent pas dans la combinaison. Passons à la troisième indication : 4 et 5 ne figurent pas dans la combinaison, c est donc que le chiffre 7 y figure. De plus, il sera en première ou deuxième position dans la combinaison Il avait un seul chiffre correct bien placé. : C est la dernière indication ; elle doit nous permettre de conclure! Il n y a qu un chiffre correct et ce n est pas 4 (cf. lignes ci-dessus). Cela ne peut pas être 9 car ce chiffre doit être bien placé (or le 9 occupe ici la place que nous avons attribuée au 6. C est donc que le chiffre 8 est bien dans la combinaison et qu il est en première position. Le dernier chiffre de la combinaison est donc le 7 et il occupe nécessairement la seule place restante à pourvoir, à savoir la seconde. La combinaison est donc : Un des intérêts de cette situation est de travailler sur la lecture d énoncés en mathématiques, lecture qui est faite d aller-retour et qui doit être engager de nouveau chaque fois qu une déduction est opérée.