TF06 - P Final - exercice 1 Patinoire

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Yves Florentin Jobin
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1 TF06_P09_final_exo a.mcd TF06 - P Final - exercice Patinoire Wm 2 K ir extérieur Text 5 C hpext 00 W/m² K Isolation, P 0,035 W/m K, épaisseur ep 30 cm ou e P 60 cm Plafond, TP, émissivité P 0.05 ou P 0.9 L 0 m ir intérieur Tint 5 C hpint 5 W/m² K humidité : 70 % Murs TM 5 C Glace TG 5 C D 50 m Quelques remarques préalables La glace et le plafond ont une forme de disque circulaire plan de diamètre D et donc de surface S G S P D²/. Ces disques sont parallèles et concentriques, ce qui justifie l'usage du diagramme de la page 2. Les murs ont une surface S M qui est égale à la surface latérale du cylindre S M DL. La température du plafond T P qui nous intéresse est bien sûr la température de la surface intérieure. Les murs qui constituent la surface latérale S M ont une température fixe égale à T M 5 C. La glace, de surface S G est à une température fixe T G - 5 C. L'air intérieur de la patinoire est à une température fixe T int 5 C. La température la plus basse est celle de la glace et de l'air extérieur soit -5 C. La température la plus élevée est celle des murs et de l'air intérieur 5 C. Il est clair que la température du plafond est nécessairement comprise entre ces deux extrêmes. Tout résultat inférieur à -5 C ou supérieur à 5 C est forcément faux! La glace est maintenue à -5 C, les murs laréraux et l'air intérieur de la patinoire sont maintenus à 5 C.Peu importe comment on s'y prend, et ni l'épaisseur des murs, ni celle de la glace ne sont pertinents pour notre problème. vant de développer le bilan, nous nous proposons de calculer les facteurs d'angle entre les 3 surfaces rayonnantes que sont le plafond (surface grise), la glace et les murs latéraux (corps noirs). Comme il n'y a qu'une seule surface grise, il n'y a pas lieu de calculer de F jk. Calcul des facteurs d'angle Murs, Glace, Plafond F GG F PP 0 Relations d'addition : F MM F MP F MG F GP F GM F PG F PM plafond et glace sont plans et ne se voient pas eux-même. Évaluation de F GP et F PG (diagramme page 2) D D r G r 2 P 2 L 0. r G r P L 2.5 En consultant l'abaque, on trouve : F GP 0.67 Remarque : 0,66 ou 0,68 sont acceptable à la rigueur, mais 0,65 ou 0,69 ne le sont pas. Le dessin est suffisamment précis. or S G S P entraîne F PG F GP F PG 0.67 F GP 0.67 On en déduit : F GM F GP F PM F PG F GM 0.33 F PM 0.33 D'autre part, (réciprocité) S G S P D F MG F S GM F MP F M S PM F MG F MP F M L GM F MG 0.3 Enfin : F MM F MG F MP F MM 0.75 F MP 0.3 MH / 3/07/2009

9 L 0 m ir intérieur Tint 5 C hpint 5 W/m² K humidité : 70 % Murs TM 5 C Glace TG 5 C D 50 m Quelques remarques préalables La glace et le plafond ont une forme de disque circulaire plan de diamètre D

2 TF06_P09_final_exo a.mcd. Bilan thermique sur le plafond Lorsqu'on fait le bilan thermique sur le plafond, on constate qu'il y a de la chaleur qui s'échappe vers le haut par conduction à travers l'isolant, puis convection avec l'air extérieur. Il y a de la chaleur qui arrive du bas par convection avec l'air intérieur et par rayonnement entre le plafond et la glace ainsi qu'entre le plafond et les murs latéraux. La chaleur reçue par le plafond depuis le bas (côté intérieur) est égale à la chaleur cédée vers le haut (côté extérieur) : S G F GP P T G T P S M F MP P T M T P h P S P T int T P côté intérieur T P T Pext P S P h ext S P T Pext T ext P côté extérieur On élimine T Pext T P T Pext P S P T Pext T ext h Pext S P P S P T P T ext h Pext S P Remarque importante : Il n'est pas possible d'éliminer T P entre l'intérieur et l'extérieur tout simplement parce que le débit de chaleur (flux thermique) ne se limite pas à un échange convectif avec le bas. La relation h P S P (T int -T P ) est fausse, car il faut prendre en compte les échanges radiatifs. On remarquera que le rapport T Pext - T ext / T P - T Pext est petit devant. T Pext T ext T P T Pext h Pext S P P S P P h Pext P h Pext On en déduit que la résistance de transfert convectif avec l'air extérieur est négligeable devant la résistance conductive à travers l'isolation. Le bilan thermique sur le plafond s'écrit donc : S G F GP P T G T P S M F MP P T M T P h P S P T int T P P S P T P T ext h Pext S P En remarquant que : S M F MP S P F PM S G S P F GP F PG F GP F PM après simplification et réarrangement : T P h P T ext T P F GP T G F PM T M h P T int 0 P P P h Pext P h Pext On a une équation du quatrième degré en T P. MH 2/ 3/07/2009

avec l'air extérieur. Il y a de la chaleur qui arrive du bas par convection avec l'air intérieur et par rayonnement entre le plafond et la glace ainsi qu'entre le plafond et les murs latéraux.

3 TF06_P09_final_exo a.mcd 2. Température du plafond Température de rosée T pr 9. C Remarque Il y a de la condensation lorsque la température du plafond est inférieure à la température de rosée T P < T pr Il n'y a pas de condensation lorsque la température du plafond est supérieure à la température de rosée T P > T pr panneaux réfléchissants (faible émissivité) P ref 0.3m P 0.05 x x x 287. T P.0 C T P > T pr : pas de condensation 3. Température du plafond panneaux absorbants (émissivité élevée) P abs 0.3m P 0.9 x x x 28.8 T P 8.6 C T P < T pr : condensation. ugmentation de l'épaisseur d'isolant panneaux réfléchissants (faible émissivité) P ref 0.6m P 0.05 x x x T P.2 C T P > T pr : pas de condensation panneaux absorbants (émissivité élevée) P abs 0.6m P 0.9 x x x 28.9 T P 8.7 C T P < T pr : condensation 5. Conclusions C'est bien le caractère réfléchissant du plafond qui évite la condensation Considérations supplémentaires Température de rosée T pr 9. C 5 Influence de l'épaisseur d'isolant 5 Influence de la réflectivité Température du plafond ( C) C Température du plafond ( C) ref abs 9. C Épaisseur d'isolant (m) réfléchissant absorbant Émissivité du plafond Quelle que soit l'épaisseur d'isolant, la température du plafond est largement au-dessus de la température de rosée lorsqu'il est réfléchissant. Tant que l'émissivité est inférieure à 0,5 la température du plafond est bien supérieure à la température de rosée. MH 3/ 3/07/2009

supérieure à la température de rosée T P > T pr panneaux réfléchissants (faible émissivité) P ref 0.3m P 0.05 x.8080 9 x 5.2960 0 x 287. T P.0 C T P > T pr : pas de condensation 3.

4 TF06_P09_final_exo a.mcd Considérations complémentaires On peut évaluer la contribution des différents flux de chaleur, suivant la réflectivité du plafond panneaux réfléchissants P ref P m T P T Pf P T P > T pr : pas de condensation T P 287.K T P TK.0 C S G F GP P T G T P 6.06kW S M F MP P T M T P 0.82kW h P S P T int T P 0.26kW reçu par le plafond (échange radiatif avec la glace) reçu par le plafond (échange radiatif avec les parois latérales) reçu par convection de l'intérieur S G F GP P T G T P S M F MP P T M T P h P S P T int T P.338kW total net côté intérieur P S P T P T ext h Pext S P.338 kw côté extérieur panneaux peints absorbants P abs P m T P T Pf P T P < T pr : condensation T P 28.8K T P TK 8.6 C S G F GP P T G T P 79.60kW S M F MP P T M T P kW h P S P T int T P 62.03kW reçu par le plafond (échange radiatif avec la glace) reçu par le plafond (échange radiatif avec les parois latérales) reçu par convection de l'intérieur S G F GP P T G T P S M F MP P T M T P h P S P T int T P 3.22kW total net côté intérieur P S P T P T ext h Pext S P 3.22 kw côté extérieur MH / 3/07/2009

26kW reçu par le plafond (échange radiatif avec la glace) reçu par le plafond (échange radiatif avec les parois latérales) reçu par convection de l'intérieur S G F GP P T G T P S M F MP P T M T P h P

5 TF06_P09_final_exo_2.mcd TF06 - P Final - exercice 2. d.2cm Sphère en laiton 8500 kg J m 3 c P W kgk mk 3 m 3 d 2 d mc 2 P 2 m kg 22.0 J m 2 K 2. On suppose Bi<0, T 0 290K T 320K d T' mc P h T T' T' T 0 t dt' h T T dt ln 0 T T' T T' 0 h t 2. a T' t h t e 2. b T T T' t T T 0 e T T T 0 h t 320 Variation de la température de la sphère température (K) temps (s) 3. 80s T 2 C 3. a h T T 0 ln h 33.2 W T m 2 K h d 3. b Bi Bi 0.07 hypothèse vérifiée 2. h 530v h v v 0.556ms a D 20cm 5. b e 7 kg e m 2 vd Re Re 5788 s e D 2 m 3 Q m e v Q m 9.5 kg s 6. La résistance thermique modifie la chaleur du fluide selon la relation : t Q m c Pe 2000 W J c s Pe 2382 kg C Q m c Pe T T 0 MH /2 /07/2009

b T T T' t T T 0 e T T T 0 h t 320 Variation de la température de la sphère température (K) 30 300 290 0 50 00 50 200 250 temps (s) 3. 80s T 2 C 3. a h T T 0 ln h 33.2 W T m 2 K h d 3.

6 TF06_P09_final_exo_2.mcd 6. a T t T 0 t 6. b d T 0.03 C 2.58 C s min 6. c 80s On intègre Intégration par parties h t h h K( t) T 0 e t t e t d B u t d v u dv uv v du h t h t h t K( t) T 0 e te e dt B T 0 e alors : T 0 t T' t T( ) 297.8K d T' d 7. mc P h T T' T' h d 7. a T' t t d h T' t 7. b Solution sans second membre h T 0 t T' t h T' t Ke h On applique la méthode de la variation de la constante en supposant que K dépend du temps d T' t d K t h h d Kt t e Kt h t e On remplace dans l'équation complète e h après simplification t K t h dk t dt h t e h K t h e Tt h h d u v e t h t te e h h t Be CL : T' T 0 pour t 0 B h h h T 0 t e t h h h T 0 t t h T 0 t e h t h h h t e t h e t t B t T 0 t T' t 7. c T' T T' e h h t T 0 t T' T' t h e h t Pour t 80 s T' ( ) 2.67K pour t très grand T' h h 2.86 K MH 2/2 /07/2009

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