Oscilloscope à mémoire, décharge dʼun condensateur

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1 Thomas SICARD Aurélien DUMAINE Séance du 8 juin 00 Rapport de Travaux Pratiques Manipulation Oscilloscope à mémoire, décharge dʼun condensateur I. Exercice préparatoire On sait que En effet on a : T = t t α = U U τ = T ln α ( ) = t t t ln U = t ln U U ( ) ln( U ) Lorsquʼon différencie lʼexpression de τ on obtient : dτ = τ dt + τ dt + τ du + τ du t t U U ( ) dt + lnu ( lnu ) ( t t ) ( t t ) ( lnu lnu ) dt + U ( lnu lnu ) du + U ( lnu lnu ) du ( )( dt dt ) ( t t ) ( ( lnu lnu ) U ( lnu lnu ) du t + t ) U ( lnu lnu ) du U ( t t ) lnu lnu U U ( lnu lnu ) du U + ( t t ) U U ( lnu lnu ) du ( ( ) + t t )( U du + U du ) U U ( lnu lnu ) dτ = lnu lnu lnu lnu dτ = lnu lnu dτ = dt dt dτ = τ dt dt t t dτ = τ dt dt t t ( ) + τ U du + U du U U ( lnu lnu ) dτ = τ dt dt t t ( ) τ U du U U ( lnu lnu ) + τ U du U U ( lnu lnu ) dτ = τ dt dt t t ( ) τ du U ( lnu lnu ) + τ du U ( lnu lnu ) dt dτ = τ dt t t ( ) du U ( lnu lnu ) + du U ( lnu lnu ) On passe aux incertitudes :

2 Δt Δτ = τ + Δt ΔU + ΔU + t t U lnu lnu U lnu lnu A.N : On fait lʼapplication numérique et on trouve II. Présentation du matériel τ =,99 et Δτ = 0,0, dʼoù τ =,99 ± 0,0 ms. Le matériel dont nous disposons est : un oscilloscope numérique à mémoire : Δt = 5 de s div et ΔR une résistance adaptable (max 00 kω) : R = %, ΔR une résistance adaptable (max 0 kω) : R = 0,5%, un condensateur de capacité variable : une boite de décades dʼinductance variable : utiliserons) un générateur de tension. III. Prise en main ΔC C = %, ΔL L ΔU = 5 de V div, = 0% (pour la décade H que nous L'objectif est ici de comprendre comment utiliser l'oscilloscope numérique et de mesurer la fréquence et l'amplitude d'un signal fourni par l'oscilloscope lui-même. On relie l'entrée au connecteur de sortie du signal. On appuie sur le bouton AutoSet permettant de régler l'affichage automatiquement. La courbe du signal «carré» apparaît à l'écran. III.. Mesure de la fréquence et incertitude On positionne le premier curseur vertical (de temps en ms) avant le premier saut de tension à gauche de l'écran. Pour un maximum de précision nous allons mesurer la durée d'un nombre maximal de période. On observe que la tension s'annule 4 fois (on a au préalable superposé le 0V sur l'axe des abscisses) en variant dans le même sens, il y a donc quatre périodes affichées à l'écran. On positionne le second curseur avant le 5ème saut de tension. L'oscilloscope nous donne un delta de 4ms alors : 4T = 4 ms T =,0 ms =,0 0 3 s et f = =,0 khz T Remarque : sensibilité verticale : V/div et sensibilité horizontale : 0,5 ms/div f = et ΔT = 0,5 0 3 T 5 Alors : Δf = T t ΔT = T ΔT

3 Finalement on obtient : f = 000 ± 0 Hz III.. Mesure de l'amplitude On place le premier curseur au minimum de la courbe, ce qui correspond ici à l'axe des abscisses étant donné le réglage préalable. Le second curseur est placé au maximum de la courbe. On obtient : lʼamplitude U = 5,00V, ΔU = = 0,08 V, 5 Finalement on a : U = 5,00 ± 0,08V. III.3. Calcul du temps de montée à 95% On modifie l'affichage afin d'obtenir la courbe de charge. En effet, le courant ne passe pas de 0 à 5V instantanément. Avec un balayage de 50 μs/div le signal n'apparaît plus carré. La courbe est une exponentielle croissante ayant une asymptote à 5,00V. 95 Sachant que 5 V = 4,75 V on place un curseur de tension au niveau de l'axe des abscisse et 00 l'autre à 4,75V. On repère alors le pixel d'intersection entre ce curseur et la courbe puis l'on bascule le curseur en mode temporel. Il faut alors que ce curseur vertical passe par le pixel préalablement repéré. En plaçant l'autre curseur de temps sur l'axe des abscisses on obtient la durée correspondante au temps de charge à 95%. Soit t 0,95 la durée recherchée, on obtient alors t 0,95 =,840 µs. IV. Décharge dʼun condensateur On souhaite déterminer la constante de temps d'un condensateur lors de sa décharge dans une résistance. On utilise pour cela une résistance de 00 kω et un condensateur de 0,0 μf. IV.. Valeur théorique Dans un circuit RC : τ = RC = ,0 0 6 =,0 ms ΔR et Δτ = τ R + ΔC =,0 C 00 + = 0,04 ms 00 Finalement on obtient : τ =,00 ± 0,04 ms IV.. Méthode graphique Soit l'équation de décharge d'un condensateur : u c (t) = E e RC alors : t t ln( u c (t)) = ln E e RC = ln ( E ) + ln e RC = ln ( E ) RC t t 3

4 La représentation graphique de cette fonction est une droite de pente RC = τ On relève une quinzaine de points afin de pouvoir tracer la courbe u c = f(t) puis l'on linéarise cette courbe. On obtient la droite dʼéquation ln u c (t) annexe. Dʼoù = 0,773 τ = 3,6 ms τ ( ) = 0,773x +,4644 et le graphe est joint en IV.3. Méthode rapide Cette méthode utilise la loi de décroissance exponentielle ainsi que le rapport entre deux tensions. On relève donc deux tensions : u(0) = 8,4 V et u(5 ms) = 0,56 V. Or τ = t t ln u alors τ =,87ms u τ = (t t)/(ln(u/u)) =,87 ms. IV.4. Observations Les trois méthodes fournissent une constante du même ordre de grandeur, les calculs sont donc cohérents. V. Décharge dʼune bobine dans une résistance V.. Principe Le principe est de déterminer expérimentalement la constante de temps dʼune bobine et de la comparer à la valeur théorique. Pour cela on réalise le montage suivant : On décharge lʼinductance L dans la résistance R. On enregistre lʼévolution de la tension aux bornes de la résistance réglable R lors de la décharge de la bobine grâce à lʼoscilloscope à mémoire. Lʼenregistrement nous permet de déterminer la constante de temps grâce à la méthode rapide. On répétera la manipulation avec plusieurs valeurs de R (kω, kω et 4kΩ). 4

5 V.. Manipulation On réalise le montage ci-dessus avec lʼinterrupteur en position On pour charger la bobine. La bobine étant chargée, on décharge la bobine dans la résistance réglable R en passant lʼinterrupteur en position Off. La configuration de lʼoscilloscope que nous avons utilisé pour observer le signal est la suivante : sensibilité verticale de 5 V/div, sensibilité horizontale de 00 μs/div, TRIGGER en mode normal, pente descendante et niveau -0,7 V. V.3. Résultats Lors de lʼutilisation de la méthode rapide, on prend un facteur α de ½. On en déduit la constante de temps : τ = T ln = T ln( ) La valeur théorique de la constante de temps est le rapport de lʼinductance sur la résistance totale du circuit (interrupteur ouvert), cʼest à dire R total = R + r (où r vaut 95Ω) dʼoù : Lʼerreur est donnée par la formule : On obtient alors le tableau de valeurs suivant : τ = L R + r e relative = τ mesurée τ théorique τ théorique R (en kω) Constante de temps Constante de temps Erreur relative mesurée (en ms) théorique (en ms) 0,807 0,77 4,5 % 0,456 0,436 4,6 % 4 0,67 0,33 8 % Les erreurs sont relativement faibles, excepté la troisième mesure qui a une erreur de 8%. On ne peut pas savoir sʼil sʼagit dʼune erreur de manipulation ou si lʼerreur est due à un autre facteur, étant donné le peu de mesures réalisées. V.4. Incertitudes On applique la formule de lʼexercice de préparation et on trouve finalement : R (en kω) Constante de temps mesurée (en ms) 0,807 ± 0,49 ms 0,456 ± 0,30 ms 4 0,67 ± 0,5 ms Les incertitudes relatives sont ici très élevées (presque 00% pour la troisième mesure) ce qui est dû à lʼincertitude élevée sur la tension. 5

6 VI. Décharge oscillante VI.. Principe Lʼobjectif de cette manipulation est dʼétudier le comportement dʼun circuit RLC en décharge. Pour cela on étudiera la pseudo-période du circuit dont les variations sʼamortissent peu à peu jusquʼà disparaître, puis on sʼintéressera au coefficient dʼamortissement et enfin on cherchera la valeur de la résistance critique pour laquelle il y a absence dʼoscillation et décroissance rapide. On fait le montage du sujet de TP avec un générateur de tension de E=V, une inductance de L=H et r=95ω, une capacité de C=5μF et une résistance R nulle. VI.. Détermination de la pseudo-période Lʼoscilloscope mesure la tension aux bornes du condensateur. Pour mesurer la valeur de la pseudo période, on mesure sur lʼoscilloscope le temps écoulé pendant une période. On peu également prendre le temps qui sʼécoule sur plusieurs périodes et le diviser par le nombre de période (ce qui permet de diviser lʼincertitude par le nombre de périodes mesurées). La valeur théorique de la pseudo-période, la période propre est : T 0 = π LC = π = 4,0 ms La pseudo-période quʼon mesure est de 5 ms. Lʼerreur relative est alors de : erreur = T mesurée T 0,théorique 5 4,0 = = 7,% T 0,théorique 4,0 VI.3. Détermination du coefficient dʼamortissement On relève les maximums de chaque pseudo-période en fonction du temps. On sait que théoriquement u t ( ) = K e γt cos( ω t + ϕ), puisquʼon ne relève que les maximums la fonction u( t) = K e γt. Or : ( ) = K e γt ( ) = ln( K e γt ) ( ( )) = ln( K) ln( e γt ) ( ( )) = ln( K) γt ln u( t) devient : u t ln u( t) ln u t ln u t Si on trace la courbe de ( )en fonction du temps alors on obtiendra une droite de coefficient directeur γ, cʼest à dire de lʼopposé de lʼamortissement. On trace donc la courbe en échelle semilogarithmique. Lʼamortissement théorique est : γ théorique = R + r L = 95 = 47,5 s À partir des maximums de u(t) relevés, on trace la droite ln(u(t)) jointe en annexe. On trouve une pente de -57, alors le coefficient dʼamortissement mesuré est γ mesuré = 57 s. 6

7 VI.. Détermination de la pseudo-pulsation La pseudo-pulsation théorique est donnée par la relation : ω,théorique = ω 0,théorique γ théorique = γ théorique = LC LC γ théorique ω,théorique = LC γ théorique Alors : ω,théorique = 4, rad s De même : ω,mesurée = ω 0,mesurée γ mesurée = π T γ mesuré ω,mesurée = Alors π T γ mesuré ω,mesurée = 388 rad s VI.. Détermination de la résistance critique On détermine la résistance critique en cherchant la valeur de résistance pour laquelle on ne peut plus observer dʼoscillations. La valeur théorique de la résistance critique est : R c = L C = 894,4Ω La valeur mesurée de la résistance critique est de 898,0Ω ΔR c = Rc L ΔL + Rc C ΔC = 0 00 On trouve ΔR c = Dʼoù ΔR c,mesurée = 898 ± 49Ω ΔL C L + L ΔC C L C C ( ) ,+ 0,0 = = 49Ω VII. Conclusion Ce TP nous a permis de bien prendre en main un oscilloscope et de maîtriser les réglages pour observer les phénomènes attendus. Nous avons ainsi pu observer en première partie quʼun signal périodique carré possède un temps de montée non nul. Nous avons aussi pu observer la décharge dʼun condensateur dans une résistance (dipôle RC) et évaluer sa constante de temps τ par plusieurs méthodes. Nous avons fait un travail similaire avec la bobine. Enfin, en dernière partie nous avons observé les oscillations libres dʼun circuit RLC et repéré ses caractéristiques principales grâce aux mesures réalisées avec lʼoscilloscope. 7

8 Annexe : évolution de la tension en fonction du temps dans le circuit RC lors de la décharge, en échelle semi-logarithmique Annexe : évolution de la tension en fonction du temps dans le circuit RLC lors de la décharge, en échelle semi-logarithmique 0 u(t) y = 8,3937e - 57x R² = 0, ,00 0,004 0,006 0,008 0,0 0,0 0,04 0,06 8