Partie 1 : Analyse sans fissure

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1 Rapport d étude Projet : Mini-projet, Raquette de tennis Mardi, le , Groupe 1 Frossard David Frossard Guillaume david.frossard@epfl.ch guillaume.frossard@epfl.ch Ce mini-projet sur une raquette de tennis est fait en deux temps. Dans la première partie, nous réalisons une étude sur une raquette en «bon état», alors que dans la deuxième, nous introduisons une fissure sur le cadre de la raquette. Partie 1 : Analyse sans fissure 1. But de l'étude 1.1 Objectifs Le but de cette étude est de vérifier que le cadre d une raquette de tennis résiste à la mise sous tension due au cordage. Nous analyserons les contraintes et les déformations engendrées dans le cadre de la raquette. La limite élastique ne doit pas être dépassée. Elle vaut environ 500 MPa pour un matériau tel que celui utilisé pour le cadre de la raquette. 1.2 Type d'analyse Il s agit d une analyse statique des contraintes et déformations correspondantes à une tension de cordage de 25 kg (~250 N dans chaque corde). 1.3 Méthodologie Nous avons créé une géométrie CAO sur Catia en prenant les mesures sur la raquette Wilson Six One Tour BLX Federer. Nous avons toutefois simplifié la géométrie, mais les dimensions principales ont été conservées. Nous modélisons la raquette comme une coque en carbone-époxy et négligeons l intérieur en mousse de polyéthylène. Les propriétés du matériau ont été obtenues en utilisant le fichier homogeneisation3.xls. Nous ferons une analyse de convergence du maillage pour confirmer les résultats.

2 2. Hypothèses Géométriques 2.1 Présentation de la géométrie Nous avons créé la géométrie CAO sur Catia et l avons exporté au format «.stp». Nous l avons ensuite importée sur Abaqus et avons corrigé la géométrie. Voici une image de la raquette, où nous avons déjà tenu compte d une symétrie. Nous pouvons voir qu il s agit d une coque. Figure 1 : Géométrie de la raquette 2.2 Système d'unités utilisé La géométrie est donnée en mm. Nous travaillons donc dans le système d unités consistantes : mm, N, tonne, MPa, mj. 2.3 Assemblage Nous travaillons ici avec une seule pièce, la configuration d assemblage n est donc pas importante. Par simplicité, nous travaillerons donc directement dans le système de coordonnées de la géométrie importée. 2.4 Dimensions caractéristiques Les dimensions caractéristiques de la pièce sont données dans le tableau suivant : Tableau 1 : Dimensions caractéristiques Grandeur Valeur Unité Longueur 650 mm Largeur 244 mm Epaisseur 17 mm Volume mm 3 Masse 1.21 e -4 * tonne *la masse est plus faible que dans la réalité, car nous n avons ici que la coque (en fibre de carbone). Les masses de la mousse, du cordage, du grip, etc. ne sont pas prises en compte.

3 2.5 Symétries du problème La géométrie de la raquette présente deux plans de symétrie et le cas de charge également. Nous allons utiliser un de ces plans de symétrie pour ne modéliser que la moitié de la pièce comme présenté ci-dessus (c.f. figure 1). Il y a un deuxième plan de symétrie, mais nous ne l utilisons pas. 2.6 Espace de modélisation géométrique La géométrie a été simplifiée en une coque, étant donné que nous partons du principe que c est la partie en fibre de carbone qui reprend la majorité des efforts. 3. Hypothèses de comportements physiques 3.1 Descriptions des matériaux Nous modélisons la raquette de tennis comme une coque en carbone époxy. Comme expliqué au point «1.3 Méthodologie», nous ne modélisons pas le cœur de la raquette composé de polyéthylène Modèle(s) de comportement physique(s) Le comportement mécanique du carbone-époxy est considéré ici comme linéaire élastique et isotrope. Il n est en réalité pas du tout isotrope, mais pour des raisons de géométrie de la pièce, nous avons été contraints de le considérer comme tel. Nous pouvons nous permettre de faire cette approximation car le cadre de la raquette travaille principalement en flexion, donc les fibres sont mises sous tension. Par conséquent, nous prenons comme module de Young, une valeur du même ordre de grandeur que le module de Young longitudinal réel. Ainsi, nous prenons un module de Young de 80'000 MPa. 3.2 Propriétés constitutives Tableau 2 : Propriétés constitutives Propriété Valeur Unité Module de Young 80000* MPa Coefficient de Poisson densité 1439 e-12 Tonne/mm3 *valeur moyenne calculée au moyen du fichier homogeneisation3.xls 3.3 Sections: La raquette étant assimilé à une coque, les sections sont des coques avec matériau homogène. 3.4 Assignation des comportements La raquette de tennis n est constituée que d un seul matériau. Le matériau / section «carbone epoxy» est donc assigné à toute la pièce.

4 4. Hypothèses de chargements 4.1 Modèle de conditions limites Les conditions limites sont les suivantes : 1) encastrement au bout du manche de la raquette (cf. 4.3 Modes de corps rigides) Figure 2 : Encastrement au bout du manche 2) traction surfacique horizontale, d amplitude 2,51359 MPa, modélisant la tension que les 19 cordes horizontales appliquent au cadre (19 cordes * 25 Kg * 9.81 / surface = = [MPa]) Figure 3 : Force horizontale 3) traction surfacique verticale_haut, d amplitude 2,27257, modélisant la tension que les 8 cordes (demi-raquette) verticales appliquent à la partie supérieure du cadre (8 cordes * 25 Kg * 9.81 / surface = = [MPa]) Figure 4 : Force verticale sur le haut de la raquette

5 4) traction surfacique verticale_bas, d amplitude 2,41165, modélisant la tension que les 8 cordes (demi-raquette) verticales appliquent à la partie inférieure du cadre (8 cordes * 25 Kg * 9.81 / surface = = [MPa]) Figure 5 : Force verticale sur le bas de la raquette 4.2 Conditions de symétries La symétrie physique du problème est imposée en bloquant les déplacements normaux sur le plan de symétrie. Figure 6 : Conditions de symétrie 4.3 Modes de corps rigides Pour éviter tout problème avec des modes de corps rigides, nous appliquons un encastrement au bout du manche de la raquette, ce qui n a strictement aucune influence sur la partie de la raquette que nous souhaitons analyser, puisque les forces verticale_haut et verticale_bas ont été calculée pour se compenser. 4.4 Systèmes de coordonnées Nous n avons qu un seul système de coordonnées à savoir le système cartésien de la pièce (référentiel globale). Nous avions créé également un système de coordonnées cylindriques centré au centre du tamis. Le but était de pouvoir appliquer un matériau composite (orthotrope) avec une direction longitudinale le long d un cercle (proche de la forme du cadre de la raquette). Toutefois, cette voie s est révélée trop compliquée et a été abandonnée au profit d un matériau isotrope. 4.5 Distribution spatiale / temporelle Distribution spatiale de pression : uniforme, pas d évolution temporelle des conditions aux limites 4.6 Si transitoire: conditions initiales... Pas de transitoire, juste une analyse statique.

6 5. Hypothèses de discrétisation et maillage A) Maillage initial 5.1 Choix du type d'éléments finis Modélisation : coques Famille : Triangulaire Fonctions de formes : quadratique Intégration : Exacte Le but de cette étude étant d obtenir une bonne approximation des déplacements et contraintes en élasticité linéaire en un temps limité, nous choisissons dans un premier temps d utiliser des éléments triangulaires quadratiques (intégration exacte). 5.2 Méthode(s) de maillage Pour ce premier maillage, nous utilisons un algorithme de maillage triangulaire libre 5.3 Taille / Nbre d'éléments Taille globale des éléments : 5 mm Aucun raffinement pour cette première itération 7729 nœuds et 3802 éléments triangulaires quadratiques de type STRI65 Figure 7 : Maillage initial

7 B) Maillage raffiné Nous avons raffiné le maillage de la façon suivante : Nous avons gardé le même type d éléments partout. Nouvelle taille globale des éléments : 3 mm Raffinement dans la zone de l embranchement : espace entre les nœuds : 1 mm nœuds et éléments triangulaires quadratiques de type STRI65 Figure 8 : Maillage raffiné 5.4 Maillage optimisé Nous basons notre choix selon l étude de convergence du maillage (point 7). Nous optons pour le maillage raffiné, puisqu il converge pour les résultats analysés. 6. Type de Problème / Résolution 6.1 Type de problème résolu Nous réalisons une analyse de statique linéaire. L équation différentielle (forme forte) du problème représente l équilibre local des contraintes σ en tout point x du modèle. Forme forte : En utilisant la méthode des éléments finis, cette équation différentielle est transformée en un système d équation de la forme suivante : Système d équation discret : K u = f Le vecteur de déplacement u est obtenu alors en factorisant la matrice de rigidité du système K puis en inversant le système. 6.2 Options de résolution Pas d options particulières

8 6.3 Résultats calculés Les grandeurs suivantes sont calculées: Champ vectoriels : déplacements U Champs tensoriels : contraintes S Ainsi que leur invariant, la contrainte équivalente de Von Mises 7. Etude de convergence de maillage 7.1 Critère Pour évaluer la convergence du maillage, on extrait et compare les grandeurs suivantes : 1) déplacement maximal sur le cadre de la raquette 2) contrainte équivalente de Von Mises maximale 7.3 Résultats du maillage initial En utilisant le premier maillage, nous obtenons les valeurs suivantes : - Déplacement maximal : 2.09 mm au sommet de la raquette (la raquette s allonge à cause de la pression sur les côtés). Figure 9 : Mesure du déplacement avec le maillage initial

9 - Contrainte de Von Mises maximale : [MPa]. La valeur maximale se situe à l embranchement entre le manche et le tamis. Figure 10 : Contrainte de Von Mises avec le maillage initial La contrainte de Von Mises maximale aux points d intégration dans la zone de plus forte concentration de contraintes vaut environ 142 [MPa]. Cette valeur est 12 % plus faible que la contrainte maximale de Von Mises obtenue aux nœuds. Ceci n est pas une très grosse différence, mais nous pouvons tout de même raffiner le maillage dans cette zone. De plus, nous utilisons très peu d éléments pour l instant (car nous avons une coque, donc des éléments surfaciques, donc moins d éléments que si nous avions un volume). Nous choisissons de raffiner légèrement la taille du maillage sur tout le cadre pour vérifier que le déplacement et la contrainte de Von Mises convergent. 7.4 Résultats pour le maillage raffiné Nous obtenons avec le raffinement de maillage les résultats suivants : - Déplacement maximal : mm, toujours au sommet de la raquette - Contrainte de Von Mises maximale : [MPa], toujours au même endroit - Contrainte de Von Mises maximale aux points d intégration : [MPa] Nous remarquons que le déplacement maximal a convergé. Il en va de même pour la contrainte de Von Mises. 7.5 Estimation d erreur relative - Erreur relative sur le déplacement maximal : ( )/2.088 = 0.1% - Erreur relative sur la contrainte de Von Mises maximale aux nœuds entre le maillage initial et le maillage raffiné: ( )/156.2 = 2.6 % - Erreur relative sur la contrainte de Von Mises maximale aux points d intégration entre le maillage initial et le maillage raffiné: ( )/156.5 = 9.3% - l écart entre la valeur de contrainte maximale aux nœuds et maximale aux points d intégration dans la zone de concentration de contraintes est fortement réduit avec le maillage raffiné. Nous passons en effet de = 18.3 MPa à environ.

10 Ce second maillage semble donc donner des résultats bien plus homogènes. Figure 11 : Graphe de convergence Nous remarquons que la contrainte maximale de Von Mises aux nœuds a peu évolué entre le maillage initial et le maillage raffiné. De plus, la contrainte aux points d intégration s est fortement rapprochée de la contrainte aux nœuds. Raffinement supplémentaire? Cela n est pas nécessaire, puisque les divers résultats convergent. 7.6 Choix du maillage optimal Nous utiliserons le maillage raffiné pour la suite de l étude, puisque les résultats convergent avec ce maillage.

11 8. Résultats Le champ de la contrainte équivalente de Von Mises (dans la zone intéressante) est représenté dans la figure suivante : Figure 12 : Contrainte équivalente de Von Mises avec le maillage raffiné La contrainte de Von Mises maximale est de *MPa+ aux nœuds. Aux points d intégration, elle est de [MPa]. Les figures suivantes montrent les déplacements selon les directions x et y (déplacements négligeables selon z) :

12 Figure 13: Déplacement selon x Selon x, le déplacement maximal est de mm. La raquette se contracte. Figure 14 : Déplacement selon y

13 Selon y, le déplacement maximal est de mm. La raquette a tendance à devenir «plus ovale» plutôt que «plus ronde». Cette valeur correspond au déplacement maximal en norme sur les 3 directions. Nous avons donc un déplacement purement selon l axe y à la tête de raquette, ce qui est normal. 9. Analyse & conclusions 9.1 Résumé des résultats calculés Contrainte maximale de Von Mises : MPa Déplacement maximal : mm (en tête de raquette) 9.2 Pertinence / précision des résultats? Causes d'incertitude majeures? Il y a plusieurs sources d incertitudes majeures. Par exemple la géométrie, les matériaux ou encore la modélisation du cas de charge ne reflètent pas exactement la réalité. Par contre, les résultats convergent. Il n y a donc pas d imprécisions à ce niveau-là. 9.3 Critères et analyse Notre seul critère est la contrainte maximale de Von mises. Nous ne voulons pas qu elle dépasse la limite élastique (considérée comme égale pour un matériau de ce type). Cette limite vaut environ 500 MPa dans notre cas. Par conséquent, nous sommes bien en dessous de cette limite. 9.4 Conclusion: La raquette résiste donc bien, selon notre modèle, à la mise sous tension des cordes. Cependant, nous constatons que la contrainte de Von Mises maximale est déjà assez élevée, alors que nous n avons pas modélisé la charge induite par une frappe de balle. Partie 2 : Analyse avec fissure Tous les points identiques à la partie 1 ne sont pas répétés ci-dessous! Seules les modifications importantes et les résultats sont spécifiés dans ce qui suit. 1. But de l'étude 1.1 Objectifs Le but de cette partie est d observer si le cadre d une raquette de tennis peut résister à la mise sous tension due au cordage en présence d une fissure. Nous analyserons les contraintes et les déformations engendrées dans le cadre de la raquette. La limite en rupture ne doit pas être dépassée. Elle vaut environ 500 MPa pour un matériau tel que celui-ci.

14 2. Hypothèses Géométriques 2.1 Présentation de la géométrie Nous avons modélisé la fissure comme tel : Figure 15 : Modélisation de la fissure La fissure mesure 0.1 mm de large pour 1.5 mm de long et 4.5 mm de profondeur. Nous l avons placée sur l extérieur du cadre comme illustré sur la figure suivante : Figure 16 : Emplacement de la fissure 2.2 Symétrie Comme nous sommes repartis de la même géométrie que celle de la partie 1, nous avons également conservé le plan de symétrie. Par conséquent, c est comme si nous modélisions une fissure de chaque côté de la raquette. 5. Hypothèses de discrétisation et maillage Nous définissons tout d abord une taille générale d élément de 4mm. En ajoutant une fissure, nous pouvons nous attendre à une énorme concentration de contrainte. Par conséquent, nous raffinons le maillage dans la zone de la fissure. Pour ce faire, nous spécifions un nombre (tout d abord 30) de nœuds sur les arêtes des faces coupées par la fissure. Nous raffinons également le maillage dans une zone de 10 mm de chaque côté de la fissure, en imposant une taille d élément de 0.5 mm.

15 Figure 17 : Maillage raffiné autour de la fissure 7. Etude de convergence de maillage Maillage initial : Nombre de nœuds : Éléments : éléments triangulaires quadratiques de type STRI65 Contrainte de Von Mises max : 3060 MPa. Contrainte de Von mises max aux points d intégration : 3010 MPa. 2eme maillage : Au lieu d avoir 30 nœuds par arêtes dans le voisinage de la fissure, nous en exigeons 40. Nombre de nœuds : Éléments : éléments triangulaires quadratiques de type STRI65 Contrainte de Von Mises max : 3066 MPa. Contrainte de Von mises max aux points d intégration : 3027 MPa. Avec ce 2ème maillage, nous avons pratiquement atteint la limite supérieure du nombre de nœuds autorisé par notre licence ABAQUS. Par conséquent, nous ne pourrons de toute façon pas plus le raffiner. Quoi qu il en soit, nous remarquons qu ils semblent converger car la contrainte de Von Mises max évolue très peu (0.2%) et que la contrainte aux points d intégration est relativement proche de celle aux nœuds (1.3%).

16 8. Résultats Nous obtenons une contrainte de Von Mises maximale de 3066 MPa! Figure 18 : Contrainte de Von Mises autour de la fissure Par ailleurs, nous remarquons que le déplacement maximal avec la fissure est de 2.117, alors qu il était de sans la fissure. Cela ne représente pas une grosse variation. 9. Analyse & conclusions 9.2 Pertinence / précision des résultats? Causes d'incertitude majeures? En plus des causes d incertitudes citées dans la partie 1, nous avons une nouvelle source d incertitude liée à la fissure. En effet, l emplacement de la fissure par rapport aux différentes cordes joue certainement un rôle déterminant. Or ici, nous avons modélisé les forces des cordes comme une force répartie sur la surface. 9.3 Critères et analyse Notre critère est la contrainte de Von Mises..Nous ne voulons pas qu elle dépasse la limite élastique (considérée comme égale à la contrainte en rupture pour un matériau de ce type). Cette limite vaut environ 500 MPa dans notre cas. Ici, il y a un énorme pic de contrainte autour de la fissure. Localement, la limite en rupture est largement dépassée.

17 Cependant, comme la fissure est placée sur l extérieur du cadre, la mise sous tension de la raquette a tendance à la refermer. Il faudrait faire une analyse de la propagation d une fissure dans un tel matériau pour pouvoir se prononcer sur l impact réel d une telle fissure. De plus, il faudrait prendre en compte l emplacement exact de la fissure et de chaque corde. 9.4 Conclusion: Il nous est impossible de savoir si la raquette se briserait réellement avec une telle fissure. Une étude plus poussée est nécessaire.