PROPORTIONNALITE. On dit que les tableaux obtenus dans les deux exemples ci-dessus sont des tableaux de proportionnalité.

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1 PROPORTIONNALITE I- Exemples et définition: 1) Exemples: Exemple 1: De baguettes sont vendues 0,70 euros l'unité. Complète le tableau suivant: Nombre de baguettes 3 5 _ Prix en euros 8,40 Pour passer: - de la première ligne à la deuxième, il faut multiplier par 0,70 - de la deuxième ligne à la première il faut diviser par 0,70 Nombre de baguettes Prix en euros 2,10 3,50 8,40 Exemple 2: Un aviculteur conditionne ses œufs en boîtes de 6. Compléter le tableau suivant: Nombre d'œufs Nombre de boîtes Pour passer: - de la première ligne à la deuxième, il faut diviser par 6 - de la deuxième ligne à la première il faut multiplier par 6 Nombre d'œufs Nombre de boîtes On dit que les tableaux obtenus dans les deux exemples ci-dessus sont des tableaux de proportionnalité. 2) Définition: Un tableau est un tableau de proportionnalité si l'on passe des nombres de la première ligne aux nombres correspondants de la deuxième ligne en multipliant ou en divisant par un nombre donné. 3) Remarque: Au lieu de dire que le tableau est un tableau de proportionnalité, on peut dire que les valeurs de la première ligne et celles de la deuxième ligne sont proportionnelles. On peut aussi dire: Pour le premier tableau, que le prix est proportionnel au nombre de baguettes Pour le deuxième tableau, que le nombre de boîtes est proportionnel au nombre d'œufs. 4) Coefficient de proportionnalité: Le nombre par lequel on multiplie pour passer d'une ligne à l'autre s'appelle le coefficient de proportionnalité. 1

2 Dans l'exemple 1: 0,70 est le coefficient de proportionnalité pour passer de la première ligne à la deuxième Dans l'exemple 2: 6 est le coefficient de proportionnalité pour passer de la deuxième ligne à la première. II- Compléter un tableau de proportionnalité: Exemple 1: Côté et périmètre d'un carré. Compléter le tableau suivant, concernant un carré Côté (en cm) 4,2 5,7 _ Périmètre (en cm) 31,6 Pour calculer le périmètre d'un carré, on utilise la formule: Périmètre = côté x 4 Côté (en cm) 4,2 5,7 7,9 Périmètre (en cm) 16,8 22,8 31,6 Exemple 2: Côté et périmètre d'un triangle équilatéral. Compléter le tableau suivant, concernant un triangle équilatéral Périmètre (en cm) _ 16,5 21,6 Côté (en cm) 4,7 Pour calculer le périmètre d'un triangle équilatéral, on utilise la formule: Périmètre = côté x 3 Périmètre (en cm) 14,1 16,5 21,6 Côté (en cm) 4,7 5,5 7,2 Exemple 3: Distances en miles et en km On utilise en Grande Bretagne et aux Etats-Unis une unité de longueur appelée le mile. 1 mile = 1,6 km (valeur arrondie au dixième de km) Compléter le tableau suivant: Distance en miles _ Distance en km 91,2 Il faut: - multiplier par 1,6 pour passer de la première ligne à la deuxième - diviser par 1,6 pour passer de la deuxième ligne à la première. Distance en miles Ditsance en km 40 67,2 91,2 2

3 Exemple 4: Avec un coefficient fractionnaire Des chocolats sont vendus en boîtes de 16, 24 et 36. Dans chacune de ces boîtes les trois-quarts des chocolats sont des chocolats noirs. Compléter le tableau suivant: Nombre de chocolats dans la boîte Nombre de chocolats noirs _ Pour passer de la première ligne à la deuxième il faut multiplier par la fraction trois-quarts D'après la leçon sur les fractions, nous savons que cela revient à diviser le nombre d'en haut par 4 et à multiplier le résultat obtenu par 3. Nombre de chocolats dans la boîte Nombre de chocolats noirs Exemple 5: Prix d'un rôti Compléter le tableau suivant: Poids du rôti (en kg) 1,2 1,5 _ Prix de ce rôti (en euros) 24,96 _ 37,44 Dans cet exemple, le coefficient n'est pas donné par l'énoncé. Il faut donc commencer par le calculer. Il faut chercher le nombre qui, multiplié par 1,2 donne pour résultat 24,96 Pour cela on effectue la division 24,96 : 1, 2 = 20,8 (ce nombre représente le prix d'un kg de rôti) Pour compléter ce tableau il faut donc: - multiplier par 20,8 pour passer de la première ligne à la deuxième - diviser par 20,8 pour passer de la deuxième ligne à la première. Poids du rôti (en kg) 1,2 1,5 1,8 Prix de ce rôti (en euros) 24,96 31,2 37,44 III- Reconnaître si un tableau est un tableau de proportionnalité: Exemple 1: Vente par correspondance. Pour toute commande inférieure à 60 euros, il faut ajouter 5,50 euros de frais de port. a) Compléter le tableau Montant de la commande 17,30 24,80 47,10 Prix total à payer _ b) Le prix total à payer est-il proportionnel au montant de la commande? a) On obtient: Montant de la commande 17,30 24,80 47,10 Prix total à payer 22,80 30,30 52,60 b) Non, le prix total à payer n'est pas proportionnel au montant de la commande car on passe de la première ligne à la deuxième en additionnant 5,50 (pour qu'il y ait proportionnalité il faudrait que l'on multiplie ou que l'on divise par un nombre) 3

4 Exemple 2: Soldes. Dans un magasin de vêtements, tous les articles sont soldés avec une remise de 30% a) Compléter le tableau Prix normal Remise _ b) Ce tableau est-il un tableau de proportionnalité? a) Pour calculer la remise, il faut multiplier le prix normal par la fraction 30/100 (ou, ce qui revient au même, par le décimal 0,3) Prix normal Remise 7,5 9,6 14,4 b) Oui, ce tableau est un tableau de proportionnalité car on passe de la première ligne à la deuxième en multipliant par 30/100 (ou 0,3) Exemple 3: Altitudes Le pied est une unité de longueur utilisée aux Etats-Unis. Le tableau suivant donne une correspondance entre certaines altitudes en mètres et les mêmes altitudes en pieds. Altitude en pieds Altitude en mètres Y a-t-il proportionnalité entre les altitudes en mètres et les mêmes altitudes en pieds? Dans cet exemple, l'opération à faire n'est pas donnée par l'énoncé. Il faut donc chercher le coefficient éventuel, c'est-à-dire le nombre par lequel il faut multiplier les nombres de la première ligne pour obtenir ceux de la deuxième ligne. Pour cela, on effectue la division: 2196 : 7200 = 0,305 Donc: 7200 x 0,305 = 2196 Il faut alors vérifier, pour les colonnes suivantes, si en multipliant le nombre du haut par 0,305 on trouve bien le nombre du bas. Effectivement, on a: x 0,305 = x 0,305 = 4697 Donc il y a proportionnalité entre les altitudes en mètres et les mêmes altitudes en pieds car on passe de la première ligne à la deuxième en multipliant par 0,305 4

5 Exemple 4: Mesure des températures. Les températures se mesurent en France, et dans la plupart des pays du monde, en degrés Celsius ( C). Aux Etats-Unis elles se mesurent en degrés Fahrenheit ( F). Le tableau suivant donne une correspondance entre certaines températures en C et les mêmes températures en F Températures en C Températures en F Y a-t-il proportionnalité entre les températures en C et les mêmes températures en F? Il faut chercher le coefficient éventuel, c'est-à-dire le nombre par lequel il faut multiplier les nombres de la première ligne pour obtenir ceux de la deuxième ligne. Pour cela, on effectue la division: 41 : 5 = 8,2 Donc: 5 x 8,2 = 41 Il faut alors vérifier, pour les colonnes suivantes, si en multipliant le nombre du haut par 8,2 on trouve bien le nombre du bas. Mais 20 x 8,2 = 164 et non 68 Donc il n'y a pas proportionnalité entre les entre les températures en C et les mêmes températures en F car on ne passe pas de la première ligne à la deuxième en multipliant par le même nombre IV- Produits en croix: 1) Découverte: Du poulet est vendu 5,2 euros le kg. a) Compléter le tableau: Poids du poulet (en kg) 1,3 1,7 Prix en euros b) Calculer 1,3 x 8,84 et 1,7 x 6,76 Que constate-t-on? a) Il faut multiplier chaque nombre de la première ligne par 5,2 et on obtient donc le tableau de proportionnalité: Poids du poulet (en kg) 1,3 1,7 Prix en euros 6,76 8,84 b)1,3 x 8,84 = 11,492 et 1,7 x 6,76 = 11,492 On constate que ces deux produits sont égaux. Remarque: on dit qu'on a fait les produits "en croix" car, par rapport au tableau, les nombres qu'on multiplie l'en par l'autre sont disposés en forme de croix 2) A retenir: Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux. 5

6 3) Utilisation: En utilisant les produits en croix, compléter les tableaux de proportionnalité suivants: Tableau 1: Distance parcourue par une train roulant à vitesse constante Durée (en minutes) Distance parcourue (en km) 40,8 _ 41 x 40,8 = 1672,8 1672,8 : 17 = 98,4 On obtient donc le tableau: Durée (en minutes) Distance parcourue (en km) 40,8 98,4 Tableau 2: Maquette d'un bateau Longueur maquette (en cm) _ 35 Longueur réelle (en m) 55 87,5 55 x 35 = : 87,5 = 22 On obtient donc le tableau: Longueur maquette (en cm) Longueur réelle (en m) 55 87,5 V- Exemples d'utilisation de la proportionnalité: 1) Consommation d'une voiture: Exemple1: Une automobile consomme 7,6 litres aux 100 km. a) Combien consomme-t-elle pour parcourir 1 km? b) Compléter le tableau suivant: Distance parcourue (en km) 125 _ Consommation (en L) _ 28,5 Réponses: a) 7,6 : 100 = 0,076 Elle consomme 0,076 litre pour parcourir 1 km. b) On obtient: Distance parcourue (en km) Consommation (en L) 9,5 28,5 (Pour passer de la première ligne à la deuxième on multiplie par 0,076; pour passer de la deuxième à la première on divise par 0,076) 6

7 Exemple 2: Une automobile consomme 6,5 litres aux 100 km. En utilisant les produits en croix, répondre aux questions suivantes: a) Combien consomme-t-elle pour parcourir 78 km? (arrondir au dixième de litre) b) Quelle distance peut-elle parcourir avec 32 litres? (arrondir au km) Réponses: a) Distance parcourue (en km) Consommation (en L) 6,5 _ 6,5 x 78 = : 100 = 5,07, donc 5,1 en arrondissant au dixième Pour parcourir 78 km cette automobile consomme 5,1 litre b) Distance parcourue (en km) 100 _ Consommation (en L) 6, x 100 = : 6,5 492 km Avec 32 litres cette automobile peut parcourir 492 km Exemple 3: Une automobile a consommé 20 litres pour parcourir 283 km. Calculer sa consommation, en litres aux 100 km (arrondir au dixième de litre) Distance parcourue (en km) Consommation (en L) 20 _ 20 x 100 = : 283 7,1 litre La consommation de cette automobile est de 7,1 litre aux 100 km 2) Vitesses: Exemple 1: Une automobile roule à la vitesse de 78 km/h a) Quelle distance parcourt-elle en 1 min? b) Compléter le tableau suivant: Durée du parcours (en min) 17 _ Distance parcourue (en km) _ 32,5 Réponses: a) 78 : 60 = 1,3 En 1 min elle parcourt 1,3 km b) On obtient: Durée du parcours (en min) Distance parcourue (en km) 22,1 32,5 (Pour passer de la première ligne à la deuxième ligne on multiplie par 1,3; pour passer de la deuxième ligne à la première ligne on divise par 1,3) 7

8 Exemple2: Un avion vole à la vitesse de 980 km/h. En utilisant les produits en croix, répondre aux questions suivantes: a) Quelle distance parcourt-il en 2 h 45 min? b) Combien de temps lui faut-il pour parcourir 4000 km? (arrondir à la min) Réponses: a) On convertit 2 h 45 min en min: 2 h 45 min = 165 min Durée du parcours (en min) Distance parcourue (en km) 980 _ 165 x 980 = : 60 = 2695 En 2 h 45 min cet avion parcourt 2695 km b) Durée du parcours (en min) 60 _ Distance parcourue (en km) x 60 = : min 245 min = 4 h 5 min Pour parcourir 4000 km il lui faut 4 h 5 min Exemple 3: Un train a parcouru 41 km en 18 min Calculer sa vitesse en km/h (arrondir au km) Réponse: Durée du parcours (en min) Distance parcourue (en km) 41 _ 41 x 60 = : km Sa vitesse est 137 km/h 3) Echelle d'une carte : Exemple1: Sylvain a acheté une maquette de bateau. Il voit écrit sur la boîte: échelle 1 : 250 Cela signifie que 1 cm sur la maquette représente 250 cm, c'est à dire 2,5 m en réalité Compléter le tableau suivant: Longueur du bateau Largeur du bateau Sur la maquette (en cm) 44 _ En réalité (en m) _ 15 Réponse: Longueur du bateau Largeur du bateau Sur la maquette (en cm) 44 6 En réalité (en m) (Pour passer de la première ligne à la deuxième ligne on multiplie par 2,5; pour passer de la deuxième ligne à la première ligne on divise par 2,5) 8

9 Exemple 2: Sur une carte à l'échelle 1 : , la distance entre deux villes est de 18,4 cm Quelle est la distance réelle, à vol d'oiseau (c'est-à-dire en ligne droite), entre ces deux villes? Réponse: Méthode1: 1 cm sur la carte représente cm, c'est à dire 2 km en réalité 18,4 x 2 = 36,8 La distance réelle entre ces deux villes est 36,8 km Méthode 2: 18,4 x = cm = 36,8 km La distance réelle entre ces deux villes est 36,8 km Exemple3: Une automobile a une longueur de 3,95 m Quelle est la longueur, en cm, d'un modèle réduit de cette voiture est à l'échelle 1 / 43 (arrondir au mm) Réponse: 3,95 m =395 cm 395 : 43 9,2 cm Le modèle réduit a une longueur de 9,2 cm VI- Partages proportionnels: Exemple: Trois amis ont commandé, ensemble, 15 douzaines d'huîtres pour Noël. Le premier en a pris 7 douzaines, le deuxième 5 douzaines et le troisième 3 douzaines. Combien chacun devra-t-il payer sachant que les 15 douzaines d'huîtres coûtent 78 euros, et qu'ils paient proportionnellement au nombre de douzaines qu'ils ont prises. Réponse: 78 : 15 = 5, 2 Donc une douzaine d'huîtres coûte 5,2 euros 7 x 5, 2 = 36,4 5 x 5,2 = 26 3 x 5,2 = 15,6 Le premier paiera donc 36,4 euros, le deuxième 26 euros et le troisième 15,6 euros. VII- Exercices: Exercice 1: Distances maritimes: Les distances maritimes se mesurent en milles marins 1 mille marin = 1,85 km (valeur arrondie au centième de km) Compléter le tableau suivant: Distance en milles marins _ Distance en km 3441 Exercice 2: Soldes. Dans un magasin de vêtements, tous les articles sont soldés avec une remise de 15 %. Compléter le tableau Prix normal (en euros) Remise (en euros) _ 9

10 Exercice 3: Mesure de capacités. On utilise aux Etats-Unis, pour la mesure des capacités, une unité appelée le gallon Compléter le tableau suivant: Capacité en gallons _ Capacité en litres 57 _ 155,8 Exercice 4: Promotion Lors d'une promotion, un magasin offre une réduction de 5 euros sur les prix de films en DVD. a) Compléter le tableau suivant: Prix normal du DVD Prix en promotion _ b) Y a-t-il proportionnalité entre le prix normal et le prix en promotion? Exercice 5: Terrain à bâtir Du terrain à bâtir est vendu 48 euros le m². a) Compléter le tableau suivant: Superficie en m² Pris en euros _ b) Ce tableau est-il un tableau de proportionnalité? Exercice 6: Distance parcourue par un avion Le tableau ci-dessous donne la distance parcourue par un avion en fonction du temps de vol Durée du vol (en h) Distance parcourue (en km) La distance parcourue est-elle proportionnelle au temps de vol? Exercice 7: Un concessionnaire automobile propose une réduction sur le prix de certains modèles. Le tableau suivant donne, pour trois modèles, le prix normal et le montant de la réduction offerte Prix du modèle Montant réduction Le montant de la réduction est-il proportionnel au prix de ces modèles? Exercice 8: Une automobile consomme 8,2 litres aux 100 km. a) Combien consomme-t-elle pour parcourir 1 km? b) Compléter le tableau suivant: Distance parcourue (en km) 245 _ Consommation (en L) _ 25,83 Exercice 9: Une automobile consomme 5,6 litres aux 100 km. En utilisant les produits en croix, répondre aux questions suivantes: a) Combien consomme-t-elle pour parcourir 132km? (arrondir au dixième de litre) b) Quelle distance peut-elle parcourir avec 32,8 litres? (arrondir au km) 10

11 Exercice 10: Une automobile a consommé 32,8 litres pour parcourir 405 km. Calculer sa consommation, en litres aux 100 km (arrondir au dixième de litre) Exercice 11: Une cycliste roule à la vitesse de 21km/h a) Quelle distance parcourt-il en 1 min? b) Compléter le tableau suivant: Durée du parcours (en min) 12 _ Distance parcourue (en km) _ 14 Exercice 12: Un TGV roule à la vitesse de 260 km/h. En utilisant les produits en croix, répondre aux questions suivantes: a) Quelle distance parcourt-il en 46 min? (arrondir au km) b) Combien de temps lui faut-il pour parcourir 417 km? (arrondir à la min) Exercice 13: Un automobiliste a parcouru 315 km en 2h 44 min Calculer sa vitesse en km/h (arrondir au km) Exercice 14: Une carte est à l'échelle 1: a) Quelle distance réelle (en km) correspond à 1 cm sur la carte? b) Compléter le tableau suivant: Distance sur la carte (en cm) 7,2 _ Distance réelle (en km) _ 135 Exercice 15: Une maquette d'avion, à l'échelle 1 : 125, a pour longueur 36 cm Quelle est la longueur réelle, en mètres, de cet avion? Exercice 16: Deux villes sont distantes de 59 km. Quelle distance, en centimètres, sépare ces deux villes sur une carte au 1 : ? Exercice 17: Un terrain de 2700 m², coûtant euros est vendu en trois lots de 1200 m², 600 m² et 900 m². Calculer le prix de chacun de ces lots, sachant que le prix de chaque lot est proportionnel à son aire. 11

12 PROPORTIONNALITE - CORRECTION DES EXERCICES Exercice 1: Distances maritimes: Comme 1 mile = 1,85 km, il faut donc: - multiplier par 1,85 pour passer de la première ligne à la deuxième - diviser par 1,85 pour passer de la deuxième ligne à la première. Distance en milles marins Distance en km Exercice 2: Soldes. Pour calculer la remise, il faut multiplier le prix normal par la fraction 15/100 (ou, ce qui revient au même, par le décimal 0,15) Prix normal Remise 5,1 6,9 11,7 Exercice 3: Mesure de capacités. Dans cet exemple, le coefficient n'est pas donné par l'énoncé. Il faut donc commencer par le calculer. Il faut chercher le nombre qui, multiplié par 15, donne pour résultat 57 Pour cela on effectue la division 57 : 15 = 3,8 (ce nombre signifie que 1 gallon = 3,8 litres) Pour compléter ce tableau il faut donc: - multiplier par 3,8 pour passer de la première ligne à la deuxième - diviser par 3,8 pour passer de la deuxième ligne à la première. Capacité en gallons Capacité en litres 57 83,6 155,8 Exercice 4: Promotion a) Pour avoir le prix en promotion, il faut soustraire 5 au prix normal du DVD On obtient donc Prix normal du DVD Prix en promotion b) Non, il n'y a pas proportionnalité entre le prix normal et le prix en promotion car on passe de la première ligne à la deuxième en soustrayant 5 (pour qu'il y ait proportionnalité il faudrait qu'on multiplie ou qu'on divise par un nombre) Exercice 5: Terrain à bâtir a) Pour avoir le prix il faut multiplier la superficie par 48. Superficie en m² Pris en euros b) Oui, ce tableau est un tableau de proportionnalité car on passe de la première ligne à la deuxième en multipliant par 48 12

13 Exercice 6: Distance parcourue par un avion 2610 : 3 = 870 Donc: 3 x 870 = 2610 Puis: 5 x 870 = 4350 et 9 x 870 = 7830 Donc la distance parcourue est proportionnelle au temps de vol car on passe de la première ligne à la deuxième en multipliant par 870 Exercice 7: 1500 : = 0,12 Donc: x 0,12 = 1500 Mais x 0,12 =2016 et non pas 2500 Donc 1e montant de la réduction n'est pas proportionnel au prix de ces modèles. Exercice 8: a) 8,2 : 100 = 0,082 Elle consomme 0,082 litre pour parcourir 1 km. b) On obtient: Distance parcourue (en km) Consommation (en L) 20,09 25,83 (Pour passer de la première ligne à la deuxième on multiplie par 0,082; pour passer de la deuxième à la première on divise par 0,082) Exercice 9: a) Distance parcourue (en km) Consommation (en L) 5,6 _ 132 x 5,6 = 739,2 739,2 : 100 7,4 litre Pour parcourir 132 km cette automobile consomme 7,4 litre b) Distance parcourue (en km) 100 _ Consommation (en L) 5,6 32,8 32,8 x 100 = : 5,6 586 km Avec 32,8 litres, cette automobile peut parcourir 586 km Exercice 10: Distance parcourue (en km) Consommation (en L) 32,8 _ 32,8 x 100 = : 405 8,1 litre La consommation de cette automobile est 8,1 litres aux 100 km Exercice 11: a) 21 : 60 = 0,35 En 1 min il parcourt 0,35 km b) On obtient: Durée du parcours (en min) Distance parcourue (en km) 4,2 14 (Pour passer de la première ligne à la deuxième ligne on multiplie par 0,35; pour passer de la deuxième ligne à la première ligne on divise par 0,35) 13

14 Exercice 12: a) Durée du parcours (en min) Distance parcourue (en km) 260 _ 46 x 260 = : km En 46 min il parcourt 199 km b) Durée du parcours (en min) 60 _ Distance parcourue (en km) x 60 = : min 96 min = 1 h 36 min Pour parcourir 417 km il lui faut 1 h 36 min Exercice 13: 2 h 44 min = 164 min Durée du parcours (en min) Distance parcourue (en km) 315 _ 315 x 60 = : km Sa vitesse est 115 km/h Exercice 14: a) 1 cm sur la carte représente cm, c'est-à-dire 5 km en réalité b) On obtient: Distance sur la carte (en cm) 7,2 27 Distance réelle (en km) (On passe de la première ligne à la deuxième ligne en multipliant par 5; on passe de la deuxième ligne à la première ligne en multipliant par 5) Exercice15: Méthode 1 1 cm sur la maquette représente 125 cm, c'està-dire 1,25 m en réalité 1,25 x 36 = 45 m La longueur réelle de cet avion est 45 m Exercice 16: Méthode 1: 1 cm sur la carte représente cm, c'està-dire 2 km en réalité 59 : 2 = 29,5 cm 29,5 cm séparent ces deux villes sur la carte Méthode 2: 36 x 125 = 4500 cm = 45 m La longueur réelle de cet avion est 45 m Méthode 2: 59 km = cm : = 29,5 29,5 cm séparent ces deux villes sur la carte Exercice 17: : = 50 1 m² de ce terrain coûte donc 50 euros x 50 = x 50 = x 50 = Le premier lot coûte donc euros, le deuxième euros et le troisième euros 14