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Aline Bourgeois
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1 FaceBook aime les Maths! Michel Rigo

2 Réseaux

3 Visualizing my Twitter Network by number of followers. Michael Atkisson

4 p.3 p.5 p.1 p.4 Les pages et les liens entre les pages p.2

5 Des co-auteurs scientifiques et le nombre d Erdős

6 P. ERDOS A. EINSTEIN Y. CRAMA E. CHARLIER G. HAESBROECK M.RIGO G. HANSOUL S. NICOLAY P. LECOMTE Y. SWAN J. P. SCHNEIDERS F. BASTIN P. MATHONET sous-graphe, chemins les plus courts (septembre 2014) M. Newman, the structure of scientific collaboration networks (2001).

MATHONET sous-graphe, chemins les plus courts (septembre 2014) M.

7 Qu est qu un graphe? On veut modéliser des relations (symétriques ou orientées). On considère un ensemble V de sommets et une partie E V V, un ensemble de couples de sommets. FaceBook V est l ensemble des utilisateurs, (u,v) ET (v,u) appartiennent à E si u et v sont amis. Twitter V est l ensemble des utilisateurs, (u,v) appartient à E si u est un follower de v.

8 Qu est qu un graphe? p.3 p.5 p.1 p.4 p.2 Le graphe du web V est l ensemble des pages web, (u,v) appartient à E si la page u a un lien vers la page v. Le graphe des co-auteurs V est l ensemble des scientifiques publiant des articles de recherche, (u,v) ET (v,u) appartiennent à E si u et v ont écrit un article ensemble.

9 Is Graph Theory Key to Understanding Big Data? WIRED Mars 2014 istock.com/af-studio

10 Graph Theory: Key to Understanding Big Data WIRED Mai 2014 Facebook CEO Mark Zuckerberg shows off Graph Search. Photo: Ariel Zambelich/Wired

Photo: Ariel Zambelich/Wired http://innovationinsights.

11 Avoir des outils pour les GRANDS graphes... calcul de distances détection de communautés homophilie : tendance à se rapprocher de ses semblables

12 Small-world phenomenom I read somewhere that everybody on this planet is separated only by six other people. Six degrees of separation. Between us and everyone else on this planet. John Guare

13 Calcul de distances et produit matriciel Stanley Milgram, Psychology Today (1967)

1 2 7 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0

14 Produit matriciel u a b c d v w x =???? =

15 Produit matriciel u a b c d v w x =???? = au+

16 Produit matriciel u a b c d v w x =???? = au +bv+

17 Produit matriciel u a b c d v w x =???? = au +bv +cw+

18 Produit matriciel u a b c d v w x =???? = au +bv +cw +dx

19 = =

1 6 2 1 5 = 2 0 0 2 2 0 0 2 1 0 0 1 1 0 0 1

20 = =

21 a 2 c b d 1 e 4 f 3 g = = = car a c, a d, b c, b d, f g.

22 Théorème Si A est la matrice d adjacence d un graphe, alors (A n ) i,j est le nombre de chemins de longueur n joignant i à j. Preuve : Par récurrence sur n.

23 Vérifier uniquement par calcul les 6 degrés de séparation , } {{ } =M

24 Vérifier uniquement par calcul les 6 degrés de séparation , } {{ } =M

25 Vérifier uniquement par calcul les 6 degrés de séparation , } {{ } =M

26 Vérifier uniquement par calcul les 6 degrés de séparation , } {{ } =M

27 Vérifier uniquement par calcul les 6 degrés de séparation , } {{ } =M

28 Remarque Calculer un élément d un produit de deux matrices n n nécessite n produits de nombres, n 1 sommes. Donc, en tout, on a n 3 produits de nombres à calculer. Algorithme de Strassen (1969) Multiplication de matrices 2 2 avec 7 multiplications récursivement, nombre de multiplications O(n log 2 7 ) O(n 2,807 ). problèmes de stabilité numérique (si approximations). Algorithme de Coppersmith Winograd (2010) nombre de multiplications O(n 2, ). Algorithme de François Le Gall (2014) nombre de multiplications O(n 2, ).

29 Remarque Calculer un élément d un produit de deux matrices n n nécessite n produits de nombres, n 1 sommes. Donc, en tout, on a n 3 produits de nombres à calculer. Algorithme de Strassen (1969) Multiplication de matrices 2 2 avec 7 multiplications récursivement, nombre de multiplications O(n log 2 7 ) O(n 2,807 ). problèmes de stabilité numérique (si approximations). Algorithme de Coppersmith Winograd (2010) nombre de multiplications O(n 2, ). Algorithme de François Le Gall (2014) nombre de multiplications O(n 2, ).

30 La détection de communautés blogs politiques avant l élection présidentielle aux USA de ladamic/img/politicalblogs.jpg

31 La détection de communautés On recherche des régions hautement interconnectées Fast unfolding of communities in large networks, V. D. Blondel, J.-L. Guillaume, R. Lambiotte, E. Lefebvre (2008)

32 La détection de communautés Fast unfolding of communities in large networks, V. D. Blondel, J.-L. Guillaume, R. Lambiotte, E. Lefebvre (2008) 2,6 millions d abonnés, plus d un milliard d appels

33 La détection de communautés D autres méthodes existent : division/effacement, Girvan, Newman , Radicchi et al agglomération récursive, Pons, Latapy 2006 Maximiser une fonction objectif, Clauset, Newman, Moore 2004, Wu, Huberman 2004 La qualité du résultat est mesuré par la modularité M [ 1,1], M = 1 [ A ij k ] ik j δ(c i,c j ) 2m 2m i,j où k i = j A ij, c i est la communauté assignée au sommet i et m = 1 2 i,j A ij.

34 Essayer de modéliser le qui se ressemble, s assemble Une règle locale a des influences globales... liens dans un réseau social au sein d une école, liens forts au sein d une classe apparition de quartiers dans des métropoles Thomas Schelling, Dynamic models of segregation, J. of Math. Sociology (1972).

36 chaque habitant

37 chaque habitant a des voisins

38 y-a-t-il suffisamment de semblables? (par ex. 4)

39 sinon, il se déplace sur une case vide (au plus proche)

40 distance de Manhattan 0

41 distance de Manhattan 1

42 distance de Manhattan 2

43 distance de Manhattan 3

45 pas de 4 itérations

46 pas de 4 itérations

47 pas de 4 itérations

48 pas de 4 itérations

49 pas de 4 itérations

50 pas de 4 itérations

51 pas de 4 itérations

52 pas de 4 itérations

53 pas de 4 itérations

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55 pas de 4 itérations

56 pas de 4 itérations

57 pas de 4 itérations

58 pas de 4 itérations

59 pas de 4 itérations

60 pas de 4 itérations

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62 pas de 4 itérations

63 pas de 4 itérations

64 pas de 4 itérations

65 pas de 4 itérations

66 pas de 4 itérations

67 pas de 4 itérations

68 pas de 4 itérations

69 pas de 4 itérations

70 pas de 4 itérations

71 pas de 4 itérations

72 pas de 4 itérations

73 pas de 4 itérations

74 pas de 4 itérations

75 après 320 itérations

76 pourcentage d Afro-Américains par quartier à Chicago en 1940 Markus M. Möbius, Tanya S. Rosenblat, The Process of Ghetto Formation: Evidence from Chicago

77 pourcentage d Afro-Américains par quartier à Chicago en 1960 Markus M. Möbius, Tanya S. Rosenblat, The Process of Ghetto Formation: Evidence from Chicago

78 Simulations, observations qualitatives L analyse du modèle est difficile (problèmes ouverts) Analogie avec la physique (mélange de deux liquides)

79 En guise de conclusion Amasser un grand nombre de données donner une vue d ensemble de problèmes complexes : santé, embouteillages, comportements sociaux,... comment ces données sont-elles exploitées par les entreprises? Wearable devices, appareils mettables

80 Pour aller plus loin Jon Kleinberg, Prix Nevanlinna (ICM 2006 Aspects mathématiques des sciences de l information)

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