Examen d accès - 1 Octobre 2009

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1 Examen d accès - 1 Octobre 2009 Aucun document autorisé - Calculatrice fournie par le centre d examen Ce examen est un questionnaire à choix multiples constitué de 50 questions. Plusieurs réponses sont proposées pour chaque question (ou ensemble de questions). Il peut y avoir plusieurs bonnes réponses. Les réponses sont à inscrire dans la feuille jointe, en cochant pour chaque question la (ou les) case(s) correspondant à la (ou les) bonnes réponse(s). Toute réponse ambiguë sera considérée comme une absence de réponse. Toute réponse exacte entraîne une bonification de 1 point, toute erreur est pénalisée de 0,5 points. Q1) et sont deux événements d un espace probabilisé tels que : ( ) =1 6; ( ) =1 4 (probabilité conditionnelle de sachant que est réalisé). Combien vaut ( )? A) 2/3 B) 1/24 C) 1/12 D) 1/6 E) 1/5 Q2) et sont deux évènements indépendants tels que ( ) = 0 2 et ( ) = 0 3 alors ( ) = A) 0 06 B) 0 44 C) 0 5 D) 0 56 E) 0 24 Q3)Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. 1. Si est une variable aléatoire strictement positive, (1 ) =1 ( ). R. B) 2. ( + )= ( )+ ( ) si et seulement si et sont indépendants. 1

2 Q4)Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. 1Si ( )=0alors et sont indépendants. 2. Si et sont deux variables aléatoires positives, ( ) 0. Q5)Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. 1. Soient et deux variables de densité et, alors la densité de + n est jamais Soit la densité d une variable aléatoire continue, alors est comprise entre 0 et 1. Q6)Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. 1. ( ) = ( ) pour tout Si ( ) =0et ( ) =0alors =0. Q7)Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. 1. Soit une variable aléatoire de densité alors 2 est la densité de = Soient une fonction de répartition sur R, alors 2 est également une fonction de répartition. 2

3 Q8)Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. 1. Si suit une loi exponentielle de moyenne 2, alors = 2 suit une loi exponentielle de paramètre Si suit une loi de Poisson, alors ( ) = ( ). Q9)Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. 1. Soient 1 et 2 deux variables indépendantes telles que 1 ( ; 1 ) et 2 ( ; 2 ),alors ( ; ). 2. Soient 1 et 2 deux variables indépendantes telles que 1 ( 1 ; ) et 2 ( 2 ; ), alors ( ; ). Q10)Un sac contient 5 jetons. On prélève au hasard et successivement et sans remise 3 jetons. Déterminer le nombre de résultats possibles (éventualités) de cette expérience aléatoire. A) 125 B) 20 C) 60 D) 50 E) 75 Q11)Un parking contient 5 places, dans lequel peuvent se garer 5 voitures. Déterminer le nombre de possibilités sachant qu aucune place ne doit être vide : A) 25 B) 60 C) 30 D) 120 E) 50 Q12)Soient et deux évenements tels que ( ) =0 2, ( ) =0 7 alors : A) ( ) =0 5 B) ( ) 0 5 C) ( ) 0 5 3

4 Q13)Soient et deux évenements tels que ( ) =0 2, ( ) =0 8, ( ) =1alors : A) et sont non seulement incompatibles, mais aussi contraires B) et sont incompatibles, mais ne sont pas contraires C) et sont ni contraires ni incompatibles. Q14)La loi de probabilité d une variable aléatoire est définie par : ( =2)=1 2 ; ( =3)= 1 3 ; ( = ) =1 6 où est un réel donné. Déterminer le nombre sachant que l espérance mathématique de cette variable aléatoire est nulle. A) 100 B) 5 C) 4 D) 12 E) 2 Q15)Soit et deux évenements indépendants alors : a) ( ) =0 B) ( ) = ( ) ( ) C) ( ) = ( ) D) ( ) = ( ) Q16)Dans une population de lycéens, 30 % font du sport hors du lycée. Parmi les sportifs, 15 % font du volley, 20 % de la natation, et 5 % font à la fois du volley et de la natation. Alors, le pourcentage de lycéens faisant : 1) du volley hors du lycée est : A) 4 5% B) 50% C) 15% 2) aucun sport hors du lycée est : D) 70% E) 65% 4

5 Q17)(suite) 3) un sport mais ni volley, ni natation est : A) 65% B) 21% C) 19 5% 4) du volley, mais pas de natation est : D) 3% E) 10% Q18)On s intéresse à la durée de vie, exprimée en années, d un appareil ménager avant la première panne. On peut modéliser cette situation par une loi de probabilité de durée de vie sans vieillissement, définie sur l intervalle [0 + [. Ainsi, la probabilité d un intervalle [0 [, notée ([0 [), est la probabilité que l appareil ménager tombe en panne avant l instant. Cette loi est telle que ([0 [) = R 0 où est un nombre réel positif représentant le nombre d années (loi exponentielle de paramètre avec 0). 1) Pour 0, la valeur exacte de ([ + [) est : A) 1 B) 2) La valeur de pour laquelle on a ([0 [) = ([ + [) est : C) ln 2 D) ln 2 E) 2 Q19)(suite) 3) Sachant que cet appareil n a connu aucune panne au cours des deux premières années après sa mise en service, la probabilité qu il ne connaisse aucune panne l année suivante est : A) ([1 + [) B) ([3 + [) C) ([2 3[) D) ([3 + [) ([0 3[) E) ([2 + [) ([0 2[) Q20) et sont deux évènements. ( ) = A) ( ) ( ) B) ( ) ( ) C) ( ) ( ) D) ( ) ( ) E) ( ) ( ) 5

6 Q21)Une urne contient 5 boules noires et 3 boules blanches. On tire successivement et sans remises 2 boules de l urne. La probabilité de l événement : «la 2ième boule tirée est noire sachant que la première l est aussi» est égale à.... A) 5 4 B) C) 5 14 D) 5 7 E) 4 7 Q22)Lors d une course équestre comportant 20 partants, la probabilité de gagner le tiercé dans le désordre est combien de fois supérieure à la probabilité de gagner le tiercé dans l ordre? A) 10 fois B) 6 fois C) 5 fois D) 3 fois E) 2 fois Q23)Dans un tiroir il y a 3 paires de chaussettes de couleurs différentes, on tire au hasard 2 chaussettes ; la probabilité qu elles appartiennent à la même paire est égale à... A) 1 3 B) 1 5 C) 1 6 D) 1 2 E) 1 4 Q24)Les questions suivantes portent sur la distribution de probabilité ci-jointe, - ( =0 =0)= ( =0; =1)=0 2 - ( =1 =0)= ( =1 =1)= ( )= ( =0)=

7 Q25)On lance trois fois de suite une pièce de monnaie. Sur chaque lancer on regarde si on obtient pile ou face, exemple de résultat possible pile, pile, face noté PPF. Déterminer le nombre de résultats possibles. A) 8 B) 6 C) 9 Q26)(suite) On appelle la variable aléatoire égale au nombre de fois ou pile apparaît sur ces trois. Déterminer la loi de probabilité de : ( =0)= A) 0 B) 1 8 C) 1 4 D) 3 8 E) 1 2 Q27)(suite) ( =1)= A) 0 B) 1 8 C) 1 4 D) 3 8 E) 1 2 Q28)(suite) ( =2)= A) 0 B) 1 8 C) 1 4 D) 3 8 E) 1 2 7

8 Q29)(suite) ( =3)= A) 0 B) 1 8 C) 1 4 D) 3 8 E) 1 2 Q30)(suite) Déterminer l espérance mathématique de A) 3 4 B) 3 2 C) 1 D) 9 8 E) 1 2 Q31)(suite) Déterminer la variance mathématique de A) 3 4 B) 3 2 C) 1 D) 2 E) 3 Q32)Un élève répond au hasard aux 10 questions d un QCM pour lequel 4 choix sont proposés pour chaque question mais un seul des choix est vrai (1 point si la réponse est juste, 0 5 si la réponse est fausse). La probabilité qu il obtienne la moyenne est environ égale à... A) 0,003 B) 0,058 C) 0,078 D) 0,0035 Q33)Il existe une seule et unique représentation graphique pour chaque sorte d étude statistique. C) Cela dépend du type de caractère D) Cela dépend de la taille de l échantillon 8

9 Q34)Un histogramme d une variable quantitative... A) n a pas d abscisse B) n a ni abscisse ni ordonnée C) n a pas d ordonnée D) est construit de telle manière à ce que les effectifs soient proportionnels à l aire de leur "rectangle" respectif. E) est construit de telle manière à ce que les effectifs soient proportionnels à la hauteur de leur "rectangle" respectif. Q35)L abscisse du point d intersection des polygones des fréquences cumulées croissantes et décroissantes correspond à... A) La moyenne B) La classe modale C) La médiane D) L effectif polygonale E) Aucune des réponses précédentes est juste. Q36)Parmi les mesures suivantes, lesquelles ne sont pas des mesures de dispersion? A) l écart interquartile B) l écart type C) le mode D) la moyenne élaguée Q37)Une fraction de la variance totale expliquée par l hétérogénéïté des moyennes entre souspopulations nulle indique que : A) toutes les sous-populations ont la même moyenne B) toutes les sous-populations ont le même écart-type C) toutes les sous-populations ont une variance nulle D) toutes les sous-populations ont la même variance E) toutes les sous-populations ont des moyennes différentes 9

10 On considère le tableau suivant Groupe A Groupe B Groupe C Moyenne des tailles Ecart-types Effectif TAB1 Q38)La moyenne générale des tailles de tous les individus répartis en trois groupes ci-dessous est égale à : A) cm B) cm C) cm D) cm E) cm Q39)(suite) La variance intra-sous-populations de la série des tailles des individus répartis en 3 groupes ci-dessous est égale à (TAB 1) : A) B) C) D) E) Q40)(suite) La variance inter-sous-populations de la série des tailles des individus répartis en 3 groupes ci-dessous est égale à (TAB 1) : A) B) C) D) E)

11 Soit la fonction définie par : pour tout R\{ 1 2} ( ) = +1 On note la courbe représentative de dans un repère orthonormé Q41) lim ( ) =+ ( ) lim 0 0 =1 Q42) 1. admet la droite d équation =1 2 pour asymptote. 2. admet la droite d équation =1pour asymptote. Q43)Soit ( ) la suite telle que, pour tout entier naturel, un =. A) Pour tout entier naturel : B) Pour tout entier naturel : C) Pour tout entier naturel : D) Pour tout entier naturel : = = =( +1) = ( +1) 2 11

12 On considère l intégrale = Z Q 44) (suite) =[ln(1+ )] 1 0 µ +1 1 =ln 2 Q 45) (suite) 1. pour tout N +1 + = 1 ( 1) 2. Pour tout N +1 Soit la fonction définie sur R par ( ) =( ) 1. On admettra que et Q46) A) lim ( ) =+ B) lim ( ) = 1 C) lim ( ) =0 D) lim ( ) = E) lim ( ) =1 12

13 Q47)(suite) A) 0 ( ) =(2 +1) B) 0 ( ) = (2 +1) C) 0 ( ) =( 2 ) D) 0 ( ) =( ) E) 0 ( ) =(2 +1) 1 Q48)(suite) A) est décroissante sur R B) est croissante sur ] ; 0 5] et décroissante sur [ 0 5; + [ C) est croissante sur ] ; 2] et sur [ 1; + [ et décroissante sur [ 2; 1] D) est décroissante sur ] ;0] et sur [1; + [ et croissante sur [0; 1] Q49)(suite) A) L équation ( ) =0n admet aucune solution B) L équation ( ) =0admet 1 solution C) L équation ( ) =0admet 2 solutions D) L équation ( ) =0admetplusde3solutions Q50) A) est négative sur l intervalle [2; + [ B) est positive sur l intervalle [0; 2] C) est négative sur l intervalle [0; + [ D) est positive sur l intervalle ] ;1] 13