Tout ensemble faisant l objet d une étude statistique est appelée. On étudie une population sur un., ce. est défini par sa valeur numérique.

Transcription

1 CHAPITRE XI LES STATISTIQUES I ] VOCABULAIRE : Tout ensemble faisant l objet d une étude statistique est appelée. On étudie une population sur un., ce. est défini par sa valeur numérique. La liste des valeurs prises par les éléments de la population constitue une (par exemple la taille des élèves d un lycée etc. ) La d une valeur d une série statistique est le quotient de l effectif de cette valeur par l effectif total (en % ). En % Effectif F = x 100 Effectif total On peut regrouper les valeurs de la variable en. ; par exemple dans la série statistique des notes de mathématiques obtenues à un examen, on peut grouper les notes suivant cinq classes : [0 ;4[ [4 ;8[ [8 ;12[ [12 ;16[ [16 ;20[. Les valeurs 2, 6, 10, 14, 18 sont appelées. L Effectif Cumulé Croissant (ECC) d une classe (ou d une valeur) est la. de l effectif de cette classe (ou de cette valeur) et des effectifs des classes précédentes. L Effectif Cumulé Décroissant (ECD) d une classe (ou d une valeur) est la. de l effectif de cette classe (ou de cette valeur) et des effectifs des classes suivantes. L Histogramme est la représentation d une série par des dont les aires sont proportionnelles aux effectifs des classes. Si les classes ne sont pas d amplitudes égales on cherche une amplitude commune et on divise les classes et les effectifs. Ex : [0 ;100[ [100 ;150[ [150 ;200[ devient [0 ;50[ [50 ;100[ [100 ;150[ [150 ;200[ Et on aura autant d effectif dans [0 ;50[ que dans [50 ;100[ Exemple : le tableau suivant indique la répartition de 27 personnes d un atelier suivant leur taille. Taille (cm) Centres Effectifs ECC ECD [160;166[ [166;172[ [172;178[ [178;184[ C.TESTI Page 1 sur 16

2 [160;166[ [166;172[ [172;178[ [178;184[ Histogramme des effectifs Polygones des effectifs cumulés Dans l étude de la série précédente, le polygone des Effectifs Cumulés Croissants (ECC) est la figure polygonale obtenue en joignant les points : (160 ;0) (166 ;2) (172 ;9) (178 ;21) (184 ;27) Effectif effectifs Taille ( cm ) Polygone des Effectifs Cumulés Croissants (ECC) Dans l étude de la série précédente, le polygone des Effectifs Cumulés Décroissants (ECD) est la figure polygonale obtenue en joignant les points : (160 ;27) (166 ;25) (172 ;18) (178 ;6) (184 ;0) C.TESTI Page 2 sur 16

3 Effectif Taille (cm) Polygone des Effectifs Cumulés Décroissants (ECD) Mode, médiane : Le mode d une série est la valeur de la variable pour laquelle l effectif est maximum. Lorsque les observations sont groupées en classes de même amplitude la classe modale est la classe de l effectif maximum. Dans l exemple précédent, la classe modale est [172 ;178[ La médiane d une série statistique est la valeur de la variable telle qu il y ait dans cette série autant de valeurs plus grandes que plus petites. La médiane est la valeur de la série qui coupe l effectif en deux. Dans la série de notes obtenues par un élève : 7, 8, 10, 13, 15, 16, 17 la médiane est 13, il y a 3 notes inférieures à 13 et 3 notes supérieures à 13. Exemples : si l effectif total est 100, la médiane sera la valeur de la 100/2 = 50éme valeur. si l effectif total est 101, la médiane sera la valeur de la (101+1)/2 = 51éme valeur. On peut déterminer graphiquement la médiane qui est le point d intersection entre le polygone des ECC et celui des ECD Moyenne arithmétique simple et moyenne arithmétique pondérée La moyenne arithmétique simple d une série statistique correspond à la somme de toutes les valeurs de la série divisée par l effectif total. Exemple : un élève a eu les notes suivantes : 12, 14 et 8. Sa moyenne est ( )/3 = 11,33 C.TESTI Page 3 sur 16

4 La moyenne arithmétique pondérée d une série statistique prend en compte l effectif Exemple : (4*12+3*14+2*8) / 9 = 11,78 II ] ANALYSE ET REPRESENTATION DES RESULTATS : Prenons l exemple des 26 notes obtenus par un élève au cours d une année : Ces notes sont les suivantes : 4,5 5, ,5 7,5 15, , , ,5 16,5 7, Pour analyser une série statistique on procède à un de la série ou l on constitue des classes, si possible de même amplitude et on construit un tableau de ce type : Classes Effectif (ni) Fréquence (%) [0 ;4[ [4 ;8[ [8 ;12[ [12 ;16[ [16 ;20[ Total 100 ECC ECD Centre de classe (xi) Produits xi.ni Moyenne = Total des Produits xi.ni Effectif total Fréquence = Effectif (ni) Effectif total Ici la Moyenne vaut. On peut ensuite présenter les résultats graphiquement : C.TESTI Page 4 sur 16

5 Le diagramme en bâtons : Effectifs [0 ;4[ [4 ;8[ [8 ;12[ [12 ;16[ [16 ;20[ Notes L histogramme et le diagramme en barres : effectifs Notes [16;20[ [12;16[ [8;12[ [4;8[ [0;4[ 0 [0 ;4[ [4 ;8[ [8 ;12[ [12 ;16[ [16 ;20[ Notes effectifs Histogramme Diagramme en barres C.TESTI Page 5 sur 16

6 Le diagramme circulaire Pour le diagramme circulaire, les angles sont calculés en fonction de l effectif total et le fait qu un cercle fait 360. [16 ;20[ 12% [0 ;4[ 8% [12 ;16[ 15% [4 ;8[ 27% [8 ;12[ 38% Le diagramme circulaire Notes Effectif Angle ( ) [0 ;4[ 2 [4 ;8[ 7 [8 ;12[ 10 [12 ;16[ 4 [16 ;20[ 3 Total C.TESTI Page 6 sur 16

7 On peut également sur le même principe faire un diagramme semi-circulaire ou en anneau [16 ;20[ 12% [0 ;4[ 8% [12 ;16[ 15% [4 ;8[ 27% [8 ;12[ 38% Le diagramme polaire [0 ;4[ 10 [16 ;20[ 5 0 [4 ;8[ [12 ;16[ [8 ;12[ Le diagramme «en tubes» [16 ;20[ [12 ;16[ 3 4 [8 ;12[ 10 [4 ;8[ 7 [0 ;4[ Et d autres encore STATISTIQUES : EXERCICE D APPLICATION C.TESTI Page 7 sur 16

8 Dans un magasin, on a relevé les achats effectués par la clientèle. Pour 150 achats, on a obtenu les résultats suivants : Achats (F) Effectif (ni) Fréquence (%) [0;50[ 6 [50;100[ 9 [100;150[ 39 [150;200[ 66 [200;250[ 30 Total 100 ECC ECD Centre de classe (xi) Produits xi.ni Le mode est. La moyenne ( x ) des achats est de = F Calculer la médiane? Tracer l histogramme de cette série. Echelles : 2 cm pour 50 F en abscisse. 1 cm pour 10 en ordonnée. Histogramme du montant des achats Tracer les polygones des effectifs cumulés croissants (ECC) et des effectifs cumulés décroissants (ECD) sur le même graphique et retrouver la valeur de la médiane : Echelles : 2 cm pour 50 F en abscisse C.TESTI Page 8 sur 16

9 2 cm pour 25 en ordonnée Polygones des ECC et ECD Exercice 1 On donne les tailles en cm des 25 élèves d une classe : Dépouiller les renseignements fournis et présenter les résultats sous la forme d un tableau statistique en groupant par classes d amplitudes égales. Dans ce tableau figureront les renseignements permettant de répondre aux réponses suivantes : Calculer les fréquences simples, en pourcentage puis les fréquences cumulées croissantes. Construire l histogramme des fréquences. Taille (cm) Effectif Fréquence(%) FCC Total C.TESTI Page 9 sur 16

10 Exercice 2 Histogramme des effectifs Le conseil municipal d une commune a commandé une enquête sur la répartition des surfaces boisées de cette commune selon leurs aires. Cette enquête a donné les résultats suivants : Aires des surfaces boisées en ha Nombre de surfaces boisées [0;2[ 18 [2;4[ 15 [4;8[ 18 [8;12[ 9 [12;20[ 15 Total 1 ) Construire le tableau statistique en construisant des classes d amplitudes égales. Dans ce tableau vous ferez figurez les classes, les effectifs, les fréquences en %, les Effectifs (Cumulés Croissants et Décroissants), les centres de classes, les produits (xi.ni). 2 ) Quelle est la moyenne de cette série? 3 ) Construire l histogramme de cette série : Echelles : 4 cm pour 4 ha en abscisses 1 cm pour 4 en effectif. C.TESTI Page 10 sur 16

11 4 ) Tracez sur dans un même repère les ECC et les ECD et retrouvez la valeur de la médiane. Echelles : 4 cm pour 4 ha en abscisses 1 cm pour 10 en effectif. 5 ) Représentez le diagramme circulaire de cette série (le calcul des angles doit apparaître). Histogramme des effectifs Effectifs Cumulés Croissants et Décroissants Diagramme circulaire C.TESTI Page 11 sur 16

12 Aires des surfaces boisées en ha Nombre de surfaces boisées Angle ( ) Total 360 C.TESTI Page 12 sur 16

13 EXERCICES PREMIERE PARTIE Effectifs Mode et Médiane C.TESTI Page 13 sur 16

14 Exercice 1 Dans une usine l étude statistique concernant la vente des boîtes de vitesse a donné le tableau ci-contre : Déterminer la fréquence en % du nombre de boîtes de vitesse vendues selon leur prix. Prix (Milliers de Francs) Nombre de boîtes [2 ;3[ 130 [3 ;4[ 190 [4 ;5[ 125 [5 ;6[ 55 Total : 500 Fréquence ( % ) Exercice 2 Les taxes d habitation payées par les 5000 foyers d une commune sont réparties de la façon suivante : Montant de la taxe (Francs) Nombre de foyers < [1000 ;1500[ 840 [1500 ;2000[ 1280 [2000 ;3000[ 1350 [3000 ;5000[ 740 [5000 ;7500[ 265 Total : Fréquence ( % ) Effectifs Cumulés Croissants Effectifs Cumulés Décroissants Exercice 3 L estimation de la consommation mondiale d énergie en 1990 (Millions de tonnes équivalent pétrole) se répartit comme suit : a) Exprimer en % du tonnage total le tonnage de chacune des sources d énergie. b) Représenter les résultats obtenus sous forme d un diagramme circulaire. (Donner les mesures des angles) Source d Energie Millions de Tonnes Pétrole 3250 Charbon 2425 Gaz Naturel 1800 Hydroélectricité 600 Nucléaire 525 Solaire 50 Géothermique Total : Fréquence ( % ) Angle ( ) Effectifs Diagramme circulaire des consommations d énergie en 1990 Exercice 4 On a relevé la distance parcourue par un groupe d élèves pour se rendre de leur domicile au LP. Distances Effectif F ( % ) [0 ;2[ 50 [2 ;4[ 126 [4 ;6[ 100 [6 ;8[ 60 [8 ;10[ 20 Total : HISTOGRAMME DES EFFECTIFS DES DISTANCES PARCOURUES a) Déterminer les fréquences en % des effectifs suivant les distances parcourues. b) Tracer l histogramme des effectifs. c) Combien d élèves parcourent plus de 6 km, moins de 4 km, entre 2 et 6 km? ECC Distances (km) ECD C.TESTI Page 14 sur 16

15 Exercice 5 Un magasin fait une étude statistique sur l âge de sa clientèle, pendant une semaine de promotion. Les résultats sont donnés dans le tableau ci-contre : a) Indiquer les Effectifs Cumulés Croissants et Décroissants. b) Calculer la médiane de la série. Ages Effectif Effectifs Cumulés Croissants [20 ;30[ 40 [30 ;40[ 50 [40 ;50[ 30 [50 ;60[ 20 [60 ;70[ 10 Total : Effectifs Cumulés Décroissants Exercice 6 On donne la courbe cumulative croissante suivante de la série statistique représentant les notes obtenues par 75 élèves à un examen. Déterminer les classes, les ECC, les effectifs des classes, la classe modale, la médiane de la série. Notes Effectif ECC E Total : Exercice 1 Un candidat a obtenu les notes suivantes à un examen. a) Calculer sa moyenne d écrit et d oral X et Y. b) En déduire sa moyenne générale x. DEUXIEME PARTIE Moyenne Indices Ecrit Oral Coefficient Coefficient Exercice 2 Le tableau suivant donne la répartition des tailles de 500 garçons. Déterminer la taille moyenne. Tailles ( cm ) Effectif ni [158 ;162[ 25 [162 ;166[ 50 [166 ;170[ 200 [170 ;174[ 175 C.TESTI Page 15 sur 16 [174 ;178[ 50 Total : 500 Centre de Classe xi Produits xi.ni

16 Exercice 3 La répartition des clients selon leur âge d une société X à Paris est la suivante. a) Déterminer l âge moyen et l âge médian. b) Déterminer le premier quartile. Ages ( ans ) Nombre de Clients ni [30 ;40[ 26 [40;50[ 60 [50;60[ 104 [60;70[ 120 [70;80[ 90 Total : ECC Centre de Classe xi Produits xi.ni Exercice 4 Le tableau suivant donne la répartition des clients d une entreprise d après leur chiffre d affaires (millions de francs). Calculer pour cette série : a) le mode. b) Le chiffre d affaire médian c) Le chiffre d affaire moyen. Chiffre Affaire ( Millions ) Nombre de Clients ni [0 ;0,5[ 15 [0,5;1[ 31 [1;2[ 64 [2;2,5[ 80 [2,5;3[ 48 [3;5[ 32 Total : ECC Centre de Classe xi Produits xi.ni Exercice 5 Le tableau suivant donne la répartition des notes de mathématiques obtenues par 60 élèves lors d un examen blanc. a) Calculer les % à 0,1 près le plus proche des effectifs. b) Calculer la moyenne à 0,1 près. c) Calculer la médiane. d) Tracer la courbe des ECC (1 cm pour 2 points, 1 cm pour 4 élèves) e) Lire sur le graphique la médiane Notes Effectif ni [30 ;40[ 26 [40;50[ 60 [50;60[ 104 [60;70[ 120 [70;80[ 90 Total : ECC Centre de Classe xi Produits xi.ni C.TESTI Page 16 sur 16