I Exercices I I I I I I I-2

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Nathalie Labrie
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1 Chapitre 4 Statistiques TABLE DES MATIÈRES page -1 Chapitre 4 Statistiques Table des matières I Exercices I I I I I I I-2 II Cours II-1 1 Moyenne d une série statistique II-1 1a Exemple II-1 1b À retenir II-1 2 Médiane, et quartiles d une série statistique II-2 3 Fréquences et effectifs cumulés, médiane, quartiles II-3 4 Courbe des fréquences cumulées, médiane, quartiles II-4

2 Chapitre 4 Statistiques I EXERCICES page I-1 I Exercices Manuel Transmath 2de Nathan Calculer la moyenne du devoir dans l exercice 2 page La même interrogation a été donnée a 50 élèves de 2de. Voici la répartition des notes. 3 Effectifs Calculer la moyenne de ce devoir, détailler le calcul en une seule expression. 2. (a) Compléter le tableau ci-dessous à gauche. (b) Multiplier chaque note par sa fréquence et ajouter les 4 résultats. Quel résultat retrouvet-on? 3. (a) Compléter le tableau ci-dessous à droite. (b) Faire à nouveau le calcul comme dans le 2b. Fréquences 8 50 Fréquences en % D après le tableau de l exercice 4 p 115, tracer un histogramme ci-dessous. 4 Fréquences en % Prix en euros Dans l exercice 9 page 117, le diagramme circulaire indique la répartition des tailles des joueurs de basket de plus de deux mètres. Calculer la taille moyenne en cm de ces joueurs. On ne demande pas de faire l exercice 9 page 117.

3 Chapitre 4 Statistiques I EXERCICES page I-2 5 Les deux premières lignes du tableau ci-dessous récapitulent les données de l exercice 10 p Compléter la 3e et la 4e ligne. 2. Que veulent dire l effectif cumulé et la fréquence cumulée écrites dans la 5e colonne? 3. On peut utiliser les fréquences cumulées pour trouver la médiane et les quartiles. Comment? Nombre d essais Total Effectifs (nombre de matchs) Effectifs cumulés croissants Un groupe est constitué de 50 individus souffrant d une maladie. Pour chaque individu on mesure la quantité d une molécule M en microgrammes par litre. 1. Compléter les tableaux ci-dessous (le 2e tableau est la suite du 1er tableau. 2. Déterminer la médiane et les quartiles. Quantités en microgrammes par litre Effectifs Effectifs cumulés croissants Quantités en microgrammes par litre Effectifs Effectifs cumulés croissants

4 Chapitre 4 Statistiques II COURS page II-1 II Cours 1 Moyenne d une série statistique 1a Exemple La même interrogation a été donnée a 50 élèves de 2de. Voici la répartition des notes. Effectifs Tableau de répartition avec les fréquences et les fréquences en pourcentages Fréquences = 1 Fréquences 16 % 32 % 28% 24 % 100% = 1 en % Calcul de la moyenne avec les effectifs : = Calcul de la moyenne avec les fréquences : = 13 Calcul de la moyenne avec les fréquences en pourcentages : = = = 5 0, , , , 24 = b À retenir La somme des fréquences est égale à 1. Calcul de la moyenne avec les effectifs : on multiplie chaque nombre par son effectif ; on ajoute ces produits ; on divise cette somme par l effectif total. Calcul de la moyenne avec les fréquences : on multiplie chaque nombre par sa fréquence ; on ajoute ces produits.

5 Chapitre 4 Statistiques II COURS page II-2 2 Médiane, et quartiles d une série statistique Une méthode de calcul d une médiane Pour obtenir une médiane dans une série ordonnée, on peut prendre le nombre «du milieu». si l effectif total est pair diviser l effectif total par 2, on obtient un nombre k prendre comme médiane un nombre entre le terme de rang k et celui de rang k + 1 si l effectif total est impair on divise l effectif total par 2 arrondir le résultat à l entier supérieur k on prend comme médiane le terme de rang k. Propriété Dans une série statistique au moins la moitié des termes de la série sont inférieur ou égaux à la médiane ; au moins la moitié des termes de la série sont supérieur ou égaux à la médiane. Une méthode de calculs des quartiles : Pour obtenir le 1 er quartile d une série ordonnée par ordre croissant diviser l effectif total par 4 arrondir le résultat à l entier supérieur r le 1 er quartile est le nombre de rang r Pour obtenir le 3 e quartile d une série ordonnée par ordre croissant calculer les trois quarts de l effectif total arrondir le résultat à l entier supérieur s le 3 e quartile est le nombre de rang s Propriété Un premier quartile d une série statistique est un nombre tel que au moins un quart des termes de la série est inférieur ou égal à ce nombre. Un troisième quartile d une série statistique est un nombre tel que au moins trois quarts des termes de la série est inférieur ou égal à ce nombre. Remarques La méthode de calcul du 1 er quartile indiquée ci-dessus fait que un quart ou un peu plus d un quart des termes de la série est inférieur ou égal à ce nombre. Même chose avec le 3 e quartile et trois quart. Il existe d autres méthodes de calcul des médianes et quartiles, comme celles utilisées par les calculatrices ou les tableurs (voir les tableaux plus loin). Exemple 1 : on relève 16 dépenses en euros de clients d un magasin au cours d une journée, et on veut déterminer la dépense médiane, le premier et le troisième quartile. On a ordonné la série de dépenses et on obtient la série ci-dessous : Médiane L effectif total est pair : 16 2 = 8 Le 8e terme est 60, le 9 e est 62. Médiane = 61 La moitié des dépenses sont inférieures à 61e, l autre la moitié des dépenses sont supérieures à 61e.

6 Chapitre 4 Statistiques II COURS page II-3 Quartiles 16 4 = = 12 Le 4e terme est 46, le 12 e est er quartile : 46 ; 3 e quartile 70. Un quart des dépenses sont inférieures ou égales à 46eet trois quarts des dépenses sont inférieures ou égales à 70e. Schéma Q Exemple 2 Me Q Au cours d une autre journée dans le même magasin, on relève 15 dépenses en euros de clients (série ordonnée ci-dessous). Calculons à nouveau la dépense médiane, le premier et le troisième quartile Médiane 15 2 = 7, 5, on arrondit à 8. On prend comme médiane le 8e nombre de la série ordonnée soit 27e. La moitié des dépenses sont inférieures ou égales à 27eet l autre la moitié des dépenses sont supérieures ou égales à 27e. Quartiles 15 4 = 3, 75, on arrondit à = 11, 25 on arrondit à 12. Le 4e terme est 14, le 12 e est er quartile : 14 ; 3 e quartile 44. Un peu plus d un quart des dépenses sont inférieures ou égales à 14eet un peu plus de trois quarts des dépenses sont inférieures ou égales à 44e. Récapitulation des médianes et quartiles des deux exemples Le tableau ci-dessous récapitule les résultats des deux exemples, en ajoutant les réponses données par la calculatrice, et par un tableur. Exemple 1 Q 1 Me Q 2 Résultats précédents Calculatrice ,5 Tableur Exemple 2 Q 1 Me Q 2 Résultats précédents Calculatrice Tableur 14, Fréquences et effectifs cumulés, médiane, quartiles. Exemple Les deux premières lignes du tableau ci-dessous indiquent les nombres d essais marqués au cours de 28 matchs de rugby pendant un tournoi : 2 matchs avec 0 essai, 10 matchs avec 1 essai, etc. Nombre d essais Effectifs (nombre de matchs) Effectifs cumulés croissants Fréquences cumulées 7,1% 42,9% 60,7% 67,9% 75,0% 82,1% 92,9% 96,4% 100,0 % croissantes en % Calcul des effectifs cumulés croissants : 2 ; = 12 ; = 17 ; = 19 ; etc. Signification des effectifs cumulés croissants : par exemple, l effectif cumulé 19 représente 19 matchs où il y a eu entre 0 et 3 essais.

7 Chapitre 4 Statistiques II COURS page II-4 Calcul des fréquences cumulées croissantes en % : par exemple 19 67, 9 0, 679 = = 67, 9% La fréquence cumulée 67,9 % représente le pourcentage de matchs où il y a eu entre 0 et 3 essais. Médiane : la médiane correspond à 50 % de l effectif total. La 1 re fréquence cumulée croissante supérieure ou égale à 50 % est 60,7 % qui correspond à 2. La médiane est donc 2 essais. 1 er quartile : le 1 er quartile correspond à 25 % de l effectif total. La 1 re fréquence cumulée croissante supérieure ou égale à 25 % est 42,9 % qui correspond à 1. Le 1 er quartile est 1 essai. 3 e quartile : le 3 e quartile correspond à 75 % de l effectif total. La 1 re fréquence cumulée croissante supérieure ou égale à 75 % est 75 % qui correspond à 4. Le 3 e quartile est 4 essais. 4 Courbe des fréquences cumulées, médiane, quartiles Exemple : exercice 12 page 119 Un ornithologue a mesuré la taille des œufs de coucous pondus dans des nids de fauvettes. La répartitions des tailles des œufs est indiquée dans le tableau ci-dessous : 7 % des œufs ont une taille entre 20 et 21 mm, 17 % entre 20 et 22 mm, etc. Intervalles de tailles en mm [20 ; 21[ [20 ; 22[ [20 ; 23[ [20 ; 24[ [20 ; 25] 7 % 17 % 31 % 86 % 100 % Courbe des fréquences cumulées croissantes, et détermination graphique de la médiane et des quartiles. À l aide de la courbe des fréquences cumulée croissantes, on lit les tailles qui correspondent à 25 %, 50 %, 75 %, et on obtient : Q 1 22, 6 mm Me 23, 3 mm Q 3 23, 8 mm % % % Tailles en mm Q 1 Me Q 3

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