ÉPREUVE DE BERNOULLI ET LOI BINOMIALE...2 I. RAPPEL SUR LA NOTION D ÉVÉNEMENTS INDÉPENDANTS...2 II. ÉPREUVE DE BERNOULLI...2 SCHÉMA DE BERNOULLI...

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1 ÉPREUVE DE BERNOULLI ET LOI BINOMIALE...2 I. RAPPEL SUR LA NOTION D ÉVÉNEMENTS INDÉPENDANTS...2 II. ÉPREUVE DE BERNOULLI...2 III. IV. SCHÉMA DE BERNOULLI...2 VARIABLE ALÉATOIRE...3 V. ARBRE D UN SCHÉMA DE BERNOULLI...3 ) UN SEUL LANCÉ D UNE PIÈCE DE MONNAIE :...3 2) DEU LANCÉS DE SUITE D UNE PIÈCE DE MONNAIE...3 3) ARBRE PONDÉRÉ...4 4) ÉTUDE D UN CAS COMPLET...4 VI. LA LOI BINOMIALE...5 Cas particuliers importants...5 ) DIAGRAMME D UNE LOI BINOMIALE...5 Lancé de pièces de monnaie...5 Bon de réduction...5 2) ESPÉRANCE MATHÉMATIQUE... Définition :... Exemple de calcul d espérance :... Espérance d une loi binomiale...

2 Épreuve de Bernoulli et loi binomiale I. Rappel sur la notion d événements indépendants Deux événements sont dits indépendants si le la réalisation de l un n a aucune influence sur la probabilité de réalisation de l autre. Exemples : On jette successivement deux dés et on appelle P = la probabilité de sortir un six avec un dé. Quelque soit le résultat du premier dé, la probabilité pour que le deuxième dé sort un six reste égale à P. Un exemple frappant d une erreur de raisonnement sur la dépendance d événements concerne le loto : Certains joueurs sont persuadés que si un numéro n est pas sorti pendant plusieurs tirages de suite sa probabilité d apparition aux prochains tirages est plus élevée : Voici par exemple un tableau du sortie de quelques numéros sur 50 tirages. numéros sorties Contres exemples Sur 50 tirages du Loto, le nombre 48 n est jamais sorti. Il est tentant de croire que ce numéro a plus de chance de sortir que les autres donc je vais jouer de préférence le 48. Raté, je n ai absolument pas augmenté mes chances, les tirages successifs étant indépendants, la probabilité de sortie du numéro 48 n a pas augmentée. Le hasard n a pas de mémoire ce qui veut dire que les résultats des 50 tirages n influencent pas les tirages suivants. La Française des jeux n hésite malheureusement pas à jouer sur ce préjugé. Voici ce que l on peut lire sur son site : «Ces statistiques vous permettront de voir les numéros sortant le plus fréquemment ou au contraire ceux qui sortent peu souvent et sont donc plus susceptibles de faire partie de la prochaine grille gagnante du Loto.» Une urne contient 5 boules blanches et 5 boules rouges. On tire successivement deux boules de l urne sans les remettre dans l urne et soit p la probabilité de tirer une boule rouge. Pour le premier tirage on a bien sûr p =, mais tout se complique lorsqu on tire la deuxièmes boule : 2 Il reste maintenant 9 boules dans l urne Si la première boule tirée est blanche alors il y a toujours 5 boules rouges et on a p = 5 9 Et si la première boule tirés est rouge, alors il reste 4 boules rouges et on a p = 4 9 Le résultat du deuxième tirage dépend du résultat du premier tirage : les deux événements sont dépendants II. Épreuve de Bernoulli Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire avec seulement deussues possibles : un résultat attendu qu on appelle «réussite» de probabilité p et son contraire qu on appellera bien sûr «échec» de probabilité souvent notée q = - p Exemples : Lancer une pièce de monnaie en espérant qu elle va tomber sur «pile». La probabilité de la réussite est égale à celle de l échec, soit 2 Lancer un dé en espérant qu il va tomber sur le «six». La probabilité de la réussite est p = et celle de l échec q = 5 III. Schéma de Bernoulli Si on répète plusieurs fois de suite une épreuve de Bernoulli on obtient un schéma de Bernoulli. Mais attention toutes les épreuves doivent être indépendantes : Lancer plusieurs fois de suite une pièce de monnaie est un schéma de Bernoulli. Tirer, sans la remettre, plusieurs fois de suite une boule d une urne contenant des boules de deux couleurs différentes n est pas un schéma de Bernoulli. Les tirages successifs ne sont pas indépendants. Un schéma de Bernoulli est donc défini par deux paramètres : la probabilité p de réussite d une épreuve et le nombre n d épreuves successives

3 IV. Variable aléatoire Prenons l exemple du lancé de pièce de monnaie. On lance une pièce de monnaie en espérant qu elle tombe sur pile. Au lieu d écrire : probabilité pour que la pièce tombe sur pile, on écrira p(x = ) Et la probabilité de perdre s écrira p(x = 0) Le nombre x est appelé variable aléatoire Si maintenant on lance plusieurs fois de suite une pièce de monnaie Dans un schéma de Bernoulli on s intéresse au réussites, sans tenir compte de l ordre. p(x = ) veut dire qu une seule des pièces est tombée sur pile. Que ce soit la première, la dernière ou n importe quel autre rang n a aucune importance p(x = 2) veut dire que seulement deux pièces sont tombées sur pile. p(x 2) veut dire au moins deux pièces sont tombées sur pile V. Arbre d un schéma de Bernoulli ) Un seul lancé d une pièce de monnaie : Il n y a que deux possibilités : pile on gagne, face on perd La variable aléatoire ne prend que deux valeurs 0 ou La pièce tombe sur «pile» p(x = ) = 2 La pièce tombe sur «face» p(x = 0) = 2 2) Deux lancés de suite d une pièce de monnaie La probabilité de réussite d un lancé est toujours, et on lance la pièce deux fois de suite 2 On est bien dans le cas d expériences indépendantes, c est donc un schéma de Bernoulli de paramètre p = 2 et n = 2 Il y a maintenant quatre possibilités : la pièce retombe sur pile de 0 à 2 fois La variable aléatoire peut prendre trois valeurs : 0,, 2 Toutes les branches sont équiprobables, il y a donc 4 cas possibles équiprobables (il y a 4 branches finales) Calculons la probabilité de chacun de ces 4 cas Aucune pièce ne tombe sur «pile» ce qui correspond à l unique cas favorable {face ; face} p(x = 0) = 4 seule pièce tombe sur «pile» ce qui correspond aux deux cas favorables {face ; pile} ou {pile ; face} p(x = ) = 2 4 = 2 les deux pièces tombent sur «pile» ce qui correspond à l unique cas favorable {pile ; pile} p(x = 2) = 4 On vérifie que p(x = 0) + p(x =) + p(x = 2) = = Mais on peut raisonner autrement. Ce n est pas très utiles dans ce cas car obtenir «pile» ou «face» avec une pièce sont des événements équiprobables, mais dans le cas général ou les probabilités de réussite et d échec ne sont plus les mêmes on ne pourra pas faire autrement. On utilisera un arbre pondéré

4 3) Arbre pondéré O chemin {pile ; face} chemin {face ; pile} Sur chaque branche de l arbre on indique la probabilité de l événement correspondant. On appelle chemin un déplacement sur l arbre de l origine O à une extrémité de l arbre. Sur un chemin on multiplie les probabilités de chaque branche Si plusieurs chemins sont favorables on fait la somme des probabilités de chaque chemin Étudions le cas ou on veut calculer p(x = ) Deux cas favorables {pile ; face} ou {face ; pile} chacun des ces cas correspond à un chemin sur l arbre Chemin {pile ; face} probabilité 2 2 = 4 Chemin {face ; pile} probabilité 2 2 = 4 On a bien p(x = ) = = 2 4) Étude d un cas complet Pour faire sa publicité un magasin a disposé une urne contient trois boules noires et une boule blanche. Au moment de payer chaque client tire une boule puis la remet dans l urne. Un client obtient un bon de réduction uniquement s il tire une boule blanche. Trois clients se présentent, calculer la probabilité pour qu aucun, un deux ou les trois clients obtiennent un bon de réduction. Le tirage se faisant avec remise, chaque client a toujours une boule à choisir parmi quatre. Les trois tirages sont indépendants on est bien dans le cas d un schéma de Bernoulli. Pour chaque client la probabilité d obtenir un bon de réduction est p = et trois clients se présentent on a donc n = 3 4 C est un schéma de Bernoulli de paramètres p = 4, n = 3 et q = p = 3 4 Pour faire l arbre on appellera B l événement, un joueur tire une boule blanche et N le joueur tire une boule noire. P(N) = 3 4 P(B) = 4 o On n est plus dans un cas d équiprobabilité ( il y a 8 branches finales mais elles ont des probabilités différentes) La variable aléatoire qui défini le joueurs obtenant un bon de réduction peut prendre les valeurs 0,, 2 ou 3 Sur l arbre tous les chemins possibles ont été numérotés de à 8 Tous les clients tirent une boule noire. Il n y a qu un seul chemin, le 8 P(x = 0) = = Un seul client tire une boule blanche. Il y a trois chemins favorables, 4, et 7 P(x = ) = = Deux clients tirent une boule blanche. Il y a trois chemins favorables 2, 3 et 5 p(x = 2) = = 9 Enfin les trois clients tirent une boule blanche. Chemin 8 p(x = 3) = = On peut représenter ces résultats sous forme de tableau ou un diagramme en bâton nbre de clients obtenant un bon probabilité 9 Si on veut par exemple, calculer la probabilité pour qu au moins deux clients gagnent un bon de réduction : p(x 2) = 9 + = 0 = 0,525 (environ 5 chances sur 00)

5 VI. La loi binomiale Pour reprendre l exemple du magasin, 3 clients cela fait vraiment peu et il est à prévoir une rapide faillite du dit magasin. Supposons donc que ce magasin reçoive 20 clients par jour ; Combien compte-t-on de branches finales sur l arbre d un schéma de Bernoulli? seul client : 2 branches 2 clients : 4 = 2² branches 3 clients : 8 = 2 3 branches 4 clients : = 2 4 branches 5 clients : 32 = 2 5 branches A chaque fois qu un nouveau client entre, le branches finales est multiplié par 2 20 clients : 2 20 plus de branches!! Donc au dessus de 4 épreuves de Bernoulli successives faire un arbre devient trop difficile Heureusement il existe une formule mathématique qui permet de faire ces calculs sans faire d arbre. C est ce qu on appelle la loi binomiale. On l écrit B(n ;p) Malheureusement pour vous cette formule utilise des notions qui ne sont pas au programme de STMG Alors que faire? Utiliser votre calculatrice, il faut au minimum une CASIO 35+ ou une TEAS ti82 stat Utiliser un tableur comme ECEL Utiliser un logiciel comme par exemple SINEQUANON Cas particuliers importants Pour une loi binomiale B(n ; p), il existe quelques cas ou l on peut calculer des probabilités sans faire d arbre. Il s agit du calcul de p(x = n), p(x = 0) et p(x ) En effet pour p(x = n) et p(x = 0) il n y a qu une seule façon (un seul chemin) d obtenir n succès ou n échecs En remarquant que p(x ) est le contraire de p(x = 0), (le contraire d obtenir au moins un succès c est de n obtenir aucun succès). p(x )= p(x = 0), Exemple : On jette 4 fois un dé et on veut qu il tombe sur un «six». c est une loi binomiale B p = p(x = 4) = = p( x = 0) = = p( x ) = 4, q = p = 5 4 0, chances sur que le dé tombe 4 fois de suite sur «six» 5 4 0,48 48 chances sur 00 que le dé ne tombe jamais sur «six» 5 4 0,52 52 chance sur 00 que le dé tombe au moins une fois sur «six» ) Diagramme d une loi binomiale Voici quelques exemples de diagramme en bâton Lancé de pièces de monnaie Bon de réduction On lance 50 fois de suites une pièce de monnaie et on compte le fois qu elle tombe sur pile C est une loi binomiale de paramètres n = 50 et p =0,5 on la note B(50 ; 0,5) On peut remarquer sur ce graphique : La plus forte probabilité est de 25 pièces tombée sur pile sur les 50 lancés Le graphique admet une symétrie axiale (ce qui est toujours le cas quand p = 0,5) La probabilité d avoir moins de 5 pièces ou plus de 35 pièces tombées sur pile est pratiquement nulle (environs 3 chances sur 000) Reprenons l exemple du magasin vu plus haut. Supposons que dans la journée il reçoive 20 clients. La probabilité qu un client tombe sur pile est p = 0,25 On est en présence d une loi binomiale B(20 ; 0,25) La plus forte probabilité est de 5 bons distribués sur 20 clients Le graphique n admet pas de symétrie La probabilité de donner plus de bons est très faible (environ 4 chances sur 000)

6 2) Espérance mathématique Définition : La notion d espérance mathématique est à rapprocher de celle de la moyenne en statistique mais avec une différence qu il faut bien comprendre. La moyenne est un paramètre que l on observe alors que l espérance est un paramètre que l on prévoit avant de faire l expérience. L espérance est donc un paramètre théorique. En théorie des probabilités on démontre qu en augmentant le nombre d expériences réalisées, la moyenne a des chances de se rapproche de l espérance Exemple de calcul d espérance : Simulation du lancé de deux pièces de monnaie sur ECEL On demande à 0 personnes de lancer deux pièces de monnaie et de compter le. Les résultats obtenus apparaissent dans le tableau suivant personnes fréquence f i 0 2 0,2 7 0,7 2 0, 0 On refait la même expérience mais avec 00 personnes personnes fréquence f i , , ,34 00 Et maintenant avec 000 personnes En statistique est appelé modalité. En utilisant les fréquences, la formule de la moyenne est x = xi f i = 0 0,2 + 0, , = 0,9 La moyenne est de 0,9 pile par lancé x = xi f i = 0 0,22 + 0, ,34 =,2 La moyenne est de,2 pile par lancé personnes fréquence f i , , , x = xi f i = 0 0, , ,27=,025 La moyenne est de,025 pile par lancé Maintenant passons aux probabilités probabilité p i 0 0,25 0,5 2 0,25 est maintenant appelé variable aléatoire et les probabilités p i remplacent les fréquences f i dans la formule de la moyenne : Calcul de l espérance : x = xi p i = 0 0,25 + 0, ,25 = On remarque qu avec l augmentation du nombre d expériences les fréquences tendent à se rapprocher des probabilités Il en est de même pour la moyenne qui tend à se rapprocher de l espérance. Mais en probabilité il n y a pas de certitude, par exemple la moyenne obtenue avec 0 lancés est un peu plus proche de l espérance que celle obtenue avec 00 lancés Par contre, avec un très grand lancés la moyenne a très peu de chance de s écarter de l espérance (mais cela peut arriver) Espérance d une loi binomiale On démontre que l espérance d une loi binomiale B(n ; p) est : x = n p Le lancé de deux pièces est une loi binomiale B(2 ; 0,5) x = 2 0, 5 = Dans l exemple des trois clients qui tirent une boule pour obtenir un bon de réduction la loi binomiale est B(3 ;0,25) x = 3 0, 25 = 0,75 Vérifions ce résultat :

7 nbre de clients obtenant un bon probabilité p i 9 x = = 48 = 0,75 et dans le cas de 20 clients la loi binomiale est B(20 ;0,25) x = 20 0, 25 = 5 En moyenne, le magasin peut espérer donner 5 bons de réduction sur un total de 20 clients Ici pas moyen de vérifier par cette méthode car cela demanderait de calculer 2 probabilités de p(x = 0) à p(x = 20) ce qui est hors de portée