Mécanique des Fluides

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1 Mécanique des Fluides Franck Nicoud I3M MKFLU - MI4 1

2 Plan général 1. Rappels 2. Quelques solutions analytiques 3. Notion de turbulence 4. Aérothermique 5. Interaction fluide-structure MKFLU - MI4 2

3 Objectifs - hypothèses 1. On s intéresse dans cette partie du cours à la notion de turbulence 2. Il s agit d un des phénomènes les plus complexes en mécanique; il n est pas question ici de faire le tour de la question 3. Les phénomènes considérés ne sont pas directement liés à la compressibilité du fluide même si des interactions existent entre turbulence et choc par exemple; dans ce cours introductif à la turbulence, le fluide sera considéré comme incompressible 4. Les forces de volumes sont négligeables MKFLU - MI4 3

4 Turbulence MKFLU - MI4 4

5 Turbulence: elle est partout MKFLU - MI4 5

6 Turbulence: utile ou nuisible? 1. Du point de vue de l ingénieur, l effet principal de la turbulence est d augmenter la capacité des fluides à se mélanger, à diffuser 1. Très utile pour les moteurs (avion, voiture) qui ne pourraient pas développer autant de puissance sans la turbulence 2. Utile pour éviter les décollements de couches limites et les pertes de portance dans les profils d aile 3. Néfaste pour la trainée visqueuse qui est rendue plus grande par la turbulence: cela induit une augmentation de la consommation car il faut dépenser plus d énergie pour lutter contre les frottements 2. Impact globalement positif, tant du point de vue industriel qu académique et intellectuel MKFLU - MI4 6

7 Turbulence: une longue histoire Léonard de Vinci MKFLU - MI4 7

8 Expérience de Reynolds R e = U D ν U: vitesse débitante D : diamètre de la conduite ν: viscosité cinématique MKFLU - MI4 8

9 Régimes laminaire / turbulent Le régime de l écoulement dépend du nombre de Reynolds: Re 2000 Re 3000 laminaire turbulent Re MKFLU - MI4 9

10 Turbulence: un phénomène aléatoire? SOUFFLERIE ONERA MKFLU - MI4 10

11 Le système chaotique du pauvre x n+1 = 1 2x n 2 x 0 1, +1 x 0 = ou bien x 0 = Ce système non-linéaire est très sensible à la condition initiale; deux conditions initiales très proches peuvent conduire à des solutions très éloignées MKFLU - MI4 11

12 Turbulence Le phénomène de turbulence est contenu dans les équations de la mécanique des fluides (Navier-Stokes ou Euler, pas Stokes) Ces équations sont déterministes, ce qui semble contraire à l observation d un écoulement chaotique Explication: les équations/l écoulement sont très sensibles aux conditions limites et initiales. Des variations infinitésimales conduisent, sur la durée de l expérience, à des variations importantes de la vitesse du fluide Cette sensibilité, déjà observée dans le système chaotique «du pauvre», est liée aux termes non linéaires, donc à la convection MKFLU - MI4 12

13 TURBULENCE: UN SCENARIO 1. Les plus grandes échelles (de vitesse et taille caractéristiques U 0, L 0 )sont alimentées en énergie par l écoulement moyen avec le taux ε U 0 3 L 0 2. Cette énergie est transférée vers des échelles de plus en plus petites, de vitesse et taille caractéristiques u, l avec le taux ε u3 l 1. Quand les échelles deviennent assez petites (vitesse et taille caractéristiques u K, η K ), elles deviennent sensibles à la viscosité et sont dissipées. Ceci se produit pour: R K = u Kη K ν 1 MKFLU - MI4 13

14 Echelles turbulentes Echelles de Kolmogorov (les plus petites) K 3/ 4 1/ 4 u K / 4 1 1/ 4 Rapport d échelles L 0 R K 3/ 0 4 MKFLU - MI4 14

15 Variété des échelles MKFLU - MI4 15

16 Variété des échelles MKFLU - MI4 16

17 Variété des échelles MKFLU - MI4 17

18 Variété des échelles MKFLU - MI4 18

19 SPECTRE DE TURBULENCE k nombre d onde = 2 pi / L où L est la longueur d onde de la fluctuation Spectre d énergie: E(k)dk est l énergie cinétique contenue dans les échelles (fluctuations) dont le nombre d onde est entre k et k+dk L énergie cinétique totale est l intégrale du spectre de turbulence 0 E k dk 1 ( ) 2 u i u i MKFLU - MI4 19

20 Hypothèse de Kolmogorov (1941) Il existe une zone dite inertielle (L 0 l η K ) dans laquelle E(k) dépend seulement de ε et de l (c est-à-dire de k = 2π/l). On montre alors que le spectre se comporte comme ln E( k) C E( k) 5/ 3 k K 2/3 k 5/3 ln k MKFLU - MI4 20

21 SPECTRE DE TURBULENCE Données expérimentales dans diverses situations d écoulement regroupées par Chapman - Vitesse longitudinale 2/3 5/3 E( k) k est bien vérifié par les expériences MKFLU - MI4 21

22 ECOULEMENTS TURBULENTS PARIETAUX MKFLU - MI4 22

23 Couche limite turbulente La solution analytique de type Blasius est valable uniquement pour des écoulements laminaires Par construction, le nombre de Reynolds R x basé sur la distance parcourue depuis le début de la couche limite augmente avec la taille de l objet Une couche limite finit donc en général par devenir turbulente MKFLU - MI4 23

24 Couche limite turbulente Un effet majeur de la turbulence est d augmenter la diffusion effective de la qdm dans la direction normale à la paroi Cela a pour conséquence de rendre les profils de vitesse plus «remplis» MKFLU - MI4 24

25 Couche limite turbulente Un effet majeur de la turbulence est d augmenter la diffusion effective de la qdm dans la direction normale à la paroi Cela a pour conséquence de rendre les profils de vitesse plus «remplis» et également d augmenter le coefficient de frottement MKFLU - MI4 25

26 Grandeurs intégrales Nom Turbulent Solution de Blasius Coefficient de frottement 1/5 C f 0.059R x C f R x Epaisseur de couche limite Epaisseur de déplacement Epaisseur de quantité de mouvement δ x x 0.37R 1/5 δ x x x 4.9R 1/2 x δ x δ x δ x δ x θ x δ x θ x δ x Facteur de forme H = δ θ 1.29 H 2.6 Valeurs correspondant à une couche limite sur paroi lisse turbulente dès le bord d attaque C f pour R x MKFLU - MI4 26

27 Perte de charge en conduite L augmentation de la diffusion effective de la qdm dans la direction normale à la paroi a pour conséquence d augmenter les pertes de charge dans les conduites Celles-ci sont représentées par le coefficient de perte de charge qui est en fait un gradient de pression sans dimension: Λ = 2R dp dx 1 2 ρu 2 moy En régime laminaire, ce coefficient vaut Λ = 64 avec R R e = ρu moy2r e μ En régime turbulent, des corrélations issues des données expérimentales sont souvent utilisées lorsque la paroi est lisse (ou faiblement rugueuse): Loi de Blasius: Λ = R e 1/4 Loi de Prandtl: Λ 2log R e Λ = 1 Lorsque la conduite a une rugosité de hauteur caractéristique h et que le nombre de Reynolds est suffisamment grand, la loi du régime turbulent rugueux quadratique donne Λ 2log R/h = 1 MKFLU - MI4 27

28 Perte de charge en conduite En régime turbulent rugueux, le coefficient de perte de charge ne dépend pas du Reynolds En régime turbulent lisse, le coefficient de perte de charge est largement plus important qu en laminaire MKFLU - MI4 28

29 Ecoulement turbulent pariétal Plusieurs zones distinctes sont présentes dans une couche limite turbulente d épaisseur δ et de vitesse extérieure U E : Zone interne: la présence de la paroi se fait fortement sentir sur l organisation de l écoulement le profil de vitesse s exprime en variables internes : U + = U u τ ; y + = yu τ ν où u τ = τ w/ρ est la vitesse de friction Zone externe (y > 0.01δ): les effets de la paroi deviennent moins forts le profil de vitesse moyenne s exprime en variables externes MKFLU - MI4 29

30 Ecoulement turbulent pariétal Zone interne: Sous-couche visqueuse y + 5: U + = y + Zone tampon 5 y Zone logarithmique: y U + = 1 κ lny+ + C Zone externe U U E = 1 u τ κ ln y δ + 2Π πy sin2 κ 2δ 1 Les constantes sont (à haut Reynolds) κ 0.41 ; Π ; C 5 MKFLU - MI4 30

31 SIMULATION DES ECOULEMENTS TURBULENTS MKFLU - MI4 31

32 TURBULENCE ET SIMULATION La turbulence est contenue dans les équations de Navier-Stokes Donc c est un phénomène déterministe MAIS: l écoulement est tellement sensible aux détails (inconnus) des conditions initiales et aux limites que seuls les moments statistiques (moyenne, variance, ) peuvent être prédits ou comparés Une première approche consiste à simplement résoudre les équations de Navier-Stokes pour obtenir la turbulence: On parle de Simulation Numérique Directe - SND MKFLU - MI4 32

33 SIMULATION NUMERIQUE DIRECTE DES ECOULEMENTS TURBULENTS Etape 1: Résoudre les équations de Navier-Stokes en prenant en compte toutes les échelles en espace et en temps Etape 2: Calculer la moyenne, la variance de la solution instationnaire obtenue. Ces quantités peuvent être utilisés pour comparaison avec des données expérimentales, ou pour analyser l écoulement La limitation principale vient des ressources informatiques nécessaires: Le nombre de points est proportionnel à R 0 3/4 3 = R 0 9/4 Le temps de calcul est proportionnel à R 0 3 Dans beaucoup d applications, R 0 ~10 6 MKFLU - MI4 33

34 TURBULENCE HOMOGENE ISOTROPE Les SND à Reynolds modéré et dans des configurations simples sont utilisées pour confirmer des résultats théoriques Ici l hypothèse de Kolmogorov MKFLU - MI4 34

35 La SND comme alternative à des expériences Plaque perforée Jet compressible SND à Reynolds modéré dans des configurations simples Analyse et compréhension des phénomènes physiques pilotant l écoulement Couche limite (écoulement perpendiculaire au plan) Proposer/développer des modèles physiques pour des simulations à échelle 1, haut Reynolds et en géométries complexes. MKFLU - MI4 35

36 MKFLU - MI4 36 L approche RANS L idée est de faire le traitement statistique AVANT de résoudre les équations Moyenne d ensemble des équations de Navier-Stokes Décomposition de Reynolds: Equations de Reynolds : Ces équations sont à la base des approches Reynolds-Averaged Navier-Stokes - RANS 0 i i x u j ij i j j i i x x P x u u t u ' i i i u u u 0 i i x u j j i ij i j j i i x u u x P x u u t u ' '

37 L approche RANS Il est possible de déterminer une équation de transport pour le tenseur de Reynolds ρu i u j. Mais elle fait apparaître une corrélation triple u i u j u k Le tenseur de Reynolds doit donc être modélisé, c est-à-dire exprimé à partir des inconnues des équations de Reynolds: u i ; p C est le problème de fermeture qui a été l objet d une activité de recherche très intense depuis les années 70. Quelques certitudes aujourd hui: il n existe pas de modèle de turbulence optimal les simulations RANS sont faiblement prédictives mais permettent d obtenir de bonnes tendances une fois les constantes du modèle de turbulence bien calées MKFLU - MI4 37

38 Hypothèse de Boussinesq Les modèles de turbulence les plus évolués consistent en 6 équations de transports pour les 6 composantes du tenseur de Reynolds Ces modèles RSM (Reynolds Stress Model) sont généralement peu robustes et chers numériquement (on doit résoudre 10 EDP couplées au lieu de 4 initialement) des modèles plus simples sont souvent préférés en pratique; ceux-ci sont basés sur l hypothèse de Boussinesq: ρu iu j = 2μ t S ij 2 3 ρkδ ij, avec k = 1 2 u iu i MKFLU - MI4 38

39 Viscosité turbulente L hypothèse de Boussinesq permet de simplifier l effort de fermeture: il suffit de modéliser la viscosité turbulente μ t pour connaître l ensemble du tenseur de Reynolds De nombreuses formulations ont été proposées depuis 40 ans Les plus simples sont les modèles à zéro équation de transport qui lient explicitement μ t aux quantités moyennes. Ex: modèle de Prandtl Valable pour les écoulement cisaillés simples (couche limite, conduite, ) Il exprime la viscosité turbulente à l aide d une longueur de mélange l m : μ t = ρl2 U m y Toute la difficulté est alors de connaître l m MKFLU - MI4 39

40 Longueur de mélange Cette longueur l m a été introduite par mimétisme avec le concept, bien réel celui-là, de libre parcours moyen dans la cinétique des gaz (distance que parcourt une molécule entre deux collisions avec une autre molécule) Les expériences montrent qu il n existe pas d expression universelle pour cette échelle de longueur de mélange, indiquant que ce concept n est pas très représentatif de la turbulence. Malgré son manque d universalité, cette approche a longtemps été utilisée (et l est encore) en raison de sa simplicité. Quelques expressions de l m (y est la distance normale à la paroi): Couche limite: Zone interne: l m = κy 1 e y+ /26, κ 0.4 constante de Von Karman zone externe: l m δ = tanh κy δ Ecoulement en conduite de rayon R: l m R = y R y, δ épaisseur de la couche limite R 4 MKFLU - MI4 40

41 Viscosité turbulente Les expressions de l m sont issues de données expérimentales. Elles reflètent l amortissement de la turbulence au voisinage des parois solides On montre en effet que la viscosité turbulente est de l ordre de la distance à la paroi au cube dans la zone proche pariétale μ t = O y 3 si y est la distance à la paroi Les modèles plus évolués partagent cette propriété fondamentale. Les plus communs nécessitent la résolution d équations de transport en plus des équations RANS: Le modèle de Spalart-Allmaras très utilisé en aérodynamique externe contient 1 équation de transport pour une variable directement liée à la viscosité turbulente Les modèles à deux équations de transport sont également assez populaires. Le plus utilisé est le modèle k ε MKFLU - MI4 41

42 Modèle k- k = énergie cinétique de turbulence : taux de dissipation turbulente μ t = ρc μ k 2 ε ρ k t + ρu j ρ ε t + ρu j ε x j = k x j = x j x j μ + μ t σ ε μ + μ t σ k ε x j k x j + P k ρε ε + C 1ε k P ε 2 k ρc 2ε k P k = u i u j u i x j (production de k) C μ = 0.09 σ k = 1.0 σ ε = 1.3 C 1ε = 1.44 C 2ε = 1.92 MKFLU - MI4 42

43 Calage des constantes Les constantes sont fixées de manière à ce que le modèle se comporte bien pour un certain nombre de configurations académiques bien connues. Par exemple: 1. La valeur de C μ vient du fait que des données expérimentales indiquent que le rapport u v vaut environ 0.3 dans la zone d équilibre P k = ε d une couche k limite turbulente 2. Le terme en C 2ε est le seul restant en situation de turbulence homogène isotrope pour laquelle les données indique une loi de décroissance du type k t n avec n entre 1 et Or on peut montrer que C 2ε = (n + 1)/n dans cette situation, ce qui conduit à C 2ε entre 1.8 et 2. La valeur préconisée de 1.92 est issue d optimisations numériques. ATTENTION: Rien ne garantit que les constantes ainsi calées conduisent à de bons résultats pour d autres situations d écoulement. C est l origine du manque d universalité des modèles de turbulence MKFLU - MI4 43

44 Equation exacte de k Les équations de k = 1 2 u i u i et de résultent d un effort de modélisation guidé par des données d expériences et par les équations de la mécanique des fluides Par exemple, l équation de k est inspirée de l équation suivante, exacte (mais qui fait apparaître des corrélations inconnues): ρ k t + ρu j k x j = + μ 2 k x j x j diffusion moléculaire p u i x i puissance des forces de pression associées aux fluctuations + ρu i u j u i x j Production + ku i x i diffusion turbulente μ u i u i x j x j pseudo dissipation MKFLU - MI4 44

45 DNS vs RANS in a combustor Solid plate Multiperforated plate Dilution hole Modern combustion chamber - TURBOMECA MKFLU - MI4 45

46 DNS vs RANS in a combustor RANS: used routinely during the design process. Approx nodes for the whole geometry DNS: used to know more about the flow physics in the multi-perforated plate region Approx nodes for only one perforation MKFLU - MI4 46

47 DNS vs RANS: jet chaud DNS RANS MKFLU - MI4 47

48 Ecoulement turbulent pariétal Les fluctuations turbulentes sont nécessairement nulles au niveau de la paroi Elles varient fortement dans la zone pariétale, le maximum étant atteint dans la zone tampon Le frottement total est constant: τ = μ U y ρu v τ w MKFLU - MI4 48

49 Les échelles de vitesse et de longueur sont basées sur le frottement pariétal w : w u l En l absence de décollement, il existe une zone inertielle en laquelle une loi universelle est vérifiée par la vitesse moyenne y u Ecoulement turbulent pariétal u 1 ln y C, u : Von Karman constant, C :"Universal constant", u C u u, y yu MKFLU - MI4 49

50 Modélisation de paroi Représenter correctement les variations du profil de vitesse nécessite de disposer d au moins 2 ou 3 points de maillage dans la sous-couche visqueuse L épaisseur de cette couche est de l ordre de 5ν/u τ, inversement proportionnel au nombre de Reynolds Approche haut-reynolds: on utilise un maillage grossier (Δy + 100) et on utilise la loi log pour estimer le frottement pariétal à partir de la vitesse à la première maille Approche bas-reynolds: on utilise un maillage très fin (Δy + 1) et un modèle de turbulence adapté (fonctions d amortissement) y u Gradient de vitesse estimé par un maillage grossier Gradient de vitesse exact à la paroi 50

51 Modèle bas-reynolds de Spalart-Allmaras C est un modèle à 1 équation de transport dont la forme a été ajustée de manière à fournir le meilleur comportement possible en situation de type aérodynamique externe 51

52 Ecoulements instationnaires Connaitre l écoulement moyen n est pas toujours suffisant (instabilités, vibrations, ) La moyenne n est même pas toujours pertinente Flamme oscillante T T2 T1 T2>T1 T1 time Prob(T=T mean )=0!! MKFLU - MI4 52

53 RANS SGE - SND Reynolds-Averaged Navier-Stokes (RANS): Utilise un modèle pour prendre en compte les effets de la turbulence Rapide mais peu ou pas prédictif Simulation Numérique Directe (SND): Pas de modèle à part Navier-Stokes Prédictif mais pas applicable à des situations pratiques Simulation aux Grandes Echelles (SGE): Utilise un modèle pour les échelles les plus petites uniquement (assez universelles), On résout Navier-Stokes (filtré) pour obtenir l évolution des plus grandes échelles (assez dépendantes du cas considéré) Prédictif et applicable pour des cas complexes MKFLU - MI4 53

54 Vitesse longitudinale RANS SGE - SND SND SGE RANS temps MKFLU - MI4 54

55 Spectre d énergie Large Eddy Simulation Simulation aux Grandes Echelles «Navier-Stokes» Model Nombre d onde Formellement: on remplace l opérateur de moyenne d ensemble du RANS par un filtrage spatial pour obtenir les équations de la SGE 3 x, t ξ, tg x ξd ξ G R 3 MKFLU - MI4 55

56 Modèle pratique pour la prise en Practical model for complex geometries compte des petites échelles 1. Des formulations de type viscosité turbulente sont souvent utilisées 2. Le modèle de Smagorinsky (1963) dynamique est souvent considéré comme le meilleur compromis simplicité/précision Calculé de manière dynamique t C Taille de maille 2 2 taux de déformation : time scale 1 2S ij S ij 3. D autres formulations émergent depuis quelques années (Vreman, WALE, Sigma, ) MKFLU - MI4 56

57 Flow rate Exemple: jet chaud impactant HOT impulsive jet time COLD turbulent flow 3. shear flow 1. vortex roll up/propagation 2. stagnation region 4. Mixing & Heat Transfer 3. wall region 57

58 SGE du jet chaud impactant 58

59 Comparaison expérience/sge Velocity vectors Vertical Velocity PIV s - model Dynamic Smagorinsky 59