THÈSE DE DOCTORAT DE L UNIVERSITÉ PIERRE ET MARIE CURIE. Spécialité : Mécanique

Transcription

1 THÈSE DE DOCTORAT DE L UNIVERSITÉ PIERRE ET MARIE CURIE Spécialité : Mécanique Ecole doctorale Sciences mécaniques, acoustique, électronique et robotique de Paris Présentée par Thomas ROUILLON Pour obtenir le grade de DOCTEUR DE L UNIVERSITÉ PIERRE ET MARIE CURIE Sujet de la thèse : Modélisation par termes sources de générateurs de tourbillon et optimisation de leurs caractéristiques pour la réduction de traînée de véhicules automobiles Soutenue le 20 décembre 2012 devant le jury composé de : M. Jean-Paul Bonnet Rapporteur M. Michel Stanislas Rapporteur M. Régis Duvigneau Examinateur M. Maurice Rossi Examinateur M. Fabien Harambat Tuteur industriel M. Lionel Mathelin Encadrant M. Christian Tenaud Directeur de thèse

2

3 Résumé La réduction de traînée est l un des axes majeurs de travail dans l industrie automobile. Elle impose principalement de manipuler ou contrôler l écoulement au niveau de la partie arrière des véhicules tri-corps, notamment sur la lunette arrière, responsable d une part importante de la traînée. Nous présentons un processus automatique d optimisation d appendices pour la manipulation d écoulement, appelés générateurs de tourbillons (Vortex Generators ou VGs), montés en fin de pavillon. Ce processus associe un code CFD RANS à une méthode d optimisation. Les VG physiques sont remplacés dans la simulation numérique, par un modèle de termes sources générant les tourbillons créés par les artifices. Nous validons avec succès l implantation du modèle à l aide de comparaisons avec des résultats expérimentaux. Une série de configurations de VGs est étudiée sur des géométries simples représentant la partie arrière d un véhicule tri-corps. Dans un second temps nous évaluons et validons la technique d optimisation utilisée dans notre procédure. Nous nous intéressons à un optimiseur global reposant sur l estimation d une surface de réponse par krigeage. Le point clé de la méthode d optimisation réside dans le choix d un meilleur candidat en utilisant la surface approximée pour minimiser la fonction objectif. Nous évaluons l algorithme sur des fonctions analytiques typiques, en comparant les résultats obtenus par le méta-model choisi et ceux d algorithmes globaux et locaux plus classiques. Finalement, la procédure est utilisée pour la minimisation de la traînée globale d une maquette de véhicule à échelle réduite. La configuration de VGs optimale permet une réduction notable de la trainée. Abstract The drag reduction is one of the major working axes in the car industry. It imposes mainly to manipulate or to control the flow at the rear end of notchback vehicles, in particular on the rear-windows, responsible for an important part of the drag. We present an automatic process of optimization of appendixes for the manipulation of flow, called Vortex Generators (VGs), mounted at the end of the roof. This process associates a CFD RANS code with a method of optimization. The physical VGs are substituted in the numerical simulation, by a source terms model generating vortices created by the devices. We validate successfully the implementation of the model by comparisons with experimental results. A series of configurations of VGs is studied on simple geometries representing the rear part of a notchback vehicle. Secondly we estimate and validate the technique of optimization used in our procedure. We are interested in a global optimizer resting on the estimation of a response surface by kriging. The key point of the method of optimization lies in the choice of a better candidate by using the approximation surface to minimize the objective function. We estimate the algorithm on classical analytical functions by comparing results using the chosen meta-model with those obtained with more classic global and local algorithms. Finally, the process is used for the minimization of the global drag of a car scale model. The optimal VGs configuration enables a notable drag reduction.

4

5 Table des matières Résumé iii Introduction générale 1 1 Problématique aérodynamique 7 1 Ecoulement autour d un corps non-profilé Effort du fluide sur le corps Influence d un gradient de pression sur un écoulement Lien entre décollement et trainée Manipuler l écoulement pour réduire la traînée L optimisation de forme Le contrôle d écoulement Les générateurs de tourbillons Principe Précédentes études expérimentales et utilisations Termes sources Méthodes d évaluation des solutions aérodynamiques 23 1 Méthodes numériques et modélisations Logiciels utilisés Modélisation de la turbulence Résolution numérique Conditions aux limites Modélisation des générateurs de vortex par termes sources Présentation et calibration du BAY model Géométrie d étude Mise en place des simulations Calibration de c vg Méthodes de sélection des cellules Validation du modèle de termes sources Simulation avec VGs maillés Comparaisons entre VGs modélisés et VGs maillés Ecoulement sur le volet incliné Conclusion Problème d optimisation 55 1 Principe de l optimisation Méthodes d optimisation Méthodes de descente v

6 vi TABLE DES MATIÈRES 2.2 Méthodes géométriques Algorithmes évolutionnaires Interpolation de surface de réponse Evaluation des méthodes d optimisation Fonctions analytiques testées Codage des méthodes d optimisation Résultats Conclusion Optimisation des VGs pour la réduction de traînée 77 1 Automatisation de la boucle Présentation de la boucle Paramétrisation des VGs Mesure de la réduction de trainée Minimisation de la traînée du volet incliné Cadre du problème d optimisation Résultats Validation expérimentale des optima Topologies d écoulements optimaux Conclusion Réduction de traînée d une maquette de véhicule 99 1 Géométrie Moyens expérimentaux Soufflerie Moyens de mesures Mise en place des simulations numériques Modèles numériques Domaine de calcul et conditions aux limites Maillage Paramétrisation du pavillon Validation de l écoulement de référence et de la modélisation des générateurs de tourbillons Ecoulement de référence Vérification de la mise en donnée de termes sources Bilan Minimisation de la traînée de la maquette de véhicule Espace des paramètress Initialisation Convergence Etude de l influence des différents paramètres Validation expérimentale du bassin optimal Validation et analyse de l écoulement optimal Conclusion Conclusion et perspectives 139 ANNEXES 143 A Modèle de Spalart et Allmaras 145

7 TABLE DES MATIÈRES vii B Prolongement de profil par le méthode de Monkewitz et al. 147 C Global Metamodels Optimization (GMO) Description générale de l algorithme Création de la base de données initiale Génération de la surface de réponse par krigeage Approximation de la moyenne et de la variance Matrice de covariance D Optimisation par essaim particulaire Principe de fonctionnement Formalisme Définition du réseau social Les cœfficients de conservatisme et de panurgisme Le cœfficient d inertie L initialisation E Validation de l optimum pour la réduction de traînée de la maquette de véhicule 157 Bibliographie 163

8

9 Introduction générale La protection de l environnement et les économies d énergie sont des enjeux sociétaux très importants. Dans ce contexte, l industrie automobile est contrainte de diminuer les émissions de gaz à effet de serre (NO x et CO 2 principalement) et par là-même la consommation de ses véhicules. Les constructeurs européens se sont engagés, au travers des accords CAFE (Corporate Averaged Fuel Emission), à abaisser de 20% les émissions de CO 2 de leur parc automobile. Cela revient à passer de 120 gr.km 1 en 2012 à 95 gr.km 1 en 2020 en moyenne sur le parc. Pour cela les constructeurs travaillent sur deux axes en même temps. Le premier est d améliorer le système de propulsion en développant des moteurs possédant de meilleurs rendements (moins de pertes en chaleur et réduction des frottements mécaniques) ou utilisant des énergies propres. C est pour ces raisons que, par exemple, les véhicules hybrides et électriques ont fait leur apparition. Le second a pour objectif de réduire l énergie nécessaire pour mouvoir le véhicule en diminuant les pertes, en particuliers les efforts liés au contact du pneu sur la route (poids, frottements...) mais également en minimisant les forces aérodynamiques i.e les forces qu exerce l air sur le véhicule. La figure 1 montre l évolution des contributions de ces deux forces à la dissipation de la puissance, mesurée en sortie de boite de vitesses, en fonction de la vitesse du véhicule. On remarque qu au-delà de 90 km.h 1 les forces aérodynamiques représentent plus de 70% des pertes énergétiques. En agissant alors sur ces forces, on agit sur un levier important de la consommation du véhicule et de ses émissions de polluants. Figure 1 Importance relative de la dissipation des pneus et de l aérodynamique en fonction de la vitesse du véhicule. Source interne PSA. Les forces aérodynamiques F peuvent se décomposer en trois composantes dans un repère cartésien lié à la voiture. On les exprime en fonction de l écoulement et des caractéristiques du véhicule de la manière suivante : F (x,y,z) = 1 2 ρu 2 SC (x,y,z) (1) 1

10 2 Introduction générale Figure 2 Evolutions typiques de la silhouette d automobile entre les années 60 et les années 80. avec ρ la masse volumique du fluide, U la vitesse du véhicule, S le maitre couple 1 et C (x,y,z) des grandeurs sans dimension permettant de définir les performances intrinsèques du véhicule appelées coefficients aérodynamiques. La force suivant l axe de la voiture s appelle la trainée, celle normale à la route la portance et la troisième la dérive. La forme des corps analysés étant symétrique suivant un plan médian, cette dernière n est étudiée que dans des cas particuliers comme le dépassement ou le comportement du véhicule par vent de travers par exemple. La portance est importante pour la sécurité du véhicule. En effet pour des questions de distances de freinage et de tenue de route, les constructeurs cherchent à dimensionner des véhicules qui ne se délestent pas à hautes vitesses afin de garder un contact suffisant avec la route. La traînée est la composante qui s oppose à l avancement. C est donc sur la traînée qu il est nécessaire d agir afin de diminuer la résistance au déplacement du véhicule et c est sur elle que nous nous concentrons par la suite. La force de traînée est la résultante de deux phénomènes distincts : la traînée visqueuse et la traînée de pression. La traînée visqueuse est la conséquence du frottement de l air sur la surface. La traînée de pression est due à un déséquilibre de pression entre l amont et l aval du corps. L avant du véhicule est en surpression, due aux surfaces frontales importantes comme le pare-brise ou la calandre, et l arrière du véhicule en dépression, notamment lorsqu un large décollement est présent. L écoulement autour d une voiture présente de nombreuses recirculations, la traînée de pression représente alors près de 80% de la traînée totale. Les études aérodynamiques automobiles s intéressent donc principalement à cette contribution. Les premières démarches se sont d abord attachées à améliorer la forme des véhicules et leur pénétration dans l air pour réduire la surpression à l avant du véhicule et limiter les décollements sur cette partie du véhicule. Ainsi après les chocs pétroliers des années 70, on a pu observer de fortes modifications dans la silhouette des voitures. La figure 2 montre les évolutions typiques des formes des véhicules que l on observe au cours de cette période (nez plongeant, pare-brise incliné...). La trainée moyenne du parc automobile a été réduite de 30% en vingt ans. Mais la vision du véhicule idéale n est pas la même suivant les différents intervenants dans la conception du véhicule. Par exemple, les modifications que les aérodynamiciens peuvent apporter sur la macro-forme sont fortement contraintes par les questions de style et d habitabilité. C est pourquoi, les constructeurs cherchent maintenant des technologies en rupture permettant de contrôler les décollements sans toucher à la ligne générale de l auto. La figure 3 indique les principales zones de décollement ainsi que leurs contributions à la traînée pour un véhicule contemporain. Deux principales régions ressortent : le soubassement (ou sous-plancher) et l arrière du véhicule. Le soubassement étant une partie avec des contraintes fortes (refroidissement, ligne d échappement...) sur lesquelles l aérodyna- 1. Le maitre couple est une surface fictive prise comme référence. En automobile, la surface considérée est l aire de la voiture projetée sur un plan normal à l axe d avancement du véhicule.

11 Introduction générale 3 Figure 3 Contributions relatives de chaque région du véhicule à la traînée globale. Source interne PSA. micien n a que de faibles marges de manœuvre, les études se portent alors majoritairement sur le culot de la voiture. Il est possible de classer les arrières de véhicules en deux grandes familles. Les culots droit (véhicules utilitaires par exemple) et les tri-corps (berlines avec coffre). Depuis quelques années, des artifices, dimensionnés facilement et peu onéreux, ont été développés et largement répandus pour manipuler les écoulements sur culot droit. Par exemple, l ajout d un becquet en bout de pavillon (i.e. le toit) permet de fixer la ligne de décollement et d allonger la bulle de recirculation. Les pressions au culot sont alors remontées. Une réduction de traînée de l ordre de 7% est alors obtenue. Mais ces dispositifs ne peuvent pas être appliqués en bout de pavillon d une silhouette tri-corps. D où l idée d étudier de nouveaux concepts qui, à l avenir, pourraient être généralisés sur ce type de véhicule. Dans cette thèse nous nous nous intéressons à une technique de manipulation consistant à générer des tourbillons au niveau du pavillon afin d aider l écoulement à rester attaché et ainsi limiter la dépression sur la lunette arrière. Ces tourbillons sont créés à l aide de petites plaques montées en incidence sur le pavillon. Pour réduire au maximum la traînée, il est nécessaire de créer les tourbillons les mieux adaptés possible à l écoulement et pour cela, une recherche des paramètres optimaux de forme des générateurs de tourbillons est obligatoire. Jusqu à présent, les études portant sur de tels artifices ont principalement été paramétriques et dans un cadre aéronautique ou pour des écoulements dans les conduites (voir chapitre 1). De plus, le décollement sur la lunette n est pas la seule source de traînée à l arrière du véhicule. D autres structures, comme les tourbillons longitudinaux, y contribuent de manière non négligeable et peuvent être impactées par la réduction du décollement. Il est donc important de prendre en compte l ensemble des effets induits lors de la minimisation de la traînée d une automobile. L objectif de cette étude est donc la construction d un processus automatique d optimisation permettant la détermination de la meilleure configuration de générateurs de tourbillons, appelés Vortex Generators ou VGs dans la suite, pour la réduction de traînée globale d un véhicule tri-corps. Un processus d optimisation est une recherche itérative de la configuration minimisant une fonction donnée. Il peut se décomposer en deux grandes parties. La première concerne la méthode d évaluation des solutions candidates. Dans notre cas les solutions candidates sont les configurations de VGs. Il n est pas imaginable, dans un contexte industriel, de réaliser expérimentalement l ensemble des évaluations pour des questions de temps (temps de prototypages, temps d essais nécessitant la monopolisation

12 4 Introduction générale de personnel,...) et de coût. C est pourquoi nous les réaliserons numériquement à l aide d un code de mécanique des fluides résolvant les équations de Navier-Stokes. Mais deux freins majeurs se présentent. Le premier est le fait que l on souhaite tester un grand nombre de configurations différentes. Chacune des configurations nécessite donc un nouveau maillage et un nouveau pré-traitement. Ces étapes sont gourmandes en temps et l automatisation de l ensemble des tâches rend difficile le contrôle de la qualité du maillage et sa correction éventuelle. Des divergences dans le calcul peuvent apparaitre et rendre fausse l évaluation. La seconde difficulté touche au temps des simulations. Les VGs sont des éléments de petites tailles comparées aux dimensions de la voiture. Ils ajoutent donc un surcroit de mailles et augmentent alors le temps de calcul. La solution est de ne pas représenter explicitement les VGs dans le calcul mais de simplement modéliser leur impact sur l écoulement en imposant des termes sources. Une partie de cette thèse consiste donc à l implantation et la validation de termes sources remplaçant le maillage des VGs. Différentes stratégies ont été développées depuis la fin des années 90. Dans le chapitre 1 nous présentons deux de ces méthodes et nous décrivons en détails dans le chapitre 2 celle utilisée. La seconde partie d un processus d optimisation est la méthode permettant d évoluer dans l espace des solutions possibles afin de converger vers l optimum d une fonction. Il existe un très grand nombre de méthodes d optimisation. Certaines se basent sur des phénomènes observés dans la nature (essaim d abeilles, colonie de fourmis, théorie de l évolution...). D autres utilisent le gradient de la fonction étudiée pour déterminer la direction de descente vers le minimum de la fonction. Enfin de nouvelles méthodes se proposent d estimer l ensemble de la fonction à partir d un nombre réduit d évaluations. Ces différentes méthodes sont plus ou moins adaptées au problème posé et nécessitent plus ou moins de réglages avant d être utilisées. Du choix de la stratégie d optimisation dépend la rapidité de convergence et la qualité de la solution obtenue. Il est donc primordial de prendre le temps de déterminer la méthode la plus apte à résoudre notre problème d optimisation. Une seconde partie de la thèse concerne alors l étude et l évaluation de différentes stratégies sur des fonctions analytiques tests. Nous utilisons ensuite les meilleures d entre-elles pour la minimisation de la traînée d une géométrie proche des véhicules automobiles : le volet incliné. Ce corps simplifié permet d étudier l impact des VGs sur un écoulement décollé, en s affranchissant des multiples effets 3D présents autour d une voiture. La meilleure des techniques d optimisation est alors utilisée pour déterminer les paramètres optimaux des VGs pour la manipulation de l écoulement autour d une voiture tri-corps afin de réduire sa traînée. Le manuscrit est structuré de la manière suivante. Le chapitre 1 rappelle les principes de base de l aérodynamique des véhicules terrestres et les notions essentielles à la bonne compréhension du reste de ces travaux. En nous appuyant sur une étude bibliographique, nous présentons également le principe de fonctionnement des VGs et les raisons pour lesquelles nous optons pour cette stratégie. Dans le chapitre suivant, après une présentation des méthodes numériques utilisées pour le calcul des écoulements, nous introduisons le modèle de termes sources permettant la substitution des VGs pleinement maillés dans les calculs. Une validation de ce modèle par comparaisons de résultats numériques à des résultats expérimentaux est réalisée en étudiant les écoulements au-dessus d une plaque plane et autour d un volet incliné. Dans le chapitre 3, nous décrivons dans un premier temps le principe d une démarche d optimisation avant de présenter différentes techniques permettant la minimisation d un problème. Enfin, nous évaluons ces méthodes sur des fonctions analytiques. Le chapitre 4 est consacré à la mise en place de la boucle d optimisation. Nous réalisons

13 Introduction générale 5 l optimisation des paramètres de forme des VGs pour la réduction de traînée du volet incliné. Nous analysons également les écoulements permettant une réduction optimale. Le dernier chapitre constitue le point d orgue de ce travail. Nous y réalisons l ensemble de la boucle d optimisation pour la réduction de traînée d une maquette échelle réduite d une automobile. Une analyse des écoulements manipulés est alors proposée afin de comprendre le rôle de la manipulation dans la modification de la traînée. Enfin, nous dressons des conclusions de ce travail et envisageons quelques perspectives.

14

15 Chapitre 1 Problématique aérodynamique Ce chapitre présente le cadre de notre étude aérodynamique. Il positionne notre application industrielle et nous permet ainsi d expliquer la démarche choisie pour ce travail. Dans une première partie nous reviendrons sur des notions de base afin d analyser les phénomènes qui interviennent lorsqu un corps se déplace dans un fluide. Nous amènerons alors les concepts de traînée et de portance qualifiant les performances d une automobile. Ensuite, nous introduirons la notion de contrôle d écoulement qui consiste à ne modifier que localement l écoulement à l aide d artifices afin d éviter de trop lourdes modifications de la macro-forme du véhicule. Enfin nous présenterons la stratégie de manipulation par générateurs de tourbillons et sa mise en place numérique. 1 Ecoulement autour d un corps non-profilé Nos travaux portent sur l étude de l écoulement d air autour d un véhicule automobile en conditions nominales sur voie rapide (de 90 à 130 km.h 1 ). Pour des raisons pratiques, afin de pouvoir accéder aisément à un ensemble de visualisations et de mesures, une partie des études aérodynamiques expérimentales ne se réalisent pas en déplaçant le véhicule dans l air mais en générant un écoulement autour du véhicule (études en soufflerie). En effet, les phénomènes qui sont observés sont la conséquence du mouvement relatif entre le véhicule et l air. Ainsi dans la suite nous nous placerons dans la situation où le corps étudié est fixe et immergé dans un écoulement de vitesse amont uniforme. 1.1 Effort du fluide sur le corps Considérons un volume fluide V fluide fixe enveloppé par une surface fermée S fluide, traversé par un écoulement stationnaire avec une vitesse U en entrée. Un solide indéformable et non-poreux 1, dont la surface mouillée est S solide, y est immergé. La surface globale délimitant le domaine fluide est donc S = S fluide S solide. Par convention n est la normale sortante de ce domaine (fig. 1.1). Par la suite, les vitesses des écoulements analysés sont comprises entre 20 et 40 m.s 1 représentant la vitesse des véhicules automobiles sur route ou autoroute. On peut donc les considérer comme incompressibles et newtoniens. Ainsi leur masse volumique ρ est constante et le tenseur des contraintes de pression et visqueuses peut s écrire de la manière suivante : σ = P (x, t) I + τ (x, t) (1.1) 1. Etant dans le cadre d une étude aérodynamique automobile, ces hypothèses sont justifiées. 7

16 8 CHAPITRE 1. PROBLÉMATIQUE AÉRODYNAMIQUE Figure 1.1 Solide plongé dans un fluide animé d un vitesse uniforme U. avec τ (x, t) = µ[ U + U T ] le tenseur des contraintes visqueuses, µ le coefficient de viscosité dynamique et I le tenseur identité. P (x, t) et U (x, t) sont respectivement les champs de pression et le vecteur des vitesses de l écoulement, x étant le vecteur position. En l absence de forces extérieures de volume, la dynamique du fluide isotherme est régie par les équations de conservations de la masse et de la quantité de mouvement : équations de Navier-Stokes (equations 1.2). ρ U t U = 0 + (ρu ) U = σ (1.2) On définit le nombre de Reynolds (Re) comme le rapport entre les forces d inertie et les forces de viscosité. Il s agit d un nombre sans dimension défini par l équation 1.3 à l aide d une longueur de référence L et d une vitesse de référence U. Re = ρu L µ = U L ν (1.3) Dans le cadre des études aérodynamiques automobiles, µ air 1, U 1 et L 1 donc Re 1. En divisant la vitesse par U et les longueurs par L, nous définissons les nouvelles variables suivantes : U = U U, x = x L, y = y L, z = z L t = tu L P = P ρu 2 Le système d équations 1.2 devient alors : (1.4) U = 0 U t + (U ) U = P + 1 (1.5) Re τ En réalisant un bilan de quantité de mouvement sur le domaine fluide, on obtient l équation suivante : t U dv + (U ) U nds = P nds + 1 τ nds (1.6) Re V fluide S S S Le premier terme de l équation représente le terme d inertie. Ce terme est donc nul dans le cas d un écoulement stationnaire. Il est également possible de décomposer les

17 1 Ecoulement autour d un corps non-profilé 9 intégrales sur le domaine fluide en intégrales sur le corps et sur l enveloppe fluide. En respectant la condition de non-glissement à la paroi de corps (U = 0), l équation 1.6 peut alors s écrire : (U ) U nds fluide + P nds fluide 1 τ nds fluide = S fluide S fluide ReS fluide P nds solide + 1 τ nds solide S solide ReS solide (1.7) Nous obtenons ainsi comme second terme de l équation l intégrale sur le corps des efforts de pression et de viscosité du corps sur le fluide. Or F corps fluide = F fluide corps et en vertu du théorème de la normale sur la surface fermée S ( nds = 0), il est alors possible d exprimer les efforts aérodynamiques des deux manières suivantes : S F = F fluide corps = (P P )nds solide 1 ( τ n ) ds solide S solide ReS solide = (U ) U nds (P P )nds + 1 ( τ n ) ds S fluide S fluide ReS fluide (1.8) en prenant P la pression sans dimension en entrée du domaine fluide, les deux surfaces S fluide et S solide ayant des contours fermés. Dans l équation 1.8, la première expression nous donne un point de vue pariétal des efforts. Elle fait intervenir uniquement des données mesurées à la surface du corps. Cette formulation est la plus communément utilisée dans les études aérodynamiques. La seconde nous propose une formulation volumique de F. La seule analyse de l écoulement est nécessaire. Ainsi lorsque nos générateurs de tourbillons seront uniquement modélisés par les termes sources dans les simulations, il nous sera néanmoins possible de calculer leur contribution à la traînée globale de l auto. Nous utiliserons donc cette expression dans la suite de cette thèse pour le calcul de la traînée qui intègre la contribution des manipulateurs. La traînée T est la projection de F sur l axe x. Il est possible de choisir les surfaces composant S fluide telles que S amont et S aval soient similaires en forme et normales à x (figure 1.2). Les autres étant quant à elles parallèles à x. On obtient ainsi après simplifications : ( T = S solide C x = (1 U ) 2 ds + V 2 + W 2) ds + (Pt Pt ) ds (1.9) S aval S aval S aval avec U =[U,V,W ] T, U =[U,0,0] T la vitesse amont et P t et P t les pressions totales amont et aval. Ainsi afin de connaitre les efforts du fluide sur le corps, il suffit d évaluer dans un plan dans le sillage les différences entre l écoulement amont et l écoulement aval. Il est alors possible d étudier l impact des différentes structures de l écoulement issues du corps notamment, les tourbillons longitudinaux [47]. Le sillage est la conséquence du contournement du véhicule par le fluide. Intéressons nous donc maintenant à l impact de la forme du solide sur l écoulement.

18 10 CHAPITRE 1. PROBLÉMATIQUE AÉRODYNAMIQUE Figure 1.2 Volume fluide de frontières S amont, S aval et S latérale traversé par un écoulement stationnaire de vitesse U en entrée dans lequel est immergé un solide de frontière S solide. 1.2 Influence d un gradient de pression sur un écoulement Considérons ici un écoulement bidimensionnel stationnaire sur une plaque plane de longueur L avec une vitesse U orienté tel que U W, V = 0 et y = 0. Les équations de Navier-Stokes peuvent s écrire alors comme le système Afin de simplifier le système, on réalise une analyse sur les ordres de grandeur des différents termes à l aide d une approximation de couche mince 2 (équation 1.10). U 1; U W ; x 1; z δ L (1.10) où δ est l épaisseur caractéristique de la couche mince et δ L. continuité suivant x U x + W z = U U x + W U z = P x + 1 ( 2 U ) Re x U z (1.11) suivant z U W x + W W z = p z + 1 ( 2 W Re x W ) z En retenant dans les différentes équations uniquement les termes dominants, on obtient alors le système : : 2. Cette approximation est valable jusqu au point de décollement.

19 1 Ecoulement autour d un corps non-profilé 11 U x + W z = 0 U U x + W U z = P x + 1 Re 2 U z 2 (1.12) P z = 0 Loin de la paroi, dans la région potentielle, l écoulement n est pas affecté par la viscosité et nous avons U z = 0. Nous obtenons alors la relation directe entre la vitesse longitudinale U et le gradient de pression. dp du = U dx dx (1.13) Ainsi on constate très bien que si dp dx > 0, puisque l on considère U > 0, l écoulement sera ralenti ( du dx < 0). Si l on se place maintenant proche de la paroi, dans la couche limite attachée, la viscosité joue un rôle important et on a U z > 0. ( A la paroi (z = 0), la condition d adhérence impose U = W = 0. Le signe de 2 U est donc entièrement piloté par le signe du gradient de pression imposé. Donc z 2 ) z =0 z >l ( ) 2 U z 2 dans le cas d un gradient de pression positif, on trouve que > 0. z =0 En dehors de la couche limite U = 1. Donc si l on se place à une distance l < δ (δ étant l épaisseur sans dimension de la couche limite) suffisante de la plaque, U z tend ( ) vers 0 + donc 2 U z < 0. Il y a donc un changement de signe de 2 U, ce qui 2 z 2 prouve l existence d un point d inflexion sur le profil de vitesse (1.3-2). Les particules en proche paroi sont ralenties mais leur inertie est encore suffisante pour vaincre le gradient de pression. Les particules avec une faible quantité de mouvement sont ralenties jusqu à s arrêter puis être forcées de rebrousser chemin (1.3-3 et 4). Le point de séparation (ou décollement) est alors défini comme la position pour laquelle : ( U ) z z =0 = 0 (1.14) En pratique, les gradients de pression son générés par des changements brusques de géométrie telles que la transition entre le toit du véhicule et le pare-brise arrière. Les angles étant importants, la couche limite se développant sur le pavillon ne peut résister de par son inertie et décolle sur la lunette. 1.3 Lien entre décollement et trainée Nous avons vu précédemment que la traînée était composée des contraintes de pression et des contraintes liées à la viscosité. Or pour des écoulements à haut Re, ces dernières ne contribuent que faiblement à la force. C est pourquoi nous nous concentrons dans cette section sur la traînée de pression. La figure 1.4 présente l écoulement autour d un cylindre pour deux nombres de Re et la figure 1.5 les évolutions des pressions sur sa paroi que l on observe pour ces deux types d écoulement. Pour le premier écoulement à très faible Re (Re=0,16), on remarque que le fluide reste attaché tout autour du cylindre. Les pressions entre l amont et l aval s équilibrent, la traînée de pression du cylindre est donc nulle.

20 12 CHAPITRE 1. PROBLÉMATIQUE AÉRODYNAMIQUE Figure 1.3 Evolution du profil de vitesse sur plaque plane en fonction du gradient de pression. 1- L écoulement est soumis à un gradient de pression négatif ou nul. Le profil ne présente pas de point d inflexion. 2- Un gradient de pression adverse est imposé. 3- On augmente le gradient afin de stopper l écoulement en proche paroi. C est le point de séparation. 4- Le gradient de pression augmente encore, l écoulement rebrousse chemin, nous sommes en présence d un décollement. Lorsque Re augmente, la courbure du cylindre impose un gradient de pression positif trop important et la couche limite décolle. En aval de D et D les points expérimentaux ne suivent plus la même évolution que dans le cas théorique (figure 1.5). Les mesures de Achenbach [1] nous indiquent que les pressions dans la zone de recirculation sont plus faibles que pour un écoulement idéal. La différence entre les deux courbes montre alors un déficit de pression entre l amont et l aval du cylindre. C est ce déficit qui est générateur de traînée. La pression dans la zone décollée est relativement constante et on peut constater que c est la valeur aux points de décollement qui est maintenue. Ainsi on peut estimer qu en manipulant l écoulement pour repousser la séparation on agira sur deux phénomènes en même temps. D un côté la pression dans la zone séparée sera plus élevée, donc l écart entre l amont et l aval plus faible. De l autre, la surface sur laquelle le déficit est intégré sera restreinte. Les deux actions vont dans le sens d une réduction de traînée. (a) Ecoulement attaché à Re=0,16 (b) Ecoulement stationnaire décollé à Re=26 Figure 1.4 Ecoulement autour d un cylindre en fonction du Re. Les points D et D indiquent les points de décollement. D après Van Dyke [57]. 2 Manipuler l écoulement pour réduire la traînée 2.1 L optimisation de forme La forme d un véhicule est propice à de fortes différences de pressions entre l avant et l arrière du véhicule. Une stratégie est donc de modifier la macro-forme de l auto pour les

21 2 Manipuler l écoulement pour réduire la traînée 13 Figure 1.5 Distribution des coefficient de pression C p = p p 1 autour d un cylindre ρ U 2 à Re=10 5 (Mesures de Achenbach [1] reportées par Schlichting [50]). La ligne en pointillés représente les valeurs théoriques pour un fluide parfait et les cercles représentent les mesures de pression réelles. Figure 1.6 Evolution du coefficient de traînée C x (en anglais : C d = drag coefficient) au-cours du XX ème siècle. D après Hucho [26]. réduire. L industrie automobile s est dans un premier temps concentrée sur cette stratégie. Dans les années 20-30, la course aux records de vitesse a commencé à amener les constructeurs à modifier la forme des véhicules pour leur permettre une meilleure pénétration dans l air. Cependant, il faut attendre les chocs pétroliers des années 70 pour observer une rapide baisse des C x des voitures pour le grand public (figure 1.6). Les leviers sont relativement simples. Pour éviter les surpressions sur la face avant du véhicule, le nez devient plongeant et le pare-brise est amené le plus possible dans le prolongement du capot. A l arrière, le gradient de pression adverse entre le pavillon et la lunette qui génère un fort décollement est réduit. La lunette n est plus verticale et relie le pavillon au coffre avec un angle plus faible. Mais cette solution possède ses limites. La première est économique. En effet, le nombre de formes possibles décroit en même temps que le C x. Les véhicules convergent alors tous vers la même allure. Le risque est que le public ne reconnaisse plus l identité propre des différentes marques comme on peut le voir sur la figure 1.7. Mis à part la Citroën DS 19, l ensemble des peaux est très semblable. D autre part, les contraintes de sécurité et

22 14 CHAPITRE 1. PROBLÉMATIQUE AÉRODYNAMIQUE Figure 1.7 Comparaison des sections longitudinales et transverses des voitures européennes de classe moyenne. D après Hucho [26]. d habitabilité imposent un cadre stricte dans lequel l aérodynamicien n a qu une faible marge de manœuvre. C est pourquoi des solutions permettant l amélioration des caractéristiques aérodynamiques des voitures sans en modifier l allure générale ont été développées. Elles consistent à manipuler localement l écoulement pour obtenir une réduction des efforts globaux. 2.2 Le contrôle d écoulement Le contrôle d écoulement consiste à imposer localement de petites perturbations dans la couche limite afin de générer un transfert d énergie entre l écoulement à haute vitesse et l écoulement de proche paroi. La balle de golf en est un exemple concret. Jusqu en 1930 les balles neuves étaient totalement lisses, or les joueurs avaient remarqué que les balles ayant subi de nombreux coups volaient plus loin. William Taylor a donc eu l idée d étudier l aérodynamisme de balles avec des aspérités. La figure 1.8 montre l écoulement autour de deux sphères pour une même vitesse incidente. Il remarque qu ajouter des rugosités sur la paroi repousse en aval le décollement de la couche limite. En fait les alvéoles d une balle de golf imposent la transition laminaire/turbulente de la couche limite et le brassage dû à la turbulence apporte de l énergie dans les basses couches. Il est donc possible, sans modifier la forme globale de l objet, de jouer sur ses performances aérodynamiques. Le contrôle d écoulement se fait à l aide d actionneurs. Si ceux-ci nécessitent un apport d énergie extérieure pour fonctionner : il s agit de contrôle actif. Pour cette stratégie on utilise par exemple des jets pulsés ou des ailles battantes. Lorsqu ils sont associés à des capteurs, ils peuvent adapter leur fonctionnement (fréquence et/ou amplitude généralement) en fonction de l écoulement. On parle alors de contrôle réactif. En contrôle actif et réactif, il est primordial de vérifier que la balance entre énergie sauvée et énergie dépensée est positive. Bien qu efficaces, ces systèmes sont complexes à mettre au point et à implémenter. De plus ils sont relativement onéreux pour une utilisation industrielle. Par contre, dans le cadre de contrôle passif les appendices utilisés sont fixes. Ils ont été dimensionnés pour être optimaux à un point de fonctionnement donné. Le risque est qu ils dégradent les performances si on s éloigne fortement des conditions nominales. Dans la suite de cette

23 3 Les générateurs de tourbillons 15 (a) Balle lisse (b) Balle alvéolée Figure 1.8 Contrôle d écoulement autour d une sphère. D après Aoki et al. [5]. étude nous nous intéressons à des actionneurs passifs qui sont déjà massivement utilisés dans l industrie aéronautique et qui sont susceptibles d être appliqués à l automobile prochainement : les générateurs de tourbillons. 3 Les générateurs de tourbillons 3.1 Principe Comme, nous l avons vu précédemment, un écoulement turbulent, en transférant de l énergie aux couches proches de la paroi, résiste mieux à un gradient de pression adverse. Le principe de générateur de tourbillon (Vortex Generators ou VG dans la suite de l étude) consiste à forcer et accentuer ce mélange pour alors réduire le déficit de quantité de mouvement dans la couche limite. Les éléments placés dans l écoulement génèrent des tourbillons permettant un transfert d énergie des couches élevées vers les couches proches de la paroi. Ce brassage peut se faire de deux manière différentes. Soit à l aide de VGs contra-rotatifs soit avec des VGs co-rotatif (figure 1.9). (a) VG co-rotatif (b) VG contra-rotatif Figure 1.9 Exemples de générateurs de tourbillons passifs [23]. Schubauer et Spangender [51] ont étudié l action de différents artifices permettant l augmentation du taux de mélange pour un écoulement sur plaque plane soumis à différents gradients de pression. Pour cela le facteur de forme H est suivi. Ce paramètre permet de quantifier l état de la couche limite. Il est défini par l équation 1.15 à partir

24 16 CHAPITRE 1. PROBLÉMATIQUE AÉRODYNAMIQUE des épaisseurs de couche limite δ, de déplacement δ et de quantité de mouvement θ. En l absence de gradient de pression, une couche limite turbulente se développant sur plaque plane est caractérisée par H = 1, 4. U(y = δ) = 0, 99U δ 1 = ( δ 0 1 U ) dy U θ = ( δ 0 1 U ) U dy U U (1.15) Si P x H = δ 1 /θ < 0, l écoulement dans la couche limite est accéléré, le facteur de forme tend à diminuer et converger vers 1 et les frottements augmentent. D un autre côté si P x > 0, l écoulement est ralenti. Le coefficient de frottement pariétal diminue et le facteur de forme augmente. On observe cette évolution jusqu au décollement où le coefficient de frottement change de signe. A ce moment le facteur de forme atteint une valeur critique. Cette valeur n est pas constante et varie entre 2,5 et 3,5. Classiquement la valeur de 2,3 est retenue comme critère. La figure 1.10 nous présente les effets du forçage du mélange, sur les épaisseurs intégrales, dans une couche limite soumise à un gradient de pression. On remarque qu après une hausse des valeurs de δ 1 et θ due aux artifices, les courbes rejoignent celles obtenues avec l écoulement de base et passent même en dessous. Cet effet se retrouve sur le facteur de forme qui possède une évolution beaucoup plus lente avec les VGs. Le décollement est repoussé de x d = 4, 83ft à x d = 7, 25ft. L action des VGs a donc un effet similaire à une réduction du gradient de pression positif. 3.2 Précédentes études expérimentales et utilisations L utilisation des VGs a été historiquement initiée, par Taylor [55], en aéronautique dans les années 40. Ils ont été développés pour limiter le phénomène de décrochage résultant du décollement de l écoulement sur les ailes des avions (figure 1.11). Le placement des ces appendices a pour objectif d agrandir le domaine de vol des avions. Les pilotes peuvent se permettre des incidences plus élevées et des atterrissages à plus faible vitesse par exemple. Les études pour augmenter la portance et réduire la trainée ont également poussé les recherches concernant les VGs. A l origine, il s agissait de petites plaques planes, de taille de l ordre de grandeur de la couche limite, placées en incidence dans le flux d air et normales à la paroi permettant de prévenir les décollements. Mais ces VGs présentaient une trainée induite relativement élevée du fait de leurs dimensions. Le gain obtenu est alors réduit par cette pénalisation. C est pour cette raison que Rao et Kariya [49], inspirés par les travaux de Kuethe [35] et Wheeler [64], ont examiné l influence de VGs immergés dans la couche limite sur un décollement. Un écoulement sur plaque plane subit un gradient de pression positif dû à la divergence de la veine. L angle du toit est tel qu une séparation apparait. Des VGs de hauteur inférieure à 62,5%δ sont comparés à des VGs de taille habituelle à l époque (>δ). En mesurant la pression statique sur la plaque et la pression totale en aval, ils démontrent que des VGs immergés correctement arrangés sont plus performants que les VGs conventionnels.

25 3 Les générateurs de tourbillons 17 Figure 1.10 Influence de générateurs de tourbillons sur les grandeurs intégrales d une couche limite soumise à un gradient de pression. Les courbes rouges en tirets représentent l écoulement de base et les courbes continues bleues l écoulement contrôlé par VG. De bas en haut nous avons les évolutions des épaisseurs de quantité de mouvement θ et déplacement δ 1 et du facteur de forme H = δ 1 /θ. D après Schubauer et Spangender [51]. A la fin du XX ème siècle, de nombreuses études ont alors porté sur l amélioration des capacités des VGs immergés à contrôler les décollements, notamment sur rampe inclinée [27, 37, 38, 39] ou sur bosse [6]. En plus des traditionnelles lames rectangulaires, différents types de VG ont également été analysés tels que des wishbone ou les VG de Wheeler (figure 1.12). Il en ressort tout d abord que les VGs de hauteur entre 10%δ et 30%δ sont plus efficaces que ceux traditionnellement utilisés (hauteur de l ordre de δ) pour corriger les séparations [36]. Du fait de leurs tailles, les VGs immergés réduisent les effet 3D générés par les VGs classiques. Ainsi les variations de pression dans la direction transverse sont moindre. Enfin les plaques fines de forme rectangulaire ou triangulaire sont plus avantageuses que les autres formes testées. A taille équivalente, les wishbones et les doublets de Wheeler ont des aptitudes sensiblement identiques mais sont pénalisés par leur traînée propre. Afin de comprendre l efficacité des tourbillons générés par les plaques minces, leur dynamique est étudiée au début des années Betterton et al. [9], Angele et Muhammad- Klingmamm[4] et Velte et al. [58] examinent l influence de différentes formes dérivées de plaques minces. Betterton et al. [9] mettent en lumière le déplacement des tourbillons dans les directions normales à l écoulement. Ces déplacements sont différents si les tourbillons générés sont co-rotatifs ou contra-rotatifs. Dans le cas des tourbillons co-rotatifs, entre chaque tourbillon se déroulent à la fois l apport d énergie élevée des hautes couches vers la paroi et le rejet de la faible quantité

26 18 CHAPITRE 1. PROBLÉMATIQUE AÉRODYNAMIQUE Figure 1.11 Exemples d utilisations des générateurs de tourbillons dans l aéronautique. Figure 1.12 Différentes configurations historiques de générateurs de vortex. D après Lin [36]. de mouvement à l extérieur de la couche limite. Si deux tourbillons successifs sont trop proches, les deux transferts présentent une zone de cisaillement importante. Le risque est donc de réduire l efficacité des tourbillons dans le cas d une forte densité de VGs. De plus, le frottement latéral induit par la rotation d un tourbillon lui impose naturellement un déplacement normal à l écoulement principal. Le fait que tous les tourbillons possèdent le même sens de rotation impose donc un déplacement global des tourbillons. Ceci ne pose pas de soucis pour des écoulements confinés et présente même des performances intéressantes de cette configuration pour des écoulements dans des conduites circulaires [27, 21]. Avec les VGs contra-rotatifs, les deux "brassages", vers le haut et vers le bas, sont dissociés. Betterton et al. [9] indiquent que les tourbillons, après s être développés et organisés transversalement, tendent à s écarter de la plaque. Ce phénomène est d autant plus visible en l absence de gradient de pression. Les observations de Beaudoin [7] mettent en évidence l existence d une interaction entre deux tourbillons voisins. Les circulations de signes opposés de deux tourbillons consécutifs imposent aux deux tourbillons une vitesse de déplacement normale à la paroi. Suivant les écartements, les tourbillons peuvent soient s écarter soient se rapprocher de la paroi. Dans [23], Godard et Stanislas présentent une étude paramétrique de VGs contra et co-rotatifs. L objectif est de maximiser le frottement en aval d une bosse à l aide d artifices

27 3 Les générateurs de tourbillons 19 triangulaires définis figure 1.13 et proches de ceux utilisés par Lin [36]. Un gain de 200% sur le frottement et une réduction du facteur de forme de 15,6% sont obtenus. Il en ressort que les VGs contra-rotatifs sont les plus efficaces pour les raisons expliquées ci-dessus. La forme des VGs est également déterminante. En effet les éléments triangulaires permettent d augmenter plus fortement le frottement que les rectangulaires. Les paramètres retenus sont présentés dans le tableau 1.1. Les résultats des précédentes études utilisant des plaques fines sont également listés. (a) VG co-rotatif (b) VG contra-rotatif Figure 1.13 Paramétrisation des configurations de VG d après Godard et Stanislas [23]. Cf min définit la position du frottement minimum i.e. le point de décollement. Lin[36] Betterton et al.[9] Jenkins et al.[27] Godard et Stanislas[23] Géométrie étudiée Rampe Bosse Rampe Bosse Arrangement Contra Contra Co Co Forme Rectangulaire Triangulaire Trapézoïdale Triangulaire h/δ 0,20 0,30 0,20 0,37 X vg /h [5-10] l/h L/h 2 6-2,5 λ/h β pd Table 1.1 Résultats des études précédentes concernant les VG basés sur des plaques minces. 3.3 Termes sources Notre étude s inscrit dans une démarche d optimisation des VGs à l aide de simulations numériques. Les dimensions des VGs préconisées par les études précédentes sont de l ordre de 20% à 30% de l épaisseur de couche limite. Or si des éléments de cette taille devaient être représentés explicitement dans un calcul, ils nécessiteraient un nombre important de mailles. Le temps de calcul deviendrait alors élevé. Cette solution n est pas compatible avec une procédure d optimisation, qui plus est dans un cadre industriel. D autre part, de nombreuses configurations différentes vont être testées et chacune nécessiterait un nouveau maillage. La procédure d optimisation étant automatique, les erreurs pouvant apparaitre dans la générations des maillages et qui engendreraient des divergences dans les calculs seraient difficilement identifiables et corrigibles. De plus le temps nécessaire au pré-traitement augmenterait la durée de la boucle d optimisation. Pour lever les difficultés

28 20 CHAPITRE 1. PROBLÉMATIQUE AÉRODYNAMIQUE inhérentes à ces différents points, une solution développée depuis une quinzaine d années consiste à remplacer les VGs maillés par des termes sources. Une série de modèles a été développée sur le principe de forcer dans le calcul simplement l effet du VG sur l écoulement [63, 56]. Ils proposent d imposer une circulation et un pic de vorticité initiaux dans un plan normal à l écoulement principal. La force et la concentration des tourbillons créés sont dépendantes de la géométrie des artifices utilisés pour les générer. Dans le modèle de Wendt [63], l influence des différents paramètres (incidence, hauteur, espacement...) a alors été calibrée à l aide d une large série de mesures expérimentales sur des écoulements d entrée d air[3]. Les VGs utilisés avaient une hauteur de l ordre de l épaisseur de la couche limite et un faible rapport d aspect. Pour s affranchir de ces limitations, Törnblom et Johansson [56] utilisent la théorie des profils minces pour calculer la dépendance aux VGs étudiés. Malgré des résultats corrects pour un certain nombre de cas [18, 60], ces modèles restent néanmoins trop contraints par la nécessité d estimer la circulation initiale[28] et donc contraints à des formes de VGs pré-évaluées. Le modèle proposé par Bender et al. [8], que nous nommerons par la suite BAY model (acronyme utilisant les initiales des auteurs), impose une force à l écoulement équivalente à celle qu un VG réel appliquerait sur ce même écoulement. Cette force (eq. 1.16), dérivée de la force de portance du VG, dévie donc le fluide pour générer un tourbillon. Elle est imposée dans chacune des cellules concernées par la présence des VGs 3. La force proposée s exprime de la façon suivante : L i = c vg S vg V i V tot γ i ρu 2 i l i (1.16) avec c vg une constante de calibration 4, S vg la surface du VG, V i V tot le rapport entre la cellule i et le volume total des cellules dans lesquelles est imposé le terme source, γ i l angle entre l écoulement local et le VG, ρ la masse volumique du fluide, U i la norme de la vitesse locale et l i le vecteur unitaire définissant la direction de la force. Bender et al. [8] utilisent ce modèle pour le contrôle d un décollement dans une canalisation en S. Ils comparent alors leurs résultats de calculs à ceux d Anderson et Gibb[3], obtenus expérimentalement et à l aide de simulations avec des VG maillés. Les résultats issus des trois méthodes présentent un très bon accord concernant la correction de l inhomogénéité du champs de pression dans la canalisation sur une section donnée. Le modèle montre donc sa capacité à contrôler un écoulement présentant une séparation. Le BAY model connait alors un engouement important et principalement dans le milieu aéronautique. Les travaux de Allan et al. [2] et Waithe [62, 61] analysent le comportement d un VG seul sur plaque plane. Ils confrontent des résultats numériques obtenus avec les termes source à ceux obtenus avec des VGs maillés et des mesures expérimentales. Le suivi de la position du centre du tourbillon et son intensité en aval du VG témoignent des capacités du BAY model à se substituer à un VG explicitement présent dans le maillage. Waithe [61] confirme également les conclusions de Bender et al. [8] sur l influence des termes sources sur l écoulement d une conduite en S. L étude d écoulements plus complexes conforte les aptitudes de modèle de Bender et al.. Johansen et al.[29] et Chima[15] manipulent des écoulements autour de pales de rotor de compresseurs. Les termes sources reproduisent de manière remarquable les modifications observées avec des VGs maillés. Dudek[19] étudie l écoulement sur une plaque plane modifié par un VG isolé. Des simulations numériques sont réalisées avec un VG maillé, avec le modèle de Wendt et 3. Nous reviendrons par la suite sur la méthode utilisée pour sélectionner les cellules. 4. La détermination de cette constante sera étudiée plus en détails dans la suite.

29 3 Les générateurs de tourbillons 21 avec le BAY model. Les résultats obtenus expérimentalement sont mis en parallèle et l évolution du tourbillon est analysée en traçant des cartographies de vitesse et de vorticité à différentes positions en aval du VG. Il ressort de cette comparaison que le BAY model est le modèle qui obtient les résultats les plus proches de ceux des calculs avec VG maillés et des tests expérimentaux. Nous utiliserons donc le BAY model dans la suite de ce travail.

30

31 Chapitre 2 Méthodes d évaluation des solutions aérodynamiques Dans ce chapitre, nous souhaitons donner les éléments qui nous ont permis de prédire les solutions numériques des différentes configurations étudiées. La première partie est consacrée à la présentation du cadre numérique dans lequel nous nous plaçons. La méthode de résolution des équations de mécanique des fluides par le solveur CFD y est détaillée ainsi que la modélisation des VGs par termes sources. La deuxième partie est consacrée à la calibration du modèle en étudiant des configurations de VGs sur plaque plane. Dans la dernière partie, les écoulements manipulés par les termes sources sont comparés à des simulations numériques réalisées avec des VGs maillés et à des expériences menées en soufflerie. 1 Méthodes numériques et modélisations 1.1 Logiciels utilisés Code CFD Ces travaux se déroulant dans un cadre industriel, nous utilisons donc le solveur de mécanique des fluides (ou code CFD, Computational Fluid Dynamics) utilisé au sein de PSA Peugeot Citoën. Ainsi l ensemble des simulations est réalisé avec le logiciel commercial Fluent. La résolution des équations de Navier-Stokes se fait par volumes finis. La méthode numérique et les modélisations utilisées dans ce travail sont néanmoins décrites dans cette section. Mailleurs Nous utilisons également les logiciels en vigueur chez PSA Peugeot Citroën. Le maillage surfacique est réalisé à l aide de Ansa et le volumique avec T-Grid. 1.2 Modélisation de la turbulence La résolution directe des équations de Navier-Stokes (Direct Numerical Simulation ou DNS) pour des écoulements turbulents est extrêmement couteuse en temps. En effet, de telles simulations nécessitent des maillages très fins pour résoudre toutes les échelles de la turbulence ainsi qu un petit pas de temps, donc un nombre d itérations et un temps de calcul importants. Les capacités de calculs actuelles ne permettent pas leur utilisation dans le cadre d un processus d optimisation. Une seconde possibilité est de séparer les échelles 23

32 24 CHAPITRE 2. MÉTHODES D ÉVALUATION DES SOLUTIONS AÉRODYNAMIQUES de la turbulence en deux : les grosses échelles sont résolues alors que les plus petites sont modélisées, c est l approche LES (Large Eddy Simulation). Cette solution est également, pour le moment, inadaptée pour un usage dans une boucle d optimisation pour les mêmes raisons que la DNS. Dans cette thèse, nous nous concentrons sur une décomposition en un mouvement moyen et un mouvement fluctuant qui est résolu par une approche statistique. Les équations de Navier-Stokes sont alors écrites à l aide d une décomposition en moyenne de Reynolds (RANS pour Reynolds Average Navier-Stokes) permettant d exprimer les grandeurs de l écoulement (pression, vitesse,...) comme la somme d un champs moyen (u = [< U >= u, < V >= v, < W >= w], < P >= p,...) 1 et de fluctuations temporelles (u = [u, v, w ], p,...). En stationnaire, on obtient alors les équations suivantes pour le champs moyen : u = 0 (u ) u = 1 ρ p + ν u < u u > (2.1) Le dernier terme de l équation 2.1 provient de la non-linéarité des équations de Navier- Stokes. Il traduit l influence de la turbulence sur le champs moyen et est appelé tenseur de Reynolds : τ t = ρ < u u > (2.2) τ t ajoute six nouvelles variables 2 dans l équation 2.1. Nous avons alors un problème ouvert de quatre équations à dix inconnues. Il est donc nécessaire de trouver une fermeture au système Fermetures à l aide des tensions de Reynolds (Reynolds Stress Model ou RSM) Les équations de transport pour les tensions de Reynolds s écrivent de la manière suivante : avec : D Dt < u iu j >= P ij D ij + ξ ij + ξ ji + x l J ijl (2.3) P ij = < u i u l > u j x l < u j u l > u i x l D ij = 2ν < u i x l u j ξ ij =< p ρ u i x j > x l > J ijl = < u i u j u l > < p ρ Production Dissipation Corrélation pression vitesse ( ) u i δ jl + u j δ il > Diffusion (2.4) Le système 2.3 ne résout pas entièrement le problème de fermeture. La dérivée particulaire ainsi que le terme de production font intervenir uniquement les inconnues principales 1. On définit l opérateur moyenne temporelle < > par < A > (x) = lim A(x, t)dt ou par une T 0 moyenne d ensemble < A > (x) = 1 A n(x). N N 2. Le tenseur de Reynolds étant symétrique < u iu j >=< u ju i >, il n y a donc pas neuf termes à déterminer mais uniquement six. 1 T T

33 1 Méthodes numériques et modélisations 25 du problème que sont le gradient de vitesse et les tensions de Reynolds. Ils sont donc obtenus directement. Par contre les trois autres termes font apparaitre de nouvelles corrélations. Afin d aboutir à la fermeture du système, les différents modèles développés 3 adjoignent aux dix équations déjà présentes, une équation de transport sur le taux de dissipation de l énergie cinétique turbulente moyenne ε. Au final le modèle RSM est donc composé de onze équations (quatre équations de Navier-Stokes + six équations sur les tensions de Reynolds + une équation sur le taux de dissipations de l énergie cinétique) avec onze inconnues (p, u i, < u i u j > et ε). Afin d obtenir une bonne représentation des zones proches de la paroi où il y a une forte activité turbulente et de forts gradients de vitesse, un maillage très fin doit être généré dans ces régions. La principale limitation du modèle RSM est donc son temps de calcul. Etant dans une procédure d optimisation, nous devons opter pour des modèles moins sophistiqués nécessitant moins d équations. Nous nous intéressons donc aux fermetures à deux équations Fermeture à l aide de la viscosité turbulente Une réduction du nombre de variables est obtenue dans un premier temps en utilisant l hypothèse de Boussinesq[10] reliant les contraintes turbulentes au taux de déformation moyen en introduisant la notion de viscosité turbulente ν t : τ t = ρν t ( u ) + u T 2 ρkī (2.5) 3 où k = <u u > 2 est l énergie cinétique turbulente. A l aide de cette approximation, le système passe de dix inconnues à six. Différents modèles ont été développés afin de fournir les équations nécessaires pour sa fermeture. Modèles à deux équations Ces modèles reposent sur le fait que le viscosité turbulente peut s exprimer dimensionnellement comme le produit entre une échelle de longueur l et une échelle de vitesse ũ caractéristique de la turbulence [14] : ν t ũ l (2.6) Les modèles à deux équations consistent donc à déterminer deux variables représentant ces échelles de longueur et de vitesse. Il apparait facilement que l échelle de vitesse est obtenue à partir de l énergie cinétique turbulente k [16]. L une des deux équations est alors très souvent une équation de transport sur k (équation 2.7) obtenue en exprimant l équation 2.3 pour la trace du tenseur de Reynolds. Dk Dt = P k + ( ( ) ) νt k + ν ε (2.7) x j σ k x j où σ k est une constante ayant été fixée expérimentalement, ε est le taux de dissipation de l énergie cinétique turbulente et P k représente le terme de production qui s exprime de la manière suivante : ( u j ui P k = ν t + u ) j (2.8) x i x j x i 3. Ces différents modèles sont présentés en détails dans Chassaing[14] et Cousteix[16]

34 26 CHAPITRE 2. MÉTHODES D ÉVALUATION DES SOLUTIONS AÉRODYNAMIQUES La présence de ε dans l équation de k amène donc naturellement à la considérer comme expression de l échelle de longueur et la viscosité turbulente s écrit en fonction de k et ε [31] : k 2 ν t = C ν (2.9) ε avec C ν une constante qui trouve une valeur théorique en turbulence énergétique d équilibre entre production en dissipation[14, 16]. Finalement la fermeture est obtenue en écrivant une équation sur ε, par analogie à l équation sur k : Dε Dt = C ε ε1 k P k + [ ( ) ] νt ε ε 2 + ν C ε2 (2.10) x j σ ε x j k C ε1 C ε2 C ν σ k σ ε 1,44 1,92 0,09 1,0 1,3 Table 2.1 Constantes déterminées expérimentalement et classiquement retenues pour le modèle k-ε [16]. D autres propositions ont été faites pour le choix de l échelle de longueur et notamment le taux dissipation spécifique ω [33]. La viscosité turbulente est alors exprimée suivant l équation 2.11 et une formulation de l équation sur ω est proposée par Wilcox [65]. ν t = k ω (2.11) Dω Dt = C ω ω1 k P k + x j [ ( ) ] νt ω + ν C ω2 ω 2 (2.12) σ ω x j C ω1 C ω2 σ k σ ω 5/9 3/40 2,0 2 Table 2.2 Constantes déterminées expérimentalement et classiquement retenues pour le modèle k-ω [48]. Les modèles k-ε et k-ω sont alors constitués de six équations (quatre équations de Navier-Stokes + une équation sur k + une équation sur ε ou ω) avec six inconnues (p, u i, k, ε ou ω). De part sa modélisation de la sous-couche visqueuse et sa bonne prise en compte de l influence des gradients de pression notamment adverses, le modèle k-ω permet une meilleure représentation des écoulements de proche paroi que le modèle k-ε [48]. Par contre il est très sensible à la valeur imposée pour ω à la frontière de la couche limite et présente une moins bonne performance que le modèle k-ε [42, 14]. Afin de combiner les avantages des deux approches, Menter [43] développa le modèle k ω SST (Shear-Stress Transport). Il consiste à utiliser le modèle k ω en proche paroi et, progressivement, lorsque l on s écarte de la surface, transiter vers le modèle k ε. Les équations considérées sont de la même forme que les équations 2.7 et 2.11 et s écrivent de la manière suivante :

35 1 Méthodes numériques et modélisations 27 Dk Dt = P k + ( ( ) ) νt k + ν C ν kω x j σ k x j Dω Dt = C ω ω1 k P k + [ ( ) ] νt ω + ν C ω2 ω 2 k ω + 2(1 F 1 )σ ω,ω x j σ ω x j x j x j (2.13) On peut remarquer l apparition dans l équation de ω d un terme supplémentaire de diffusion améliorant la prédiction dans la zone transitoire. La fonction F 1 permet la transition d un modèle à l autre. Elle vaut un à la paroi et zéro en dehors de la couche limite. Elle est définie par l équation { F 1 = tanh min [ max avec z la distance normale à la paroi et : ( k C ν ωz, 500ν ) ]} 4 4k ωz 2, σ ω,ε C kω z 2 (2.14) C kω = max ( 2 1 ) 1 k ω, σ ω,ǫ ω x j x j (2.15) La fonction F 1 est également utilisée pour définir chacun des paramètres du modèle par combinaison linaire des valeurs pour les zones "k-ε" et "k-ω" : ψ = F 1 ψ,ω + (1 F 1 )ψ,ε (2.16) où ψ,ω est une constante du modèle k-ω et ψ,ε est une constante du modèle k-ε dont les valeurs sont listées dans le tableau 2.3. L expression de la viscosité turbulente est également modifiée afin de réduire sa surestimation en proche paroi observée par Menter [43] : avec F 2 définit par l équation 2.18 : ν t = a 1 k max (a 1 ω, ΩF 2 ) [ ( k F 2 = tanh max 2 C ν ωz, 500ν )] 2 z 2 ω (2.17) (2.18) modèle C ω1 C ω2 C ν σ k σ ω a 1 κ k-ω C ω2,ω σ ω,ωκ 2 C ν Cν 0,075 0,09 1, ,31 0,41 k-ε C ω2,ε σ ω,εκ 2 C ν Cν 0,0828 0,09 1 1,168 0,31 0,41 Table 2.3 Constantes classiquement retenues pour le modèle k-ω SST [42, 43].

36 28 CHAPITRE 2. MÉTHODES D ÉVALUATION DES SOLUTIONS AÉRODYNAMIQUES Modèle à une équation Spalart et Allmaras [52] ont développé un modèle à une équation noté modèle SA (voir annexe A). La fermeture du problème est composée de cinq équations (quatre équations de Navier-Stokes + une équation sur la viscosité turbulente) à cinq inconnues (p, u i, ν t ). Ce modèle a été initialement développé pour l aéronautique et des écoulements majoritairement 2D attachés. Il a cependant montré une certaine capacité à représenter les écoulements soumis à un gradient de pression [20]. Allan et al. [2] ont comparé des simulations réalisées avec le BAY model en utilisant le modèle k w SST d une part et le modèle S-A de l autre. En analysant la position, l intensité et l évolution des tourbillons créés, ils montrent que le modèle à deux équations k w SST présentent de meilleurs résultats. Nous avons donc opté pour ce modèle dans le reste de l étude. 1.3 Résolution numérique Dans ces travaux nous utilisons le code numérique Fluent, logiciel CFD en vigueur chez PSA Peugeot Citroën. Il s agit d un solveur utilisant la méthode des volumes finis pour la résolution des équations de conservation de la masse et de quantité de mouvement. Nous l utilisons ici pour étudier des écoulements incompressibles, stationnaires et iso-thermes Présentation de la méthode La figure 2.1 présente la démarche suivie par Fluent, au cours d une itération, pour la résolution des équations de Navier-Stokes. Une boucle est constituée des étapes suivantes : 1. A partir de l initialisation puis de l itération précédente, les propriétés du fluide (la viscosité turbulente par exemple) sont mises à jour. 2. Les équations discrètes sur la vitesse et la pression sont résolues de manière couplée. Elles seront détaillées dans la suite. 3. A partir des nouveaux champs de pression et de vitesse, les flux de masses aux travers des faces des cellules sont mis à jour. 4. Les équations discrètes sur le transport des quantités turbulente sont résolues. 5. La convergence du calcul est contrôlée en s assurant de la baisse des résidus d une itération à l autre. Des grandeurs physiques, la traînée par exemple, sont également suivies Calcul du bilan de masse Fluent stocke l ensemble des variables au centre des cellules c i c est à dire aux points points p i de la figure 2.2. La discrétisation de l équation de bilan de masse (équation 1.2) fournit la relation Il est par ailleurs nécessaire de calculer la valeur des différents scalaires sur les faces des cellules. Différents schémas de discrétisation spatiale sont employés. La figure 2.2 définit les notations utilisées dans la suite de cette section. N f J f S f = 0 (2.19) f

37 1 Méthodes numériques et modélisations 29 Figure 2.1 Schéma général d une itération de résolution numérique [20]. Figure 2.2 Volume de contrôle pour un maillage 2D non-structuré. avec N f le nombre de faces de la cellule, S f = S f n f le vecteur surface de chacune des faces f de normale unitaire n f et de mesure S f. J f représente le flux massique à travers la face f (équation 2.20). J f = ρ f a p,c0 u n,c0 + a p,c1 u n,c1 a p,c0 + a p,c1 + d f ((p c0 + ( p) c0 r 0 ) (p c1 + ( p) c1 r 1 )) (2.20) avec p ci et u n,ci la pression et la vitesse normale à la face f au centre des deux cellules i. Les coefficients a p,ci proviennent de la linéarisation de l équation de quantité de mouvement. Par exemple suivant l axe x, on obtient : N c a p u = a c u c + p f S f x (2.21) c avec N c le nombre de cellules voisines. d f est une fonction de a p, la moyenne des a p,ci des deux cellules adjacentes. N f f

38 30 CHAPITRE 2. MÉTHODES D ÉVALUATION DES SOLUTIONS AÉRODYNAMIQUES Schéma au premier ordre L utilisation d un schéma spatial au premier ordre au cours des premières itérations permet une pré-convergence rapide du calcul. Dans ce cas, la valeur du scalaire φ dans la cellule c 0 est supposée uniforme dans toute la cellule. La valeur φ f de φ sur la face f est alors prise égale à celle de la cellule amont. La notion de cellule amont est définie par le sens du vecteur vitesse u n normal à la face f. Schéma au second ordre Pour obtenir une meilleure précision, un schéma au second ordre est appliqué pour la détermination des variables sur les faces. φ f est alors calculé suivant l équation φ f = φ c0 + ( φ) c0 r 0 (2.22) Evaluation des gradients Le calcul des gradients dans la cellule c 0 est réalisé est utilisant le théorème de Green- Gauss (équation 2.23). ( φ) c0 = 1 V c0 N f φ f S f (2.23) avec V c0 le volume de la cellule c 0 et φ f la valeur de φ au centre de la face f. Par défaut, φ f est prise comme la moyenne arithmétique des valeurs de φ dans les deux cellules adjacentes. Mais dans le cas de maillage non-structuré, il est préférable de prendre φ f comme la moyenne de valeur de φ aux nœuds de la face (équation 2.24). f φ f = 1 N nd φ nd (2.24) N nd avec N nd le nombre de sommets de la face, φ nd, la valeur de φ au nœud nd, est égale à la moyenne pondérée des valeurs de φ des N Cnd cellules qui entourent le nœud. Cnd nd φ nd = 1 N Cnd ω Cnd φ Cnd (2.25) N Cnd Les poids ω Cnd sont basés sur les distances et les diffusivités des N Cnd cellules Couplage pression-vitesse Le solveur Fluent permet de résoudre en simultané les équations de quantité de mouvement, pour l obtention du champs de vitesse, et une équation de pression, en prenant la divergence des équations de quantité de mouvement, qui assure la divergence nulle de vitesse. Discrétisées et linéarisées, les équations fournissent un système où la pression et la vitesse sont couplées (système 2.26). Comparée à une méthode à pas fractionnaires, la résolution couplée permet d obtenir une convergence plus rapide et plus robuste. La contre partie est une augmentation de la capacité mémoire nécessaire. j k j a u ku k ij u kj + j a pu k ij u kj + j a u kp ij p j = b u k i a pp ij p j = b p i (2.26)

39 1 Méthodes numériques et modélisations 31 u kj et p j sont respectivement la composante k de la vitesse et la pression dans la cellule j. Les termes a u ku k ij, a u kp ij représentent respectivement l influence de la composant k de la vitesse et la pression de la cellule j sur la composante de vitesse k de la cellule i. Les termes a pu k ij, a pp ij représentent respectivement l influence de la composant k de la vitesse et la pression de la cellule j sur la pression de la cellule i. Le système 2.26 peut alors s écrire sous la forme matricielle A ij X j = B i (2.27) avec A ij la matrice des coefficients de linéarisation (équation 2.28), X j les inconnues (équation 2.29) et B i les résidus (équation 2.30). A ij = a pp ij a up ij a vp ij a wp ij a pu ij a uu ij a vu ij a wu ij X i = B i = p i u i v i w i r p i r u i r v i r w i a pv ij a uv ij a vv ij a wv ij a pw ij a uw ij a vw ij a ww ij (2.28) (2.29) (2.30) Le système d équation 2.27 est résolu itérativement par une méthode de Gauss-Seidel. 1.4 Conditions aux limites Dans la suite de ce manuscrit nous utilisons un certain nombre de conditions aux limites différentes. Nous regroupons leur description générale ici. Nous les spécifierons pour chaque cas-test. Vitesse imposée en entrée Pour toutes les simulations nous imposerons une vitesse stationnaire en entrée de domaine. La vitesse imposée est soit uniforme sur l ensemble de la frontière soit issue de mesures expérimentales, en précisant un profil. Condition de pression en sortie Un gradient de pression statique nul est maintenu à la sortie du domaine. Adhérence à la paroi Une vitesse nulle est imposée à la paroi ainsi qu un gradient de pression normal à la paroi nul. Symétrie Cette condition impose à la frontière une vitesse normale et des gradients normaux nuls pour toutes les variables.

40 32 CHAPITRE 2. MÉTHODES D ÉVALUATION DES SOLUTIONS AÉRODYNAMIQUES Périodicité Cette condition est imposée par paire de frontières. En considérant que les faces des cellules sont alignées avec les frontières, elle impose que le flux sortant de l une est égale au flux entant de l autre. Ainsi les valeurs dans une cellule adjacente à la frontière 1 sont calculées en prenant en compte les données de sa "voisine" qui est une cellule adjacente de la frontière Modélisation des générateurs de vortex par termes sources Fonctionnement et formulation Pour leur modèle, Bender et al. ont appliqué de manière heuristique l expression de la force de portance d une plaque plane où d une aile d avion en incidence α (équation 2.31). L = 1 2 ρu2 SCz α α (2.31) Ainsi, d après le principe d action/réaction, si l air impose une force sur le VG, le VG impose une force d intensité équivalente et de sens opposé. Le BAY model génère donc une force L (équation 2.32) dans l écoulement identique à celle générée par un VG maillé. Cette force va créer une déviation similaire à celle de VGs explicitement présents dans la simulation. L = c vg S vg γρ u 2 l (2.32) c vg est une constante nécessitant une calibration (voir 2.3), S vg représente la surface du VG, γ est l angle d incidence entre le VG et la vitesse locale u, le vecteur unitaire définissant la direction de la force est noté l, enfin ρ représente la masse volumique du fluide. Etant donnée que l intensité de la force dépend de l angle entre u et le plan du VG, elle s ajuste à chaque itération. Le BAY model fonctionne comme un guide qui oriente le fluide comme des rails guide un train. A partir du moment où l écoulement local n est plus aligné avec le VG, la force ramène le fluide dans la bonne direction. Elle change alors régulièrement de signe suivant que l écoulement est trop ou pas assez dévié i.e. suivant les oscillations de γ autour de 0 (écoulement aligné). γ conserve des valeurs faibles, il est alors possible de l exprimer à l aide de la normale n du VG (figure 2.3) en utilisant l approximation des petits angles : γ sinγ = u n u, (2.33) La direction de la force est prise comme normale à u ainsi qu au vecteur unitaire b définissant l orientation de l envergure du VG (figure 2.3). Ainsi, nous pouvons définir l dans le repère local du VG : l = u b. (2.34) u Un terme supplémentaire est ajouté dans l écriture du terme source afin d assurer la décroissance de la force à incidence élevée (perte de portance de l aile à forte incidence). Ainsi l équation 2.32 s écrit : ( ) u L = c vg S V G ρ(u n)(u b) u t. (2.35) avec t le vecteur unitaire définissant la direction de la corde du VG et complétant le repère direct (n, b, t).

41 2 Présentation et calibration du BAY model 33 Figure 2.3 Repère local du VG Implantation dans le logiciel de simulation La force est ajoutée comme un terme source dans les équations de quantité de mouvement (équation 2.36) à l aide d une UDF (User Defined Function) que nous avons développée dans Fluent et appelée à chaque itération du solveur fluide. (u ) u = 1 ρ p + ν u + L ρ (2.36) La force n est imposée que dans les volumes de contrôle concernés par la présence des VGs. Elle s exprime donc de la manière suivante pour une cellule i : V i V tot ( ) V i ui L i = c vg S V G ρ(u i n i )(u i b i ) V tot u i t i. (2.37) est le rapport entre le volume de la cellule i et le volume total des cellules dans lesquelles est imposé le terme source. Il est ajouté afin d assurer une répartition uniforme de la force. 2 Présentation et calibration du BAY model Cette partie a pour objectif de valider les capacités du BAY model à se substituer à des VGs maillés. Avant de comparer les résultats obtenus par les deux stratégies, il est nécessaire de calibrer la constante c vg et la méthode de sélection des cellules. 2.1 Géométrie d étude Afin de nous concentrer sur le comportement des tourbillons, nous étudions l influence sur l écoulement de VGs fixés sur une plaque plane (figure 2.4). Trois configurations différentes sont considérées (tableau 2.4 et figure 2.5). VG115 et VG125 nous permettent d étudier la dépendance de la constante c vg à α dans le cas d un VG isolé. VG415 nous donne la possibilité de valider le comportement collectif des VGs en utilisant deux paires de VGs contra-rotatifs (figure 2.4). Le domaine de calcul est une boite rectangulaire de longueur A et de hauteur H. La largeur W est adaptée afin de conserver une distance entre les VGs et les parois suffisante pour éviter les effets de bords. Ainsi elle est de 10δ pour les configurations VG115 et VG125 et de 13δ pour la configuration VG415 (tableau 2.4). 2.2 Mise en place des simulations Un maillage surfacique triangulaire non-structuré recouvre la plaque. Les mailles ont une taille caractéristique de 10 2 δ. Le maillage volumique résulte d une extrusion de la

42 34 CHAPITRE 2. MÉTHODES D ÉVALUATION DES SOLUTIONS AÉRODYNAMIQUES Figure 2.4 Domaine de calcul pour l étude des VGs sur plaque plane. (a) Forme (b) Arrangement Figure 2.5 Paramètres définissant un arrangement de générateurs de tourbillons. Designation VG115 VG125 VG415 Configuration simple simple 2 paires de VGs contra-rotatifs α β Z 0 /δ 0,3 0,3 0,3 c/δ d/δ N.A. N.A. 0,6 l/δ N.A. N.A. 2,5 A/δ H/δ W/δ Table 2.4 Configurations de VGs testées et dimensions du domaine de calcul. L épaisseur de couche limite δ considérée est mesurée en entrée de domaine (tableau 2.5). plaque à la frontière supérieure du domaine. La première maille est d épaisseur δ z = δ afin de respecter z + < 1 pour éviter l emploi d une loi de paroi. Un facteur de grossissement de 1,1 est imposé pour assurer une augmentation régulière de la taille des volumes de contrôle dans la direction z normale à la plaque. Au final, le maillage est constitué de mailles. Nous choisissons les conditions aux limites suivantes : Entrée : Nous imposons en entrée une vitesse de 34 m.s 1. Le profil est obtenu numé-

43 2 Présentation et calibration du BAY model 35 riquement en laissant se développer la couche limite sur une plaque plane. Il est mesuré 2m après le déclenchement de la couche limite. Nous comparons ce profil au profil analytique de Monkewitz et al. [44] (voir annexe B). La figure 2.6 nous montre une très bonne concordance entre les deux profils (tracés en unité de paroi (z + = zu τ /ν et u + = u/u τ avec u τ = (ν u/ z wall ) 1/2 la vitesse de frottement pariétal). Le tableau 2.5 rapporte les grandeurs intégrales de la couche limite. Plafond et sortie : Un gradient de pression statique nul est maintenu. Frontières latérales : Une symétrie est réalisée entre la paroi droite et la gauche. Plaque plane : Condition d adhérence. Figure 2.6 Profil de vitesse moyenne en unités de paroi u + (y + ) avec u τ = (ν u/ z wall ) 1/2 la vitesse de frottement pariétal, z + = zu τ /ν. La courbe représente les données obtenues par CFD. La courbe représente le profil analytique de Monkewitz et al. [44]. U U τ δ δ 1 θ 34 m.s m.s 1 45 mm 5,3 mm 4 mm Table 2.5 Grandeurs intégrales de la couche limite en entrée de domaine. 2.3 Calibration de c vg Démarche Dans la formulation de L (équation 2.35), une constante c vg est présente. Elle conditionne l intensité de la force notamment lors des premières itérations. Bender et al. [8] montrent qu au delà d une certaine valeur de c vg, les tourbillons générés ne sont plus dépendants de la constante. Afin de déterminer cette valeur, nous analysons l écoulement sur la plaque plane manipulé par des VGs. Nous réalisons ici la démarche préconisée par Bender et al.. Il s agit de suivre l évolution du rapport entre la part de l énergie cinétique transverse et celle de l énergie cinétique

44 36 CHAPITRE 2. MÉTHODES D ÉVALUATION DES SOLUTIONS AÉRODYNAMIQUES longitudinale (équation 2.38) en fonction de c vg sur une série de plans perpendiculaires à l écoulement. Cette grandeur permet de quantifier le tourbillon généré par les termes sources. ρ ( v 2 + w 2) da A R k = ρu 2 (2.38) da A avec u, v et w respectivement la composante longitudinale, transversale et verticale de la vitesse. A est l aire de la section transverse à l écoulement Résultats Les différentes configurations ont été simulées pour une gamme de valeurs de c vg comprises entre 1 et 100. c vg est maintenue constante durant chaque simulation. Pour des valeurs plus élevées les calculs divergent car l intensité de la force lors des premières itérations est trop importante. La figure 2.7 montre l évolution de R k en fonction de c vg. Il est intéressant de remarquer que l ensemble des courbes présente la même allure. Une première constatation est donc que c vg n est pas dépendante du nombre de VGs ou de l angle d incidence. La valeur de la constante étant peu dépendante des variations des paramètres testés, il n est alors pas nécessaire de la calibrer à chaque changement de configuration. Deux tendances principales se dégagent. Pour c vg [1; 20], R k est fortement dépendant de c vg. La force n est pas assez intense pour maintenir la déviation suffisante afin de générer les tourbillons. La seconde partie indique un comportement asymptotique. Pour l ensemble des courbes, a partir de c vg = 30, les tourbillons ne sont plus dépendants de la valeur de la constante. Ceci nous indique qu il existe une valeur minimale de la force lors des premières itérations pour initier la déviation de l écoulement. A partir du moment où l angle d incidence local diminue, la force diminue également jusqu à tendre vers 0. Imposer une force plus élevée ne changera donc pas le résultat du calcul convergé. A la vue de ces résultats, pour expliquer le fonctionnement du modèle, il est possible de faire une analogie avec le guidage d un train sur une voie ferrée. En effet, un train est retenu dans la bonne direction car il est en permanence contré dans ses mouvements latéraux par les rails. C est le rôle joué par la force L pour conserver l écoulement aligné écartement des roues avec le VG. Maintenant si le rapport est trop faible, le train ne largeur de la voie conservera pas une trajectoire rectiligne. Il en est de même si c vg est petit. L alignement n est pas suffisamment maintenu. D un autre côté, augmenter c vg est équivalent à élargir la voie. Dans ce cas, le bogie n a pas assez de liberté. En courbe, il est trop contraint et force alors sur les rails. Dans notre cas L "tape" trop fort sur l écoulement et le calcul diverge. Pour le choix de la constante, une valeur adaptée se situe alors dans l intervalle [30; 100]. Afin de nous affranchir des risques de divergence éventuelle lorsque l intensité de la force est maximale (γ = 45 ), nous choisissons pour la suite de l étude c vg = 40. Le choix d une constante plus faible poserait des soucis pour des incidences plus élevées. La force risque d être trop faible pour dévier suffisamment le fluide et générerait des tourbillons d intensité trop faible. L utilisation d une constante "variable" au cours des itérations en fonction de la valeur de γ allongerait le temps des simulations. Cela irait donc dans le sens opposé de la réduction du temps nécessaire pour l évaluation d un candidat dans un processus d optimisation.

45 2 Présentation et calibration du BAY model 37 Figure 2.7 R k vs. c vg La couleur et le type de ligne définissent la configuration de VGs. Ainsi : : VG115 ; : VG415 ; : VG125 Les symboles définissent la distance des plans de mesure par rapport aux VGs Ainsi : : x/δ = 5 ; : x/δ = 10 ; : x/δ = 15 ; : x/δ = Méthodes de sélection des cellules Dans l article original de Bender et al. [8], les termes sources sont imposés par rangées de cellules englobant partiellement ou totalement le VG (figure 2.8(a)). Les cellules marquées ne suivent pas explicitement l orientation de l artifice simulé. Son incidence est exprimée à travers l orientation de la force. Dans [8] et [62], il est démontré que le nombre de rangées choisies ou le raffinement du maillage influencent de manière importante la représentation des générateurs de tourbillons. De plus la modélisation d une série de VGs est problématique. En effet si les générateurs sont trop proches les uns des autres, il y a un chevauchement des zones de sélection. Afin de réduire ces limitations, Jirásek [28] propose une nouvelle technique pour le choix des cellules. En considérant les VGs comme des plaques d épaisseur nulle, il ne retient que les cellules traversées par l artifice (figure 2.8(b)). Les VGs sont immergés dans la couche limite, le maillage y est donc suffisamment fin pour permettre leur fidèle représentation. Par comparaison de résultats numériques, il montre que son modèle prédit très correctement le comportement de VGs maillés à la fois isolés et collectifs. Dans la suite nous utiliserons donc cette stratégie. Dans Fluent, le calcul des variables est réalisé au centre des volumes de contrôle. Ainsi le marquage des cellules impactées par les termes sources se fait en repérant leur centre. Il est donc nécessaire de délimiter une bande autour du VG et toutes les cellules dont le centre y est inclus sont sélectionnées. Sa largeur est donc également à calibrer. Un bande trop fine représenterait un VG poreux. Une bande trop épaisse présenterait les mêmes inconvénients que la stratégie de sélection de Bender et al.. La largeur de la zone de sélection, rendue sans dimension par la taille caractéristique d une maille surfacique, est définie par ω selec. Nos procédons de la même manière que pour la calibration de c vg. Nous suivons l évolution de R k pour ω selec [1; 5] et sur une série de plans. Nous utilisons ici uniquement la configuration VG415. Elle nous permet alors

46 38 CHAPITRE 2. MÉTHODES D ÉVALUATION DES SOLUTIONS AÉRODYNAMIQUES (a) (b) Figure 2.8 Méthodes de sélection des cellules. L image de gauche présente la stratégie de Bender et al. et celle de droite la stratégie de Jirásek. Le position du VG est indiquée par la ligne noire. Les cellules choisies sont grisées. de vérifier qu il n y a pas d effet sur l écoulement dû à des collisions éventuelles entre les zones de sélection. Sur la figure 2.9 sont reportées les mesures de R k. On observe une dépendance vis à vis de ω selec similaire à celle vis à vis de c vg. Lorsque la zone est trop fine, les tourbillons générés ne sont pas assez intenses. Il y a un phénomène de perméabilité des VGs et ils guident moins efficacement l écoulement. Pour des valeurs de ω selec > 2 on atteint un régime asymptotique. Une valeur correcte de ω selec doit donc être supérieure à 2. ω selec est pris égal à 3 dans le reste du manuscrit. Figure 2.9 R k vs. ω selec Les symboles définissent la distance des plans de mesure par rapport aux VGs Ainsi : : d/δ = 5 ; : d/δ = 10 ; : d/δ = 15 ; : d/δ = 20 3 Validation du modèle de termes sources Nous cherchons maintenant à valider la substitution par termes sources des VGs présents explicitement dans le calcul. Pour cela les simulations avec des VGs maillés sont comparées à celles utilisant le BAY model. Nous choisissons d étudier l impact de la configuration VG415 sur l écoulement. Nous pourrons alors vérifier que le comportement col-

47 3 Validation du modèle de termes sources 39 lectif des tourbillons est bien représenté. 3.1 Simulation avec VGs maillés Les simulations avec les VGs présents dans le maillage ont été réalisées avec des conditions identiques (modèle de turbulence, conditions aux limites) à celles des simulations avec termes sources (voir 2.2). La principale différence concerne la génération du maillage. Les VGs sont représentés dans le maillage par des surfaces minces (i.e. sans épaisseur), rectangulaires. Nous conservons globalement la même taille pour les mailles surfaciques sur la plaque plane mais un raffinement est appliqué autour des VGs dans la direction normale η au plan des VGs pour conserver un η + < 1. L extrusion des prismes doit être réalisée en deux étapes (figure 2.10). Une première tranche est réalisée, en ajustant la hauteur des dernières extrusions du maillage surfacique, jusqu au bord supérieur du VG. Le reste dans la veine est maillée en extrudant la limite supérieure des derniers prismes de la première extrusion. Le mailleur est obligé de procéder de cette manière pour éviter que le prism-cap (limite supérieure d une extrusion de prismes) reste accroché au sommet des VG une fois celui-ci dépassé. Figure 2.10 Principe de génération du maillage pour un VG maillé. Une condition de paroi sans glissement est imposée sur les VGs. Les cellules de part et d autre du VG ont une face commune s appuyant dessus. Il n est pas possible pour une face d être définie par deux normales, c est pourquoi dans ce cas Fluent crée automatiquement une surface fictive (shadow) possédant une normale opposée au plan original. Ainsi chacune des cellules est définie par l une ou l autre des directions. 3.2 Comparaisons entre VGs modélisés et VGs maillés Une première étude qualitative est réalisée en observant les cartographies de vitesse (figures 2.11 et 2.13) et de vorticité longitudinale (figures 2.12 et 2.14). Une série de plans en aval des VGs, perpendiculaires à l écoulement (x = 5δ, x = 10δ, x = 15δ et x = 20δ), permet de suivre l évolution des tourbillons (figures 2.11 et 2.12). La taille des tourbillons générés par les termes sources ainsi que leur évolution sont quasisimilaires à celles des tourbillons produits par les VGs maillés. A x = 5δ en aval des VGs, les variations de vitesse ne sont pas élevées et les tourbillons sont confinés proche de la paroi. Plus loin en aval, x = 10δ, les tourbillons latéraux se sont écartés vers les bords du domaine et les deux centraux se sont rapprochés vers le centre. Ce mouvement fait qu ils se tassent l un contre l autre et sont contraints à se développer vers le haut. Un champignon caractéristique apparait sur les champs de vitesse longitudinale. Les vitesses élevées sont injectées plus profondément dans la couche limite alors que les faibles vitesses sont éjectées à une hauteur plus élevée. A x = 15δ puis x = 20δ en aval, les tourbillons continuent leur développement mais perdent progressivement de l intensité tout en grossissant. Les deux tourbillons latéraux se comportent comme s ils étaient isolés. Leurs cœurs glissent vers l extérieur latéralement mais restent assez proches de la paroi. Concernant les deux autres, leur interaction induit un mouvement ascendant de leur centre. Ce déplacement

48 40 CHAPITRE 2. MÉTHODES D ÉVALUATION DES SOLUTIONS AÉRODYNAMIQUES se retrouve sur les cartographies de vitesse. Le sommet du champignon est plus haut et les vitesses y sont moins faibles. Par contre, la zone d augmentation de vitesse est élargie grâce l écartement des tourbillons latéraux. En analysant un plan parallèle à la plaque plane et à une hauteur z = δ/3, on visualise bien les trajectoires des tourbillons externes suivant y et leur épanouissement en fonction de x (figure 2.14). Le mouvement suivant z des tourbillons centraux est également observable. Les deux zones centrales de vorticité intense, en valeur absolue, s amincissent plus rapidement que les deux autres. La figure 2.13 montre également les constations précédentes au sujet des vitesses. Les zones de sur-vitesse (en jaune) s élargissent et celle de sous-vitesse (en bleu) au centre se réduit lorsque l on se déplace en aval. Les principales différences entre les tourbillons créés par des VGs maillés et ceux créés par les termes sources se situent dans une région proche des VGs (x < 5δ). Les centres des tourbillons sont moins intenses et le brassage de l écoulement est moins important avec les termes sources. Les vitesses sont moins faibles entre les tourbillons (figures 2.11 et 2.12). Mais rapidement ces écarts diminuent (x = 10δ) puis disparaissent (x > 15δ). Avec les figures 2.15 nous nous concentrons maintenant sur les profils de vitesse à l intersection des plans verticaux avec le plan horizontal. Les courbes issues des deux simulations se superposent correctement pour l ensemble des positions à partir de x = 10δ. On peut notamment remarquer que l inflexion que l on observe au niveau du pic central de déficit de vitesse à x = 10δ se retrouve sur les deux tracés. La même constatation peut-être faite pour les changements de pente de ce même pic à x = 15δ. Pour x < 10δ, nous retrouvons le déficit de vorticité avec les termes sources et donc un brassage moins important. Ces écarts peuvent s expliquer par le changement de condition à la limite dans la zone des VGs. En effet, les VGs maillés imposent une condition de non glissement sur leur surface qui est absente dans le corps de l écoulement lorsque nous utilisons le BAY model. L adhérence de l écoulement sur les VGs crée un fort cisaillement et alimente alors la vorticité initiale des tourbillons. Mais ces écarts s atténuent rapidement lorsqu on se place plus loin en aval. Le suivi des pics de vorticité des tourbillons centraux (figures 2.16) confirme ces constatations. 10δ après les VGs, les maxima d intensité (figure 2.16(a)) ainsi que leur déplacement ascendant (figure 2.16(b)) présentent moins de 10% d écart entre les deux stratégies. Même proche des VGs les niveaux ne sont pas si éloignés (moins de 25% de différence). Le déplacement des tourbillons indique que leur interaction est correctement prédite. Dans cette partie nous avons démontré que des générateurs de tourbillons maillés peuvent être parfaitement représentés par des termes sources issus du BAY model. Les résultats obtenus sont identiques en dehors d une zone très proche des VGs (x/δ < 5). Cependant cette validation reste numérique. Il est important de vérifier maintenant que les tourbillons issus des termes sources sont également représentatifs de ceux générés expérimentalement. Cette comparaison est présentée au paragraphe suivant sur une géométrie de volet incliné. 3.3 Ecoulement sur le volet incliné Nous nous intéressons ici, à une géométrie simple représentant la partie arrière d une automobile. Comme nous l avons précisé en introduction, nous souhaitons contrôler la séparation ayant lieu sur la lunette arrière du véhicule. Ce décollement et le déficit de pression qu il génère sont les raisons d une grande partie de la trainée du véhicule. L objectif de cette section est de comparer l efficacité des tourbillons générés par les termes sources sur la zone décollée aux VGs expérimentaux.

49 3 Validation du modèle de termes sources x = 5δ 41 x = 10δ x = 15δ x = 20δ VGs gridded VGs modeled u/u Figure 2.11 Cartographies de vitesse longitudinale u/u pour quatre positions en aval des VGs. x = 5δ x = 10δ x = 15δ x = 20δ VGs gridded VGs modeled ωx (s 1 ) Figure 2.12 Cartographies de vorticité longitudinale ωx pour quatre positions en aval des VGs. VGs gridded VGS modeled u/u Figure 2.13 Cartographies de vitesse longitudinale u/u à z = δ/3. VGs gridded VGS modeled ωx (s 1 ) Figure 2.14 Cartographies de vorticité longitudinale ωx à z = δ/3.

50 42 CHAPITRE 2. MÉTHODES D ÉVALUATION DES SOLUTIONS AÉRODYNAMIQUES x = 5δ x = 10δ x = 15δ x = 20δ Figure 2.15 Profils de vitesse longitudinale u/u pour quatre positions en aval des VGs à z = δ/3. Les courbes bleues représentent les simulations avec le BAY model. Les courbes rouges représentent les simulations avec les VGs maillés Dispositif expérimental et moyens de mesure Soufflerie Pour ces essais nous avons utilisé le Banc de Recherche en Aérodynamique et THermique (BREATH) de PSA Peugeot-Citroën à Vélizy-Villacoublay. Il s agit d un soufflerie à retour avec une veine de mesure à section carrée de côté 300 mm et de 800 mm de long. Le taux de contraction du convergent en amont de la section de test est de 8. La vitesse imposée est comprise entre 7 m.s 1 et 45 m.s 1 et la température est maintenue constante à ±0,5 K par une régulation. Mesure de la vitesse Nous utilisons un système de vélocimétrie par images de particules (ou PIV pour Particle Image Velocimetry). Le principe de la PIV est d ensemencer l écoulement avec de fines particules et de prendre des paires de photos à intervalles très courts afin de mesurer le déplacement des particules. La taille et la masse des particules employées sont choisies

51 3 Validation du modèle de termes sources 43 (a) Intensité (b) Déplacement ascendant Figure 2.16 Suivis de l intensité et de la position des centres de vorticité des tourbillons centraux. Les courbes bleues représentent les simulations avec le BAY model. Les courbes rouges représentent les simulations avec les VGs maillés. Les courbes vertes désignent la différence entre les deux méthodes et se reportent sur l axe de droite. Les lignes continues indiquent les valeurs pour le tourbillon de vorticité positive et les lignes pointillées pour le tourbillon de vorticité négative. des telle sorte qu on les suppose suivre les lignes de courant. On obtient alors un champs de vitesse de la zone étudiée. Techniquement, afin de cibler un plan précis, une nappe laser de 1 mm d épaisseur illumine la zone de test à l endroit souhaité et une caméra est placée perpendiculaire à la nappe pour prendre les photos. L ensemble du matériel se trouve à l extérieur de la veine et les accès optiques se font par des parois vitrées. Le système Dantec utilisé est géré pour le logiciel Dynamic Studio. Deux lasers (un pour chacun des pulses de 10 ns) Nd :Yag délivrent 120 mj par pulse pour générer la nappe. Les images sont enregistrées par une caméra CCD FlowSense pixels. Une lentille optique de 105 mm est ajoutée afin d avoir des plans mesurant 227,5 227,5 mm 2. On réalise une inter-corrélation avec des fenêtres d interrogation de pixels 2 et un recouvrement de 50%, nous obtenons alors une précision spatiale de l ordre de 0,9 mm. Nous nous intéressons au mouvement moyen de la zone de recirculation, il est nécessaire d enregistrer 400 images pour faire converger cette moyenne. Nous utilisons du Di-Ethyl-Hexyl-Sebacate (ou DHES) comme traceur. Le diamètre des particules obtenues est 0,25 µm. Les particules sous forme de brouillard sont injectées dans la soufflerie en aval de la section de mesure. Ainsi elles font un tour de veine avant d arriver dans la zone d intérêt pour permettre une répartition homogène dans l écoulement. Mesure de la pression statique La configuration de la veine d essai expérimentale ne nous permet pas d avoir aisément accès à des plans PIV normaux à l écoulement. Il s avère alors compliqué d utiliser, pour cette phase de validation, le bilan de quantité de mouvement pour étudier l impact des VGs sur la trainée du volet. C est pourquoi dans cette partie nous revenons à une analyse pariétale de la trainée en mesurant les cœfficients de pression (C p ) sur le volet incliné. L influence des VGs sur la distribution de pression sur la géométrie est mesurée à

52 44 CHAPITRE 2. MÉTHODES D ÉVALUATION DES SOLUTIONS AÉRODYNAMIQUES l aide d une grille régulière de 9 16 prises de pression statique. Les mesures se font par des capteurs différentiels reliés à un tube de Pitot fournissant une vitesse U et une pression statique P de référence, on calcule alors le coefficient de pression C p : Présentation de la géométrie C p = P P 1 2 ρ U (2.39) Le volet incliné a été choisi afin de se concentrer sur le décollement présent sur la lunette arrière du véhicule (figure 2.17). Sa géométrie 2D (invariance en envergure) permet également de s affranchir de l interaction des autres structures complexes se développant autour d un véhicule notamment les tourbillons longitudinaux. Figure 2.17 Vue de profil d un véhicule de type tri-corps. La ligne rouge représente la géométrie étudiée. La plaque amont représente le toit du véhicule, le plan incliné la lunette arrière et enfin nous retrouvons la partie horizontale du coffre. L angle retenu est de 26,5. Il s agit de l inclinaison de la lunette d une Peugeot 407. Pour tenir compte des dimensions de la veine et éviter un taux de blocage trop important, la hauteur du volet à été fixée à 30 mm et sa longueur à 60 mm (figure 2.18). La maquette se compose d une première partie amont montante dont les rayons de courbure ont été choisis pour réduire les risques de décollement (figure 2.18). La couche limite se développe ensuite sur le plan 1 jusqu à la jonction avec le volet. Le changement brusque de géométrie associé à une arête vive entre le plan 1 et le volet déclenche la séparation de la couche limite avec une ligne de décollement fixée en haut du plan incliné. La bulle de recirculation se referme ensuite sur le plan 2. Figure 2.18 Dimensions de la géométrie étudiée. En réalisant des plan PIV horizontaux, nous observons que sur le tiers central de la veine, nous pouvons négliger les effets de bords (2.19). Par la suite l ensemble de nos mesures PIV et C p se feront donc dans cette zone. Le système de coordonnées est choisi de tel manière que l axe x est dans le sens de l écoulement, l axe z normal au plan 1 et l axe y complète le trièdre direct. Le centre du repère est pris au centre de l arête en haut du volet.

53 3 Validation du modèle de termes sources 45 Figure 2.19 Champs de vitesse u/u à z = 1 6 h. L veine est égale à la largeur de la veine d essai, h et L volet sont respectivement la hauteur et la longueur du volet. L épaisseur de couche limite δ retenue pour la suite est mesurée à partir des simulations numériques à x = m. U e δ δ 1 θ 23 m.s 1 5,3 mm 2,7 mm 1,9 mm Table 2.6 Grandeurs intégrales de la couche limite en entrée de domaine Mise en œuvre numérique Nous reprenons ici les principales caractéristiques présentées en 2.2. Nous préciserons donc uniquement les modifications. Le domaine de calcul reprend les dimensions de la veine d essais en se limitant, comme pour les essais, au tiers central. Le maillage volumique est généré à partir de la paroi latérale en l extrudant sur toute la largeur du domaine de calcul. Les couches d extrusion ont une épaisseur de 0,7 mm. Le maillage surfacique recouvrant la surface latérale est composé d une première série de prismes de largeur 0,7 mm et de hauteur 1, mm pour la première couche. Les couches supérieures suivent une loi de grossissement géométrique de facteur 1,1. Cette couche prismatique permet de conserver une taille de première maille z + < 1. A partir d une distance à la paroi de 2δ, des mailles triangulaires sont utilisées (figure 2.20). Le maillage final est constitué de mailles. Cette technique de génération de maillage a été choisie afin de limiter les risques de cellules avec un volume négatif ou un facteur de dissymétrie trop élevé lors de la création automatique des maillages au cours de la boucle d optimisation. Les conditions aux limites 4 sont les suivantes : Entrée : Le profil d entrée est obtenu par prolongement d un profil expérimental mesuré en entrée de domaine (figure 2.21). Il a été étendu en proche paroi à l aide du profil de Spalding [53] (équation 2.40) par la méthode de Kendall et Koochesfahani [32]. 4. Les conditions aux limites sont présentées en 1.4 de ce chapitre

54 46 CHAPITRE 2. MÉTHODES D ÉVALUATION DES SOLUTIONS AÉRODYNAMIQUES Figure 2.20 Maillage de la surface latérale autour de la jonction entre le plan 1 et le volet. [ z + = u + + exp( κb) exp(κu + ) 1 κu + (κu+ ) 2 2 (κu+ ) 3 ] 6 (2.40) avec z + = (z z 0 )u τ /ν, u + = u / u τ, B = 5, 0 et κ = 0, 41. La méthode de Kendall et Koochesfahani consiste à déterminer les valeurs de z 0 et u τ optimales afin de minimiser la différence entre les données mesurées et le profil par la méthode des moindres carrées (équation 2.41). Φ 1 = 1 N point N point i=0 (u + i (data) (u+ i (profil))2 (2.41) avec N point le nombre de points mesurés utilisés pour calibrer le modèle. Figure 2.21 Profil de vitesse moyenne u + en fonction de z +. Les cercles rouges indiquent les données expérimentales obtenues par PIV. La courbe bleue représente le profil prolongé à la paroi par la loi analytique de Spalding [53]. Plafond et géométrie : Condition d adhérence. Sortie : Condition sur le gradient de pression statique. Frontières latérales : Une condition de périodicité est imposée afin de simuler une rampe d envergure infinie.

55 3 Validation du modèle de termes sources 47 U e U τ δ δ θ 19 m.s 1 1 m.s 1 17,2 mm 4,83 mm 4,23 mm Table 2.7 Grandeurs intégrales de la couche limite en entrée de domaine Description et validation de l écoulement de base Dans un premier temps, il est nécessaire de valider notre approche numérique sur l écoulement non perturbé (i.e. sans VG). Etant donné que l écoulement est homogène dans la direction transverse, les résultats suivants sont analysés dans le plan y/δ = 0, afin de les comparer aux résultats PIV dans le même plan. La figure 2.22 montre les champs de vitesse longitudinale expérimentaux et numériques autour du dièdre. La ligne blanche indique la frontière entre les vitesses négatives et positives. La couche limite se développe de manière sensiblement identique sur le plan 1 et on peut remarquer dans l expérience et en simulation une accélération de l écoulement juste en amont de la singularité. Cette observation est confirmée par les mesures de pression en amont du volet (figure 2.25). On remarque qu expérimentalement et numériquement les C p diminuent pour des valeurs de x/h < 0. Cette dépression est la conséquence d une courbure prématurée des lignes de courant juste en amont du volet qui s accentue en x/h = 0 (figure 2.23) ; les lignes de courant ne sont plus parallèles pour x/h > 2. Nous retrouvons expérimentalement cette baisse de C p en amont du volet. Notons que ce phénomène a été également observé par Beaudoin [7] avec un écoulement sur rampe courbe. La chute de pression à x/h 0 est due au changement brutal de géométrie. Expérimentalement, la densité de répartition des capteurs ne permet pas de la mesurer. Tout de suite après la singularité, la pente du volet impose un fort gradient de pression adverse visible numériquement mais non-observé expérimentalement pour la même raison de positionnement de capteurs. Celui-ci génère alors un décollement de l écoulement (figures 2.22 et 2.24) et on constate l apparition d un plateau de C p (figure 2.25) sur le volet. Que ce soit expérimentalement ou numériquement la valeur mesurée est stable sur le tiers supérieur du plan incliné avant de légèrement décroitre en amont de la jonction avec le plan 2 (x/h 2). Le point de décollement (x/h = 0) est bien positionné par la simulation numérique et le développement de la zone où l écoulement rebrousse chemin est également bien prédit (figure 2.24). On peut noter notamment que le point d inflexion de l iso-ligne u/u est correctement reproduit. Il coïncide avec le raccordement du volet avec le plan 2 et le changement de pente déforme la partie inférieure de la recirculation (figure 2.22). Cette singularité est également la cause d un second pic de pression de faible intensité mais cette fois avec une légère augmentation de pression. Immédiatement après le pic, la pression retourne à la valeur qu elle avait sur le volet avant de croitre à l approche du point de recollement (figure 2.25). Lors de cette recompression la prédiction numérique présente encore une bonne adéquation avec les résultats expérimentaux et ce jusqu au maximum de C p que l on observe en x/h = 7. La principale différence concerne la fin de la bulle de recirculation. Expérimentalement la bulle semble se refermer plus brutalement que numériquement. La mesure expérimentale dans ce cas ne fait peut-être pas foi car des réflexions du laser sur la maquette gênent cette mesure. Cependant, le point de recollement est bien prédit puisqu on le retrouve en x/h = 5, 2 expérimentalement et en x/h = 5, 4 avec la prédiction numérique (figure 2.24). Pour confirmer ces résultats, des profils expérimentaux et numériques de vitesse à différentes positions sont tracés figure Au point de séparation, la solution numérique prédit une couche limite légèrement plus petite qu en essais. En conséquence, la couche

56 48 CHAPITRE 2. MÉTHODES D ÉVALUATION DES SOLUTIONS AÉRODYNAMIQUES (a) Mesures PIV (b) Résultats numériques (c) Légende Figure 2.22 Cartographie de vitesse longitudinale u/u dans le plany = 0. La ligne blanche sépare les vitesses négatives des vitesses positives. de mélange en aval du décollement est moins épaisse. Cependant, le taux de croissance de cette couche de mélange est plus élevé en numérique, sans doute à cause d un gradient u x trop fort et du caractère diffusif du modèle de turbulence. Ainsi les profils expérimentaux sont retrouvés à partir de x/h = 1. Moins de 5% d erreur sont alors observés. En synthèse, nous pouvons considérer que la procédure numérique reproduit de façon satisfaisante les champs expérimentaux pour l écoulement de référence, compte-tenu du fait que dans la suite de l étude nous allons chercher à observer les différences macroscopiques des effets des VGs Ecoulements manipulés par VGs L objectif de cette section est de prouver la capacité du BAY model à reproduire l impact des VGs sur un écoulement décollé. Nous étudions les écoulements manipulés par les VGs à la fois numériquement avec les termes sources et expérimentalement. Nous nous concentrons ici sur les modifications que les VGs apportent à l écoulement. Nous reviendrons plus en détails sur l action précises des VGs dans la section 2.4 du chapitre 4 et nous nous concentrons ici sur la comparaison essais/calculs. Trois arrangements différents (tableau 2.8) sont testés expérimentalement et numériquement. Les trois types de VGs sont positionnés successivement à trois positions différentes : x = 10δ, x = 20δ et x = 30δ. Dans la suite nous appellerons configuration un couple {arrangement ;position}. Les configurations ont été choisies arbitrairement afin de connaitre le degré de sensibilité du modèle aux variations des paramètres. Ces configurations nous permettent de vérifier la sensibilité du modèle à des modifications raisonnables d angle d incidence α (5, 10 et 15 ). Nous testons également deux cordes différentes pour les mêmes raisons (c/δ = 1, 4 et c/δ = 2, 5). Nous rappelons que nos conditions d essais ne nous ont pas permis d obtenir des champs de vitesse et de pression dans des plans normaux à l écoulement amont. L influence des VGs sur la traînée n est donc pas obtenue par bilan de quantité de mouvement mais est évaluée par les valeurs de C p sur le volet incliné (colonnes de gauche des figures 2.26, 2.27 et 2.28) et leur impact sur l écoulement est visualisé en traçant l allure de

57 3 Validation du modèle de termes sources 49 Figure 2.23 Lignes de courant au niveau du contournement de l arête du volet, issues du calcul numérique. Les lignes de courant sont en traits pleins et les lignes pointillées matérialisent l horizontale (i.e. les parallèles au plan en amont du volet) aux départs des lignes de courant. Figure 2.24 Profils de vitesse longitudinale moyenne à différentes positions en aval du décollement superposés avec l iso-valeur u/u = 0. Les courbes bleues représentent les données numériques. Les cercles rouges représentent les mesures expérimentales obtenues par PIV. Arrangement n Configuration contra- contra- contrarotatif rotatif rotatif α β Z 0 /δ 0,35 0,35 0,35 c/δ 2,5 2,5 1,4 d/δ l/δ Table 2.8 Arrangements des générateurs de tourbillons utilisés pour la validation

58 50 CHAPITRE 2. MÉTHODES D ÉVALUATION DES SOLUTIONS AÉRODYNAMIQUES Figure 2.25 Evolution des coefficients de pression le long de la paroi. Les courbes bleues représentent les données numériques. Les cercles rouges représentent les mesures expérimentales. l iso-ligne u/u = 0 (colonnes de droite des figures 2.26, 2.27 et 2.28). Les arrangements 1 et 3 (figures 2.26 et 2.28) semblent ralentir l écoulement moyen en amont du volet. Ce ralentissement se traduit par une augmentation de C p pour les deux premières prises de pression. Des écarts apparaissent entre les résultats numériques et les valeurs expérimentales. On peut noter que ces écarts sont d autant plus élevés que les VGs sont placés en aval et donc près des prises de mesures. On peut donc considérer que ces erreurs sont dues à la modélisation des VGs. Comme nous l avons vu sur le cas de la plaque plane (voir 3.2), il existe une distance proche des VGs pour laquelle les tourbillons générés par les termes sources ne sont pas parfaitement identiques aux tourbillons générés par des VGs réels à cause de l absence d une condition de non-glissement explicite avec les termes sources. Cependant il est à noter que, dès le début du volet, les simulations rejoignent correctement l expérience et ce quelque soit la position du manipulateur. On observe une augmentation des pressions sur le volet par rapport à la référence (vignettes (a), (c) et (e) des figures 2.26 et 2.28). Cette augmentation est sensiblement du même ordre que celle obtenue en amont de la ligne de décollement. Ceci confirme le fait que la pression dans la zone décollée est directement pilotée par la pression au point de décollement. Ces variations de pression ne semblent pas affecter de manière importante la première partie de l iso-ligne u/u = 0. Par contre la partie de la bulle placée au dessus du plan 2 (partie horizontale après le volet (figure 2.18)) est davantage impactée par les effets des VGs. Le ralentissement de l écoulement en amont du décollement provoque une allongement de la bulle de recirculation. Malgré l écart remarqué sur les pressions au niveau du plan 1, les points de recollement suivent des évolutions similaires en CFD et en expérience. Le fait de repousser le point de recollement se traduit par une diminution des C p sur le plan 2 bien retrouvée numériquement. L arrangement 2 (figure 2.27) semble moins influencer l écoulement en amont du volet. La principale différence avec les autres configurations est le creusement de la bulle juste après le décollement pour les positions x = 10δ et x = 30δ (figures 2.27(b) et 2.27(f)).

59 4 Conclusion 51 Cette tentative de repousser le décollement se traduit par une très légère baisse des C p tout en haut du volet puis lorsque la bulle retrouve sa forme initiale, les C p retournent aux valeurs de référence. Concernant la seconde partie de la zone séparée, on observe les mêmes modifications que pour les deux autres arrangements : léger allongement de la bulle et baisse des pressions sur le plan 2. Finalement, ces comparaisons démontrent les capacités du BAY model à reproduire les effets des VGs observés expérimentalement sur les quantités moyennes de pression et de vitesse longitudinale. Les principales modifications de l écoulement sur le volet et en aval sont retrouvées. C est également le cas dans la partie amont à condition que les termes sources ne soient pas positionnés trop près de la ligne de décollement. 4 Conclusion Dans ce chapitre nous avons présenté une validation du modèle de Bender et al.. Dans un premier temps nous avons démontré que la substitution de VGs maillés par le BAY model est tout à fait valide. Après sa calibration, il génère des tourbillons identiques en intensité et position et leur évolution spatiale est bien modélisée. Les similarités sont confirmées par l étude de l écoulement en aval des VGs. Les modulations de vitesse sont très fidèlement prédites. Dans un second temps, la validation est menée sur un cas aérodynamique simulant un arrière corps de véhicule. Une série de configurations évaluées à la fois expérimentalement et numériquement est étudiée. La capacité du BAY model à prédire l influence des VGs sur l écoulement est mise en avant en comparant les distributions de pression ainsi que les champs de vitesse. La principale erreur introduite par le modèle est l absence de condition d adhérence à la paroi des VGs. Ce manque se fait ressentir lorsque les mesures sont réalisées à proximité des artifices. Cependant rapidement, le comportement des VGs réels est retrouvé et l effet des VGs simulés est satisfaisant. L approche termes sources est donc validée et peut être utilisée pour notre boucle d optimisation.

60 52 CHAPITRE 2. MÉTHODES D ÉVALUATION DES SOLUTIONS AÉRODYNAMIQUES (a) x=-10 δ (b) x=-10 δ (c) x=-20 δ (d) x=-20 δ (e) x=-30 δ (f) x=-30 δ Figure 2.26 Impact de l arrangement 1 (table 2.8) sur l écoulement pour trois positions en amont de la ligne de décollement. Les figures a, c et e indiquent les mesures de C p. Les figures b, d et f tracent l iso-ligne u/u = 0. Les courbes bleues représentent les données numériques. Les cercles rouges représentent les mesures expérimentales obtenues par PIV. La courbe en pointillé noir représente la référence numérique sans manipulation.

61 4 Conclusion 53 (a) x=-10 δ (b) x=-10 δ (c) x=-20 δ (d) x=-20 δ (e) x=-30 δ (f) x=-30 δ Figure 2.27 Impact de l arrangement 2 (table 2.8) sur l écoulement pour trois positions en amont de la ligne de décollement. Les figures a, c et e indiquent les mesures de C p. Les figures b, d et f tracent l iso-ligne u/u = 0. Les courbes bleues représentent les données numériques. Les cercles rouges représentent les mesures expérimentales obtenues par PIV. La courbe en pointillé noir représente la référence numérique sans manipulation.

62 54 CHAPITRE 2. MÉTHODES D ÉVALUATION DES SOLUTIONS AÉRODYNAMIQUES (a) x=-10 δ (b) x=-10 δ (c) x=-20 δ (d) x=-20 δ (e) x=-30 δ (f) x=-30 δ Figure 2.28 Impact de l arrangement 3 (table 2.8) sur l écoulement pour trois positions en amont de la ligne de décollement. Les figures a, c et e indiquent les mesures de C p. Les figures b, d et f tracent l iso-ligne u/u = 0. Les courbes bleues représentent les données numériques. Les cercles rouges représentent les mesures expérimentales obtenues par PIV. La courbe en pointillé noir représente la référence numérique sans manipulation.

63 Chapitre 3 Problème d optimisation L optimisation consiste à trouver la meilleure réponse à un problème parmi un ensemble de solutions possibles. Pour résoudre ce problème de nombreuses techniques d optimisation ont été développées. Il est possible de les classer historiquement en deux grandes familles : d un côté les méthodes dites locales (Quasi-Newton, Simplex...) et de l autre les méthodes dites globales (Algorithme génétique, essaims de particules..). Chacune de ses stratégies possède ses avantages et ses inconvénients. L amélioration de ces stratégies a amené au développement de nouvelles méthodes basées sur l interpolation d une surface de réponse représentant la fonction à optimiser. Le but de ce chapitre est de fournir au lecteur les éléments clés d une démarche d optimisation pour lui permettre de comprendre pleinement cette partie de l étude. Ainsi, après être revenu sur les principes de bases de l optimisation nous décrirons différentes techniques classiques permettant la recherche de l optimum. Ensuite nous présenterons les méthodes par interpolations de surface de réponse. Enfin nous évaluerons différentes techniques d optimisations sur des fonctions analytiques tests afin de choisir un ensemble de méthodes adaptées à notre problématique. 1 Principe de l optimisation Considérons une fonction f définie sur un ensemble X R n. Une démarche d optimisation consiste à trouver le point x X permettant de minimiser le fonction f. Le problème s écrit alors de la manière suivant : minf(x) P(x) = x X (3.1) La fonction f est appelée fonction objectif ou fonction coût. Dans notre cas cette fonction est la traînée du véhicule. C est ce phénomène physique que nous souhaitons réduire à l aide de générateurs de tourbillons. Le point x est la configuration de VG minimisant au maximum la trainée du corps étudié. Le point x est donc un vecteur de l espace des paramètres des VGs X R 7. Théorème de Weierstrass : Si X est un compact non vide et si f est continue sur X, le problème de minimisation P admet une solution. Ce théorème prouve l existence d une solution mais pas l unicité. Il est alors possible qu une fonction f accepte plusieurs minima sur son ensemble de définition. 55

64 56 CHAPITRE 3. PROBLÈME D OPTIMISATION Supposons qu il existe un voisinage Y de y dans X tel que x Y, f(y) f(x) (3.2) on dit alors que y est un minimum local de f dans X. Si la proposition 3.2 est vraie x X alors y = x est appelé minimum global de f dans X. Les méthodes d optimisation sont donc qualifiées de méthodes globales ou locales suivant leurs aptitudes à résoudre le problème d optimisation de manière globale ou non. Nous présentons maintenant le principe de recherche de méthodes "classiques" ainsi que leurs avantages et inconvénients. 2 Méthodes d optimisation 2.1 Méthodes de descente Les méthodes de descente prennent pour hypothèse que le phénomène à optimiser est continu et dérivable au moins une fois. Etant donné que les points y sont des extrema de la fonction f, à la relation 3.2 on peut alors ajouter la condition suivante : f(y) = 0 (3.3) Une méthode de descente consiste donc à se diriger par itération vers les bassins de f. Ce type d algorithme peut s écrire de la manière générale suivante : Algorithme 1 Algorithme de descente Entrées: Choix d un point x 0 X et d une tolérance ǫ > 0 x x 0 tantque f(x) > ǫ faire Calcul de la direction de descente d Recherche du pas de descente pour trouver t > 0 tel que f(x + td) < f(x) x x + td fin tantque Le calcul de d et la recherche de t sont les deux étapes importantes de cet algorithme. De nombreuses études y ont été consacrées et ont développé des techniques pour les résoudre. Dans la suite nous nous concentrons sur l une de ces méthodes qui semble la plus adaptée à notre problématique industrielle : la méthode de quasi-newton. Mais avant de l aborder, revenons sur la méthode de Newton Méthode de Newton Pour cette technique la fonction f doit être au moins C 2. Dans la suite on notera, g k = f(x k ) le gradient de f au point x k, si elle existe, H k = 2 f(x k ) la matrice hessienne de f au point x k et W k = H 1 k son inverse. Chercher un minimum de f revient à chercher un zéro de F = f. Afin de résoudre ce problème, l algorithme de Newton construit de manière itérative une suite {x k } : pour laquelle d k est solution de x k+1 := x k + d k (3.4) F(x k )d k = F(x k ) (3.5)

65 2 Méthodes d optimisation 57 En considérant l équation 3.3, l équation 3.5 devient : H k d k = g k (3.6) La direction de descente d k est donc obtenue à l aide de 3.6 en inversant la matrice H k. L avantage de cette méthode est une convergence quadratique lorsque le premier itéré n est pas trop éloigné du minimum. Par contre il est possible qu elle diverge fortement si l on se trouve proche d un maximum. De plus, le calcul des dérivées secondes de f peut être coûteux en temps de calcul et l inversion de la matrice hessienne impose des conditions de régularité sur la fonction objectif qui ne sont pas forcément rencontrées Méthode de Quasi-Newton BFGS Pour s affranchir du calcul direct de H k et de son inversion, la méthode de quasi- Newton construit de manière itérative la suite des matrices M k approchant H k. Afin de simplifier les équations, nous utiliserons les notations suivantes pour la suite de l étude : s k = x k+1 x k (3.7) y k = g k+1 g k (3.8) M k+1 approxime H k+1, on lui impose alors de vérifier l équation de quasi-newton : y k = M k+1 s k (3.9) Afin de complètement déterminer l ensemble des éléments de M k+1 une conditions de stabilité est utilisée. On impose que M k+1 soit aussi proche que possible de M k tout en étant symétrique définie positive et solution de 3.9. La formule qui détermine cette matrice est donnée par la méthode de Broyden- Fletcher-Goldfarb-Shanno (BFGS) [11] : M k+1 = M k + y ky k y k s k M ks k s k M k s k M ks k (3.10) A partir de cette formule il est possible de donner celle pour W k+1 = M 1 k+1 : W k+1 = W k s ky k W k + W k y k s k y k s k + (1 + y k W ky k yk s ) s ks k k yk s k (3.11) Il est nécessaire maintenant de déterminer le pas de descente t k adapté à chaque itération. Classiquement on utilise des stratégies qui consistent à construire des suites {t i k } i 1. Dans la règle d Armijo, on se donne le premier itéré, généralement t 1 k = 1 et les éléments suivants sont déterminés à partir de la condition suivante : t i+1 k [τt i k, (1 τ)t i k], pour i 1 (3.12) Le premier élément de cette série qui vérifie l inéquation 3.13 est le pas retenu à cette itération. f(x k + t k d k ) f(x k ) + ω 1 t k g k d k (3.13) avec τ ]0, 1 2 ] et ω 1 ]0, 1[ (typiquement ω 1 = 10 4 ). La règle de Wolfe[66] ajoute un critère supplémentaire pour le choix du pas : g(x k + t k d k ) d k ω 2 g k d k (3.14)

66 58 CHAPITRE 3. PROBLÈME D OPTIMISATION avec ω 2 tel que 0 < ω 1 < ω 2 < 1, typiquement ω 2 = 0, 99. Cette règle, associée à la règle d Armijo, garantit d une part la décroissance de la fonction coût et de l autre évite d avoir des pas de descente trop petits. Ce type de recherche du pas est particulièrement adapté à la méthode de quasi-newton. Les méthodes de gradient sont particulièrement efficaces pour des fonctions convexes. Elles présentent alors une convergence quadratique très rapide. Par contre lorsque la fonction objectif présente des minima locaux, ce type d algorithme a du mal à ressortir des bassin des minima locaux et converge donc localement. La condition C 2 pour la fonction est certes contraignante à la base mais les phénomènes physiques que l on cherche à minimiser en aérodynamisme présentent généralement cette caractéristique. Les points bloquants pour l utilisation de ce type de technique, lorsque les évaluations sont coûteuses, sont le calcul du gradient et la recherche du pas. Il est généralement nécessaire de fixer le pas pour le calcul du gradient ce qui implique que la direction de descente n est pas optimale. De plus il n est pas possible d itérer un grand nombre de fois pour la recherche du pas. Très souvent seulement un à trois pas sont testés. Là encore une perte d efficacité est à constater. Pour palier à ce compromis entre coût et performance en termes de convergence, des méthodes se basant uniquement sur les valeurs de la fonction ont été élaborées. 2.2 Méthodes géométriques Dans cette section nous présentons une stratégie d optimisation ne faisant pas intervenir les dérivées et ne demandant a priori pas de régularité particulière de f. Dans un espace de dimension n, un Simplex est une forme géométrique de (n + 1) éléments affinement indépendants. Les (n + 1) éléments sont évalués et classés dans l ordre croissant i.e. f(x 1 ) < f(x 2 ) <... < f(x n+1 ). A chaque itération de la méthode du Simplex, l objectif est d améliorer les plus mauvais éléments par de simples transformations géométriques du Simplex. Deux techniques principales ont été développées basées sur les travaux de Spendley et al. [54] Simplex-Nelder-Mead Rapidement après les travaux de Spendley et al., Nelder et Mead [46] présentent un algorithme qui consiste à améliorer le (n+1) ème point en se basant sur les n autres points. On itère jusqu à atteindre un nombre d évaluations défini ou alors un déplacement du Simplex entre deux itérations successives inférieur à un seuil fixé. L algorithme 2 et la figure 3.1 présentent cette méthode. Figure 3.1 Présentation graphique des points évalués lors d une itération du Simplex- Nelder-Mead. Ici n = 2. Cette méthode présente l avantage de ne pas rester bloquée dans un bassin local si le simplex présente une taille encore suffisante pour passer la "colline". Par contre le fait

67 2 Méthodes d optimisation 59 Algorithme 2 Algorithme de Simplex de Nelder-Mead Entrées: Choix de X = (x 1,..., x n+1 ) avec {x 1,..., x n+1 } affinement indépendants et d une tolérance ǫ > 0 Evaluation par f de x 1,..., x n+1 Choix de D > ǫ tantque D > ǫ faire Réindexation des x i tel que f(x 1 ) <... < f(x n+1 ) Calcul du centre de gravité x c de {x 1,..., x n } : x c = 1 n n x i i=1 Calcul de la direction de recherche d d = x c x n+1 Détermination du point réfléchi x r x r = x n+1 + 2d si f(x r ) < f(x 1 ) alors Expansion au delà de x r x e = x n+1 + 3d si f(x e ) < f(x r ) alors x n+1 x e sinon alors x n+1 x r finsi sinon si f(x 1 ) < f(x r ) < f(x n ) alors x n+1 x r sinon si f(x n ) < f(x r ) < f(x n+1 ) alors Contraction externe du Simplex x ce = x n d x n+1 x ce sinon alors Contraction interne du Simplex x ci = x n d si f(x ci ) < f(x n+1 ) alors x n+1 x ci sinon alors Contraction global du Simplex xj c = 1 ( ) x1 + x j, pour j = 1,...,n alors X X c finsi finsi Evaluation par f de x 1,..., x n+1 Calcul du déplacement du Simplex entre l itération j et l itération j + 1 fin tantque D = 1 n n i=1 x j i xj+1 i

68 60 CHAPITRE 3. PROBLÈME D OPTIMISATION de ne travailler que sur un point à la fois ne maintient pas la géométrie du Simplex similaire d une itération à l autre. Le risque est donc d obtenir un Simplex dégénéré au bout d un certain nombre d itérations [41]. Un simplex est dit dégénéré lorsque les points le constituant ne sont plus suffisamment affinement indépendants. Pour éviter ce problème, Dennis et Torczon [17] proposent un algorithme du Simplex qui ne travaille plus que sur le plus mauvais point mais sur les n plus mauvais points Simplex-Torczon Le principe de la méthode est la réalisation de transformations homothétiques du Simplex autour du meilleur point. L algorithme 3 et la figure 3.2 présentent cette méthode. Algorithme 3 Algorithme de Simplex de Torczon Entrées: Choix de X = (x 1,..., x n+1 ) avec {x 1,..., x n+1 } affinement indépendants et d une tolérance ǫ > 0 Evaluation par f de x 1,..., x n+1 Calcul de la taille T du Simplex T = x 1 x n+1 2 tantque T > ǫ faire Réindexation des x i tel que f(x 1 ) <... < f(x n+1 ) Détermination du Simplex réfléchi X r par rapport à x 1 x r i = 2x 1 x i, pour i = 1,...,n + 1 si min(f(x r i )) i=1,...n+1 < f(x 1 ) alors Expansion au delà de X r x e i = 3x 1 x i, pour i = 1,...,n + 1 si min(f(x e i )) i=1,...n+1 < min(f(x r i )) i=1,...n+1 alors X X e sinon alors X X r finsi sinon alors Contraction du Simplex xi c = 1 2 (x 1 + x i ), pour i = 1,...,n + 1 alors X X c finsi Evaluation par f de x 1,..., x n+1 Calcul de la taille T du Simplex T = x 1 x n+1 2 fin tantque Cette méthode conserve les avantages du Simplex-Nelder-Mead concernant la capacité à sortir d un bassin local si la taille du Simplex le lui permet. Elle permet également que la forme du simplex soit conservée tout au long du processus d optimisation. Ainsi il n y a pas de risque de dégénérescence du simplex. Malheureusement cette assurance a un coût. En effet au lieu de n évaluer qu un seul point à la fois, cette stratégie en évalue n. Cette gêne peut-être écartée si une parallélisation totale des évaluations est réalisable. Dans ce cas le temps de restitution d une itération sera identique dans les deux méthodes.

69 2 Méthodes d optimisation 61 Figure 3.2 Présentation graphique des points évalués lors d une itération du Simplex- Torczon. Ici n = Algorithmes évolutionnaires Les stratégies d évolution sont des techniques d optimisation construites à partir du Darwinisme. Les algorithmes génétiques (AG) font partie des ces méthodes. Ils permettent une exploitation et une exploration du domaine de recherche en utilisant les bases de la sélection naturelle et de la génétique. Ils se fondent sur le principe qu en croisant et en mutant les meilleurs éléments d une population, un individu plus performant émergera. Ces techniques sont relativement robustes et permettent une recherche globale de l optimum. L algorithme que nous utiliserons dans la suite, le CMA-ES, est un AG amélioré. Nous présentons dans un premier temps les AG "classiques" et leurs inconvénients avant de décrire les évolutions qu apporte le CMA-ES. Pour notre problème d optimisation un individu est un élément x R 7. Il peut s écrire de la manière suivante : x = (x 1,..., x 7 ) (3.15) où x i est son i ème gène. L algorithme 4 présente le processus général de ce type de méthode. Les différentes étapes sont détaillées par la suite La sélection Sélectionner des individus dans une population peut se faire de trois manières différentes : Par niveau de santé : Les individus sont placés dans l ordre sur une roulette. Ils occupent un espace proportionnel à leur valeur de santé. Si un individu est nettement plus performant que les autres, il occupera donc une part nettement plus importante de la roulette et aura donc plus de chance d être sélectionné (figure 3.3(b)). Par rang : Cette fois, les individus occupent un espace proportionnel à leur rang. L individu avec la meilleure note de santé aura plus de chance d être sélectionné que celui avec la plus faible (figure 3.3(c)). La probabilité ne dépend pas directement de l état de santé mais du rang. Par tournoi de taille T : T individus de la population, sélectionnés aléatoirement, sont engagés dans un tournoi. L individu avec la meilleur santé remporte le tournoi et est

70 62 CHAPITRE 3. PROBLÈME D OPTIMISATION Algorithme 4 Algorithme génétique Entrées: Sélection de N p individus p comportant chacun p i gènes, appelés également parents dans la suite et choix d une tolérance ǫ > 0 Evaluation par f des N p parents tantque ( max f(p i ) min f(p j ) i,j=1,..,np > ǫ faire Affectation d une valeur à chacun des parents en fonction du résultat de l évaluation. Arrangement des individus tel que l individu 1 est la meilleure santé et l individu N p la plus mauvaise. Sélection de N p parents parmi la population. Un même individu peut-être sélectionné plusieurs fois et donc certains individus peuvent ne pas l être (voir 2.3.1). Croisement de deux parents sélectionnés afin d engendrer deux nouveaux individus enfants. Dans cette étape, on exploite le patrimoine génétique des parents (voir 2.3.2). Mutation des gènes des enfants afin d explorer de nouvelle zone du domaine de recherche. Cette étape permet une recherche globale de la solution (voir 2.3.3). Renouvellement de la population initiale à l aide des enfants (voir 2.3.4). Evaluation par f des N p nouveaux individus. fin tantque (a) Sélection par santé (b) Population (c) Sélection par rang Figure 3.3 Répartition sur la roulette pour les modes de sélection par santé (a) et par le rang (c) pour une population de cinq individus. Les individus sont classés en ordre décroissant d état de santé. sélectionné. La taille des tournois peut varier de 2 à N p. Les tournois sont réalisés jusqu à obtenir N p individus Le croisement Le croisement consiste en l échange de gêne entre deux parents. Il permet la recherche locale de l optimum. Au sens local, on entend l intérieur du domaine délimité par les parents. L opérateur croisement est appliqué avec une probabilité p c i.e qu un couple de parents a une probabilité p c d être croisé. Par croisement binaires à b-points Les chaines de chromosomes des parents sont coupées en b- points aléatoirement. b [1 ;n-1]. Les sous chaines sont alors échangées deux à deux pour générer les deux individus enfants 3.4. Par croisement barycentrique : Les gênes (e i ) i=1...n et (e i ) i=1...n des individus enfants e et e sont une combinaison linéaire des gênes (p i ) i=1...n et (p i ) i=1...n des individus

71 2 Méthodes d optimisation 63 Figure 3.4 Croisement binaire à p-points. Ici p = 1. parents p et p : e i = α i p i + (1 α i )p i, i [1, n] e i = α ip i + (1 α i)p i, i [1, n] (3.16) avec α i un nombre aléatoire. Si i α i = α [0 ;1], il s agit d un croisement barycentrique classique. Si les α i [0,1] et sont indépendants, on parle alors de croisement barycentrique coordonnées par coordonnées. Si les α i [-0,5 ;1,5] et sont indépendants, on parle alors de croisement barycentrique par extension La mutation La mutation permet d élargir le domaine de recherche. Elle consiste à modifier aléatoirement les gènes des enfants obtenus après croisement (figure 3.5). De nombreuses méthodes ont été développées mais nous nous concentrons sur un opérateur particulièrement utilisé. L opérateur mutation (équation 3.17) est appliqué avec une probabilité p m sur un individu x = (x i ) i=1...n afin d engendrer un individu x = (x i ) i=1...n. L opérateur mutation peut-être formulé de la manière suivante : x i = x i + (x imax x i )ν ( 1 igen gen max ) γ, i [1, n] (3.17) x imax est la borne supérieure de l espace de recherche pour le paramètre x i, ν [0 ;1] est un nombre aléatoire, i gen est l indice de la génération courante et gen max le nombre maximum de générations autorisées. Enfin γ est un paramètre de raffinement positif ou nul. On peut remarquer qu au fil des générations, l influence de l opérateur diminue. Son influence décroit d autant plus vite que le paramètre γ est élevé. Figure 3.5 Mutation d un paramètre dans les patrimoine des deux enfants.

72 64 CHAPITRE 3. PROBLÈME D OPTIMISATION Le renouvellement Deux stratégies existent. Soit on sélectionne les N p meilleurs individus parmi la population formée de l ensemble {parents ; enfants}, soit l on remplace totalement les parents par les enfants. La première méthode permet de conserver dans la population l optimum courant et donc assure une amélioration continue de la santé de la population. Par contre, en cas d évolution de l environnement (nouvelle perturbation par exemple), l algorithme aura plus de difficultés à s adapter. Le remplacement total de la population présente donc l avantage de s adapter en permanence aux changements qui peuvent apparaitre au cours de la procédure d optimisation. Nous utiliserons donc cette méthode pour la suite. On le voit, les algorithmes génétiques "classiques" nécessitent de nombreux choix de paramètres par l utilisateur. Ces paramètres doivent être adaptés au problème posé et même au cours de la procédure d optimisation. Les travaux de Muyl [45] montrent qu en ne connaissant pas a priori l allure de la fonction objectif, il est nécessaire de calibrer l AG en étudiant différentes fonctions analytiques. Un compromis entre rapidité de la convergence et précision de la solution optimale obtenue est donc à faire. C est pourquoi de nouvelles méthodes basées sur les AG ont été développées telles que l algorithme CMA-ES (Covariance Matrix Adaptation Evolutionary Strategy). Avec le CMA-ES, les nouveaux individus sont distribués aléatoirement via une distribution Normale N (m g, σ 2 gc g ) [25]. La moyenne, la matrice de covariance ainsi que la variance sont mises à jour à chaque génération en fonction de la population courante afin de diriger les sélection dans les directions privilégiées (figure 3.6). Figure 3.6 Evolution d un population avec le CMA-ES. Ces méthodes présentent l avantage de garantir une convergence vers l optimum global. Elles ne nécessitent pas le calcul de dérivées de la fonction objectif, elles se contentent des résultats des évaluations. Elles n imposent donc pas de critère de régularité à la fonction. Ces atouts se payent aux prix d un nombre important d évaluations. En effet, les algorithmes évolutionnaires reposent sur l étude d une population de grande taille sur plusieurs générations. Ainsi, si les évaluations sont coûteuses, la boucle d optimisation peut-être très longue. On se rend donc compte qu il est difficile de concilier la rapidité et la globalité d une recherche. Depuis la fin des années 90, de nouvelles techniques apparaissent. Elles consistent à approximer la surface de réponse réelle par une fonction à partir d un certain nombre d évaluations. Possédant une expression analytique, il est alors plus aisé de minimiser la surface approximée à l aide d un algorithme d optimisation globale (PSO (Particles swarm optimization) (annexe D), AG...). 2.4 Interpolation de surface de réponse L interpolation de surface a été historiquement développée pour la recherche minière au début des années 50. En effet l ingénieur sud-africain Danie G. Krige [34] connaissait la

73 2 Méthodes d optimisation 65 richesse du sol en un nombre fini de points et souhaitait prédire les sites prometteurs pour les prochains forages. Pour cela il estimait une cartographie de l ensemble du territoire concerné et la remettait à jours au fur et à mesure qu il augmentait sa base de données. Il faudra attendre 1963 pour que Matheron [40] formule mathématiquement ce que l on appelle le krigeage (ou kriging en anglais) Le krigeage L objectif du krigeage est d estimer la fonction f en tout point x tout en ne connaissant que N évaluations exactes de f. Pour cela la fonction inconnue f est considérée comme un processus gaussien, de moyenne m et de variance σ 2, et les N évaluations comme N réalisations aléatoires de ce processus. m est alors prise comme approximation ˆf de f. A l aide de la matrice de covariance C N dont les termes c ab = c(x a, x b ) traduisent les corrélations entre les différents paramètres, m et σ sont calculées en tout nouveau point x N+1. On obtient donc une estimation ˆf sur l ensemble du domaine (voir annexe C). Le point important du krigeage est le calcul de la matrice de covariance. Dans notre cas, ses différents termes c ab sont calculés suivant la formule suivante : [ c ab = θ 1 exp 1 n (x ai x bi ) 2 ] + θ 2 (3.18) 2 r i=1 i Les paramètres θ 1, θ 2 et r i1 i N sont déterminés en minimisant le logarithme de la fonction de vraisemblance Υ (équation 3.19) [13]. Υ = F N C 1 N F N + log det(c N ) (3.19) Au sein des méthodes d optimisation par interpolation de surface de réponse, deux grandes branches se sont développées au cours du temps. La première consiste à évaluer une large base de données et à prendre une partie des points (au moins le tiers) pour construire le modèle (la surface de réponse) qui estimera le phénomène physique étudié. Les points n ayant pas pris part à l élaboration du modèle servent à le valider. Si c est le cas, on considère que résoudre le problème d optimisation réel revient à rechercher le minimum de la surface d interpolation. Les évaluations du modèle étant nettement moins couteuses, il est alors possible d utiliser une méthode globale. La seconde débute avec une base de données plus petite. Une première surface de réponse est estimée. Un certain nombre de points sur cette surface est choisi et évalué exactement. On les ajoutent à la base de données initiales et une nouvelle surface est estimée. L algorithme s arrête, soit après un nombre fixé d itérations, soit lorsqu un critère seuil est atteint. La première méthode est avantageuse lorsque les évaluations peuvent être largement parallélisées pour générer la base de données initiale. Elle est également intéressante lorsqu il s agit d une généralisation du problème d optimisation. Si l on sait combien de points ont été nécessaires pour estimer correctement le modèle pour un cas donné, si l on modifie légèrement l environnement on peut penser qu il en faudrait sensiblement le même nombre. Par contre si le problème est complètement inconnu, alors il y a un risque de surestimer le nombre de points, et alors de perdre du temps de calculs, mais surtout de le sous-estimer et donc de devoir ajouter progressivement des points. On revient alors à la seconde méthode.

74 66 CHAPITRE 3. PROBLÈME D OPTIMISATION Dans notre cas, nous abordons pour la première fois ce problème d optimisation. Nous nous intéressons donc aux méthodes qui mettent à jours à chaque itération la surface de réponse. Les itérations de ce type d algorithme peuvent être décrites par l algorithme 5 et sont reprises en détail dans la suite. Algorithme 5 Algorithme par interpolation de surface Entrées: Sélection de N points et choix d une tolérance ǫ > 0. Evaluation par f des N points. Génération d une surface de réponse par krigeage à partir des N points de la base de données. Sélection des M points à évaluer en minimisant M fonctions de mérite tantque ( x i x j i [1,N] j [1,M] > ǫ faire Evaluation par f des M points. Ajout des M points dans la base de données. N N + M Génération d une surface de réponse par krigeage à partir des N points de la base de données. Sélection des M points à évaluer en minimisant M fonctions de mérite (voir 2.4.2). fin tantque Le choix des fonctions de mérite à optimiser est également un point important. Nous revenons ici sur certaines stratégies qui ont été développées Fonctions de mérite Minimiser la fonction ˆf Avec ce critère le point que l on évalue à l itération N + 1 est toujours le minimum de la fonction ˆf obtenue par krigeage avec les N itérations précédentes. Cette approche est la plus simple et la plus naïve. Elle a un risque très élevé de rester bloquée dans un bassin local de la fonction f si l approximation initiale est très éloignée de la solution exacte. Avec l exemple présenté figure 3.7, on constate que la méthode a concentré l ensemble des évaluations après l initialisation dans le bassin local. L algorithme n arrivera jamais à en ressortir car le minimum de la surface interpolée se trouvera toujours dans la même région. Minimiser une borne inférieure de confiance Ce critère utilise la variance qui a été calculée précédemment. Il minimise une ou plusieurs fonctions de mérite f m de la forme suivante : f mα = ˆf ασ (3.20) avec α N. Si l on utilise qu une seule fonction f m, on conserve le risque de ne converger que localement (figure 3.8). C est pourquoi il est nécessaire de minimiser f mα pour différentes valeurs de α. Büche et al. [12] préconisent la minimisation de trois ou quatre fonctions pour des valeurs de α comprises entre 1 et 4. Cet intervalle permet de combiner une recherche locale (faibles valeurs de α) et une exploration (α = 4) des parties du domaine avec une faible densité

75 2 Méthodes d optimisation 67 Figure 3.7 Sélection des points minimisant ˆf. L image supérieure représente l initialisation de l algorithme. Celle inférieure présente la méthode à un étape n. Les carrés indiquent les points évalués, ˆf est tracée en gras et f avec des tirets. D après Villemonteix [59]. Figure 3.8 Sélection des points en minimisant une borne inférieure pour différentes itérations. Les ronds indiquent les points évalués, ˆf est tracée avec des tirets et la borne à minimiser avec une ligne continue et f sur la dernière vignette. D après Jones [30]. d évaluations. L utilisation de plus de quatre fonctions de mérite n apporte pas de meilleurs résultats en termes de convergence et de nombre d évaluations [13]. Dans [13], Chandrashekar et Duvigneau présentent le modèle GMO (Global metamodelbased optimization) développé par leur équipe de l INRIA. Ce modèle repose sur une phase de krigeage suivie de la minimisation par PSO de trois fonctions de mérite minimisant des bornes inférieures de confiance (équations 3.20 avec α = {0; 1; 2}). Il est comparé à différents modèles, notamment d autres méthodes par interpolation de surface et des algorithmes évolutionnaires, sur une étude d optimisation numérique de forme d une aile d avion. L optimisation porte sur la réduction de trainée de l aile avec dans un premier

76 68 CHAPITRE 3. PROBLÈME D OPTIMISATION temps huit paramètres puis seize. Dans tous les cas le GMO fournit une meilleure réduction de trainée et avec un nombre inférieur d évaluations numériques. De plus le GMO est moins sensible que les autres algorithmes à interpolation de surface à la taille de la base de données initiale. C est pourquoi dans la suite nous choisirons le méta-modèle GMO comme modèle avec interpolation de surface. 3 Evaluation des méthodes d optimisation Afin de choisir la méthode la plus adaptée à notre problème industriel, nous comparons les méthodes présentées précédemment. Pour cela nous les utilisons pour la minimisation de fonctions analytiques tests. Nous choisissons de minimiser des fonctions analytiques caractéristiques des surfaces que l on cherchera à optimiser par la suite. Elles possèdent une enveloppe globale convexe mais avec plusieurs bassins de minima locaux. Ceci nous permet de simuler un bruit numérique lié aux simulations, qui pourrait apparaitre au cours de notre processus d optimisation et qui de par la dispersion, introduit artificiellement des pics et vallées localement. La troisième fonction test ne présente aucune condition de symétrie ou de périodicité et le minimum global n est pas au centre du domaine. 3.1 Fonctions analytiques testées Fonction de Griewank La fonction de Griewank [24] présente de nombreux minima locaux mais un seul minimum global de valeur -1 au point de coordonnées nulles. A n paramètres la fonction s écrit de la manière suivante : n x 2 i f(x) = 50 n ( ) xi cos i=1 i=1 i (3.21) La figure 3.9 présente la fonction de Griewank pour n = 2 sur l intervalle[ 10; 10] 2. Le minimum de la fonction est de valeur -1 et se situe au centre du domaine de recherche. 5 4 Z Y X Figure 3.9 Représentation de la fonction de Griewank à deux paramètres. Minimum=-1 localisé en (0,0).

77 3 Evaluation des méthodes d optimisation 69 Fonction de Rastrigin Cette fonction est nettement moins régulière que la précédente. Elle possède d avantage de minima sur l intervalle [ 2; 2] 2 que la fonction de Griewank sur l intervalle [ 10; 10] 2. A n paramètres la fonction s écrit de la manière suivante : f(x) = n i=1 ( ) x 2 i cos (18x i ) + n (3.22) La figure 3.10 présente la fonction de Rastrigin pour n = 2 sur l intervalle [ 2; 2] 2. Le minimum de la fonction est de valeur 0 et se situe à l origine (0,0) du domaine de recherche Z Y X Figure 3.10 Représentation de la fonction de Rastrigin à deux paramètres. Minimum=0 localisé en (0,0) Fonction de Shekel Cette fonction ne présente aucune condition de régularité pouvant avantager le GMO qui utilise une interpolation de surface. Sa surface est relativement plate et parsemée d un certain nombre de bassins locaux (figure 3.11). Le nombre de minima, leur localisation et leur valeur dépendent des coefficients choisis pour définir la fonction. avec dans notre cas : 30 f(x) = 100 n j=1 i=1 1 ( (x i r i,j ) 2 + rn+1,j 2 ) (3.23) et r i,j = 6 [(i + 2) mod j], i [1, n], j [1, 30] r n+1,j = 2 [11 mod j] + 2, j [1, 30] (3.24) et le minimum global de valeur -4,5 localisé en (9.10 2, 2, , 1, , 1, , 1, , 3, , 8, ).

78 70 CHAPITRE 3. PROBLÈME D OPTIMISATION 0-5 Z Y X Figure 3.11 Représentation de la fonction de Shekel à deux paramètres. Pour les conditions données au paragraphe 3.1, le valeur minimum est de -24 situé en (18,27) 3.2 Codage des méthodes d optimisation. Les techniques d optimisation testées dans ces travaux sont codées de deux manières différentes. Les deux méthodes de Simplex ainsi que la méthode Quasi-Newton BFGS sont écrites en langage Scilab. Ce logiciel présente l avantage d être facilement transportable d une machine à l autre. Pour les méthodes CMA-ES et GMO, nous utilisons la plateforme FAMOSA développée par l équipe Opale de l Inria. Le logiciel est codé en C++ et fonctionne sous Linux. 3.3 Résultats Les résultats présentés par la suite sont la moyenne de cent minimisations des fonctions avec cent initialisations différentes choisies aléatoirement. Ceci nous permet donc de contrôler la robustesse des méthodes et nous évite de favoriser une méthode par rapport à l autre. Par exemple si pour les fonctions de Griewank ou de Rastrigin nous donnions comme point de départ le centre d un basin local, la méthode de Quasi-Newton serait fortement désavantagée Calibration du CMA-ES et du GMO Ces deux méthodes nécessitent que l utilisateur choisisse des paramètres concernant la population initiale. Avant de les comparer aux autres méthodes, il est alors nécessaire de définir les conditions initiales les plus performantes pour chacune d elle. Intéressons-nous dans un premier temps à la méthode de CMA-ES. CMA-ES Le CMA-ES a besoin comme données d entrée la taille de l espace couvert par la population initiale. Si une population est concentrée à un endroit opposé au minimum, elle mettra plus de temps à se diriger vers l optimum qu une autre recouvrant une part plus importante du domaine de recherche. D un autre côté, étant donné que le CMA-ES se base sur le calcul d une matrice de covariance, si la population est trop éparpillée celle-ci peut mal représenter l allure réelle de la fonction et orienter la recherche vers de mauvaises

79 3 Evaluation des méthodes d optimisation 71 positions. Nous testons donc pour chacune des trois fonctions les cas où la population recouvre 1%, 10%, 25%, 50% et 100% du domaine des paramètres. Les figures 3.12 montrent les convergences moyennes du CMA-ES pour les fonctions de Griewank, de Rastrigin et de Shekel pour les différentes répartitions de la population. A chaque fois, le cas où la population ne recouvre qu 1% du domaine se détache des autres. Lors de la minimisation de la fonction de Rastrigin, il n arrive pas à trouver le minimum global contrairement aux autres. Pour les deux autres fonctions, même si l on observe une convergence correcte et avec la même pente que pour les autres taux de recouvrement, il prend un retard trop important au départ et atteint donc l optimum avec un nombre d itérations plus important. Dès que la population recouvre plus de 10% de l espace de recherche, la dispersion n a plus d influence importante sur la convergence. L optimum trouvé est identique et chaque fois avec un nombre similaire d évaluations. La principale différence concerne les premières itérations. Lorsque la population recouvre 100% de l espace de recherche, le CMA-ES accuse une retard d une vingtaine d itérations sur le cas où la population initiale ne recouvre que 10% pour la minimisation de la fonction de Rastrigin, et les deux courbes ne se rejoignent qu après plus de cent itérations. Avec la fonction de Griewank, les tendances sont inversées mais un écart de seulement cinq itérations est observé. Dans la suite nous choisirons donc une population initiale recouvrant 25% de l espace des paramètres qui nous semble un bon compromis. GMO Pour le GMO, il est nécessaire de fournir une base de données initiale pour la création de la première surface de réponse. Un compromis est à obtenir entre son temps de génération et la fiabilité de la première approximation. Nous évaluons donc le GMO sur les trois fonctions avec quatre tailles de population initiale allant de une fois le nombre de paramètres à quatre fois le nombre de paramètres n (figure 3.13). Les résultats suivants présentent la valeur minimale de la fonction trouvée non-plus en fonction des itérations mais en fonction du nombre d évaluations. Cette représentation permet de tenir compte du temps de génération de la base de données initiale. Les tendances que l on peut observer sont identiques pour l ensemble des fonctions. Lorsque la base de données initiale ne mesure qu une fois le nombre de paramètres, le GMO est nettement moins performant qu avec des bases de données plus larges. Ceci s explique par le fait que la première surface interpolée est trop éloignée de la solution et qu elle n oriente pas l optimisation vers les meilleurs candidats. Malgré un retard dû à l initialisation, les courbes représentant les optimisations avec une base de données de 2n, 3n et 4n rattrapent et dépassent rapidement la convergence avec 1n et suivent toutes les trois une évolution semblable. Elles convergent rapidement vers un même optimum avec un nombre d évaluations voisin. Le nombre de points nécessaires à la bonne définition de la première surface est suffisant pour bien orienter la recherche lors des premières itérations et l ajout de points initiaux n a plus d influence sur cette recherche et ne réduit pas radicalement la valeur du premier optimum trouvé. Pour les fonctions de Griewank (figure 3.13(b)) et de Shekel (figure 3.13(c)), l optimum déterminé, lorsque la base de données initiale est de taille au moins égale à 2n, est le minimum global. Par contre avec la fonction de Shekel, le GMO n arrive pas à converger vers le bon minimum, quelque soit la taille de la base de données. Il s agit d un problème d allocation mémoire dans le code du GMO. Au delà de 100 évaluations, l algorithme n arrive plus à déterminer les bons paramètres de krigeage. L optimisation est alors arrêtée. On remarque que choisir entre deux et quatre fois le nombre de paramètres influence

80 72 CHAPITRE 3. PROBLÈME D OPTIMISATION (a) Fonction de Rastrigin (minimum global = 0) (b) Fonction de Griewank (minimum global = -1) (c) Fonction de Shekel (minimum global = -4,5) (d) Taux de recouvrement de l espace de recherche par la population initiale Figure 3.12 Minimisation de fonctions analytiques par le CMA-ES pour différentes répartitions de la population initiale. (a) Fonction de Rastrigin. (b) Fonction de Griewank. (c) Fonction de Shekel. peut le résultat de l optimisation (figure 3.13). Dans la suite de cette thèse nous choisirons d initialiser le GMO par une base de données de taille 3n Comparaison des différentes méthodes Nous comparons maintenant l ensemble des méthodes d optimisation pour chacune des fonctions. Dans la suite de notre étude une évaluation correspondra à une simulation CFD et possèdera donc un coût important comparé au temps nécessaire pour déterminer les nouveaux candidats. De plus, les moyens de calcul disponibles au sein de PSA Peugeot Citroën permettent d évaluer jusqu à trois configurations simultanément. La durée d une itération n est donc pas proportionnelle aux nombres d évaluations mais dépend de la possibilité de faire ou non des calculs en parallèle. Afin d en tenir compte, nous représentons figure 3.14 l évolution des minima obtenus par les différentes méthodes pour chaque fonction par rapport à une unité de temps CFD. L unité de temps est définie comme étant égale à la durée d un calcul. Ainsi, par exemple, une itération du GMO représente une unité de temps car les trois évaluations sont indépendantes et sont réalisées en même temps. Par

81 3 Evaluation des méthodes d optimisation 73 (a) Fonction de Rastrigin (minimum global = 0) (b) Fonction de Griewank (minimum global = -1) (c) Fonction de Shekel (minimum global = -4,5) (d) Taille de la base de données initiales Figure 3.13 Minimisation de fonctions analytiques par le GMO pour différentes tailles de population initiale. (a) Fonction de Rastrigin. (b) Fonction de Griewank. (c) Fonction de Shekel. contre, le Simplex de Nelder-Mead doit dans un premier temps évaluer le point réfléchi, puis en fonction du résultat, déterminer si besoin, le second point à tester. Ces deux phases représentent donc deux unités de temps CFD. Le tableau regroupe pour chaque méthode le coût d une itération en unité de temps CFD. Nous recherchons la méthode permettant d obtenir un gain maximum en un temps faible. En effet, étant dans un cadre industriel, il ne nous est pas possible de réaliser le processus d optimisation sur une longue durée (plusieurs mois). Notre critère d arrêt, dans ce cas, sera alors principalement le temps alloué pour la réalisation du processus et non un critère de convergence strict. C est pourquoi, dans cette section, bien que toutes les méthodes aient atteint leur critère de convergence pour l ensemble des fonction, nous ne traçons les résultats que pour un nombre limité d unité de temps CFD. Méthode de Quasi-Newton La méthode de Quasi-Newton présente à chaque fois une convergence extrêmement lente. Pour les fonctions de Rastrigin et de Griewank elle est rapidement piégée par les

82 74 CHAPITRE 3. PROBLÈME D OPTIMISATION Méthode Coût de l initialisation Coût d une itération 1 si arrêt au point réfléchi Simplex Nelder-Mead 3 2 si arrêt au second point 5 si contraction globale Simplex Torczon 3 3 si arrêt au Simplex réfléchi 6 si arrêt au second point Quasi-Newton recherche du pas CMA-ES 3 3 GMO 7 1 Table 3.1 Coût des différentes méthodes d optimisation en unité de temps CFD. nombreux bassin locaux. Une fois attirée par l un d eux, elle a énormément de mal à en ressortir. Dans le cas de la fonction de Shekel, du fait que la surface supérieure soit très plate, les gradients sont faibles et la fonction progresse donc très lentement. De plus elle est très pénalisée par le nombre élevé d évaluations par itération (calcul de la solution candidate, calcul du gradient, recherche du pas). Cette méthode n est donc pas adaptée à notre cas d étude aérodynamique. CMA-ES Le CMA-ES présente une vitesse de convergence vers l optimum relativement rapide mais avec un nombre d unités de temps très important. En effet, il en nécessite trois à chaque itération. De plus, du fait que cet AG dépende d un matrice de covariance, il est également impacté par cette faible courbure de la fonction de Shekel. C est pour cette raison que l on observe une convergence similaire à celle du Quasi-Newton. Malgré le fait qu il converge de manière robuste vers l optimum, le temps nécessaire est rédhibitoire pour son utilisation dans le reste de l étude. Méthodes de Simplex Les deux méthodes semblent avoir des capacités sensiblement identiques. Leurs courbes pour les fonctions de Rastrigin et de Griewank ont la même allure. Cependant un léger écart en terme de valeur (0,2 point) est observé en défaveur du Simplex de Torczon. Cet écart se traduit par une différence allant de trois à sept unités de temps en faveur de la méthode de Nelder-Mead pour atteindre une même valeur. Ces écarts se creusent sur la fonction de Shekel, toujours du fait de cette faible pente. Lors des premières itérations les deux méthodes réalisent des expansions de leur Simplex. Mais pour l algorithme de Torczon cette phase nécessite six unités de temps (trois pour le Simplex réfléchi + trois pour l expansion) contre seulement deux pour celui de Nelder-Mead (une pour le point réfléchi + une pour l expansion). La première phase de l optimisation consistant à se diriger vers le bassin de la fonction de Shekel pénalise alors fortement la méthode de Torczon. GMO Le GMO se place en permanence parmi les méthodes les plus performantes pour chacune des fonctions. Sa méthode de recherche est la même à chaque fois. Une baisse rapide (en comparaison aux autres méthodes) du minimum est réalisée dans les premières itérations après les évaluations du set de départ (pris ici à 3n évaluations (voir 3.3.1)), ensuite la pente de la courbe décroît et le modèle détermine de manière plus précise l optimum.

83 3 Evaluation des méthodes d optimisation 75 Cette stratégie est d autant plus visible sur la figure 3.14(c). Alors que les premières méthodes sont gênées par les faibles pentes, le GMO tire profit de son interpolation globale pour déterminer rapidement la zone de recherche fructueuse. Pour les fonctions de Rastrigin et de Griewank, bien que présent, cet avantage est moins marqué car les méthodes de Simplex notamment peuvent utiliser efficacement l enveloppe quadratique des fonctions pour descendre rapidement lors des premières itérations. Etant encore de grande taille, les Simplex ne sont pas bloqués dans les bassins locaux. (a) Fonction de Rastrigin (minimum global = 0) (b) Fonction de Griewank (minimum global = -1) (c) Fonction de Shekel (minimum global = -4,5) (d) Méthodes Figure 3.14 Minimisation des trois fonctions analytiques par les différentes méthodes d optimisation. (a) Fonction de Rastrigin. (b) Fonction de Griewank. (c) Fonction de Shekel.

84 76 CHAPITRE 3. PROBLÈME D OPTIMISATION 4 Conclusion Nous avons présenté dans ce chapitre, le principe général d un problème d optimisation et nous avons évoqué un certain nombre de stratégies permettant de le résoudre. Il avait pour objectif de nous permettre de choisir la méthode la plus adaptée à notre processus d optimisation aérodynamique. Pour cela, nous nous sommes tout particulièrement concentrés sur cinq techniques que nous avons présentées en détails et évaluées sur trois fonctions analytiques. La méthode de descente, le Quasi-Newton, a montré ses limites à évoluer sur une surface de réponse présentant de nombreux minima mais également lorsque les gradients sont faibles et qu ils ne peuvent guider fortement la progression de la recherche. L étude de l algorithme génétique CMA-ES a dans un premier temps consisté à l analyse des conditions initiales de l optimisation. La calibration de l éparpillement de la première population dans l espace de recherche a démontré qu à partir de 10% de recouvrement les résultats ne sont plus dépendant de ce paramètre. Par contre, cette stratégie nécessite un nombre important d évaluations et n est donc pas adaptée à une utilisation industrielle. Deux méthodes de Simplex ont été testées. Elles prouvent toutes deux leur efficacité sur des fonctions qui ne leur sont a priori pas favorables. Elles arrivent parfaitement à se sortir du pièges des bassins locaux. Une méthode dépasse cependant l autre : la méthode de Nelder-Mead. Son faible nombre d évaluations par itération et ses performances en font une méthode adaptée à notre problématique. Enfin, une méthode utilisant une interpolation de surface est analysée, le GMO. Après avoir montré qu une base de données initiales de taille comprise entre deux et quatre fois le nombre de paramètres présente les meilleurs résultats, elle démontre sa grande capacité à converger vers l optimum en un faible nombre d évaluations. Cette stratégie est également une très bonne candidate pour notre processus. En conclusion, deux méthodes sont susceptibles d être utilisées dans notre boucle d optimisation : le Simplex de Nelder-Mead et le GMO. Il est difficile de statuer sur l une ou l autre des stratégies uniquement avec des tests sur des fonctions analytiques. C est pourquoi, dans le chapitre suivant, nous utiliserons ces deux méthodes pour la recherche des paramètres optimaux de forme des générateurs de tourbillons pour la réduction de trainée du volet inclinée. La méthode la plus performante sera alors utilisé pour réduire la trainée d une maquette de véhicule.

85 Chapitre 4 Optimisation des VGs pour la réduction de traînée Jusqu à présent nous avons étudié séparément les deux parties d un processus d optimisation : la recherche des nouvelles solutions (chapitre 3) et l évaluation de celles-ci avec les termes sources (chapitre 2). Dans ce chapitre nous les regroupons dans une boucle d optimisation dont la fonction objectif est la réduction de traînée des géométries étudiées. Afin de mettre en place la boucle d optimisation, dans un premier temps nous reprendrons le cas test du volet incliné présenté précédemment. Nous en profitons également pour comparer les performances de la méthode GMO et celles de la méthode de Simplex dans ce cadre aérodynamique. 1 Automatisation de la boucle 1.1 Présentation de la boucle Notre boucle d optimisation nécessite l utilisation de plusieurs logiciels sur plusieurs plate-formes. Les figures 4.1 et 4.2 présentent schématiquement les différentes étapes et appels aux logiciels dans le cas d une boucle avec les méthodes de Simplex et GMO. Les rectangles indiquent les appels aux logiciels et les ovales les données transférées. Les différentes étapes sont séquentielles et sont déclenchées après un test bloquant d existence prouvant la bonne réalisation de l étape précédente. Dans les deux configurations, les différentes actions sont coordonnées à l aide d une procédure par lots (batch) fonctionnant en boucle sous Windows, le système d exploitation utilisé au sein de PSA Peugeot Citroën. La principale différence entre les deux processus provient du fait que la méthode GMO fonctionne sous Linux. Il est alors nécessaire de réaliser un réseau entre les deux machines fonctionnant l une sous Windows et l autre sous Linux 1. Le transfert des données se fait alors via une procédure File Transfer Protocol (FTP). 1. Pour des questions de sécurité de réseau, il n est pas possible de connecter directement la station Linux au réseau de l entreprise. Nous sommes donc obligés de faire transiter l information par la station sous Windows pour soumettre les calculs. 77

86 CHAPITRE 4. OPTIMISATION DES VGS POUR LA RÉDUCTION DE 78 TRAÎNÉE Figure 4.1 Boucle automatique d optimisation avec le méthode de Simplex de Nelder- Mead Figure 4.2 Boucle automatique d optimisation avec la méthode GMO.

87 1 Automatisation de la boucle Paramétrisation des VGs Définition des paramètres Nous rappelons ici, par soucis de clarté, qu une configuration de VG est définie par sept paramètres : trois pour la forme, trois pour l arrangement et enfin la position du centre de la ligne de VGs par rapport à la ligne de décollement (figure 4.3) (a) Forme (b) Arrangement (c) Position Figure 4.3 Paramètres d optimisation des générateurs de tourbillons Vérification des géométries Les paramètres des nouveaux candidats fournis pour les méthodes d optimisation sont susceptibles de ne pas vérifier les bornes de l ensemble de définition des variables et des contraintes géométriques. Les bornes minimale et maximale de chaque paramètre sont précisées par la suite pour chacune des deux géométries étudiées. Les conditions géométriques vérifiées et les corrections apportées en cas de leurs nonrespect sont les suivantes : Si c < 0, d < 0, l < 0, α < 0 ou d > l, les arrangements sont tout à fait réalisables mais ne respectent pas les conventions : longueurs positives et α > 0. Dans ce cas, les variables sont simplement recalculées afin de retrouver un arrangement global identique à l intérieur du domaine de recherche. Un exemple est présenté figure 4.4(a) pour l < d. Dans ce cas, uniquement la valeur de d est modifiée, les autres restant inchangées (figure 4.4(b)). (a) Original (b) Après corrections Figure 4.4 Mauvais arrangements des VGs dûs aux espacements. Chaque couleur définit une paire de VGs.

88 CHAPITRE 4. OPTIMISATION DES VGS POUR LA RÉDUCTION DE 80 TRAÎNÉE Pour des configurations avec un angle β < 0, en fonction de c et de Z 0 il y a un risque que le bord de fuite des VGs pénètre dans la surface du support (figure 4.5(a)). Si cette configuration est proposée par le méthode d optimisation, après corrections nous retiendrons la forme émergée des VGs (figure 4.5(b)). Donc de ce cas, c est modifiée mais également x 0 pour que la partie conservée ne soit pas déplacée car x 0 définit la position du centre du VG, les autres paramètres demeurant constants. Si Z 0 < 0, cette fois le bord d attaque pénètre dans la paroi et la partie aval du VG est au dessus de la surface. La même démarche est utilisée pour définir les nouveaux VGs. Mais dans ce cas Z 0 est mis égal à zéro. (a) Original (b) Après corrections Figure 4.5 Exemple de VG pénétrant dans la surface support. Suivant les valeurs de α, c, l et d les VGs peuvent se croiser et créer alors des arrangements de VGs non-réalistes. Deux exemples sont présentés figure 4.6. Lorsqu une telle situation se présente, les quatre paramètres en question sont modifiés automatiquement. Un balayage des paramètres entre les bornes minimum et maximum est réalisé avec un pas donné pour chaque paramètre. La distance euclidienne dans l espace des paramètres de chaque configuration viable avec la configuration originale est calculée. La configuration retenue est celle dont la distance est la plus petite. L algorithme 6 présente la méthode suivie lorsque les bords de fuite se croisent et l algorithme 7 lorsque ce sont les bords d attaque qui se croisent. (a) Croisement au niveau du bord d attaque dans une paire (b) Croisement au niveau du bord de fuite entre paires Figure 4.6 Exemples d entrecroisements des VGs. En fonction de x 0, c et α les VGs ont un risque de dépasser totalement ou partiellement la borne minimale ou maximale de x 0 (figure 4.7). Dans ce cas ils sont ramenés dans la zone d implantation en modifiant x 0.

89 1 Automatisation de la boucle 81 Algorithme 6 Algorithme de correction lorsque les bords de fuite se croisent Entrées: Le set de paramètres X ref = [α ref, c ref, d ref, l ref ] issu de l algorithme d optimisation et les pas de recherche δ α, δ c, δ d et δ l. X X ref Calcul de D ref = X ref 2 D D ref tantque α α min faire tantque c c min faire tantque d d min faire tantque l l max faire l l + δ l si Les bords de fuite et d attaque ne s entrecroisent pas Calcul de D = X X ref 2 si D < D corrigé X corrigé X D corrigé D finsi finsi fin tantque d d δ d fin tantque c c δ c fin tantque α α δ α fin tantque Sortie : X corrigé Figure 4.7 Exemple de VG ne reposant plus entièrement sur la géométrie. 1.3 Mesure de la réduction de trainée Dans la suite nous considérons la traînée comme fonction objectif pour l optimisation. La traînée de la géométrie et des VGs est calculée par un bilan de quantité de mouvement (équation 5.2) comme nous l avons exposé au chapitre 1. Ceci nous permet de prendre en compte la traînée des VGs qui ne peut pas être évaluée par intégration des contraintes car ils ne sont "physiquement" pas présents dans la simulation. SC x = S aval ( 1 u ) 2 ds + ρu 2 U 2 S aval ( v U 2 + w U 2 ) ds + (p t p t ) ds (4.1) S aval

90 CHAPITRE 4. OPTIMISATION DES VGS POUR LA RÉDUCTION DE 82 TRAÎNÉE Algorithme 7 Algorithme de correction lorsque les bords d attaque se croisent Entrées: Le set de paramètres X ref = [α ref, c ref, d ref ] issu de l algorithme d optimisation et les pas de recherche δ α, δ c et δ d. X X ref Calcul de D ref = X ref 2 D D ref tantque α α min faire tantque c c min faire tantque d d max faire d d + δ d si Les bords de fuite et d attaque ne s entrecroisent pas Calcul de D = X X ref 2 si D < D corrigé X corrigé X D corrigé D finsi finsi fin tantque c c δ c fin tantque α α δ α fin tantque Sortie : X corrigé avec U =[u,0,0] la vitesse amont et p t et p t les pressions totales amont et dans le plan considéré à l aval de la manipulation et S la surface caractéristique de la géométrie. 2 Minimisation de la traînée du volet incliné 2.1 Cadre du problème d optimisation Espace des paramètres de l optimisation Dans cette procédure d optimisation, les paramètres varient entre les bornes définies dans le tableau 4.1. Nous choisissons volontairement un domaine de recherche légèrement plus grand que ceux utilisés dans les précédentes études de Lin[36] ou Godard et Stanislas[23]. Ces bornes ont été choisies pour permettre aux techniques d optimisation d explorer de nouvelles régions ou des régions très peu étudiées dans la bibliographie. Notamment nous autorisons les VGs à avoir un bord de fuite plus petit que le bord d attaque (β < 0 ). Pour les autres paramètres nous avons centré le domaine de recherche sur les valeurs préconisées dans la littérature. Nous avons interdit à certains paramètres de prendre la valeur 0 pour une question de pertinence. En effet il est inutile de tester des configurations avec des espacements d ou L ou des cordes c nuls. 2.2 Résultats Les simulations numériques sont réalisées en utilisant le même paramétrage que celui présenté dans le chapitre 2.

91 2 Minimisation de la traînée du volet incliné 83 Minimum Maximum α 0 40 β Z 0 /δ 0 2,0 c/δ 0,2 2,75 d/δ 0,1 3,0 l/δ 0,5 6 x 0 /δ Table 4.1 Bornes minimum et maximum de l espace des paramètres pour l optimisation Initialisation de l optimisation L initialisation des deux méthodes est faite de la même manière que lors de l étude sur les fonctions analytiques décrite dans le chapitre 3. Pour la méthode du Simplex, les huit points initiaux sont placés de manière aléatoire dans le domaine de recherche alors qu un hypercube latin (annexe C) est utilisé pour le choix de la base de données initiale de la méthode GMO. La figure 4.8 (suivant le style de représentation des points) présente la répartition des points initiaux dans l espace des paramètres pour chacune des méthodes. Les deux groupes de points sont répartis sur l ensemble du domaine. Ceci limite donc le danger de rester bloqué dans un bassin local et permet une exploration relativement globale de l espace. On peut également remarquer que la méthode GMO possède déjà un point avec une forte réduction de traînée (-32%) alors que les autres sont dans une gamme de gain plus resserrée. On peut présupposer que la première surface interpolée sera alors plutôt lisse avec un bassin très marqué. Concernant le Simplex, il est a noter qu il existe un gros écart entre son meilleur élément (-9%) et son plus mauvais (+11%). Nous rappelons que cette méthode repose sur l amélioration du plus mauvais point à chaque itération et le fait que les points aient des valeurs bien différentes risque d allonger le temps de convergence de la méthode Convergence La figure 4.9 présente l évolution du minimum trouvé par chacune des deux méthodes en fonction du nombre d évaluations réalisées (figure 4.9(a)) et du nombre d unités de temps CFD nécessaires (figure 4.9(b)). Après l initialisation, la méthode GMO a déjà un gros avantage sur celle de Simplex. Ensuite, malgré quelques itérations sans améliorations, le GMO décroît rapidement vers une réduction de plus de 50% de la traînée en une trentaine d évaluations au total et seulement quinze unités de temps. Il ne présente que très peu d itérations sans diminution de la fonction objectif. La méthode de Simplex a été pénalisée par son initialisation, les premières itérations ont consisté à recentrer les points du Simplex autour de l optimum déjà trouvé. Elle présente sept itérations sans amélioration. Ensuite la décroissance est assez rapide avant une contraction globale permettant d atteindre la réduction de plus de 30% en cinq itérations de plus que la méthode GMO. Mais du fait que les évaluations de la méthode de Simplex ne peuvent pas être exécutées en parallèle, elle accuse un retard important en terme d unité de temps.

92 CHAPITRE 4. OPTIMISATION DES VGS POUR LA RÉDUCTION DE 84 TRAÎNÉE (a) Z 0/δ (b) c/δ (c) β (d) α (e) d/δ (f) l/δ (g) x 0/δ Figure 4.8 Réduction de traînée (en %) en fonction de chaque paramètres. Points initiaux pour la méthode de Simplex et GMO.

93 2 Minimisation de la traînée du volet incliné 85 (a) Evaluation (b) Unité de temps CFD Figure 4.9 Evolution de la réduction de traînée en fonction du nombre d évaluations (a) et de l unité de temps CFD (b) pour la méthode de Simplex et le GMO Influence des paramètres sur la traînée L ensemble des candidats évalués par les deux méthodes est reporté dans les graphiques de la figure Chacune des méthodes est représentée de manière distincte. Un graphique donné nous montre l influence d un paramètre sur la traînée ; les autres étant laissés libres. Ils nous permettent également de nous rendre-compte de l exploration du domaine par l algorithme GMO et la méthode de Simplex. Ces résultats sont à interpréter avec précaution parce qu il y ne s agit pas d une étude paramétrique. Les graphiques sont uniquement une projection de l espace global sur un plan défini par le paramètre étudié et la réduction de traînée. Ainsi, en analysant un paramètre, nous ne prenons pas en compte les variations des autres variables d une configuration à l autre. Cependant certaines observations peuvent être faites. Les deux algorithmes semblent converger vers deux bassins différents en ce qui concerne la hauteur z 0 (figure 4.10(a)). La méthode de Simplex évalue principalement des VGs avec une hauteur de bord d attaque totalement immergée dans la couche limite, ce qui est cohérent avec ce que l on peut voir dans les études précédentes 2 (z 0 /δ 0, 3). Elle se dirige vers un optimum pour Z 0 /δ = 0, 4. On peut également remarquer qu un léger bol se dessine autour de cette valeur, montrant sans doute une certaine robustesse de ce minimum. D un autre côté, la méthode de GMO choisit des solutions de valeurs nettement plus grandes, avec des VGs optimaux plus hauts que la couche limite (Z 0 /δ > 1, 2). Elle teste certaines configurations dans la même région que le Simplex, mais sa capacité d exploration et sa large dispersion à l initialisation, lui permettent de définir un second bassin semble-t-il légèrement moins robuste. La corde des VGs (c/δ) semble être un paramètre ne présentant qu un seul bassin (figure 4.10(b)). Les deux techniques ont balayé une très large gamme de valeurs dans l espace mais convergent vers une corde mesurant environ 2δ. Cette valeur est en accord avec les travaux de Betterton et al.[9] et de Lin [36] qui préconisent 0, 4 < c/δ < 3. Notre étude nous permet d être plus précis et de réduire cet intervalle à une gamme de valeurs pour c/δ comprise entre c/δ = 1, 2 et c/δ = 3. L angle β définit l inclinaison du bord supérieur du VG. Il détermine si le VG est plutôt triangulaire, rectangulaire ou trapézoïdale. Les candidats issus de l optimisation ont 2. Les données sont présentées dans le tableau 1.1 du chapitre 1

94 CHAPITRE 4. OPTIMISATION DES VGS POUR LA RÉDUCTION DE 86 TRAÎNÉE tous des β > 0. Seules les initialisations ont fourni des β < 0. La surface de réponse est relativement lisse entre β = 10 et β = 20 (figure 4.10(c)). Pour des valeurs supérieures, il semblerait que la surface de réponse pour ce paramètre présente un bassin étroit. Les deux méthodes orientent leurs recherches vers de fortes valeurs de cet angle. La méthode GMO a évalué l ensemble du domaine de recherche grâce à son initialisation, cependant elle se dirige immédiatement vers des solution avec β > 20. La méthode de Simplex a concentré ses choix de candidats qui ont également des β de cet ordre de grandeur. L allure de la surface de réponse du paramètre α démontre encore les capacités d exploration du domaine par l algorithme GMO (figure 4.10(d)). Alors que la méthode de Simplex définit une zone d attraction autour de α = 18, la méthode de GMO s écarte fortement de cette zone pour déterminer un nouveau bassin étroit autour de α = 35. La valeur obtenue par la méthode de Simplex est cohérente avec la bibliographie (α = 15 ). Les études précédentes se sont principalement concentrées sur ce bassin et ont donc peu analysé celui trouvé par l algorithme GMO. Le fait qu il soit étroit peut expliquer qu il ait été difficilement trouvé par le passé et soit en définitif peu robuste. Les deux paramètres d/δ et l/δ, définissant les écartements respectivement entre les VGs et entre les paires, montrent une répartition des points sensiblement similaires (figures 4.10(e) et 4.10(e)). La méthode de Simplex détermine un premier bassin local centré en d/δ = 1, 25 et l/δ = 2, 6. L algorithme GMO pour sa part dessine une enveloppe plus large qui englobe le premier bassin. Il obtient son minimum en d/δ = 2 et l/δ = 4, 5. Ces écartements sont légèrement supérieurs à ceux déterminés par Betterton et al. [9] (d/δ = 1, 8 et l/δ = 3, 6). Par contre si l on regarde le ratio l/d (figure 4.10(g)), on remarque que cette fois les candidats testés par les deux stratégies se regroupent et forment alors un bassin dont l optimum est en l/d = 2, 3 très proche de la valeur retenue par Betterton et al. [9] et Lin [36] (l/d = 2). Il y a donc un lien relativement fort entre ces deux paramètres. La position des VGs par rapport à la ligne de décollement présente un optimum avec les deux méthodes autour de x 0 /δ =-20 (figure 4.10(h)). Cette convergence possède deux explications. La première est physique ; les tourbillons ont besoin d une certaine distance pour se développer complètement, ils ne sont donc pas efficaces trop proches de la séparation. S ils sont éloignés, les tourbillons tendent à se dissiper et sont donc moins efficaces également. Une autre explication concernant les faibles performances des tourbillons pour des x 0 /δ > 5, peut provenir de la mauvaise représentation des tourbillons générés par le BAY model à proximité des VGs. Comme nous l avons montré lors de l étude de l écoulement sur la plaque plane (section 3.2 du chapitre 2), lorsque nous réalisions des mesures trop proches des termes sources, les résultats concordaient moins bien. Pour un certain nombre de paramètres, les optima (tableau 4.2) définis par les deux techniques sont différents et semblent correspondre à deux bassins distincts. Ceci amène à considérer l existence de deux topologies d écoulement différentes pour la réduction de traînée du volet incliné Influence des paramètres sur la longueur de bulle La figure 4.11 regroupe l ensemble des évaluations réalisées par les deux méthodes et montre l évolution de la traînée en fonction de la longueur, moyennée dans la direction transverse, de la bulle de recirculation. Nous avions expliqué au début de ce manuscrit que nous cherchions à réduire le décollement présent afin de réduire la traînée du volet. On peut constater que cette stratégie cohabite avec celle consistant à allonger la bulle. On remarque très nettement que deux branches permettent une réduction de la traînée. La méthode de Simplex a exploité la branche privilégiant un allongement de la zone de recirculation et a

95 2 Minimisation de la traînée du volet incliné 87 (a) Z 0/δ (b) c/δ (c) β (d) α (e) d/δ (f) l/δ (g) l/d (h) x 0/δ Figure 4.10 Réduction de traînée (en %) en fonction de chaque paramètre. Configurations évaluées par la méthode de Simplex et par le GMO.

96 CHAPITRE 4. OPTIMISATION DES VGS POUR LA RÉDUCTION DE 88 TRAÎNÉE GMO Simplex Nelder-Mead Z 0 /δ 1,4 0,4 x 0 /δ -19,6-17,5 l/δ 4,5 2,6 d/δ 2,0 1,25 c/δ 2,2 1,5 β 27, 9 33, 9 α 34, 8 14, 7 Table 4.2 Paramètres optimaux déterminés par chacune des méthodes. Figure 4.11 Evolution de la réduction de traînée (en %) en fonction de la variation de la longueur de bulle (en %). Le point (0,0) correspond au cas de référence sans manipulation. Configurations évaluées par la méthode de Simplex et par la technique de GMO. testé très peu de solutions de l autre côté. La méthode de GMO a également exploité ce versant mais arrive à sortir de ce qui semble être un bassin local pour explorer la seconde branche dans laquelle la longueur de recirculation est réduite. L existence de ces deux topologies d écoulement et le fait que les deux méthodes se dirigent vers l une ou l autre, tend à justifier la présence des deux bassins déterminés par les deux méthodes pour d, l, α et Z 0. Cependant lorsque l on observe l évolution de la longueur de bulle en fonction de chaque paramètre (figure 4.12) aucune grande tendance ne semble se détacher nettement. Néanmoins, si l on se concentre sur le paramètre l (figure 4.12(f)), on peut remarquer que les pics d allongement et de réduction de bulle sont décalés l un par rapport à l autre. Phénomène que l on n observe pas sur les autres paramètres. Il semblerait alors que la surface de réponse définissant la longueur de bulle par rapport à ce paramètre présente une vallée (bulle minimale) à côté d une colline (bulle maximale). Les autres paramètres semblent par ailleurs peu influents. 2.3 Validation expérimentale des optima Les simulations ont montré la présence de deux bassins. Avant d analyser de manière plus approfondie ces deux topologies, il est nécessaire de valider expérimentalement leur existence. Pour cela les deux configurations optimales obtenues (table 4.2), VG GMO et VG Simplex, sont étudiées expérimentalement. Nous comparons ici les résultats obtenus par

97 2 Minimisation de la traînée du volet incliné 89 (a) Z 0/δ (b) c/δ (c) β (d) α (e) d/δ (f) l/δ (g) x 0/δ Figure 4.12 Modification de la longueur de bulle (en %) en fonction de chaque paramètre. Les configurations réduisant la bulle sont indiqués par des et celles augmentant la bulle par des.

98 CHAPITRE 4. OPTIMISATION DES VGS POUR LA RÉDUCTION DE 90 TRAÎNÉE Figure 4.13 Evolution de l intensité normalisée de la force en fonction de l angle d incidence local γ. La courbe bleue représente la formulation sans approximation et la courbe rouge représente la formulation utilisée. La zone grisée indique l écart entre les deux formulations. les simulations aux mesures réalisées en soufflerie. Les profils de pression ainsi que l allure de l iso-ligne u/u = 0 sont présentés sur la figure Nous retrouvons bien les deux comportements concernant la modification de la bulle de recirculation : réduction pour l optimum issu de l algorithme du GMO allongement pour celui de la méthode de Simplex Cependant on peut noter que l effet de VG GMO est accentué dans l expérience. Cette différence peut s expliquer par son angle d incidence α élevé (près de 35 ). En effet, dans la formulation des termes sources, une hypothèse d angle faible entre le VG et l écoulement incident local est réalisée (γ sin γ) et un terme supplémentaire, ( U U t), est ajouté afin de simuler la décroissance de la force à incidence élevée. Or, pour de telles valeurs d incidence, nous sortons donc du domaine de validité du modèle au cours des premières itérations des simulations (figure 4.13). Un écart de 30% d intensité de la force entre la formulation d origine et celle utilisée est observé. Les termes sources imposent donc une force trop faible pour maintenir une déviation suffisante à ce moment et cette faiblesse est conservée lors des itérations suivantes. Dans cette démarche d optimisation nous cherchons à définir la tendance de la surface de réponse. Le fait qu il y ait un lissage de cette surface n est pas inquiétant. Ce bassin est bien présent mais il est simplement plus marqué expérimentalement que numériquement. En ce qui concerne l influence du VG Simplex sur l écoulement, cette fois les résultats numériques sont fidèles aux mesures expérimentales. Les modifications sur la première partie de la bulle sont visibles uniquement dans le plan entre deux paires (figure 4.14(b)). On observe un écrasement de l iso-ligne u/u = 0 entre x/h = 0 et x/h = 3. L augmentation des C p (figure 4.14(f)) sur le volet est très légèrement sur-estimée mais la recompression sur le plan aval (x/h > 2) est correctement prédite. Le point de recollement étant repoussé en aval, le gradient de pression est alors plus faible et les C p deviennent plus faibles que pour l écoulement de référence pour x/h > 4. C est à partir du même point que la recirculation présente la plus grande modification par rapport à l écoulement non-manipulé où la zone de séparation est épaissie.

99 2 Minimisation de la traînée du volet incliné 91 (a) Plan au milieu d une paire de VGs (b) Plan au milieu d une paire de VGs (c) Plan entre deux paires de VGs (d) Plan entre deux paires de VGs (e) C p (f) C p Figure 4.14 Impact des configurations VG GMO (colonne de gauche) et VG Simplex (colonne de droite) sur l écoulement. Les figures (a), (b), (c) et (d) tracent l iso-ligne u/u = 0 pour deux plans différents. Les figures (e) et (f) indiquent les mesures de C p moyennées transversalement. Les courbes bleues représentent les données numériques. Les cercles rouges représentent les mesures expérimentales obtenues par PIV. Les courbes en pointillés noires représentent la référence numérique.

100 CHAPITRE 4. OPTIMISATION DES VGS POUR LA RÉDUCTION DE 92 TRAÎNÉE Figure 4.15 Evolution du facteur de forme H pour les trois écoulements en amont du point de décollement. 2.4 Topologies d écoulements optimaux Afin d expliquer les mécanismes mis en jeu pour chacune des topologies d écoulement nous nous concentrons ici sur les résultats issus des simulations numériques. Nous appellerons par la suite bulle longue la configuration optimale obtenue par le méthode de Simplex et bulle courte celle déterminée par la méthode de GMO. La figure 4.16 présente les cartographies de vitesse longitudinale moyennée dans la direction transverse. Pour les deux configurations, les VGs ont épaissi la couche limite en amont du décollement et accéléré l écoulement en très proche paroi. On peut noter que la présence des VGs a dans un premier temps fortement augmenté le facteur de forme H (équation 1.15 et figure 4.15) puis les tourbillons se sont développés et une diminution notable de H est obtenue à partir de x/h = 1. La baisse visualisée entre x/h = 0, 75 et x/h = 0, 25 pour les trois écoulements est le témoin de l accélération de l écoulement légèrement en amont du contournement du dièdre. Cette brusque accélération est engendrée par le pic de dépression au niveau du contournement (figure 4.17). Ainsi la configuration bulle courte qui présente la valeur de H la plus faible possède également la dépression la plus forte à cet endroit. Les deux autres écoulements présentent des valeurs similaires. A la jonction (x/h = 0), l augmentation du taux de mélange grâce aux VGs réduit fortement H pour passer de 1,83 dans le cas de référence à 1,57 pour la configuration bulle longue et 1,47 pour la configuration bulle courte. Ceci se traduit par une sensibilité plus faible au gradient de pression due au changement brutal de géométrie. Le début de la séparation est légèrement modifiée pour les deux écoulements manipulés. En observant l iso-ligne u/u, on remarque un écrasement de la zone de décollement sur le haut du volet pour les deux écoulements manipulés. Ceci est mieux visualisé en analysant les champs de vitesse verticale w dans la figure On remarque que l écoulement de la configuration bulle courte a un champs de vitesse w/u nettement plus négatif que l écoulement de référence pour x/h > 0 : l écoulement suit mieux la géométrie. Dans le cas de la bulle longue, on retrouve également une accentuation des vitesses négatives très localement après le décollement (figure 4.18(b)). L écoulement a tendance à rester proche de la paroi. Par contre à partir de x/h = 0, 25, les tendances s inversent. Les vitesses sont moins intenses dans le cas bulle longue que dans le cas de référence. La bulle plonge donc moins rapidement et la fermeture est repoussée.

101 2 Minimisation de la traînée du volet incliné 93 (a) Bulle courte (b) Bulle longue (c) Référence Figure 4.16 Cartographie de vitesse longitudinale u/u pour les deux topologies d écoulement et la référence. Nous avions montré dans le chapitre 1 que la pression pariétale dans la bulle de recirculation présentait un plateau de valeur similaire à celle au point de séparation. En donnant la possibilité à l écoulement de mieux résister au gradient de pression, les tourbillons permettent d obtenir une pression plus élevée au point de décollement (figures 4.14(e) et4.14(f)). Ainsi, les C p sur le volet (de x/h = 0 à x/h = 2) sont augmentés. Un second effet induisant une réduction de la trainée du volet est la baisse d intensité de la dépression localisée entre x/h = 2 et x/h = 3. Ceci permet d augmenter encore plus fortement les pressions sur le bas du volet. Ceci se traduit par le fait que les pressions présentent un léger gradient positif suivant x qui est absent dans le cas de référence. Pour apporter une explication concernant les modifications de la dépression en bas du volet, nous regardons l impact des VGs sur la vorticité transverse ω y (figure 4.19). La vorticité est le témoin de l intensité de la couche de cisaillement et de la présence de tourbillons, sources de basses pressions. En épaississant la couche limite, les VGs ont permis une plus grande diffusion de la vorticité en amont du décollement. En x = 0, pour les écoulements manipulés, la langue de vorticité est attachée à une position z légèrement négative. Cette observation confirme aussi la modification du décollement avec les VGs. On observe ensuite que pour l écoulement de référence (figure 4.19(c)), la dépression est maximale à l endroit où la vorticité commence à décroitre fortement (x/h = 2, 5). Pour les deux écoulements manipulés, l intensité de ω y est réduite entre x/h = 0 et x/h = 2, 5, la pression est alors plus élevée.

102 CHAPITRE 4. OPTIMISATION DES VGS POUR LA RÉDUCTION DE 94 TRAÎNÉE (a) Bulle courte (b) Bulle longue (c) Référence Figure 4.17 Cartographie de C p pour les deux topologies d écoulement et la référence. (a) Bulle courte (b) Bulle longue (c) Référence Figure 4.18 Cartographie de vitesse normale w/u pour les deux topologies d écoulement et la référence.

103 2 Minimisation de la traînée du volet incliné 95 (a) Bulle courte (b) Bulle longue (c) Référence Figure 4.19 Cartographie de vorticité transverse ω y pour les deux topologies d écoulement et la référence. L écriture des équations de Navier-Stokes suivant x en considérant l écoulement principalement 2D 3 nous donne : ( u < u w > u i + + < ) u 2 > x i z x = 1 p ρ x + ν 2 u i x 2 i (4.2) en utilisant la règle de sommation d Einstein. Il est possible d injecter la vorticité ω y = dans l équation 4.2. On obtient alors l expression 4.3. u z w x u u ( < u x + w w x + w.ω w > y + + < ) u 2 > z x = 1 p ρ x + ν 2 u i x 2 i (4.3) En intégrant suivant z à différentes positions x en aval du volet, il est possible alors de suivre l évolution des termes 4 de l équation 4.3 (figure 4.20). La première constatation est que parmi les différents termes, seuls trois sont prédominants : 1 p ρ x, u u x et w.ω y. Les autres sont d un ordre inférieur et n interviennent que faiblement dans le bilan. Nous nous concentrons sur ces trois termes. Pour l ensemble des configurations, nous retrouvons bien que le gradient de pression est majoritairement piloté par le terme faisant intervenir la vorticité. Entre x = 0 et x = 2h, la vorticité est encore concentrée en une langue située autour de la ligne de vitesse débitante nulle (figure 4.19). Le terme w ω y est constant et le gradient de pression également. Par conte le terme d advection de la vitesse longitudinale est lui légèrement croissant et positif. Le bilan est assuré par une baisse du terme de diffusion < u 2 >. x A la jonction entre le volet et le plan horizontal (x = 2h), les trois termes sont à leur valeur maximale. La vorticité commence à se diffuser largement dans l écoulement, 3. Nous nous intéressons ici à des champs moyennés suivant l axe y. 4. Fluent ne nous permet pas d avoir directement les termes du tenseur de Reynolds. Nous les recalculons à partir de l hypothèse de Boussinesq.

104 CHAPITRE 4. OPTIMISATION DES VGS POUR LA RÉDUCTION DE 96 TRAÎNÉE le gradient de pression devient positif. C est le début de la recompression qui traduit la fermeture de la bulle de recirculation. Comparons maintenant l évolution des différents termes en fonction des écoulements. Pour les deux écoulements manipulés, nous retrouvons un effet sur le gradient de pression légèrement après x = 0. Le fait d observer un gradient de pression positif à cette position confirme le fait que l écoulement décolle plus tard que pour la référence. Au dessus du volet (0 < x < 2h), la configuration bulle courte (figure 4.20(b)) augmente fortement le terme en u u x mais baisse fortement w.ω y. Le bilan fournit néanmoins un gradient de pression positif ; la pression remonte le long du volet (4.14(e)). La pression étant déjà plus élevée, le gain est alors encore augmenté. Juste après x = 2h, pour l écoulement de référence, le gradient de pression présente un pic de valeur négative. Il s agit de la signature de la zone où de forte dépression. On peut remarquer qu il a disparu dans le cas de la bulle courte. En effet w.ω y a commencé plus tôt que dans le cas de référence à décroitre fortement, la recompression a déjà débuté. Le point de recollement est alors rapproché. Concernant la configuration bulle longue, on observe un effet beaucoup plus faible sur les deux grandeurs contribuant au gradient de pression. Néanmoins, la baisse de w.ω y en amont du volet fournit un bilan et donc un gradient de pression légèrement positif. Le pic de gradient de pression en x = 2h, n est pas totalement éliminé avec cette configuration, cependant comme u u est plus faible, le gradient reste positif. Là aussi l intensité de la x dépression est fortement réduite. Enfin le terme dépendant de la voriticité décroit plus faiblement, le gradient de pression augmente donc plus lentement. Le recollement est alors repoussé. 3 Conclusion Dans ce chapitre, nous avons réalisé deux processus d optimisation pour déterminer les paramètres de formes optimaux des VGs pour la réduction de traînée. Ceci nous a permis dans un premier temps de statuer sur les performances des méthodes de GMO et de Simplex dans le cadre de l application au volet incliné. Nous avons vu que la méthode de Simplex est fortement pénalisée, dans notre cas, par le fait que les évaluations ne peuvent pas être parallélisées contrairement à la méthode de GMO. Cette dernière a fourni un optimum plus performant avec un nombre d évaluations et un temps de restitution plus faibles. Dans le chapitre suivant, nous conserverons donc uniquement cette méthode pour la procédure de minimisation de traînée de la maquette automobile. Un point important, mis en lumière par la procédure d optimisation, est l existence de deux topologies d écoulement différentes pour la réduction de traînée. La première est associée à une réduction de la bulle et la seconde à un allongement. Nous avons ainsi montré que la longueur de bulle après le volet n apparaît pas comme un critère déterminant concernant l optimisation des VGs. Les mécanismes intervenant dans la réduction de traînée sont sensiblement les mêmes pour les deux écoulements. En amont du décollement, les VGs permettent une augmentation du taux de mélange de la couche limite qui se traduit par un facteur de forme plus faible. Cette dernière résiste alors mieux au gradient de pression imposé à la jonction entre le plan horizontale et le volet, les C p au décollement sont plus élevés. Une seconde conséquence, commune aux deux topologies, est la forte diminution de l intensité de la dépression concentrée essentiellement sur la partie basse du volet. Les pressions dans cette zone sont alors également remontées.

105 3 Conclusion 97 (a) Référence (b) Bulle courte (c) Bulle longue (d) Légende Figure 4.20 Evolution des termes intégraux de l équation de Navier-Stokes suivant x exprimée en fonction de la vorticité ω y pour la référence et les deux écoulements optimaux.

106

107 Chapitre 5 Réduction de traînée d une maquette de véhicule Ce chapitre est confidentiel jusqu au 08/10/2015. Nous nous intéressons dans ce chapitre à la manipulation de l écoulement autour d une maquette de véhicule tri-corps. Nous présentons dans une première partie la comparaison entre des essais menés en soufflerie et des simulations réalisées avec le BAY model. Dans un second temps, la traînée de la maquette est minimisée en utilisant le processus d optimisation avec la méthode de GMO. Enfin, nous analysons l écoulement optimal. 1 Géométrie Un véhicules tri-corps est une automobile qui peut se décomposer suivant le schéma de la figure 5.1. Il est caractérisé par un coffre allongé derrière l habitacle. Figure 5.1 Reprensentation schématique d un véhicule tricorps. L écoulement autour d une telle géométrie est fortement tri-dimensionnel (figure 5.2). De nombreux décollements existent et il est possible d identifier un certain nombre de structures caractéristiques du sillage contribuant à la traînée, notamment la recirculation sur la lunette et les tourbillons longitudinaux (nommés c pillar). Ces structures interagissent entre elles et réduire l une d elles induit souvent le développement de l autre. Ainsi, la réduction maximale de la séparation n est pas forcément synonyme de gain maximal de traînée ; les c pilar se développant sur les montants de baie augmentent la traînée. C est pour cette raison qu un raisonnement global est nécessaire et cette dans cette optique que l algorithme GMO est employé ici. Nous utilisons la maquette présentée figure 5.3. La partie avant est un bloc commun pour d autres études, il s agit de l avant d une Citroën C4. La partie arrière est une création originale générée en modifiant la géométrie d origine. L angle de la lunette est identique à celui du volet étudié précédemment (26, 5 ) et est représentatif de tri-corps de série comme 99

108

109 Conclusion et perspectives Afin d atteindre les objectifs européens de réduction des émissions de polluants, les constructeurs automobiles doivent diminuer les efforts s opposant à l avancement du véhicule. La traînée est l une des forces contribuant le plus à la dépense d énergie. Dans cette thèse nous nous sommes concentrés sur la réduction de traînée d un véhicule de type tri-corps. Pour cela nous avons utilisé de petits artifices, appelés générateurs de tourbillons (Vortex Generators ou VGs), fixés sur le pavillon et permettant de manipuler l écoulement au niveau de la lunette arrière. L originalité de cette thèse réside dans le fait que, contrairement aux travaux précédents, nous n avons pas réalisé une étude paramétrique des VGs (essais-erreurs) mais une optimisation globale de l ensemble des paramètres définissant une configuration. Dans ce manuscrit nous avons donc présenté le développement d un processus automatique d optimisation des paramètres à l aide de simulations numériques. Notre démarche s est déroulée en trois grandes étapes : Etude de la méthode d évaluation des solutions potentielles Détermination de l algorithme d optimisation adapté à notre cadre d étude Couplage des deux techniques pour la minimisation automatique de la traînée de géométries présentant un décollement Evaluation du modèle de termes source Nous avons ajouté dans le code de mécanique des fluides (Fluent) un modèle de termes sources, le BAY model [8], pour générer les tourbillons et ne pas représenter explicitement les VGs dans le calcul. Cette substitution a permis une réduction de la taille du maillage et donc du temps de calcul des simulations. En nous affranchissant de la création d un nouveau maillage pour chaque nouveau candidat, nous évitions les risques de divergence dans leur génération automatique. Le BAY model a dans un premier temps été calibré. Nous avons alors mis en évidence l existence d une gamme de valeurs pour laquelle les tourbillons créés ne sont plus dépendants de la constante du modèle (C vg ). Nous avons comparé ensuite les résultats issus de simulations réalisées avec le modèle à ceux provenant de calculs avec des VGs présents dans le domaine. En analysant l écoulement en aval des VGs, nous avons mis en lumière la présence d une fine zone immédiatement après les artifices, pour laquelle les tourbillons générés par le modèle présentaient une intensité plus faible que ceux créés par les VGs maillés. Leur impact sur les champs de vitesse est alors légèrement moins marqué. Néanmoins, au delà de cette région, les mesures extraites des deux types de simulations concordaient très bien. La dynamique des tourbillons, leur trajectoire et leur épanouissement, étaient les mêmes quelque soit leur mode de production. Le remplacement, dans les calculs, des VGs par des termes sources a donc été validé. L étude du BAY model a été complétée en simulant des écoulements manipulés par les termes sources autour d un dièdre. Les résultats ont été comparés avec les essais réalisés en soufflerie sur les mêmes configurations. Le dièdre représente, de manière simplifiée, la 139

110 140 CONCLUSION ET PERSPECTIVES partie arrière d un véhicule de type tri-corps. L analyse des écoulements a montré que les termes sources avaient un impact similaire à celui des VGs expérimentaux sur la zone en aval du décollement. Nous avons retrouvé en numérique les évolutions de la bulle de recirculation observées en essais. Les modifications apportées aux C p, notamment sur le plan incliné, sont également bien prédites. Nous avons donc validé l utilisation du BAY model pour manipuler un écoulement massivement décollé. Choix de la méthode d optimisation Pour choisir la méthode d optimisation adaptée à notre problématique, nous avons évalué différentes stratégies. Nous avons choisi de comparer une méthode de descente (Quasi-Newton BFGS), des méthodes géométriques (Simplex de Torczon et Simplex de Nelder-Mead), un algorithme génétique (CMA-ES) et une méthode par interpolation de surface de réponse (GMO). L algorithme CMA-ES et la technique du GMO nécessitent des bases de données initiales. Nous avons expliqué qu à partir du moment où les points initiaux sont répartis sur plus de 10% du domaine de recherche, le taux de recouvrement ne conditionne plus la convergence de l algorithme génétique. Pour la méthode du GMO, nous avons établi que pour des bases de données initiales comportant un nombre de points compris entre deux et quatre fois le nombre de paramètres à optimiser, la technique converge avec la même rapidité vers un minimum de valeur similaire. En confrontant les algorithmes entre eux, il est ressorti que deux techniques d optimisation semblent adaptées à notre problématique. La méthode de Simplex de Nelder-Mead et la méthode de GMO atteignent le minimum des fonctions test avec un faible nombre d unité de temps. Optimisation des générateurs de tourbillons pour la minimisation de traînée La minimisation de la traînée du volet incliné a ensuite été réalisée par les deux techniques d optimisation retenues. Les deux algorithmes n ont pas déterminé la même configuration optimale. La solution issue de la méthode de Simplex est relativement proche de celles communément utilisées dans les précédentes études décrites dans la bibliographie. Par contre, l algorithme du GMO, grâce à sa capacité d exploration a permis de définir une solution plus atypique et permettant une réduction de traînée supérieure. La méthode du GMO a également convergé plus rapidement que la méthode de Simplex. Ceci nous a permis de statuer sur le fait que la technique du GMO est la plus adaptée à notre cas d étude. Avec ce processus d optimisation, nous avons également exhibé l existence de deux topologies d écoulement possibles pour la réduction de traînée du volet incliné. L analyse des écoulements manipulés a montré que la longueur de bulle n était pas un critère déterminant pour la minimisation de la traînée. L algorithme de Simplex a défini une branche pour laquelle la traînée décroît lorsque la bulle s allonge et la méthode du GMO une branche opposée où la trainée évolue dans le même sens que la taille de la recirculation. Cependant, l examen de la couche limite en amont du décollement a montré que les mécanismes utilisés sont les mêmes. Les VGs ont, dans les deux cas, augmenté le brassage de l écoulement en proche paroi et lui ont permis de mieux résister au gradient de pression. La pression au moment décollement est alors plus élevée. Un second effet a été observé, en épaississant la couche limite, la vorticité à été diminuée et la dépression localisée en bas du volet a aussi baissé d intensité. Finalement, nous avons appliqué notre processus d optimisation complet (BAY model et méthode de GMO) à l optimisation des paramètres de forme des VGs pour la minimisa-

111 CONCLUSION ET PERSPECTIVES 141 tion de la traînée de la maquette d un véhicule tri-corps. L optimum déterminé a été validé expérimentalement et une réduction de plus de 6% a été obtenue. L écoulement manipulé présentaient les mêmes caractéristiques en essai et dans la simulation. Le BAY model a donc révélé sa capacité à manipuler un écoulement complexe et à être représentatif de VGs réels. L étude de l écoulement optimal a indiqué que la réduction de traînée est un compromis entre une augmentation des pressions sur la lunette et une baisse des C p sur les montants de baie. En effet, en réduisant le décollement sur la lunette, les tourbillons longitudinaux se sont développés. Perspectives Nous avons expliqué au cours de ces travaux que pour des angles d incidence élevés (α > 40 ), le modèle de termes sources perdait en représentativité. Ceci provenait du fait que la force imposée lors des premières itérations était trop faible. Pour corriger cette défaillance, une valeur de C vg plus importante aurait été nécessaire mais aurait pu engendrer la divergence de la simulation pour des angles plus faibles. Une amélioration possible de la méthode de calcul est donc de calibrer le modèle par gamme de valeurs de α. Ainsi la constante sera adaptée pour l ensemble des configurations. Les maillages considérés dans notre étude sont basés sur la méthodologie en vigueur chez PSA. Les maillages utilisés dans cette étude étaient denses pour obtenir des solutions de références. Une étude sur l influence du maillage peut également être réalisée pour permettre de réduire le nombre de mailles le constituant. Les temps de calculs seront alors diminués et le processus fournira l optimum dans un délais plus court. L analyse des résultats issus des processus d optimisation, pour le volet et pour la maquette de véhicule, a montré que la condition l/d 2 est importante pour atteindre l optimum. Fixer cette condition dans les utilisations futures de la boucle peut donc donner la possibilité de réduire le nombre de paramètres intervenant dans l optimisation. De plus, nous avons signalé l interaction forte qui existe entre la bulle au niveau de la lunette et les tourbillons longitudinaux. En ajoutant des paramètres, à la définition d une configuration de VGs, il est possible de manipuler la recirculation sans être pénalisé par le développement trop important des tourbillons. Des tests que nous avons réalisés en soufflerie ont montré qu en supprimant les VGs sur les bords du pavillon, nous avions de meilleurs résultats en termes de réduction de traînée. Un paramètre supplémentaire peut donc être la largeur de la zone sur le pavillon où les VGs sont implantés. Deux autres variables qui peuvent permettre d améliorer les résultats sont : la courbure de la rangé de VGs : x 0 n est plus le même pour toutes les paires de VGs d une même configuration mais une fonction de y. un espace entre les paires variable : un facteur d écartement, ou de resserrement, peut être associé au paramètre l. Ainsi l devient une fonction de y. Nous ne nous sommes intéressés dans cette étude qu à une seule zone du véhicule et pour une seule silhouette. Mais il est possible d optimiser de nombreuses parties du véhicule : becquet de lunette arrière, déflecteurs, montant de baie avant, bavettes de roue... Ainsi, il est imaginable de construire des boucles indépendantes ou couplées pour réaliser des optimisations sur des zones locales de l automobile mais avec un raisonnement global. La prochaine étape, concernant le développement de ce processus d optimisation devrait être une application sur véhicule échelle une. Dans ce cas, il sera nécessaire d inclure dans notre démarche des contraintes de style et de sécurité pour la forme des VGs. Enfin, ces travaux de thèse ont montré les très bonnes performances de la méthode de GMO pour un nombre relativement réduit d évaluations. Cela offre des perspectives à de

112 142 CONCLUSION ET PERSPECTIVES nombreuses autres applications industrielles qui sont soumises à des contraintes de temps de calcul fortes comme l optimisation pour les calculs de crash ou pour les conduits de climatisation par exemple.

113 ANNEXES 143

114

115 Annexe A Modèle de Spalart et Allmaras Dans cette annexe nous détaillons le modèle à une équation développé par Spalart et Allmaras [52]. Pour cela ils intègrent le terme 2 3ρk de l équation A.2 à la pression pour obtenir une pression modifiée Π. Le système est alors fermé à l aide d une unique équation de transport sur ν (équation A.3) avec : ν t = νf v1, f v1 = χ 3 χ 3 + c 3 v1, χ ν ν (A.1). τ t = ρν t ( u ) + u T 2 ρkī (A.2) 3 avec k = <u u > 2 l énergie cinétique turbulente et ν t la viscosité turbulente. D ν Dt = P ν + 1 [ ((ν + ν) ν) + c b2 ( ν) 2] D ν σ (A.3) où ν est la viscosité moléculaire du fluide et σ, C ν1 et C b1 des constantes (tableau A.1). Le terme P ν modélise la production de la turbulence et s exprime de la manière suivante : P ν = c S ν b1 (A.4) avec : S S + ν κ 2 d 2 f v2 χ f v2 = κf v1 Ω ij = 1 2 S 2Ω ij Ω ij ( Ui + U ) j x j x i (A.5) C b1 et κ sont des constantes (tableau A.1), S est l intensité de la vorticité et d est la distance de la paroi la plus proche. La dissipation de la turbulence est modélisée par le terme D ν et s exprime : D ν = c w1 f w [ ν d ] 2 (A.6) 145

116 146 ANNEXE A. MODÈLE DE SPALART ET ALLMARAS avec : f w = g [ 1 + C 6 w3 g 6 + C 6 w3 ] 1/6 (, g = r + C w2 r 6 4 ), r ν Sκ 2 d 2 (A.7) où C w1, C w2 et C w3 sont des constantes (tableau A.1). C b1 C b2 C w1 C w2 C w3 C ν1 κ σ C b1 0,1355 0,622 κ + (1 + C b1) 2 0,3 2,0 7,1 0,4187 σ 3 Table A.1 Constantes du modèle SA [52]. La fermeture du problème est donc composée de cinq équations (quatre équations de Navier-Stokes + une équation sur la viscosité turbulente) à cinq inconnues (p, u i, ν t ).

117 Annexe B Prolongement de profil par le méthode de Monkewitz et al. Le modèle développé par Monkewitz et al.[44] permet de représenter l ensemble de la couche limite par une formule additive. Elle se compose de quatre termes décrivant chacun une section de la couche limite (équation B.1 et équations B.2 à B.5). u [ ] = u + i u (z+ ) u + log (z+ ) + u + (Re δ ) u + w(η) τ (B.1) avec u τ = (ν u/ z wall ) 1/2 la vitesse de frottement pariétal, z + = zu τ /ν et η = z/ la distance normale à la surface respectivement en unité de paroi et rendu sans dimension par l épaisseur de Rotta-Clauser = δ u +. Re δ = u e δ /ν est le nombre de Reynolds basé sur l épaisseur de déplacement et l écoulement potentiel u. La fonction u + i (z+ ) (équation B.5) définit le profil de vitesse dans la couche interne, u + log (équation B.3) dans la zone log, u + w (équation B.2) dans la zone de sillage et u + (équation B.4) l écoulement potentiel. [ ] 1 1 u + w(η) = κ E 1(η) + λ 0 2 avec λ 0 = 0, 6332, λ 1 =-0, 096, λ 2 = 28, 5 et λ 8 = [ ( )] λ 1 1 tanh η + λ 2η + λ 8 η 8 (B.2) u + log (z+ ) = 1 κ ln(z+ ) + B (B.3) u + e (Re δ ) = 1 κ ln(re δ ) + C (B.4) avec κ = 0, 384, B = 4, 17 et C = 3, 30. u + i (z+ ) = 0, ln(z , z , 9963) +1, ln(z , ) 11, , ln(z +2 7, z , ) 2, ln(z , z , 16587) +6, ln(z , ) +1, arctan(0, z + + 0, ) +4, arctan(0, z 2 0, ) +0, arctan(0, z 2 + 0, ) +6, (B.5) 147

118

119 Annexe C Global Metamodels Optimization (GMO) Cette annexe est écrite à partir de [13]. 1 Description générale de l algorithme Un méta-modèle est une méthode d optimisation qui au lieu de minimiser la fonction objectif directement utilise une approximation analytique de celle-ci. Les évaluations étant ainsi peu couteuses, il est possible d utiliser des techniques de recherche globales. L approximation est mise à jours de manière itérative par l évaluation exacte de la fonction objectif. Le GMO utilise le krigeage pour réaliser la surface de réponse qui est ensuite minimiser par Particle Swarm Optimization (PSO) (voir annexe D). L algorithme 8 rappel les différentes étapes de la méthode. Algorithme 8 Algorithme du GMO Entrées: Sélection par hypercube latin de N points et choix d une tolérance ǫ > 0. Evaluation par f des N points. Génération d une surface de réponse par krigeage à partir des N points de la base de données. Sélection des M points à évaluer en minimisant par PSO M fonctions de mérite. tantque ( x i x j i [1,N] j [1,M] > ǫ faire Evaluation par f des M points. Ajout des M points dans la base de données. N N + M Génération d une surface de réponse par krigeage à partir des N points de la base de données. Sélection des M points à évaluer en minimisant par PSO M fonctions de mérite. fin tantque Nous revenons ici sur deux étapes peu développées dans le corps de la thèse : la sélection de la base de données initiale et la génération de la surface interpolée. 149

120 150 ANNEXE C. GLOBAL METAMODELS OPTIMIZATION (GMO) 2 Création de la base de données initiale La sélection des points pour la base de données initiale est faite par hypercube latin. Il s agit d une méthode d échantillonnage permettant de distribuer l ensemble des points de manière homogène suivant chacun des axes de l espace de recherche. Plaçons nous dans le cas où l on souhaite constituer une base de données de N points à n paramètres. Pour cela on considère un hypercube unité à n dimensions. Chaque paramètre peut prendre N valeurs [0; 1] répartie régulièrement sur l axe. Parmi les N n combinaisons possibles N sont choisies aléatoirement en prenant garde qu aucune valeur de paramètre soit redondante. La figure C.1 présente différents hypercubes latins dans le cas N = 5 et n = 2. (a) (b) (c) Figure C.1 Exemple d hypercube latin de cinq points dans un espace à deux paramètres. 3 Génération de la surface de réponse par krigeage Dans une démarche de krigeage, l évaluation d un candidat est considérée comme la réalisation d un processus gaussien de moyenne ˆf, le résultat de l évaluation, et de variance σ 2. Construire la surface d interpolation revient à déterminer une approximation de ˆf pour tout x R n. 3.1 Approximation de la moyenne et de la variance Supposons que N évaluations ont déjà été réalisées. On pose alors X N = {x 1,..., x N } et F N = {f 1 = f(x 1 ),..., f N = f(x N )}. Etant donnée qu il s agit d un processus Gaussian il est alors possible d écrire la probabilité suivante : ) p (F N X N = ( exp ) 1 2 F N C 1 N F N (2π) N det(c N ) (C.1) avec C N une matrice de covariance d éléments C ab = c(x a, x b ) (voir 3.2). En utilisant les règles de probabilité conditionnelle, il est possible d exprimer la probabilité de la valeur inconnue f(x N+1 ) = f N+1 en fonction des donnée connues F N et X N : p(f N+1 X N+1, F N ) = p(f N+1 X N+1 ) p(f N X N ) (C.2)

121 3 Génération de la surface de réponse par krigeage 151 La matrice C N peut également s exprimer en fonction des résultats de l itération précédente : [ ] CN k C N+1 = k (C.3) κ avec : et k = [c(x 1, x N+1 ),..., c(x N, x N+1 )] κ = c(x N+1, x N+1 ) L expression C.3 nous permet alors d obtenir une écriture de C N+1 en fonction des données connues : [ ] C 1 M m N+1 = m (C.4) µ et avec M = C 1 N + 1 µ mm m = µc 1 N k µ = (κ + k C 1 N k) 1 Si nous développons l équation C.2, nous obtenons une expression concernant la probabilité de la valeur de la fonction en x N+1 de la forme : [ p(f N+1 X N+1, F N ) exp (f N+1 ˆf N+1 ) 2 ] 2σf 2 (C.5) N+1 et nous avons alors par identification une estimation de la moyenne ˆf N+1 et de la variance σ fn+1 en tout point x N+1 : et 3.2 Matrice de covariance ˆf N+1 = k C 1 N F N σ 2 f N+1 = κ k C 1 N k (C.6) (C.7) Le calcul des c ab de C N se fait à l aide de fonction de covariance. De nombreux types de fonctions existent. Dans le GMO, ce sont des fonctions exponentielles qui sont utilisées. Etant multi-dérivable, elles permettent d obtenir une surface de réponse relativement lisse. [ c ab = θ 1 exp 1 n (x ai x bi ) 2 ] + θ 2 (C.8) 2 r i=1 i avec θ 1, θ 2 et r i1 i N des paramètres à déterminer. ) Ces paramètres sont déterminé en maximisant p (F N X N mais en pratique c est l opposé du log de vraisemblance qui est minimisé par PSO ( Particle Swarm Optimization) : L = F NC 1 ) N F N + log det (C N (C.9)

122

123 Annexe D Optimisation par essaim particulaire 1 Principe de fonctionnement Comme beaucoup de méthodes d optimisation, l optimisation par essaim de particules (ou PSO pour Particle Swarm Optimization) se base sur un phénomène observé dans la nature. Elle part de l analyse du comportement collectif des individus dans un groupe comme un banc de poisson ou une nuée d oiseau. Le groupe possède un mouvement global parce que chaque individu en influencé par le mouvement de son voisinage local. Lorsque le groupe recherche de la nourriture dans un espace donné, les individus se déplacent tous séparément avec une certaine vitesse et sondent à pas de temps régulier la quantité de nourriture disponible à l endroit où ils se trouvent. A ce moment là ils communiquent à leur réseau (voir 2.1) leur résultat. Tout en gardant en mémoire leur meilleure source de nourriture, ils auront tendance à aller vers la meilleure de leurs contacts. La direction dans laquelle ils se dirigent et à quelle vitesse est alors un compromis entre conservatisme (retourner vers la source connue) et panurgisme (suivre les contacts). En suivant ce principe, les particules arrivent à sortir des bassins locaux et à converger vers un même optimum. 2 Formalisme Notons f la fonction objectif et x un point de l espace de recherche. La paramètre d un essaim de particules sont : la taille de l essaim : n e la vitesse maximale qu une particule peut atteindre : V max la caractérisation du réseau social d une particule l inertie d une particule : ω les tendances au conservatisme (ρ 1 ) et au panurgisme (ρ 2 ) A chaque instant t, un individu i est définit par : sa position : x i (t) sa vitesse : v i (t) la position de sa meilleur source connue (x meilleuri (t)) et sa valeur (f meilleuri ) 153

124 154 ANNEXE D. OPTIMISATION PAR ESSAIM PARTICULAIRE la position de la meilleur source connue de son réseau (x rmeilleuri (t)) et sa valeur (f rmeilleuri ) L algorithme 9 présente la forme générale de l algorithme. Algorithme 9 Algorithme de PSO Entrées: Sélection de n e particules et initialisation de la vitesse de chaque particule. tantque le critère de convergence n est pas atteint faire pour 1 i n e faire si f(x i ) < f meilleuri alors f meilleuri f(x i ) alors x meilleuri x i sinon alors f meilleuri f meilleuri alors x meilleuri x meilleuri finsi si f(x i ) < f rmeilleuri alors f rmeilleuri f(x i ) alors x rmeilleuri x i sinon alors f rmeilleuri f rmeilleuri alors x rmeilleuri x rmeilleuri finsi fin pour pour 1 i n e faire v i ωv i + ρ 1 (x meilleuri x i ) + ρ 2 (x rmeilleuri x i ) x i x i + v i fin pour fin tantque 2.1 Définition du réseau social Le réseau social d une particule est constituée des individus avec lesquels elle communique. Deux grandes méthodes existent pour le définir. Réseau géographique Il est composé des individus présents dans un voisinage proche de la particule. Ainsi, à chaque pas de temps, le réseau d une particule est différent de celui du pas de temps précédent. Réseau social Il est composé des individus qui se situaient dans le voisinage de la particule à l instant initial. Ensuite au-cours de la procédure d optimisation, même si elles sont très éloignées, elles continuent à communiquer. La seconde méthode est généralement choisie pour des questions de temps de calculs et de facilité de codage. En effet, dans le premier il est nécessaire de recalculer le voisinage de la particule et de rechercher les individus présents.

125 2 Formalisme Les cœfficients de conservatisme et de panurgisme Les cœfficients ρ 1 et ρ 2 conditionnent la vitesse avec laquelle la particule retourne vers sa meilleure source et se dirige vers la meilleure source de ses contacts. Leurs valeurs sont déterminées à chaque itération suivant une loi uniforme sur [0,1]. 2.3 Le cœfficient d inertie Le cœfficient ω conditionne la capacité d exploration des particule. ω > 1 donnera une grande latitude de mouvement mais posera des problème de convergence. A l opposé, ω < 1 restreindra les particules à une exploration locale. Ce cœfficient peut être fixé au début du processus avec une valeur dans l intervalle [0,8 ;1,2] ou peut alors décroitre au cours des itération afin de stabiliser l essaim. 2.4 L initialisation Les particules sont réparties de manière uniforme dans l espace des paramètres par contre leur vitesse est déterminée de manière aléatoire.

126

127 Annexe E Validation de l optimum pour la réduction de traînée de la maquette de véhicule Nous regroupons ici les principaux éléments de l étude expérimentale du bassin optimal obtenu à l issu du processus de minimisation de la traînée de la maquette de véhicule. Configurations testées Configuration 1 Configuration 2 Configuration 3 Configuration 4 Z 0 /δ 0,52 0,87 1 0,81 x 0 /δ ,7-20,4 l/δ 4,7 3,5 3,85 4,23 d/δ 2,38 2,4 1,75 2,4 l/d 1,97 1,46 2,2 1,76 c/δ 1,39 1,6 1,46 2 β , 7 α , 5 16, 5 Table E.1 Paramètres des configurations de VGs testées pour la validation expérimental de l optimum. Mesures de la traînée 157

128 ANNEXE E. VALIDATION DE L OPTIMUM POUR LA RÉDUCTION 158 DE TRAÎNÉE DE LA MAQUETTE DE VÉHICULE Figure E.1 Coefficients SC x obtenus pour la référence et chacune des configurations aux deux positions testées. Les carrés bleus représentent les données numériques et les cercles rouges représentent les mesures expérimentales. Les carrés bleus vides montrent les résultats directs. Les carrés bleus pleins ont été recalés afin de faire correspondre les deux références.

129 159 Configuration 1 (a) CFD (b) PIV (c) CFD (d) PIV (e) u/u Figure E.2 Champs de vitesse u obtenus par CFD (à droite) et PIV (à gauche) pour l écoulement de référence (a et b) et la configuration 1 (c et d) dans le plan y = 0. (a) Numérique (b) Expérience (c) C p Figure E.3 Cartographie de C p sur l arrière de la maquette pour l écoulement manipulé par la configuration 1 (partie droite du véhicule) et la référence (partie gauche du véhicule). Les points rouges de (b) symbolisent les prises de pression.

130 ANNEXE E. VALIDATION DE L OPTIMUM POUR LA RÉDUCTION 160 DE TRAÎNÉE DE LA MAQUETTE DE VÉHICULE Configuration 2 (a) CFD (b) PIV (c) CFD (d) PIV (e) u/u Figure E.4 Champs de vitesse u obtenus par CFD (à droite) et PIV (à gauche) pour l écoulement de référence (a et b) et la configuration 2 (c et d) dans le plan y = 0. (a) Numérique (b) Expérience (c) C p Figure E.5 Cartographie de C p sur l arrière de la maquette pour l écoulement manipulé par la configuration 2 (partie droite du véhicule) et la référence (partie gauche du véhicule). Les points rouges de (b) symbolisent les prises de pression.

131 161 Configuration 3 (a) CFD (b) PIV (c) CFD (d) PIV (e) u/u Figure E.6 Champs de vitesse u obtenus par CFD (à droite) et PIV (à gauche) pour l écoulement de référence (a et b) et la configuration 3 (c et d) dans le plan y = 0. (a) Numérique (b) Expérience (c) C p Figure E.7 Cartographie de C p sur l arrière de la maquette pour l écoulement manipulé par la configuration 3 (partie droite du véhicule) et la référence (partie gauche du véhicule). Les points rouges de (b) symbolisent les prises de pression.

132 ANNEXE E. VALIDATION DE L OPTIMUM POUR LA RÉDUCTION 162 DE TRAÎNÉE DE LA MAQUETTE DE VÉHICULE Configuration 4 (a) CFD (b) PIV (c) CFD (d) PIV (e) u/u Figure E.8 Champs de vitesse u obtenus par CFD (à droite) et PIV (à gauche) pour l écoulement de référence (a et b) et la configuration 4 (c et d) dans le plan y = 0. (a) Numérique (b) Expérience (c) C p Figure E.9 Cartographie de C p sur l arrière de la maquette pour l écoulement manipulé par la configuration 4 (partie droite du véhicule) et la référence (partie gauche du véhicule). Les points rouges de (b) symbolisent les prises de pression.

133 Bibliographie [1] E. Achenbach. Distribution of local pressure and skin friction around a circular cylinder in cross-flow up to re= Journal of Fluid Mechanics, 34(04) : , [2] B.G. Allan, C-S Yao, and J.C. Lin. Simulation of embedded streamwise vortices on a flat plate. Technical report, DTIC Document, [3] B.H. Anderson and J. Gibb. Vortex-generator installation studies on steady-state and dynamic distortion. Journal of aircraft, 35(4) : , [4] KP Angele and B. Muhammad-Klingmann. The effect of streamwise vortices on the turbulence structure of a separating boundary layer. European Journal of Mechanics- B/Fluids, 24(5) : , [5] K. Aoki, K. Muto, H. Okanaga, and Y. Nakayama. Aerodynamic characteristic and flow pattern on dimples structure of a sphere. [6] PR Ashill, JL Fulker, and KC Hackett. Research at dera on sub boundary layer vortex generators (sbvgs). In 39th AIAA Aerospace Sciences Meeting and Exhibit, AIAA, volume 887, [7] J-F. Beaudoin. Contrôle actif d écoulement en aérodynamique automobile. PhD thesis, [8] E.E. Bender, B.H. Anderson, and P.J. Yagle. Vortex generator modeling for navierstokes codes. In 3rd ASME/JSME Joint Fluids Engineering Conference, [9] JG Betterton, KC Hackett, PR Ashill, MJ Wilson, IJ Woodcock, CP Tilman, and KJ Langan. Laser doppler anemometry investigation on sub boundary layer vortex generators for flow control. In 10th symposium on application of laser techniques to fluid mechanics, Lisbon, pages 10 12, [10] J. Boussinesq. Théorie de l écoulement tourbillant. Mem. Présentés par Divers Savants Acad. Sci. Inst. Fr, 23(46-50) :6 5, [11] CG Broyden. Quasi-newton methods and their application to function minimization. Math. Comput, 21(99) : , [12] D. Buche, N.N. Schraudolph, and P. Koumoutsakos. Accelerating evolutionary algorithms with gaussian process fitness function models. Systems, Man, and Cybernetics, Part C : Applications and Reviews, IEEE Transactions on, 35(2) : , [13] P. Chandrashekar and R. Duvigneau. Study of some strategies for global optimization using gaussian process models with application to aerodynamic design. Technical report, INRIA, [14] P. Chassaing. Turbulence en mécanique des fluides : analyse du phénomène en vue de sa modélisation à l usage de l ingénieur (politech). Recherche, 67 :02, [15] R.V. Chima. Computational modeling of vortex generators for turbomachinery. In ASME Turbo expo 2002,

134 164 BIBLIOGRAPHIE [16] J. Cousteix. Aérodynamique : Turbulence et couche limite. Cepadues-éditions, [17] J. Dennis and V Torczon. Direct search methods on parallel machines. SIAM Journal of Optimization, 1 : , [18] J.C. Dudek. An empirical model for vane-type vortex generators in a navier-stokes code. In 43 rd AIAA Aerospace Sciences Meeting and Exhibit, page 2005, [19] J.C. Dudek and NASA Glenn Research Center. Modeling Vortex Generators in the Wind-US Code. National Aeronautics and Space Administration, Glenn Research Center, [20] A. Fluent theory guide. ANSYS Inc, [21] B Gardarin and L Jacquin. On the physics of vortex generators for flow separation control. In sixth international symposium on turbulence and shear flow phenomena, Seoul, Korea, pages , [22] BR Gilhome, JW Saunders, and J. Sheridan. Time averaged and unsteady near-wake analysis of cars. SAE technical paper, pages , [23] G. Godard and M. Stanislas. Control of a decelerating boundary layer. part 1 : Optimization of passive vortex generators. Aerospace science and technology, 10(3) : , [24] AO Griewank. Generalized descent for global optimization. Journal of optimization theory and applications, 34(1) :11 39, [25] N. Hansen and A. Ostermeier. Completely derandomized self-adaptation in evolution strategies. Evolutionary computation, 9(2) : , [26] W.H. Hucho. Aerodynamics of road vehicles. Warrendale, PA : Society of Automotive Engineers, [27] L. Jenkins, SA Gorton, and SG Anders. Flow control device evaluation for an internal flow with an adverse pressure gradient. AIAA paper, 266, [28] A. Jirásek. Vortex-generator model and its application to flow control. Journal of aircraft, 42(6) : , [29] J. Johansen, N.N. Sørensen, M. Reck, A. Hansen M.O.L., Stuermer, J. Ramboer, C. Hirsch, J. Ekaterinaris, S. Voutsinas, and Y. Perivolaris. Know-blade task-3.3 report ; rotor blade computations with 3d vortex generators. Technical report, Risø National Laboratory, [30] D.R. Jones. A taxonomy of global optimization methods based on response surfaces. Journal of Global Optimization, 21(4) : , [31] WP Jones and B.E. Launder. The prediction of laminarization with a two-equation model of turbulence. International Journal of Heat and Mass Transfer, 15(2) : , [32] A. Kendall and M. Koochesfahani. A method for estimating wall friction in turbulent wall-bounded flows. Experiments in Fluids, 44(5) : , [33] A.N. Kolmogorov. Equations of turbulent motion of an incompressible fluid. Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Fiz, 6(56-58) :C724, [34] D.G. Krige. A Statistical Approach to Some Mine Valuation and Allied Problems on the Witwatersrand : By DG Krige. PhD thesis, University of the Witwatersrand, [35] A.M. Kuethe. Effect of streamwise vortices on wake properties associated with sound generation

135 BIBLIOGRAPHIE 165 [36] J.C. Lin. Review of research on low-profile vortex generators to control boundarylayer separation. Progress in Aerospace Sciences, 38(4-5) : , [37] JC Lin, FG Howard, DM Bushnell, and GV Selby. Investigation of several passive and active methods for turbulent flow separation control. In AIAA, Fluid Dynamics, 21st Plasma Dynamics and Lasers Conference, 21st, Seattle, WA, June 18-20, p., volume 1, [38] JC Lin, FG Howard, and GV Selby. Small submerged vortex generators for turbulent flow separation control. Journal of Spacecraft and Rockets, 27 : , [39] JC Lin, FG Howard, and GV Selby. Exploratory study of vortex-generating devices for turbulent flow separation control. In 29th AIAA Aerospace Sciences Meeting, volume 1, [40] G. Matheron. Principles of geostatistics. Economic geology, 58(8) : , [41] K.I.M. McKinnon. Convergence of the nelder-mead simplex method to a nonstationary point. SIAM Journal of Optimization, 9 : , [42] FR Menter. Influence of freestream values on k-omega turbulence model predictions. AIAA journal, 30 : , [43] F.R. Menter. Two-equation eddy-viscosity turbulence models for engineering applications. AIAA journal, 32(8) : , [44] P.A. Monkewitz, K.A. Chauhan, and H.M. Nagib. Self-consistent high-reynoldsnumber asymptotics for zero-pressure-gradient turbulent boundary layers. Physics of Fluids, 19 :115101, [45] F. Muyl. Méthodes d optimisation hybrides appliquées à l optimisation de formes en aérodynamique automobile. PhD thesis, [46] J.A. Nelder and R. Mead. A simplex method for function minimization. The computer journal, 7(4) :308, [47] M. Onorato, AF Costelli, and A. Garrone. Drag measurement through wake analysis. Technical report, Society of Automotive Engineers, Inc., Warrendale, PA, [48] S.B. Pope. Turbulent flows. Cambridge Univ Pr, [49] DM Rao and TT Kariya. Boundary-layer submerged vortex generators for separation control-an exploratory study. 1 : , [50] H. Schlichting. 1979, boundary layer theory, mcgraw-hill. New York. [51] G.B. Schubauer and WG Spangenberg. Forced mixing in boundary layers. Journal of Fluid Mechanics, 8(01) :10 32, [52] PR Spalart and SR Allmaras. a one-equation turbulence model for aerodynamic flows, aiaa paper , jan [53] D.B. Spalding. A single formula for the law of the wall. J. Appl. Mech, 28 : , [54] W. Spendley, GR Hext, and FR Himsworth. Sequential application of simplex designs in optimisation and evolutionary operation. Technometrics, pages , [55] HD Taylor. The elimination of diffuser separation by vortex generators. united aircraft corporation report, no. Technical report, R , [56] O. Törnblom and A.V. Johansson. A reynolds stress closure description of separation control with vortex generators in a plane asymmetric diffuser. Physics of fluids, 19 :115108, 2007.

136 166 BIBLIOGRAPHIE [57] M. Van Dyke. An album of fluid motion, volume 46. Parabolic Press Stanford, CA, [58] C.M. Velte, M.O.L. Hansen, and D. Cavar. Flow analysis of vortex generators on wing sections by stereoscopic particle image velocimetry measurements. Environmental Research Letters, 3 :015006, [59] J. Villemonteix. Optimisation de fonctions coûteuses modèles gaussiens pour une utilisation efficace du budget d évaluations : théorie et pratique industrielle [60] F. von Stillfried, O. Lögdberg, S. Wallin, and A.V. Johansson. Statistical modeling of the influence of turbulent flow separation control devices, [61] K.A. Waithe. Source term model for vortex generator vanes in a navier-stokes computer code. In The 42nd AIAA Aerospace Sciences Meeting and Exhibit, [62] K.A. Waithe and Langley Research Center. Source term model for an array of vortex generator vanes. Technical report, [63] B. J. Wendt. Initial circulation and peak vorticity behavior of vortices shed from airfoil vortex generators. Technical report, NASA Glenn Research Center, [64] G.O. Wheeler. Means for maintaining attached flow of a flowing medium, June US Patent 4,455,045. [65] D.C. Wilcox, American Institute of Aeronautics, and Astronautics. Turbulence modeling for CFD, volume 2. DCW industries La Canada, CA, [66] P. Wolfe. Convergence conditions for ascent methods. SIAM review, pages , 1969.