Quelques points de traitement du signal

Transcription

1 Quelques points de traitement du signal

2 Introduction: de la mesure au traitement Source(s) BRUIT BRUIT Système d acquisition Amplitude (Pa) Temps (s) Amplitude (Pa) Mesure Opérations mathématiques appliquées aux données Représenter le signal dans un autre «monde» où l information est visible Amplitude (Pa) ou Energie Traitement du signal Traitement Signal = information on + bruit 4Retrouver l information 4L analyser 4La modéliser 4La mettre en forme ÆInterprétation Temps (s) Transformation de Fourier Fréquence (Hz) Réduire le bruit : filtrage, moyennage d un signal répété (EEG/MEG)

3 La plan de cette partie Le signal périodique, bases mathématiques Le signal est numérique Le principe de la transformée de Fourier Exemples simples de représentations fréquentielles Avant de traiter le signal grrý~z Ü +,L

4 Le signal dans les grandes lignes Grandeur physique qui varie selon le temps (ou l espace) Mesurée par un instrument : Microphone : pression acoustique (Pascals) Electrodes : potentiel électrique (Volts) EEG Magnétomètre : champ magnétique (Tesla= 1 V s m -2 ) Marégraphe : hauteur des marées (mètre) Souvent de nature périodique Rythme cardiaque, ondes cérébrales, sonores, lumineuses, orbites des astres, variation de température

5 Le signal périodique La période T = durée d un cycle en secondes La fréquence du phénomène f en nombre de cycle par seconde ou Hertz f = 1 T Des ondes sinusoïdales de différentes fréquences : 1 cycle 2 Hz 4 Hz Amplitude Temps (s) Durée = 1 s 8 Hz

6 Le signal périodique Deux exemples de phénomènes périodiques La marée 1 mesure / h (2 mois) 12 hr Cycle semi-diurne» 12 hr + Modulation 14 j Database : Fisheries and Oceans Canada (DFO) Les ondes cérébrales ~ 10 cycles en 1 s Ondes alpha (8-13 Hz) Etat de relaxation

7 Du signal périodique en équation La fonction sinus pour construire une onde A la base, cette fonction exprime une longueur à partir d un angle x(q) Valeur de l angle ó Déplacement sur un cercle de rayon 1 «Déroulage» du cercle sur un plan en fonction de l angle en radian ( ) x( q) = sinq Illustration : L.V. Barbosa, Wikipedia gallery

8 Du signal périodique en équation La fonction sinus pour construire une onde x(q) θ ( ) x( q) = sinq Illustration : L.V. Barbosa, Wikipedia gallery

12 Du signal périodique en équation La fonction sinus pour construire une onde x(q) θ 2p <-> angle d un cycle entier (une révolution) ( ) x( q) = sinq Illustration : L.V. Barbosa, Wikipedia gallery

13 Du signal périodique en équation L onde sinusoïdale, en fonction du temps x ( t) = x( t + T) x( t) Amplitude en fonction du temps t æ2p = Asinç t èt ö ø L argument (un angle, en radian) T : La période en s

14 Du signal périodique en équation Exemple d une onde sinusoïdale simple Amplitude A : +- 2 Période T de 5 s x( t) æ2p = 2sinç t è 5 ö ø

15 Du signal périodique en équation Ajout d un déphasage Où l onde commence par rapport au cycle de l oscillation æ2p ö x ( t ) = 2sinç t + f è 5 ø ø = rad ø = 0 rad ø = rad ø = 0 rad ø = p/2 rad Cosinus

16 Du signal périodique en équation La représentation dans le monde complexe La notation en exponentielle complexe est préférée car elle facilite les opérations mathématiques sur les signaux x( t) æ2p ö = Asinç t + f èt ø x( t) = Ae æ jç è 2p ö t + f T ø Formule de Moivre q e j = cos( q) + j sin( q)

17 Mais pourquoi? L onde sinusoïdale : une propriété intéressante Rappel : les fonctions sinusoïdales permette de décrire des phénomènes périodiques, en particulier les ondes (sonores, lumineuse ) La seule forme d onde périodique qui se conserve en lui ajoutant une autre onde sinusoïdale : A=2 ; ø = 0 rad A=4 ; ø = 1 rad Somme des deux Inversement, l onde sinusoïdale peut être décomposée en plusieurs ondes sinusoïdales Candidat idéal pour les décompositions Fonctions de base des fameuses transformations de Fourier

18 Le signal est numérique f w =10 cycles/s Signal continu Signal discret Une séquence ordonnée de valeurs ( 2 t) x( t) = sin p 10 Fonction du temps continu t x[1]= 0 x[2]= x[3]= x[4]= x[5]= x[6]= ( 2 n) x[ n] = sin p 10 Fonction du numéro d échantillon : n

19 Le signal est numérique Signal continu ( ) Signal discret Echantillonnage Quantification

20 Le signal est numérique Echantillonnage Signal continu ( ) 1 mesure tous les 5 ms ó 200 points en 1 s Le temps devient discret La valeur de la grandeur physique mesurée est relevée à pas de temps régulier Signal discret Amplificateur Numériseur Echantillonneur bloqueur Pas d échantillonnage t : durée entre 2 points consécutifs Fréquence ou taux d échantillonnage : nombre de points par seconde en Hz f s = 1 t Sample frequency! A ne pas confondre avec la fréquence propre du signal périodique

21 Le signal est numérique Signal continu ( ) Signal discret Echantillonnage Quantification Le temps devient discret La valeur de la grandeur physique mesurée est relevée à pas de temps régulier L amplitude devient discrète Sa valeur est approximée selon un ensemble fini de valeurs possibles Ecart entre la valeur réelle et la valeur possible = erreur de quantification (bruit) Amplificateur Numériseur Echantillonneur bloqueur Quantité d information portée par le signal numérique restreinte

22 Le signal en vrai Pas une simple onde sinusoïdale Signal = Information + Bruit Non porteur d information, la dégrade Notion relative : selon l étude: le signal de l un peut être le bruit de l autre Bruit à tous les niveaux : interne au système d acquisition, bruit de l environnement ou provenant du système physique lui-même Données d altimétrie satellitaire Variations de la surface marine : bruit pour le géophysicien, mais signal pour l océanographe Phénomènes non périodiques, aléatoires Pour analyser un signal : recours à sa représentation fréquentielle, souvent plus facile à interpréter que sa représentation temporelle D. Gibert, Cours de TS

23 Vers une représentation fréquentielle 3 sinusoïdes T=10 s ó f=0.1 Hz T=5 s ó f=0.2 Hz T=1 s ó f=1 Hz Un signal périodique complexe obtenu par une simple combinaison linéaire d ondes sinusoïdales C'est le principe inverse de la décomposition en série de Fourier

24 L idée à la base Tout signal périodique continu peut être représenté par une somme d ondes sinusoïdales correctement choisies * Jean Baptiste Joseph Fourier, 1807 * Une somme d un nombre infini de sinusoïdes de différentes périodes et chacune affectée d un coefficient (amplitude) DSP Guide, S.W. Smith [1]

25 L idée à la base Autrement dit : Le signal est vu comme une combinaison linéaire d ondes sinusoïdales élémentaires Fréquence Amplitude ó contribution au signal Représentation fréquentielle (spectre): amplitude en fonction des fréquences Amplitude Comme le principe du prisme : la lumière blanche est décomposée en composantes monochromatiques Fréquence

26 La représentation fréquentielle Signal = somme des ondes sinusoïdales en bleu Signal temporel Amplitude Spectre fréquentiel Illustration : L.V. Barbosa, Wikipedia gallery

27 La représentation fréquentielle Les domaines temporels & fréquentiels Façons alternatives de représenter le signal Une modification dans un des domaines Æ impact sur l autre Les transformations de Fourier = relations mathématiques entre ces deux représentations Signal temporel Amplitude Spectre fréquentiel Transformée de Fourier Illustration : L.V. Barbosa, Wikipedia gallery

28 Un aperçu de la théorie La famille des transformations de Fourier Transformée de Fourier Fourier Transform Transformée de Fourier à temps discret Discrete Time Fourier Transform Série de Fourier Fourier Series Transformée de Fourier discrète Discrete Fourier Transform The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing By Steven W. Smith, Ph.D. :

29 Un aperçu de la théorie La transformée de Fourier discrète Somme sur tous les échantillons n X[ k] = 1 N N - 1 å n= 0 x[ n] e - j 2pk n/ N Ondes sinusoïdales exprimées en exponentielle complexe Données dans l espace fréquentiel k : la fréquence Données dans l espace temporel Transformée de Fourier discrète Discrete Fourier Transform Le calcul en pratique : L algorithme Fast Fourier Transform FFT Illustration : DSP Guide [1]

30 Un spectre simple x[n] X[k] TF x[1]= 0 x[2]= x[3]= x[4]= x[5]= x[1]= x[2]= x[3]= x[4]= x[5]= Taux d échantillonnage f S = 10 Hz Fréquence maximale calculable 2 points par cycle pour définir une fréquence ½ f S = 5 Hz

31 Un spectre simple x[n] X[k] TF 0.1 Hz 0.2 Hz 1 Hz

32 Un spectre simple x[n] X[k] TF TF Pas d information sur le temps

33 L analyse et la synthèse Domaine du temps L analyse La synthèse Domaine de la fréquence Passage d un domaine à l autre (transformation de Fourier inverse) Domaine fréquentiel : repérer les composantes fréquentielles du signal d intérêt et du bruit Opérations sur le spectre fréquentiel pour atténuer ou amplifier certaines fréquences, puis retour dans le domaine temporel ó filtrage

34 Repérer une information parmi le bruit TF 2 Signal 2 Noise» 1 5» 0,17 ó -17 db Un bruit 5 fois plus fort Augmentation d amplitude au niveau de toutes les fréquences Signal de départ encore visible TF

35 Un dernier exemple TF La visualisation en log pour mieux apprécier le poids des composantes haute-fréquences Ici : on remarque une atténuation des fréquences supérieures à 200 Hz (filtre passe-bas lors de l acquisition)

36 Un dernier exemple TF La visualisation en log pour mieux apprécier le poids des composantes haute-fréquences Ici : on remarque une atténuation des fréquences supérieures à 200 Hz (filtre passe-bas lors de l acquisition) Mais c est quoi, cette histoire de filtre?