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2 Logique binaire 1: Les systèmes de numération Un ordinateur est un appareil électronique. Deux tensions sont majoritairement présentes dans ses circuits électroniques : 0V et 5V. On a donc décidé d affecter à chacune de ces tensions un nombre : 0 0V et 1 5V On a donc créé un Binary Digit appelé plus communément «BIT» 1- Binary Digit (BIT ) et mot binaire : Un élément binaire, un BIT (pour Binary Digit) peut prendre deux valeurs possibles : 0 ou 1 Un mot binaire de n bits est un ensemble de n bits. Par exemple (compléter) : 0111 est un mot de 4 bits est un mot de? bits est un mot de 7bits 110 est mot de.?bits (Note : pour simplifier la lecture, on écrira les mots par bloc de 4 bits) Codage : nombre de combinaisons possibles Mot de 1bit : 0 ou 1. On a donc 2 combinaisons possibles Mot de 2bits : on peut avoir soit 4 combinaisons possibles Mot de 3bits : on a 8 combinaisons possibles, donner les dans le tableau suivant : C B A D une manière générale, un mot de n bits permet de coder 2 n combinaisons 1 bit : 2 1 = 2 combinaisons 2 bits : 2 2 = 4 combinaisons 4 bits : 2 4 = 16 combinaisons 8 bits : 2 8 = combinaisons Combien de bits sont nécessaires pour coder 2048 combinaisons (justifier la réponse) : Combien de bits sont nécessaires pour coder 27 combinaisons (justifier la réponse) : Y a t-il alors des combinaisons inutilisées parmi toutes celles possibles, et si oui combien? 2- Le codage binaire pour les nombres entiers : Soit B n B n 1 B n 2. B 1 B 0 un mot binaire. Ce mot représente un nombre entier, pour en avoir son expression en décimal, il suffit d affecter à chaque B i un «poids» 2 i et de les ajouter les uns aux autres comme suit : (B n B n 1 B n 2. B 1 B 0 ) 2 = B n 2 n + B n 1 2 n 1 +B n 2 2 n 2. +B B Les nombres écrits autrement qu en base 10 seront notés : (nombre) base 2

3 Exemple : (1011) 2 = = 11 Exercice 1 : Q1- Conversion décimale/binaire a-37 b-14 c-189 d-205 e-2313 Q2- Conversion binaire/décimale : a b c d e simplification d écriture :les codage hexadécimal Le codage binaire étant souvent long et fastidieux à écrire, on simplifie l écriture (et la lecture) en écrivant chaque quartet en Hexadécimal : 8 H = 1000 b. B H = 1011 b. D3 H = D3 est bien plus simple à écrire que La correspondance des codes est donnée dans le tableau suivant : Base 10 Binaire Hexadécimal A B C D E F b Exercice 2 : Q1- Conversion Décimale/hexadécimale : a-25 b-127 c-1515 d-614 e Q2- Conversion Binaire/hexadécimale : a-101 b c d e Addition de nombres binaires : L addition binaire fait appel au même procédé que l addition décimale comme le montre l exemple ci-dessous ( à ceci près que les seuls chiffres autorisés sont 0 et 1): 3

4 ( ) 2 +( ) 2 = Retenue Exercice 3 : Effectuer les additions suivantes: ( ) 2 + ( ) 2 = (1010) 2 + ( ) 2 = ( ) 2 + ( ) 2 = 2- Les entiers relatifs: binaire signé Comment représenter un nombre entier négatif? Une fausse bonne idée : Utilisons le premier bit (en partant de la gauche) comme bit de signe (si 1 le nombre est négatif, si 0 le nombre est positif). Problèmes : - on a 2 zéros (exemple et valent 0) - comment faire une addition ( =00000 ou ) : la construction de l addition risque d être compliquée Cette idée paraît peu exploitable. Les informaticiens se sont donc orientés vers une autre idée : «le complément à deux». Le complément à 2 : Un exemple : soit le nombre 20 codé en binaire sur 8 bit on a : ( ) 2 essayons de coder -20 en binaire signé sur 8bits. La méthode du complément à 2 est la suivante : - on inverse tous les bits du mot binaire (étape1) - on ajoute 1 au mot obtenu (étape 2) étape 1 : étape 2 : Vérifions ( ) 2 + ( ) 2 = 0?

5 On ne doit pas tenir compte de ce chiffre. La taille des mots est donc fixée au départ et ne peut évoluer en binaire signé. Remarque : avec n bits, on peut encoder les entiers de 2 n 1 à 2 n 1 1 Exercice 4 : Q1- Déterminer sur 8 bits les nombres : -125 ; -53 ; -35 ; -64 ;-73 ;-248 Q2- Déterminer le plus petit nombre et le plus grand pouvant être codé sur 10 bits, 16 bits 3- La représentation des réels : virgule fixe et virgule flottante virgule fixe : un exemple Le codage en virgule fixe sur n+1 bits non signé, la virgule étant située à gauche du p d un Nombre N est donné par le schéma suivant : ieme bit a n p a n p 1. a 2 a 1 a 0 a 1 a 2 a p+1 a p 2 n p 2 n p p+1 2 p Ainsi Exemple : Soit (25,75) 10 = (11001,110) 2 (N) 10 = i=n p a i. p i i= p La position de la virgule est fixée arbitrairement à gauche de la 3eme case (en partant de la droite). La position de la virgule a été visualisée. Pour effectuer un décodage du nombre, il suffit de considérer ce nombre comme s il était codé de manière classique. La case la plus à droite représente alors le poids 2 0 : ce qui est évidemment faux. Une fois ce décodage obtenu, il suffira d effectuer une multiplication implicite de ce nombre par 2-3 Le terme -3 est représentatif du positionnement fixe de la virgule. Il devra impérativement être mémorisé par l unité de calcul. L utilisation de cette représentation ne nécessite pas que le processeur possède une unité de calcul particulière comme c est le cas pour la représentation en virgule flottante. C est notamment le cas de beaucoup de microcontrôleurs et de certains DSP (Data Signal Processor) Qu on trouve souvent dans les systèmes embarqués (drones ) Exercice 5 : Méthode : voir Q1- déterminer les nombre décimaux correspondant au nombres binaires suivant : ( ) 2 ; ( ) 2 ; la virgule étant positionnée à gauche du 4eme bit. 5

6 Q2- déterminer les nombre binaires codés sur 10 bits correspondant au nombres décimaux suivant : (1,25) 10 ; (0.625) 10 ; la virgule étant positionnée à gauche du 4eme bit. virgule flottante La virgule flottante est l équivalent informatique de la notation scientifique, ainsi le nombre 1234,63 peut s écrire 1, En informatique, on écrit le nombre de la manière suivante : +0, La décomposition se fait de la manière suivante : + 0, Le nombre est donc définit par son signe son nombre significatif (sa mantisse)et son exposant Ainsi le signe sera codé sur 1bit, la mantisse sera codé en binaire sur un nombre de bits défini par la norme IEEE-754 ( ). Il en sera de même pour l exposant. Extrait de la norme IEEE-754. Exemple sur 32 bits Conclusion : Il est possible de coder tous les nombres mais lorsqu on programme et qu on effectue des opérations sur ceux-ci, il faut faire très attention à la précision des représentations de ces nombres, aux dépassements de capacités («overflow»), à la cohérence des formats utilisés sur les différents nombres utilisés sinon il peut se passer ça : (décollage d Ariane 5 en 1996) 6

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