TECHNICIEN SUPERIEUR TERRITORIAL. CONCOURS INTERNE ET DE 3 ème VOIE SESSION 2008

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1 TECHNICIEN SUPERIEUR TERRITORIAL CONCOURS INTERNE ET DE 3 ème VOIE SESSION 2008 Vérification des connaissances mathématiques des candidats, au moyen de tableaux ou graphiques à constituer ou compléter, de problèmes à résoudre ou de questions à réponses courtes Cette épreuve est destinée à vérifier l aptitude des candidats à la mise en œuvre pratique des mathématiques que requiert l exercice des missions qui incombent aux techniciens supérieurs territoriaux Durée : 3h00 Coefficient 3 Les candidats peuvent traiter les problèmes dans l ordre qui leur convient, mais en indiquant le numéro de ceux-ci Exercice n 1 : 4,5 points Une entreprise fabrique des alarmes de sécurité Suite à un défaut de fabrication, un lot de 500 unités comporte : 10% d alarmes susceptibles de se déclencher sans raison (défaut A ) 7% d alarmes susceptibles de ne pas se déclencher en cas d incident (défaut B ) 2% d alarmes présentant les deux défauts On considère les événements suivants : A : «l alarme présente le défaut A» B : «l alarme présente le défaut B» C : «l alarme présente uniquement le défaut A» D : «l alarme présente uniquement le défaut B» E : «l alarme ne présente aucun défaut» 1 On choisit au hasard une alarme a) Calculer P ( A) et P ( B) b) Expliciter A B et A B Calculer leurs probabilités c) En déduire les probabilités des événements C, D et E 2 A l aide d un diagramme circulaire, représenter la répartition des alarmes de ce lot en faisant apparaître les quatre cas possibles (aucun défaut, défaut A seulement, défaut B seulement, présentant les deux défauts) 3 Les contrôles n ayant pas été effectués à temps, les alarmes précédentes sont regroupées avec celles d un autre lot de n alarmes comportant 3% d unités défectueuses a) Quelle est la proportion d alarmes défectueuses dans ce nouveau stock de n alarmes? b) Une alarme étant choisie au hasard, déterminer à partir de quelle valeur de n la probabilité qu elle soit sans défaut est supérieure à 0,95

2 Exercice n 2 : 3,5 points Dans un parc floral, on considère un parterre de gazon carré ABCD à l intérieur duquel on creuse un bassin carré EFGH Les mesures nécessaires à cet exercice sont sur la figure cidessous 3,2 m A 2,8 m B E F H G D C 1 On veut planter des fleurs le long des segments [AE], [BF], [CG] et [DH] Quelle est la longueur de cet espace planté de fleurs (on donnera un résultat approché au centimètre près)? 2 Quelle est l aire de la surface de gazon à planter? 3 Le schéma ci-dessous indique, en coupe, la façon dont on a creusé le bassin EFGH H Eau G Terre h a) Déterminer la profondeur h du bassin (on donnera un résultat approché au centimètre près) b) Déterminer le volume d eau nécessaire pour remplir le bassin (on donnera le résultat en m 3, puis une valeur approchée au litre près) c) Ce bassin est alimenté par une vanne qui débite 45 litres par minute Calculer à la seconde près le temps de remplissage du bassin

3 Exercice n 3 : 5,5 points Une entreprise est chargée de produire des sacs poubelle pour une ville Avec la machine utilisée, le coût de production, exprimé en euros, de x centaines de sacs par heure d utilisation est donné par la fonction, définie sur 0 ;+ par : C [ [ 2 C ( x) = 0,5x 17x Les charges moyennes par sac fabriqué sont données par la fonction f, définie sur ] 0 ;+ [ par : C( x) f ( x) = 100x a) Calculer f (x) pour tout x ] 0;+ [ b) En déduire les variations de f sur ] 0 ;+ [ c) Pour combien de sacs fabriqués les charges horaires moyennes sont-elles minimales? A combien s élèvent-elles alors? 2 Chaque sac est vendu 0,04 a) Exprimer le bénéfice B(x) réalisé par l entreprise par heure de fonctionnement de la machine pour la fabrication de x centaines de sacs b) Déterminer pour quelle valeur de x le bénéfice est maximal A combien s élève-t-il alors?

4 Exercice n 4 : 6,5 points Pendant plusieurs années, on a suivi l évolution d une certaine espèce d oiseaux Quand l observation a commencé, on a recensé 550 individus de cette population, laquelle était alors en voie de disparition Après trois années d effort, la chute a été enrayée Les relevés effectués ont permis de tracer la courbe ci-dessous, où x désigne le temps en années et y désigne l effectif en centaines d oiseaux On propose de modéliser l évolution par la relation y = f (x), où f est la fonction définie sur c [ 0;+ [ par f ( x) = ax + b +, a, b et c désignant trois constantes réelles x D après les données fournies par le graphique, établir que a, b et c vérifient le système linéaire suivant : 11 b + c = 2 ( S ): 12a + 4b + c = 4 16a c = 0 ( ) 2 Résoudre le système S et en déduire l expression de f (x) 3 On note Δ la tangente à la courbe au point d abscisse 1 a) Déterminer l équation réduite de la droite Δ b) Calculer les coordonnées du point d intersection de Δ avec l axe des abscisses

5 4 a) Etablir que, lorsque x tend vers +, la courbe admet une asymptote oblique D dont on donnera l équation réduite b) On admet que le modèle proposé reste longtemps valable Donner alors une interprétation du résultat précédent en terme d évolution de la population après un grand nombre d années c) Quelle approximation du nombre d oiseaux peut-on prévoir 50 ans après le début de l observation? Ce sujet comporte 5 pages Vous ne devez faire apparaître aucun signe distinctif dans votre copie, ni votre nom ou un nom fictif, ni signature ou paraphe Les dessins doivent être effectués sur les feuilles de papier millimétré et agrafés à l intérieur de la copie, sans aucun signe distinctif (n y reportez surtout pas votre nom) Seul l usage d un stylo noir ou bleu est autorisé (bille, plume ou feutre) L utilisation d une autre couleur, pour écrire ou souligner, sera considérée comme un signe distinctif, de même que l utilisation d un surligneur Le non-respect des règles ci-dessus peut entraîner l annulation de la copie par le jury Les feuilles de brouillon ne seront en aucun cas prises en compte L utilisation d une calculatrice de fonctionnement autonome et sans imprimante est autorisée