4 Déterminer les entiers n compris entre 0 et 100 tels que le reste de la division euclidienne de n par 41 soit 5.

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1 1 Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, P n = n 3 n est divisible par 3. Aide : vérifier par le développement que (p + 1) 3 = p 3 + 3p² + 3p Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, A n = 3 2n 2 n est divisible par 7. 3 Déterminer le reste et le quotient de la division euclidienne de a par b dans les cas suivants : o a = 54 et b = 16; o a = 187 et b = 26; o a = et b = Déterminer les entiers n compris entre 0 et 100 tels que le reste de la division euclidienne de n par 41 soit 5. 5 Le reste de la division euclidienne de 321 par le naturel b est 75. Déterminer les valeurs possibles de b et du quotient. 6 Montrer que tout entier naturel peut s'écrire sous la forme 4k, 4k + 1, 4k + 2 ou 4k + 3, avec k entier. 7 Montrer que, si l'on multiplie le dividende et le diviseur d'une division euclidienne par un même naturel k non-nul, le quotient est inchangé et le reste est multiplié par k. 8 Déterminer un entier a qui, divisé par 23 donne pour reste 1, et qui, divisé par 17 donne le même quotient et 13 pour reste. 9 Par quels entiers faut-il diviser 36 pour que le quotient de la division euclidienne soit égal au reste? 10 On note q et r le quotient et le reste de la division euclidienne de a par b. Déterminer q sachant que q et r ne changent pas lorsqu'on augmente a de 52 et b de Déterminer les entiers a et b dont la différence est 538, et tels que le quotient et le reste de la division euclidienne de a par b sont respectivement 13 et Déterminer les entiers a, avec a tel que le quotient et te reste de leur division euclidienne par 127 soient égaux. 13 Le quotient et le reste de la division euclidienne de a par b sont respectivement égaux à 5 et 4. Le quotient et le reste de la division euclidienne de a + 65 par b sont égaux à 14 et 6. Déterminer a et b. 14 Soit n un entier naturel tel que n 3. Montrer que : 3n + 1 = 2(n + 2) + n 3. En déduire le reste de la division euclidienne de 3n + 1 par n La division euclidienne de a par b donne pour quotient 7 et pour reste 24. Déterminer le quotient de la division de a par On considère l'algorithme suivant : Entrée Donner deux entiers positifs a et b (a > b) Initialisation r = 1 Traitement Tant que r > 0 donner à r la valeur du reste de la division euclidienne de a par b affecter à a la valeur b affecter à b la valeur r Sortie Afficher la dernière valeur de a. Faire tourner cet algorithme pour a = 14 et b = 6, puis pour a = 27 et b = 2 et enfin pour a = 5040 et b = 256. Qu'effectue cet algorithme? Vérifier que l'entier est multiple de 73 et Donner un autre entier composé de deux fois la même série de 4 chiffres. Fait on la même vérification? 3. Effectue le produit de 73 par 137 et expliquez le phénomène.

2 18 1. Chercher des diviseurs de 35. Peut-on les trouver tous? 2. Chercher des multiples de 35. Peut-on les trouver tous? Déterminer l'ensemble des diviseurs dans de 50, de 17, de Déterminer l'ensemble des diviseurs dans de 6, de Déterminer l'ensemble des multiples de 57 compris entre 200 et Sans calculatrice, montrer que : ² est divisible par Démontrer par disjonction des cas (nombre pair puis nombre impair) que tout nombre entier naturel n et son carré ont la même parité. 22 Voici quatre affirmations. Préciser si elles sont vraies ou fausses. Justifier la réponse. 23 Un peu de logique 1. La somme de trois entiers consécutifs est toujours divisible par La somme de trois entiers consécutifs est toujours divisible par La somme de quatre entiers consécutifs est toujours divisible un nombre pair. 4. La somme de quatre entiers consécutifs est toujours un nombre impair. Voici cinq propositions : (P 0 ) " Si n est un entier naturel pair, alors n + 1 est premier. " (P 1 ) " Pour tout entier naturel n compris entre 1 et 7, si n est pair, alors n + 1 est premier. " (P 2 ) " Pour tout entier naturel n compris entre 1 et 20, si n est pair, alors n + 1 est premier. " (P 3 ) " Il existe au moins un entier naturel n tel que si n est pair, alors n + 1 est premier. " (P 4 ) " Il existe au moins un entier naturel n dans l'ensemble {8 ; 14 ; 20 ; 26 ; 32} tel que si n est pair, alors n + 1 est premier. " 1. Préciser pour chacune de ces propositions si elle est vraie ou fausse. 2. Justifier vos réponses. 3. Enoncer les réciproques des propositions (P 1 ) et (P 3 ) et justifier pour chacune d'elle si elle est vraie ou fausse. 4. Enoncer les négations des propositions (P 2 ) et (P 4 ) et justifier pour chacune d'elle si elle est vraie ou fausse Chercher des diviseurs de 35. Peut-on les trouver tous? 2. Chercher des multiples de 35. Peut-on les trouver tous? Déterminer l'ensemble des diviseurs dans de 50, de 17, de Déterminer l'ensemble des diviseurs dans de 6, de Déterminer l'ensemble des multiples de 57 compris entre 200 et Sans calculatrice, montrer que : ² est divisible par Démontrer par disjonction des cas (nombre pair puis nombre impair) que tout nombre entier naturel n et son carré ont la même parité. 22 Voici quatre affirmations. Préciser si elles sont vraies ou fausses. Justifier la réponse. 23 Un peu de logique 1. La somme de trois entiers consécutifs est toujours divisible par La somme de trois entiers consécutifs est toujours divisible par La somme de quatre entiers consécutifs est toujours divisible un nombre pair. 4. La somme de quatre entiers consécutifs est toujours un nombre impair. Voici cinq propositions : (P 0 ) " Si n est un entier naturel pair, alors n + 1 est premier. " (P 1 ) " Pour tout entier naturel n compris entre 1 et 7, si n est pair, alors n + 1 est premier. " (P 2 ) " Pour tout entier naturel n compris entre 1 et 20, si n est pair, alors n + 1 est premier. " (P 3 ) " Il existe au moins un entier naturel n tel que si n est pair, alors n + 1 est premier. " (P 4 ) " Il existe au moins un entier naturel n dans l'ensemble {8 ; 14 ; 20 ; 26 ; 32} tel que si n est pair, alors n + 1 est premier. " 1. Préciser pour chacune de ces propositions si elle est vraie ou fausse. 2. Justifier vos réponses. 3. Enoncer les réciproques des propositions (P 1 ) et (P 3 ) et justifier pour chacune d'elle si elle est vraie ou fausse. 4. Enoncer les négations des propositions (P 2 ) et (P 4 ) et justifier pour chacune d'elle si elle est vraie ou fausse.

3 24 Les nombres et sont-ils congrus modulo 7? Justifier. 25 Déterminer le reste de la division euclidienne par 7 de 100 et 50, puis, sans utiliser votre calculatrice, de , 100 3, et Déterminer le reste de la division euclidienne par 13 de chacun des entiers suivants, sans calculatrice lorsque c'est possible: 100 ; 27 ; 127 ; 2700 ; ; 27 4 et Vérifier que (7). En déduire le reste de la division euclidienne de 2005 par Effectuer la division euclidienne de 2005 par Déduire des questions précédentes le reste de dans la division euclidienne par Soient a et b deux entiers tels que a 2 (5) et b 3 (5). Quel est le reste de la division euclidienne de a² + 2b² par 5? 29 Pour chacune des propositions suivantes, dire, en justifiant la réponse, si elle est vraie ou si elle est fausse : 1. Pour tous entiers relatifs a et b, si a b (5), alors a + 10 b (5) ; 2. Pour tous entiers relatifs a et b, si a b (5), alors 2a 2b (5) ; 3. Pour tous entiers relatifs a et b, si a b (5), alors 2a 2b (10) Soit a un entier tel que a 9 (4). Démontrer que 3a (4). 2. Soit b un entier tel que b 9 (5). Démontrer que b² b 2 (5). 3. Soit c un entier tel que c 3 (7). Démontrer que 3c + 5 est un multiple de Soit d et e deux entiers tels que d 2 (7) et e 3 (7). Démontrer que 2d + e est un multiple de Soit n un entier naturel tel que n 5 (7). a. Déterminer un entier p tel que n 3 p (7). b. En déduire que n est divisible par Soit m un entier naturel tel que m 4 (7). Démontrer que m 3k 1 (7) Vérifier que (13) et (13). En déduire que est divisible par 13. Penser à effectuer la division euclidienne de 70 par 12 et par Démontrer que pour tout entier naturel n, 5 2n 4 n est divisible par Démontrer que pour tout entier naturel n, 8 n 3 3n est divisible par Le but de l'exercice est de prouver, pour les entiers naturels à quatre chiffres, le critère de divisibilité : «Un entier est divisible par 3 si et seulement si la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3». 1. Un exemple. a. Pour chacun des nombres suivants, donner l'entier positif le plus petit auquel il est congru modulo 3 : 10 ; 100 ; ; l0 p où p est un entier positif. b. Déterminer le plus petit entier positif auquel est congru le nombre modulo 3. On remarquera que : = c. En utilisant la question b., trouver le reste de la division de par Quelques généralisations. On considère un entier N à quatre chiffres, quatre entiers a, b, c et d entre 0 et 9 tels que a 0 et N = abcd soit N =. Le chiffre des unités de l'entier N est d, celui des dizaines c, des centaines b et des milliers a. a. Montrer que N a + b + c + d (modulo 3). b. Justifier, pour les nombres à quatre chiffres, le critère de divisibilité par 3 énoncé au début de l'exercice. c. Enoncer un critère analogue de divisibilité par 9 et le démontrer pour les entiers à quatre chiffres.

4 34 Indiquer si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse en justifiant. Multiples et diviseurs o Tous les multiples de 15 sont des multiples de 3. o Tous les multiples de 3 sont des multiples de 15. o Certains multiples de 45 sont des diviseurs de 900. Définition des congruences o 15 3 (modulo 4). o 15 1 (modulo 4). o 15 3 (modulo 4). o 10 1 (modulo 9). o Tous les nombres impairs sont congrus à 1 modulo 2. Propriétés des congruences On sait que : (modulo 17) et (modulo 17). n désigne un entier naturel. o (modulo 17). o (modulo 17). o est un multiple de 17. o (modulo 17). o 10 16n 1 (modulo 17). o 10 16n+ 7 1 (modulo 17). 35 Montrer que, pour tout entier relatif n, n 3 + 5n est divisible par 6. On le démontrera par disjonction des cas en étudiant successivement les cas : n 0 (modulo 6), n 1 (modulo 6), n 2 (modulo 6), n 3 (modulo 6) 36 On considère l'algorithme suivant : Entrée Introduire un nombre entier naturel N Introduire un nombre entier naturel b 2 Initialisation Q = 1 Traitement Tant que Q > 0 affecter à Q la valeur du quotient de la division euclidienne de N par b affecter à R la valeur N b Q Afficher R affecter à N la valeur Q Faire tourner cet algorithme pour N = 27 et b = 2, pour N = 475 et b = 7. Qu'effectue cet algorithme? 37 Quel est le code INSEE, clé comprise, d'une femme née le 5 mai 1954 dans le département du Morbihan (56), dans la commune numérotée 223 et enregistrée dans cette commune sous le numéro 132 au registre de naissance du mois de mai. 38 Déterminer la clé associée au code ISBN Dans une entreprise de vente par correspondance, les références des articles sont composées de 6 chiffres et d'une lettre de contrôle afin d'éviter les erreurs de saisie. La position de la lettre dans l'alphabet est celle qui correspondant au reste de la division de la référence numérique par 26. Par exemple, si le reste de la référence numérique est 8, alors la clé est la 8 ème lettre de l'alphabet, c'est à dire H. 1. a. Quelle est la clé si la référence est ? b. On a par erreur interverti les deux premiers chiffres. L'erreur est-elle repérée? 2. On s'intéresse à la référence H où le premier chiffre a été effacé. On note le chiffre manquant. a. Déterminez les restes dans la division par 26 de et b. Déduisez-en que 4n [26], puis que 4n [26] c. En utilisant la table de valeurs de votre calculatrice, déterminez le chiffre manquant.

5 19. Les nombres a et b sont des entiers relatifs. Montrer que si a 2 + b 2 est un multiple de 2 alors (a + b) 2 est multiple de 2. La réciproque est-elle vraie? 20. Quel est l'ensemble des entiers relatifs n tels que 16 est multiple de n + 7? 21. On considère le nombre A = n(n + 1) (2n + 1). Démontrer que : A est un multiple de 2. A est un multiple de 3 (par disjonction des cas : on distinguera n = 3k, n = 3k + 1 et n=3k+2). 22. A quel entier naturel inférieur à 11 le nombre est-il congru modulo 11? 24. Vérifier qu'il y a compatibilité de la congruence modulo 3 avec l'addition et la multiplication pour les nombres 35 et Démontrer que tout nombre naturel composé de 5 chiffres est congru, modulo 10, au chiffre de ses unités. 26. Préciser l'ensemble (S) des restes possibles de la division euclidienne par 7. Déterminer auxquels des éléments de (S) sont congrus les nombres suivants A = 1 237, B = , C =23621, A + B et 12B + 45C. 27. On considère les nombres a = 123 et b = 238. Après avoir déterminé à quels restes r et r' de la division euclidienne par 5 ces nombres sont congrus modulo 5, calculer à quel reste leur somme est congrue modulo 5. Même question pour le produit a b. 29. Quelle est l'écriture générale des entiers congrus à 7 modulo 3? 30. Démontrer les résultats suivants (deux méthodes sont possibles à chaque fois). a désigne un entier. 1. Si a est congru à 7 modulo 5, alors 3a + 4 est multiple de Si a est congru à 6 modulo 11. alors 2a 2 a est multiple de Quel est le code INSEE, clé comprise, d'une femme née le 5 mai 1954 dans le département du Morbihan (56), dans la commune numérotée 223 et enregistrée dans cette commune sous le numéro 132 au registre de naissance du mois de mai. 34. Déterminer la clé associée au code ISBN (site Alain Borne)Dans une entreprise de vente par correspondance, les références des articles sont composées de 6 chiffres et d'une lettre de contrôle afin d'éviter les erreurs de saisie. La position de la lettre dans l'alphabet est celle qui correspondant au reste de la division de la référence numérique par 26. Par exemple, si le reste de la référence numérique est 8, alors la clé est la 8 ème lettre de l'alphabet, c'est à dire H. 1. a. Quelle est la clé si la référence est ? b. On a par erreur interverti les deux premiers chiffres. L'erreur est-elle repérée? 2. On s'intéresse à la référence H où le premier chiffre a été effacé. On note le chiffre manquant. a. Déterminez les restes dans la division par 26 de et b. Déduisez-en que 4n [26], puis que 4n [26] c. En utilisant la table de valeurs de votre calculatrice, déterminez le chiffre manquant. 36. Un fleuriste a reçu roses blanches et roses rouges. Il désire réaliser des bouquets identiques (c est à dire comprenant un même nombre de roses et la même répartition entre les roses blanches et les rouges) en utilisant toutes les fleurs. a. Quel sera le nombre maximum de bouquets identiques? Justifier clairement la réponse. b. Quel sera alors la composition de chaque bouquet?

6 Bac France Juin 2009 Dans cet exercice, on s intéresse à la propriété «le nombre 3 2n 2 n est divisible par 7», où n est un nombre entier naturel. 1. a. Existe-t-il un nombre entier naturel n pour lequel cette propriété est vraie? Justifier. b. Quel est le reste de la division euclidienne de 3 2 par 7? 2. a. Montrer que, pour tout nombre entier naturel n, 9(3 2n 2 n ) n = 3 2(n+ 1) 2 n+ 1 b. En utilisant l égalité précédente démontrer que, si pour un certain entier naturel n, 3 2n 2 n est divisible par 7, alors 3 2(n+1) 2 n+ 1 est aussi divisible par Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. Le nombre 3 2n 2 n est-il toujours divisible par 7, quel que soit le nombre entier naturel n?

7 Bac Polynésie Juin 2009 Pour tout nombre entier naturel n, on pose A(n) = 5 n 1. Le but de l exercice est d étudier la divisibilité de A(n) par Calculer A(2), A(3), A(4). Sont-ils divisibles par 13? 2. On considère l algorithme suivant : Entrée : Saisir un nombre entier naturel non nul N. Initialisation : Affecter à m la valeur N. Traitement : Tant que m > 6, affecter à m la valeur m 13. Sortie : Afficher m. a. Faire fonctionner l algorithme avec N = 25 puis N = 125. b. Qu obtiendrait-on en sortie si on faisait fonctionner cet algorithme avec N = 5 4? 3. a. Démontrer que, pour tout nombre entier naturel k : 5 4k 1 modulo k+1 5 modulo k+2 1 modulo k+3 5 modulo 13 b. Application : Quel est le reste dans la division euclidienne de par 13? c. Pour quelles valeurs de l entier n, l entier A(n) est-il divisible par 13? Bac Antilles Guyane Septembre 2007 Pour tout entier naturel n, on pose : A(n)= n 2 n Le but de l exercice est d étudier la divisibilité des entiers A(n) par 2 et par 3. Cet exercice est composé de deux questions indépendantes 1. a. Donner la décomposition en produit de facteurs premiers du nombre A(1) égal à b. Soit n un entier naturel. Démontrer que : «Si n est divisible par 3, alors A(n) est divisible par 3». c. La réciproque de cette dernière affirmation est-elle vraie? Justifier. 2. a. Vérifier que, quel que soit l entier naturel n, on a : (n + 1) 2 (n + 1) = (n 2 n ) + 2n. b. On considère un entier naturel n quelconque. Démontrer que : «Si A(n) est impair, alors A(n +1) est impair». c. L affirmation suivante est-elle vraie ou fausse? Justifier. «Il existe au moins un entier naturel n tel que A(n) soit divisible par 2». Bac Amérique du Nord Juin 2009 Partie A On considère l algorithme suivant : Entrée : n est un entier naturel non nul Initialisation : Donner à A et B la valeur 1 et à K la valeur 0 Traitement : Tant que K < n, réitérer la procédure suivante donner à A la valeur 4A donner à B la valeur B + 4 donner à K la valeur K +1 Sortie : Afficher A et B 1. Justifier que, pour n = 2, l affichage obtenu est 16 pour A et 9 pour B. Reproduire sur la copie et compléter le tableau suivant : Valeur de n Affichage pour A 16 Affichage pour B 9 2. Pour un entier naturel non nul quelconque n, l algorithme affiche en sortie les valeurs des termes de rang n d une suite géométrique et d une suite arithmétique. Donner le premier terme et la raison de chacune de ces suites. Partie B Voici quatre propositions : P 1 : «Pour tout n entier naturel, 4 n > 4n +1» P 2 : «Pour tout n entier naturel, 4 n 4n +1» P 3 : «Il existe au moins un entier naturel n tel que 4 n 4n +1» P 4 : «Il existe un unique entier naturel n tel que 4 n 4n +1» 1. Pour chacune d elles, dire sans justification si elle est vraie ou fausse. 2. L une des trois dernières est la négation de la propriété P 1. Laquelle?