interféromètre à division d'amplitude de Michelson

interféromètre à division d'amplitude de Michelson 1. description, intérêt historique, intérêt pratique 1.1 intérêt historique 1.2 description de l'appareil 1.3 intérêt pratique 2. utilisation en lame d'air; observation des anneaux à l'infini 2.1 description et localisation des franges 2.2 calcul de la différence de marche pour une lame à faces parallèles 2.3 calcul du rayon des anneaux 2.4 calcul de l'éclairement 2.5 cas d'une source de faible largeur spectrale 3. utilisation en coin d'air, franges rectilignes localisées sur les miroirs 3.1 description et localisation des franges 3.2 calcul de la différence de marche pour un "coin d'air" 3.3 observation du plan conjugué des miroirs au moyen d'une lentille mince 3.4 interposition d'une lame à faces parallèles sur un des trajets

1. description, intérêt historique, intérêt pratique 1.1 intérêt historique Le développement de l'électromagnétisme (Maxwell 1864) et la recherche d'un référentiel privilégié (éther ) dans lequel les lois de l'e.m. seraient valables, les théories de Lorentz sur la transformation des champs E et B lors d'un changement de repère, ont conduit Michelson en 1881, et Michelson et Morley en 1887 à réaliser une exprérience d'interférences, afin de montrer l'influence du repère sur la célérité de propagation de la lumière. Cette expérience, reprise jusque vers 1950 n'a jamais permis de mettre en évidence une variation de c, et Einstein en 1905 postule que c ne dépend ni du mouvement de la source, ni de celui de l'observateur. 1.2 description de l'appareil C'est un appareil à division d'amplitude, le faisceau de rayons incidents étant partagé en deux faisceaux d'amplitude à peu près égale, par une lame "séparatrice" semi-réfléchissante qui se réfléchissent ensuite sur deux miroirs, puis interfèrent suivant les cas, à l'infini ( miroirs perpendiculaires), ou au voisinage des miroirs, lorsqu'ils ne sont pas tout à fait perpendiculaires. I I max min On obtient alors un contraste C = maximum I max + I min L'appareil de Michelson et Morley reposait sur une dalle de grès, reposant sur des supports en bois flottant dans un bain de mercure, afin d' atténuer les vibrations pouvant perturber l'expérience. L'interféromètre fut initialement conçu pour travailler avec des sources étendues. Dans ce cas on justifie les phénomènes d'interférence par la division d'amplitude. L'élément essentiel du dispositif est la lame séparatrice dont l'une des faces est légèrement métallisée pour devenir semiréfléchissante. Elle est placée parallèlement au plan bissecteur de deux miroirs M1 et M2 à peu près perpendiculaires entre-eux. Un rayon incident issu de la source étendue est partiellement réfléchi vers le miroir M2 et partiellement transmis vers le miroir M1. Par contre on remarquera dans la figure précédente que le trajet du rayon (1) comporte trois traversées du verre de la séparatrice et une seule pour le trajet (2). Pour rétablir l'égalité des chemins optiques dans le verre quelle que soit l'incidence et les longueurs d'onde des radiations utilisées, on place sur le trajet (2) parallèlement à la séparatrice, une lame compensatrice C identique à la séparatrice. Par la suite nous simplifierons les schémas en ne représentant que la face semi-réfléchissante de la séparatrice. Les pouvoirs de transmission T et de réflexion R de la couche semi-réfléchissante sont sensiblement égaux (R=T=0.5). Les intensités correspondant aux réflexions verre-air ou air-verre seront considérées comme négligeables.( expérimentalement, elles donnent cependant des images parasites parfois gênantes). Après réflexion sur les miroirs M1 et M2, les rayons (1) et (2) rencontrent de nouveau la face semi-réfléchissante de la séparatrice. Les rayons (1') et (2') qui transportent chacun un quart de l'énergie incidente sont cohérents. Nous considérerons que les réflexions air-face semi-réfléchissante et face semi-réfléchissante-air sont de même nature

différentes configurations possibles de la séparatrice, et de la compensatrice marche d'un rayon incident arrivant normalement sur le plan des miroirs face semiréfléchissante compensatrice séparatrice séparatrice compensatrice séparatrice marche de rayons inclinés localisation des franges: une source ponctuelle ou un pinceau très fin (Laser) permettra d'observer anneaux ou des franges un peu partout : on dit qu'elles ne sont pas localisées dans une région précise de l'espace -dans le cas d'une source étendue, chaque point source donnera un phénomène d'interférence différent, il y aura donc superposition d'une infinité de systèmes de franges différents et brouillage, sauf dans certains cas où la différence de marche ne dépend plus du point source : les franges sont alors identiques pour tous les points sources et donnent des systèmes qui se renforcent; elles sont alors : -localisées à l'infini (ou dans le plan focal d'une lentille mince) pour la configuration "lame d'air", -localisées sur les miroirs dans la configuration "coin d'air"

1.3 intérêt pratique - deux directions de propagation perpendiculaires - on peut agir séparément sur chaque "bras" de l'interféromètre - mesures de longueurs d'ondes, d'indices, d'épaisseurs, de longueurs de cohérences, d'angles, etc... Il existe de multiples variantes, utilisant un plus grand nombre de miroirs (Mach, Zender..), mais faisant toujours interférer deux faisceaux obtenus à partir d'un faisceau unique Observateur 2. utilisation en lame d'air; observation des anneaux à l'infini 2.1 description et localisation des franges remarque générale : dans l'air, les points tels que ( 2 M) - ( 1 M) = cte, sont situés sur des hyperboloïdes de révolution ; suivant la position relative de l'écran et des sources, on aura des anneaux, ou des franges quasi-rectilignes (voir transparent) avec une source ponctuelle (trou source, ou laser+lentille 5mm), la différence de marche δ est définie et calculable en tout point; on peut donc observer des interférences dans une zone étendue, on dit qu'elles ne sont pas localisées. avec une source étendue : infinité de points sources, donc infinité de systèmes de franges, d'où brouillage, sauf à l'infini, où δ ne dépend plus de la position du point source; on dit que les franges sont localisées à l'infini. On les observera donc dans le plan focal d'une lentille mince.

cas des miroirs perpendiculaires: configuration "lame d'air" ; réduction de l'interféromètre compensatrice M * 2 séparatrice Observateur configuration "lame d'air M * 2 M * 2 équivalent de L 2 * équivalent de L 1 * M * 2 lame d'air équivalente M * 2 2e cosi i i + + 1 2e 2 e * schéma faisant apparaître 1 et 2, images de * par et * * les rayons parallèles interfèrent à l'infini ou dans le plan focal d'une lentille mince la différence de marche est : δ = 2e cosi si e est la distance M * 2 ( on peut aussi utiliser le calcul vu pour une lame à faces parallèles δ n'est fonction que de i on observera des anneaux d'axe 1 2

2.2 calcul de la différence de marche pour une lame à faces parallèles notons les différentes images d'un point source : (p+cp) ( ) ( ) * et * 1 * 2 on peut se ramener à un "interféromètre réduit", et à l'étude d'une lame à faces parallèles calcul de la différence de marche : δ = (IJ) + (JK) - (IH) car (KM) = (HM) 2 e δ= ( 2e tan i) sini 2 e = 1 i cosi cos i ( sin ² ) δ=2e cos i si i = 0 : frange (ou anneau) centrale si e = 0: contact optique remarque : toujours vérifier si δ géom = δ ond (nombre pair de réflexions sur des milieux plus réfringents), sinon rajouter λ 0 /2 I J i H K M à l' e observation des franges (anneaux) à l'infini : on les observera dans le plan focal image d'une lentille mince : M1 HM f ' = tan i i M2* en H i = 0 donc δ=2e en M δ=2e cos i L pour une même valeur de i on aura des franges de même nature, donc des anneaux, puisque HM =R =cte si i =cte écran H M

2.3 rayons des anneaux, dans le plan focal d'une lentille mince au centre, p o = 2e /λ 0 est en général quelconque (non entier ou demi-entier) posons p o = k + ε avec k entier, et ε < 1 ; le premier anneau brillant sera obtenu pour p 1 = k ( car la différence de marche décroit lorsque i croit ) soit : 2e cos i 1 = k λ 0 = p 1 λ 0 d'où i 1 et R 1 = f' i 1 on obtient ainsi : anneau différence de marche ordre p angle i rayon centre : δ=2e (quelconque) p o = k + ε 0 0 1 er anneau δ 1 = kλ 0 = 2ecosi 1 p 1 = k cos i 1 = kλ 0 / 2e R 1 = f' i 1 2 ème anneau δ 2 = (k-1)λ 0 = 2ecosi 2 p 2 = k-1 cos i 2 = (k-1)λ 0 /2e R 2 = f' i 2 3 ème anneau δ 3 = (k-2)λ 0 = 2ecosi 3 p 3 = k-2 cos i 3 = (k-2)λ 0 /2e R 3 = f' i 3 etc... l'angle i étant faible, on peut écrire : cosi 1 - i²/2 soit en remplaçant : angle i rayon 0 0 cos i 1 = 1 - i 1 ²/2 = kλ 0 /2e R 1 = f'(2 - kλ 0 /e) 1/2 cos i 2 = 1 - i 2 ²/2 = (k-1)λ 0 /2e R 2 = f'(2 - (k-1)λ 0 /e) 1/2 cos i 3 = 1 - i 3 ²/2 = (k-2)λ 0 /2e R 3 =f'(2 - (k-2)λ 0 /e) 1/2 cos i n = 1 - i n /2 = (k-n+1)/2e R n =f'(2 - (k-n+1)λ 0 /e) 1/2 et ainsi de suite...si on porte R n ² =f'²(2 - (k-n+1)λ 0 /e) en fonction de n, on obtient une droite de pente a=λ 0 f'²/e et en recommençant pour une autre valeur de e, on obtient a'=λ 0 f'²/e' connaissant a, a', et (e - e'), on peut en déduire λ 0, puis e et e'. supposons maintenant le centre (i=0) brillant: alors ε = 0 et p o = 2e /λ 0 = k entier les expressions deviennent : R 1 = f'(2 - kλ 0 /e) 1/2 = 0 R 2 = f'(2 - (k-1)λ 0 /e) 1/2 = f'(λ 0 /e) 1/2 R 3 = f'(2 - (k-2)λ 0 /e) 1/2 = f'(2λ 0 /e) 1/2 etc... soit R λ + = f ' n 0 n 1 e si on porte R n ² =f'²(2 - (k-n+1)λ 0 /e) en fonction de n, on obtient une droite de pente a=λ 0 f'²/e en recommençant pour une autre valeur de e, on obtient a'=λ 0 f'²/e' et connaissant a, a', et e - e', on peut en déduire λ 0, e et e'. Dans ce cas, le rayon des anneaux varie comme n : remarque : au "contact optique", e = 0 donc R devient infini. l'écran est alors uniformément éclairé (teinte "plate") 2.4 calcul de l'éclairement ; mesures de longueurs d'ondes En un point de l'écran, on a superposition de deux ondes cohérentes avec une différence de marche δ, donc I = k < s 1 + s 2 >² = I 0 /2 ( 1 + cos2πδ/λ 0 ) (voir ch2)

si e varie, un anneau brillant au centre est remplacé par un anneau brillant, chaque fois que e varie de λ 0 /2; ainsi, si on compte 500 anneaux, e varie de 250 λ 0. supposons par exemple e = e 0 + vt : δ au centre devient : δ = δ 0 + 2vt et I = I 0 /2 ( 1 + cos[2π/λ 0 (δ 0 + 2vt)] ) fonction sinusoïdale de période T = λ 0 /2v on peut ainsi mesurer une longueur d'onde 2.5 cas d'une source de faible largeur spectrale : I tout se passe comme si on superposait une infinité de sources monochromatiques incohérentes de largeur spectrale dν (avec λ 0 = c/ν) alors I ν 2 = K ( 1 + cos 2πδν d c ) ν ν 1 = πδ sin ( ν 2 ν ) I 1 0 1 + c πδ cos ( ν 2 + ν 1) 2 πδ c ( ν ) 2 ν 1 c les anneaux se brouillent périodiquement lorsque δ varie, ce qui permet de déterminer la "largeur spectrale" ν 2 -ν 1. ν I/I 0 δ c/(ν 2 -ν 1 ) 3. utilisation en "coin d'air"; franges rectilignes localisées sur les miroirs 3.1 description et localisation des franges A partir du contact optique (teinte plate) on dérègle un des miroirs : le miroir M1 forme avec M2*, image de M2 par (p+cp), un dièdre d'angle α On observe soit des franges dans une large région de l'espace (franges non localisées) si on éclaire avec une source ponctuelle, soit des franges localisées au voisinage du plan des miroirs et brouillées ailleurs si on utilise une source étendue; en effet, au voisinage des miroirs, la différence de marche ne dépend que du point observé, et non plus du point source. 3.2 calcul de la différence de marche pour un "coin d'air" On admettra que, à des infiniments petits d'ordre 2 près, δ =2e pour des rayons interférant au voisinage des miroirs, et δ varie ailleurs en fonction du point; on ne s'intéressera donc qu'aux rayons interférant au voisinage des miroirs. on voit que δ = 2e = 2αx e(x) α x

franges de même nature pour δ = 2e = 2αx = cte donc franges rectilignes parallèles à l'arête du dièdre formé par les miroirs et on parle de "franges d'égale épaisseur" localisées sur les miroirs 3.3 observation du plan conjugué des miroirs au moyen d'une lentille mince On forme l'image du "plan des miroirs" sur un écran, au moyen d'une lentille mince: relation de conjugaison : 1 1 1 = et OA' OA = D OA' OA OF' A miroirs grandissement :γ = OA ' OA avec γ > 1 O exemple : si D = 1,50 m et f' = 0,135m OA' =1,35 m, OA = -0,15m et γ = -9 sur l'écran, on observera un interfrange i' = γ i et lorsque x varie de un interfrange δ varie de λ 0 donc : δ = λ 0 = 2αi et i' = γ i = γ λ 0 / 2α écran A' remarque : en lumière blanche, on observera une frange centrale blanche ou noire, et des franges irisées (dont les bords sont colorés) :

3.4 interposition d'une lame à faces parallèles sur un des trajets M1 M2* ε M2 p+cp n i on interpose une lame à faces parallèles d'épaisseur ε et d'indice n >1 sur un des "bras" de l'interféromètre, la différence de marche δ = L 2 - L 1 varie de 2(n - 1)ε ; la nouvelle différence de marche s'écrit δ' = 2αx + 2(n - 1)ε la frange centrale définie par δ' = 0 est décalée de x on voit donc défiler en x = 0 p = x i x 2( n 1) ε = = λ0 λ0 2α 0 0 0 ( n 1)ε = α franges le décalage des franges permet d'atteindre n ou ε (mesures d'indices, ou de faibles épaisseurs) exemple numérique :avec α= 1' = π/(180x60) rad et ε= 0,1 mm λ 0 = 0,63 µm si on voit défiler 100 franges, n-1 = pλ 0 /2ε = 100 λ 0 /2ε = 0,31 et n = 1,31 interposition d'une lame mince écoulement autour d'une aile