Calcul mental et réfléchi Diaporama élaboré par Véronique Jullien CPC St Sébastien Vertou selon les travaux de Sophie Gobert - Professeur chercheur Université de Nantes
Comment calculez-vous? 85 + 8 = 85 + 5 + 3 85 + 10-2 80 + 13 Retour à la dizaine Complément à 10 + Décomposition soustractive équivalence (5+3 = 10-2) Décomposition canonique + Répertoire additif 80 x 7 = (8x10) x 7 (10x8) x 7 10 x (8x7) 10 x 56 Décomposition canonique Commutativité Associativité Répertoire multiplicatif + Procédures automatisées (x10) 5 x 16 = (5 x 8 ) x 2 Répertoire multiplicatif + Implication 5x 8 = 40 alors 5x16 (double de 8) est 2x 40 => 80
Quels sont les enjeux d'apprentissage du calcul mental et réfléchi?
LES ENJEUX D APPRENTISSAGE Calcul Mental Calcul Mental et Réfléchi Répertoires : Résultats mémorisés Doubles, compléments, tables Équivalences et Implications Calcul Réfléchi Procédures automatisées x10, x 100, décomposition canonique Propriétés des opérations Commutativité, associativité, distributivité
Travailler Les répertoires
Calcul Mental Le calcul mental est traditionnellement associé à la mémorisation d'un résultat au point de risquer d'en oublier une étape préalable : la construction d'images et stratégies mentales. 4 + 5 c'est (4+4) + 1 L'apprentissage par cœur prend valeur de comptine perte de la notion de quantité. L'élève en difficulté aura peu de stratégies pour retrouver seul le "répertoire" oublié. En l'absence d'accès à la stratégie, l'élève envisage le calcul mental comme une pensée magique. Le calcul mental est souvent mis en œuvre par le procédé La Martinière. La correction ne pourra se passer d'explicitation des stratégies.
Calcul Mental Calcul réfléchi Plus l'élève possède de répertoires et d'automatismes, plus il est équipé pour le calcul réfléchi. Ses connaissances diverses lui permettent de s'adapter au contexte numérique de calcul.
Comment aider les élèves à mémoriser les répertoires? DONNER LES MOYENS DE RECONSTRUIRE UN REPERTOIRE OUBLIE Travailler la visualisation des nombres : constellations diverses. Travailler des automatismes : le retour à la dizaine à travers les constellations, les nombres, etc (calcul réfléchi). ALLEGER LA CHARGE DE MEMORISATION Travailler les compléments à 10 sous forme de triplets 1 9 10 2 8 10 3 7 10 Travailler les doubles et les tables en attirant l'attention sur les répertoires communs, sur des procédures automatisées. 2 + 0 2 + 3 2 + 6 2 + 9 2 + 1 2 + 4 2 + 7 2 + 2 2 + 5 2 + 8 double complément
Les tables ont des occurrences communes 2 + 0 2 + 1 2 + 3 3 + 0 3 + 1 3 + 2 La mémorisation est un acte individuel Individualiser l'apprentissage Ce qui est automatisé pour un élève ne l est pas forcément pour l autre. Demander aux élèves d'apprendre uniquement les occurrences non retenues plutôt que leur demander de revoir tout systématiquement ; pendant l'entraînement leur faire tenir le répertoire évolutif de ce qui leur reste à mémoriser.
SENS Travailler le calcul réfléchi pour comprendre la nécessité de mémoriser. 1 Mise en valeur et caractérisation des différentes stratégies Pour un calcul donné, un élève explicite sa stratégie, l enseignant nomme celle-ci. Il s agit «d utiliser les doubles». L'enseignant invite ensuite un élève qui a utilisé une autre stratégie à utiliser la stratégie précédente, etc 4 + 4 + 2 + 6 = 8 + 8 4 + 4 + 2 + 6 = 10 + 6 4 + 4 + 2 + 6 = 16 4 + 4 + 2 + 6 = 16 2 L entraînement à une stratégie On invite les élèves à mettre en œuvre une stratégie en particulier : l usage des doubles. Découpe les étiquettes puis colle celle qui correspond à l usage d un double. Puis donne le résultat. 7 + 8 = 7 + 8 =. 9 + 4 = 9 + 4 = 7 + 6 + 2 7 + 6 + 1 7 + 7 + 2 9 + 2 + 2 9 + 1 + 2 9 + 1 + 3 7 + 7 + 1 3 Les élèves doivent produire eux-mêmes la décomposition 8 + 6 = 8 + 2 +. «Passage à la dizaine» 6 = 2 +. Recherche du complément
Travailler les équivalences et les implications
I - Les équivalences Faire varier la question ; la position du «?» et du = Exemples à partir de «5 + 4 = 9» 5+4 = 9 4+5 =? 9 = 5+? 9=4+? 9 5 =? 5 = 9 -? Quel est le complément à 5 pour obtenir 9? Quel nombre ajouter à 4 pour obtenir 9? Quel est l écart entre 5 et 9? De 5 pour aller à 9?
I - Les équivalences Exemples à partir de «5 x 8 = 40» 5 x 8 = 40 ; 8 x 5 = 40 ; 40 = 5 x 8 ; 40 : 5 = 8 ; 40 : 8 = 5 ; 8 = 40 : 5 ; 40 est le produit de 8 par 5 ; 40 est un multiple de 5 ; 40 est dans la table des multiples de 8 ; 5 est un diviseur de 40 ; 40 est divisible par 5 ; En 40 combien de fois 8?
II - Les implications Faire varier le domaine numérique Ne pas se cantonner au domaine numérique restreint du cycle afin d'offrir plus de possibilités "d'exemplariser" les implications. Sans connaissances du domaine numérique l'élève peut s'appuyer sur la chaine orale pour résoudre le problème numérique. Exemples à partir de «5+4 =9» 15 + 4 = 19 ; 235 + 4 = 239 ; 39 5 = 34 ; 500 + 400 = 900 ; 9000 4000 = 5000 ;
Exemples à partir de «5 x 8 = 40» 50 x 8 = 400 ; 5 x 16 = 80 ; 5 x 7 = 35 ; 6 x 8 = 48 ;
Travailler les procédures automatisées
Développer des procédures pour être plus flexible et réfléchi en calcul. Exemples ajouter 10 ou un nombre entier de dizaines trouver le plus rapidement possible le résultat d'addition en ligne : 27 + 15 + 4 + 3 +5 décomposer un nombre sous forme canonique. décomposer additivement un nombre
Compléter à la dizaine supérieure 14 >20 32 > 40 53 > 60 Compléter à la centaine supérieure Le complément à 235 pour avoir la centaine supérieure? Quel nombre ajouter à 235 pour aller à la centaine supérieure? ou 235 pour aller à 300 235 > 300 1 235 > 1 300
Que faire des différentes procédures élèves?
Que tirer de ces procédures élèves? 23 + 9 23 + (10 1) = 33-1 Privilégier la règle : = 32 23 + 9 = 23 + 7 + 2 = 30 + 2 Pour ajouter 9, j'ajoute 10 et je retire1. Cette règle ne permet pas à l'élève de se débrouiller dans d'autres cas. 23 + 8 = 23 + 10 2 Mieux vaut privilégier un principe plus général : le retour à la dizaine. L'objectif du calcul réfléchi est de développer la flexibilité de l'élève pour qu'il puisse en fonction des contextes de calcul qui lui sont proposés choisir une stratégie de calcul adaptée. Le propre des calculs numériques est d adapter les procédures en fonction des nombres en jeu, des opérations, de leurs propriétés et relations.
Quels outils référents construire?
Que produire comme écrit de référence? L enseignant a la charge d'amener l'élève à se détacher du contexte de calcul pour en tirer un principe général. Il donne un statut aux concepts qui, jusque-là, sont intervenus comme outils en contexte. Il constitue alors un savoir de classe auquel chacun pourra se référer. Exemples 7 3 10 ce triplet sert à répondre à 7 + 3 =?? + 7 = 3 +? =
Pour résoudre un calcul on peut se servir de doubles. 7 + 1 + 7 + 4 Pour résoudre un calcul on peut se servir de dizaines. 7 + 4 + 2 + 3. Des outils partiels qui s'enrichissent progressivement pour aboutir à une trace qui reprend les principes généraux du calcul mental et réfléchi Répertoires : Doubles, compléments, tables Équivalences et Implications Procédures automatisées x10, x 100, décompositions Propriétés des opérations Pour résoudre un calcul on peut se servir de doubles, de compléments, de retour à la dizaine, de décompositions, etc
En général, l élève est focalisé sur un contexte et sur la recherche d un résultat. Une piste complémentaire pour l'amener à se focaliser sur le principe général. La variation des consignes Sur quelques séances, faire varier les consignes Consigne du type "Calcule" "Cherche des phrases qui expliquent comment tu calcules?" Principes généraux : "Je me sers du retour à la dizaine "
Comment aider un élève en difficulté?
42 + 35 Un premier étayage consiste à lui donner du matériel à manipuler. Une ETAPE ESSENTIELLE est souvent oubliée. 10 + 10 + 10 + 10 + 2 + + 10 + 5 La symbolisation mathématique.
Quand est-ce que l'élève calcule? Dénombrement : comptage des objets Calcul comptage : utilisation de l aspect ordinal, bonds sur la frise numérique. Calcul numérique : utilisation des propriétés numériques et du symbolisme mathématique.
Comment mener une séquence progressive de calcul mental et réfléchi? Analyse d'un exemple d'une progression de CE2 (classe du protocole de recherche) Bien que cette classe soit une classe de cycle 3, cette séquence permet de tirer des pistes intéressantes facilement transférables en cycle 2.
Quelques principes Articuler le champ additif, soustractif et multiplicatif. Introduire progressivement les répertoires pour eux-mêmes puis les réinvestir dans des calculs variés. Introduire progressivement des procédures automatisées puis les réinvestir dans des calculs variés. Varier la position? et = Étendre le domaine numérique augmenter la fréquence des équivalences et implications s appuyant sur le langage (253 +4) Varier le lexique mathématique utilisé
Comment mener une séance de calcul mental et réfléchi?
Varier les formulations langagières : Combien font 8 + 2 Quelle est la somme de 8 + 2 Quelle est la différence entre 10 et 5 Combien font 10 5.. Articuler formulation langagière et symbolisme mathématique Varier les consignes : "Calcule" ou "Cherche des phrases qui expliquent comment tu calcules." Prendre en compte toutes les procédures Flexibilité Faire le choix d'une procédure efficiente vient après de nombreuses expérimentations. Ce n'est pas prioritaire et peut même faire obstacle. La priorité étant d'amener l'élève à être flexible en fonction du contexte numérique (cf. la règle du 10-1 ; diapositive 20). Maintenir les traces : question / résultat / procédures de calcul Gestion de la trace écrite au tableau 37 +? = 72 Effacer le point d'interrogation pour y mettre le résultat 37 + 35 = 72 peut faire obstacle car on ne voit plus la question posée, le résultat => écrire les étapes progressives sur différentes lignes. Formuler les principes généraux
De bons outils pour le calcul mental et réfléchi Le Boulier et l'abaque http://www.crdp-montpellier.fr/bsd/afficherserie4.aspx
La calculatrice, un outil pour le Exercice sur calculatrice calcul réfléchi? Consigne : Comment afficher 25 sans utiliser les touches 2 et 5. 10 + 10 + 4 + 1 1 + 1 + 1 + 1 + + 1 = 25 17 + 9 1 25 x 1 Intéressant pour la multiplication Se détacher de la décomposition canonique, il n y a pas une seule décomposition possible. une aide pour accéder à la décomposition canonique, qui peut être plus simple. Objectif : un nombre peut se construire à partir de plusieurs autres nombres et de plusieurs opérations.
Les abaques triangulaires sont des abaques à boules identiques où les mâts peuvent recueillir plus de dix boules. Chacun des trois mâts est identifié par les symboles respectifs u, d et c. Exemple : La quantité de 18 boules présente l intérêt de pouvoir déposer sur un mât un nombre de boules correspondant à la somme 9 + 9 avant d effectuer l échange qui convient. La disposition spatiale triangulaire, évite de retrouver l ordre usuel centaines, dizaines, unités qui peut masquer une incompréhension des élèves. Il faut éviter une effectuation mécanique des tâches d échange : le fait que les boules soient identiques oblige à la réflexion.
L intérêt principal du boulier chinois est d utiliser la valeur intermédiaire cinq et de permettre plusieurs représentations d une même valeur. Ainsi 10 peut être représenté par 1 boule de valeur dix ou 2 boules de valeur cinq ou 1 boule de valeur cinq et 5 boules de valeur un
Quelques bons outils Brissiaud : j apprends les maths CAP MATHS et EuroMaths reste à détacher l'élève du contexte pour aller vers le principe général. Les numéricartes d'ermel position du point d interrogation Albums à calculer de Brissiaud : 5 c est 3 plus 2. Intéressant à utiliser aussi en CP pour la décomposition des nombres vers le symbolisme mathématique Une source d'outils pédagogiques pour l'enseignant http://cp.lakanal.free.fr/ressources.htm - Rubrique Maths puis Outils -