SIMULATION D UN ÉCOULEMENT DIPHASIQUE DANS UNE COLONNE Á BULLE

RÉPUBLIQUE ALGÉRIENNE DÉMOCRATIQUE ET POPULAIRE MINISTÈRE DE L'ENSEIGNEMENT SUPÉRIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE UNIVERSITE AKLI MOHAND OULHADJ BOUIRA FACULTE DES SCIENCES ET DES SCIENCES APPLLIQUEE DEPARTEMENT DE GENIE MECANIQUE N d ordre : /Master/2015. Série : /GM/2015. MEMOIRE Présenté pour obtenir le diplôme de master en Génie Mécanique SIMULATION D UN ÉCOULEMENT DIPHASIQUE DANS UNE COLONNE Á BULLE OPTION : Mécanique Énergétique Par : ALIOUAT Mohamed Seddik MEBARKI Farid Soutenue le : 25/06 /2015 Devant le jury composé de : Président : M r. LAOUARI.A Université Bouira Rapporteur : M r. B.MAHFOUD Université Bouira Examinateurs : M r. LAKEHAL.R M r. MESSAI.T Université Bouira Université Bouira

Remerciements En préambule, je souhaite rendre grâce à Dieu, le clément et le miséricordieux de m avoir donné la force et la patience de mener à bien ce modeste travail Je tiens évidemment à débuter ces remerciements en témoignant de ma profonde reconnaissance envers Monsieur Mahfoud Brahim, maitre de conférence à l Université de Bouira pour m avoir encadré et dirigé ce travail avec patience. Je remercie vivement Monsieur LAOUARI. A enseignant à l Université de Bouira, qui m a fait l honneur de présider le jury, ainsi que pour sa contribution à ma formation. Je veux exprimer mes remerciements aux membres de jury, Monsieur MESSAI. T, enseignant à l Université Bouira Monsieur LAKEHAL. R, enseignant à l Université Bouira Mes remerciements s adressent aussi à tous les enseignants du département de Génie Mécanique de l Université. Bouira

Tant de fois avais-je pensé à vous offrir quelque chose en signe de reconnaissance pour tout ce que vous avez consenti rien que pour me voir réussir, cette fois c est l occasion : A toi Mère et à toi Père chéris que je dédie ce travail ; à vous d abord car rien qu a vous regarder dans les yeux je devine l amour sans mesure que vous me portez et dans le quel j ai baigné depuis ma tendre enfance ; aurais-je été là sans vous. Mes frères et mes sœurs que j aime, je vous réserve toujours une place dans mon cœur et mes pensées ; vous ensuite car j ai appris avec vous et grâce à vous jusqu aux moindres notions de la vie. Je dédie ce travail également à mon promoteur le docteur B.MAHFOUD qui fut pour moi l exemple, le conseiller et le soutien. Et à tous ceux que je ne dois pas oublier, mes Amis je vous dis : jamais je n oublierai les meilleurs moments que j ai vécus avec vous. ALIOUAT Mohamed Seddik

Tant de fois avais-je pensé à vous offrir quelque chose en signe de reconnaissance pour tout ce que vous avez consenti rien que pour me voir réussir, cette fois c est l occasion : A toi Mère et à toi Père chéris que je dédie ce travail ; à vous d abord car rien qu a vous regarder dans les yeux je devine l amour sans mesure que vous me portez et dans le quel j ai baigné depuis ma tendre enfance ; aurais-je été là sans vous. Mes frères et mes sœurs que j aime, je vous réserve toujours une place dans mon cœur et mes pensées ; vous ensuite car j ai appris avec vous et grâce à vous jusqu aux moindres notions de la vie. Je dédie ce travail également à mon promoteur le docteur B.MAHFOUD qui fut pour moi l exemple, le conseiller et le soutien. Et à tous ceux que je ne dois pas oublier, mes Amis je vous dis : jamais je n oublierai les meilleurs moments que j ai vécus avec vous. Mebarki Farid

ملخص قمنب دة رقم قمسم اازبد ر بل فر ب قبوب ق نا لم املفا ت قمنب دب م ب ب دبق مب ر ااب FLUENT( ) ر ا زا مب قازجم ر ملي ر من اسم ن ت رق مانب جب دم )VOF( ر ق ت ةف ر القب ر اردطسم دسن ر بل ت ر ابوب ت رق مانب بف م )UDF( إلف ب بف م قاام ر الر ت قة نب ر ن بو اا ب نا ر يممسم ن ناب س اع ر اااب 0.1m/s( 0.01=v( et 0.05 et ن ي ااى تأثساهب اا يمم ر فجباب ت قاام ص لفهب. كلمات مفاتيح : جباب ق نا لم, يمم ر ابوب, قاام ر الر,.CFD Résumé Nous présentons une étude numérique d un écoulement diphasique dans une colonne à bulle. Nous Simulons le problème diphasique sous Fluent en utilisant la méthode «Volume Of Fluid». Et la fonction «Ptch» pour modifier localement les conditions initiales.dans ce cas on utilise une fonction utilisateur (User Defined Function) afin d imposer une condition aux limites personnalisée. Les résultats seront présentés sous formes des fractions volumiques d une des deux phases. Nos simulations numériques ont été présentées pour différentes valeurs de vitesse d entrée de l air v=0.01 et 0.05 et 0.1m/s. On a traité deux cas de vitesse (vitesse constante et vitesse parabolique à l entrée), afin de voir leurs effets sur la structure de l écoulement et les grandeurs des bulles formées ainsi que la vitesse d élévation. Mots clés : colonne de bulle, Volume de Fluide, distributeur de gaz,, vitesse superficiel d'air. Abstract Numerical study of a continuous bubble chain rising through liquid column has been performed using the volume-of-fluid (VOF) approach. The problem was tackled by using the computer codes «GAMBIT» (grid generator) to generate the grid and «FLUENT 3.6» (solver) to solve the flow The effect of operating and design parameters on the bubble velocity distribution and rise trajectory has been investigated for air-water system. For the same distributor, simulation results have indicated the formation of small bubbles at low air velocity (v=0.01 et 0.05 et 0.1m/s) and relatively large bubbles at higher velocities. The increase in the velocity of distributor has shown similar behavior. Keywords: bubble column, VOF, gas distributor, CFD, superficial air velocity.

Remerciements Résumé Liste des figures Liste des tableaux Introduction générale...01 Chapitre I : Généralités sur les écoulements diphasiques et revu bibliographique I.1.Généralités sur les écoulements diphasiques...02 I.2. Régimes d'écoulements dans les conduites verticales...02 I.2.a. Écoulement à bulles...03 I.2.b.Écoulement à poches...03 I.2.c.Écoulement à forte coalescence...03 I.2.d. Écoulement annulaire...03 I.3.Cartes d'écoulements...03 I.4. Caractéristiques et modélisation des écoulements en colonnes à bulles...05 4.1. Les régimes d'écoulements en colonnes à bulles...05 4.1.1 : Le régime homogène...06 4.1.2 : La transition...07 4.1.3 : Le régime hétérogène...09 Chapitre II : paramètres et formulation mathématique des écoulements diphasiques II.1. Géométrie du problème...13 II.2. Paramètres d'écoulement...13 II.2.1. La fraction de vide...13 II.2.2. Les vitesses...14 II.2.3. Le taux de vide (taux de présence du gaz)...14 II.1.4. Le titre...14 II.3. Modélisation des écoulements diphasiques...15

II.4. Formulation mathématique...15 II.4.1. Généralités...15 II.4.2. Rappel mathématique...17 II.4.2.1. Théorème de transport de Reynolds...17 II.4.2. 2.Théorème d'ostrogradski (Théorème de Gauss)...17 II.5. Application à l écoulement monophasique...18 II.5.1. Bilans de masse...18 II.5.2. Bilan de quantité de mouvement...18 II.5.3. Bilan d énergie totale...18 II.6. Application à l écoulement diphasique...19 II.6.1. Bilan de masse...19 II.6.2. Bilan de quantité de mouvement...20 II.6.3. Bilan d'énergie totale...20 II.6.4. Équations phasiques...21 II.6.5. Conditions d interface (Équations diphasiques)...21 II.7. Modélisation de la turbulence...23 II.7.1. Le modèle k-ε standard...23 II.7.2.Les conditions aux limites et initiales...25 II.7.2.1.Les conditions initiales...25 II.7.2.2.Les conditions aux limites...25 II.7.3.aramètre d analyse...25 II.7.3.1.La fonction de courant...25

Chapitre III : Modélisation numérique des écoulements diphasique III.1. Discrétisation implicite de l équation générale de transport...30 III.2. Algorithmes de résolution...32 III.3. Bases de la modélisation numérique par les méthodes de suivi et de capture d'interface..37 III.4. Défis des méthodes de suivi et de capture d'interface...38 III.5. Généralités sur la méthode volume de fluide VOF...39 III.5.1.Approximation de la variable densité pour la méthode VOF...40 III.5.2 - La théorie du modèle VOF...40 III.6. Évolution de la méthode VOF et principales versions...44 III.7. Détails numériques utilises dans ce travail...45 Chapitre IV : Résultats et discussion IV.1. Introduction...48 IV.2.Effets du maillage...49 IV.3.Validation des résultats...50 IV.4.Effet de vitesse constante de l air sur la chaîne continue de bulle...55 IV.5.Effet de vitesse parabolique de l air sur la distribution de grandeur de bulle...56 IV.5.1.Structure de l écoulement au cours du temps...57 Conclusion générale Référence bibliographie

Nomenclature R : Rayon de courbure de l interface en un point donné (m). : Constante de modélisation = 0, 09,, : Constantes du modèle de turbulence T : Tenseur des contraintes. q : Flux de chaleur (W/m2). n : Vecteur normal à une facette. m : Débit massique (Kg/s). f : Densité massique des forces extérieures exercées en in point. V : Vitesse de déplacement d un point matériel du volume de control ( ). g : Gravité (m/s2). J : vitesse superficielle (m.s-1). P : Pression (Pa). s : Abscisse curviligne. U : composantes moyennes du vecteur vitesse (m.s-1). : Energie interne du système. A : Surface (m 2 ). α : Taux de vide global. : Tension superficielle (m2/s). Symboles grecs ρ : Masse volumique (Kg/m3).

x : Le titre Indices G L v Ʃ K t i Gaz Liquide Volumique Surface fermé Phase composante tangentiel Interfacial Abréviations VOF Volume Of Fluid (Volume De Fluide). PISO des opérateurs). Pressure Implicit with Splitting of Operators (Pression implicite avec se dédoubler PRESTO Pressure Staggering Option (Option de chancellement de pression).

Liste des figures Fig. I.1 : Configuration des écoulements dans une conduite verticale... (3) Fig. I.2 : Exemple d'une carte d'écoulement expérimentale... (4) Fig. I.3 : Exemple d'une carte mécaniste.... (4) Fig. I.4 : Régimes de fonctionnement d'une colonne à bulle d'après Chen et al [3]. (5) Fig. I.5 : Évolution du taux de vide global avec la vitesse superficielle de gaz en colonnes à bulles pour une dispersion eau/ air Deckwer [2].... (6) Fig. I.6 : Photo d'une colonne à bulles fonctionnant en régime homogène prés de l'injecteur (photo du bas) et en milieu de colonne (photo du haut) d'après Mouza et al [5]... (7) Fig. I.7 : Photo d'une colonne à bulles fonctionnant en régime hétérogène prés de l'injecteur (photo du bas) et en milieu de colonne (photo du haut) d'après Mouza et al [5]... (9) Fig. II.1 : Géométrie du problème... (13) Fig. II.2 : Organigramme de l'établissement des équations générales pour les écoulements diphasiques.... (16) Fig. II.3 : Conditions aux limites du problème. (26) Fig. III.1 : Maillages bidimensionnels et nœuds du maillage... (28) Fig. III.2 : Volume de contrôle typique.... (29) Fig. III.3 : Volume de contrôle décalé pour u et v dans un maillage entrelacé.... (29) Fig.III.4 : Limitation du schéma explicite (43) Fig. III.5 : Schéma implicite (44) Fig. III.6 : Maillage utilisé 2D (n r n z =70 140),3D hexaédrique (67030noeuds) ;.. (45) Fig. IV.1 : Distributions radiale de la vitesse axiale v à z=0.25 obtenues avec différentes densités de maillage pour une vitesse parabolique avec V 0 =0.01 0 à t=2s.. (49) Fig. IV.2 : comparaison avec Deckwer (1992). Vitesse d élévation de la bulle en fonction de la vitesse d entrée de l air. (50) Fig. IV.3 : Effet bidimensionnel de vitesse constant superficielle de l air sur la distribution de grandeurs de bulle. (a) V air = 0.01 m/s. (b) V air = 0.05 m/s. (c) V air = 0.1m/s (52) Fig. IV.4 : La variation de la fonction de courant maximum en fonction de temps ;.. (53) Fig. IV.5 : Effet tridimensionnel de vitesse constant superficielle de l air sur la distribution de grandeurs de bulle : V air = 0.1m/s. (54)

Fig. IV.6 : Profil radiale de la fonction de courant, à z=0.2, dans le cas de v=0.01, 0.05 et 0.1 (m /s) et t=2s... (55) Fig. IV.7 : Effet bidimensionnel de vitesse parabolique superficielle de gaz sur la distribution de grandeurs de bulle. (a) V air = 0.01 m/s. (b) V air = 0.05 m/s. (c) V air = 0.1m/s... (56) Fig. IV.8 : Evolution temporelle des contours de fonction de courant (,) aux temps t=0.25, 0.5, 0.75, 1, 1.25, 1.5, 1.75 et 2s le pour le cas de vitesse parabolique, ou V 0 =0.01 m/s... (58) Liste des tableaux Tableau III.1 : Schéma de discrétisation. (46) Tableau III.2 : Les valeurs de sous relaxation. (46) Tableau IV-1 : la variation des valeurs maximales de la fonction de courant, en fonction du temps t......... (53)

Introduction

Introduction générale A la différence des écoulements monophasiques, constitués, comme leur nom l'indique d'une seule phase (gaz, liquide ou solide), les écoulements diphasiques mettent en présence deux phases, qu'elles soient ou non relatives au même constituant. On s'intéresse sur les écoulements liquides à bulles. Depuis plusieurs décennies, les écoulements en colonnes à bulles sont l'objet de nombreuses études expérimentales et numériques. Leurs diverses utilisations industrielles sont une des explications à une recherche si approfondie. En effet, tant dans le domaine des industries chimiques que dans celui des industries agro-alimentaires, biotechnologiques ou encore du traitement des eaux, les processus d'ébullition et les systèmes d'extraction et de transport des produits pétroliers, les colonne à bulles sont très souvent utilisées comme contacteurs gaz-liquide. Elles possèdent de nombreux avantages tels qu'une conception mécanique simple liée à l'absence de pièces internes mobiles, entretien aisé et d'excellentes capacités de mélange et de transfert grâce a une aire interraciale importante. Objectif de l étude Notre effort se concentrera sur l éclaircissement de l écoulement multiphasique dans une colonne à bulle. Nous Simulons le problème multiphasique sous Fluent en utilisant la méthode «Volume Of Fluid». Et la fonction «Ptch» pour modifier localement les conditions initiales Organisation du mémoire Le premier chapitre est consacré à l intérêt pratique du thème, résidant derrière l importance primordiale d étudier les écoulements diphasiques. Ainsi, une étude bibliographique est rapportée sur les écoulements en colonnes à bulles et à poches Le deuxième chapitre détaille la géométrie, le modèle mathématique décrivant les écoulements monophasiques en régime transitoire et turbulents Le troisième chapitre présent la méthode numérique des volumes finis pour la résolution des systèmes d équations différentielles partielles couplées et non-linéaires, ainsi que modèle VOF (Volume Of Fluid). Le quatrième chapitre présente les résultats de la deuxième partie obtenus à l aide de CFD Fluent de l écoulement diphasiques, suivi d une conclusion générale. 1 Promotion juin 2015

Chapitre I Généralités sur les écoulements diphasiques et revue bibliographique

Chapitre I- Généralités sur les écoulements diphasiques et revue bibliographique I. 1-Généralités sur les écoulements diphasiques : Les écoulements diphasiques peuvent être classés selon les phases en présence (liquide, solide, ou gaz) ou selon la distribution spatiale des interfaces. Pour le premier cas, les combinaisons possibles sont les suivantes : mélange de deux liquides non miscibles (échangeurs à contact direct). mélange gaz-solide (transport pneumatique du blé, fumées, poussières). mélange solide -liquide (transport de boue). mélange gaz-liquide (extraction pétrolière). Concernant le second cas, on distingue les écoulements suivants : à phase dispersées. à phase séparées. de transition. En écoulement diphasique gaz-liquide, les calculs et les descriptions sont effectués pour une configuration donnée de l'écoulement. Ces configurations sont basées sur la description d'interfaces qu'on appelle '' régime d'écoulement'', et qu'on peut prévoir à l'aide des cartes d'écoulement. I. 2. Régimes d'écoulements dans les conduites verticales : Lors d'un écoulement diphasique gaz-liquide, l'interface entre les deux phases peut prendre plusieurs formes, cela dépend du débit de chaque phase, la pression, le sens de l'écoulement ( ascendant, descendant, co-courant, contre-courant), des propriétés du fluide et de la géométrie du système. Les configurations de l'écoulement sont utilisées dans la description de cette distribution. La terminologie utilisée dans la définition de plusieurs régimes d'écoulements dépend de l'interprétation des expériences réalisées. La classification des régimes d'écoulement est valide seulement d'un point de vue qualitatif (Figure. I.1). 2 Promotion juin 2015

Chapitre I Généralités sur les écoulements diphasiques et revu bibliographique Fig. I.1 : Configuration des écoulements dans une conduite verticale. A). Écoulement à bulles : Observé à faible débit de gaz, caractérisé par la présence de bulles dispersées de taille relativement petite. B).Écoulement à poches : En augmentant le débit de gaz, les bulles coalescents pour donner lieu à des poches séparées par des bouchons de liquide de sections voisines de celle de la conduite. C).Écoulement à forte coalescence : L'écoulement à poches peut mener à des instabilités. Dans cette situation la forme du bouchon est très irrégulière et avec une interface instable et allongée. D). Écoulement annulaire : La phase liquide circule comme un film prés des parois du tube, avec ou sans bulle. Cette phase est aussi présente sous une forme dispersée, dans la phase gazeuse qui s'écule dans le centre du tube. I. 3. Cartes d'écoulements : Une carte d'écoulement, comme son nom l'indique, est une représentation graphique bidimensionnelle des domaines d'existence des différents régimes. Les systèmes de coordonnées qui la définissent sont choisis parmi les variables de l'écoulement diphasique. Ces derniers sont différents selon les auteurs, et il n'existe pas de consensus sur le meilleur système. Les paramètres qui sont souvent employée sont ceux utilisés par 3 Promotion juin 2015

Chapitre I Généralités sur les écoulements diphasiques et revu bibliographique l'expérimentateur pour contrôler l'écoulement, à savoir les vitesses superficielles du liquide et du gaz, etc. Les frontières entre les différents régimes n'ont jamais été bien définies et les zones de transition sont relativement étendues, d'ou le caractère subjectif de ces cartes d'écoulement. La génération des cartes d'écoulements est deux types. L'une est une carte expérimentale (Figure. I.2). Pour prendre en considération les effets des propriétés des fluides et du diamètre de la conduite, des corrélations additionnelles doivent être introduites. Les cartes mécanistes sont par contre développées en analysant les mécanismes physiques de transition modélisés à travers les équations fondamentales ( Figure. I.3). Les corrélations empiriques sont toujours utilisées dans les modèles mécanistes pour la fermeture de modèle. Fig. I.2 : Exemple d'une carte d'écoulement expérimentale. Fig. I.3 : Exemple d'une carte mécaniste. 4 Promotion juin 2015

Chapitre I Généralités sur les écoulements diphasiques et revu bibliographique I. 4. Caractéristiques et modélisation des écoulements en colonnes à bulles : D'une manière générale, une colonne à bulles est un dispositif permettant la mise en contact entre une phase gazeuse sous forme de bulles et une phase continue liquide. En raison de l'étendue de leurs applications, elles sont très étudiées depuis plusieurs dizaines d'années et certains résultats importants sont maintenant bien connus : c'est le cas des régimes de fonctionnement dont l'existence a été mise en évidence par Shah et al [1]. Ces régimes dépendent principalement de la vitesse superficielle de gaz imposée a l'entrée de g la colonnej. 4.1. Les régimes d'écoulements en colonnes à bulles : Nous allons détailler dans ce paragraphe, les caractéristiques principales des trois régimes de fonctionnement d'une colonne à bulle, classiquement observés pour une alimentation uniforme en gaz Deckwer et al [2].Ces trois régimes sont schématiquement représentés sur la (figure. I.4), Chen et al [3]. Fig. I.4 : Régimes de fonctionnement d'une colonne à bulle d'après Chen et al [3]. (a) Régime homogène (b) Régime de transition (c) Régime hétérogène La prédiction du régime de fonctionnement d'un réacteur est primordiale pour son utilisation industrielle car le comportement hydrodynamique et les caractéristiques de transfert et de mélange sont très différents selon les régimes. L'évolution du taux global de rétention gazeuse 5 Promotion juin 2015

Chapitre I Généralités sur les écoulements diphasiques et revu bibliographique glob en fonction de la vitesse superficielle de gaz (figure.i.5) est un moyen de déterminer les transitions entre les régimes en colonnes à bulles, caractérisées par des changements de pente dans la courbe. Fig.I.5 : Évolution du taux de vide global avec la vitesse superficielle de gaz en colonnes à bulles pour une dispersion eau/ air Deckwer [2]. 4.1.1 : Le régime homogène Aux plus petites vitesses superficielles de gaz, et lorsque le gaz est injecté uniformément dans la colonne, le régime d'écoulement est homogène (figire.i.5). Il est caractérisé par une population uniforme de petites bulles qui montent verticalement dans la colonne, sans interagir entre elles et avec une faible dispersion axiale Zahradnik et al [4]. Le profil radial de taux de vide est plat et on ne note pas d'effets des sillages à l'arrière des bulles. Le liquide entrainé vers le haut par les bulles, redescend entre elles. L'écoulement moyen de liquide se présente sous la forme d'une structure convection avec une redescente de liquide prés des parois. Dans ce régime, les phénomènes de coalescence et de rupture sont négligeables et le taux de vide est déterminé par la configuration du distributeur et les propriétés physico-chimiques de la dispersion. Il peut être approximativement déterminé par 6 Promotion juin 2015

Chapitre I Généralités sur les écoulements diphasiques et revu bibliographique un modèle unidimensionnel de flux de glissement, en supposant que toutes les bulles montent verticalement à leur vitesse infinie, selon : glob U U G Le régime homogène correspond ainsi à la première partie de la courbe f U de la (figure.i.6) dans laquelle la rétention gazeuse augmente effectivement linéairement avec le débit de gaz injecté. glob G Fig. I.6 : Photo d'une colonne à bulles fonctionnant en régime homogène prés de l'injecteur (photo du bas) et en milieu de colonne (photo du haut) d'après Mouza et al [5]. 4.1.2 : La transition Lorsque la vitesse superficielle de gaz augment, toujours dans le cas d'une aération uniforme en gaz, le régime de transition apparait. Il est caractérisé par l'apparition d'agrégats de bulles, appelés clusters, et par la naissance d'une population polydisperse de bulles, liée à l'apparition de phénomènes de coalescence et de rupture. Les plus grosses bulles se concentrent au centre de la colonne créant ainsi un profil radial de taux de vide. Des macrostructures pour l'écoulement liquide apparaissent. Dans ce régime, le taux de vide global cesse d'augmenter avec la vitesse superficielle de gaz, et peut parfois même diminuer par suite de l'évolution de la vitesse relative des bulles (figure. I.5). La transition entre les régimes homogène et hétérogène intervient au-delà d'une vitesse superficielle de gaz qui 7 Promotion juin 2015

Chapitre I Généralités sur les écoulements diphasiques et revu bibliographique dépend de géométrie du réacteur et d'autres paramètres, tels que le type de distributeur de gaz, la vitesse de liquide imposée dans la colonne, la présence de tensio-actifs, la viscosité de la phase liquide, les pressions et les températures opératoires. L'impact de ces divers paramètres sur l'apparition de la transition à été étudié notamment par Zahradnik et al [4] et plus récemment par Thorat et Joshi [6] : - La distribution de gaz : La stabilité du régime homogène est améliorée en diminuant la taille des orifices à de formation des bulles du distributeur. L'augmentation du nombre d'orifices a également un effet favorable sur la durée du régime homogène et permet d'augmenter la valeur maximale du taux de vide en régime homogène. - La géométrie de réacteur : En diminuant le rapport hauteur H sur diamètre D d'une colonne à bulle, le régime homogène est favorisé et la vitesse superficielle de gaz marquant la transition devient plus grande. Ainsi, le taux de vide critique à la transition peut augmenter de 15 à 30% lorsque la hauteur de la dispersion est divisée par 10 (Ruzika et al [7]). Cependant, pour un système de distribution ne permettant que l'existence de régime hétérogène dans la colonne (un seul large orifice par exemple), la diminution du rapport H/D n'a aucune influence sur le régime, ce qui met bien en évidence le caractère robuste du régime hétérogène. D'autre part, pour H/D>5, l'influence de hauteur de la colonne peut être négligée. Lorsque seul le diamètre de la colonne est augmenté, il a une influence négative sur la stabilité du régime homogène. Ceci peut s'expliquer d'une part par l'effet stabilisant des parois et d'autre part par le fait que la macrochelle de turbulence est, en régime hétérogène, proportionnelle au diamètre de la colonne et augmente donc avec D. - L'ajoute de tensio-actifs : L'ajout de tensio-actifs (du butanol ou de l'éthanol par exemple) dans la phase liquide retarde l'apparition du régime homogène et augmente fortement le taux de vide maximal obtenu en régime homogène. Ainsi, Zahradnik et al [4] ont mesuré un taux de vide caractéristique de la transition qui peut passer de 20% pour une phase continue constituée d'eau distillée à40% pour de l'eau distillée à laquelle du sulfate de sodium ou de chlorure de calcium a été ajouté. L'ajout de coalescence en rigidifiant les interfaces, permettant donc l'existence de petites bulles, même pour de fortes vitesses superficielles de gaz. Ces bulles qui restent petites retardent donc l'apparition du régime hétérogène, caractérisé (et provoqué) par l'existence de grosses bulles. Au-delà d'une certaine concentration critique cependant, l'ajout de tensio-actifs ne change plus rien au taux de vide (saturation des interfaces). 8 Promotion juin 2015

Chapitre I Généralités sur les écoulements diphasiques et revu bibliographique - La viscosité de la phase continue : L'augmentation de viscosité de la phase liquide a un effet défavorable sur le régime homogène car elle favorise la coalescence des bulles dans la région proche du distributeur. Ainsi, lorsque la viscosité de la phase continue peut être divisé par 2 (Zahradnik et al. [4]). 4.1.3 : Le régime hétérogène : Pour les plus fortes vitesses superficielles de gaz, un écoulement instable apparait, c'est le régime hétérogène (figure. I.7). Dans le cas d'une distribution non uniforme en gaz, telle qu'une aération entrée, le régime hétérogène s'établit dans la colonne, quelle que soit J g. Il est caractérisé par une large distribution de tailles de bulles et l'existence d'un profil parabolique de taux de vide, les grosses bulles s'accumulant au centre de la colonne. Dans le cas d'une distribution centrée, le profil parabolique de taux de vide est plus prononcé dans la région proche du distributeur (Dhotre et al [8]). La recirculation de liquide observée en régime de transition disparait et la macro-échelle de la turbulence mesurée dans la phase liquide est de l'ordre du diamètre de la colonne (Zahradnik et al [4]). Le régime hétérogène est caractérisé par le taux de vide global qui augmente de nouveau avec la vitesse superficielle de gaz, avec une pente toutefois inférieure à celle obtenue en régime homogène. Fig. I.7 : Photo d'une colonne à bulles fonctionnant en régime hétérogène prés de l'injecteur (photo du bas) et en milieu de colonne (photo du haut) d'après Mouza et al [5]. 9 Promotion juin 2015

Chapitre I Généralités sur les écoulements diphasiques et revu bibliographique Revue bibliographique : Sylvain Lefebvre [9] : Les applications industrielles des colonnes à bulles touchent principalement trois secteurs, soit l'industrie chimique, l'environnement et les biotechnologies. Le nombre d'exemples d'applications des colonnes à bulles dans l'industrie chimique est très grand. Ainsi, elles sont utilisées dans la production de l'acide acétique, du méthanol et dans la chlorination en chaîne des aromtiques aikiliques. En environnement, elles sont utilisées dans le traitement des eaux usées, comme unité de flottaison dans la décontamination de gaz corne l'absorption du monoxyde d'azote, etc. En biotechnologies les colonnes à bulles sont utilisées dans la production de pénicilline, de protéines de cellules animales...etc. Dans le but d'interpréter correctement les résultats de l'hydrodynamique dans l'écoulement gaz-liquide, il est nécessaire de connaître, sous des conditions opératoires données, le régime d'écoulement des fluides dans les colonnes à bulles. Il est également nécessaire de connaître si un régime d'écoulement sera maintenu après une extrapolation de l'échelle pilote à une colonne industrielle. De nombreuses études ont traité de l'identification et de la transition des régimes d'écoulement en colonnes bulles (Zahradnik et al [4] ; Letzel et al [10] ; Vial et al [11] ; Ruzicka et al [7] ; Olmos et al [12] ; Ruthiya et al [13]. D'une manière générale, trois régimes d'écoulement ont été observés en colonnes à bulles classiques : homogène (homogeneous flow), la transition et l'hétérogène ( heterogenous flow ou churn-turbulent flow). Un autre régime, appelé écoulement à bouchons (slug flow), a été aussi observé dans les colonnes de laboratoire (Shah et al [1]), mais il n'apparaît pas à l'échelle industrielle. Plusieurs travaux de la littérature (Sarrafi et al [14] ; Vial et al [11] ; Ruzicka et al [7] ; Mouza et al [5]) ont montré que les principaux facteurs qui influent sur les transitions entre les deux régimes homogène et hétérogène sont : le débit de gaz, les propriétés physicochimiques du système gaz-liquide, le type du distributeur ainsi que les dimensions géométriques de la colonne. Sarrafi et al [14] ont examiné l influence de la géométrie de la colonne sur la transition entre régimes homogène et hétérogène Wilkinson et al [15] : Dans l'industrie, la majorité des colonnes à bulles fonctionnent en régime hétérogène. Cependant, le régime homogène est aussi bien rencontré, en particulier dans les colonnes à bulles fonctionnant à pression élevée. La plupart des auteurs (Deckwer [2] ; Zahradnik et al [4] ; Vial et al [11] ; Ruthiya et al [13]) ont montré que le régime homogène est observé pour les faibles débits de gaz ( U < 5 cm/s) et est caractérisé par une distribution de taille des bulles uniforme et un taux de g 10 Promotion juin 2015

Chapitre I Généralités sur les écoulements diphasiques et revu bibliographique rétention du gaz radialement uniforme. Les phénomènes de coalescence et de rupture des bulles sont négligeables ; la taille des bulles et la rétention gazeuse sont donc contrôlées par le type du distributeur du gaz et les propriétés physico-chimiques du système gaz-liquide utilisé. Les bulles se meuvent à peu près verticalement avec de faibles oscillations latérales et il n'y a pas de circulation liquide à grande échelle. Le régime hétérogène apparaissant aux grands débits de gaz ( U g > 7 cm/s). Dans ce cas, le régime homogène ne peut pas être maintenu et un écoulement instable apparaît. On observe la formation de bulles de grande taille. Si le diamètre de la colonne est petit, ces grosses bulles atteignent la taille de la colonne et on obtient l écoulement en bouchons. La transition et le régime hétérogène établi sont caractérisés par une large distribution de tailles de bulle et l'existence d'un profil radial de la rétention gazeuse. Une partie du gaz est transportée sous forme de grosses bulles, tandis que les petites se meuvent au voisinage des parois avec des vitesses ascensionnelles plus faibles. Les phénomènes de coalescence et de rupture jouent donc un rôle important dans la formation des grosses bulles et la distribution des tailles de bulles ne dépend plus du distributeur à partir d'une hauteur de colonne supérieure à cinq fois son diamètre. Dans de nombreux travaux de la littérature, la transition et le régime hétérogène établi sont confondus (Chen et al [3] ; Letzel et al [10] ; Zahradnik et al [4]). Ces auteurs ont proposé une description spatiale plus fine de la transition et du régime hétérogène établi en colonnes à bulles qu'ils ont nommés respectivement écoulement en spirale et turbulent. - Taitel et al [16] distinguent les régimes à bulles, à poches, agité et annulaire et suggèrent des équations théoriques de transitions entre les régimes. Il est important de se référer à l article original de Taitel et al [16] pour utiliser correctement les définitions topologiques des écoulements adaptés par les auteurs. - Clarke et al [17] ont présenté une méthode numérique pour la détermination de la structure du champ d écoulement dans un tube vertical. La méthode est basée sur l ensemble des équations moyennées qui régissent l écoulement au sein du liquide autour de bulle et dans le bouchon liquide derrière le culot de la poche. - Taha et al [18] ont fait une tentative pour modéliser le processus d'ultrafiltration de l écoulement à poches vertical employant la méthode (V OF) avec le but de comprendre et déterminer la quantité de flux pénétrant qui résulte du volume de gaz. Pour cette étude numérique, le logiciel Fluent est employé la méthode (VOF) pour calculer la forme et la vitesse de la poche, la distribution des vitesses et la distribution de la contrainte de cisaillement sur la paroi du tube. 11 Promotion juin 2015

Chapitre I Généralités sur les écoulements diphasiques et revu bibliographique - Mr Abid Akhtar [19] L'étude d'hydrodynamique d'un écoulement à chaînes de bulle ascendant continue par la colonne liquide a été réalisée pour la colonne à bulle d'échelle de laboratoire en utilisant l'approche du volume de fluide (VOF). L'effet des paramètres de fonctionnement et de conception sur la trajectoire de distribution et d'élévation de grandeurs de bulle a été étudié pour le système air-eau. Pour le même diffuseur, les résultats de simulation ont indiqué la formation de petites bulles à basse vitesse superficielle de gaz, et de bulles relativement grandes à des vitesses plus élevées. L'analyse de la trajectoire de bulle pour différentes vitesses superficielles de gaz a démontré un oscillant, le comportement montré par de petites bulles a été formé à la basse vitesse superficielle de gaz. Une concordance raisonnable entre les valeurs prévues du hold-up de gaz avec le travail expérimental a validé le modèle actuel. F. Ozkan et al [20] Le CFD, qui peuvent décrire en détail l'évolution dynamique du l'interface déformable dans les écoulements gazeux liquides ou liquide-liquide, peut être un outil valable pour explorer le potentiel de l'écoulement de multi-fluide dans des canaux étroits pour l'intensification de processus. Dans cette étude, un calcul pour l'écoulement Co-courant dans un canal vertical, pour étudier la réalisation des codes bien connus de CFD. Les calculs sont basés sur la méthode de volume de fluide (VOF) ou l'équation de transport pour la fraction volumique liquide, est résolue par les méthodes impliquant une reconstruction géométrique de l'interface. Les résultats sont présentés pour deux cas de base. Dans le premier, l'écoulement est piloté par la flottabilité seulement, alors que dans le deuxième l'écoulement est supplémentaire forcé par un gradient externe de pression. 12 Promotion juin 2015

Chapitre II Paramètres et formulation mathématique des écoulements diphasiques

Chapitre II : paramètres et formulation mathématique des écoulements diphasiques II.1.Géométrie du problème : La géométrie de la configuration considérée (Fig. II -1) est une colonne cylindrique de rayon R=10cmet de hauteur H=50cm, dont le rapport d aspect fixe (γ= H/R =5). L enceinte contient de liquide (eau) et de gaz (air). Le cylindre est ouvert à l air libre, l autre extrémité (disque inferieur) à un trou de d=10cm, La paroi latérale rigide est adiabatique. Ф=20cm H=50 cm D=10cm Fig. II.1 : Géométrie du problème. II.2. Paramètres d'écoulement : II.2.1. La fraction de vide Afin de différencier les deux phases, on notera G comme un indice pour les différentes conditions de la phase gazeuse et L pour la phase liquide. Considérons un canal avec un écoulement courant de deux phases. La section de passage de l'ensemble de cet écoulement est représentée par la surface A. La surface A G représente la section de l'écoulement de la phase gazeuse seulement, et finalement A L la section de l'écoulement de la phase liquide. Le 13 Promotion juin2015

Chapitre II Paramètres et formulation mathématique des écoulements diphasiques rapport de la surface d'écoulement de gaz et du liquide sur la surface totale de l'écoulement représente la fraction de vide souvent dénoté par ou(1 ). G L A A A A G L II.2.2. Les vitesses La vitesse superficielle représente le débit volumique d'une phase sur la surface totale : U Ls U LG q A q L A G Compte tenu de la définition du hold-up les vitesses locales du liquide et du gaz peuvent être exprimées en fonction des vitesses superficielles et des hold-up respectifs. U Ls U Ls U L 1 L L U Gs U Gs U G 1 L L II.2.3. Le taux de vide (taux de présence du gaz) C'est le rapport du volume de gaz sur le volume total. W G W G W L 14 Promotion juin2015

Chapitre II Paramètres et formulation mathématique des écoulements diphasiques II.1.4. Les titres a). Le titre massique C'est le rapport du débit massique du gaz sur le débit massique du mélange. x M G M G M L Où est le débit massique du gaz. Cette notion est utilisée dans le calcul des condenseurs par exemple. b). Le titre volumique x v qg q q G L Où est le débit volumique du gaz. II.3. Modélisation des écoulements diphasiques : La complexité dans la conception des systèmes gaz-liquide est due à l'existence simultanée des phases liquide et gaz. L'interface entre les deux phases peut être sous plusieurs configurations. L'hydrodynamique et le mécanisme de l'écoulement changent d'une configuration à une autre. Dans la solution des problèmes diphasiques, il y a plusieurs niveaux d'approches : les corrélations empiriques, les techniques de modélisation et la résolution numérique des équations de Navier-Stokes. Les corrélations empiriques sont seulement valides pour un nombre de paramètres pour lesquelles elles sont générées. La dynamique numérique des fluides est généralement utilisée pour le calcul de la chute de pression et des fractions du vide dans les écoulements gaz-liquide. Elle est applicable sur une large plage de condition. Cependant, cette procédure fait appelle à la résolution des équations de bilans pour les deux fluides et à la détermination de l'interface gaz-liquide, en outre, ces techniques souffrent du problème de stabilité. Les techniques de modélisation se situent entre les deux procédures précédentes. Elles simplifient le problème posé en considérant seulement le phénomène physique important et négligent les effets secondaires qui compliquent la résolution de manière à ne pas affecter la précision de la solution. Ces techniques incluent principalement la modélisation mécaniste de 15 Promotion juin2015

Chapitre II Paramètres et formulation mathématique des écoulements diphasiques la transition entre les différentes configurations de l'écoulement et le modèle drift-flux pour le calcul de la retenue de liquide [21]. II.4. Formulation mathématique : II.4.1. Généralités : Dans l'étude des écoulements diphasiques, les équations fondamentales reposent sur les équations de bilans, qui peuvent être écrites soit de façon simplifiée (globale) soit de façon locale. Les équations fondamentales simplifiées sont établies sous forme de deux modèles approchés dits «modèle séparé et modèle homogène». Le modèle séparé considère que les deux phases ont des propriétés différentes et suppose que chaque phase s'écoule avec une vitesse uniforme moyennée dans la section. L'autre modèle traite le mélange gaz-liquide comme un pseudo fluide monophasique dont les propriétés sont les moyennes du mélange obéissant aux lois d'un écoulement monophasique. Le système étudié dans ce travail est composé de deux fluides séparés par une interface. Les équations générales décrivant cet écoulement se divisent alors en deux groupes : Les équations relatives à chacune des deux phases appelées «équations phasiques». Les conditions de saut aux interfaces appelées «équations diphasique». L'établissement des équations générales pour les écoulements diphasiques est basé sur le schéma ci-dessous. Bilans globaux Règle de Leibnitz Théorème de Gauss Equations locales Conditions d'interface Fig. II.2 : Organigramme de l'établissement des équations générales pour les écoulements diphasiques. 16 Promotion juin2015

Chapitre II Paramètres et formulation mathématique des écoulements diphasiques À partir de l écriture globale des bilans (bilans de masse, de quantité de mouvement, d énergie), le théorème de transport de Reynolds (Leibnitz)ainsi que le théorème de Gauss (Ostrogradski)permettent l obtention des équations locales contenues dans l intégrale du volume. Quant aux équations locales contenues dans l intégrale de surface, elles sont obtenues grâce aux conditions d interface sur les grandeurs locales appartenant à chaque phase de part et d autre de chaque interface. II.4.2. Rappel mathématique : II.4.2.1. Théorème de transport de Reynolds : Soit (,,, ) une fonction à plusieurs variables représentant une surface en déplacement dans l espace et dans le temps, Cette fonction est sous la forme suivante : (,,, ) = (, ) avec {1,2,3} La dérivée particulaire de cette fonction s'écrit : xi Avec t V i Df Dt f x et grad f i f t On obtient V grad f Df f f Dt t t x i x Après un calcul mathématique le résultat s'écrit sous la forme suivante : D dt v f f dv div f V dv (2.1) t v i II.4.2.2. Théorème d'ostrogradski (Théorème de Gauss) : Le principe est de transformer une intégral de volume ( ) en une intégrale de surface fermée (Ʃ). On considère que la fonction ( ) est une fonction à plusieurs variables : v div f V dv f V n ds V Vecteur (2.2) : 17 Promotion juin2015

Chapitre II Paramètres et formulation mathématique des écoulements diphasiques v : div f T dv f T n ds T Tenseur (2.3) n grad f est la normale à la surface Ʃ (2.4) grad f En applique la règle de Leibniz et théorème de Gauss [22], les bilans globaux s'expriment alors sous forme d'intégrales de volume. Ces derniers fournissent les équations locales instantanées relatives à chaque phase identiques à celles trouvées pour les écoulements monophasiques et l intégrale de surface fournit les conditions d interfaces. II.5. Application à l écoulement monophasique : Les équations locales instantanées ci-dessous tirées des bilans globaux, expriment les principes fondamentaux de conservation et d évolution dans le cas d un écoulement monophasique tels que : - Bilan de masse. - Bilan de quantité de mouvement. - Bilan d énergie. II.5.1. Bilans de masse : D Dt v dv div V dv t v 0 Le bilan de masse nous donne l'équation de continuité qui s'écrit sous la forme suivante : div t V 0 II.5.2.Bilan de quantité de mouvement : (2.5) D Dt v V dv f dv T nds 0 v : Vitesse de déplacement d un point matériel du volume de control ( ). : Densité massique des forces extérieures exercées en in point. : Tenseur des contraintes. : Vecteur normal à une facette. L écriture locale du bilan de quantité de mouvement est donnée par l équation ci-dessous : 18 Promotion juin2015

Chapitre II Paramètres et formulation mathématique des écoulements diphasiques V div V V f div T 0 (2.6) II.5.3. Bilan d énergie totale : D Dt v 1 2 2 V U dv f V dv T n V ds q n ds : Energie interne du système. : Flux de chaleur. v L écriture locale du bilan d énergie totale s écrit comme : 1 2 1 2 V U div V U V f V div T V div q 0 t 2 2 II.6. Application à l écoulement diphasique : (2.7) En écoulements diphasiques, on utilise la même procédure que précédemment à laquelle on rajoute les conditions d interfaces des phases pour établir les équations des bilans globaux et locaux [23]. L application de la règle de Leibnitz et le théorème de Gauss nous conduit à l établissement d équations locales contenues dans l intégrale de volume pour chaque phase. Quant aux équations locales contenues dans l intégrale de surface, elles sont obtenues grâce aux conditions d interface sur les grandeurs locales appartenant à chaque phase de part et d autre de chaque interface. Définissons tout d abord les grandeurs suivantes : : Indice de phase k 1,2 k 1 liquide k 2 gaz : Vecteur normal à l interface dirigé vers l extérieur de la phase k. : Vitesse d un point de l interface. : Tension superficielle. II.6.1. Bilan de masse : 2 D D D dv dv dv 0 k 1 2 k 1 Dt Dt Dt vk v1 v2 19 Promotion juin2015

Chapitre II Paramètres et formulation mathématique des écoulements diphasiques Avec : D dv dv V nds dv V nds Vi n ds V i V n ds Dt t t 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 v1 v1 1 i v1 1 i i D dv div V dv V i V n ds Dt 1 1 1 1 1 1 1 v1 v t 1 i Pour les deux phases on a : i i 1 2 div 1 V 1 dv div 2 V 2 dv 1 V V 1 n1 2 V V 2 n2 ds 0 t t v 1 v 2 i Pour les deux phases, il y a conservation : v1 1 div 1 V 1dv 0 t 0 2 div 2 V 2 dv t v 2 C'est-à-dire : 0 0 (2.8) 2 1 V i V 1 n1 2 V i V 2 n2 m k k 1 Où est le débit massique de la phase k. II.6.2. Bilan de quantité de mouvement : D 2 2 k V k dv k f dv T k nk ds k 1 Dt v k 1 k vk k En tenant compte également de la tension superficielle l équation s écrit pour les deux phases de la façon suivante : d m V m V T n T n n ds R 1 1 2 2 1 1 2 2 1 0 : Tension superficielle. (2.9) 20 Promotion juin2015

Chapitre II Paramètres et formulation mathématique des écoulements diphasiques : Abscisse curviligne. : Rayon de courbure de l interface en un point donné. II.6.3. Bilan d'énergie totale : k D 1 V U dv f V dv T n V ds q n ds 2 2 2 k k k k k k k k k k k 1 Dt 2 v k 1 k vk k k Considérons également l effet de la tension superficielle l équation s écrit : d 1 2 t 1 2 1 2 m1 V1 U1 m2 V2 U 2 q1 n1 q2 n2 T n1 V 1 T n2 V 2 V 0 2 2 ds (2.10) : Composante tangentielle des vitesses des phases à l interface. II.6.4. Équations phasiques : t V div V V f div T t div V 0 0. 0 t 2 2 1 2 1 2 V U div V U V f V div T V div q II.6.5. Conditions d interface (Équations diphasiques) : V i V 1 n1 V i V 2 n2 1 1 0 d m1v 1 m2v 2 T 1 n1 T 2 n2 n1 0 ds R 1 2 1 2 d m1 V1 U1 m2 V2 U 2 q1 n1 q2 n2 T 1 n1 V 1 T 2 n2 V 2 V t 0 2 2 ds Nous pouvons écrire les équations précédentes de la façon suivante avec la considération desrestrictions de notre cas d étude : En tout point de la phase liquide : u v 0 x y 21 Promotion juin2015

Chapitre II Paramètres et formulation mathématique des écoulements diphasiques u u u 1 p u v u g t x y x v v v 1 p u v v t x y x x A l interface gaz-liquide : Les conditions à l interface peuvent être exprimées en fonction de l interface = (, ) sachant qu en l absence de transfert de masse, la condition d interface relative au bilan de masse qui est l équation (2.8) s écrit : mk 0 1 V 1 V i n1 0 Soit y f x, t que : Vi n 1 f t f 1 x (2.11) est la fonction de l interface et tenant compte de l équation (2.4), on démontre 2 Avec L équation (2.11) s écrit : f u t n 1 1 2 f 1 x f x f 1 x f v Cette équation est appelée équation cinématique. x 2 De la même façon on traite la condition d interface du bilan de quantité de mouvement dans l équation (2.10). Sachant qu on a pas un transfert de masse, on suppose que la tension superficielle est constante, donc le gradient de surface de est nul. Avec une projection du tenseur de contraintes sur les deux plans normal et tangent, on obtient les conditions ci-dessous l équation (2.13), (2.14). La condition cinématique : f f u v t x (2.12) 22 Promotion juin2015

Chapitre II Paramètres et formulation mathématique des écoulements diphasiques Le bilan des contraintes normales à l interface : 2 v f u v f u 2 f 2 y x y x x x p pg 2 x f 1 f x 1 x 2 3 2 2 (2.13) Le bilan des contraintes tangentielles à l interface : 2 f u v u v f 2 1 0 (2.14) x x y y x x II.7. Modélisation de la turbulence : Les équations précédentes appliquées à des phénomènes turbulents ne peuvent pas être résolue directement.cela nous a poussés à utiliser la modélisation numérique. Le développement des moyens de calcul numérique permettant d étudier la plupart des phénomènes physique en particulier les cas turbulents en se basant sur la modélisation. [24] II y'a quatre modèles de turbulence dans le Code fluent : -Spalart-Allmaras (1 équation) : -K-epsilon (2 équations) : - K-Omega (2 équations) : -Reynolds Stress (5 équations) : Pour notre simulation en régime turbulent, on a utilisé le modèle K-epsilon standard à deux équations de transport qui est le plus largement utilisé et qui donne, en général, de bons résultats dans les configurations simples. 23 Promotion juin2015

Chapitre II Paramètres et formulation mathématique des écoulements diphasiques II.7.1. Le modèle k-ε standard : Pour le traitement de la turbulence, on a utilisé le modèle k-ε standard inclue dans le package de fluent version 6. 3.26. Ce modèle est à deux équations et il permet de déterminer a la fois, la longueur de turbulence et l échelle de temps en faisant la résolution de deux équations de transport distinctes.il a été proposé par Launder B.E and Spalding D.B(1972), sa robustesse et son économie en moyen de calcul le rendent largement répondu dans les applications industrielles qui traitent les écoulements complexes. Sa précision raisonnable lui permet le traitement de large gamme d écoulements turbulents. Il s agit d un mode semi-empirique, et la dérivation des équations du modèle repose sur des considérations phénoménologiques et empiriques.ce modèle est basé sur les équations de transport de l énergie cinétique de la turbulence k et son taux de dissipation ε. L équation de transport du modèle pour k est dérivée de l équation exacte, tandis que l équation de transport du modèle pour ε est obtenue en utilisant son homologue mathématique exact. Dans la dérivation de k et ε, l hypothèse est que l écoulement est complètement turbulent et que les effets de viscosité moléculaire sont négligeables. [24] L énergie cinétique de turbulence k et son taux de dissipation ε sont obtenus à partir des équations de transport suivantes : Equation de transport de l énergie cinétique turbulente : L équation de l énergie cinétique est donnée comme suite : t k k kui Gk Gb (2.15) t x j x j k x j Modélisation du terme de production turbulente : Ce terme est définit par : G et G u u u ' ' j k i j xi b t T gi (2.17) Pr x t i (2.16) 24 Promotion juin2015