Rhéologie des glaces polaires in-situ

Stage d excellence Rhéologie des glaces polaires in-situ Stagiaire : SABATIER Tiphaine Responsable : GILLET-CHAULET Fabien Juin 2012 1

Remerciements Tout d abord je tiens à remercier le LGGE pour avoir accepté que j effectue mon stage au sein de leur laboratoire. Merci également à Gaël DURAND d avoir trouvé un nouveau stage en plus de celui déjà proposé. Enfin merci à Fabien GILLET-CHAULLET pour ses explications et sa patience. De manière plus générale, merci aux chercheurs pour leur bonne humeur. 2

Table des matières 1 Loi de comportement de la Glace 6 1.1 Introduction.............................. 6 1.2 Comparaison entre le dôme et les flancs.............. 6 1.2.1 Vitesse verticale....................... 6 1.2.2 Vitesse de déformation verticale.............. 7 1.2.3 Contrainte verticale..................... 9 1.2.4 Résultat en surface...................... 10 1.3 Résultat au niveau du dôme..................... 11 1.3.1 Vitesse verticale....................... 12 1.3.2 Vitesse de déformation verticale.............. 13 1.3.3 Contrainte verticale..................... 14 1.4 Relation contrainte déformation................... 15 2 Dépouillement des mesures topographiques de Berkner 17 3 Conclusion 23 3.1 Conclusion à propos du stage.................... 23 3.2 Conclusion personnelle........................ 23 3

Présentation du LGGE Le Laboratoire de Glaciologie et Géophysique de l Environnement (LGGE) a été créé en 1958, il est rattaché au CNRS (Centre National de la Recherche Scientifique) et à l université de Grenoble. Ce laboratoire regroupe une centaine de personnes comme des chercheurs, des enseignants chercheurs, des ingénieurs, des thésards dont le lieu de travail ne s arrête pas au laboratoire. En effet les régions polaires Antarctique et Arctique ainsi que les zones de montagne sont des terrains d action privilégiés du LGGE. Depuis plus de 50 ans, le laboratoire a bâti se renommée scientifique sur l étude du climat et la composition de l atmosphère. On décompte quatre équipes principales au LGGE dont les domaines de recherche sont les suivants : Équipe CLImat : Passé, Présent, ProjectionS (CLIPS) Leurs recherches ont pour objectif de comprendre les mécanismes régissant l état moyen et la variabilité du système climatique terrestre. Pour cela, ils travaillent sur de nombreuses échelles de temps de la minute jusqu aux cycles glaciaire-interglaciaires. Équipe Chimie Atmosphérique, Neige et Glace (CHANG) Cette équipe travaille sur deux axes majeurs : d une part, ils étudient la variabilité présente et passée de la composition chimique de l atmosphère pour déterminer les mécanismes d évolution qui la contrôle, d autre part, ils étudient la capacité oxydante des atmosphères polaires. Équipe Cryosphère, Hydrosphère et Climat de montagne (CHyC) Cette équipe étudie le fonctionnement des différentes composantes de la cryosphère et de l hydrosphère afin d appréhender l évolution des risques dans les bassins versants de montagne. Équipe Dynamique de l Écoulement et physique de la Déformation du matériau Glace (EDGe) Le domaine de cette équipe est assez vaste puisqu il couvre l étude du comportement fondamental de la glace jusqu aux prévisions de la réponse des milieux englacés polaires au forçage climatique. Les différentes études menées par ces équipes permettent d une part la compréhension de problèmes scientifiques mais elles mettent également en avant des enjeux de société tels que l effet de serre, la pollution à l échelle locale ou régionale. 4

L objectif du stage Le but premier de ce stage était de découvrir le monde la recherche et plus précisément de la glaciologie. J ai effectué mon stage au sein de l équipe EDGe ce qui me correspondait bien étant donné mon parcours Physique Géosciences et Mécanique. Lors du stage, mon travail a été structuré autour de deux axes principaux. Dans la première partie, j ai effectué plusieurs simulations afin de déterminer si une nouvelle loi de comportement de la glace donnait des résultats cohérents. L objectif était de faire varier différents paramètres afin de voir si cette loi permettait d expliquer des mesures effectuées sur le terrain. Dans la seconde partie j ai travaillé sur des mesures de topographie prises sur l île de Berkner en Antarctique. Il fallait alors localiser la crête de la calotte puis déterminer la topographie proche. Dans les deux cas, j ai travaillé avec de nouveaux outils tels que MAT- LAB et XMGRACE, outils qui devraient être bénéfiques dans la suite de mon parcours. 5

1 Loi de comportement de la Glace 1.1 Introduction La modélisation de l écoulement des calottes polaires nécessite de connaître la loi de comportement de la glace in-situ. La glace polaire a un comportement viscoplastique et la loi de comportement relie les contraintes aux vitesses de déformation. Pour les glaciers, la loi de comportement utilisée est la loi de Glen (Glen, 1955) : γ = Bτ n (1) Avec γ le second invariant des vitesses de déformation, τ le second invariant des contraintes déviatoires et B la fluidité. Cette loi dépend d un coefficient n, l exposant des contraintes, classiquement fixé à 3 pour les calculs. Une étude récente, associant mesures de vitesses de déformation sur le terrain au centre du Groenland et modélisation a montré que le meilleur accord est obtenu avec n = 4.5 ; en apparence contradictoire avec la valeur de 3 (ou moins) attendu dans ces conditions. Afin de comprendre pourquoi la loi de Glen avec n = 3 ne concorde pas avec les mesures de terrain, une nouvelle forme de loi avec la présence d une contrainte seuil en dessous de laquelle la déformation de la glace n est plus possible a été proposée. Nous appellerons cette loi, loi à contrainte seuil. γ = B(τ τo) n (2) Avec τo la contrainte seuil, γ le second invariant des vitesses de déformation, τ le second invariant des contraintes déviatoires et B la fluidité. En utilisant des données simplifiées par rapport aux mesures pratiques, j ai effectué divers simulations de l écoulement de la glace avec le code éléments finis Elmer/ice. En faisant varier la contrainte seuil appliquée, j ai essayé de voir pour quelle valeur de contrainte seuil la loi à contrainte seuil se rapprochait de la loi de Glen avec n = 3 ou n = 4.5. J ai donc effectué quatre essais différents avec des contraintes seuil variant de 10 4 à 10 2 MPa. Pour chaque essai, j ai étudié d une part les résultats sous le dôme et sous les flancs de la calotte théorique et d autre part les résultats en surface. Ce sont ces résultats qui sont présentés dans la première partie du rapport. 1.2 Comparaison entre le dôme et les flancs Dans un premier temps, nous allons regarder les différences entre le dôme et les flancs. Pour cela nous allons nous servir des résultats du premier essai pour lequel la contrainte seuil était de 5.0 10 3 MPa. 1.2.1 Vitesse verticale On constante que la vitesse verticale, représentée sur la figure 1, évolue différemment si on se trouve au niveau dôme ou bien au niveau des flancs. 6

Lorsque l on se trouve sous les flancs, la vitesse est nulle au niveau du socle puis elle évolue de manière quasi linéaire. Lorsqu on est sous le dôme on a un comportement différent. En effet sous le dôme et proche du socle, la glace est extrêmement visqueuse du fait de la non linéarité de la loi de comportement (i.e. n 1) et elle va donc très peu se déformer. De ce fait dans les premières dizaines de mètres au dessus du socle, la vitesse est très faible. Les profils de vitesse verticale sous le dôme et sous les flancs sont donc très différents. Notons qu au sommet, les vitesses sont pratiquement équivalentes qu on soit au dôme ou bien sur les flancs. Or la vitesse n évoluant pas de la même manière au niveau du socle il va donc falloir compenser ce manque pour arriver à une vitesse équivalent au sommet. C est ce que nous allons voir dans la suite. Enfin, on s aperçoit que sous le dôme, le profil de vitesse verticale est très sensible à la loi de comportement ce qui n est pas le cas sous les flancs. Fig. 1 Vitesse verticale V (m/a) en fonction de l élévation au dessus du socle Z (m) pour l Essai 1. 1.2.2 Vitesse de déformation verticale Pour la vitesse de déformation verticale (figure 2), on constate que la loi à contrainte seuil se rapproche de la loi classique. En effet la contrainte seuil choisie n est pas suffisante pour correspondre à la loi de Glen avec n = 4.5. On constate également que la vitesse de déformation n évolue pas de la même 7

manière lorsqu on est sous le dôme ou sous les flancs. Comme le bas du dôme se déforme très peu car la glace est extrêmement visqueuse, on a une importante vitesse de déformation lorsqu on remonte vers la surface dû au fait qu il faut compenser pour arriver à la même vitesse en haut. On voit ici que les vitesses de déformation dans les calottes polaires sont extrêmement faibles. Pour ces résultats de modèle typique du centre du Groenland, nous obtenons en surface des vitesses de déformation de l ordre de 10 4 a 1, i.e. en un an, une couche de glace de cent mètres s amincit de un centimètre. Fig. 2 Vitesse de déformation verticale D yy (a 1 ) en fonction de l élévation au dessus du socle Z (m) pour l Essai 1. 8

1.2.3 Contrainte verticale Pour la contrainte verticale, la figure 3 montre également que les contraintes verticales sont plus importantes au niveau du dôme que pour les flancs. Fig. 3 Contrainte verticale S yy (MPa) en fonction de l élévation au dessus du socle Z (m) pour l Essai 1. 9

1.2.4 Résultat en surface Nous pouvons également étudier des mesures de surface comme la vitesse de déformation verticale et la pente en surface. La vitesse de déformation verticale en surface est représentée sur la figure 4. On s aperçoit qu au niveau du dôme, cette vitesse est plus importante en valeur absolue que sur les flancs. On retrouve donc les mêmes informations que sur le profil de vitesse de déformation de la figure 2. On a ensuite une transition pour arriver au niveau des flancs. On voit que la variation de la vitesse de déformation verticale de surface au voisinage du dôme est très sensible à la loi de comportement, notamment au paramètre n. Cet effet est connu sous le nom d effet de Raymond (Raymond, 1983). C est en comparant ce type de résultat à leurs données de terrain qu une valeur de n = 4.5 a été déduite par Gillet-Chaulet et al. (2011). Sur la figure 5 nous avons tracé la pente de surface, on remarque également des différences lorsque l on se trouve au dôme ou bien sur les flancs. Fig. 4 Vitesse de déformation verticale D yy (a 1 ) par rapport à la distance au dôme X (m) pour l Essai 1. 10

Fig. 5 Pente de surface ds/dx en fonction de la distance au dôme X (m) l Essai 1. Les résultats en surface et les comparaisons entre le dôme et les flancs nous ont donc permis de voir que la glace n avait pas le même comportement dans toute la calotte. Comme elle est extrêmement visqueuse sous le dôme, la vitesse dans les premières dizaines de mètres au dessus du socle est faible. Cependant la vitesse verticale en surface est la même où que l on se trouve. Les fortes vitesses de déformation sous le dôme et les contraintes verticales permettent donc de compenser la faible vitesse au niveau du socle. 1.3 Résultat au niveau du dôme Nous allons maintenant étudier seulement le dôme pour les 4 essais différents afin de voir l impact de la contrainte seuil sur le comportement de la loi. Voici en rappel les valeurs des contraintes seuil pour les différents essais : Essai 1 : 5.0 10 3 MPa Essai 2 : 10 4 MPa Essai 3 : 10 3 MPa Essai 4 : 10 2 MPa 11

1.3.1 Vitesse verticale Sur la figure 6, nous avons représenté les vitesses verticales au niveau du dôme pour chaque essai. On s aperçoit que plus la contrainte seuil appliquée est forte, plus la loi à contrainte seuil va se rapprocher de la loi de Glen avec n = 4.5. En effet pour les contraintes seuil les plus faibles, les courbes sont superposées à celle de la loi de Glen avec n = 3 puis lorsque la contrainte seuil augmente, les courbes s éloignent de cette loi. On peut donc dire que la valeur de la contrainte seuil a un impact important sur la loi de comportement de la glace d après la loi à contrainte seuil. Fig. 6 Vitesse verticale V (m/a) en fonction de l élévation au dessus du socle Z (m) pour les 4 Essais. 12

1.3.2 Vitesse de déformation verticale Il en va de même pour la vitesse de déformation verticale D yy. Plus la contrainte seuil est forte, plus on se rapproche de la loi de Glen avec n = 4.5. Fig. 7 Vitesse de déformation verticale D yy (a 1 ) en fonction de l élévation au dessus du socle Z (m) pour les 4 Essais. 13

1.3.3 Contrainte verticale Enfin pour la contrainte verticale S yy représentée sur la figure 8, on constate que plus la contrainte seuil est importante, plus la courbe s éloigne de la loi de Glen avec n = 3. Fig. 8 Contrainte verticale S yy ) (MPa) en fonction de l élévation au dessus du socle Z (m) pour les 4 Essais. 14

1.4 Relation contrainte déformation L objectif ici était de vérifier l implémentation des lois de comportement dans le code d écoulement et de regarder dans quel régime de contrainte on se situe dans la calotte. Pour chaque résultat du modèle, nous avons tracé le rapport γ/b en fonction de τ (figure 9) et nous l avons comparé aux résultats théoriques en échelle log soit des droites de pente n. On voit qu on a un très bon accord entre les résultats théoriques et ceux du modèle. On voit que pour les flancs de la calotte, la gamme de contrainte est assez faible alors qu elle est plus importante au dôme. On vérifie bien qu aux contraintes élevées par rapport à la contrainte seuil, la loi à contrainte seuil se rapproche de la loi de Glen avec n = 3. C est le cas sous les flancs de la calotte. Par contre, sous le dôme, les contraintes rencontrées se rapprochent de la contrainte seuil et la loi à contrainte seuil va plus se rapprocher de la loi de Glen avec n = 4.5. Fig. 9 Rapport γ/b en fonction du log de la contrainte pour les différentes lois de comportement. 15

Fig. 10 Log de la déformation en fonction du log de la contrainte pour les différentes lois de comportement. 16

2 Dépouillement des mesures topographiques de Berkner De nouvelles mesures de vitesse de déformation ont été effectuées en Antarctique sur l île de Berkner par Fabien Gillet-Chaulet en 2010 et 2012. Afin de pouvoir modéliser l écoulement de la glace dans cette région, il est nécessaire de bien connaître la topographie. Des mesures de topographie ont été effectuées par GPS au cours de la saison 2010. La seconde partie du stage était donc basée sur le dépouillement de ces mesures GPS en Antarctique sur l île de Berkner. Le but est de déterminer la position de la crête sur la calotte ainsi que la topographie selon les grandes lignes de mesures. Lors de la mission l équipe avait estimé la position de la crête à partir des ombres visibles sur une photo satellite. Fig. 11 Position(X,Y) en km des données GPS (symboles) et topographie issue d un modèle numérique de terrain à 5km (isocontours). La ligne noire correspond au trajet complet effectué lors de la mission. Les lignes de couleurs quand à elles correspondent aux lignes que nous allons étudier. Les mesures de vitesses de déformation ont été effectuées le long de la ligne 1. Mon travail a donc commencé ici, en regardant si l estimation de la position de la crête était en accord avec les données GPS. Pour chaque ligne, l estimation de la position de la crête (représentée par les points sur le figure 11) donne les coordonnées suivantes : 17

Ligne 1 : X(0)= 8, 121110 5 Y(0)= 7, 925110 5 Ligne 2 : X(0)= 8, 118910 5 Y(0)=7, 919510 5 Ligne 3 : X(0)= 8, 120010 5 Y(0)=7, 922310 5 Ligne 4 : X(0)= 8, 123210 5 Y(0)=7, 930710 5 Nous avons commencé par effectuer un graphique représentant l élévation en fonction de la distance de chaque point de la ligne au point estimé appartenant à la crête. On obtient le graphique suivant Fig. 12 Elévation Height (m) en fonction de la Distance au centre (m) On note alors un décalage entre le zéro de l axe des abscisses, aligné sur nos centres estimés, et ce qui semblerait être la crête de notre dôme. L objectif était donc de recentrer cette courbe sur la crête afin d avoir les coordonnées de nos nouveaux points. Pour déterminer le décalage, nous avons utilisé la pente de surface. Grâce aux courbes représentant ces pentes, il est possible de déterminer la crête puisqu elle correspond au point où la dérivée s annule. Cependant comme ces courbes sont extrêmement bruitées il a fallu mettre en place un mode de lissage en utilisant la méthode des moindres carrés. Cette méthode permet de comparer des données expérimentales à un modèle mathématique permettant de décrire ces données. Le moindre carré va donc déterminer les coefficients du modèle qui va le plus se rapprocher de notre ensemble de mesures formant un nuage de points. Nous avons programmé sous MATLAB deux modèles de moindres carrés, 18

un linéaire et un non linéaire. Nous avons ensuite appliqué notre moindre carré de manière glissante en sélectionnant les points de mesure dans un intervalle dx autour d un point courant. Nous avons fait plusieurs essais pour voir la sensibilité à dx ce qui est représenté sur la figure 13. Pour les courbes représentant l élévation, il c est avéré que plus le pas diminuait, plus on se rapprochait de nos données (sans passer sous un pas de 50). Cependant pour la pente, les pas trop faibles ne présentaient pas d intérêt car ils donnaient des courbes toujours bruitées. Nous avons finalement décidé d utiliser la méthode des moindres carrées linéaire avec un pas de 500 car il était bien approprié pour les courbes de la pente. Fig. 13 Première courbe : Elévation Height (m) par rapport à la distance au centre (m) pour différents dx. Deuxième courbe : Pente ds/dz en fonction de la distance au centre (m) pour différents dx. Ainsi, une fois nos courbes lissées, nous avons pu créer une nouvelle fonction capable de déterminer pour quelle abscisse la pente serait nulle. Cette abscisse correspond au point de la crête. Nous avons alors trouvé un décalage entre les valeurs GPS et les valeurs estimées sur le terrain compris entre 625 et 680 mètres pour les quatre lignes. Il a donc ensuite était possible de recentrer nos lignes en retranchant cette distance aux abscisses des points estimés. Nous avons alors obtenu le graphique de la figure 14. Nous remarquons que nous avons obtenu des variations de pente au voisinage 19

de la crête, similaires aux résultats du modèle présenté dans la première partie. Fig. 14 Pente ds/dz en fonction de la nouvelle distance (m) par rapport au nouveaux points appartenant à la crête. Nous connaissions donc la distance de nos nouveaux points par rapport aux points d origine. Le but était alors de déterminer leurs coordonnées afin d avoir une idée de l orientation de la crête. Pour obtenir ces coordonnées, il a fallu faire une régression linéaire sur chaque ligne pour connaître l angle entre la ligne et l horizontale. Il a ensuite suffit d effectuer des projections selon les formules suivantes : X(1)=X(0)+D*cos(teta) Y(1)=Y(0)+D*sin(teta) Ces points ont ensuite étaient reportés sur la figure 15. Nous avons alors fait une régression linéaire afin obtenir le coefficient directeur de la droite qu ils formaient. Nous avons alors observé une différence de 2.4 degrés entre la droite formée par les points d origine (bleue claire) et celle formée avec les nouveaux points (jaune). L orientation de la crête qui avait été estimée préalablement aux mesures de terrain est donc en accord avec les mesures GPS. 20

Fig. 15 Position (X,Y) en km des données GPS représentant les lignes, les points appartenant a la crête estimés et les points appartenant a la crête d après les mesures GPS. Afin de pouvoir interpréter les mesures de vitesse de déformation le long de la ligne 1, il est aussi nécessaire de connaître la pente le long de la crête, i.e. perpendiculairement à la ligne 1. Pour cela il a fallu créer une nouvelle fonction capable de se déplacer le long la ligne et de récupérer toutes les valeurs au voisinage d un point choisi afin de faire une interpolation. Ensuite, nous avons créé un moindre carré quadratique de manière à obtenir une surface se rapprochant le plus possible de notre ensemble de point. A partir de là, nous avons pu déterminer les pentes selon x et selon y. Cependant il était plus intéressant d avoir des vecteurs normaux et tangents à la ligne. Nous avons donc projeté les vecteurs représentant les pentes selon x et y sur notre ligne afin d obtenir un vecteur tangentielle t et un vecteur normal n. Pour s assurer que le modèle (moindre carré quadratique) ne donnait pas de résultats abérants, nous avons comparé le vecteur t obtenu avec le dzs obtenu précédemment. Comme les courbes correspondaient (cf figure 16), on a pu en déduire que le modèle n était pas faux et donc que la courbe représentant le vecteur normal pouvait être étudiée. Nous avons alors effectué une régression linéaire des valeurs de la pente suivant la normale à la ligne étudiée, i.e. la pente le long de la crête. 21

Fig. 16 Pente en fonction de la distance au centre (m). L équation de la régression linéaire suivant le normal est : y = 7.4006 10 8 x + 0.0017966 (3) On voit que la tendance n est pas nulle mais très faible. La pente perpendiculaire à la ligne 1 est donc quasiment constante. L écart type est 0.0001265 et la moyenne de 0.001833. Le dépouillement de ces mesures a donc permis dans un premier temps de voir si l estimation de la position de la crête grâce aux images satellites était correcte. Puis grâce aux mesures GPS, nous avons pu retrouver avec une meilleure précision la positon de la crête et déterminer la topographie proche de la ligne 1. Ces données topographiques vont pouvoir maintenant être utilisées pour réaliser la modélisation de l écoulement au voisinage de la ligne 1 et ainsi mieux contraindre le comportement de la glace polaire grâce à la comparaison aux vitesses de déformation mesurées le long de la ligne 1. 22

3 Conclusion 3.1 Conclusion à propos du stage Le travail effectué lors de ce stage m a dans un premier temps d avoir une idée plus claire quand au comportement de la glace dans les différentes parties d une calotte. Lors de la première partie, j ai effectué plusieurs simulations de l écoulement de la glace pour une nouvelle loi, la loi à contrainte seuil. En faisant varier la contrainte seuil, je devais déterminer pour quelle valeur, cette loi se rapprochait de la loi de Glen avec n = 3 ou bien n = 4.5. Pour cela, j ai étudié plusieurs données comme la vitesse verticale, les contraintes verticales ou encore la vitesse de déformation verticale. Les figures obtenues ont montré que lorsque la contrainte seuil augmentait, la loi à contrainte seuil se rapprochait de la loi de Glen avec n = 4.5. Ce résultat a été confirmé par les mesures au niveau du dôme, des flancs et de la surface mais également par les lois mathématiques. En effet, la loi Glen suit une loi mathématique en fonction de la valeur de n. Nous avons alors vu que lorsque nous étions sous le dôme, la contrainte était proche de la contrainte seuil et par conséquent la loi à contrainte seuil se rapprochait de la loi de Glen avec n = 4.5. Par contre, lorsque l on se trouve sous les flancs, la contrainte est différente de la contrainte seuil et par conséquent on voit moins de différence entre la loi de Glen avec n = 3 et la loi à contrainte seuil. Lors de la seconde partie, j ai effectué le dépouillement de mesures de topographie de l île de Berkner en Antarctique. Le but était de déterminer la position de la crête et la topographie grâce aux mesures GPS. Il a fallu pour cette partie créer un mode de lissage basé sur la méthode des moindres carrés car les courbes étaient trop bruitées. Puis grâce à de nombreuses fonctions programmées sous MATLAB, nous avons pu déterminer la position de la crête ainsi que la topographie au niveau des grandes lignes où les mesures avaient été effectuées. La connaissance de la topographie est importante car elle est nécessaire pour pouvoir modéliser l écoulement de la glace sur une zone. J espère donc que ce travail pourra servir un peu afin de lancer les nouveaux modèles. 3.2 Conclusion personnelle L objectif de ce stage était d avoir un premier contact avec la recherche. Il m a permis d avoir une idée un peu plus nette sur le métier de chercheur que je n imaginais pas de cette manière. J ai également pu découvrir de nouveaux outils de travail comme matlab qui ne fut pas évident à prendre en main mais qui c est finalement révélé très utile. Ce genre de stage permet également de prendre conscience des applications pratiques que peuvent avoir nos cours théoriques comme par exemple les mathématiques. Il donne également très envie de partir quelques semaines au Groenland afin d effectuer quelques mesures sur le terrain. Enfin ces quelques semaines permettent d être au contact de chercheurs qui sont certes un peu dans leur monde mais néanmoins très sympathiques et enrichissants. 23

Références Gillet-Chaulet, F., Hindmarsh, R. C. A., Corr, H. F. J., King, E. C., and Jenkins, A. : In-situ quantification of ice rheology and direct measurement of the Raymond Effect at Summit, Greenland using a phase-sensitive radar, Geophysical Research Letters, 38, 6 PP., doi :201110.1029/2011GL049843, 2011. Glen, J. W. : The Creep of Polycrystalline Ice, P. Roy. Soc. Lond. A Mat., 228, 519 538, doi :10.1098/rspa.1955.0066, 1955. Raymond, C. F. : Deformation in the vicinity of ice divides, J. Glaciol., 29, 357 373, 1983. Et mes sites internet : Site du LGGE : http ://lgge.osug.fr/ http ://fr.wikipedia.org/wiki/m 24