THESE. Tablettes mathématiques de Nippur (Mésopotamie, début du deuxième millénaire avant notre ère)

UNIVERSITE PARIS 7 - DENIS DIDEROT UFR G.H.S.S. 2004 THESE pour l obtention du diplôme de DOCTEUR DE L UNIVERSITE PARIS 7 SPECIALITE : EPISTEMOLOGIE, HISTOIRE DES SCIENCES présentée et soutenue publiquement le 20 novembre 2004 par Christine Proust Tablettes mathématiques de Nippur (Mésopotamie, début du deuxième millénaire avant notre ère) Reconstitution du cursus scolaire Directeur de thèse : M. Christian Houzel --------------------- JURY M. Antoine Cavigneaux, Président Mme Karine Chemla Mme Annick Horiuchi M. Christian Houzel Mme Cécile Michel 1

Table des matières 1 Introduction...5 1.1 Définitions...11 1.2 Notations...14 2 Les sources...17 2.1 Les fouilles...17 2.2 La collection d Istanbul...30 2.3 Délimitation du corpus...35 3 Les écoles de scribes...43 3.1 Sources littéraires...44 3.2 Données archéologiques...45 3.3 Le cursus scolaire...47 4 Nombres et unités de mesure...53 4.1 Système métrologique...53 4.2 Système sexagésimal positionnel...62 5 Description des tablettes...69 5.1 Aspects matériels...70 5.2 Types de tablettes...73 5.3 Unités de texte...82 5.4 Styles et modèles...84 5.5 Marques de structure...86 6 Niveau élémentaire...89 6.1 Séries métrologiques...89 6.2 Tables numériques...110 6.3 Les séries mathématiques élémentaires dans le cursus...138 6.4 Architecture des séries mathématiques élémentaires...144 6.5 Ordres de grandeur...152 7 Niveau avancé...159 7.1 Multiplication / division...161 7.2 Factorisation...167 7.3 Paires d inverses et suites géométriques...174 7.4 Calcul des surfaces...190 7.5 Tableaux de calculs...203 7.6 Calcul des volumes...207 7.7 Le problème de l arête du cube...219 7.8 Les trois problèmes de Nippur...222 7.9 Exercices et textes de référence...239 8 Les mathématiques à Nippur...243 8.1 Enseignement...243 8.2 Structure des listes...249 8.3 Nombres abstraits et nombres concrets...251 2

Annexes...257 Annexe 1 : Programme Mathematica pour la mise en ordre du cursus...259 Annexe 2 : Suites géométriques et puissances...267 Annexe 3 : Données statistiques...271 Annexe 4 : Systèmes métrologiques...283 Annexe 5 : Carte...287 Annexe 6 : Chronologie...288 Annexe 7 : Glossaire...291 Annexe 8 : Prisme AO 8865...297 Références des tablettes publiées et citées dans le texte...307 Sigles...311 Bibliographie...313 Tableaux et illustrations Tableau 1: campagnes de la BE...19 Tableau 2: campagnes de la JE...25 Tableau 3: collections de tablettes scolaires de Nippur...38 Tableau 4 : cursus de Nippur d'après N. Veldhuis et E. Robson...49 Tableau 5 : nombres et unités de mesure...55 Tableau 6 : exemples de nombres cardinaux...62 Tableau 7: exemples de notation des nombres...64 Tableau 8: unités de textes (liste provisoire)...83 Tableau 9: style plein et style abrégé...85 Tableau 10: liste métrologique de capacités et poids...90 Tableau 11 : fins de listes et tables de capacités...94 Tableau 12 : fins de listes et tables P...95 Tableau 13 : fins d extraits de listes et tables P...95 Tableau 14 : fins de listes et tables de surfaces...95 Tableau 15 : fins de listes et tables de longueurs...96 Tableau 16 : fins de sections métrologiques...96 Tableau 17: tables des hauteurs à Nippur...100 Tableau 18 : table des hauteurs en Mésopotamie...101 Tableau 19 : tables néo-babyloniennes...104 Tableau 20: nombres principaux et tables d'inverses...125 Tableau 21 : tables de multiplication en Mésopotamie...126 Tableau 22: tables de racines carrées de Nippur...130 Tableau 23: tables de racines carrées en Mésopotamie...134 Tableau 24 : tables numériques et tablettes de type II...136 Tableau 25 : répartition des séries mathématiques dans les tablettes de type II...141 Tableau 26 : listes de capacités et listes lexicales...143 Tableau 27 : tables numériques et listes lexicales...143 Tableau 28 : catégories et unités de texte...145 3

Tableau 29 : exemples d ordres de grandeur usuels...156 Tableau 30 : exercices de calcul d inverses à Nippur...184 Tableau 31 : exercices de calcul d inverses en Mésopotamie...185 Tableau 32 : format des briques dans YBC 4607...212 Tableau 33 : catégories de textes et types de tablettes pour le sumérien et les mathématiques...245 Figure 1 : colophon de Ni 3703 + N 3901 + UM 29-15-483, planche 14...14 Figure 2 : plan de Nippur...18 Figure 3 : Carte topographique de Nippur [Gibson, et al. 2001, p. 547]...21 Figure 4 : orientation des tablettes...70 Figure 5: texte sur la tranche...75 Figure 6 : prisme...75 Figure 7 : tablette de type II...76 Figure 8 : nombre de listes et de tables C selon le type de tablettes...107 Figure 9 : nombre de listes et de tables P, L, S selon le type de tablettes...107 Figure 10: cursus mathématique...146 Figure 11 : répartition des tables numériques...148 Figure 12 : répartition des listes métrologiques...150 Figure 13 : répartition des tables métrologiques...151 Figure 14 : AOT 304 [Thureau-Dangin, RTC 413]...213 Figure 15 : YBC 7284 [MCT p. 97]...217 Figure 16 : interprétation de CBS 11681...224 Figure 17 : interprétation de CBS 12648...229 Figure 18 : interprétation de Ni 5175 + CBS 19761...235 Figure 19 : signe šid...255 Figure 20 : carte du «Pays de Sumer et d Akkad»...287 4

1 Introduction C est en Turquie qu est né le projet qui prend aujourd hui la forme d une thèse. Les Musées de Turquie, et notamment le Musée Archéologique d Istanbul, sont remarquables pour leur exceptionnelle richesse, mais surtout se distinguent des autres Musées sur un point : toutes leurs collections proviennent de fouilles légales et sont d origine connue. Ainsi, l origine des tablettes cunéiformes est indiquée par un simple préfixe sur le numéro d inventaire. C est donc assez naturellement que, cherchant un ensemble de sources de provenance et de datation identifiées et homogènes, je me suis intéressée à ces tablettes étiquetées «Ist Ni», c est-à-dire aux tablettes de Nippur conservées à Istanbul. Ainsi a commencé en 1998 ma collaboration avec Veysel Donbaz, le conservateur des archives cunéiformes du Musée d Istanbul. Dans un premier temps, nous nous sommes limités aux collations de tablettes déjà éditées (matériau de base de mon DEA, soutenu en 1999, Activités mathématiques dans la Nippur paléo-babylonienne, sous la direction de Christian Houzel). Puis nous avons identifié en juillet 2001 un lot de plus de 300 tablettes mathématiques inédites parmi les textes scolaires de Nippur. Simultanément, Eleanor Robson avait entrepris de son côté l étude des tablettes mathématiques de Nippur conservées à Philadelphie, soit l autre partie des mêmes archives que des circonstances historiques récentes avaient dispersées. En mai 2002, nous avons rassemblé les deux principaux lots de la collection des tablettes mathématiques de Nippur exhumées à la fin du XIX ème siècle, et réalisé de nombreux joints. Eleanor Robson m a alors autorisée à exploiter des données qu elle avait récoltées à Philadelphie, et sa générosité a donné une toute autre dimension à mon entreprise initiale. Ainsi, cette étude s appuie sur un ensemble de sources exceptionnellement abondant (plus de 800 tablettes et fragments), homogène (de même provenance et de même période), clairement identifié (Nippur à l époque paléo-babylonienne), accessible (presque toutes les tablettes dont il sera question dans les pages qui suivent ont été examinées soit par Eleanor Robson, soit par moimême), en très grande partie inédit. * * * 5

J ai reçu un soutien important de la part de tant de personnes que j ai quelque scrupule à signer cette étude de mon seul nom. Outre Eleanor Robson et Veysel Donbaz qui m ont non seulement permis l accès aux sources, mais aussi formée à l épigraphie, je remercie tous ceux qui ont contribué d une façon ou d une autre à l exploitation de ces archives exceptionnelles. Je dois d abord dire ma gratitude envers les responsables turcs qui m ont aidée dans les différentes missions à Istanbul : Nadir Avcı, Directeur Général du Patrimoine, Halil Özek, Directeur des Musées Archéologiques d Istanbul, Veysel Donbaz, Conservateur des Archives Cunéiformes. L appui de l IFEA, Institut Français d Etudes Anatoliennes, et de ses directeurs, Paul Dumont puis Pierre Chuvin, ainsi que de ses archéologues, Aksel Tibet, Catherine Kuzucuoğlu et Garance Fiedler, a été d un grand secours. Je voudrais également chaleureusement remercier tous ceux qui m ont accueillie en Turquie : Feza Günergün, Nadia et Samuel Murat, Sakina et Sacit Önen, ainsi que Muazzez Çığ, dont les conseils m ont été particulièrement précieux. Une partie du travail d exploitation des sources n a été possible, dans un domaine qui n est pas celui de ma formation initiale, que grâce à l aide d assyriologues et archéologues qui ont bien voulu m accorder beaucoup de leur temps : Eleanor Robson, Antoine Cavigneaux, Niek Veldhuis et Bertrand Lafont pour le déchiffrement des textes sumériens ; Françoise Rougemont qui a entièrement traduit de l allemand les fiches descriptives des tablettes d Istanbul établies par Kraus et à qui je dois beaucoup pour ses conseils en archéologie. Dans le domaine de la bibliographie, je remercie Dominique Charpin, grâce à qui j ai pu notamment travailler plusieurs mois sur la thèse de Niek Veldhuis (qui m a lui-même généreusement envoyé son livre par la suite). Toujours patientes et disponibles, Brigitte Lion, Cécile Michel et Théodora Seal ont bien voulu me conseiller et répondre a mes questions. C est grâce à l aide enthousiaste de Catherine Muhlrad-Greif et Maryvonne Teissier que j ai découvert et utilisé cet outil puissant qu est le logiciel Mathematica, aussi bien pour programmer le calcul sexagésimal, que pour établir les tables numériques, identifier les textes fragmentaires, construire des graphiques et modéliser les cursus. Le travail fastidieux de relecture, de critique et de correction assuré avec tant de gentillesse et de patience par Micheline Duffaud, Agathe Keller, Brigitte Lion, Cécile Michel, Jacques Quillien, François Proust, Françoise Rougemont, Luc Trouche est ici à saluer avec une chaleureuse reconnaissance. L encadrement scientifique assuré au fil des années par Christian Houzel, Karine Chemla, Eleanor Robson, Jens Høyrup et Jöran Friberg et a été indispensable pour acquérir une méthodologie adaptée à l étude de textes mathématiques très anciens. En assyriologie, l enseignement passionnant de Dominique Charpin et Bertrand Lafont, l aide et les critiques de Cécile Michel, Francis Joannès et Antoine Cavigneaux m ont apporté les bases nécessaires à ce travail. Je remercie tout particulièrement Eleanor Robson pour son infinie patience durant les longues heures qu elle a passées à tenter de m apprendre à lire dans l argile. L équipe CNRS (REHSEIS) dirigée par Karine Chemla, qui m a accueillie deux ans en détachement, a constitué un cadre de travail extrêmement stimulant. En particulier le séminaire «Histoire des Sciences Histoire du Texte» animé par le linguiste Jacques Virbel m a apporté des éléments de méthode pour l analyse textuelle, et le programme de recherche (ACI) «Corpus de textes scientifiques: Histoires et perspectives théoriques» dirigé par Florence Bretelle-Establet m a fourni les moyens scientifiques et matériels de mener à bien le travail de collecte des sources. La mise au point des 6

outils de travail (base de données, programmes Mathematica, numérisation) m ont demandé un important effort de formation qui n a pu être accompli que grâce aux dispositifs du CNRS, répondant de façon efficace et ciblée à ces besoins. * * * Nippur est la grande capitale religieuse et culturelle de la Mésopotamie antique. Son rôle politique est très important à la fin du troisième et au début du deuxième millénaire, puisque c est là qu est légitimé le titre de roi du «Pays de Sumer et d Akkad» 1. Pourtant, cette cité n a jamais été le siège de la royauté. Son gouvernement, où une «assemblée» semble avoir occupé une place centrale, est original et encore mal connu 2. Les activités judiciaires et scolaires constituent une part importante de la vie sociale de Nippur, réputée dans toute la Mésopotamie pour son tribunal et ses écoles 3. C est le lieu par excellence de la transmission de l héritage culturel sumérien ; on y apprend le sumérien à l époque paléo-babylonienne, alors qu il a disparu comme langue vivante au profit d une langue sémitique venue du nord et de l ouest, l akkadien. Les normes d éducation des scribes de Nippur sont devenues le standard dans toute la Mésopotamie antique. Les archives de ses écoles sont la principale source nous permettant aujourd hui d avoir accès à la littérature sumérienne. L éducation des scribes est un domaine de recherche qui s est considérablement développé en assyriologie ces dernières années. L intérêt s est notamment porté sur un type de sources qui n avait été que très partiellement pris en considération auparavant : les tablettes d écoliers. Ces «brouillons» d argile sont des témoins de la vie quotidienne des écoles et permettent d en reconstituer des éléments essentiels : l organisation du cursus, les méthodes et le contenu de l enseignement. M. Civil, A. Cavigneaux, S. Tinney ont mis en évidence l importance d établir une typologie des tablettes pour comprendre la fonction de ces textes 4. Exploitée de façon systématique dans son étude de textes lexicaux, cette typologie a permis à N. Veldhuis de reconstituer le cursus d enseignement du sumérien dans les écoles paléo-babyloniennes 5. A sa suite, E. Robson a engagé une étude des archives scolaires de la Maison F de Nippur 6, sous une forme qui se rapproche d une monographie, pour donner un panorama plus complet de la formation des scribes, incluant les mathématiques. S. Tinney a attiré l attention sur l importance 1 W. Hallo et M. van de Mieroop ont montré l importance du rôle des scribes de Nippur dans la reconnaissance d un roi (Hallo 1989 ; van de Mieroop 1999). 2 Une importante bibliographie se rapporte aux institutions politiques de Nippur ; concernant plus particulièrement l existence d un gouvernement de Nippur par une «assemblée» (puhrum), voir Jacobsen 1943 et 1970 ; Cassin 1973 ; Finet 1980, 1982 ; Lambert 1992 ; Lieberman 1992 ; van de Mieroop 1999. 3 Au sujet du tribunal de Nippur, voir : Lieberman 1992 p.134 ; Lafont S. 2000 ; au sujet de la fonction idéologique des écoles de Nippur, voir Michalowski 1987. 4 Civil & al. 1969 ; Cavigneaux 1983 ; Tinney 1999. La question des écoles de scribes et la bibliographie correspondante sont développées au chapitre 3. 5 Veldhuis 1997. 6 Robson 2001b, 2002b. 7

de l étude des archives scolaires pour avancer dans la compréhension de la culture mésopotamienne : In particular, rigorous publication of school texts from museums and excavations is a principal desideratum if we are to formulate meaningful statements on education in ancient Mesopotamia. It hardly needs pointing out that an understanding of educational systems is a key component of an understanding of the society, ideology, religion and politics of Mesopotamia a key component, in other words, of an understanding of any aspects of the uses of literacy in a cultural complex which is in many ways defined by its use of the technology of writing. [Tinney 1999, p. 170] La présentation des textes mathématiques de Nippur développée ici s inscrit dans ce mouvement. Elle s appuie en très grande partie sur les travaux de N. Veldhuis et E. Robson cités ci-dessus. L étude est limitée à une époque et un cadre géographique bien définis. Elle prend en considération l ensemble des tablettes mathématiques accessibles, aucun fragment, aussi pitoyable soit-il, n étant négligé. L essentiel du travail présenté dans ces pages est consacré à l étude des sources. J ai exposé en détail mes observations, menées de la façon la plus minutieuse possible, sans sélectionner systématiquement les seules informations pertinentes au regard des problèmes que j ai ensuite voulu résoudre. Ce choix peut rendre la lecture fastidieuse, mais devrait faciliter l utilisation plus tard de ce matériau brut dans des perspectives différentes de celles qui ont été privilégiées ici. Une place particulièrement importante a été accordée aux listes et tables métrologiques, catégorie de textes qui n avait jamais été auparavant l objet d une étude systématique, appuyée sur un corpus étendu 7. Les textes scolaires de Nippur renouvellent ce type de documentation de façon spectaculaire. Les principaux problèmes que j ai essayé de traiter dans la présente étude s articulent autour de trois thèmes : le cursus scolaire, l architecture des textes, la conception des nombres. La question du cursus scolaire est au cœur du travail de N. Veldhuis sur les listes lexicales, et une partie de ses résultats et de sa méthodologie sera exploitée ici pour tenter de préciser la place des mathématiques dans l enseignement, principalement du point de vue de l ordre chronologique de succession des listes lexicales et mathématiques. L existence d un tel ordre, qui suppose une organisation linéaire, sera la première des questions soulevées. L observation des marques de structure des listes élémentaires (lignes d appel, doxologie) et du contenu des tablettes mixtes (contenant des textes de catégories différentes) montre qu un tel ordre est fréquemment mis en défaut. E. Robson a émis l hypothèse de l existence de variations locales dans le déroulement du cursus. On explorera ici d autres hypothèses, en particulier l existence d une organisation plus complexe de l enseignement des mathématiques, où plusieurs listes sont étudiées en même temps 8. La question des méthodes pédagogiques, à laquelle la typologie des tablettes apporte d importants éléments de réponse, sera également soulevée en prolongement des travaux d E. Robson sur la «Maison F». Les textes mathématiques s insèrent dans l ensemble plus vaste des textes scolaires. L unité profonde de cet ensemble provient de sa structure, c est-à-dire de son organisation en 7 Robson 2002 p. 9 ; Michel 1998 p. 253. J. Friberg est l auteur qui s est le plus intéressé aux tables métrologiques (voir par exemple Friberg 1993), mais ses travaux à ce sujet sont restés des études de textes isolés, faute de sources suffisamment complètes. 8 Cette hypothèse est avancée par A. Cavigneaux pour les listes lexicales (Cavigneaux 1983 p. 611) 8

énumérations. Plus généralement, J. Bottéro, à la suite de von Soden 9, a caractérisé l organisation des connaissances en Mésopotamie par une formule qui est restée fameuse : «la science des listes». Les listes lexicales sumériennes, qui constituent l essentiel de la formation élémentaire des jeunes scribes, illustrent ce type de pensée : Lists of words are a characteristic feature of ancient Mesopotamian culture. In fact, the whole of its «science» consists in the enumeration and classification of all natural and cultural entities. [Civil 1995 p. 2305] Les listes mathématiques 10 constituent un champ idéal d étude de la structure des énumérations en Mésopotamie. Un des premiers problèmes auxquels cette étude sera confrontée est la définition même du mot «texte». En effet les tablettes de niveau élémentaire, qu elles soient mathématiques ou lexicales, sont constituées de centaines de tablettes et fragments répétitifs, comprenant de nombreux duplicata, à partir desquels on peut reconstituer une sorte de texte théorique appelé «texte composite», rassemblant toutes les entrées rencontrées au moins une fois dans les différentes sources (voir introduction du «Tome 2»). Ce texte composite est probablement assez proche de celui qui devait être mémorisé par les apprentis scribes. Cependant, on ne le rencontre dans son intégralité dans aucune tablette. Il conviendra donc de distinguer systématiquement le «texte composite», qui n est qu une reconstitution, des textes réellement inscrits sur les différentes tablettes. On cherchera à analyser la façon dont le «texte composite» se répartit sur les tablettes, et à distinguer plusieurs niveaux d unités de textes. On s intéressera particulièrement à toutes les marques, textuelles ou visuelles, qui permettent de comprendre l architecture générale des listes mathématiques. Les tablettes de Nippur constituent un ensemble assez complet de textes d apprentissage des mathématiques, depuis l initiation aux mesures de capacité jusqu aux problèmes de volumes et aux algorithmes numériques avancés. Cette documentation permet d aborder sous plusieurs angles les questions relatives à la reconstitution des méthodes de calcul et à la conception des nombres dans les textes cunéiformes. J ai cherché, tout au long des études de texte qui suivent, à poser et résoudre ces questions de façon cohérente et homogène. Plus précisément, il s agit de déterminer la fonction des différents systèmes numériques dans l expression des mesures d une part, et dans l exécution des calculs (multiplication et division) d autre part. Les tables métrologiques, qui contiennent une correspondance entre des mesures et des nombres sexagésimaux sans unité, sont au cœur de ces questions. L analyse de leur structure et de leur utilisation est un des principaux enjeux de cette étude. Les conséquences de ces analyses sur la notation des nombres dans les commentaires modernes seront discutées. * * * 9 Von Soden 1936 ; Bottéro 1974, 1987. 10 Les «listes» mathématiques sont entendues ici, par opposition aux listes lexicales, dans le sens large de toutes les énumérations métrologiques et numériques du niveau élémentaire. 9

Cette étude comporte deux parties : le premier fascicule (Tome 1) contient la présentation des textes (chapitres 2 à 8) et les outils de la recherche (Annexes 1 à 8, index, bibliographie) ; le deuxième fascicule (Tome 2) contient l édition des tablettes d Istanbul, incluant les planches de copies (à l échelle 1/1) et les photos numériques sur CD. L importance de l histoire matérielle des tablettes dans l interprétation des textes a été soulignée ci-dessus ; en conséquence, les premiers chapitres (2 et 3) retracent l histoire des tablettes depuis leur production dans les écoles de scribes jusqu à leur conservation dans les musées aujourd hui. Des choix méthodologiques sont exposés dans les chapitres 4 (notation des nombres) et 5 (système descriptif). Les textes proprement dits sont groupés en deux ensembles selon le niveau scolaire : élémentaire (chapitre 6) et avancé (chapitre 7). Une synthèse finale (chapitre 8) tente d apporter des réponses aux questions soulevées dans cette introduction, et de brosser un tableau général des activités mathématiques à Nippur. Les annexes contiennent les outils dont il sera fait constamment usage dans le cours de l étude, et auquel le lecteur sera fréquemment invité à se référer (statistiques, systèmes numériques, carte, chronologie, glossaire, index, références bibliographiques). Les définitions et notations utilisées dans le texte sont données dès l introduction (page suivante) pour faciliter la lecture. En raison du caractère interdisciplinaire du sujet traité, certains développements n intéresseront qu une catégorie de lecteur ; ceux-ci sont signalés par un style différent (retrait et police de caractères plus petite). Ainsi, le lecteur non spécialiste pourra facilement sauter les passages qu il juge trop techniques. 10

1.1 Définitions La description des tablettes et fragments de Nippur portera sur deux aspects à la fois distincts et en étroite relation : l état matériel des tablettes et les textes qui y sont inscrits. Ces derniers seront abordés du point de vue de leur contenu et du point de vue de leur structure. Pour chacune de ces différentes approches, un vocabulaire spécifique doit être mis en place. Mais, en raison des liens multiples existant entre les textes et leur mise en forme sur l argile, il est très difficile de présenter une de ces parties sans faire référence à l autre, et même de choisir d aborder l aspect matériel avant l aspect textuel ou l inverse. D autre part, dès les premiers chapitres, la présentation des conditions de découverte des tablettes et du contexte de leur production dans les écoles de scribes fait référence à ces typologies. Pour éviter de faire appel à un nombre excessif de références croisées qui risqueraient de rendre l exposé confus, je donnerai dès cette introduction une liste de définitions sommaires, non justifiées, mais suffisantes en première approche, et j inviterai le lecteur à se reporter au chapitre 5 où ces définitions sont présentées avec plus de détails et justifiées. Pour les noms géographiques et les noms de périodes historiques, on pourra se reporter à la carte et à la chronologie (Annexes 5 et 6). La majorité des définitions suivantes sont couramment utilisées dans les publications concernant les textes scolaires, et plus particulièrement les listes lexicales (voir bibliographie dans l introduction du chapitre 5) ; les définitions concernant les «catégories de texte» et les «unités de texte» sont plus personnelles. Types de tablettes On distingue plusieurs types de tablettes selon le nombre de colonnes, la relation entre le texte de la face et du revers, le niveau scolaire. Les types I, II, III sont utilisés dans la formation de niveau élémentaire, les types S et M sont utilisés dans la formation de niveau avancé, les types IV sont utilisés dans les deux niveaux (voir définition des niveaux scolaires ci-après). Type I Grande tablette écrite sur plusieurs colonnes ; le texte du revers est la suite du texte de la face. Voir Ni 2733, planches 6 et 7 (toutes les planches se trouvent dans le Tome 2). Type II Tablette de taille moyenne, écrite sur plusieurs colonnes. Les textes de la face et du revers sont indépendants. La face contient un modèle du maître et une ou plusieurs copies d élèves. Type II/1 : face d une tablette de type II. Type II/2 : revers d une tablette de type II. Voir Ni 3711, planche 14. 11

Type III Petite tablette, de présentation en général soignée, écrite sur une seule colonne ; le texte du revers est la suite du texte de la face. Voir Ni 2208, planche 3 ; Ni 3703, planche 13. Type IV Petite tablette carrée ou ronde, de profil plan-convexe, en général anépigraphe sur le revers. Voir Ni 18 et Ni 763 planche 1. Type S Tablette écrite sur une seule colonne (analogue au type III), utilisée dans la formation de niveau avancé. Type M Tablette écrite sur plusieurs colonnes (analogue au type I), utilisée dans la formation de niveau avancé. Voir Ni 5175 + +CBS 19761 planche 26. Liste métrologique Catégories de textes Enumération de mesures de capacité (C), poids (P), surface (S) ou longueur (L) dans l ordre croissant. Voir Ni 3711 revers, planche 14. Table métrologique Enumération identique à celle des listes métrologiques, mais chaque mesure est accompagnée d un équivalent numérique placé en vis-à-vis et écrit en notation sexagésimale positionnelle. Table numérique Table d inverses, ou table de multiplication, ou table de carrés, ou table de racines carrées, ou tables de racines cubiques. Voir Ni 2733, planches 6 et 7. Exercice de calcul Calcul numérique de quelques lignes destiné à résoudre un problème dont l énoncé n est en général pas précisé sur la tablette (sauf dans le cas particulier du calcul des surfaces de carrés). Série Unités de textes La série est l unité de texte la plus vaste rencontrée dans les tablettes de niveau élémentaire ; elle est en général complètement écrite dans les grandes tablettes multi-colonne de type I. Chacune des trois premières catégories citées ci-dessus (liste métrologique, table métrologique, table numérique) constitue une série. 12

Section Chaque série contient plusieurs sections. Par exemple, la série des listes métrologiques contient 4 sections : une liste de capacités, une liste de poids, une liste de surfaces, une liste de longueurs. Séquence Une séquence est un extrait quelconque de section, de 3 à 10 lignes. Items L item est un élément d énumération ; il est en général écrit sur une ligne, parfois deux, ou occupe une case. Pour illustrer ces définitions, on peut comparer la structure des listes mathématiques élémentaires aux tables de multiplication qui se trouvent au dos des cahiers de brouillon d écoliers modernes : la série correspond à l ensemble des 9 tables de multiplication ; la section à une table de multiplication ; la séquence à un extrait d une table ; l item à une ligne d une table. Niveaux scolaires Deux niveaux dans le déroulement du cursus se distinguent, tant dans le contenu que dans la typologie des tablettes. Niveau élémentaire Ce sont les premiers apprentissages de l écriture et du calcul. Les textes de ce niveau ont tous la forme de listes, que ce soit en sumérien ou en mathématiques. Les listes mathématiques de niveau élémentaire sont constituées des 3 séries citées ci-dessus (liste métrologique, table métrologique, table numérique) et sont écrites sur des tablettes de type I, II ou III. Les listes sumériennes sont constituées de syllabaires, de listes lexicales (vocabulaire et signes complexes), de modèles de contrats et de collections de proverbes. Niveau avancé En mathématiques, le niveau avancé est constitué d exercices de calcul, de problèmes rédigés en sumérien ou en akkadien, de suites d algorithmes numériques. En sumérien, il est constitué d un ensemble de textes littéraires de complexité croissante. Les tablettes sont de type IV, S ou M. Colophon Marques de structure Petit texte additionnel de quelques signes (date, signature, indication sur le contenu, etc.) écrit à la fin de la tablette ou sur une tranche. Incipit Premier item d une liste, ou plus généralement première ligne d un texte. 13

Ligne d appel A la fin d une section, la première ligne de la section suivante. Doxologie Formule de louange qui, dans les textes scolaires, est adressée à Nisaba, la divinité des scribes et des calculateurs ; cette formule est écrite à la fin d un texte. d nisaba za 3 mi 2 Gloire à Nisaba Figure 1 : colophon de Ni 3703 + N 3901 + UM 29-15-483, planche 14 1.2 Notations Translittération des textes cunéiformes col. colonne l. ligne # section / passage à la ligne mise en forme texte [ ] signe cassé ou effacé x signe présent mais illisible signe abîmé mais identifiable < > signe omis? identification du signe incertaine! sic (le signe identifié est fautif) sumérien et akkadien La translittération des idéogrammes sumériens est notée en caractères droits ; concernant l akkadien, la translittération des signes phonétiques et la transcription des mots sont notées en italique. a-ša 3 = champ en sumérien eqlum = champ en akkadien Les signes cunéiformes sont transcrits phonétiquement en petits caractères quand la prononciation est connue et par leur nom en capitales quand la prononciation est incertaine. 14

Déterminatif (ou classificateur) Les lettres en exposant devant un mot sont des translittérations de signes cunéiformes qui identifient la classe de ce mot : d nisaba l élément classificateur «dingir» (dieu), noté «d» en exposant indique que «Nisaba» appartient à la classe des divinités. homophones Les numéros en indice permettent de distinguer les signes homophones, c est-à-dire des signes de forme différente, mais de même prononciation. Exemple : ra ra 2 Citation des tablettes Je cite les tablettes dans un style normalisé (selon le même principe que les références bibliographiques), sous la forme suivante : numéro d inventaire (type) contenu Dans le cas des tablettes de type II, les contenus de la face et du revers sont précisés et séparés par un point virgule : numéro d inventaire (type II) contenu de la face ; contenu du revers Des codes et abréviations sont utilisés dans les citations de tablettes : * la copie de la tablette est donnée dans les planches du Tome 2. + les numéros des fragments d une tablette recollée sont reliés par un + («join»)? élément non identifié ou identification incertaine NP = nom propre Numéro d inventaire des tablettes provenant de Nippur Ni tablettes conservées au Musée d Istanbul, issues des fouilles de la Babylonian Expedition CBS, N, UM 29- tablettes conservées au Musée de Philadelphie, principalement issues des fouilles de la Babylonian Expedition 2 N-T, 3 N-T tablettes conservées au Musée de Philadelphie, issues des fouilles de la Joint Expedition HS, H. tablettes conservées au Musée d Iéna, issues des fouilles de la Babylonian Expedition 15

Périodes J éviterai les sigles pour désigner les périodes historiques. Cependant, il sera parfois commode de les utiliser dans les tableaux où la place est réduite. OB NB paléo-babylonien (Old Babylonian) = début du deuxième millénaire néo-babylonien = début du premier millénaire Les dates antérieures à la fin du deuxième millénaire ne sont pas connues de façon absolue, seule la chronologie relative est sûre. Il sera fait usage de la chronologie dite «moyenne», c est-à-dire de celle qui bénéficie d un consensus dans le milieu des assyriologues. 16

2 Les sources Les textes mathématiques de Nippur constituent un ensemble d un millier de tablettes et fragments, disparate du point de vue des conditions de fouille et de conservation. Cette abondance permet des observations de nature statistique, mais l hétérogénéité des contextes de découverte rend difficile l interprétation de ces données quantitatives. En particulier, les tablettes issues des premières campagnes de fouilles de l Université de Philadelphie sont à la fois les plus nombreuses et les plus mal documentées sur le plan archéologique. Elles constituent néanmoins l essentiel des sources de la présente étude, et toutes les informations même partielles concernant l histoire de ces tablettes depuis leur découverte seront d autant plus précieuses. Les conditions matérielles et humaines dans lesquelles les tablettes ont été exhumées puis conservées ont eu des conséquences importantes sur l état actuel du lot étudié ici, en particulier sur l éclatement des collections entre divers pays. On insistera sur deux épisodes historique particulièrement importants : du côté Ottoman la loi des antiquités de 1883 ; du côté Américain la dite «controverse Hilprecht-Peters». Il conviendra ensuite de d identifier certains des processus de sélection qui ont été à l œuvre depuis la découverte des tablettes jusqu à aujourd hui, de façon à repérer d éventuelles distorsions qui pourraient affecter les résultats statistiques. Ce chapitre sera donc consacré aux fouilles américaines, principalement celles de la fin du 19 ème siècle, au partage des tablettes entre les musées américains et turcs, et aux conditions actuelles de conservation. Quelques hypothèses concernant la localisation et la datation des tablettes seront proposées en conclusion. 2.1 Les fouilles L occupation du site de Nippur a été presque continue sur une très longue période, depuis la période Obeid (début du cinquième millénaire), jusqu à la période abbasside (9 ème siècle ap. J.C.), avec une période d abandon probable entre le 18 ème et le 14 ème siècle (de la fin de la période paléo-babylonienne au début de la période cassite). La ville est construite sur les bords de l Euphrate 11, au centre de la plaine mésopotamienne ; elle se trouve au contact entre le Pays de Sumer au sud et le Pays d Akkad au nord. D après les vestiges des remparts et le plan d époque 11 Voir les reconstitutions récentes du cours des fleuves aux troisième et second millénaires dans Steinkeller 2001 ; Gasche, Tanret, Cole et Verhoeven 2002. 17

cassite qui a été retrouvé par Haynes et Hilprecht (voir Figure 2 ci-dessous), la ville intra-muros occupe une surface d environ 135 ha ; la population a pu atteindre un maximum de 50 000 habitants à l époque d Ur III 12. Plan de Nippur, tablette d époque cassite conservée à Iéna (Kramer 1956, p. 274, Zettler 1992a, p. 9). Cette tablette en très bon état, très soignée, de grandes dimensions (21x18 cm), est une représentation de Nippur respectant les échelles, portant des mesures de distance et la représentation des édifices de Nippur (temples, murailles, portes, canaux) avec leur nom écrit en idéogrammes sumériens. Elle a été trouvée par la Babylonian Expedition (4 ème campagne) dans une jarre enfouie dans les couches récentes du «Quartier des scribes». Cette jarre néobabylonienne contenait des objets datant de diverses périodes de l'histoire de Nippur, évoquant une sorte de "Musée" constitué par un "historien" de l'époque. Figure 2 : plan de Nippur Nippur est aujourd hui un des plus grands tells 13 d Irak, qui s élève à 20 m au-dessus de la plaine désertique et s enfonce à plus de 6 m de profondeur sous le niveau de la plaine. Le site est partagé en deux zones par une dépression, actuellement appelée Shatt-en-Nîl, qui est la trace d un ancien cours d eau, probablement un bras de l Euphrate (voir carte topographique du site, Figure 3 page 21). La partie du tell située à l est du canal représente environ un tiers de la surface du site ; elle est composée de deux collines distinctes : le «quartier religieux» ou «colline des temples» dominé par la ziggourat 14, et, plus au sud, le «quartier des scribes» ou «colline des tablettes», avec des maisons de dimensions modestes où ont été retrouvées plus de 20 000 tablettes 15. C est à cet endroit que devaient se trouver les écoles de scribes. La fouille de Nippur a connu deux grandes périodes : - De 1888 à 1900, la Babylonian Expedition a mené quatre campagnes sous la direction de l Université de Philadelphie. Les 50 000 tablettes et fragments exhumés pendant ces campagnes ont été partagées entre Américains et Ottomans, et ont pris le chemin de Philadelphie et d Istanbul; une partie du lot américain a ensuite été emportée à Iéna par Hilprecht à la suite de son expulsion de l Université de Philadelphie (voir fin du 2.1.1 au sujet de la «controverse Hilprecht Peters»). 12 Zettler 1992a, p. 6. 13 Colline artificielle formée de restes archéologiques. 14 Temple en forme de tour à étages, à l image de la mythique «Tour de Babel». 15 Gibson, Hansen et Zettler 2001. 18

- De 1948 à 1990, la Joint Expedition a mené 19 campagnes, d abord sous la direction conjointe des Universités de Philadelphie et Chicago, puis de Chicago seule à partir de 1953. Les tablettes exhumées par la Joint Expedition ont été partagées entre les Américains et les Irakiens, et sont actuellement à Philadelphie, Chicago et Bagdad. On trouvera dans ce chapitre une présentation relativement détaillée des premières expéditions de l Université de Philadelphie et de la constitution de la collection d Istanbul, sur laquelle s est concentré mon travail, en collaboration avec le conservateur du Musée Archéologique d Istanbul, Veysel Donbaz. Les tablettes scolaires issues des fouilles de la Joint Expedition, ainsi que la description des collections américaines, ont fait l objet des travaux d E. Robson 16, auxquels on se reportera ; les conditions de découverte de cette partie de la collection de Nippur ne seront que brièvement rappelées dans ce chapitre. 2.1.1 La Babylonian Expedition En entreprenant la fouille de Nippur, l Université de Philadelphie s est inscrite dans la tradition ouverte au milieu du 19 ème siècle par les grands explorateurs français et anglais de la Mésopotamie antique. Les campagnes de fouilles sont pilotées depuis les Etats-Unis par le comité exécutif du Babylonian Expedition Fund composé de souscripteurs et de membres de l Université de Philadelphie, qui finance les expéditions et dispose du fruit des fouilles. Quatre campagnes se sont déroulées de 1888 à 1900 : dates campagne direction de fouille 1888-1889 1 Peters 1889-1890 2 Peters 1893-1896 3 Haynes 1898-1900 4 Haynes et Hilprecht Tableau 1: campagnes de la BE Le cahier des charges est très simple : rapporter le maximum d antiquités et surtout de tablettes pour enrichir le tout nouveau Musée qui vient d être créé à Philadelphie et satisfaire la curiosité du public 17. Les équipes de fouilleurs sont composées d une main d œuvre locale très abondante et d un encadrement scientifique réduit, voire inexistant, situation normale à cette époque. Les fouilleurs creusent tranchées, tunnels, puits en tous sens pour trouver des filons de tablettes. Ils déplacent des montagnes de débris, et les couches supérieures sont détruites pour atteindre directement les profondeurs les plus anciennes. Les trouvailles sont rarement accompagnées d une description du contexte. La présence d architectes capables de faire relevés et dessins ou de 16 Robson 2000; Robson 2001 ; Robson 2002c. 17 Westenholz 1992. Westenholz essaie d atténuer le jugement généralement sévère porté sur les dommages causés par les méthodes peu scientifiques des premiers fouilleurs en insistant sur l énorme pression exercée sur les expéditions par le Comité pour que le Musée soit approvisionné en antiquités (p. 292). 19

photographes est sporadique ; pourtant leur trop bref travail est d une qualité remarquable 18. Les rapports de fouille sont des plus vagues. Hilprecht, très critique dès les premières expéditions sur ces méthodes destructrices, note avec une certaine ironie que les rapports de fouilles étaient euxmêmes des chantiers de fouilles, des puzzles aussi incohérents que le site lui-même 19. Il cite par exemple le journal de Haynes (directeur de fouille), qui constitue la seule source d information sur le contexte archéologique de la découverte des tablettes : «Janv. 18, 1900 : 33 sound tablets from a low level on Tablet Hill. A multitude of imperfect tablets on "Tablet Hill". Three most beautiful days! And the nights with full moon are days in shadow, the air soft and balmy. Jan. 19, 1900 : 49 sound tablets from low level "Tablet Hill". Many fine fragments of tablets.» [Hilprecht 1903, p. 510]. Les efforts de la Babylonian Expedition se sont concentrés sur trois zones : - le tumulus nord-est, où ont été découverts les grands temples de Nippur : Temple d Enlil (Ekur et Ziggourat), appelé Temple de Bêl par Hilprecht, et Temple d Inanna ; - le tumulus sud-est où a été trouvée une énorme quantité de tablettes, en particulier scolaires, appelé pour cette raison «colline des tablettes» ou «quartier des scribes» (aire TB de la carte cidessous voir Figure 3) ; d après Hilprecht, il s agissait de la «Bibliothèque du Temple» ; - la rive ouest du canal central (Shatt-en-Nîl) où se trouve notamment l ensemble que Hilprecht nomme «les maisons cassites», et d où provient une partie des tablettes scolaires. 18 Les dessins et photos sont l œuvre principalement du jeune architecte Joseph Meyer, qui se joint à Haynes en juin 1894. A la fin de l'été, Meyer attrape la typhoïde ; il meurt à Bagdad en décembre. Ces quelques mois de collaboration seront, d après Hilprecht, les seuls qui donneront un travail archéologique de qualité. Les rapports de fouille de cette période sont précis et détaillés ; ils redeviennent vagues et approximatifs après la mort de Meyer. 19 Hilprecht 1903, p. 363. 20

Shatt-en-Nîl Zone est Zone ouest Ancien cours d eau qui sépare les tumulus est et ouest Tumulus Nord-Est : quartier religieux ou complexe des temples (Ekur, Ziggourat, Temple d Inanna) Tumulus Sud-est : quartier des scribes ou colline des tablettes (TA, TB, TC) Tumulus Sud-est : maisons cassites Figure 3 : Carte topographique de Nippur [Gibson, et al. 2001, p. 547] 21

Les épisodes des campagnes de la Babylonian Expedition ont fait l objet d une large diffusion auprès du public par les récits de Hilprecht et Peters 20. Les tempéraments des deux rivaux de la BE étaient très différents. Hilprecht avait une bonne connaissance de l Orient et ses relations avec les Ottomans, notamment le Sultan Abdul Hamîd et son directeur des affaires archéologiques Osman Hamdi, étaient empreintes de respect réciproque ; pour Peters, à l inverse, comme pour la plupart des occidentaux présents à Istanbul à son époque, passer de l occident à l orient, c est passer «de la civilisation à la semi-barbarie» 21. Les conséquences dans la conduite des fouilles ont été dramatiques : la première campagne, dirigée par Peters, s est terminée dans un climat d hostilité puis de violence ouverte entre fouilleurs et population locale. De ce point de vue, on peut comparer l attitude respectueuse de Hilprecht à celle de Layard. 22 Compte tenu de l imprécision voire de l absence des rapports de fouilles et de l hostilité qui a opposé dès ses débuts les principaux acteurs de cette aventure (voir ci-dessous), les témoignages de Hilprecht et de Peters ne sont peut-être pas toujours totalement fiables. Ils permettent néanmoins de fixer quelques éléments du contexte de découverte des tablettes. Presque toutes les tablettes scolaires exhumées par la BE proviennent de deux zones : le «quartier des scribes» et les «maisons cassites», le long de la bordure ouest du Shatt-en-Nîl. Aucune ne provient du quartier des temples : les activités scolaires et cultuelles se déroulent dans des lieux nettement séparés. Au moment de leur découverte, les tablettes scolaires étaient souvent mêlées à des textes administratifs ; elles étaient soit entassées au milieu d une pièce «comme tombées d une étagère», soit retrouvées entre deux niveaux de sol, utilisées comme remblai. La plupart du temps, elles sont non cuites 23. A titre d exemple, voici un bref résumé fait des passages du récit de Hilprecht concernant les tablettes scolaires. Les numéros de pages entre crochets renvoient à [Hilprecht 1903]. Première expédition 2000 tablettes ont été découvertes au bord ouest du quartier des scribes (zone TB de la carte topographique Figure 3). La plupart sont paléo-babyloniennes, non cuites, cassées, abîmées ; ce sont des documents administratifs relatifs aux temples, et des textes scolaires : littérature, syllabaires, listes, mathématiques. Un peu moins d une centaine sont néo-babyloniennes. Une dizaine sont grandes et en bon état. Deuxième expédition Plusieurs endroits du quartier des scribes ont de nouveau été fouillés et ont livré 2000 tablettes. Elles sont du même type que celles de la première expédition : textes administratifs, littéraires et scientifiques (mathématiques, astronomiques et médicaux). Dans son rapport, Peters précise que les tablettes ne sont pas déposées en grand nombre au même endroit, mais éparpillées sur le sol ou mêlées à des matériaux de construction [p. 342]. A l Ouest du Shatt-en-Nîl (tumulus SE, zone WB de la carte topographique Figure 3) se trouvent les «maisons cassites» ; les fouilleurs y ont trouvé un lot de 5000 tablettes. D après Peters, une des pièces était entièrement remplie de tablettes mélangées à de la terre et à des «figurines d argile grotesques» [p. 342]. Il y avait tant de tablettes qu il a fallu 30 ou 40 hommes pendant trois jours pour les dégager et les ramener au camp. La plupart sont non cuites, fragmentaires et ont été trouvées répandues sur le sol. Leur position et la 20 Ibid et Peters 1897. 21 Kuklick 1996, p. 35. 22 Larsen 2001. 23 Les tablettes ne sont en général pas cuites aux III et II millénaires ; si elles le sont, c est qu elles ont brûlé accidentellement à la suite d un incendie (communication personnelle de C. Michel). 22

présence de cendres indique, d après Hilprecht, qu elles étaient à l origine rangées sur des étagères de bois le long des murs de cette pièce. Troisième expédition Les efforts se sont concentrés sur différents endroits de la bordure ouest du Shatt-en-Nîl, et ont permis la découverte de 20 000 tablettes. Pour Hilprecht, il s agit en majorité de listes d époque cassite ; 2000 ou 3000 sont d époques Ur III, Isin-Larsa, Babylone et sont constituées de lettres et de textes littéraires ; il y a aussi 1200 contrats plus récents (néo-babyloniens, néo-assyriens et perses) [p. 408]. Les tablettes d époque paléobabylonienne ont été trouvées répandues sur le sol dans une grande confusion, souvent enfouies entre deux niveaux de sol ; elles sont en majorité non cuites, cassées, attaquées par des sels. Quatrième expédition Les efforts se sont une fois de plus tournés vers le quartier des scribes : 30 000 tablettes ont été exhumées. Une telle masse de tablettes, scolaires et administratives, dans une zone restreinte, est la preuve, selon Hilprecht, de l existence d une école de scribes et d une bibliothèque. Une importante couche de débris recouvre les niveaux anciens où ont été trouvées la plupart des tablettes, datées d Ur III et de l époque paléobabylonienne. Cela semble indiquer une rupture soudaine à la fin de l histoire de la «bibliothèque». En revanche, la démarcation entre les époques d Ur III et paléo-babylonienne n est pas nette [p. 545]. Dans une des pièces où le nombre de tablettes était particulièrement grand, Haynes les a trouvées «entremêlées, imbriquées, posées à plat, sur la tranche, à l envers, par épaisseur de 2, 3, 4, si bien qu elles paraissaient être tombées d étagères quand la maison s est écroulée.» [p. 513]. Les tablettes exhumées de l ancienne «bibliothèque» ont un contenu littéraire et scientifique, et sont en général non cuites. Les tablettes de l aile nord du tumulus (aire TB de la carte topographique figure 1) sont à dominante scolaire (facture grossière, écriture maladroite) et celles de l aile sud à dominante administrative [p. 520-525]. Les datations de Hilprecht ont été largement réévaluées. Hilprecht pensait que les tablettes du quartier des scribes dataient de l époque d Isin-Larsa, les autres de l époque cassite. J. Oelsner a montré que l ensemble de ces tablettes date de l époque paléo-babylonienne au sens large (époque d Isin-Larsa incluse) 24. La localisation des tablettes est, dans les récits de Hilprecht et de Peters, assez vague. Elles semblent provenir principalement de deux locus : le «quartier des scribes» et les «maisons cassites». Il est très difficile aujourd hui de savoir duquel de ces deux sites provient chaque tablette. En effet, la numérotation des tablettes s est faite à Istanbul et à Philadelphie longtemps après leur découverte, et, l étiquetage sur place étant souvent inexistant, il est impossible de connaître la date d exhumation de chaque tablette et la campagne concernée. Les tablettes mathématiques et métrologiques qui ont été copiées et publiées par Hilprecht en 1906 sont plus nettement localisées : Hilprecht précise le lieu de découverte par des chiffres romains (V pour le quartier des scribes, IX pour les maisons cassites) et la campagne de fouille. Mais les autres tablettes rapportées à Philadelphie et à Istanbul par la BE, en particulier celles qui sont publiées par Neugebauer et Sachs dans MCT et MKT, n ont en général pas de locus de découverte identifié. A Istanbul, pour seulement 6 tablettes mathématiques (sur 319) on connaît la campagne de fouilles, dont 5 ont un locus identifié 25 : 3 ème BE, maisons cassites: Ni 894 (type III) table de multiplication par 7.30 Ni 927 (type III) table de multiplication par 2.30 24 Oelsner 2001 ; les aspects chronologiques sont développés plus loin ( 2.1.4). 25 Pour les éléments de description des tablettes (type et contenu), se reporter aux définitions en introduction et, pour plus de détails, au chapitre 5 ; les tablettes marquées d un astérisque figurent dans les planches de copies (Tome 2). 23

4 ème BE, maisons cassites Ni 1871 (type III) table de multiplication par 7.12 4 ème BE, quartier des scribes Ni 1868 (type I) table numérique Ni 1913* (fragment) liste métrologique des capacités 4 ème BE, locus non précisé Ni 2265* (type IV lenticulaire) exercice de calcul A Philadelphie, seulement 32 tablettes (sur 507) ont un locus identifié : 1 ère BE, quartier des scribes : 3 tablettes 2 ème BE, maisons cassites : 3 tablettes 2 ème BE, quartier des scribes : 8 tablettes 3 ème BE, maisons cassites : 3 tablettes 3 ème BE, quartier des scribes : 8 tablettes 4 ème BE, maisons cassites : 2 tablettes 4 ème BE, quartier des scribes : 5 tablettes 21 autres tablettes de Philadelphie sont renseignées incomplètement (la campagne de fouille ou le locus sont précisés, mais pas les deux). A Iéna (collection Hilprecht), presque toutes les tablettes ont un locus identifié (19 sur 22) : 2 ème BE, quartier des scribes : 1 tablette 3 ème BE, maisons cassites : 2 tablettes 4 ème BE, maisons cassites : 8 tablettes 4 ème BE, quartier des scribes : 8 tablettes Le flou qui entoure la localisation des tablettes exhumées par la BE est dû principalement aux conditions de fouille, de transport et de partage entre Américains et Turcs. Mais il a été aggravé par les violents antagonismes personnels qui ont opposé Hilprecht et Peters pendant ces quatre campagnes, et leurs récits des expéditions, rédigés dans le feu de la dispute, peuvent être faussés par des préoccupations polémiques 26. La controverse Hilprecht-Peters Il est difficile de présenter en quelques mots et sans parti pris ce qu il est convenu d appeler la «controverse Hilprecht-Peters», dont on peut trouver un récit détaillé dans l ouvrage de B. Kuklick Puritans in Babylon (1996) et des références dans l étude de E. Robson sur la collection Plimpton 27. Pour résumer très sommairement les positions en présence, Hilprecht a reproché dès les premières campagnes à Peters et à Haynes leur incompétence et leurs méthodes de fouilles destructrices. L animosité entre Hilprecht et Peters a éclaté au grand jour en 1905, quand Peters a accusé Hilprecht de fraude, en particulier dans son identification de l origine des tablettes. Il a plus généralement été reproché à Hilprecht de ne pas avoir étiqueté les tablettes lors de leur passage à Istanbul 28. L affrontement entre les deux hommes s est cristallisé notamment à propos de l existence de la «Bibliothèque du Temple» et a incité Hilprecht à publier Mathematical, Metrological and Chronological Tablets from the Temple Library of Nippur en 1906. La controverse s est par ailleurs nourrie des polémiques de l époque, notamment entre 26 Kuklick 1996. 27 Robson 2002a. 28 Kuklick 1996, p. 138. 24

religieux et laïcs, bailleurs de fonds et érudits, Université et Musée de Philadelphie. Elle s est envenimée au point de paralyser les fouilles de Nippur après la quatrième expédition, et s est terminée par l expulsion de Hilprecht de l Université de Philadelphie en 1910. Ce dernier a par la suite repris ses activités d assyriologue dans le cadre de l Université d Iéna en Allemagne, où il a emporté une partie des tablettes de Nippur. Ce lot de 2000 tablettes environ, inventorié sous le sigle HS (Hilprecht Sammlung) s y trouve toujours. Cette affaire a eu des conséquences importantes sur l histoire de l assyriologie américaine, aspect qui n entre pas dans le cadre de la présente étude, mais aussi sur l éclatement de la collection des tablettes de Nippur. Elle a également contribué à obscurcir la connaissance des éléments de contexte archéologique déjà très déficients dans les rapports de fouille. Dans ces conditions, tout effort pour distinguer des groupes parmi les tablettes issues de ces expéditions (c est-à-dire l immense majorité) est assez vain. 2.1.2 La Joint Expedition Minée par ses querelles internes, le Babylonian Expedition a fini par abandonner l idée d une cinquième campagne. Ce n est qu un demi-siècle plus tard, en 1948, que l Université de Philadelphie s est associée avec l Université de Chicago pour relancer les fouilles de Nippur sous le nom de Joint Expedition (JE). L Université de Philadelphie s est ensuite retirée des expéditions, et la Joint Expedition s est poursuivie de 1953 à 1962 avec l Université de Chicago et le soutien de l American School of Oriental Research (ASOR) 29. date institutions campagne direction de fouille 1948 Philadelphie + Chicago 1 D. E. McCown 1949-50 Philadelphie + Chicago 2 R. C. Haines 1951-52 Philadelphie + Chicago 3 D. E. McCown 1953-62 Chicago + ASOR 4 à 8 R. C. Haines 1964-67 Chicago + ASOR 9-10 J. E. Knudstad 1972-90 Chicago + ASOR 11 à 19 McG. Gibson Tableau 2: campagnes de la JE Les expéditions 2 et 3 de la JE ont fouillé le quartier des scribes, et les expéditions 5 à 7 se sont concentrées sur le Temple d Inanna. Les méthodes ont beaucoup changé depuis les précédentes campagnes, et les rapports de fouilles donnent des descriptions du contexte ; toutefois, les rapports des années 50 sont critiqués aujourd hui 30. Ces rapports n ont été que partiellement publiés 31, et il faut consulter les manuscrits conservés à Philadelphie pour avoir des informations 29 McCown et Haines 1967 ; Zettler 1992b; Gibson, Hansen et Zettler 2001 ; Stone 1987 et comptes rendus : Charpin 1989; Charpin 1990 ; Postgate 1990 ; Driel 1990. 30 Charpin 1989, p. 98. 31 McCown et Haines 1967. 25

plus précises 32. Les fouilleurs de la JE ont creusé deux tranchées, TA et TB, au nord du tumulus. La tranchée TB est proche de la zone fouillée par la Babylonian Expedition. Le quartier des scribes et la Maison F Dans les niveaux paléo-babyloniens du quartier des scribes, plusieurs maisons contenant des tablettes scolaires ont été fouillées ; parmi elles, trois maisons (F, G, H) sont adjacentes,. Dans la Maison F, plus de 1400 tablettes ont été retrouvées, dont 98% sont des tablettes scolaires. Dans les autres maisons, le nombre de tablettes est beaucoup plus réduit (quelques dizaines au maximum), et la moitié environ sont des textes administratifs 33. Les tablettes de la Maison F étaient incorporées à la construction (sols, murs), ou à son mobilier (banquette, bassin). Le nombre important de joints entre les fragments retrouvés dans les différentes pièces de la maison montre que les tablettes ont été fabriquées (ou tout au moins accumulées) sur place 34. La Maison F est probablement une école qui semble avoir fonctionné dans les années 1740, puis avoir abandonné les activités scolaires après 1740, soit l année 10 du règne de Samsu-Iluna 35. Les autres maisons des environs immédiats de la Maison F sont peut-être également des écoles, mais ce point est sujet à discussion 36. L existence d un lot important de tablettes scolaires concentrées dans la Maison F, ainsi que d une documentation complète sur leur contexte archéologique, a permis à E. Robson de mener une étude des textes en liaison avec l histoire de cette maison, et son ambition à plus long terme est de rédiger une véritable monographie 37. Ce type d étude nécessite d avoir accès à toutes les tablettes trouvées dans la Maison F, ce qui est actuellement difficile car elles ont été dispersées entre plusieurs musées (Chicago, Philadelphie, Bagdad). Il n est malheureusement pas possible de donner une telle orientation à l étude des autres tablettes de Nippur, dans la mesure où on ne connaît pas leur origine exacte. Mais les données de la Maison F constituent une référence à laquelle seront comparées les données issues de l ensemble des sources de Nippur. 2.1.3 Différents types de dépôts Les observations de la Babylonian Expedition comme celles de la Joint Expedition permettent de distinguer plusieurs types de dépôts dans lesquels ont été retrouvées les tablettes scolaires. Ces 32 La prise en compte de l ensemble de cette documentation pour une étude de tous les aspects des activités mathématiques est une des pistes de recherche les plus novatrices ouverte par E. Robson. On se reportera à ses publications (Robson 2000, Robson 2001, Robson 2002b) pour la description du contexte archéologique à partir des rapports de fouille publiés et non publiés. Les informations de ce paragraphe proviennent de ce travail, ainsi que de Gibson, Hansen et Zettler 2001. 33 Robson 2001, p. 42. 34 Ibid, p. 44. 35 D. Charpin émet des réserves sur l hypothèse d une disparition totale de toute activité scolaire dans la Maison F après cette date (Charpin 1990, p. 8). 36 D. E. McCown pense que la Maison F est une école, mais que les maisons G et H sont des domiciles de scribes (McCown et Haines 1967, p. 148-149) ; A. W. Sjöberg pense au contraire que le «quartier des scribes» est une concentration d écoles, incluant ces trois maisons (Sjöberg 1976, p. 176). 37 Robson 2002b ; Robson 2001. 26

dépôts témoignent des différentes formes d un processus de recyclage général en Mésopotamie : l argile est un matériau de valeur qui, pour être économisé, était réutilisé, conduisant à une «extinction lente et naturelle des archives par digestion continuelle» 38. Une des formes de ce recyclage est le remodelage des tablettes usagées pour la fabrication de nouvelles tablettes ; une autre forme, qui peut succéder à la précédente, est la mise au rebut et la réutilisation de l argile des tablettes comme matériau de construction. Mais ce processus a pu être interrompu brutalement par un événement extérieur (incendie, crise politique), et conduire à une conservation des tablettes «figées dans leur dernier état» 39 avant leur mise au rebut. Recyclage Issues de la première forme de recyclage, on trouve des tablettes vierges 40 ou déjà utilisées dans des bassines à argile 41 telles que celle qui se trouve dans la cour de la Maison F. Dans le cas de Sippar, Scheil décrit ainsi l état de ces tablettes au moment de leur découverte: «dans un coin fermé par des briques cuites, le tout formant comme une cave rectangulaire, apparut une masse énorme, compacte et cohérente de tablettes de toutes sortes, hymnes sumériens, listes métrologiques, syllabaires, contrats ; tous documents appartenant à l époque d Hammurabi. [ ] Une partie des exemplaires étaient restés complets, [ ] et avant qu ils fussent même séchés, on les avait de nouveau gâchés et égalisés avec une sorte de spatule, soit pour s en servir sous une nouvelle forme, soit pour les mettre au rebut ; les traces des spatules et des doigts et même de l épiderme y étaient restés visibles.» 42 Ces tablettes sont restées dans leur lieu d origine. Elles portent les marques des différentes sortes de réutilisation : les nombreuses traces de texte effacé montrent qu elles sont réutilisées plusieurs fois dans le bref temps où elles sont humides 43 ; les tablettes déformées et partiellement repétries sont fréquentes. Les tablettes qui ne peuvent plus être remodelées on peut penser que c est le cas, par exemple, lorsqu elles sont trop desséchées sont mises au rebut. Elles sont incorporées dans les sols, remblais, murs, banquettes. Elles ont pu être déplacées entre le moment de leur fabrication et celui de leur réutilisation comme matériau de construction, et leur présence ne signifie pas nécessairement que la maison qui les abrite est une école 44. Les tablettes de la «maison cassite», par exemple, peuvent provenir des écoles du «quartier des scribes». Les tablettes scolaires sont en majorité éclatées en nombreux fragments, et ce fait est caractéristique de leur utilisation dans les constructions. 38 Faivre 1995, p. 64-65. On se reportera à cet article pour une synthèse sur les processus de recyclage des archives cunéiformes. 39 Ibid, p. 65. 40 Civil remarque que les tablettes vierges ou complètement effacées, bien qu elles constituent d intéressants témoins des pratiques scolaires, ne sont en général pas enregistrées dans les inventaires des Musées (Civil 1979, p. 7), et sont donc malheureusement peu accessibles. 41 On peut trouver dans l étude de M. Tanret sur les tablettes scolaire de Sippar une intéressante description de ces bassins, ou «caissons» à argile (pu 2 im-ma en sumérien), et d une façon générale des procédés de fabrication des tablettes par recyclage (2002, p. 145-153). 42 Scheil 1902, p. 33-34, cité par Faivre 1995, p. 61. 43 Civil 1979, p. 7. 44 Il s agit d un cas de «non adéquation entre l état archéologique d un bâtiment [ ] et la documentation écrite qui y a été découverte» (Joannès 1995, p. 2). 27

Conservation accidentelle Un autre type de dépôt résulte d un arrêt brutal du fonctionnement normal de l école. On retrouve les tablettes concentrées dans une pièce et entassées pêle-mêle. Des tablettes qui auraient dû être détruites sont ainsi conservées accidentellement, car «dans une école bien tenue, on ne conserve pas les brouillons» 45. Il est impossible d évaluer le nombre de tablettes scolaires de Nippur conservées dans ces circonstances très particulières. L abandon brutal et le recyclage peuvent du reste se combiner : il est possible par exemple que les activités de la Maison F aient cessé, interrompant le processus de réutilisation des tablettes, puis que de nouveaux occupants de l école aient repris son activité et intégré les anciennes tablettes abandonnées aux éléments d aménagement de la maison (banquette et bassin) 46. Archivage Enfin on retrouve quelques tablettes d époque plus tardive rangées dans des jarres, où elles ont été archivées dans le but d être conservées. Il est important de noter à ce propos que la volonté de conservation à long terme des tablettes de la part des scribes est un comportement exceptionnel à l époque paléo-babylonienne à Nippur 47. Il a pu arriver toutefois que certaines tablettes parmi les plus élaborées aient été gardées par les scribes, emportées dans d autres cités par ceux qui ont émigré, ou échangées entre écoles 48. Il convient ici de préciser le sens de l expression «archives scolaires», impropre mais couramment utilisée dans les publications et dans la suite de cette étude (en particulier dans le chapitre 3). Cette formulation désigne un lot de tablettes de même provenance, et non pas un ensemble de documents constitués par les scribes dans un but de conservation. En résumé, soulignons que les tablettes scolaires de Nippur sont presque toutes des exercices destinés à la destruction ou déjà recyclées (matériau de construction ou repétries). Cela explique leur état très fragmentaire et détérioré. Des données précises sur la localisation et nature des dépôts dont elles sont issues auraient permis d identifier les maisons où des écoles ont fonctionné, mais ces données n existent que pour les campagnes les plus récentes. Elles permettent de localiser une ou plusieurs écoles dans le «quartier des scribes» (Maison F, peutêtre G et H), mais il devait certainement exister d autres écoles, au moins dans ce quartier. Il n est pas exclu que des activités scolaires aient également eu lieu dans le quartier que Hilprecht nomme «les maisons cassites», où, d après les descriptions de Peters et Hilprecht, on a trouvé des tablettes répandues sur le sol. 2.1.4 Aspects chronologiques L essentiel du corpus des tablettes scolaires de Nippur est d époque paléo-babylonienne. Il est cependant difficile d établir une datation plus précise de ces tablettes. En effet, elles ne portent en général ni signature, ni date, le contexte archéologique n est pas toujours identifié. De plus, 45 Civil 1979, p. 7. 46 Ibid, p. 7. ; Charpin 1990, p. 2. 47 Civil 1979, p. 8. 48 Ibid, p. 8. 28

certaines opérations de recyclage, telles que la réutilisation comme matériau de construction, peuvent les éloigner considérablement de leur lieu de production, avec éventuellement un important décalage dans le temps. Dans ces cas, les renseignements stratigraphiques, lorsqu ils sont connus, ne permettent pas de datation sûre. Sur le plan épigraphique, certains exercices scolaires de l époque d Ur III sont difficiles à distinguer de ceux de l époque paléo-babylonienne : Zettler a montré que des textes lexicaux de Nippur qui avaient été datés de la période paléo-babylonienne sont en réalité de l époque d Ur III 49. Concernant les textes scolaires, la période paléo-babylonienne n est donc pas clairement distincte de la précédente. En revanche, la fin de la période paléo-babylonienne est marquée par une rupture très nette. Les couches sédimentaires de l aire TC de Nippur (quartier des scribes) montrent une très faible activité humaine entre les périodes paléo-babylonienne et cassite (du 18 ème au 14 ème siècles). La même constatation a été faite en d autres endroits de Nippur : sous le palais cassite, une maison d époque paléo-babylonienne contenait des restes abondants d activités commerciales. Tout cela est recouvert par 20 cm de sable soufflé ; les couches suivantes sont constituées de murs de maison effondrés, et d une grande quantité de sable. L occupation suivante est cassite. La même rupture entre Samsu-Iluna et l époque cassite a été constatée dans l aire WA, et la Babylonian Expedition a aussi découvert une couche de sable similaire sur le site de la ziggourat 50. La composition de ces couches est particulière : elle est faite d un mélange de dépôts éoliens et de sédiments apportés par les eaux (aparna) ; elle témoigne de la formation de champs de dunes légères et mobiles, comme il en existe encore aujourd hui dans le sud de l Irak, qui se seraient développées pendant une longue période d inactivité de la ville. Les indices stratigraphiques recoupent la datation des tablettes appartenant à des archives administratives. L étude des archives cunéiformes des villes du sud de la Mésopotamie montre que la production de tablettes cesse brutalement à Ur et Larsa en 1741, puis à Isin en 1724. En 1720, on cesse d écrire des tablettes à Nippur. Les villes du sud, puis Nippur, semblent avoir été abandonnées dans ces années. L activité ne reprend à Nippur que trois siècles plus tard, sous la dynastie cassite. Plusieurs types de raisons ont été avancés pour expliquer la brutale disparition des villes du sud et de Nippur. Il y a certainement des raisons politiques, en particulier les soulèvements contre Samsu-Iluna. Pour E. Stone 51, il s agit d une crise avant tout économique (modification de la répartition de la propriété des terres). Mais il semble que la cause majeure soit un problème d approvisionnement en eau. L origine de cette crise peut être volontaire (Samsu-Iluna aurait 49 Veldhuis 1997, p. 16 ; Zettler 1991. 50 Gibson, Hansen et Zettler 2001, p. 558-559 51 Stone 1977. Cette explication économique de la crise a été critiquée (voir Postgate 1990 et Driel 1990). 29

essayé d utiliser l arme de l eau contre Larsa) ou naturelle (changement du cours du Tigre et de l Euphrate) 52. Les tablettes scolaires mathématiques de Nippur datent donc pour l essentiel d avant la fin des années 1730 (mis à part quelques exemplaires cassites et néo-babyloniens d aspect nettement différent et donc reconnaissables). Certains lots dont le contexte est connu datent plus précisément des années 1740 (règne de Samsu-Iluna), comme les tablettes de la «Maison F» étudiées par E. Robson. 2.2 La collection d Istanbul 2.2.1 Histoire des Musées La naissance de l archéologie turque est dominée par la figure du Sultan Abdul Hamîd (sultan 1876-1909) et par celle de son directeur des affaires archéologiques Osman Hamdi (1842-1910). Hilprecht exprime son respect pour ces personnalités par le portrait qu il en dresse dans son récit des fouilles de Nippur : The recent awakening of archaeological interest in Turkey, and the gradual appreciation of the literary and artistic monuments of the past on the part of the Mohammedan population, are closely connected with the period of reform and progress inaugurated by Sultan Abdul Hamîd in different departments of the public administration. [ ] The man called upon to carry out the ideas of his sovereign in the field of archaeology was Hamdy Bey, son of Edhem Pasha, a former Grand Vizier. Richly endowed with natural gifts and liberally educated in the congenial atmosphere of France, where his pronounced personal inclinations found ample nourishment in the Ecole des Beaux Arts and in the studios of great painters, he had subsequently entered the service of his own government and gathered considerable experience in prominent positions. [ ] Hamdy Bey being well versed in the general questions of archaeology and not unfamiliar with the most prominent ruins of Western Asia, and widely known his deep sense of honor and his frank and chivalrous manners, at the same time possessing firmness in character and a rare understanding for the task of his mission, it would have been difficult to find a better equipped man as director-general of the Imperial Museum in the whole Ottoman empire. [Hilprecht 1903, p. 568-569]. L histoire des musées archéologiques turcs commence au milieu du 19 ème siècle. En 1846, Fethi Ahmed Pasha, grand-maître d artillerie, rassemble des antiquités dans l ancienne église Sainte Irène 53. Un début de catalogage des collections est réalisé en français par Albert Dumont (1868), puis par Gould, professeur d histoire au lycée Galatasaray (1871). C est ensuite le Dr. Déthier, directeur de l Ecole Autrichienne, qui est chargé de ces collections et les installe au 52 D après Armstrong et Brandt, il s agirait d'une évolution du système hydraulique de la région due à l intensification de l'irrigation au nord, et à l abandon de l'entretien des canaux au sud. Parallèlement, un changement du cours de l'euphrate aurait provoqué un arrêt de l'approvisionnement en eau. La renaissance des villes du sud au 14ème siècle serait liée à la reconstitution d'un état centralisé puissant sous les Cassites, et à la reconstruction du système d'irrigation, qui se distingue nettement, par l'orientation des canaux, de celui de l'époque paléo-babylonienne (Armstrong et Brandt 1994). 53 Arik 1950, p. 3. 30

palais du Çinili Kösk (1872). Osman Hamdi est nommé directeur des antiquités par le Sultan le 2 septembre 1881. La création du Musée Ottoman dans les années 1880, puis la «loi des antiquités» de 1883 qui permettait aux autorités ottomanes de contrôler la circulation du produit des fouilles et de mettre fin à l hémorragie des antiquités vers Londres, Paris ou Berlin, ont marqué le début d une ambitieuse politique patrimoniale, poursuivie ensuite par la République turque 54. Un immense bâtiment dans l enceinte du Palais de Topkapı, à côté du Çinili Kösk, est construit pour abriter les collections ; il ouvre en 1891, et sera complété quelques années plus tard par deux autres édifices (1903 et 1907). Ces bâtiments accueillent aujourd hui les Musées Archéologiques d Istanbul. Osman Hamdi crée en 1882 la bibliothèque du musée, qui devient rapidement la plus riche d Orient ; il attire à Istanbul les meilleurs spécialistes, chargés notamment de classer et d inventorier les collections. Parmi eux, on peut citer Salomon Reinach (ancien membre de l Ecole Française d Athènes), qui réalise le premier catalogue des collections ; Heuzey et Thureau-Dangin, qui se rendent à Constantinople en mai 1896 comme épigraphistes ; A. Joubin, pour les antiquités classiques et byzantines ; V. Scheil, pour les monuments égyptiens 55. Hilprecht a participé activement à ce travail ; il a également été chargé par Osman Hamdi et le Ministère Ottoman de l instruction publique de veiller sur les sites de Babylonie et d Assyrie 56. Le Sultan avait mis des fonds à la disposition d Osman Hamdi pour ses propres expéditions, mais les fouilles turques sont restées modestes en comparaison de celles des Européens et des Américains. Les plus importantes sont celles de la nécropole royale de Sidon et surtout de Sippar (Abû Habba) dirigée conjointement par V. Scheil et Bedry Bey et entreprises dans le but principal de protéger ce site des pillages. En effet, la direction des antiquités devait faire face en priorité au grave problème des fouilles clandestines. Immediately after Rassam s departure from Baghdad in 1882, Arab diggers, encouraged by unscrupulous landowners and antiquity dealers, had commenced their clandestine operations at most of the places where their former employer had successfully excavated. For several years Abû Habba and Dêr, El-Birs and Babylon, thus became the principal source from which European and American museums were supplied with archaeological contraband. Only a few of these monuments were confiscated and reached the Ottoman Museum. Abû Habba, as was well known to the authorities in Constantinople, proved an especially rich and almost inexhaustible mine for the illegal traffic. It was therefore decided to apply the imperial fund to a renewed examination of the ruins of Sippar, especially as brief but successful excavations had been conducted there previously (1889) by the Civil Cabinet under the control of the governor of Baghdad. The carrying of this scientific project was entrusted to Father Scheil, a young and energetic French Assyriologist, who had rendered valuable services to the Stambul Museum in connection with the organization of the Egyptian and Babylonian sections, and to Bedry Bey, a well-known Turkish commissioner, who had gained no small experience in the trenches of Tellô and Nuffar. [Hilprecht 1903 p.573-574]. Des ordres ont été donnés aux gouverneurs des provinces pour confisquer les antiquités exhumées par les autochtones. Le Musée se fournit aussi grâce aux antiquités reçues en cadeau, à ses propres fouilles (Sippar), à la part prélevée sur les fouilles des Européens et des Américains, très peu auprès des marchands d antiquités. Cette politique d acquisition a eu d importantes conséquences pour la collection d Istanbul : presque toutes les pièces sont d origine connue, et le 54 Lafont 1984, p. 179 55 Hilprecht 1903, p. 571; Metzger 1990. 56 Hilprecht 1903, p.569-573. 31

numéro d inventaire porte la marque de la provenance. Ce point a été souligné par F. R. Kraus, qui a été responsable des archives cunéiformes d Istanbul de 1937 à 1949 : Ainsi, la collection d Istanbul est différente de toutes les autres collections du monde qui ont été établies par rachat de tablettes ou alors à la suite de fouilles faites par des expéditions réunies expressément dans ce but. Le musée d Istanbul n a mené qu une seule fouille, d ailleurs peu importante, de sa propre initiative et n a acheté des tablettes que de manière épisodique, elle doit presque les 99 % de ses fonds de tablettes à cette loi des antiquités qui obligea les fouilleurs agréés à lui abandonner leurs trouvailles et qui permit de confisquer des tablettes exhumées ou acquises en contradiction avec cette loi [ ]. Cette méthode d acquisition a été déterminante pour la composition de la collection. Les premières tablettes parvenues au musée suite à la loi des antiquités de 1883 étaient probablement celles trouvées lors de la campagne de Niffer (Nippur), qui ont dû arriver à Istanbul vers 1890. [Kraus 1947, traduction B. Winkelmann]. Le partage Pendant les quatre campagnes de la Babylonian Expedition, la Mésopotamie étant un territoire ottoman, les autorisations de fouiller et d exporter les trouvailles sont délivrées à Istanbul par Osman Hamdi. Les accords négociés par Peters, puis par Hilprecht, ont fini par aboutir au principe d un partage par moitié des antiquités exhumées entre l Université de Philadelphie et les autorités ottomanes, la répartition se faisant à Istanbul en présence des deux parties. Les caisses de tablettes qui quittent Nippur prennent donc le chemin d Istanbul, où Hilprecht les examine, les nettoie et procède au partage avec les commissaires ottomans. Hilprecht passera de longs mois à Istanbul pour ce travail de tri, ainsi que pour collaborer à l organisation du Musée Impérial. Mais les conditions d emballage, de voyage et de stockage à Istanbul (en particulier pendant la période de construction du Musée) sont difficiles et les tablettes ont subi de graves dégâts. Le partage des tablettes supervisé par Hilprecht ne se fait pas tout à fait au hasard : sa bonne connaissance du cunéiforme lui permet de choisir les tablettes considérées à l époque comme les plus intéressantes, c est-à-dire les textes littéraires. Les textes administratifs et comptables, répétitifs et fastidieux, sont moins séduisants et seuls quelques échantillons suffisent aux Américains, qui laissent aux Turcs le gros de ces collections : Hilprecht astutely saw the decreasing utility of collecting all the documents pouring in from Haynes. He recognized that many were identically imprinted with conventional inscriptions or simple and similar business record, and his interest in merely having a large number of tablets waned. The university needed samples of the more common inscriptions but could generously donate many of these sorts of documents to other institutions and allow anyone to examine them. Yet literary documents that evidenced high culture scholarship, history, or myths- furnished the key to the earliest civilizations and must be sought after in the field and secreted at home. [Kuklick 1996, p. 64]. Deux points sont à souligner dans cette histoire de la collection des tablettes de Nippur. La loi de protection des antiquités promue par les Ottomans en 1883 a protégé cette collection des fouilles clandestines, et a permis qu elle parvienne jusqu à nous presque complète. Le partage opéré par Hilprecht entre Philadelphie et Istanbul a aussi été un tri sélectif, et il est pour cette raison particulièrement important de prendre en considération l esemble du lot, aussi bien la partie turque que la partie américaine. 32

2.2.2 Les archives cunéiformes Le Musée Archéologique d Istanbul conserve plus de 70 000 tablettes d argile, provenant de 12 sites, 10 en Mésopotamie et 2 en Anatolie 57. Dans cette collection considérable, deux lots sont nettement dominants : le lot de Tello (40000 tablettes), et le lot de Nippur (17000 tablettes). Loin derrière, vient le lot de Drehem / Djorkha (5000 tablettes). Comme ceux provenant des autres sites, le lot de Nippur est lui-même subdivisé en quatre groupes selon le contenu : actes juridiques et administratifs, lettres, textes scolaires, textes littéraires. Les tablettes mathématiques appartiennent au groupe des tablettes scolaires, qui contenait environ 2500 pièces identifiées en 1947 ; ce nombre n a pas varié notablement depuis. 2.2.3 Inventaires L inventaire, puis la description détaillée sous forme de fiches du catalogue de ces dizaines de milliers de pièces est une tâche immense qui a été commencée par Hilprecht et poursuivie par Scheil, Unger, Thureau-Dangin, Landsberger, ensuite prise en charge de 1938 à 1949 par Kraus 58. Les conservateurs turcs ont progressivement pris la relève à partir de 1940 : Muazzez Çığ (1940 à 1969), Hatice Kızılyay (1948 à 1969), Fatma Yıldız (1964 à 2001), Veysel Donbaz (1969 à aujourd hui). Le classement a été accompagné d un important travail d édition 59. L inventaire et le catalogue des tablettes de Nippur ont été terminés en 1962. Les rapports annuels du Musée Archéologique d Istanbul (İstanbul Arkeoloji Müzeleri Yıllığı = IAMY) permettent de suivre pas à pas, de 1934 à 1969, l avancée de cette entreprise (les rapports se sont interrompus entre 1969 et 2001). Classification : Du fait du mode de constitution de la collection d Istanbul, le site d origine de la grande majorité des tablettes est connu et la numérotation porte cette marque. Les tablettes de Nippur sont numérotées avec le préfixe Ni, suivi du numéro d inventaire. Avant l arrivée de F. R. Kraus, la numérotation «fut établie plutôt au hasard, sans tenir compte du contenu» 60. F. R. Kraus a ensuite introduit un classement selon le contenu : La classification des tablettes se fait à l heure actuelle en tant que préparation à la mise en place d un catalogue de façon systématique à l intérieur de chaque groupe, c est-à-dire que l on regroupe et numérote continûment les tablettes de même contenu. Un grand groupe tel que celui les tablettes de Nippur par exemple a été subdivisé en groupes : actes juridiques et administratifs, lettres, tablettes scolaires et textes littéraires ; puis les actes ont été regroupés selon leur période dans les catégories paléo-akkadienne, néosumérienne, paléo-babylonienne, kassite, néo-babylonienne. Une classification plus fine, par exemple selon 57 Çığ et Kızılyay 1953. «Il s agit là de la seconde collection mondiale après celle du British Museum, mais c est pourtant une des moins bien connues.» (Lafont 1984, p. 184). 58 Kraus 1947. 59 Parmi les publications les plus importantes concernant le lot de Nippur, on peut citer : Nippur legal documents of the old Babylonian period (Çığ, Kızılyay et Kraus 1952) ; Nippur legal documents of the third Ur period (Çığ et Kızılyay 1961) ; Yeni Sumer Çağına ait Nippur hukukî ve idarî belgeleri (Çığ et Kızılyay 1965) ; Eski babil zamanıa ait Nippur menşeli iki okul kitabı (Çığ, Kızılyay et Kraus 1952) ; Sumerian literary texts from Nippur in the museum of the ancient orient at Istanbul (Kramer 1944) ; Istanbul Murasû text (Donbaz et Stolper 1997). 60 Kraus 1947. 33

leur date pour les actes, demande un travail deux fois plus important, représente ainsi un coût de temps important et n a par conséquent pu être réalisé que pour certains sous-groupes comme les actes juridiques paléo-babyloniens et de petits groupes comme les tablettes d Adab ou d Uruk. [Kraus 1947, traduction B. Winkelmann] Si donc F. R. Kraus s est efforcé de faire ce qu il appelle un «classification scientifique», c està-dire de donner des numéros successifs à des textes de même catégorie, cette règle n a pas pu être respectée de façon systématique car elle suppose de classer avant de numéroter, ce qui est matériellement très difficile pour les collections qui comportent des dizaines de milliers de pièces : L application de cette idée fort simple n était pourtant pas possible pour la grande collection des tablettes de Nippur, dont la cuisson et la classification m occupèrent pendant des années. Là, je ne pouvais pas retarder le numérotage jusqu à la fin de la classification, mais je me suis arrangé au moins pour assembler cent ou plusieurs centaines de tablettes de la même catégorie et leur donner ensuite des numéros successifs. [ ] Dans la collection de Nippur, même les quelques 3 000 tablettes numérotées antérieurement, dont les numéros n ont pas été changés, ont été classifiées et rangées de la même façon ; un répertoire spécial permet de les trouver immédiatement. [Kraus 1951, p. 64] Grâce à la «classification scientifique» de F. R. Kraus, on peut travailler sur des sous-ensembles bien délimités du fichier, ce qui représente un gain de temps considérable ; néanmoins, elle a l inconvénient de faire disparaître toute trace de l ordre dans lequel les tablettes sont entrées au musée, ce qui aurait pu permettre l identification de lots de tablettes provenant du même locus. Avant l arrivée de F. R. Kraus, 3200 tablettes de Nippur avaient été inventoriées 61. Pour sa part, F. R. Kraus a classé et inventorié les lots d Uruk, Adab et une partie de celui de Nippur, soit un tiers de la collection entière 62. Ce travail inachevé n a pas été publié. Matériellement, il se présente ainsi : Le catalogue se fait préférentiellement à partir de cartes en forme d une grande carte postale de 16 x 20 cm, que l on divise selon les indications du responsable par des lignes verticales et horizontales en un système de treize domaines rectangulaires de tailles variables. On y reporte, dans la mesure du possible, l indicatif de la fouille et le numéro d inventaire, le numéro des clichés photographiques correspondants sur le site et au musée, la langue et la datation, la masse, le nombre de lignes, l état de conservation, des signes extérieurs comme le type d écriture, l horizontalité des lignes, marques de sceaux etc., un résumé du contenu avec éventuellement la date et la copie d un extrait, citations de textes voisins, lieu de l édition et de l analyse. La treizième case est destinée à des remarques de type administratif. [Kraus 1947, traduction B. Winkelmann] Tablettes scolaires Le groupe des «tablettes scolaires» de Nippur, c est-à-dire des tablettes d écoliers de niveau élémentaire, excluant les textes littéraires de niveau avancé, est composé dans son écrasante majorité de tablettes d époque paléo-babylonienne, mais contient également quelques exemplaires néo-sumériens et quelques exemplaires cassites 63. Il comprend 2750 pièces, pour lesquelles Kraus a établi une fiche descriptive contenant les rubriques suivantes : - locus de découverte (rarement) ; - aspect matériel (état de la tablette, aspect de l argile) ; 61 Kraus 1951, p. 65. 62 Lafont 1984, p. 185. 63 Voir chronologie, Annexe 6. 34

- écriture (colonnes, lignes, soin, traits de section) ; - texte (catégorie et parfois translittération partielle). Les catégories de textes identifiés sur ces fiches sont : listes lexicales, listes de noms propres, syllabaires, textes grammaticaux, paradigmes, contrats, textes mathématiques, textes métrologiques. Parmi ces tablettes scolaires, seuls les syllabaires (tu-ta-ti et Silbenalphabet B) ont fait l objet d une publication systématique 64. 319 tablettes sont mathématiques ou métrologiques sur au moins un des côtés (face ou revers), soit une proportion de 12%. Seules 19 des 319 tablettes mathématiques d Istanbul ont été publiées, au moins partiellement, ou citées ; les autres sont éditées ici pour la première fois. Edition des tablettes mathématiques d Istanbul Dans BE 20 (Hilprecht 1906) : 9 tablettes Ni 1911* (type III) table de multiplication par 7.12 Ni 1871 (type III) table de multiplication par 7.12 Ni 1868 (type I) table numérique Ni 1913* (fragment) liste métrologique C Ni 927 (type III) table de multiplication par 2.30 Ni 894 (type III) table de multiplication par 7.30 Ni 1143 (type III) table de multiplication par 1.40 Ni 2265* (type IV lenticulaire) exercice de calcul Ni 1903 (type IV lenticulaire) métrologie? + liste lexicale? Dans MKT (Neugebauer 1935-7) : 7 tablettes Ni 2733* (type I) table numérique complète Ni 2726* (type II) table de multiplication par 44.26.40; table numérique Ni 2938 (type II) table de multiplication par 7.30; vide (arraché) Ni 2649* (type I?) table numérique: carrés Ni 2936 (type I) table numérique; arraché Ni 2937* (type II) vide (arraché); table numérique Ni 2739* (type II) table de racines; table numérique Dans ISET II (Kramer 1976) : 1 tablette (seulement la face) Ni 1878* (type II) proverbes collection 3 ; table métrologique C Dans MSL 14 (Civil 1979) : 2 tablettes Ni 5036 (type II) liste lexicale Proto-Ea; table numérique Ni 5303 (type II) liste lexicale Proto-Ea; liste ou table métrologique S 2.3 Délimitation du corpus Les tablettes mathématiques de Nippur d époque paléo-babylonienne forment aujourd hui plusieurs groupes dont les histoires sont très différentes, depuis les circonstances de leur 64 Çığ et Kızılyay 1959. 35

découverte jusqu à leurs conditions de conservation. Cette partie sera consacrée à l identification de ces groupes et à la pertinence d une approche statistique en regard des opérations de sélection dont ils ont été l objet. Un tableau récapitulatif des différentes parties de l ensemble des tablettes mathématiques de Nippur se trouve à la fin du paragraphe 2.3.1 (Tableau 3). 2.3.1 Les collections Les tablettes exhumées par la Babylonian Expedition Le résultat des fouilles de la Babylonian Expedition constitue le cœur du corpus étudié ici. Il est composé de trois collections conservées respectivement aux Etats-Unis, en Turquie et en Allemagne : - Le groupe des 319 tablettes et fragments mathématiques conservés au Musée Archéologique d Istanbul (numéro d inventaire Ist Ni, abrégé dans ce texte en Ni). Ce sont des tablettes que j ai moi-même examinées, photographiées et décrites selon ma propre grille d observation. - Le groupe des 501 tablettes et fragments mathématiques issus des fouilles de la Babylonian Expedition et conservés à Philadelphie (numéros d inventaire CBS, N, UM). Ce sont des tablettes qui ont été examinées, photographiées et décrites par E. Robson. Parmi elles, quelques tablettes d époque plus récente (cassite ou néo-babyloniennes) seront laissée de côté dans cette étude. - Les 23 tablettes de la collection de Hilprecht dont j ai trouvé une copie ou une transcription dans diverses publications 65. Leur sigle commence par HS (numéro d inventaire du Musée d Iéna) ou par H. (pour celles dont je n ai trouvé de référence que dans la publication des tablettes mathématiques de Nippur par Hilprecht en 1906). L ensemble des deux groupes Istanbul + Philadelphie constitue la base de données principale exploitée dans cette étude. On peut considérer cet ensemble comme relativement homogène du point de vue du degré de finesse de l observation et des normes de description. Les variations dues aux personnalités différentes des observateurs ne sont pas beaucoup plus importantes que les variations dues à l acquisition d expérience entre le début et la fin du travail de saisie. Cependant, quelques caractères ont fait l objet d un enregistrement systématique dans un groupe, mais pas dans l autre. Par exemple, l épaisseur et le profil des faces sont renseignés dans la base d Istanbul, mais pas dans celle de Philadelphie ; à l inverse, le caractère réglé (existence de traits tracés pour guider l écriture) ou non des tablettes est renseigné dans la base de Philadelphie et pas dans celle d Istanbul. Dans la description des deux groupes, les données portent exclusivement sur le contenu et l aspect physique des tablettes, et non sur les conditions exactes de découverte. En effet, les deux groupes sont issus des fouilles des mêmes équipes d archéologues, les quatre campagnes de la Babylonian Expedition de Philadelphie, qui n ont que très peu relevé le contexte archéologique. Quelques précisions apportées ponctuellement sur le lieu de découverte ne seront que peu utilisables dans la mesure où elles ne concernent qu un faible nombre de tablettes. Dans mes considérations statistiques, j ai ajouté à ces deux grands groupes le petit lot d Iéna pour deux raisons : les copies de Hilprecht sont remarquables, et elles apportent une information presque 65 Hilprecht 1906 et MKT principalement, mais aussi Friberg 1983, Oelsner 2001. 36

aussi sûre que les photos et les relevés d observation, le principe d homogénéité dans l observation est donc relativement respecté ; le prélèvement d Hilprecht à Philadelphie pour la collection d Iéna n a pas été fait au hasard, il privilégie les types III, et il m a semblé nécessaire de l inclure dans les statistiques pour éviter des distorsions. Cela dit, une étude exhaustive de la collection d Iéna reste nécessaire, et permettrait d affiner les données 66. Les tablettes exhumées par la Joint Expedition: C est principalement pendant les deuxième et troisième campagnes de la JE qu ont été trouvées des tablettes scolaires (numéros de fouille en 2N-T et 3N-T). Elles sont conservées aujourd hui aux Etats-Unis (Chicago et Philadelphie) et à Bagdad ; l étude exhaustive de cet ensemble est un projet d E. Robson, dont la réalisation est rendue difficile par la dispersion des lieux de conservation ; le nombre exact de tablettes mathématiques contenues dans ces collections reste donc à établir. Parmi elles, je citerai celles qui ont fait l objet de publications. - 15 tablettes exhumées par la deuxième campagne de la Joint Expedition ont été publiées par Neugebauer et Sachs, Al-Fouadi, Friberg, Robson 67. Ce groupe est le résultat d une sélection opérée par les éditeurs. En effet, ces tablettes ne sont pas prises au hasard dans l ensemble exhumé par la JE : ce sont toutes des tablettes de niveau avancé, catégorie qui ne représente qu une faible fraction des textes mathématiques de Nippur (5% environ de l ensemble actuellement identifié). D autre part, je n ai pas pu observer les tablettes ou voir de photo, et elles ne sont pas toutes décrites aussi précisément que les autres. Je ne les ai donc pas intégrées aux statistiques. - Les 111 tablettes mathématiques de la Maison F (3N-T) forment un groupe homogène, renseigné sur le plan archéologique. Mais il n est pas exhaustif : E. Robson n a pas encore eu la possibilité d examiner celles qui se trouvent à Bagdad. Une première série de résultats concernant ce groupe a été publiée 68. Ces données ne sont pas intégrées dans les statistiques générales, mais souvent juxtaposées : elles constituent un repère sûr permettant des comparaisons avec le lot principal. Les listes sumériennes élémentaires Les tablettes mathématiques font partie intégrante de l ensemble des tablettes scolaires de Nippur, et il sera souvent fait référence à ce corpus plus vaste, notamment pour préciser la place des activités mathématiques dans la formation des scribes. Une importante partie de cette collection a été étudiée par N. Veldhuis dans le cadre de sa thèse sur les listes lexicales 69. Un des buts de la recherche de N. Veldhuis était la reconstitution du cursus sumérien par comparaison de la face et du revers des tablettes mixtes contenant des textes de catégories différentes (par exemple lexicaux et mathématiques), dits de «type II». Il s est donc intéressé prioritairement à cette catégorie particulière de tablettes et a sélectionné ses sources dans cet objectif (voir 6.3). 66 Voir en particulier l étude de Oelsner (2001), qui parle d un nombre important de tablettes (p. 53), mais ne donne pas de description chiffrée. 67 Al-Fouadi 1979 ; Neugebauer et Sachs 1984 ; Friberg 1987-90 ; Robson 2000. 68 Robson 2000; Robson 2001. 69 Veldhuis 1997. 37

Ces données sélectives ne seront donc prises en compte que dans la partie consacrée elle aussi aux tablettes de type II. Bilan Les différents critères (campagne de fouille, lieu de conservation, édition, contenu) dessinent donc plusieurs groupes et sous-groupes qui se chevauchent et ne se complètent que partiellement : groupe effectif fouille lieu de conservation math BE dont 843 BE majoritairement inédit édition locus n inventaire / fouille 70 divers Istanbul 319 BE Istanbul base Proust divers Ist Ni Philadelphie 501 BE Philadelphie base Robson divers CBS, N, UM 29- Iéna 23 BE Iéna BE 20, divers divers HS et H.? BE Iéna inédits divers HS math JE dont sumérien BE+JE? JE Philadelphie, Chicago, Bagdad 16 JE divers divers 2N-T Maison F 111 JE Robson 2001, Maison F 3N-T 2002 2418 BE, JE Philadelphie, Veldhuis 1997 divers divers Chicago Tableau 3: collections de tablettes scolaires de Nippur L ensemble Istanbul + Philadelphie + Iéna exhumé par la BE est à la fois le plus «exhaustif» (dans un sens qui sera précisé dans le paragraphe suivant), et le plus homogène du point de vue de l observation, compte tenu des données dont je dispose. Sauf indication contraire, il constituera l ensemble statistique pris en considération dans ce qui suit et sera dénommé «math BE». Cet ensemble inclut toutes les tablettes issues des fouilles de la BE, y compris les quelques exemplaires qui ne sont pas d époque paléo-babylonienne (époques cassite ou néo-babylonienne). Les statistiques de l Annexe 3, en revanche, ne prennent en compte que les tablettes d époque paléo-babylonienne. 2.3.2 Les processus de sélection Dans quelle mesure l échantillon constitué par un ensemble de tablettes est-il représentatif d une part de tout ce qui se trouvait dans un dépôt donné au moment de la fouille, d autre part de ce qui a effectivement été produit par les scribes à une époque et dans un lieu donné? Des rapports de 70 Pour les tablettes qui ont à la fois un numéro de fouille (identifiant la campagne de fouilles) et un numéro d inventaire (identifiant le lieu de conservation), comme c est le cas pour une partie des tablettes exhumées par la JE, j ai choisi le numéro de fouille, car il apporte un peu plus d homogénéité dans cet ensemble disparate. 38

fouilles précis et des inventaires de musée complets peuvent permettre d apporter des éléments de réponse à la première partie de la question, mais la deuxième est beaucoup plus difficile à traiter. Le rapport entre les archives étudiées et l état originel du dépôt de tablettes est ce que M. Civil appelle le «coefficient of completness» 71. E. Robson 72 pense pouvoir estimer ce rapport dans le cas du lot de la Maison F, bien renseigné sur le plan archéologique. En ce qui concerne les tablettes exhumées par la BE, une telle évaluation est une entreprise vouée à l échec, et on se bornera ici à repérer quelques processus de sélection. Certains d entre eux, dus au hasard, peuvent ne pas avoir de conséquence significative. D autres constituent de véritables filtres qui affectent spécifiquement certaines catégories et peuvent provoquer d importantes distorsions dans l interprétation des données quantitatives. Le premier filtre est celui des scribes eux-mêmes. La volonté de conservation est variable selon la nature des tablettes 73. Les scribes traitent différemment les exercices quotidiens, destinés à la destruction ou au recyclage, et les œuvres de maîtres qui ont pu être conservées plus longtemps ou circuler d une école à l autre (voir 2.1.3). Le travail de la Babylonian Expedition a constitué un autre filtre. Un tri a été opéré par Hilprecht et les commissaires turcs au moment du partage entre Américains et Turcs. Dans la mesure où l on prend en considération l ensemble des deux lots résultant de ce partage, celui-ci ne devrait pas influer sur les statistiques globales. Mais, sur le plan de l histoire des collections, il est intéressant de noter qu il existe des différences entre le lot de Philadelphie et le lot d Istanbul. Par exemple, on note un net déséquilibre de la répartition des tablettes de type III : 18% des tablettes de Philadelphie sont de type III, contre 8% de celles d Istanbul. On reconnaît là les préférences de Hilprecht 74. Les fouilleurs ont également joué un rôle actif. Qu est-il advenu de ce qu ils ont exhumé? En principe, tout a été acheminé vers Istanbul pour le partage puis l inventaire. Mais, dans le contexte de grand isolement et de faible encadrement scientifique des équipes de fouilleurs, les fortes tentations du marché des antiquités ont dû produire des effets sur une partie spécifique des trouvailles : les tablettes les plus spectaculaires et les mieux conservées. Dans ces conditions, la rareté des tablettes mathématiques de niveau supérieur provenant de Nippur dans les collections actuelles n implique pas une égale rareté dans l ensemble des tablettes exhumées. La valeur des tablettes de type II est à l opposé. Destinés à être jetés, ces brouillons sont d assez piteuse apparence, ils ont été réutilisés dans les constructions et sont souvent réduits à l état de fragments, ils n ont donc pas suscité de convoitise de la part des collectionneurs ni d intérêt de la 71 Civil 1980, p. 231. 72 Robson 2001, p. 62. 73 Civil 1979, p. 7-8. 74 Cette préférence est à mettre en relation avec l engouement de collectionneurs pour les tables de multiplication et avec le fait que ces tables étaient devenues un enjeu dans la polémique qui a opposé Hilprecht à Peters. Voir au sujet de la «controverse Peters-Hilprecht» l histoire de la collection Plimpton dont les péripéties sont rapportées par E. Robson (Robson 2002a) et le 2.1.1. 39

part des chercheurs 75 : ils sont nombreux dans les collections issues de fouilles régulières, et dans les réserves des musées parmi les textes inédits. Une autre sélection s est opérée dans les dommages survenus entre l arrivée des tablettes dans les musées et leur entrée à l inventaire. On sait en effet que les conditions de conservation étaient mauvaises, et que les opérations de cuisson des tablettes pour leur sauvegarde, à une époque où ces techniques n étaient pas maîtrisées, ont fait des dégâts. D autre part, tous les textes mathématiques n ont peut-être pas été identifiés. On peut considérer ces pertes comme distribuées au hasard. Un dernier filtre est celui du choix des éditeurs : les tablettes de Nippur qui ont été éditées, notamment par Hilprecht et Neugebauer, n ont pas été choisies au hasard. Par exemple, parmi les tablettes mathématiques éditées par Hilprecht, 60% sont de type III (contre 16 % dans l ensemble du corpus) ; parmi les tablettes mathématiques exhumées par la deuxième BE, seules celles qui sont de niveau avancé ont été publiées. La définition d un corpus incluant toutes les tablettes exhumées dans une série de campagnes données, sans exclure aucun fragment, évite ce type de sélection. 2.3.3 Décompte des tablettes Le dénombrement des tablettes sur lequel sont fondées les données statistiques de cette étude pose plusieurs types de problèmes. Tout d abord, compter les fragments n est pas compter les tablettes et le nombre de fragments a tendance à diminuer au cours de l étude. En effet, l observation des collections conduit à repérer des fragments appartenant à une même tablette, qui peut ainsi être reconstituée par recollements ou «joints». Lorsque des joints sont réalisés, les effectifs sont modifiés. Dans la mesure où le présent corpus est composé d un très grand nombre de fragments, ce phénomène est appelé à affecter de façon croissante les résultats statistiques. De plus, il crée une différence de poids entre les unités de la base de Philadelphie et celle d Istanbul : la première a été plus visitée que la seconde, et le nombre de fragments recollés représente 6% des tablettes dans le premier groupe et 3% dans le deuxième (en novembre 2003). D une façon générale, le potentiel de joints n est pas le même dans toutes les catégories, il dépend de la façon dont les tablettes ont été traitées depuis le commencement de leur histoire aussi bien ancienne que moderne (par exemple, celles qui ont été réutilisées comme matériau de construction sont très fragmentaires, celles qui sont conservées dans les collections très visitées ont plus de chance d être recollées). J ai arrêté d intégrer dans les effectifs les joints nouveaux à partir de novembre 2003. Cette recherche systématique de joints demande une organisation spécifique de la base de données et un temps considérable, qui pourra constituer un futur programme de travail. Pour le moment, il suffit de garder à l esprit que ce sont des fragments qui sont dénombrés, et donc certaines tablettes sont comptées plusieurs 75 Une remarque de Genouillac sur les tablettes scolaires est à cet égard tout à fait révélatrice : «Dans cette série A, comprenant les tablettes ayant le moins d'intérêt, le grand nombre appartient à la catégorie des documents scolaires [ ]. Sauf du fait de leur existence, établissant le long apprentissage des scribes babyloniens en leurs deux langues jumelles, sumérien et accadien, ces documents ont le plus souvent peu d'intérêt en eux-mêmes et je m'excuse de ce long inventaire : peut-être quelque patient chercheur en sera-t-il attiré à des examens plus précis.» Genouillac 1924-5, PRAKII, p. 45 ; N. Veldhuis a lui aussi noté la remarque (1997, p. 37). 40

fois. Mais tant que les joints ne sont pas faits - et un certain nombre ne le seront jamais - on ne sait pas lesquelles ni combien. On peut néanmoins évaluer le nombre minimal de tablettes dans un groupe donné. Par exemple, le groupe d Istanbul contient 60 coins supérieurs gauche 76 (Annexe 3 «Données statistiques», 6) ; c est l élément repérable des tablettes le plus fréquent 77. 60 est donc un minimum pour le nombre total de tablettes. L expression «nombre de tablettes» pour un ensemble composé principalement de fragments est abusive, bien qu elle soit utilisée couramment par commodité. Ensuite, il conviendra de dénombrer, dans certains cas, non pas les tablettes ou fragments, mais les textes. Du point de vue du comptage des effectifs, ces deux approches donnent les mêmes résultats lorsqu un seul genre de texte se trouve sur la tablette (c est le cas des types III). En revanche, la distinction est très importante concernant les tablettes de types I et II. Chacune d elles constitue une unité statistique si on considère la tablette ; mais si on considère les textes, les tablettes de types II peuvent être comptées deux fois puisque le texte de la face appartient souvent à une catégorie différente du texte du revers ; si on considère les sections, les tablettes de type I sont comptées plusieurs fois, puisque qu elles contiennent un nombre important de sections. La nature des unités statistiques dénombrées dans chaque tableau et graphique de l Annexe 3 est précisée. Enfin, seules sont comptabilisées les unités identifiées de façon sûre ; en conséquence les décomptes partiels ont souvent un effectif total inférieur aux décomptes globaux. La différence s explique généralement par le fait que l identification d une unité peut être sûre pour un caractère et pas pour un autre ; par exemple, on peut identifier un texte comme métrologique, savoir qu il s agit de capacités, mais ne pas savoir si c est une liste ou une table et ne pas pouvoir identifier le type de la tablette. En toute rigueur, on devrait restreindre l étude statistique aux seules tablettes dont tous les caractères sont identifiables de façon sûre. Cependant, la nature même du corpus - brouillons d écoliers recyclés- veut qu il soit composé d une grande proportion de débris, et cette rigueur entraînerait une énorme déperdition d informations. En conclusion, compte tenu du caractère instable des effectifs, des incertitudes importantes sur les identifications, du lien insaisissable de l échantillon avec la production originale des scribes, les résultats statistiques obtenus devront être interprétés prudemment. Ils ne seront considérés comme significatifs que s ils sont très marqués. Bien qu elle exige d être utilisée avec précaution, la méthode statistique reste néanmoins utile : on rencontrera au cours de cette étude des répartitions statistiques très contrastées portant sur le lot «math BE», abondant et relativement exhaustif, qui permettront de mettre en évidence des résultats importants concernant la structure des séries mathématiques élémentaires, l organisation du cursus, les pratiques pédagogiques. 76 L orientation gauche / droite s applique aux faces des tablettes. En conséquence, seules sont prises en compte dans cet effectif des tablettes dont la face et le revers sont identifiées. 77 Le «Nombre Minimum d Individus [est le nombre] qui découle, après rassemblement, du plus élevé des inventaires [ ] d éléments caractéristiques» (Arcelin 1998, p. 40). 41

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3 Les écoles de scribes Les écoles de scribes existent probablement depuis les débuts de l écriture (début du troisième millénaire), mais elles ont pris une place particulièrement importante dans le fonctionnement de l état à l époque néo-sumérienne 78. L école la plus prestigieuse à l époque paléo-babylonienne est celle de Nippur, d où provient la très grande majorité des textes scolaires et l essentiel de la littérature sumérienne connue à ce jour. Mais des centres d enseignement importants se sont développés dans toute la Mésopotamie : Ur, Uruk, Babylone, Kiš, Sippar, Ešnunna, Suse, peutêtre Mari et Tello 79. Les questions concernant l organisation des écoles et du cursus ont fait l objet de nombreuses recherches ces dernières années, et les pages qui suivent s y réfèrent. L étude de N. Veldhuis sur les listes lexicales thématiques contient une synthèse de l ensemble de ces travaux. Je m appuierai également sur les publications postérieures à la thèse de N. Veldhuis, notamment celles d E. Robson concernant les textes scolaires de la Maison F de Nippur, de J. Friberg sur les textes mathématiques d Ur, ceux de M. Tanret sur les archives scolaires de la maison des galamah à Sippar-Amnânum et ceux de S. Tinney sur le cursus littéraire de niveau avancé 80. L école porte un nom en sumérien, «Eduba» (e 2 -dub-ba = maison des tablettes). Mais quelle réalité recouvre exactement ce terme à l époque paléo-babylonienne? S agit-il d une sorte d institution où les maîtres sont des professionnels rémunérés pour leur enseignement, ou bien d un cadre familial au sein duquel un scribe éduque un apprenti? Les écoles sont-elles organisées dans le cadre d un système uniforme et centralisé? Des réponses divergentes ont été données à ces questions. Certains auteurs ont reconstitué un modèle étatique, dont le centre serait Nippur 81. Pour N. Velhuis, l opposition privé / public est une idée récente, qui n a pas de sens dans le contexte mésopotamien. L Eduba est une institution, mais une institution n est pas forcément contrôlée par l Etat, installée dans un bâtiment spécialisé de dimensions imposantes. Au sens sociologique, une institution est le cadre d un comportement social qui suit des règles convenues 78 Pour un panorama général de l histoire des écoles de scribes et de leur développement en liaison avec l invention et la diffusion de l écriture, voir notamment Charpin 1999 ; Glassner 2000. 79 Sjöberg 1976, p. 176. 80 Veldhuis 1997 ; Tinney 1998 ; Tinney 1999 ; Friberg 2000; Robson 2001; Robson 2002b ; Tanret 2002. Bien qu il ne soit pas question dans le cadre de cette étude de rendre compte de l ensemble des travaux sur lesquels s appuient ceux de N. Veldhuis, il convient de citer les plus importantes synthèses : Landsberger 1956; Civil 1975; Sjöberg 1976 ; Cavigneaux 1983 ; Charpin 1999. Citons également H. V. Hilprecht, le pionnier en matière d écoles de scribes et de cursus scolaire (Hilprecht 1903, en particulier, p. 525-526 et Hilprecht 1906). 81 Diakonoff 1990 cité par Veldhuis 1997, p. 27. 43

et dans lequel s exerce une autorité morale 82. En ce sens, on peut parler d une institution scolaire à Nippur, désignant par ce terme l ensemble des personnes, des activités et des lieux dédiés à la formation des scribes. D autres auteurs ont mis en évidence l existence d un modèle privé, où, à la limite, il n y aurait pas d école mais de simples relations d apprentissage au sein de la famille 83. La réponse dépend également des centres considérés : elle n est pas la même à Ur qu à Nippur, et peut varier d une époque à l autre. Mais surtout, la représentation des écoles dépend du type des sources interrogées : la littérature scolaire donne de l école une image idéalisée sensiblement différente de celle qui peut être reconstituée à partir de traces archéologiques. Les tablettes scolaires elles-mêmes apportent des témoignages sur le déroulement des études et sur l existence d un cursus fortement structuré. Je me limiterai, dans cette partie, à souligner quelques aspects qui permettent de situer les tablettes mathématiques de Nippur dans leur contexte naturel, celui des écoles de scribes, à partir de sources textuelles et archéologiques. 3.1 Sources littéraires L école est fortement présente dans la littérature, particulièrement à Nippur. La vie dans les écoles est le sujet principal d un ensemble de textes appelés par les sumérologues «compositions Eduba», qui appartiennent à la liste des textes scolaires du cursus de niveau avancé 84. Une partie de ces textes a été retrouvée parmi les tablettes scolaires de la Maison F. Ils sont cités dans un catalogue d époque paléo-babylonienne provenant également de Nippur 85. Il s agit des compositions suivantes, dans l ordre du catalogue : Eduba A (appelée Schooldays par Kramer qui en a fait la première publication 86 ) Eduba C ( Conseils d un maître à un jeune scribe 87 ) Eduba, Dialogue 1 ( Dialogue entre deux scribes 88 ) Eduba B ( Un scribe et son fils rebelle ) Un autre genre de texte riche en références à la vie quotidienne des scribes, est constitué par les hymnes, où les scribes adressent des louanges adressées à un roi ou à une divinité, mais se livrent également à un véritable exercice d autoglorification. Dans ce genre, on relève à Nippur quelques hymnes où les scribes occupent une place notable 89 : Lipit-Ištar B (le premier texte de la première phase du niveau avancé) Enlil-bani A (première phase du niveau avancé) 82 Veldhuis 1997, p. 27. 83 C est le cas, selon M. Tanret, de l enseignement à Sippar-Amnânum (Tanret 2002). 84 Plus précisément, ces textes appartiennent à la troisième phase du cursus avancé, tel qu il est reconstitué par E. Robson (Robson 2001, p. 55). Les différents niveaux scolaires seront précisés plus loin ( 3.3). Concernant ce genre de littérature, voir notamment : Kramer 1949 ; Civil 1985. 85 UM 29-15-155 : Kramer 1942 ; Robson 2001, p. 55. 86 Kramer 1949. 87 Vanstiphout 1996. 88 Civil 1985. 89 Veldhuis 1997, p. 25. 44

Šulgi B (troisième phase) Un tiers du texte de l hymne Lipit-Ištar B est consacré aux scribes 90. Une partie des louanges au roi s adresse en fait à Nisaba, la divinité des scribes. Lipit-Ištar B, lignes 18-24 (traduction personnelle, d après Vanstiphout 1978, p. 36) : 18- Nisaba, femme rayonnante de joie, 19- la véritable femme scribe, la dame qui sait toutes choses, 20- guide tes doigts sur l argile ; 21- elle magnifie l écriture sur la tablette, 22- elle fait resplendir la main au calame d or. 23- La canne à mesurer, la corde d arpenteur brillante, 24- la corde à mesurer, la planche à écrire, qui donnent la science, 25- Nisaba te les a données d une main généreuse. Parmi les titres prestigieux du roi, figure celui d être un maître scribe pour Nippur. C est une allusion à la place de Nippur comme principal centre de formation des scribes 91. Lipit-Ištar B, lignes 40-41 (d après Vanstiphout 1978, p. 36): 40- Ô Lipit-Ištar, tu es le roi d Isin, le roi de Sumer et d Akkad, 41- tu es un scribe pour Nippur. [ ] 59- Que dans l Eduba ta gloire ne disparaisse jamais de l argile. 60- Puissent les scribes louer ta félicité, 61- puissent-ils te glorifier immensément, 62- que jamais ne cessent tes louanges dans l Eduba. Les connaissances en calcul font partie des qualités éminentes attribuées à un souverain : šulgi B, ligne 17 (translittération Castellino 1972, p. 32) ; c est Šulgi qui parle : zi-zi-i ga 2 -ga 2 šid-nig 2 -šid-de 3 / zag im-mi-til-til Je maîtrise la soustraction, l addition, le calcul et les comptes. Au moins autant que des documents sur la réalité de la vie dans les écoles, ces passages sont des témoignages sur l idéologie scolaire. Ils mettent en évidence certaines valeurs : être un scribe est un titre de gloire ; les disciplines reines sont l écriture et le calcul ; l école de Nippur jouit d un prestige particulier. On peut ajouter que, par leur style très emphatique, les hymnes préparent les scribes à appartenir à une caste puissante et respectée 92. Pour forger un tel esprit de corps, un cadre institutionnel et collectif semble plus adapté qu un cadre d apprentissage familial. 3.2 Données archéologiques Concernant Nippur, seules quelques maisons (F, G et H) fournissent des données archéologiques suffisantes pour aborder le problème de l organisation de la formation scribale. Pour D. Charpin, ces maisons sont des lieux privés où ont eu lieu des activités d enseignement, ce qui n en fait pas 90 Vanstiphout 1979, p. 123. 91 Ibid, p. 123. 92 P. Michalowski a montré le rôle idéologique des hymnes dans la formation des scribes : l école est le moule d'une caste dévouée au roi et coupée de ses racines (Michalowski 1987, p. 63). 45

nécessairement des écoles 93. Sans se prononcer nettement sur cette question, E. Robson souligne que l activité scolaire est plus domestique que ne le suggèrent les récits de la littérature sumérienne tels que la composition Schooldays (Eduba A) 94 : les pièces et la cour sont petites, et ne pouvaient pas accueillir, en plus des élèves, le nombreux personnel dont il est question dans cette composition 95. Il devait exister plusieurs maisons abritant des écoles 96, probablement concentrées dans le périmètre du «quartier des scribes». A Ur, deux maisons ont livré des archives scolaires 97. L une, «7 Quiet Street», contemporaine de la Maison F de Nippur, est une école dont les tablettes ont été conservées suite à un incendie et à l arrêt brutal du fonctionnement. Les archives de cette maison montrent que l enseignement s est exercé dans le cadre de la famille d un prêtre 98. Les archives scolaires de l autre maison, «1 Broad Street», ressemblent à celles de Nippur par la variété des contenus. D. Charpin 99 a montré qu elles constituent probablement du rebut incorporé dans du matériau de construction ; elles ne sont donc pas nécessairement en rapport avec les activités de la maison, et peuvent provenir de lieux et d époques différentes. La maison du «1 Broad Street» n est donc pas nécessairement une école. Dans le cas de Sippar-Amnânum à la fin de l époque paléo-babylonienne, M. Tanret 100 met en évidence le caractère strictement familial de l enseignement : le contenu varié et le nombre réduit des tablettes dans une des maisons le conduisent à supposer qu il n y a qu un seul élève, le fils de la maison, formé par un scribe au service du propriétaire des lieux. Ces exemples montrent qu il n y a pas de modèle d école unique, mais que le cas de Nippur à l époque paléo-babylonienne est probablement le plus proche d un modèle institutionnel et collectif, tel qu il peut transparaître sous une forme idéalisée dans la littérature. Au-delà de la diversité de leurs modes d organisation, on peut relever des traits communs aux écoles des différents sites : les maisons sont petites, les pièces donnent sur une cour à ciel ouvert où devaient se dérouler les activités scolaires 101, on trouve dans cette cour un bassin à argile et des traces de recyclage des tablettes, l effectif des élèves ne pouvait pas être important 102. Du point de vue du contenu, les tablettes scolaires provenant des différentes archives montrent que le cursus est relativement uniforme, que l enseignement soit familial ou institutionnel, individuel ou collectif : à quelques variantes près, on trouve les mêmes types d exercices. La présente étude devrait permettre de préciser la part de flexibilité et de normativité de l enseignement à Nippur dans le domaine des mathématiques. La proportion des textes 93 Charpin 1990, p. 8. 94 Kramer 1949. 95 D après des indices archéologiques, les classes ne devaient pas dépasser 4 élèves (Waetzoldt 1989, p. 39 cité par Veldhuis 1997, p. 26). 96 E. Robson estime à trois ou quatre les écoles de Nippur (Robson 2001, p. 62). 97 Rappelons qu il ne s agit pas d archives véritables, mais de lot de tablette retrouvées dans un même locus (voir 2.1.3, Archivage). 98 Charpin 1986. 99 Ibid, p. 482-485. 100 Tanret 1982 ; Tanret 2002, p. 153-156 ; voir aussi Scheil 1902 chapitre III. 101 Tanret 2002, p. 5. 102 Veldhuis 1997, p. 26. 46

mathématiques dans les différentes archives scolaires est assez stable : elle représente à peu près 10% à 20% des productions de niveau élémentaire et intermédiaire 103. 3.3 Le cursus scolaire Si on s en tient aux productions matérielles des élèves, les disciplines enseignées dans les écoles de scribes se réduisent à deux : le sumérien et les mathématiques. Une part importante de l enseignement a dû pourtant porter sur des savoirs n ayant pas laissé de trace écrite, tels que le théâtre et la musique 104. Tant du point de vue du contenu que de la typologie des tablettes, on distingue nettement deux niveaux de formation, généralement nommés par les auteurs actuels «niveau élémentaire» et «niveau avancé». 3.3.1 Niveau élémentaire Les textes de niveau élémentaire sont caractérisés par la forme des listes : toutes les connaissances sont organisées en énumérations (signes, syllabaire, vocabulaire, listes et tables métrologiques et numériques, proverbes, modèles de contrats). Une part importante de ces listes a été forgée au troisième millénaire et transmise par tradition orale. La structure et certaines singularités des listes lexicales s expliquent par la place qu occupe la mémoire dans leur conception et leur transmission 105. Dans les écoles paléo-babyloniennes, ces listes devaient être mémorisées, au moins en partie. L ordre dans lequel les listes sont enseignées a fait l objet de recherches récentes. Celles-ci, notamment celles de N. Veldhuis, ont montré que pour certaines listes l enchaînement obéit à des règles fixes, l ordre est le même dans toutes les écoles. Pour d autres, l ordre est n est pas toujours le même. Pour E. Robson, ces variantes témoignent de pratiques locales différentes selon les écoles. Comme on le verra dans le cas des listes mathématiques, elles peuvent aussi montrer que le cursus n est pas linéaire, et que plusieurs listes sont étudiées en même temps. La reconstitution de ce cursus est relativement assurée pour les premières listes, incertaine pour les dernières. La place des listes métrologiques et numériques dans le cursus a été précisée par E. Robson dans le cas de la Maison F, et ce problème sera traité en détail pour l ensemble de Nippur dans le chapitre consacré aux séries mathématiques élémentaires (voir 6.3.3). Concernant le sumérien, le cursus élémentaire de Nippur se déroule en plusieurs phases : - Quatre listes élémentaires permettent l apprentissage des signes cunéiformes simples. 103 Voir les données comparatives concernant les archives scolaires de 6 écoles situées à Uruk, Ur, Ešnunna, Sippar- Amnânum et Nippur dans Robson 2002b, p. 329. 104 Veldhuis 1997, p. 41, 132; Draffkorm Kilmer 1992. 105 Veldhuis 1997, p. 132-133. 47

- Six listes thématiques (Urra 1 à Urra 6) 106 énumèrent le vocabulaire sumérien organisé par thèmes (voir Tableau 4 ci-dessous). Chaque liste thématique est composée de 500 entrées en moyenne, et l ensemble représente plusieurs milliers d entrées à mémoriser par les jeunes scribes. L ordre des listes thématiques est à peu près sûr. - Six listes avancées, aussi appelées «acrographiques», sont des listes de signes cunéiformes complexes classés principalement selon leur forme, mais ce principe est combiné localement avec des associations phonétiques et thématiques. Les assyriologues ont nommé ces listes par leur incipit, précédées du préfixe «proto» pour les distinguer des leurs successeurs du premier millénaire (Proto-Ea, Proto-Lu, Proto-Izi, Proto-Kagal, Proto-Nigga, Proto-Diri). Le nombre d entrées des listes acrographiques est comparable à celui des listes thématiques. L ordre des listes acrographiques établi par N. Veldhuis pour l ensemble de Nippur est différent de celui de E. Robson pour la Maison F. - Deux listes de phrases (modèles de contrats et des proverbes) sont les premiers textes sumériens. Leur ordre et leur position à la fin du cursus élémentaire sont sûrs. - Les listes et tables métrologiques et numériques ont été insérées dans ce cursus par N. Veldhuis et E. Robson à des endroits différents. Les cursus proposés par N. Veldhuis et E. Robson sont résumés dans le Tableau 4 qui suit. Les différences portent sur les listes avancées : dans le cas de la Maison F, E. Robson place le groupe Proto-Nigga, Proto-Kagal, Proto-Izi (avec permutations possibles de ces 3 listes) avant le groupe Proto-Ea, Proto-Lu et les listes mathématiques groupées vers la fin du cycle des listes avancées. 106 Les différentes listes lexicales sont en principe nommées par les assyriologues par leur incipit ; mais comme ce sont leurs successeurs du premier millénaire qui ont fait l objet des premières études systématiques, le nom issu des listes tardives appliqué aux versions paléo-babyloniennes peut être inadéquat (c est la cas des listes dites thématiques, nommées par l incipit d une liste tardive qui n existait pas à l époque paléo-babylonienne) ; les noms donnés aux listes sont souvent des translittérations (ur 5 -ra dans le cas des listes thématiques), mais la transcription (Urra dans le cas des listes thématiques) est aussi utilisée, en particulier par N. Veldhuis. Cette dernière m a paru ici suffisante. 48

Ensemble de Nippur (N. Veldhuis) Maison F (E. Robson) sumérien mathématiques sumérien mathématiques listes élémentaires : exercices de calame syllabaire se référant à des noms propres (Syllable Alphabet B) syllabaire classé selon la prononciation (tu-ta-ti) liste de noms propres idem listes thématiques : arbres et objets en bois (Urra 1) objets en roseau, cuir, métal, etc. (Urra 2) animaux et viandes (Urra 3) pierres, plantes, oiseaux, etc. (Urra 4) noms géographiques et étoiles (Urra 5) aliments (Urra 6) idem listes avancées (listes de signes) : Proto-Ea Proto-Lu Proto-Izi Proto-Kagal Proto-Nigga Proto-Diri listes de phrases sumérienes : modèles de contrat proverbes listes et tables métrologiques tables numériques listes avancées : Proto-Nigga Proto-Kagal Proto-Izi Proto-Lu Proto-Ea Proto-Diri idem Tableau 4 : cursus de Nippur d'après N. Veldhuis et E. Robson listes et tables métrologiques tables numériques Pour quelles raisons la reconstitution du cursus de la Maison F est-elle différente de celle qui est observée en moyenne dans l ensemble des écoles de Nippur? Y a-t-il des variantes locales, ou bien faut-il examiner de plus près les hypothèses sur lesquelles est fondée la méthode qui a permis cette reconstitution? En particulier, le cursus mathématique suit-il un enchaînement linéaire inséré dans celui des listes lexicales? Ces problèmes seront traités à la fin du chapitre consacré aux listes mathématiques élémentaires (chapitre 6). 3.3.2 Niveau avancé Les tablettes de niveau avancé se distinguent de celles de niveau élémentaire à la fois par le contenu et la typologie. Cette rupture est nette aussi bien dans le cas des textes de sumérien que dans celui des textes de mathématiques. On relèvera néanmoins la permanence de certaines habitudes du niveau élémentaire, particulièrement dans les premières étapes du niveau avancé. Le début du cursus avancé constitue une sorte de transition où, dans le domaine littéraire, l hymne 49

Lipit-Ištar B joue un rôle particulier qui a été analysé par H. L. J. Vanstiphout 107 : dans sa forme, ce texte garde certains caractères des listes élémentaires : il est en partie construit sur une liste de paradigmes grammaticaux de complexité croissante. Plusieurs auteurs considèrent qu une partie des textes littéraires constitue un cursus scolaire structuré : après H. L. J. Vanstiphout, N. Veldhuis 108 a souligné l intérêt d une telle démarche, ainsi que S. Tinney et d E. Robson 109. Cette approche devrait apporter des perspectives nouvelles dans le domaine des mathématiques. Dans la présente étude des textes de Nippur, elle oriente les recherches vers la typologie des tablettes, les relations fonctionnelles existant entre les différentes catégories de textes (textes de référence, extraits, exercices d application), la position de leurs auteurs dans l école (maître ou élève). En sumérien Du point de vue du contenu, le niveau élémentaire est le domaine de la tradition lexicale, le niveau avancé est le domaine de la tradition littéraire 110. Après la fin de la formation élémentaire, la forme des listes est abandonnée progressivement 111. Les tablettes de type II et IV sont peu fréquentes ; les types les plus répandus sont les tablettes allongées à une colonne (type S) ou les grandes tablettes à plusieurs colonnes (type M) 112. Dans le corpus des textes littéraires, il existe un nombre important de «singletons» à Nippur, c est-à-dire de textes attestés sur un seul exemplaire. C est une situation très différente de celle du niveau élémentaire, où tous les textes existent sur de nombreux duplicata (N. Veldhuis a noté quelques exceptions 113, mais elles sont rares). Ces changements manifestent une évolution de la pédagogie : un enseignement strictement encadré et fondé sur la mémorisation laisse la place à plus d autonomie. Le cursus de niveau avancé a été reconstitué en partie dans ses premières étapes à Nippur, il comprend un premier groupe de 4 hymnes, puis un deuxième groupe de 10 hymnes et mythes 114 ; E. Robson a identifié un troisième groupe de 14 textes incluant 4 compositions Eduba 115. La place de la langue sumérienne dans l éducation scribale à Nippur, à une époque où elle a été supplantée comme langue vivante par l akkadien, est tout à fait particulière. Les archives scolaires de Nippur, en particulier celles de la Maison F, fournissent une part très importante des sources de la littérature sumérienne actuellement connues 116. Dans la Maison F par exemple, un seul texte littéraire est écrit en akkadien 117. D après E. Robson, cette présence du sumérien ne s explique pas seulement par le conservatisme culturel des écoles de Nippur, mais aussi par un 107 Vanstiphout 1979. 108 Veldhuis 1997, p. 129. 109 Tinney 1999 ; Robson 2001. Les collections de textes de lois pourraient également appartenir à un corpus de textes scolaires (Roth 1995, p. 4). 110 Veldhuis 1997, p. 129. 111 Tinney 1999, p. 159. 112 Voir les précisions concernant la typologie des tablettes de niveau avancé dans le 5.2.6. 113 Veldhuis 1997, p. 131. 114 Tinney 1999 ; Robson 2001, p. 53. 115 Robson 2001, p. 55. 116 Voir données statistiques dans Ibid, p. 53. 117 Ibid, p. 60. 50

usage répandu de cette langue ancienne dans les actes administratifs jusqu à la fin de l époque paléo-babylonienne 118. En mathématiques Les textes mathématiques sont abordés ici comme un ensemble structuré de textes scolaires insérés dans un cursus. J. Friberg dans le cas des textes d Ur 119 et E. Robson dans le cas des textes de Nippur 120 ont relevé les relations fortes existant entre d une part des grands textes que j appellerai «textes de référence», et d autre part les exercices de calcul qu on trouve sur les tablettes de type IV. En prenant en compte l ensemble des tablettes mathématiques de Nippur, publiées aussi bien qu inédites, je poursuivrai systématiquement cette recherche des relations entre exercices ou extraits et textes de référence. Les textes de Nippur relevant d un haut niveau de spécialisation en mathématiques sont rares : seuls quatre textes peuvent répondre à cette définition. Les autres ne sont pour l essentiel que des exercices d application, bien qu ils ne soient pas sans rapport avec les premiers comme on le verra par la suite. Le contexte général de Nippur, sa place centrale dans la vie culturelle mésopotamienne, son prestige, ses archives scolaires exceptionnellement abondantes, son millier de textes et fragments mathématiques de niveau élémentaire conduisent à s étonner de cette rareté. Pourquoi connaît-on si peu de grands textes mathématiques provenant de Nippur? C est une question importante, mais à laquelle il ne sera pas possible de répondre ici. Tout au plus pourra-t-on suggérer au terme de cette étude que ces textes ont dû exister. Il sera difficile d aller plus loin, car cela ouvre des dossiers qui débordent très largement les limites de ce travail. Les investigations devraient en effet se diriger dans plusieurs directions et s éloigneraient rapidement du présent sujet centré sur le corpus de Nippur. Les problèmes suivants devraient notamment être soulevés : Est-il possible que les fouilleurs de Nippur aient découvert des tablettes mathématiques d apparence attractive, et les aient fait disparaitre dans divers trafics? Cette question en amène une autre. La plupart des grands textes mathématiques sont de provenance inconnue et ont été acquis par les musées européens et américains par achat sur le marché des antiquités, en grande partie clandestin. Des tentatives d identification de la provenance de ces textes ont été faites, en particulier sur la base de considérations philologiques portant exclusivement sur les textes écrits en akkadien. Celles-ci ont conduit Goetze 121, puis à sa suite J. Høyrup 122, à constituer des groupes homogènes et à leur attribuer une provenance probable. Curieusement, parmi ces origines possibles, Nippur ne figure pas. Une nouvelle approche de cette classification, tenant compte des études récentes menées sur des corpus localisés comme ceux d Ur et de Nippur, ne conduirait-elle pas à des conclusions différentes? J. Friberg, par exemple, a apporté des amendements à cette classification en prenant en compte 118 Ibid, p. 60-61. 119 Friberg 2000. 120 Robson 2000. 121 Goetze 1945. 122 Høyrup 2002, p. 317-361 (chapitre IX). 51

les textes d Ur écrits en sumérien. Il pense que les textes d un des groupes de Goetze-Høyrup rattaché à la tradition du sud (Groupe 2), dont l origine n avait pas été précisément identifiée, pourraient en fait provenir d Ur 123. Une autre piste pourrait être suivie. On sait que les scribes détruisaient les tablettes scolaires de niveau élémentaire. Que faisaient-ils des autres? Dans quelle mesure étaient-elles conservées, ou échangées? Dans l éventualité où elles auraient été conservées, elles auraient pu être emportées par des scribes en exil 124, par exemple lors de l émigration vers le nord à la suite de la destruction des villes du sud 125 ; ou bien être récoltées au moment de la constitution des grandes bibliothèques du nord au premier millénaire. Dans ces cas, il est possible que ces tablettes aient circulé, et qu on les ait retrouvées (ou qu on les retrouve un jour) loin de Nippur. 123 Friberg 2000, p. 157-159. 124 Voir à ce sujet l émouvante plainte d un scribe de Nippur exilé dans le Nord, présentée et traduite par D. Charpin sous le nom évocateur de «Les malheurs d'un scribe ou de l'inutilité du sumérien loin de Nippur» (Charpin 1992a). 125 Veldhuis 1997, p. 71. 52

4 Nombres et unités de mesure Au premier abord, les numérations et unités de mesures mésopotamiennes paraissent constituer un monde foisonnant et déroutant. Pourtant, on verra que derrière cette diversité, se cache la cohérence d un système unique, tout au moins à Nippur durant l époque paléobabylonienne. Ce système est au cœur des mathématiques cunéiformes, et, dans sa diversité apparente, pose de nombreux problèmes d interprétation et de notation qui seront abordés dans ce chapitre. La question de la conception des nombres sous-jacente sera ensuite, tout au long de l étude des textes mathématiques de Nippur, considérée sous différents angles. Après un bref historique, ce chapitre présentera les différentes unités de mesure et les systèmes numériques qui leur sont associés, puis la numération sexagésimale positionnelle caractéristique des textes mathématiques. 4.1 Système métrologique 4.1.1 Les réformes des poids et mesures La métrologie de Nippur plonge ses racines dans les systèmes de comptes et de mesures du troisième millénaire. Ils ont fait l objet de travaux récents, développés notamment dans le cadre du «workshop on Concept Development in Babylonian Mathematics» de 1983 à 1994 126 ou parallèlement à celui-ci 127. Le système métrologique mésopotamien est, à l époque paléo-babylonienne, remarquablement cohérent, homogène et stable. Ce système normalisé est le résultat d une succession de réformes des poids et mesures qui a dû commencer avec Sargon d Akkad (2334-2279) et s est poursuivie 126 Une partie des travaux du «Workshop de Berlin» a été publiée récemment (Høyrup et Damerow 2001) ; la préface de J. Høyrup retrace l histoire de ce groupe. 127 Les principaux travaux sur les métrologies archaïques sont l œuvre de P. Damerow, R. Englund et H. Nissen (Nissen & al. 1993) et de J. Friberg, en particulier sur les écritures numérales proto-élamites et proto-éblaïtes (Friberg 1978 ; Friberg 1986) ; J. Ritter a publié un article de synthèse sur les transformations des métrologies mésopotamiennes au cours du 3 ème millénaire (Ritter 1999). Enfin, une partie importante des informations présentées dans ce paragraphe provient des travaux de M. Powell, notamment son article du RlA 7 consacré à une description détaillée de toutes les unités métrologiques mésopotamiennes, depuis les époques archaïques jusqu au premier millénaire (Powell 1990). 53

pendant la 3 ème dynastie d Ur (2112-2000) 128. L effort de normalisation est un trait caractéristique des politiques royales de la fin du troisième millénaire, et concerne aussi bien les lois et la métrologie que les autres instruments de pouvoir : écriture, comptabilité, calendriers. Dans le domaine de la métrologie, les réformes s efforcent de redéfinir de façon rationnelle un système cohérent à partir d éléments locaux existants (principalement à Akkad). Le rôle des écoles de scribes dans ce travail d unification appuyé sur des conceptions nouvelles, en particulier des volumes, est fondamental. L action des souverains en faveur du développement de la métrologie normalisée occupe une place importante dans la littérature apologétique (hymnes et codes de lois). Ainsi par exemple, dans un code de lois attribué à Ur-Namma (2112-2095) 129, le fondateur de la 3 ème dynastie d Ur, le scribe lui prête les paroles suivantes (traduction d après M. Roth 130 ) : C est moi qui ai créé le bariga de cuivre et lui ai donné sa valeur : c est 60 sila. C est moi qui ai créé le ban de cuivre et lui ai donné sa valeur : c est 10 sila. C est moi qui ai créé le ban royal légal de cuivre et lui ai donné sa valeur : c est 5 sila. C est moi qui ai créé les unités de poids des roches depuis 1 gin pur jusqu à une mine. C est moi qui ai créé le sila de bronze et lui ai donné sa valeur : c est 1 mine. Le système métrologique issu des réformes de la fin du 3 ème millénaire, désormais nommé dans ce qui suit «système normalisé» sans plus de précision, est constitué de plusieurs ensembles d unités (sous-systèmes) pour les longueurs, les surfaces, les volumes, les capacités et les poids. Parmi ces sous-systèmes, certains sont des constructions composites à partir de systèmes anciens, dont l origine est probablement antérieure à l invention de l écriture, complétés d extensions plus récentes. C est le cas des longueurs, des surfaces et des capacités. D autres sont des créations artificielles issues des réformes d Akkad. C est le cas des volumes et des poids. 4.1.2 Les unités de mesure L écriture des mesures se présente sous la forme d un nombre (n) suivi d une unité (u), sauf pour deux unités de capacités (voir ci-dessous) ; l ordre de lecture n était probablement pas l ordre d écriture 131. 128 La plus ancienne réforme attestée dans les textes remonte en fait à la période DA III (Dynasties Archaïques III, milieu du troisième millénaire). C est la Réforme d Urukagina (vers 2350), roi de Lagash, dont le contenu est politique et social : il s agit de légitimer le pouvoir royal et ses efforts de centralisation par la volonté affichée de protéger la veuve et l orphelin contre les abus des petits pouvoirs locaux (Lafont 1999, col. 167). M. Powell situe plus précisément le cœur des réformes de la métrologie à la période de la dynastie de Sargon, et parle de la «réforme d Akkad» (Powell 1976, p. 424-425 ; Powell 1990, p. 497-498). 129 Certains attribuent cette réforme à Šulgi, successeur d Ur-Nammu : les rois qui consolident les empires manisfestent plus d ardeur réformatrice que ceux qui les fondent (Michalowski 1987, p. 60). 130 Roth 1995, p. 16. On remarquera que la dernière ligne de cette citation attribue au bronze une masse volumique d 1 mine par sila, ce qui correspond à 500g par litre, ce qui est invraisemblable. Soit il s agit d une figure de style sans rapport avec la réalité, soit il s agit d un sila ancien différent de celui du système normalisé. 131 Powell 1971, p. 2-3. On peut d ailleurs remarquer que l ordre supposé de lecture u-n est rétabli dans certaines tables métrologiques du premier millénaire (voir 6.1.6 à propos de W 23273). 54

nombre unité exemple de mesure de surface 1 5/6 sar exemple de mesure de capacité 1 (šar 2 ) 2 (geš u) gur 3600 + 2 600 Tableau 5 : nombres et unités de mesure La dissociation des notions de nombre et d unité de mesure, au moins dans l écriture, est le résultat de transformations de la métrologie au cours du troisième millénaire, et n est pas totalement accomplie pour deux sous-multiples du gur (unité de capacité). Ainsi, les ban 2 et les bariga sont à la fois des nombres et des unités de mesure de capacité : exemples : 3 (ban 2 ) (30 litres) 4 (bariga) (240 litres) Les sous-systèmes métrologiques seront présentés dans ce qui suit de façon synthétique par des diagrammes selon les normes adoptées par J. Friberg 132 : les unités sont énumérées dans l ordre où on les trouve écrites dans les textes (les plus petites à droite), et reliées par des flèches accompagnées des facteurs qui définissent chaque unité par rapport aux autres. Les ordres de grandeur exprimés en système métrique moderne sont notés entre parenthèses sous chaque unité. Je présenterai les différents sous-systèmes dans un ordre qui a une certaine logique géométrique (longueurs, surfaces, volumes, puis capacités et poids), et facilite ainsi l exposé de leurs articulations ; mais ce n est ni l ordre chronologique de création de ces sous-systèmes (trop complexe pour être respecté), ni celui qui est adopté par les scribes dans les listes et tables métrologiques (presque en ordre inverse). On trouvera des tableaux récapitulatifs des sous-systèmes métrologiques et numériques de Nippur en annexe, dans l ordre attesté dans les textes et dans une présentation un peu différente de celle de ce paragraphe (verticale et non horizontale), qui se rapproche davantage de celle des tables métrologiques (Annexe 4 «Systèmes métrologiques»). Longueurs Le sous-système des longueurs est issu de la juxtaposition de systèmes locaux différents : par exemple les unités gi et kuš 3 appartiennent à l un d entre eux, le ninda à un autre 133. Le système normalisé des longueurs est le suivant : danna 30 uš 60 ninda 12 kuš 3 30 šu-si (10,8 km) (360 m) (6 m) (50 cm) (16,6 mm) 132 Voir notamment Friberg 1993, p. 387. 133 Ritter 1999, p. 229. Je désigne systématiquement les unités par leur nom sumérien. Ce choix sera justifié dans les paragraphes suivants. Les gi (1/2 ninda, soit 3 m environ) ne sont plus en usage à Nippur à l époque paléo-babylonienne. 55

Surfaces Le système des surfaces est arrimé à celui des longueurs par le sar, carré de côté 1 ninda : 1 sar 1 ninda 1 ninda L unité gan 2 est définie par son rapport avec les sar : gan 2 100 sar Ces deux unités (sar et gan 2 ) forment la structure de base ancienne du système des surfaces. Mais ce système a été étendu par adjonction d un jeu de sous-multiples issu du système des poids : les gin 2 et les še. Ces unités de surface nouvelles ne sont définies que par le rapport qui les relie aux autres unités de surface, elles ne peuvent pas s exprimer comme des carrés ou des rectangles ayant pour côtés les unités du système des longueurs 134. Ainsi, le système des surfaces est formé d unités définies par des relations internes et constitue un ensemble autonome 135 : gan 2 100 sar 60 gin 2 180 še (3600 m²) (36 m²) (0,6 m²) (33 cm²) Volumes Le système des unités de volume n a pas de prédécesseur ancien attesté. Il est construit comme un décalque de celui des surfaces: chaque unité de volume est égale à une unité de surface affectée d une épaisseur de 1 kuš 3 (50 cm) et porte le même nom 136. 1 sar v = 1 sar s d épaisseur 1 kuš 3 1 (gan 2 ) v = 1 (gan 2 ) s d épaisseur 1 kuš 3 Les rapports entre unités de volume sont donc les mêmes que les rapports entre unités de surface. gan 2 100 sar 60 gin 2 180 še (1800 m 3 ) (18 m 3 ) (300 dm 3 ) (1,7 dm 3 ) Cette définition a des conséquences importantes dans la conception des volumes : 134 Powell 1990, p. 478. 135 Cet aspect a été mis en évidence par J. Ritter (Ritter 1999, p. 224, 229). 136 Pour distinguer les unités de surface et de volume de même nom, il est d usage dans les traductions de placer un S ou un V en indice. 56

- Les volumes sont orientés, les dimensions horizontales ne sont pas de même nature que la dimension verticale. - La représentation d un élément de volume est la «surface épaisse». Un volume est pensé comme une pile de surfaces, de même que certaines surfaces sont pensées dans les cadastres anciens comme des agrégats de bandes 137. Le cube n est donc pas un volume naturel de référence, mais un cas très particulier de prisme dont «la hauteur est égale au côté de la base carrée» 138 et traité comme objet de problème mathématique. L étude des tables métrologiques et des problèmes de volume de Nippur sera l occasion d examiner en détail les conséquences de ces conceptions sur les méthodes de calcul. Certaines de ces conséquences ont été indiquées dès les origines de l histoire des mathématiques cunéiformes, notamment par F. Thureau-Dangin. On peut citer également F. M. Allotte de la Fuÿe 139 à ce sujet : Pour rétablir 1 homogénéité entre les deux expressions [šar-volume et šar-surface 140 ], il faut multiplier la deuxième par 1 kùš, ce qui nous conduit à admettre que le šar, que nous connaissions comme unité superficielle, était également employé comme unité cubique ; par là, il faut entendre que le šar, unité cubique, représentait le volume d un prisme ayant pour base 1 šar superficiel et pour hauteur constante 1 kùš, hauteur qui n est pas exprimée et qu il faut rétablir dans les calculs. Capacités Les systèmes de capacités sont non seulement très anciens, mais encore fortement ancrés dans les pratiques, en particulier dans l usage des récipients étalon, et ils n ont été de ce fait que lentement et incomplètement remplacés par le système normalisé 141. L unité fondamentale de capacités est le gur, avec ses sous-multiples (bariga, ban 2, sila 3 ). Plusieurs définitions du gur ont existé. C est celui d Akkad qui est devenu le «gur royal» intégré au système normalisé probablement pendant la période d Ur III 142. Le nouveau «gur d Agade» est le symbole de la mesure universelle 143. Le système des capacités est rattaché au système des volumes par la relation : 60 gur = 1 sar v Le système des capacités est, comme les autres systèmes anciens, composite. Il est basé sur le gur et ses sous-multiples, avec une extension : le gin 2. 137 Dans les cadastres d époque néo-sumérienne, les surfaces des champs de forme irrégulière sont souvent découpées en bandes trapézoïdales pour le calcul des surfaces ; cela renvoie à la forme des champs «en lanières» dans certaines régions à cette époque (Liverani 1990). 138 Voir énoncés des problèmes de cube, par exemple CBS 11681 ( 7.8.1). 139 Allotte de la Fuÿe 1907, p. 77. 140 Le signe d unité de surface transcrit, «sar» aujourd hui, a longtemps été transcrit «šar». 141 Powell 1990, p. 493. 142 Ibid, p. 493. 143 Glassner 1986, p. 11. 57

gur 5 bariga 6 ban 2 10 sila 3 60 gin 2 (300 litres) (60 litres) (10 litres) (1 litre) (17 cm 3 ) Relations entre volumes et capacités Le sous-système des capacités est héritier d une conception ancienne des quantités, où les unités sont fortement attachées à la nature de ce qui est mesuré (huile, grain). La notion de capacité est concrète, physique, liée à la matière et à divers contenants (récipients étalon, silos). Moins naturelles et plus abstraites, les unités de volume sont une création de scribes élaborée dans le cadre des réformes de la métrologie du troisième millénaire. Les capacités ont cependant continué à coexister avec les volumes, chaque sous-système occupant une place spécifique dans les usages : les capacités dans le domaine pratique, et les volumes dans le domaine savant des mathématiques. L équivalence fondamentale entre ces deux types de mesure des grandeurs spatiales n a cependant pas échappé aux concepteurs du système. Le gur d Akkad d origine locale s est trouvé, par hasard sans doute, avoir le même ordre de grandeur que le gin 2 -volume fabriqué artificiellement : 1 gur = 1 gin 2 -volume Cette relation a donné au «gur royal» le statut d emblème du système normalisé, clef de voûte de sa cohérence. La conscience de cette équivalence est claire dans certains problèmes, où on trouve des conversions de volume en capacité 144. Mais ce genre de question est typiquement mathématique, et ne se pose pas dans la pratique où seules les capacités sont d usage courant. Poids Le sous-système des poids a été créé à partir de la seule unité d origine ancienne attestée : le gu 2, 30 kg environ, quantité naturelle correspondant à une charge d homme 145. Cette unité a été dotée d un jeu de sous-multiples où le facteur 60 est prédominant : gu 2 60 ma-na 60 gin 2 180 še (30 kg) (500 g) ( 8 g) ( 0,04 g) Le sous-système des poids est lié aux autres par un système de coefficients. Ceux-ci peuvent être interprétés comme des masses volumiques en mines (ma-na) par sar v ; ils sont répertoriés dans diverses listes qui ont fait l objet d une étude exhaustive par E. Robson 146. 4.1.3 Systèmes numériques dans la métrologie Les nombres associés aux unités de mesure sont exprimés dans plusieurs systèmes différents selon les unités concernées. Tous ces systèmes sont de principe additif, sauf peut-être pour le cas 144 Voir par exemple YBC 4607 où il s agit de calculer le volume et la capacité d une brique connaissant ses dimensions. Dans BM 85194, citée dans le 7.6.3, une des étapes du calcul est une conversion du volume d un bateau en capacité. 145 Pour plus de détails concernant les aspects historiques, voir notamment Powell 1990, p. 508 et Thureau-Dangin 1932, p. 39. 146 Pour le cas des briques, voir Robson 1999, p. 62-65 et Friberg 2001, p. 70-71. 58

des ninda (voir ci-dessous). La présentation des systèmes numériques qui suit se fonde sur les sources de Nippur (les rares variantes constatées seront signalées dans 6.1 et dans le Tome 2). Système standard La majorité des unités ne nécessite pas l usage de nombres supérieurs à 60, les unités d ordre supérieur prenant le relais. Le système numérique utilisé, aussi bien dans les tables métrologiques que dans les exercices et problèmes, est le même pour toutes ces unités : ce sont des nombres entiers écrits en système décimal additif, complétés par quelques fractions usuelles. Pour chacune de ces unités, la liste ci-dessous précise l intervalle des nombres entiers associés 147 : gin 2 : nombres de 1 à 19 sila 3 : nombres de 1 à 9 še : nombres de 1 à 29 ma-na: nombres de 1 à 59 sar : nombres de 1 à 49 šu-si : nombres de 1 à 9 kuš 3 : nombres de 1 à 5 ninda : nombres de 1 à 59 uš : nombres de 1 à 14 danna : nombres de 1 à 59 Les entiers sont écrits au moyen de 1 ( ) et de 10 ( ), répétés autant de fois que nécessaire. La graphie est en général normalisée comme celle des nombres sexagésimaux positionnels, c est-àdire que les signes sont groupés par rangées de trois (voir paragraphe suivant). Cependant, on trouve assez souvent des dérogations à la règle du groupement par 3 ; dans le contexte des tables numériques, cela peut trahir des graphies anciennes, mais dans le contexte de la métrologie, il serait hasardeux d y trouver une signification chronologique 148. Les fractions sont représentées par des signes spéciaux pour les plus courantes (fractions usuelles) : 1/3 1/2 2/3 5/6 Pour les autres fractions, il est fait usage de la forme générale igi-n-gal 2 (n ème partie de 1). Dans les texts mathématiques de Nippur, seules les fractions 1/6 et 1/4 sont attestée : igi-6-gal 2 (1/6) igi-4-gal 2 (1/4) Systèmes S et G Dans le cas des unités les plus grandes de trois des sous-systèmes (gur pour les capacités, gu 2 pour les poids, gan 2 pour les surfaces), les nombres dépassent 60 et sont exprimés au moyen de 147 On ne s intéresse pas, dans ce paragraphe, au rapport qui existe entre les différentes unités (se reporter pour cela à l Annexe 4 «Systèmes métrologiques»), mais uniquement à l écriture des nombres. 148 Au sujet de l utilisation des graphies numériques dans la datation des textes, voir Oelsner 2001. Il montre en particulier que le genre du texte doit être pris en compte tout autant que l épigraphie. A Nippur, les graphies archaïques disparaissent des tables numériques au début du deuxième millénaire, mais restent couramment pratiquées dans les textes administratifs jusqu à la fin de l époque paléo-babylonienne. 59

systèmes particuliers appelés S pour les gur et gu 2, et G pour les gan 2 149. Ils sont de principe additif, donc les ordres de grandeur sont déterminés. Ces systèmes permettent d atteindre des valeurs couvrant largement les besoins pratiques et les situations de l entraînement scolaire. Système S Il couvre une échelle de 1 (diš) à 2 160 000 (šar 2 -gal šu nu-tag = «que la main ne touche pas») šar 2 -gal šu nu-tag 10 šar 2 -gal 6 šar u 10 šar 2 6 geš u 10 geš 2 6 u 10 diš Système G Il couvre une échelle de 1/2 (ubu) à 648 000 (šar 2 -gal šu nu-tag) šar 2 -gal šu nu-tag 10 šar 2 -gal 6 šar u 10 šar 2 6 bur u 10 bur 3 3 eše 3 6 iku 2 ubu Il n y a pas de système numérique particulier pour les danna, la plus grande des unités de longueur. Un tel système n est en fait pas nécessaire dans la pratique, car les longueurs utilisées dans les textes ne dépassent pas 59 danna (environ 600 km), et le système numérique standard convient. Cas des ninda Dans les textes mathématiques, ainsi que dans les relevés cadastraux, il est couramment fait usage d une notation sexagésimale d apparence positionnelle réduite à deux places pour les ninda, où la mention de l unité supérieure (uš) disparaît. Exemple : YBC 4612, face, ligne 1 3.45 ninda uš 1.20 ninda sag 3.45 ninda la longueur, 1.20 ninda la largeur 3.45 ninda doit être compris «3 uš 45 ninda», 1.20 ninda doit être compris «1 uš 20 ninda». L idéogramme uš a deux sens : le sens d unité de longueur que nous venons de voir, mais aussi le sens de grand côté d un rectangle. Dans certains cas, on trouve les deux termes uš côte à côte, avec ces deux sens différents. On peut citer par exemple le problème 6 de YBC 4666 : pa 5 -sig 5 uš uš 2 kùš dagal 1 kùš bùr-bi 1/3 gin 2 éš-kàr Un canal. 5 uš sa longueur, 2 kùš sa largeur, 1 kùš sa profondeur, 1/3 gin 2 la norme de travail. Ce dernier exemple montre que l écriture des nombres de positionnelle : en cas d ambiguïté, l unité uš est restituée. ninda n est pas fondamentalement Translittération Le principe de translittération adopté ici est celui qui est généralement pratiqué aujourd hui dans les publications concernant les mathématiques cunéiformes : tous les signes sont transcrits. 149 Le système S est à l origine (ca 3100) un système de compte des têtes de bétail à Uruk ; les systèmes S (pour les longueurs) et G (pour les surfaces) sont attestés dans les calculs de surfaces de champs de Jemdet Nasr au début du 3 ème millénaire (Ritter 1999, p. 219-223). 60

Lorsque les noms d unités numériques et métrologiques ne sont pas explicites (c est-à-dire qu ils sont intégrés à l écriture des chiffres eux-mêmes), ils sont restitués entre parenthèses 150. exemple 1 : translittération de tous les signes écrits 1 1/2 sila 3 exemple 2 : translittération des noms de nombre implicites 2 (eše 3 ) 3 (iku) gan 2 exemple 3 : translittération des noms d unité implicites 2 (bariga) 4 (ban 2 ) še Remarque : les assyriologues traduisant de textes administratifs font souvent usage par pour les capacités (sila 3, ban 2, bariga, gur) d une transcription qu ils qualifient de «notation positionnelle». Prenons un exemple provenant d un texte administratif d Umma (Genouillac 1922, TCL 5, AO 5670, face, ligne 1) : Dans cette «notation positionnelle» moderne, le gur est considéré comme l unité de base, et donc l ordre des gur est séparé des fractions de gur (bariga, ban 2 et sila 3 ) par une virgule 151 : 3.13,0.2.5 sila 3 še gur lugal Pour ma part, je ne ferai jamais fait usage de ce système de «notation positionnelle», car il masque le principedu système ancien qui est additif. Je choisirai la translittération qui suit les règles énoncées plus haut : 3 (geš 2 ) 13 (gur) 2 (ban 2 ) 5 sila 3 še gur Les unités de mesure ne seront pas traduites, et garderont systématiquement leur nom sumérien. Plusieurs raisons ont guidé ce choix : 1- Si on traduit les unités de mesure, il faut les traduire toutes. L usage a consacré certaines traductions : kuš 3 ( 50 cm) = coudée (en français) = cubit (en anglais) = Elle (en allemand) = etc., mais ninda ( 6m) n a pas trouvé d équivalent dans les systèmes de mesure européens anciens non normalisés et reste ninda dans les traductions. 2- Les traductions font appel à un stock lexical appartenant à plusieurs systèmes métrologiques européens différents, qui ont pour point commun de n avoir rien à voir avec celui de Mésopotamie. 3- On introduit ainsi dans la traduction une dimension locale, alors qu un des traits majeurs du système savant mésopotamien est son caractère unifié et homogène. 4- Le vocabulaire métrologique mésopotamien est abondant, et on s y perd aisément ; si les différentes langues modernes ajoutent chacune à la longue liste des termes sumériens et akkadiens un lexique local 150 Voir par exemple Nissen & al. 1993, ainsi que les nouvelles normes de translittération en vigueur dans les éditions électroniques (http://cdli.ucla.edu/). L édition par le CDLI de la tablette AO 5670 dont il est question ciaprès, par exemple, adopte ces normes. Concernant le domaine des archives administratives, les habitudes de transcription des mesures de capacités sont différentes, elles font usage d un système positionnel (voir ce qui suit). 151 Dans les publications en langue française, le point est un séparateur de «chiffres», et la virgule sépare la partie s, lentière de la partie fractionnaire (à la place respectivement des virgules et points-virgules qu on trouve dans les publications anglo-saxones). 61

supplémentaire qui n a pas grand sens, cela rend la situation passablement confuse. Je laisserai dans la traduction les numéros des signes cunéiformes en indices qui figurent dans les translittérations (ban 2, sila 3, etc.) ; dans le catalogue, en revanche, j ai simplifié l écriture (ban pour ban 2, etc. ; voir introduction du catalogue dans le Tome 2). 4.1.4 Cardinaux Des nombres cardinaux, c est-à-dire des dénombrements d objets, d animaux ou de personnes, seront rencontrés au cours de cette étude dans des textes de diverses provenances 152. Dans ces exemples, l écriture permet de déterminer l ordre de grandeur sans ambiguïté. Les nombres inférieurs à 60 sont écrits selon le système décimal additif décrit plus haut. Dans les nombres supérieurs à 60, le nom de l ordre de grandeur (šu-ši = soixantaine 153 ; écrit. exemples = 10 soixantaines) est traduction A 24194, colophon : 4 šu-ši im-šu 4 soixantaines de sections YBC 10722, rev. l. 2 : 9 šu-ši sig 4 9 soixantaines de briques Tableau 6 : exemples de nombres cardinaux Dans les textes administratifs, trouve fréquemment le signe pour 60 comme pour 1, et l écriture se rapproche d un système positionnel ; le contexte, et parfois la taille des clous (plus grands pour les soixantaines que pour les unités), permet en général de lever le doute sur la valeur du signe. 4.2 Système sexagésimal positionnel Les systèmes numériques et métrologiques présentés jusqu à présent sont attestés aussi bien dans les textes mathématiques que dans les autres genres, en particulier les textes administratifs. Les nombres sexagésimaux positionnels sont spécifiques aux textes mathématiques. 4.2.1 Principe Les nombres sexagésimaux positionnels se présentent dans les textes cunéiformes comme une suite de nombres entiers inférieurs à 60 occupant des places (ou positions) successives : 152 Il s agit d une documentation provenant de Mésopotamie centrale ou méridionale. La notation des nombres cardinaux dans les textes du nord peut s écarter notablement de celle qui est décrite ici. On trouve par exemple à Mari des dénombrements faisant usage de systèmes hybrides sexagésimaux et décimaux, et d un système centésimal positionnel (Soubeyran 1984 ; Durand 1987 ; Guichard 1997 ; Proust 2002). 153 Thureau-Dangin traduit ce terme par «sosse», expression un peu désuète mais qui convient aussi parfaitement. 62

exemple : 44.26.40 Selon le principe positionnel sexagésimal (à base 60), tout groupe de 60 unités d une place est converti en unité de la place suivante (dans le sens de droite à gauche). L écriture n indique pas la position des unités absolues (comme nous le faisons dans notre numération en utilisant des marqueurs tels que zéros en position finale et virgule). Dans chaque place se trouve un nombre écrit en notation décimale additive (dans l exemple cidessus, la deuxième place est occupée par le nombre 26) ; ce nombre décimal est composé de dizaines et d unités qu on peut appeler «chiffres». Chaque chiffre est composé de signes (le «chiffre» 20 est composé de deux chevrons ). Ecriture des chiffres Dans les écoles paléo-babyloniennes, la graphie est normalisée et suit la règle générale suivante : les clous et les chevrons sont groupés par rangées de 3 éléments maximum. unités : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 dizaines : 10 20 30 40 50 Graphies particulières Dans les tables de multiplication et de carrés, 19 est écrit 20 moins 1 : (20 la 2 1) ou bien (20 lal 2 1) En général, le «1» est écrit curieusement en position inclinée ou horizontale. Il arrive que la règle des groupements par 3 ne soit pas respectée. Si cela se produit dans un contexte de calcul numérique scolaire (par exemple une table numérique), on peut penser que la tablette est de datation ancienne (fin du troisième millénaire ou tout début du deuxième) 154. Ces graphies anciennes concernent l écriture de 4, 7, 8 et 9 d une part, 40 et 50 d autre part : 4 7 8 9 40 50 Il est probable que des raisons de confort de lecture ont dû pousser à la généralisation de la règle du groupement par 3 : jusqu à 3 éléments, la lecture se fait «d un seul coup d œil», sans nécessité de dénombrer, elle est ainsi rapide et sûre. On voit immédiatement, en regardant les ou 154 La normalisation de l écriture des chiffres dans le contexte des textes numériques est complète à de l époque paléo-babylonienne, mais les graphies d origine ancienne restent très fréquentes dans les textes administratifs jusqu à la fin de cette époque (Oelsner 2001). 63

exemples ci-dessus, que la distinction du 7, du 8 et du 9 dans les graphies qui ne respectent pas la règle du groupement par 3 est assez pénible et demande un dénombrement des clous qui peut être source d erreurs (en particulier quand l écriture est minuscule, comme dans Ni 374*). 4.2.2 Problèmes de notation Le problème de la notation en caractères modernes des nombres sexagésimaux positionnels cunéiformes se pose à deux niveaux : celui de la translittération qui doit rendre compte le plus fidèlement possible des signes écrits sur l argile, et celui de la traduction qui est plus fortement chargé d interprétation 155. Il n y a pas de règle en la matière, et les choix des spécialistes des mathématiques cunéiformes sont assez variés. Certains font également des distinctions dans les notations entre les niveaux de la traduction et du commentaire, ou entre les problèmes et les tables. Par delà leur diversité, ces choix de notation ont pour trait commun de considérer qu il faut forcément, à un moment ou un autre, restituer les ordres de grandeur que l écriture cunéiforme laisse indéterminés. Quelques exemples de ces notations aux différents niveaux sont rassemblés dans le Tableau 7 suivant : exemple translittération traduction commentaire référence problème : BM 13901 #2 14.30.15 14`30 15' Thureau-Dangin 1938, p. 1 problème : AO 8862, face III, l. 13 1.40 a-ra 2 1.40 2.46.40 1.40 1.40 = 2.46.40 1 sosse 40 unités 1 sosse 40 unités = 2 sares 46 sosses 40 unités Thureau-Dangin 1930b, p. 73, 75 problème : AO 8862, l. 7 problème : AO 8862, l. 13 problème : AO 8862, l. 13 calcul : UET 6/2 222 problème : YBC 4662 #22 problème : YBC 6967 table : 3N-T 316 problème : CBS 11681, l. 7 3 3,0 Neugebauer 1935-7, MKT I, p. 108, 113 14,30 a-ra 2 14,30 3,30,15 14;30 mal 14;30 (ist) 3,30;15 Neugebauer 1935-7, MKT I, p. 108, 113 14.30 a-ra 2 14.30 3.30.15 14 30' steps of 14 30', 3 30 15' Høyrup 2002a, p. 164 (translit. conforme) Friberg 2000, p. 1 7 4 4 9 17 4 49 4 49 = 17 108 1 06 40 1 06 40 ; 1 06 40 Friberg 2000, p. 127 Quelle est la racine de 1 12 15? 8 30 1.12;15 = 8;30 Ritter 1989, p. 59 10 danna 5 10 danna = 5 00 00 Robson 2002b, p. (ninda) 335 1 15 0 ; 01 15 Robson 2000, p. 32 Tableau 7: exemples de notation des nombres 155 Neugebauer insiste sur la différence entre la translittération et la traduction dans la notation des nombres, l usage des «zéros» étant réservé aux traductions (Neugebauer 1932/1933). 64

Tous les auteurs cités ci-dessus introduisent un ordre de grandeur, au niveau de la traduction pour les uns (Thureau-Dangin, Neugebauer, Høyrup, Robson), ou de façon différée au niveau du commentaire pour les autres (Friberg, Ritter) ; l ordre de grandeur est en général signalé par une marque qui fixe la position des unités (zéro écrit en position finale ou séparation de la partie entière et de la partie fractionnaire par un point-virgule) ; mais F. Thureau-Dangin et J. Høyrup préfèrent un système plus souple qui ne fixe l ordre de grandeur que de façon relative, en introduisant des symboles spéciaux comme degré ( ), minute ( ), seconde ( ), etc. On note des différences dans les règles de translittération adoptées par les uns et les autres. J. Friberg introduit une «translittération conforme» plus proche de l écriture cunéiforme que la translittération ordinaire : il distingue les dizaines et les unités dans l écriture 156. Reprenons l exemple du tableau ci-dessus (UET 6/2 222) : écriture cunéiforme translittération conforme translittération ordinaire 1 7 4 4 9 17 4.49 La translittération ordinaire regroupe les chiffres occupant les différentes places sexagésimales (17, 4, 49), et identifie les nombres sexagésimaux (17 et 4.49). La translittération conforme s abstient de ce niveau minimal d interprétation ; elle est peu lisible, mais très utile pour la translittération des calculs non identifiés, où donc on ne reconnaît pas les différents nombres. E. Robson et J. Ritter n utilisent pas de point ou de virgule dans la translittération, mais séparent simplement les différentes places sexagésimales par des espaces (par exemple, 4 49 au lieu de 4.49). Mais si plusieurs nombres différents sont écrits à la suite, la séparation des places sexagésimales dans un nombre ne se distingue pas de la séparation des nombres entre eux, sauf à utiliser des espaces plus grands pour ces derniers. Dans l exemple ci-dessus, cela donne : 17 4 49 La longueur des espaces peut être difficile à gérer dans l écriture d un texte. Dès lors que les nombres sont identifiés, il me paraît donc plus lisible de les délimiter en utilisant des signes de liaison (point ou virgule, c est sans importance). C est le même principe qui est utilisé dans la translittération du sumérien ou de l akkadien. Par exemple, dans les exemples cités ci-dessus dans le Tableau 7, les signes /a/ et /ra 2 / sont reconnus comme appartenant à la même chaîne nominale, et sont donc reliés par un tiret : a-ra 2 (fois). Pour ma part donc, j adopterai les règles qui sont celles de F. Thureau-Dangin et J. Høyrup dans les translittérations et les transcriptions : elles sont simples et assurent une bonne lisibilité. Les nombres occupant les places sexagésimales («chiffres» sexagésimaux») sont : - notés dans notre système décimal positionnel (4 et 49 dans l exemple ci-dessus). - reliés entre eux par des points (4.49 dans l exemple ci-dessus). Dans les calculs non identifiés, j adopterai le système de translittération conforme de J. Friberg. Mais, à la différence de ces auteurs, je ne restituerai les ordres de grandeur absolus des nombres sexagésimaux ni dans la translittération, ni dans la traduction, ni dans les commentaires. Cette notation neutre n a pas pour ambition d être plus fidèle au texte que les autres : le texte est trahi dès l étape de la translittération, quelles que soient les notations adoptées. Il s agit avant tout de poser plus clairement les questions relatives à la reconstitution des calculs effectués par les 156 Friberg 1981, p. 280-282. 65

scribes. Mon hypothèse est en effet que la notation de la valeur absolue des nombres par des symboles modernes dissimule les méthodes de calcul anciennes en évitant ces questions. Ce point de vue n élimine pas le problème des ordres de grandeurs, mais conduit à le traiter en fonction des différents contextes où il se pose (calculs, tables numériques, problèmes mathématiques). Le calcul proprement dit peut nécessiter une détermination des positions relatives des chiffres sexagésimaux les uns par rapport aux autres, par exemple dans les cas où des additions et des soustractions sont à effectuer à une étape ou à une autre. Pour résoudre ce problème, il faut garder à l esprit le fait que les pratiques de calcul ne se limitent pas au texte écrit. Une partie importante des opérations devait s effectuer hors des tablettes, par des moyens matériels où la disposition des nombres devait jouer un rôle crucial. Bien que ces phases du calcul n aient laissé que des traces indirectes (par exemple dans certaines erreurs systématiques 157 ) et qu il soit aujourd hui impossible de se représenter de façon précise ces dispositifs, je ferai appel à une disposition des nombres les uns sous les autres analogue à celle qu on pourrait trouver sur un instrument matériel pour reconstituer certaines suites de calcul qui étaient probablement effectuées «hors texte». Il faut souligner à ce propos que l usage d une numération positionnelle sans indicateur de la position des unités n est pas propre à la Mésopotamie, elle est également un des fondements du calcul ancien chinois sur instrument de calcul 158. Bien que les pratiques de calcul soient très différentes dans ces deux contextes, les unes comme les autres s appuient sur un va-et-vient entre le texte écrit et les pratiques de calcul matériel. Tels qu ils sont écrits dans les tables numériques, les nombres sexagésimaux positionnels cunéiformes ne sont a priori que des suites de chiffres sans ordre de grandeur ; ces suites sexagésimales ont été appelées «nombres abstraits», par Thureau-Dangin 159, dont je reprendrai la formulation. Ce point de vue peut avoir des conséquences déroutantes parfois, mais ne gêne aucunement le calcul, comme on le verra dans les pages qui suivent. Par exemple : 2 30 = 1 35.33.20 3.22.30 = 2 30 30 = 15 Les «nombres abstraits» 2, 30, 1, 35.33.20 etc. ne doivent pas être compris comme des quantités (dans ce cas, les égalités seraient fausses), mais comme des listes de nombres possédant certaines propriétés et soumises à des règles de calcul précises qui apparaîtront au cours de la description du cursus mathématique élémentaire de Nippur. Le signe «=» n est pas une identité entre des quantités, mais seulement une équivalence d écriture : il signifie «s écrit comme». La notation sans «zéro» en position finale a des conséquences arithmétiques. La notion d ordre se présente de façon particulière dans cet ensemble de nombres abstraits sans «quantité». L ordre lexicographique (classement des nombres selon le premier chiffre à gauche, puis le deuxième, etc.) y joue un rôle important : par exemple, dans les séries numériques, les tables de multiplication sont énumérées dans l ordre lexicographique décroissant de leur nombre principal (voir 6.2). La notion de divisibilité devra également être adaptée à ce système numérique où le concept de nombre entier pose problème (voir 7.2 à propos de CBS 1215). 157 Høyrup 2002b ; Proust 2001. 158 Chemla 1994. 159 Thureau-Dangin 1930a. Par opposition, les nombres associés aux unités de mesure, d ordre de grandeur déterminé, sont appelés par F. Thureau-Dangin «nombres concrets». 66

Signalons également l intérêt d une notation qui a des propriétés analogues à ce qu on appelle aujourd hui l écriture en «virgule flottante» pour le calcul : toutes les opérations étant ramenées à des manipulations de listes d entiers, elle permet des algorithmes de calcul extrêmement simples 160. Il est ainsi facile de programmer les opérations de base (multiplications, inverses, racines carrées et cubiques, puissances) et de générer toutes les tables numériques standard, ainsi que les suites géométriques et les listes de paires d inverses. Un fichier unique incluant toutes les tables numériques attestées en Mésopotamie permet une recherche automatique presque toujours fructueuse et ainsi une identification rapide de fragments parfois réduits à quelques chiffres. Les logiciels de calcul formel, et notamment Mathematica que j ai choisi d utiliser, se prêtent par nature au traitement des listes et permettent de réaliser ces programmes. On trouvera en annexe quelques exemples réalisés grâce à Mathematica (Annexe 2, «Suites géométriques»). Les tables numériques données dans le fascicule d édition des tablettes d Istanbul (Tome 2) ont été fabriquées avec Mathematica, et sont donc exemptes d erreurs. 160 Un informaticien tel que D. Knuth a été fasciné par le système sexagésimal mésopotamien ; il a écrit des remarques profondes sur cette numération et sur l avantage des nombres sans ordre de grandeur pour le calcul automatique (Knuth 1972; Knuth 1976). 67

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5 Description des tablettes Dans cette partie, je mettrai en place un système descriptif adapté au type de textes très fragmentaires et souvent répétitifs qu on trouve sur les tablettes scolaires. Ce système doit permettre, d une part d observer les tablettes dans leurs aspects matériels et leur typologie, d autre part d analyser les textes. Les textes seront examinés sous deux angles : leur structure (unités de textes, styles et marques visuelles ou textuelles) et leur contenu (catégories de textes). De ces deux points de vue, il conviendra de distinguer les textes de niveau élémentaire, où domine largement la forme des listes, et les textes de niveau avancé de forme plus rédigée. Les outils d analyse construits dans cette partie concernent principalement les textes de niveau élémentaire. La forme très particulière des listes requiert des méthodes et une terminologie adaptées. Le texte est éclaté en plusieurs centaines de fragments nécessitant de faire appel à des méthodes statistiques et à l exploitation d une base de données. Un vocabulaire spécifique s est développé en assyriologie dans le cadre des études des listes lexicales 161, permettant ainsi le développement de systèmes descriptifs répondant aux exigences de l informatisation, et je m efforcerai de rester aussi proche que possible des usages en vigueur dans ce domaine, tout en les adaptant à la nature particulière des séries mathématiques. Par ailleurs, la conception et l exploitation de la base de données reposent sur un vocabulaire réduit, mais homogène. «Pour rendre possible la mécanisation de l information, il est indispensable de créer des systèmes descriptifs permettant de donner de la réalité une représentation symbolique stable» 162. Le vocabulaire issu de ces contraintes a été rapidement présenté en introduction, et sera explicité de façon plus détaillée dans ce chapitre. Etablir le texte des listes mathématiques de niveau élémentaire pose des problèmes spécifiques. La difficulté provient de la segmentation du texte sur les tablettes en séquences de longueurs variables et de l existence de nombreux duplicata, aucune tablette ne contenant la totalité du texte et pouvant de ce fait tenir lieu de référence. On distinguera donc d une part un texte reconstitué, appelé texte composite (voir définition dans l introduction du Tome II), d autre part les textes réels écrits sur les tablettes. Le texte composite est un agrégat de toutes les entrées attestées dans les différentes sources de Nippur. Il est artificiel dans la mesure où il n existe dans son intégralité dans aucune tablette. J ai établi ce texte composite à partir de toutes les sources auxquelles j ai eu accès, et on trouvera l intégralité de ce texte dans le Tome II (p. 4 ss.). La distinction entre le 161 Chiera 1916 ; Civil & al. 1969, 1995 ; Cavigneaux 1983 ; Veldhuis 1997 ; Tinney 1999. 162 Guimier-Sorbets 1990 p. 33. 69

texte composite et le texte écrit est au cœur de la méthode de description des textes de niveau élémentaire développée dans le chapitre 6. Elle peut avoir des conséquences importantes. Par exemple, la «fin» d un texte est une notion qui n a pas la même signification selon qu il s agit du texte théorique reconstruit ou d un texte réel écrit sur une tablette particulière. Dans quelle mesure cette distinction permet de mieux comprendre le mode de transmission des connaissances, appuyé à la fois sur la mémorisation et l écriture? C est une des questions auxquelles je m intéresserai particulièrement. 5.1 Aspects matériels 5.1.1 Orientation et colonnes D une façon générale, les tablettes ont une face plane et un revers bombé, cette convexité étant plus ou moins marquée. Elles se lisent d abord de haut en bas sur la face, se tournent autour de la tranche inférieure selon un axe de rotation horizontal, puis de haut en bas sur le revers. Ainsi, le bord droit sur la face et le bord droit sur le revers appartiennent à la même tranche. Il arrive que les lignes des textes de la face et du revers se prolognent sur cette tranche droite, et s entremêlent (ils sont alors écrits «tête bêche» l un par rapport à l autre). Les surfaces (face et revers) peuvent être divisées en colonnes. Les colonnes se succèdent de gauche à droite sur la face, et de droite à gauche sur le revers (cependant que, au sein d une colonne, la lecture se fait toujours de gauche à droite). Figure 4 : orientation des tablettes Il y a néanmoins des exceptions. Dans le lot d Istanbul, 6 tablettes ont un axe de rotation vertical, comme les pages d un livre, et non horizontal : Ni 10214 (type II) vide (effacé); table métrologique C Ni 3227* (type II) table métrologique L; table métrologique S Ni 3639 (type I?) liste métrologique C Ni 4802 (type II?) liste métrologique L?; liste ou table métrologique C Ni 4840*+ UM 29-13-711 (type II) liste lexicale Urra 4 (na 4 ); liste métrologique C Ni 5303 (type II) liste lexicale Proto-Ea; liste ou table métrologique. 70

L ordre normal des colonnes est toujours respecté sur la face, mais pas toujours sur le revers. Ce n est donc pas un critère infaillible d identification des faces et revers. N. Veldhuis 163 a constaté que l ordre gauche-droite des colonnes sur les revers est plus fréquent dans les exercices de débutants, et diminuait lorsque le niveau des étudiants s élevait. On verra plus loin que la fréquence de ces dérogations dépend aussi du type de tablette. On rencontrera à propos des tables métrologiques et numériques un autre type de colonnes. Un item peut être constitué de deux éléments mis en correspondance, par exemple une mesure de longueur et, en vis-à-vis, le nombre sexagésimal correspondant. La liste des items forme dans ce cas des «sous-colonnes», dont les lignes ne peuvent absolument pas être décalées les unes par rapport aux autres (comme peuvent l être les colonnes de mise en page décrites ci-dessus). Exemple : début de la table des capacités sous-colonne 1 sous-colonne 2 1 gin 2 še 1 1 1/3 gin 2 1.20 1 1/2 gin 2 1.30 1 2/3 gin 2 1.40 1 5/6 gin 2 1.50 Il arrivera que, lorsqu il n y a pas d ambiguïté sur le sens du mot, ces sous-colonnes soient nommées par commodité des colonnes. 5.1.2 Préparation de la tablette Les étapes de l inscription d un texte sur la tablette sont décrites par N. Veldhuis 164 à partir de l observation d exemplaires inachevés dans le cas des listes d objets en bois. Le scribe trace les traits de colonnes, puis les lignes dans la première colonne, formant des cases. Les cases sont remplies en parallèle : un signe qui se répète dans toutes les cases de la colonne est écrit à la chaîne, ensuite les cases sont complétées. Puis le scribe passe à la colonne suivante selon la même méthode. Cette stratégie est fréquente dans les textes scolaires. Bruins 165 décrit une erreur dans la tablette IM 55111, où les multiplicandes et les produits sont décalés d une ligne. Ce décalage peut être le résultat de cette méthode d écriture. Les écoliers d aujourd hui qui recopient des tables de multiplication procèdent souvent de cette manière. L instrument d écriture est un calame, c est-à-dire une tige taillée en biseau qui, d après son nom sumérien, devait être fabriquée à l origine en roseau 166. La texture fibreuse de la plante laisse parfois des traces cannelées dans l impression des signes sur l argile, et produit un effet de redoublement des chevrons ou des «jambes» de clous. C est particulièrement visible sur les 163 Veldhuis 1997, p. 35. 164 Ibid, p. 33-34. 165 Bruins 1954, p. 55 166 Tanret 2002, p. 25. 71

tablettes Ni 18*, Ni 894 et Ni 3909* (voir copies et photos). Ce détail peut avoir des conséquences sur la lecture des chiffres et être une source d erreurs : par exemple, dans Ni 3909*, le signe 30 écrit à gauche de la tablette semble contenir beaucoup plus de 3 chevrons. Ni 3909 30 ma-na 5.1.3 Cases (im-šu) Dans l écriture des listes, chaque item prend place dans une case délimitée par les traits de colonnes verticaux et les traits de lignes horizontaux. Le contenu d une case est réduit à quelques signes. Cependant, une case ne désigne pas exactement une «ligne» d écriture. Une case contient une unité de texte précise, un item (voir ci-dessous), mais celui-ci peut être inscrit sur une ou deux lignes. Par exemple, la chaîne de caractères 167 «1 šar 2 -gal šu-nu-tag» est inscrite dans une case, mais sur une ligne dans Ni 10135* + CBS 10181 + CBS 10207 et sur deux lignes dans CBS 10990 (revers). Dans le cas de l écriture d une série de petits textes, tels que des proverbes ou des problèmes, la surface est de la même façon partagée en cases, colonne après colonne, mais chaque case contient un texte de plusieurs lignes. Certaines séries de problèmes se terminent par un colophon donnant le nombre de cases (im-šu) et le numéro de la tablette lorsque celle-ci appartient à un ensemble de plusieurs tablettes. Exemples A 24194 série de 247 problèmes de rectangle colophon : 4 šu-ši im-šu dub-10-kam-ma = 4 soixantaines de problèmes sur la 10 ème tablette YBC 4666 série de 26 problèmes d excavation colophon : 26 im-šu pa 5 -sig = 26 problèmes de canaux YBC 4708 série de 60 problèmes de volume colophon : 1 šu-ši im-šu dub-1-kam-ma = 1 soixantaine de problèmes sur la 1 ère tablette YBC 4607 série de 10 problèmes de briques colophon : 10 im-šu-me-eš = 10 problèmes Le tracé des cases est un moment important de la réalisation d une tablette, c est du moins ce qu on peut comprendre d un passage de la composition «Schooldays» ou «Eduba A» 168 : 167 Dans les deux exemples qui suivent, cette même chaîne de caractères a des sens différents. Le premier exemple appartient à la section des capacités, le deuxième à la section des surfaces. Ils appartiennent à des systèmes numériques différents, respectivement système S pour les gur et système G pour les gan 2, et ne représentent pas le même nombre. Mais ici, seule la disposition des signes est considérée. 168 Composition scolaire datant probablement du début du deuxième millénaire, publiée complètement par Kramer (Kramer 1949). Elle appartient au cursus avancé de Nippur (Robson 2001, p. 54). 72

Eduba A, lignes 5-7 - translittération de Kramer (1949 p. 5) 5. dub-mu i 3 -dim 2 i-sar i 3 -til-ma j ai façonné ma tablette, j ai écrit, j ai terminé : 6. mu-gub-ba-mu ma-an-gub-bu-uš on m a tracé mes lignes 7. kin-sig im-šu-mu ma-an-gub-bu-uš l après-midi, on m a tracé mes cases Ce texte semble indiquer que l écolier façonne lui-même sa tablette, mais que les traits de sections et de colonnes sont préparés par le maître. Cela pourrait être une indication de l âge de l écolier : assez grand pour être capable d écrire des signes simples, mais pas assez pour pouvoir tracer des traits rectilignes et réguliers. Le décalage dans le temps introduit par le mot «kin-sig», traduit par «après-midi» semble assez curieux. Le terme peut renvoyer à des types d exercices différents réalisés sur une même tablette à des moments différents, comme ceux qu on trouve sur les tablettes de type II. Kramer traduit ce passage : «I prepared my tablet, wrote it, finished it ; then my lines were prepared for me (and in) afternoon, my hand copies were prepared for me». La racine /gub/ des lignes 6 et 7 peut aussi avoir le sens de «inscrire» (šat ârum) qui me paraît convenir dans le contexte de la préparation de la tablette suggéré ici : mu-gub-ba signifierait ainsi «ce qui est tracé» ou «les lignes tracées» (mu-gub-ba = ši-t ir šu-mi, Erimhuš VI 67, Civil & al., MSL 17, 83) ; il est également intéressant de noter que deux verbes différents sont utilisés pour l écriture sur l argile : /sar/ concerne l écriture des signes ; /gub/ concerne l inscription des traits de ligne et colonne. Cependant, M. Civil 169 donne un sens assez différent aux lignes 6 et 7 : «ils m ont assigné mon devoir, au soir ils m ont assigné ma tablette de main». Pour lui, im-šu est une «tablette assignée à l élève qui l emportait chez lui le soir pour l étudier». Mot-à-mot, «im-šu» signifie en effet «tablette qui tient dans la main» ; mais dans le contexte des séries mathématiques, ce terme semble plutôt renvoyer aux cases et/ou à leur contenu (voir cidessous). Que ce soit dans les séries élémentaires, les séries de problèmes ou la composition Schooldays (Eduba A) selon la traduction de Kramer ou de Civil, le terme «im-šu» est associé à une unité de texte très courte, inscrite dans une case (item de liste, proverbe, modèle de contrat, énoncé de problème appartenant à une série) ; selon le contexte, il peut désigner seulement le contenant (la case), seulement le contenu (le texte à apprendre), ou l ensemble case et contenu. 5.2 Types de tablettes Dès ses premières publications des tables numériques de Nippur, Hilprecht avait repéré l existence de types différents de tablettes scolaires, en liaison avec des fonctions pédagogiques 170. Chiera a précisé ces types en distinguant les «exercices scolaires typiques» (type II), les «tablettes rondes» (type IV), les «textes modèle» (type I). M. Civil a normalisé cette typologie, en fixant la nomenclature utilisée aujourd hui, et qui a été reprise et précisée par N. Veldhuis pour le cas des textes de Nippur et par E. Robson pour le cas des textes mathématiques de la Maison F de Nippur 171. L importance de cette typologie dans la reconstitution des pratiques d enseignement justifie une présentation détaillée, au risque de répéter les auteurs mentionnés ci-dessus. Il est dès à présent important de souligner que la 169 Civil 1985, p. 75-76. 170 Hilprecht 1906 ; Robson 2002a, p. 238. La distinction entre «table de multiplication simple» et «tables de multiplication combinées» a été reprise par Neugebauer et Sachs (Neugebauer 1935-7; Neugebauer et Sachs 1945). 171 Chiera 1916, p. 41-48 ; Civil 1979, p. 5 ; Cavigneaux 1983, p. 611 ; Veldhuis 1997, p. 29-39 ; Robson 2001b, 2002b. 73

typologie des tablettes scolaires est exactement la même pour les deux grandes disciplines de l enseignement élémentaire, l écriture et les mathématiques. Les paragraphes qui suivent résument les caractéristiques générales essentielles des 4 types, tout en les complétant par des observations faites sur les tablettes d Istanbul. Les types I, II et III sont utilisés au niveau élémentaire et sont décrits complètement dans ce chapitre ; le type IV est utilisé principalement pour les exercices de niveau plus avancé et sera examiné plus en détail dans le chapitre suivant. 5.2.1 Type I Ce sont des tablettes de grande taille, de 15 cm 20 cm environ. Les surfaces sont partagées en 5 ou 6 colonnes, se succédant de gauche à droite sur la face et de droite à gauche sur le revers, écrites soigneusement en petits caractères. Je n ai pas remarqué de dérogation à cet ordre des colonnes dans l ensemble des tablettes mathématiques de Nippur identifiées de façon sûre comme appartenant au type I 172. Il est rare que ces grandes tablettes, fragilisées par leur taille, soient parvenues jusqu à nous entières, et on ne dispose le plus souvent que de fragments. Parmi les tablettes d Istanbul, seule Ni 2733* est entière. Ni 4811 est peut-être un autre exemplaire inachevé, mais son appartenance au type I n est pas absolument certaine (voir suivant). Le texte inscrit sur ce type de tablette est un vaste ensemble de listes d une catégorie donnée, commençant sur la face et se poursuivant sur le revers, et parfois même sur les tranches. Dans le cas des textes mathématiques, une tablette de type I contient une des trois grandes catégories 173 de cette discipline, complète ou presque: - les listes métrologiques ; - les tables métrologiques ; - les tables numériques. Il n y a pas d exemple où une même tablette de type I contienne plusieurs catégories différentes. Il arrive que le texte déborde sur les tranches de la tablette (voir 5.1.1). Dans le cas décrit ci-dessous, une table métrologique entière est écrite sur la tranche 174. 172 Il existe au moins une dérogation en dehors du groupe de Nippur : les colonnes du revers se succèdent de gauche à droite dans YBC 4678, table numérique de type I, dont la photo a été publiée par K. Nemet-Nejat (Nemet-Nejat 1995, p. 250-251). Ce très bel exemplaire de type I a de plus l intérêt d être inachevé, et de bien montrer les étapes de l inscription d une tablette telles qu elles sont décrites par N. Veldhuis (6 colonnes tracées, les colonnes 1, 2, 3 sont inscrites, la colonne 4 est réglée, les colonnes 5 et 6 sont vides). 173 Ces catégories seront définies de façon plus précise dans le 5.3 «Unités de textes». 174 On peut citer un autre cas de table métrologique inscrit sur la tranche : MLC 1854 (type 1). On y trouve une liste métrologique des poids, dont la dernière séquence (mesures en gu 2 ) se termine sur les tranches inférieure, gauche et supérieure (Clay 1923 n 41 ; transcription: MKT I, p. 92). 74

Ni 10219* : une table métrologique des poids est écrite dans la dernière colonne de la face, et une table métrologique des longueurs est écrite à la fin du revers de la tablette, entièrement ou en grande partie sur la tranche droite (ce qui suppose que les colonnes se succèdent de gauche à droite). La tranche droite est particulièrement épaisse, mais il ne s agit pourtant pas d un fragment de prisme comme dans l exemple suivant, car le texte de la tranche est orienté comme celui d un revers, c est-à-dire «tête-bêche» par rapport à la face. Figure 5: texte sur la tranche Il existe aussi des tablettes en forme de prisme droit (4 à 6 faces latérales). Les prismes sont classés par M. Civil dans le type I car on y trouve également des séries complètes réparties en plusieurs colonnes se succédant sur les faces. Ils sont en général traversés d un trou axial. Je n ai trouvé à Istanbul qu un seul exemplaire de prisme, très fragmentaire (Ni 4908*). Figure 6 : prisme 5.2.2 Type II Ces tablettes sont de taille variable, en général un peu moins grandes que les précédentes (10 cm 15 cm environ). La caractéristique majeure de ce type de tablette est la différence entre la face et le revers, aussi bien pour le contenu, la mise en forme du texte, et l aspect matériel. La face est partagée en deux ou trois colonnes assez larges, écrites en gros caractères. Le revers est partagé en 4 ou 5 colonnes, se succédant en général de droite à gauche (il y a cependant d assez fréquentes dérogations à cette règle), écrites en petits caractères, d une écriture cursive souvent 75

bâclée et désordonnée. Le texte écrit sur la face et le texte écrit sur le revers appartiennent à des unités de texte (disciplines, séries ou sections) différentes, le revers n est pas la suite de la face. Ni 4840* + UM 29-13-711* (type II) liste lexicale Urra 4 (na 4 ); liste métrologique C (recollement de deux fragments, l un de Philadelphie, l autre d Istanbul, par E. Robson et C. Proust, juin 2003 ; voir copie à l échelle 1/1 dans les planches) Quelques caractéristiques des tablettes de type II peuvent s observer sur l exemplaire ci-contre : - le texte de la face (liste lexicale) et du revers (liste de capacités) appartiennent à des catégories différentes ; - sur la face, la partie droite a été effacée ; on devine des traces de signes mal effacés ; - la face est partagée en deux colonnes, l écriture est soignée ; le revers est partagé en cinq colonnes, de droite à gauche. Cette tablette présente une anomalie : son axe de rotation est vertical. Figure 7 : tablette de type II Sur la face, la colonne de gauche est occupée partiellement par un court extrait de liste sumérienne ou mathématique (une dizaine de lignes), dans une belle écriture soigneusement calligraphiée, se terminant par un double trait transversal (voir ci-dessus et Ni 3913*, Ni 3909*, Ni 3352*). Cette première colonne est séparée des autres par un trait vertical, souvent doublé par un deuxième trait profondément incisé (voir Ni 3711*). Une tablette de ce type se casse facilement le long de cette ligne, et on dispose en général soit de la partie gauche, soit de la partie droite. Seule Ni 3179* est entière. La partie droite de la tablette est effacée dans la majorité des 76

cas, avec des traces d anciens signes encore visibles (erasures). Elle est souvent plus mince. Lorsque le texte des colonnes de droite est visible, il est identique à celui de la colonne de gauche : ce type de tablette est un modèle de maître suivi de copies d élève. Il est rare de trouver l ensemble modèle et copie intacts sur une tablette complète. L exemplaire suivant est exceptionnel 175 dans son contenu et son style d écriture : Ni 10135+ CBS 10181+CBS 10207* liste lexicale Animaux Sauvages; liste métrologique C Dans les fragments suivants, on devine la copie de l élève : Ni 5295* (type II) liste métrologique S; liste métrologique C Ni 2938 (type II) table de multiplication par 7.30; vide (arraché) Ni 5228 (type II) table de multiplication par 2; table numérique Pour un même modèle, les copies sont exécutées et effacées plusieurs fois, éventuellement par des élèves différents 176. On voit très distinctement les traces de doigt laissées par l effacement sur Ni 3798 et Ni 4894 (voir photos dans le CD joint au Tome 2). Ces caractères physiques fournissent des indices pour l identification de tablettes de type II, même si le texte est illisible : le double trait vertical, le rebord qui sépare la partie gauche de la partie droite de la tablette, la cassure verticale nette, la partie droite effacée plus ou moins complètement. 177 On peut citer par exemple : Ni 3352* liste métrologique L; liste lexicale Proto-Ea Ni 3915 vide (effacé); table numérique Le texte du revers est analogue à celui qu on trouve sur les types I, c est un large extrait comprenant une ou deux sections d une grande série. Chiera pense que le texte du revers est l œuvre d un écolier plus avancé que l auteur de la copie de la face, N. Veldhuis pense qu il s agit en général de la même main 178. Il n est pas rare de trouver un ordre des colonnes inverse de l ordre normal pour les revers : parmi les tablettes de type II d Istanbul dont les colonnes sont identifiables, 101 ont des colonnes de droite à gauche, mais 24 ont des colonnes de gauche à droite. L ordre des colonnes n est donc pas un critère sûr d identification des revers, et il existe un risque de confondre ces dernières avec des faces de type I. Dans 7 cas atypiques, des textes appartenant à des listes différentes cohabitent du même côté : Ni 1082 liste métrologique P + liste lexicale NP (noms propres sumériens); liste lexicale Urra 1? CBS 7355 table de multiplication 16.40 + table métrologique S complète ; modèle de contrat CBS 8153 table de multiplication + proverbes?; table numérique 175 Le joint CBS 10181 + CBS 10207 a été fait par N. Veldhuis et le joint Ni 10135+CBS 10181+CBS 10207 a été fait par E. Robson (et secondairement moi-même) en mai 2003. D autre part N. Veldhuis (communication personnelle) a attiré l attention sur cette tablette intéressante à plusieurs titres : la préservation des copies d élève, la liste d animaux sauvages de style archaïsant peu commun, l écriture du revers plus soignée que dans les revers de type II habituels. 176 Veldhuis 1997, p. 32 n. 92. 177 Un exemple de cas incertain : Ni 4811. D un côté, on voit le début d une série complète (table numérique), 7 colonnes visibles se succédant de gauche à droite : on pense à la face d un type I. L autre côté est vide, avec un double trait vertical profondément tracé au premier tiers gauche de la tablette : on pense à la face d un type II, avant qu elle soit inscrite, et dans ce cas la table numérique serait sur le revers. Les deux côtés sont plats, la convexité en général plus prononcée du revers ne permet pas de trancher. 178 Chiera 1916, p. 42 ; Veldhuis 1997, p. 41. 77

CBS 2383 table de multiplication 7.12 + sumérien (non identifié) ; arraché CBS 3790 table de multiplication 15 + sumérien (non identifié) ; sumérien (non identifié) N 3956 table de multiplication 8 + modèle de contrat ; vide UM 29-16-548 modèle de contrat ; modèle de contrat + table numérique L ordre dans lequel sont écrits la face et le revers pose problème. En principe, la face est écrite avant le revers, mais une partie au moins du processus d écriture et d effacement sur la face, contribuant à sa fragilisation et à sa cassure, a dû se faire après l écriture complète du revers. Dans certains cas, le modèle du maître était finalement détaché volontairement sans égard pour le texte du revers et conservé pour d autres copies 179. Le rebord et la cassure nette caractéristiques des types II ne sont pas dus seulement à l amincissement de la partie droite, mais aussi à cette incision profonde tracée dès le début de la confection de la tablette. Une tablette comme CBS 10745 donne l impression d avoir été façonnée dans le but d être cassée par la suite 180. Il semble que dans un cas au moins, le revers a été écrit avant la face : la tablette Ni 4811 contient une série de tables de multiplication d un côté (colonnes de gauche à droite) ; l autre côté est vide, mais la surface est partagée par un grand double trait vertical typique des faces de type II. Il est probable que cette tablette est un type II dont la face n a pas encore été utilisée, mais a seulement été préparée par le tracé de la séparation entre les parties du maître et de l élève ; cependant, l exercice du revers a été terminé. Les exercices des deux côtés de la tablette étant indépendants, la distinction entre face et revers n a pas d importance du point de vue du texte. Or c est précisément sur les types II que les colonnes du revers suivent parfois le sens de gauche à droite habituel pour les faces : les revers, contenant un texte autonome, sont écrits comme des faces (c est par exemple le cas de la tablette Ni 4811 citée ci-dessus). Ce n est donc pas seulement l inexpérience de l écolier qui explique ces dérogations à la règle, mais aussi le fait que la forme du texte s adapte à son contenu. Du point de vue pédagogique, les fonctions des exercices sur la face et le revers sont tout à fait différentes 181. Le texte de la face est un exercice de copie, c est pour l élève une liste nouvelle en cours d apprentissage. Le texte du revers est un exercice de restitution d une liste déjà assimilée. En supposant que le même scribe ait écrit la face et le revers, ces couplages permettent de reconstituer l ordre chronologique de l enseignement des listes dans le cursus : la liste de la face vient après la liste du revers dans l ordre du cursus. Elles peuvent appartenir à des disciplines différentes (sumérien et mathématiques), à des catégories différentes, ou à la même catégorie, mais on trouvera par exemple la fin d une liste sur la face et le début de la même liste sur le revers. L étude des tablettes de type II en liaison avec la reconstitution du cursus scolaire sera développée plus loin (voir 6.3). Les tablettes de type II sont dominantes à Nippur, moins fréquentes mais attestées sur d autres sites tels que Kiš et Sippar, et absentes à Ur. Elles ont pu exister à Ur comme à Nippur et avoir 179 Veldhuis 1997, p. 33. 180 X. Faivre pense que la tablette était cassée au moyen d un outil tranchant (Faivre 1995, p. 60) ; dans le cas de ces tablettes pré-incisées, un outil n était peut-être pas toujours nécessaire. 181 Veldhuis 1997, p. 35-36. 78

disparu (recyclage ou hasard des fouilles) 182. Il est également possible que les méthodes pédagogiques d Ur aient été différentes de celles de Nippur. 5.2.3 Type III Les tablettes de type III sont des petites tablettes rectangulaires très soignées tant au niveau de l écriture que de la fabrication. Certaines, parmi les plus anciennes (datant probablement de la période d Ur III), témoignent d une très grande habileté, et on peut douter que des enfants aient pu les réaliser : les tables de type III de cette époque sont l œuvre de scribes expérimentés. On peut citer parmi les tablettes d Istanbul de haute époque : Ni 374* (type III) table d inverses «igi nu» Ni 2208* (type III) table de multiplication par 7. Les tablettes de type III ont été des objets attractifs pour les collectionneurs et les spécialistes. Leur proportion variable dans les différents Musées montre qu elles étaient particulièrement recherchées au moment de la constitution de certaines collections : dans l ensemble des tablettes mathématiques de Nippur étudiées ici, elles représentent 8% du lot d Istanbul ; 18% de celui de Philadelphie ; 74% des tablettes publiées conservées à Iéna 183. Le texte est écrit sur une seule colonne 184. C est un extrait d une section métrologique ou numérique, d une longueur comparable à celle des faces de type II : 8 à 15 lignes dans le cas des sections métrologiques, une table complète dans le cas des tables numériques. Le texte commence sur la face et se poursuit sur le revers, il se termine généralement par un double trait, parfois par une ligne d appel 185 ou un colophon pouvant indiquer une date. Dans un cas atypique, la face et le revers contiennent deux sections différentes (mais consécutives) : CBS 8379 table de multiplication par 3.20 ; table de multiplication par 3.45. Les tablettes de type III portent un nom spécifique en sumérien : im-gid 2 -da (imgiddû) 186. Ce terme intervient dans des colophons ainsi libellés : «im-gid 2 -da» suivi d un nom propre (NP), c est-à-dire : «tablette d argile allongée de NP». 182 Tinney 1998, p. 46. 183 Il a déjà été noté, dans le chapitre 2 (voir 2.3 «Délimitation du corpus»), l intérêt de Hilprecht pour ce type de tablettes. On peut citer d autres exemples. Parmi les 17 tablettes mathématiques de la collection privée MLC (Morgan Library Collection, Yale University, New Haven), toutes de provenance inconnue, 9 sont de type III (6 certaines et 3 probables). Parmi les 5 tablettes mathématiques de la collection privée Plimpton conservées à l Université de Columbia, 3 sont de type III (Robson 2002a, p. 47, 263-265). 184 Ni 374, écrite sur deux colonnes, est une exception. Elle appartient marginalement au corpus étudié ici, puisque cet exemplaire est probablement antérieur à la période paléo-babylonienne. Voir 6.2.1 «Tables d inverses». 185 Une ligne d appel est la première entrée de la liste suivante ; voir 5.5 «Marques de structure». 186 Civil 1979, p. 8 n. 3 ; Nemet-Nejat 1995, p. 243 n. 14 ; Tinney 1999, p. 160 ; Robson 1999, p. 175 ; Robson 2001, p. 46. 79

Si on considère un ensemble assez vaste de textes mathématiques (incluant toutes les tablettes de Nippur et toutes les tablettes publiées dans MKT et MCT), on obtient la liste suivante de tablettes se terminant par «im-gid 2 -da» : Nippur CBS 6063 (type III) table de multiplication 18 fin : i[m-gid 2 -]da d gan 2 -gal UM29-16-106 (type III) table de multiplication 25 fin : im-gid 2 -da d nin-urta-apin 2N-T 585 (type III) carrés de 1 à 20 ; 30, 40, 50 fin : im-gid 2 -da lú- d en-lil 2 -la 2. Mari Mari 10681 (type III) table de multiplication 22.30 fin : im-gid 2 - da [ ] et date. Kiš O 160 (type III) table de multiplication 1.40 O 161 (type III) table de multiplication 7 fin : im-gid 2 -da mu IM-[...] et date fin : im-gid 2 -da X-RA?-KIB. Provenance inconnue BM 78384 (type III) table de multiplication 44.26.40 fin : im-gid 2 -da x-[...] MLC 117 (type III) table de multiplication 10 fin : im-gid 2 -da a-na-tum NBC 8061 (type III) table d inverses fin : im-<gid 2 >-da / Warad [ ] VAT 7895 (type III) table de multiplication 9 fin : im-gid 2 -da LA-BA-SI? / AN-DA-MAH et date YBC 11138 (type III?) table de multiplication 16 fin : im-gid 2 -da si?-na?-tum mar 2 s il 2 -li 2 - d nin et date YBC 11924 (type III?) table de multiplication 4 fin : im-gid 2 -da d sin-a-pil-urim ki et date YBC 4692 (type III) table de multiplication 6 fin : im-gid 2 -da ahu-ip-pin YBC 4694 (type III?) table de multiplication 24 fin : im-gid 2 -da...ša-ar-pu?-um et date YBC 6705 (type III) table de multiplication 9 fin : im-gid 2 -da U-bar-rum et date YBC 6739 (type III) table de multiplication 8 fin : im-gid 2 -da U-bar-rum et date YBC 8617 (type III?) table de multiplication 36 fin : im-gid 2 -da in-bi-i 3 -li 2 -šu et date. Elles sont toutes de type III de façon certaine ou probable ; ce sont toutes des tables numériques. Ces exemples confirment le sens technique précis de im-gid 2 -da dans le contexte scolaire : ce terme désigne spécifiquement les tablettes de type III. On peut trouver des extraits de toutes les séries mathématiques dans les types III, mais il y a une nette préférence pour les tables numériques : environ 80% des types III mathématiques sont des tables numériques. Les tablettes de type III n existent pas dans toutes les écoles de scribes : fréquentes à Nippur, elles sont pratiquement absentes à Sippar-Amnânum 187. 5.2.4 Type IV A Nippur, les tablettes de type IV sont le plus souvent carrées 188 et parfois lenticulaires, à peu près de la taille de la paume de la main, dans la majorité des cas de profil plano-convexe et 187 Tanret 2002, p. 134. 80

inscrites seulement sur la face, le revers fortement bombé étant anépigraphe ou parfois utilisé comme brouillon dans le cas des exercices de calcul. Dans deux cas seulement le revers contient un texte appartenant à une autre catégorie que celui de la face (2N-T 500* et 2N-T 496). Concernant le contenu, il s agit soit d un texte sumérien court, soigneusement écrit, recopié une ou deux fois, soit d un exercice de calcul. Dans le domaine des mathématiques, on trouve très peu de textes de niveau élémentaire sur les tablettes de type IV ; à Nippur, seuls trois exemples sont attestés 189 : Ni 763* (type IV lenticulaire) liste métrologique C Ni 2782* (type IV, lenticulaire) liste métrologique C; liste métrologique C Ni 4775* (type IV lenticulaire?) table de racines carrées). Les tablettes mathématiques de type IV sont presque toujours des exercices de calcul, et les exercices de calcul sont presque toujours écrits sur des tablettes de type IV (voir chapitre 7). Dans le domaine des textes sumériens, on trouve sur les types IV les premiers textes rédigés : proverbes, modèles de contrats, textes littéraires simples 190. Le premier texte littéraire dans le cursus, celui qui vient juste après la fin de l étude des listes, l Hymne à Lipit-Ištar B, est écrit dans la majorité des cas sur des tablettes de type IV 191. Les tablettes de type IV sont à la transition entre les niveaux élémentaire et avancé, que ce soit à Ur, à Nippur ou à Sippar 192. A Ur, les tablettes de types IV ont des caractéristiques différentes. Elles sont toujours lenticulaires, les textes de la face et du revers n appartiennent en général pas à la même catégorie, on trouve par exemple un proverbe d un côté et un exercice de calcul de l autre 193. 5.2.5 Hybrides Il existe quelques cas atypiques qui sont des hybrides de plusieurs types, mais ils sont rares et on peut considérer que la typologie est, pour le corpus de Nippur paléo-babylonien, généralement valide. Citons comme exemple atypique la tablette N 3826, qui est un mélange de type II et de type III. Le texte est un extrait d une seule section, la liste métrologique P, et le revers est la suite de la face (type III). Il y a deux colonnes, séparées par un trait assez profond, la colonne de gauche est inscrite, la colonne de droite est effacée (type II). 188 Les tablettes presque carrées (coins fortement arrondis qui rapprochent la forme de celle d une tablette lenticulaire ou forme légèrement rectangulaire) sont comprises dans cette catégorie, car toutes ont des dimensions, un profil et une allure générale similaires caractéristiques. 189 Les tablettes lenticulaires de Tell Harmal constituent également une exception : ce sont de très courts extraits de listes métrologiques (Al-Fouadi 1979). 190 On trouvera une description détaillée des tablettes de type IV à Nippur dans Falkowitz 1984. 191 Vanstiphout 1979; Tinney 1999. 192 Tanret 2002, p. 112 : «Le même auteur [Falkowitz 1984] avait déjà noté son étonnement de ne pas trouver parmi les nombreuses lentilles de Nippour des exercices de premier débutant du genre exercice de calame ou tu-ta-ti. Nos lentilles [celles de la maison des gala-mah à Sippar-Amnânum] confirment cette constatation». 193 Gadd et Kramer 1963; Gadd et Kramer 1966; Friberg 2000 ; Robson 1999, p. 245-272. 81

5.2.6 Types S et M Les tablettes de niveau avancé suivent une typologie différente des tablettes de niveau élémentaire. Elles sont présentées rapidement ici, mais seront décrites de façon plus détaillée en liaison avec leur contenu dans le chapitre 7 «Niveau avancé». En suivant l exemple de la classification faite par S. Tinney 194 pour les textes littéraires, on distinguera deux types de tablettes : Type M (multi-column tablets) : ce sont de grandes tablettes à plusieurs colonnes sur chaque face, qui pourraient être comparées à des types I ; elles rassemblent une ou plusieurs compositions. Type S (single-column tablets) : ce sont des tablettes plus petites et allongées dont le contenu appartient aux mêmes catégories que celui des types M, mais écrites sur une seule colonne, le revers étant en général la suite de la face ; elles sont proches des types III et portent le même nom sumérien (im-gid 2 -da) 195. 5.2.7 Autres A la marge du présent corpus, signalons un cas intéressant : Ni 304* liste lexicale? et liste métrologique C. C est une tablette d époque cassite, plus tardive (voir Annexe 6 «Chronologie»). Elle est rectangulaire, la face contient une liste lexicale orientée dans le sens de la longueur en «format paysage», et, sur la partie inférieure, une liste métrologique C orientée dans le sens de la largeur en «format portrait» 196. Le revers est vide. 5.3 Unités de texte Comme les listes lexicales, les listes mathématiques sont segmentées en sous-ensembles plus ou moins indépendants, reproduits entièrement ou partiellement sur les différents types de tablettes. Ces sous-ensembles définissent plusieurs niveaux d unités de texte. Les plus vastes, que j appellerai des séries, sont celles qui sont entièrement contenues dans les grandes tablettes multicolonnes (type I). Les séries attestées sont les suivantes : - les listes métrologiques (énumérations d unités de mesures); - les tables métrologiques (énumérations d unités de mesures avec équivalent numérique) ; - les tables numériques (inverses, multiplications, etc.). 194 Tinney 1999, p. 160. 195 Ibid, p. 160. 196 Cette disposition est caractéristique des exercices scolaires d époque cassite (communication personnelle de N. Veldhuis et E. Robson ; Veldhuis 2000). 82

L étude du corpus de Nippur permettra préciser le contenu de ces trois séries, de les compléter, et d analyser les relations qui existent entre elles. L identification des séries est un des objectifs importants de cette étude, car elle permet de mieux comprendre la structure de l ensemble et l utilisation des tables dans les problèmes mathématiques. On verra également qu il peut exister des variations importantes d une cité à l autre dans la définition des séries. Les séries sont elles-mêmes composées de sous-ensembles que j appellerai des sections. On trouve souvent une section complète, par exemple une table de multiplication, sur les tablettes de type III, ou bien sur les faces de tablettes de type II. Les sections métrologiques étant assez longues, il est fréquent que seul un extrait de section (séquence) soit présent sur ces tablettes. Enfin, l item est l élément d énumération le plus simple; il est en général écrit sur une ligne, parfois deux, ou occupe une case. En résumé, on distingue les quatre niveaux d unités de texte suivants : les séries ; les sections ; les séquences (extraits) ; les items. Pour illustrer ces différents niveaux, l exemple le plus simple est celui des tables numériques : l ensemble des tables numériques forme une série. Cette série est entièrement écrite dans une tablette de type I telle que Ni 2733* (voir copie). La série est constituée de plusieurs tables : une table d inverses, des tables de multiplication, une table de carrés. Chacune des ces tables constitue une section. Une section peut être écrite de façon autonome sur une tablette de type III par exemple : la majorité des tablettes de type III de Nippur contient une table de multiplication complète. On peut voir dès à présent qu il existe des relations très étroites entre unités de textes, type de tablettes et catégories de textes. Ces relations seront analysées en détail dans l étude des trois grandes séries qui font l objet du chapitre suivant (chapitre 6), mais on peut en donner un premier tableau général qui sera ensuite précisé et complété. séries sections listes métrologiques liste C (capacités) liste P (poids) liste S (surfaces) liste L (longueurs) séries mathématiques élémentaires tables métrologiques table C (capacités) table P (poids) table S (surfaces) table L (longueurs) tables numériques table d inverses tables de multiplication table de carrés Tableau 8: unités de textes (liste provisoire) 83

5.4 Styles et modèles Les items occupent en général une ligne du texte écrit. Ils peuvent être exprimés dans 2 types de style : - style plein - style abrégé. Citons quelques exemples : style plein style abrégé 3 a-ra 2 6 18 3 6 18 (3 fois 6 18) igi 30 gal 2 -bi 2 30 2 (l inverse de 30 est 2) 1/3 sar a-ša 3 1/3 sar (surface de 1/3 sar) Plein/abrégé traduit en français le couple «verbose/terse» introduit par E. Robson dans sa base de données et son étude des tablettes mathématiques de la Maison F de Nippur 197. Ces attributs s appliquent aux items : un même texte peut avoir des items pleins et des items abrégés, selon des règles qui seront examinées dans la suite. Concernant les séries métrologiques, le style est indépendant de la nature de la série (liste ou table). Un item de table peut être «abrégé» et un item de liste peut être «plein». Le style plein est peut-être une indication de la façon dont la table était verbalisée : les éléments omis dans les rédactions abrégées devaient être prononcés et mémorisés, de même que les gloses akkadiennes, absentes dans les listes lexicales paléobabyloniennes de Nippur (mais présentes dans les versions plus tardives), étaient indissociables du squelette écrit. Les composants des items peuvent se combiner de plusieurs façons, suivant des modèles différents. Par exemple l ordre d écriture des signes peut varier. On peut illustrer ces variations avec les tables de multiplication modernes, où on trouve des items de style plein (2 fois 3 font 6), de style abrégé (2 3 6), dans un ordre ou un autre (2 3 6 ou 3 2 6). Par exemple, dans les séries métrologiques, les composants sont : un nombre «concret» associé à une unité de mesure (n) ; le nom de l unité de mesure (u) ; un nombre «abstrait» sexagésimal positionnel (N). Dans les listes métrologiques paléo-babyloniennes, les items suivent le modèle : Dans les tables métrologiques paléo-babyloniennes, les items suivent le modèle : Mais dans les tables du premier millénaire (néo-babyloniennes), l ordre est inversé : ou n-u N n-u N n-u 197 Robson 2001 et Robson 2002b. 84

N u-n Le Tableau 9 suivant donne quelques exemples de styles d items de le section des poids ; ces items sont : 1 gu 2 ku 3 -babbar 1 gu 2 (30 kg) de poids (mot à mot : d argent) 1 še ku 3 -babbar 1 še (0,04 g) de poids 1/3 ma-na 1/3 ma-na (150 g) entrée item section style modèle tablette 1 gu 2 1 gu 2 ku 3 -babbar liste P plein n-u CBS 10990 1 gu 2 1 table P abrégé n-u N Ni 3909* 1 še 1 še ku 3 -babbar 1 še liste P liste P plein abrégé n-u n-u CBS 10990 Ni 3742* 1 še 20 table P abrégé n-u N Ni 5072 1/3 ma-na 1/3 ma-na 20 20 1/3 ma-na table P table P abrégé abrégé n-u N Tableau 9: style plein et style abrégé N u-n UM 29-13-803 CBS 8539 (Néo-Bab.) L ordre d écriture des éléments d un item n est pas nécessairement identique à l ordre de verbalisation. M. Powell 198 a montré que les noms de nombres étaient prononcés après les unités (ordre u-n) bien qu ils soient écrits dans l ordre inverse (n-u). L utilisation d un style plein ou abrégé est en partie liée au type d exercices, et donc à des pratiques pédagogiques, comme E. Robson l a établi pour le cas de la Maison F 199. Mais, dans l ensemble des écoles de Nippur, le choix d un style ou d un autre est, comme nous le verrons dans le cas des tables de multiplication, moins strictement corrélé au type de tablette que dans le cas de la Maison F. On peut dès lors déplacer la question : dans quelle mesure l écriture abrégée introduit-elle une façon nouvelle de concevoir les tables? Cette question sera notamment abordée dans le cas des tables d inverses. Elle pose plus généralement le problème des spécificités du texte écrit par rapport au texte mémorisé : [ ] la spatialisation du langage ouvre des possibilités expressives inconnues ou seulement en germe à l oral, du moins dans des formes complexes 200 Certaines propriétés visuelles du texte ont une fonction significative 201. La façon dont le style permet de percevoir l articulation entre l écrit et l oral a fait l objet de développements particulièrement intéressants dans l étude des listes lexicales par N. Veldhuis 202. 198 Powell 1971, p. 2-5. 199 Robson 2002b, p. 344. 200 Luc, Mojahid et Virbel 2002, p. 41. 201 Ibid, p. 42. 202 Veldhuis 1997, notamment p. 11 ; 133 ; 140-142. 85

5.5 Marques de structure Dans le cas des listes lexicales, une série peut être très longue et écrite sur plusieurs tablettes. Chaque tablette contient une ou plusieurs sections, et se termine souvent par une ligne d appel (premier item de la section suivante) qui fixe l ordre de succession des tablettes ; la dernière tablette se termine en général par une formule de louange à Nisaba 203, qui marque ainsi la fin de la série. Mais dans le cas des séries numériques et métrologiques, ce système de raccord des tablettes est moins développé qu il ne l est dans les listes lexicales. Les séries mathématiques sont plus courtes et ont une logique interne beaucoup plus forte et évidente que les listes lexicales, la nécessité de telles marques de structuration s est donc peut-être moins faite sentir. Incipit Le premier item des sections joue un rôle particulier : l incipit sert à nommer la section, non seulement dans les lignes d appel, mais aussi dans les catalogues anciens 204. Par exemple, le catalogue YBC 13617, de provenance inconnue mais qui relève d une tradition assez proche de celle de Nippur, contient un inventaire ordonné de listes lexicales paléo-babyloniennes désignées par leur incipit. L incipit est généralement de style plein, même si le corps de la table est de style abrégé. Ligne d appel Les lignes d appel sont assez fréquentes dans les textes mathématiques de Nippur ; on les trouve principalement sur des tablettes de type III à la fin des tables de multiplication, et plus rarement sur des types II. Elles donnent la première ligne de la table suivante dans l ordre suivi sur les grandes tablettes de type I. type III Ni 1871 (type III) table de multiplication par 7.12 appel de 7 HS 215 (type III) table de multiplication par 12.30 appel de 12 HS 217a (type III) table de multiplication par 9 appel de 8.20 HS 223 (type III) table de multiplication par 1.30 appel de 1.15? CBS 7365 (type III) table de multiplication par 7 appel de 6.40 N 3825 (type III) table de multiplication par 1.40 appel de 1.30, date N 3839 (type III) table de multiplication par 12 appel de 10 N 3899 (type III) table de multiplication appel N 3915 (type III) table de multiplication par 7.30 appel de 7.12 UM 29-13-086 (type III) table de multiplication par 9 appel de 8.20 UM 29-15-477 (type III) table de multiplication par 44.26.40 appel de 40 UM 29-15-485 (type III) table de multiplication par 36 appel de 30 UM 29-15-489 (type III) table de multiplication inverses appel de 50 UM 29-15-493 (type III) table de multiplication par 24 appel de 22.30 UM 29-15-496 (type III) table de multiplication par 16 appel de 15 UM 29-15-502 (type III) table numérique par 16.40 appel de 16 203 Ibid, p. 30, 47. 204 Hallo 1982, p. 82 ; Veldhuis 1997, p. 52. 86

type II/I Ni 2739* (type II) table de racines carrées ; appel des racines cubiques table numérique N 4948 (type II) table métrologique P ; appel de la table métrol. S table métrologique C Ni 4623* (type II) table métrologique P ; appel de la table métrol. S table métrologique C CBS 7355 (type II) table de multiplication par 16.40 appel de 16 + table métrologique S ; modèle de contrat N 4279 (type II) table de multiplication par 36 ; appel de 30 table numérique UM 29-15-478 (type II) table de multiplication par 15 ; appel de 12.30 table numérique Doxologie Les grandes listes lexicales de Nippur se terminent généralement par une formule de louange à Nisaba, la divinité protectrice des scribes, ainsi libellée : «d Nisaba za 3 -mi 2» c est-à-dire «gloire à Nisaba». On trouve aussi cette doxologie dans les textes mathématiques : Ni 10249 (type I) table numérique fin: d Nisaba CBS 6482 (type II) liste lexicale Proto-izi ; fin : d Nisaba za 3 -mi 2 table métrologique P CBS 8537 (type III) table de multiplication par 36 tranche inférieure : d Nisaba CBS 10053 (type III) table de carrés fin : d Nisaba? za 3?-mi 2? CBS 3335 (type III) table de multiplication par 6 fin : d Nisaba? UM 29-15-483 (type III) table métrologique Lh tranche inférieure : d Nisaba za 3 -mi 2. La formule de louange se trouve en principe juste après les dernières lignes de la série complète ; mais cette position finale de la doxologie n est pas strictement respectée dans les séries mathématiques. Dans trois des tables numériques ci-dessus, CBS 8537, CBS 3335 et Ni 10249, elle vient après une section qui n est pas la dernière de la série (respectivement table de 36, table de 6 et table de 7.30). Malgré l usage lâche de la formule de louange comme marque de fin de série dans les séries mathématiques, celle-ci pourra dans certains cas apporter des informations intéressantes, comme on le verra pour les tables métrologiques et les tables numériques. Les textes mathématiques provenant d autres centres que Nippur portent parfois la même formule. Signalons par exemple la liste de coefficients YBC 5022, ainsi que le prisme du Louvre AO 8865 (voir annexe 8). Ce dernier contient une table métrologique des longueurs et des hauteurs (voir définition de la table des hauteurs 6.1.5) ainsi qu une table numérique de carrés, de racines carrées et de racines cubiques. J ai collationné cette tablette en juin 2004 après sa restauration 205, et remarqué une inscription sur la face supérieure du prisme qui n avait pas été relevée précédemment. Bien qu elle soit légèrement effacée, on lit très clairement la formule «d Nisaba za 3 -mi 2». 205 Je remercie B. André-Salvini, Convervateur au Département des Antiquités Orientales Musée du Louvre, pour son aimable autorisation. 87

Date, signature En général, les tablettes scolaires ne sont pas datées. Il y a cependant deux exceptions parmi les textes mathématiques de Nippur : N 3825 (type III) table de multiplication par 1.40 date : u 4-13 [...] UM 29-16-106 (type III) table de multiplication par 25 date : itu du 8 -a u 4-28-kam [ ] (mois VIII, 28 ème jour) On trouve également des tablettes datées parmi les tables de multiplication «simples» répertoriées dans MCT et MKT (15 cas). Les tablettes mathématiques signées sont également rares à Nippur ; la liste suivante inclut les trois «im-gid 2 -da» citées précédemment, une tablette signée «šu-np» (de la main de NP), et une tablette lenticulaire d identification incertaine dont l auteur porte un nom akkadien. 2N-T 585 (type III) table de carrés signature : im-gid 2 -da lu 2 - d en-lil 2 -la 2 CBS 6063 (type III) table de multiplication par 18 signature : im-gid 2 -da d gan 2 -gal UM 29-16-106 (type III) table de multiplication par 25 signature : im-gid 2 -da d nin-urta-apin H. 41 (type III) table métrologique Lh signature : šu da-mi-[ ] Ni 768* (type IV lenticulaire) liste métrologique P ou modèle de contrat signature : 30-na-di- in šu- mi 88

6 Niveau élémentaire Dans ce chapitre, je chercherai à définir le contenu et la structure des séries élémentaires et à dégager l architecture générale de listes mathématiques, leur place dans l enseignement, la fonction pédagogique des différents types d exercices. On s intéressera d abord aux deux séries métrologiques (listes et tables), puis aux tables nummériques. 6.1 Séries métrologiques 6.1.1 Le texte Les listes métrologiques sont des énumérations en ordre croissant 206 de mesures de capacité (C), poids (P), surface (S), ou longueur (L). La liste complète de toutes les unités de mesure et leur définition se trouve dans l Annexe 4. Exemple de liste métrologique : sur la face de la tablette suivante (Ni 3515, type I), deux colonnes sont visibles et on peut lire une partie de la liste des capacités (600+4x60 gur à 60² gur) ; sur le revers, les trois premières colonnes sont visibles, elles se succèdent de droite à gauche, et on peut lire une partie de la liste des poids (21 še à 29 še, 1/6 gin 2 à 1/4 gin 2, 5/6 ma-na à 3 ma-na). Ni 3515* face col. I [...] [ ] [...] [...] [...] gur [...] gur [...] gur [...] gur [...] gur [...] gur col. II [ ] [ (geš u) 4 (geš 2 )] gur 1 (geš u) 5 (geš 2 ) gur 1 (geš u) 6 (geš 2 ) gur 1 (geš u) 7 (geš 2 ) gur 1 (geš u) 8 (geš 2 ) gur 1 (geš u) 9 (geš 2 ) gur 2 (geš u) gur 3 (geš u) gur 4 (geš u) gur revers col. III col. II col. I [ ] [ ] gu 2 [ ] gu 2 [ ] gu 2 [ ] [ ] 5/6 ma-na 1 ma-na 1 1/3 ma-na 1 1/2 ma-na 1 2/3 ma-na 1 5/6 ma-na 2 ma-na [3] ma-na [ ] [ ] 21 [še] 22 [še] 23 še 24 še 25 še 26 še 27 še 28 še 29 še 206 Les séquences de mesures de poids ou capacités qu on trouve dans certaines listes lexicales, par exemple dans les listes thématiques (voir 6.5.2), suivent au contraire un ordre décroissant. 89

[...] gur [...] gur [ ] 5 (geš u) gur 1 (šar 2 ) gur [ ] igi-6-gal 2 [gin 2 ] igi-6-gal 2 [gin 2 10 še] igi-[4-gal 2 gin 2 ] [ ] Tableau 10: liste métrologique de capacités et poids Les tables métrologiques sont des énumérations des mêmes items que les listes, mais chacun d eux est accompagné, en vis-à-vis, d un nombre écrit en numération sexagésimale positionnelle (nombres abstraits). Exemple de table métrologique : Ni 4623* (type II). Sur la face, seul le modèle du maître est préservé, l écriture est grande et soignée ; on y trouve un extrait de la table métrologique des poids (mesures et équivalents sexagésimaux de 6 à 10 gu 2 ), suivi d un double trait et de la première ligne de la section suivante (ligne d appel de la table des surfaces). Sur le revers, deux colonnes se succèdent de droite à gauche et contiennent une partie de la table des capacités. On remarque que la section de la face (table P) est située après celle du revers (table C) dans l ordre du cursus, comme c est la règle dans les tablettes de type II. Ni 4623* face col. I [ ] [6] gu 2 6 [7] gu 2 7 8 gu 2 8 9 gu 2 9 10 gu 2 10 ============ 1/3 sar 20 revers col. II [...] 7 (šar 2 ) gur 35 8 (šar 2 ) gur 40 9 (šar 2 ) gur 45 1 (šar u) gur 50 1 (šar u) 1 (šar 2 ) gur 55 1 (šar u) 2 (šar 2 ) gur 1 1 (šar u) 3 (šar 2 ) gur 1.5 [1 (šar u)] 4 (šar 2 ) gur 1.10 [1 (šar u) 5 (šar 2 )] gur 1.15 [...] col. I [...] 7 gur 35 8 gur 40 9 gur 45 10 gur 50 11 gur 55 12 gur 1 13 gur 1.5 14 gur 1.10 15 gur 1.15 16 gur 1.20 [...] La série des listes métrologiques est un ensemble de 620 items environ groupés en 4 sections: - liste métrologique des capacités : 180 items ; - liste métrologique des poids : 170 items ; - liste métrologique des surfaces : 110 items ; - liste métrologique des longueurs : 160 items. La série des tables métrologiques est constituée des mêmes 620 items accompagnés de leurs équivalents sexagésimaux. Il existe une section supplémentaire de 80 items que j ai appelée «table métrologique des hauteurs» pour des raisons qui seront développées dans le paragraphe consacré à cette question ( 6.1.5). La table des hauteurs se distingue de la table des longueurs par la correspondance sexagésimale, et aussi par le fait qu elle est plus courte car elle n inclut pas les grandes distances. Sa place dans la série des tables métrologiques sera étudiée à la fin de cette partie. On trouvera la reconstitution du texte complet des tables métrologiques dans l édition des tablettes d Istanbul (Tome 2). Le texte des listes métrologiques se déduit de celui des tables en 90

ignorant la sous-colonne des équivalents sexagésimaux. Ce texte composite est constitué de tous les items rencontrés au moins une fois dans les sources de Nippur, d époque paléo-babylonienne, toutes collections confondues (voir précisions concertant la nature de ce texte dans l introduction à l édition). Ce texte est très stable d un exemplaire à l autre ; les variantes se limitent pour l essentiel à des omissions ou rajouts d items, ainsi qu à quelques archaïsmes dans l écriture des nombres (voir édition dans le Tome 2). Les tablettes plus anciennes (époque d Ur III) ou plus récentes (époque cassite) seront étudiées individuellement et séparément : elles sont peu nombreuses et s écartent du modèle paléobabylonien. Ordre des sections Les tablettes de type I, ainsi que les lignes d appel, montrent que les séries métrologiques sont constituées de quatre sections qui se succèdent dans un ordre immuable : capacité, poids, surface, longueur 207. Tablettes de typpe I Listes : CBS 10990+ (type I) liste métrologique C, P, S, L N 3893 (type I) liste métrologique C, P, S, L UM 29-15-048 (type I) liste métrologique C, P, S, L Table : N 3886+ (type I) table métrologique C, P, S, L Lignes d appel : N 4948 (type II) table métrologique P + appel de S ; table métrologique C Ni 4623* (type II) table métrologique P + appel de S ; table métrologique C On verra en fait que les tables métrologiques contiennent une cinquième section pour les hauteurs (voir 6.1.5). 6.1.2 Début de section D une façon générale dans les textes cunéiformes, le début d un texte a une fonction de «titre» : dans les catalogues anciens, les textes sont désignés par leur première ligne. De plus, c est le premier item qui tient lieu de ligne d appel. L observation des premiers items dans le cas des sections métrologiques permet donc d identifier le nom de la section. 207 Hilprecht avait repéré ce plan d ensemble dès ses premières publications (Hilprecht 1906). 91

Section C Parmi les 12 tablettes dont le début est visible: 11 ont pour premier item la forme pleine : 1 gin 2 še 1 a pour premier item la forme abrégée : 1 gin 2 première entrée tablettes type section 1 gin 2 še (style plein) CBS 8015 II/2 liste C N 4955 II/2 liste C UM 29-16-113 II/2 liste C Ni 4750 II/2 liste C Ni 5339 II/2 liste C CBS 7372+ II/2 table C CBS 19820 II/2 table C CBS 4505 II table C H. 36 I table C CBS 6871 Fragment table C UM 29-13-996 Fragment table C 1 gin 2 (style abrégé) Ni 1878* II/2 table C Section P Les 6 tablettes dont le début est visible commencent par des items de style plein. première entrée tablettes type section ½ še ku 3 babbar (style plein) ½ še (style abrégé) CBS 7368 II/2 liste P N 3842 II/2 liste P Ni 3742* II/2 liste P UM 29-16-113 II/1 liste P N 3814 II/2 table P N 3892 II/2 table P non attesté Section S Dans la moitié des cas où le début est visible, le premier item est de style plein : première entrée tablettes type section 1/3 sar a-ša 3 N 3886+ I table S (style plein) N 3847 I liste S 1 sar a-ša 3 (style plein) CBS 10990 I liste S 1/3 sar CBS 8139+ I table S (style abrégé) 2N-T 530 I table S Ni 5233* II/1 table S 92

Section L Pour toutes les sections L dont le début est identifiable, le premier item est 1 šu-si. première entrée tablettes type section 1 šu-si 2N-T 530 I table L Ni 3296 I table L Ni 3960* II/1 table L Ni 10207* II/1 table L Ni 10157 II/1 table L H. 42 III table L H. 41 III table Lh Conclusion Le premier item des sections métrologiques (listes et tables C, P, et S) est en général de style plein, alors que les autres items sont de style abrégé. Il contient le nom de la section : sections première entrée nom de la section sens propre sens technique C 1 gin 2 še še grain capacité P ½ še ku 3 babbar ku 3 -babbar argent poids S 1/3 sar a-ša 3 a-ša 3 champ surface Dans le cas des longueurs, l incipit ne contient pas le nom de la section, mais on trouvera plus loin des cas (de provenances autres que Nippur) où le nom de la table figure dans un colophon. 6.1.3 Fin de section La façon dont les textes des sections métrologiques s interrompent à la fin des tablettes ou s enchaînent avec les sections suivantes apporte des informations sur la structure de l ensemble des séries métrologiques. En toute rigueur la «fin de section» écrite ne peut être observée que sur les tablettes contenant la section complète (types I et II/2). Mais, dans quelques cas, j ai pris en considération des extraits écrit sur la face de tablettes de type II (type II/1) se terminant par une ligne d appel. La fin des sections écrites sur les tablettes peut se repérer de plusieurs façons, pouvant éventuellement se combiner : - fin de la tablette ; - début de la section suivante ; - marques visuelles (double trait, espace vide) ; - marques textuelles (ligne d appel, doxologie). Sections C Dans le texte composite, la dernière entrée de la section C complète est : 93

1 (šar 2 ) gal šu-nu-tag gur 1 grand-šar-que-la-main-n atteint-pas gur Cependant, le texte écrit sur les tablettes s arrête en général avant ce dernier item, quand la surface (face ou revers) est remplie. Dans quelques cas, la fin du texte écrit est marquée par un double trait ou le début de la section suivante. Il n y a pas de ligne d appel attestée pour cette section. Dans le Tableau 11 suivant, j ai relevé la dernière entrée de la section des capacités lorsque celle-ci est visible, et j ai noté les éléments qui montrent qu il s agit bien de la fin du texte écrit (double trait, début de la section suivante, espace vide, ou tout simplement fin de la tablette). Ce tableau montre deux types de fin de texte. Dans la majorité des cas, la fin du texte écrit correspond à la fin de la tablette et ne s enchaîne pas avec la section suivante, le texte écrit s interrompt avant le dernier item du texte composite. Dans quelques cas, la fin du texte écrit correspond à peu près à la fin du texte composite, le dernier item est suivi de marques visuelles (double trait ou espace vide) et s enchaîne avec la section suivante (section des poids P). dernière entrée tablettes type section marques / suite 1 (gur) 4 (bariga) gur CBS 6781 II/2 liste C fin de tablette 7 gur CBS 19809 II/2 liste C fin de tablette 15 gur CBS 8104 II/2 table C fin de tablette 19 gur N 3923 II/2 liste C fin de tablette 50 gur Ni 10108 II/2 liste C fin de tablette 2 (geš 2 ) gur Ni 4744 II/2 liste C fin de tablette 1 (geš u) 6 (geš 2 ) gur Ni 3711* II/2 liste C fin de tablette 2 (geš u) gur Ni 10009 II/2 liste C fin de tablette 3 (geš u) gur Ni 4622 II/2 liste C fin de tablette 1 (šar 2 ) gur Ni 10211 I table C fin de tablette 1 (šar 2 ) 2 (geš u) gur N 3948 II/2 liste C fin de tablette 5 (šar u) gur N 3814 II/2 table C double trait section P 1 (šar 2 ) gal šu-nu-tag gur UM 29-13-711 II/2 liste C fin de tablette Ni 10135*+CBS 10181 II/2 liste C section P CBS 8214 II/2 liste C espace vide, double trait section P CBS 10990+ I liste C section P Tableau 11 : fins de listes et tables de capacités Sections P Dans le texte composite, la dernière entrée de la section P complète est : 1 (šar 2 ) gal šu-nu-tag gu 2 1 grand-šar-que-la-main-n atteint-pas gu 2 La fin du texte écrit correspond à peu près à la fin du texte composite, elle intervient pour des «nombres ronds» : 1 (geš 2 ) gu 2, 1 (geš u) gu 2 et 1 (šar 2 )-gal šu-nu-tag gu 2. Les marques de fin de section (double trait, ligne d appel de la section L) sont fréquentes pour les poids, alors qu elles sont rares pour les capacités. La section des poids s enchaîne toujours avec celle des surfaces (S). Dans le Tableau 12 qui suit, figurent les tablettes (type I) sur lesquelles on peut voir la fin du texte écrit de la section P complète. 94

dernière entrée tablettes type section marques / suite 1 (geš 2 ) gu 2 ku 3 -babbar 2N-T 530 I liste P espace vide, section S N 3847 I table P double trait, section S N 3886+ I table P double trait, section S 1 (geš 2 ) gu 2 CBS 8139+ I table P double trait, section S 1 (šar 2 )-gal šu-nu-tag gu 2 CBS 10990 I liste P section S Tableau 12 : fins de listes et tables P Dans deux cas, on trouve un extrait de la section des poids sur la face d une tablette de type II ; cet extrait est alors suivi d un double trait et d une ligne d appel. dernière entrée tablettes type section marques / suite 10 gu 2 Ni 4623* II/1 table P double trait, ligne d appel N 4948 II/1 table P double trait, ligne d appel Tableau 13 : fins d extraits de listes et tables P Ces exemples montrent que les sections des poids, qu elles soient des listes ou des tables, sont très fortement enchaînées à celles des surfaces ; par contraste, les sections des capacités semblent relativement indépendantes de l ensemble de la série. Sections S Dans le texte standard, la dernière entrée de la section S complète est : 1 (šar 2 ) gal šu-nu-tag gan 2 1 grand-šar-que-la-main-n atteint-pas gan 2 Le texte écrit des sections S s arrête, comme dans le cas des sections P, sur des «nombres ronds» : 1 (šar 2 ) gan 2, 1 (šar 2 )-gal gan 2, 1 (šar 2 )-gal šu-nu-tag gan 2. La section S est toujours suivie par la section L. dernière entrée tablettes type section marques / suite 1 (šar 2 ) gan 2 2N-T 530 I table section L 1 (šar 2 ) gal gan 2 Ni 3296 Fragment table double trait, section L 1 (šar 2 )-gal šu-nu-tag gan 2 CBS 10990+ I liste section L Tableau 14 : fins de listes et tables de surfaces Comme pour les poids, les sections de surfaces sont fortement enchaînées à celles des longueurs. Sections L Le dernier item de la section des longueurs est difficile à identifier, car il n est visible sur aucun exemplaire où se trouve la série complète. Sur un fragment (Ni 10097), la dernière entrée visible est 28 danna, et sur un autre (CBS 13940), on voit que la table des longueurs atteint au moins 50 danna. Deux autres tablettes (H. 43 et Ni 3352*) contiennent un extrait qui se situe vers la fin de la section des longueurs. 95

Il existe une autre sorte de table des longueurs, la table Lh dont il sera question dans les paragraphes suivants ( 6.1.5). A cette catégorie appartient la tablette Ni 3703* + N 3901 + UM 29-15-483, la seule, de toutes celles qui comportent des sections métrologiques, à se terminer par la formule de louange spécifique des fins de série : d nisaba za 3 -mi 2 (gloire à Nisaba). dernière ligne tablettes type section marques / suite 7 danna Ni 3352* II/1 liste L double trait fin de tablette 10 danna H. 43 III table L double trait fin de tablette 50 danna CBS 13940 Fragment liste ou table L cassé 5 ninda Ni 3703* + N 3901 + UM 29-15-483 III table Lh doxologie fin de tablette Tableau 15 : fins de listes et tables de longueurs Les sources ne permettent pas d observer la fin de la section des longueurs (pas de tablette de type I ou II/2 où celle-ci est visible). Mais il est hautement significatif que la seule doxologie attestée dans les listes mathématiques intervienne à la fin de la table des hauteurs, marquant ainsi la fin de la série des tables métrologiques. On reviendra sur ce point dans le paragraphe suivant ( 6.1.4 Table des hauteurs). Conclusion Dans le Tableau 166 suivant, on trouvera un résumé des observations des fins de sections faites dans ce paragraphe (listes et tables confondues). Le total des lignes est supérieur au nombre de tablettes car certaines tablettes ont plusieurs marques différentes. section nombre de fin de tablette section marques de fin de section tablettes suivante double trait ou ligne d appel doxologie espace C 16 12 4 2 0 0 P 7 0 5 6 2 0 (dont 2 extraits) (les 2 extraits) S 3 0 3 1 0 0 L 2 (extraits ) 2 (extraits) // 2 (extraits) 0 0 Lh 1 (extrait) 1 (extrait) 0 0 0 1 (extrait) Tableau 16 : fins de sections métrologiques Ce tableau fait apparaître une tendance qui sera plus nettement mise en évidence dans la suite : les sections C sont moins intégrées que les autres dans l ensemble des séries métrologiques. Majoritairement, elles se terminent avec la fin de la tablette sur les revers de type II, et ne sont pas raccordées aux autres sections. Aucune ligne d appel n est attestée à la fin des sections C. L ensemble des sections P, S et L forme en revanche un bloc solidaire. 96

6.1.4 Découpage des séquences Il a déjà été remarqué que, les sections métrologiques étant assez longues, elles sont souvent segmentées en séquences. On trouve les listes et tables métrologiques principalement sous forme d extraits, notamment dans les tablettes de type II. Le choix du début et de la fin de ces séquences ne semble pas obéir à des règles strictes. Elles ont néanmoins une certaine homogénéité interne (listes d items composés d une seule unité, par exemple liste de gin 2, ou de gur, etc.). Dans un seul cas, des marques de division en séquences d une section métrologique presque complète apparaissent sur la tablette : Ni 1878* (type II) proverbes collection 3 (source F); table métrologique C Cette tablette contient des proverbes sur la face et une table des capacités au revers. Elle est unique en son genre à deux titres : la tables des capacités est partagée en sous-sections par des traits horizontaux ; elle est de style fortement abrégé (le nom de l unité est donné dans la première ligne de chaque sous-section, puis omis). Le bas de la tablette est cassé, 10 à 15 lignes sont manquantes mais la reconstitution est possible (les parties reconstituées sont grisées) : 97

Ni 1878 revers col. I 1 gin 2 1 1 1/3 1.20 1 1/2 1.30 1 2/3 1.40 1 5/6 1.50 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 11 12 12 13 13 14 14 15 15 16 16 17 17 18 18 19 19 1/3 sila 3 20 1/2 30 2/3 40 5/6 50 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 1 (ban 2 ) še 10 revers col. II 2 (ban 2 ) še [20] 3 (ban 2 ) [30] 4 (ban 2 ) [40] 5 (ban 2 ) [50] 1 (bariga) še [1] 1 (bariga) 1 (ban 2 ) [1.10] 1 (bariga) 2 (ban 2 ) [1.20] 1 (bariga) 3 (ban 2 ) [1.30] 1 (bariga) 4 (ban 2 ) [1.40] 1 (bariga) 5 (ban 2 ) [1.50] 2 (bariga) še [2] 2 (bariga) 1 (ban 2 ) [2.10] 2 (bariga) 2 (ban 2 ) [2.20] 2 (bariga) 3 (ban 2 ) [2.30] 2 (bariga) 4 (ban 2 ) [2.40] 2 (bariga) 5 (ban 2 ) [2.50] 3 (bariga) še [3] 3 (bariga) 1 (ban 2 ) [3.10] [3 (bariga) 2 (ban 2 ) 3.20] [3 (bariga) 3 (ban 2 ) 3.30] [3 (bariga) 4 (ban 2 ) 3.40] [3 (bariga) 5 (ban 2 ) 3.50] [4 (bariga) še 4] 4 (bariga) 1 (ban 2 ) 4.10 4 (bariga) 2 (ban 2 ) 4.20 4 (bariga) 3 (ban 2 ) 4.30 4 (bariga) 4 (ban 2 ) 4.40 4 (bariga) 5 (ban 2 ) 4.50 1 gur 5 2 10 3 15 4 20 5 25 6 30 7 35 8 40 9 45 10 50 11 55 12 gur 1 6.1.5 La table des hauteurs Sur les 27 tables métrologiques des longueurs du corpus «math BE», 23 établissent la correspondance standard (1 ninda 1), mais 4 établissent une correspondance différente (1 ninda 12). Il en est de même d une tablette exhumée par la Joint Expedition, 2 N-T 530. Dans le cadre de l interprétation des tables métrologiques communément admise, c est-à-dire en 98

les considérant comme des tables de conversion dans une unité de base, J. Friberg 208 a proposé les conventions suivantes : les tables de longueur standard sont des tables de conversion en ninda, notées Ln, et les autres des tables de conversion en cubit (traduction anglaise de kuš 3 ), notées Lc. Pour des raisons qui sont justifiées dans la suite de ce paragraphe, j ai choisi la notation L (table des longueurs) pour les premières, Lh (table des hauteurs) pour les secondes. Deux de ces tables des hauteurs sont présentées en détail ci-dessous, puis les 5 tables Lh seront examinées dans leur ensemble. Ni 3703* + N 3901 + UM 29-15-483 Ces trois fragments, que j ai joints en janvier 2004, permettent de reconstituer un exemplaire assez complet de table des hauteurs : face [2] kuš 3 2 3 kuš 3 3 4 kuš 3 4 [5] kuš 3 5 [½] ninda 6 [½] ninda 1 kuš 3 7 [½] ninda 2 kuš 3 8 ½ ninda 3 kuš 3 9 ½ ninda 4 kuš 3 10 revers ½ ninda 5 kuš 3 11 [1] ninda 12 [1 ½] ninda 18 [2] ninda 24 [2 ½] ninda 30 [3] ninda 36 [3 ½] ninda 42 [4] ninda 48 [4] ½ ninda 54 tranche supérieure 5 ninda 1 d nisaba za 3 -mi 2 (Gloire à Nisaba) 2 N-T 530 La translittération de cette table métrologique P, S, L a été publiée dans MMT. Mais la fin n a pas été reconnue par Neugebauer et Sachs 209 : 208 Friberg 1993. 209 Neugebauer et Sachs 1984, p. 248-250 ; en revanche, J. Friberg a bien identifié une table qu il appelle «Lc» (Friberg 1987-90, p. 543 ; Friberg 1993, p. 387). 99

2N-T 530, revers, colonne IV (translittération et commentaire de Neugebauer et Sachs 1984 p. 250) [30] danna 15 [40] danna 20 [50danna] 25 [60 danna] 30 [ ] 2 [ ] 4 [ ] 6 [ ] 8 [ ] 10 [ 1]2 [ 1]4 The preserved sexagesimal numbers at the end of the lines seem to force us to assume an otherwise completely unknown higher unit of 4,0 danna. Description des tables Lh Quelques caractéristiques des tables Lh de Nippur (les 4 du corpus «math BE» ainsi que 2 N- T 530) sont rassemblées dans le Tableau 17 suivant : le locus de découverte, quand celui-ci est connu (il ne l est en fait que pour H. 41), le type, le contenu de la face et du revers, la présence d un colophon. numéro locus type face revers colophon Ni 4908* // Prisme faces 1, 2, 3 : tables face 4: table Lh ; début // métrologiques (C visible) et fin non visibles H. 41 niveau V III table Lh suite de la face; signature sur 4 ème BE fin non visible les tranches Ni 3703*+N 3901 // III table Lh suite de la face d Nisaba za 3 -mi 2 + UM 29-15-483 UM 29-15-500 // II table Lh; table métrologique? // fin non visible 2 N-T 530 // I tables P, S tables L, Lh // Tableau 17: tables des hauteurs à Nippur Ces cinq tablettes n ont pas de caractère commun évident. Elles sont de types différents et de provenance imprécise. Trois d entre elles ont des particularités originales qui en font des exemplaires uniques (Ni 4908* est le seul prisme du lot ; H. 41 porte le nom du scribe ; Ni 3703*+, la seule des 4 dont on voit la fin, porte la formule de louange à Nisaba). L ensemble de ces éléments permet de situer la table Lh par rapport aux autres tables métrologiques : - 2 N-T 530 est une table de type I qui présente l enchaînement P, S, L, Lh: donc la table Lh appartient à la série des tables métrologiques, elle est placée après la table L ; - Ni 3703*+ se termine par la formule de louange à Nisaba, et c est la seule table métrologique portant une marque de fin : la table Lh est donc la dernière de la série. 100

L existence d une cinquième section, celle des hauteurs, dans la série des tables métrologiques permet d expliquer certaines singularités : - le nombre des tables Lh est faible car celles-ci se trouvent à la fin de la série. En effet, comme cela a été remarqué par N. Veldhuis pour les listes lexicales et E. Robson pour les tables de multipliclation, fréquence des sections est décroissante quand on s avance dans la série 210 ; - le prisme, comme les tablettes de type I, rassemble toutes les sections d une grande série ; c est un travail de synthèse de caractère exceptionnel, moins banal que les exercices quotidiens. Il n est donc pas étonnant que ce soit sur cet exemplaire rare qu on trouve la totalité de la série des tables métrologiques, y compris les dernières sections. Autres sources Hors de Nippur, il existe plusieurs exemples de tables métrologiques paléo-babyloniennes construites sur la correspondance 1 ninda 12 (c est-à-dire 1 kuš 3 1) : tablette provenance type contenu références BM 92698 «table de Senkereh» Larsa I table métrologique L, Lh, table de racines carrées, table de racines cubiques ; colophon Rawlinson & al. 1861-1884 IV, 40, n 1 ; Neugebauer 1935-7 MKT I p. 69-70, 73 ; Thureau-Dangin 1932c p. 116 ; Friberg 1987-90 p. 543. Gurney 1974 ; Friberg 2000 p. 156. UET 7-115 Ur I table métrologique L, Lh ; colophon BM 17403 inconnue III table métrologique Lh Nissen & al. 1993 p. 146. Ist O 4108 Kiš I table métrologique L?, Lh? 211, table de racines carrées, table de racines cubiques AO 8865 Larsa? Prisme table métrologique L; Lh? 212 ; table de racines carrées; table de racines cubiques W 1923-366 inconnue Prisme table métrologique L; Lh ; table de racines carrées Tableau 18 : table des hauteurs en Mésopotamie Genouillac 1924-5 PRAK 2, A 303 ; Neugebauer 1935-7 MKT I p. 69-70, 73 ; pl. 68 ; Friberg 1987-90 p. 543. Thureau-Dangin 1930b p. 73-78; MKT I p. 69; p. 88 ; Friberg 1987-90 p. 543. Annexe 8 de ce volume. van der Meer 1938 n 156 ; MCT p. 34. 210 Robson 2002b, p. 339 ; 343. On reviendra sur ce point à la fin du chapitre, à propos de la structuration des séries élémentaires. 211 Neugebauer et Genouillac (dont les descriptions sont très brèves) signalent une table métrologique, mais sans plus de précision. J. Friberg affirme qu il s agit des tables L et Lh. 212 La table Lh n est visible ni dans la copie de Thureau-Dangin ni dans la transcription de Neugebauer, mais sa présence est supposée par J. Friberg. Après collation, il s avère que la face III où elle devrait se trouver est entièrement détruite (voir annexe 8); l existence de la table Lh dans ce prisme n est donc qu une hypothèse. 101

Dans les cinq cas où la table Lh se trouve sur une tablette de type I ou un prisme, elle vient juste après table L. Dans 4 cas sur 6, les tables L et Lh sont associées à des tables de racines carrées ou cubiques. L ensemble des tables métrologiques des longueurs et hauteurs, des racines carrées et cubiques, semble former une série autonome. Les séries n ont donc pas partout la même composition : à Nippur, les tables L et Lh sont groupées avec les autres tables métrologiques ; ailleurs, les tables L et Lh sont groupées avec les tables de carrés, racines carrées et cubiques. Or ce dernier groupe est au cœur du calcul des surfaces et des volumes. Nous reviendrons sur ce point important à propos de la structuration des séries élémentaires et des méthodes de calcul dans les exercices métrologiques (chapitre 7). Les tables d Ur (UET 7-114, UET 7-115) et BM 92698 se terminent par des colophons 213 qui confirment l existence de deux tables pour les mesures linéaires : - une table «pour les longueurs, largeurs, diagonales» - une table «pour les hauteurs et profondeurs». UET 7-114 Sur le revers de UET 7-114, la table métrologique L se termine par : [nam-uš] dagal-la-šè pour [les longueurs] et diagonales puis un double trait de fin de section et une doxologie. UET 7-115 Sur le revers de UET 7-115, la table métrologique L se termine par : nam- uš [dagal-la-še 3 ] [pour] les longueurs [et diagonales] et la table métrologique Lh se termine par : nam-sukud-bur 3 -še 3 pour les hauteurs et profondeurs puis par un double trait de fin de section. BM 92698 Les différentes éditions de BM 92698 214, tout au moins de la partie qui nous intéresse ici, à savoir les colophons, ne s accordent pas. On s en tiendra donc à la collation faite en 2004 par E. Robson, qu elle m a aimablement communiquée. D après la copie de Rawlinson, la table métrologique L (face, colonnes I et II) se termine par une ligne supplémentaire, que J. Friberg transcrit : nam-uš-sag-aša 5 -še 3 pour les longueurs et largeurs de surface Cela ne correspond pas tout à fait à la copie de Rawlinson, où on lit : 213 Voir remarques de J. Friberg (Friberg 1987-90, p. 543 ; Friberg 2000, p. 154-6). 214 Rawlinson, Norris, Smith et Pinches 1861-1884 (copie); Thureau-Dangin 1932c (reconstitution); Friberg 1987-90 (transcription). 102

nam-uš GAN 2 MA (?) 1/3 (?) D après la collation de E. Robson, cette ligne n existe pas (ou plus?) sur la tablette. Elle ne peut donc fonder aucune conclusion. En revanche, la table métrologique Lh (face, colonnes III et IV) se termine bien par une ligne supplémentaire indiquant qu il s agit d une table des hauteurs (collation d E. Robson) : nam? -sukud-x-da-še 3 pour les hauteurs La copie de Rawlinson et la transcription de J. Friberg sont en accord entre elles, mais donnent une autre lecture (nam-sukud-bur 3 -sahar-še 3 = pour les hauteurs et les profondeurs de volume). La reconstitution de F. Thureau-Dangin ne mentionne aucune des deux lignes supplémentaires, ni celle de la table L (qui n existait peut-être pas), ni celle de la table Lh (qui existe). La face de la tablette BM 92698 contient successivement une table des longueurs et une table des hauteurs ; on ne sait pas si la première se termine par la mention «pour les longueurs», mais on sait que la deuxième se termine par la mention «pour les hauteurs». Conclusion Ces tablettes montrent que, à Nippur comme dans d autres sites, il existe deux tables des longueurs : la plus fréquente est une table «pour les longueurs, largeurs et diagonales», la deuxième est «pour les hauteurs et profondeurs». A Nippur et à Ur, cette table des hauteurs se situe en dernière position dans la série des tables métrologiques. Dans d autres sites, elle appartient, avec la table L, à la même série que les tables de racines carrées et cubiques. L existence d une table des hauteurs est à mettre en relation avec la définition des volumes («surfaces» d épaisseur 1 kuš 3 ) dans le système métrologique normalisé issu des réformes de la fin du troisième millénaire, où les dimensions horizontales des objets de l espace (longueurs, largeurs, diagonales) sont de nature différente des dimensions verticales (hauteurs et profondeurs). Elle donne une cohérence d ensemble aux systèmes des tables métrologiques, intégrant le calcul des volumes par lecture des tables de surface. Les tablettes de niveau supérieur de Nippur permettront de revenir sur ce point et de préciser le mode d emploi des tables de surfaces. Remarquons simplement pour l instant que, pour le calcul des volumes, les hauteurs et les épaisseurs sont divisées par 5, c est-à-dire multipliées par 12, qui est précisément le facteur multiplicatif introduit dans les tables Lh : longueurs L: 1 ninda 1 c est-à-dire 1 kuš 3 5 hauteurs Lh : 1 ninda 12 c est-à-dire 1 kuš 3 1 6.1.6 Comparaison avec les tables néo-babyloniennes (NB) Une brève évocation des tables métrologiques du premier millénaire peut apporter un autre éclairage sur la structure des séries métrologiques 215. Tout d abord, ces tables plus récentes se distinguent nettement des tables paléo-babyloniennes par leur présentation : la correspondance entre mesures et nombres est inversée, les mesures sont à droite et leurs correspondants numériques à gauche ; l ordre des sections est également différent et inverse de l ordre paléo- 215 Pour une description détaillée des tables métrologiques du premier millénaire, voir Friberg 1993. 103

babylonien. Les exemplaires connus de tables métrologiques du premier millénaire ne sont pas nombreux (CBS 8539 (Nippur), CBS 11019 (Nippur), CBS 11032 (Nippur), W 22260a (Uruk), W 23273 (Uruk)). Les plus complets sont W 23273 d Uruk et CBS 8539 de Nippur. Le Tableau 19 suivant présente certaines caractéristiques de ces tables, comparées à celles du corpus paléo-babylonien de Nippur. Les abréviations suivantes sont utilisées : N est un nombre sexagésimal positionnel (nombre abstrait), N correspond à des hauteurs n est un nombre d unités de mesure (nombre concret) u est le nom d une unité de mesure L est la table des longueurs standard (1 kuš 3 5) Lh est la table des hauteurs (1 kuš 3 1) L et L sont des tables de longueur fondées sur définition non normalisée du kuš 3 (voir commentaire) P est la section des poids (1 ma-na 1) C est la section des capacités (1 gur 5) Les différences entre les tables NB et les tables OB de Nippur sont signalées en caractères gras. sections L W 23273 (NB, Uruk) divinités, S, L, Lh, notices explicatives 1 šu-si 10 et 1 kuš 3 = 30 šu-si CBS 8539 (NB, Nippur) L, Lh, L, L, P, C, notices explicatives 1 šu-si 10 et 1 kuš 3 = 30 šu-si corpus OB de Nippur C, P, S, L, Lh 1 šu-si 10 et 1 kuš 3 = 30 šu-si Lh donc 1 kuš 5 1 šu-si 2 et 1 kuš 3 = 30 šu-si donc 1 kuš 3 5 1 šu-si 2 et 1 kuš 3 = 30 šu-si donc 1 kuš 3 5 1 šu-si 2 et 1 kuš 3 = 30 šu-si donc 1 kuš 3 1 donc 1 kuš 3 1 L // 1 šu-si 2.30 et 1 kuš 3 = 24 šu-si donc 1 kuš 3 1 L // 1 šu-si 1.30 et 1 kuš 3 = 24 šu-si donc 1 kuš 3 1 // // donc 1 kuš 3 36 modèles d items N n-u N n-u n-u N variantes dans les u-n N gloses // modèles d items N N n-u (tables Lh et L conjointes) Tableau 19 : tables néo-babyloniennes Commentaires Les sections L et Lh sont identiques dans les trois cas ; deux autres systèmes des longueurs fondés sur le kuš 3 à 24 šu-si sont mentionnés dans CBS 8539 ; ils sont notés dans le tableau L et L. Les tables néo-babyloniennes présentent de nombreuses variantes dans la présentation des items. CBS 8539 a des gloses intercalées, donnant la conversion de sous-multiples en multiples, par exemple (je note les gloses entre parenthèses) : 15 uš (1/2 danna) 30 uš (1 danna) 16 šu-si (2/3 kuš 3 ) 24 šu-si (1 kuš 3 ) 104

W 23273 décline les différentes sections en variant l ordre des composants des items autant qu il est possible, et va même jusqu à fusionner deux sections en donnant côte à côte le nombre sexagésimal selon la correspondance des tables Lh (nombre abstrait N ) et selon la correspondance des tables L (nombre abstrait N), suivant le modèle : N N n-u Cette comparaison entre des textes ayant plus de mille ans d écart d âge montre la persistance d éléments essentiels du système normalisé des longueurs sur une longue période. Elle fait également ressortir l uniformité des séries OB par rapport à la variabilité des séries NB. Ce fait est d autant plus remarquable qu il n est pas général : contrairement aux listes lexicales, les tables et listes métrologiques ne sont pas figées dans un canon stable. 6.1.7 Comparaison avec d autres sites Les tables et listes métrologiques provenant d autres sites que Nippur ne sont pas nombreuses. On peut citer par exemple : - 2 tables à Uruk ; - 2 tables à Ur ; - 2 tables à Larsa ; - 6 listes et 1 table à Kiš ; - 6 listes à Tell Harmal ; - 4 listes à Suse ; - 1 liste et 6 tables à Sippar-Amnânum. On peut signaler également une table métrologique provenant probablement de Tell Harmal : IM 54486. En interprétant l étrange description de Bruins 216, on comprend qu il s agit en fait du début d une table métrologique des poids identique à celles de Nippur, plus précisément de la séquence suivante (que n avait pas reconnue Bruins) : ½ še ku 3 -babbar 10 à 20 še 6.40 Sans tirer de conclusion qui, fondée sur un si faible effectif, serait hasardeuse, on peut remarquer que les tables sont plus fréquentes au sud (Uruk, Ur, Larsa) et les listes plus fréquentes au nord et en Elam (Kiš, Telle Harmal, Suse). Le cas de Sippar est, de ce point de vue, atypique. 216 Bruins 1954, p. 55 : «IM 54486 contains one column of the form a she kaspim 10a in which a increases by one half from 1/2 to 5 and then by units up till 20» 105

Le contenu des listes et tables métrologiques, pour celles qui sont éditées 217, s écarte peu du modèle de Nippur. Mais leur place dans l ensemble des séries élémentaires peut être assez différente. En effet, comme cela a été remarqué précédemment (voir 6.1.5 sur les tables de hauteurs et 6.2.5 sur les tables de racines), on peut les trouver groupées avec des tables de carrés, de racines carrées et de racines cubiques (par exemple BM 92698 et AO 8865 de Larsa, Ist O 4108 de Kiš). La documentation provenant des régions périphériques est plus rare encore, mais témoigne de l influence du modèle de Nippur et des écoles du sud 218. 6.1.8 Répartition statistique des sections métrologiques 219 La répartition des sections métrologiques selon différents paramètres (catégories de textes, types de tablettes) donne un autre éclairage sur la structure des séries métrologiques et la fonction des sections. On trouvera dans l annexe «Données statistiques» des tableaux et graphiques sur les séries métrologiques (Annexe 3, 3 et figures 4, 5 et 6). Effectifs des sections métrologiques Les effectifs des différentes sections donnent une première indication sur l importance de leur place respective dans les activités scolaires (voir Annexe 3 «Données statistiques», figures 3 et 5). Les listes et les tables représentent à peu près la même proportion des sections métrologiques prises globalement (196 listes et 193 tables). Cependant, cette apparence équilibrée cache de fortes disparités : les listes sont nettement majoritaires parmi les sections de capacités sur les revers de type II, tandis que les tables sont dominantes dans presque toutes les autres catégories (voir Figure 8 et Figure 9 ci-dessous). Dans les deux séries, les capacités représentent à elles seules plus de la moitié des sections : 73% des listes et 54% des tables. Les différentes sections ont donc des fréquences très inégales. Des disparités existent également dans la typologie des tablettes. Corrélation entre sections métrologiques et types de tablettes Comme on vient de le constater, les listes métrologiques des capacités sont massivement présentes sur les revers de type II ; les autres listes, beaucoup moins nombreuses, se répartissent à peu près équitablement entre les types I et II ; les types III et IV sont rarement utilisés pour les listes métrologiques. 217 Les exemplaires de Kiš, conservés à Istanbul, ont été signalés par Genouillac, mais on ne dispose ni de copie, ni de translittération, ni même de description précise (Genouillac 1924-1925). 218 Un intéressant exemple de liste métrologique des poids paléo-assyrienne couplée avec une lexicale, provenant de Kültepe en Anatolie, a été publié par C. Michel (Kt t/k 76+79, Michel 1998, p. 253-255) ; cette liste est un curieux mélange de texte scolaire standard et d écritures paléo-assyriennes, avec des variantes inattendues. 219 Rappelons que, comme toutes les autres données statistiques, celles qui suivent se rapportent à l ensemble «math BE» des tablettes exhumées par la Babylonian Expedition et conservées à Philadelphie, Istanbul et Iéna. 106

On trouvera dans l Annexe 3 «Données statistiques» la répartition des sections métrologiques selon le type de tablettes (figures 4 et 5 de cette annexe) ; je complèterai ces données par les deux graphiques ci-dessous (Figure 8 et Figure 9) permettant de mettre en évidence la différence entre les capacités d une part, les autres sections d autres part, dans l allure générale de la répartition. 100 57 listes C tables C 10 12 9 7 7 2 2 0 I II/1 II/2 III IV Figure 8 : nombre de listes et de tables C selon le type de tablettes listes P, S, L tables P, S, L 10 12 9 15 14 16 11 2 0 0 I II/1 II/2 III IV Figure 9 : nombre de listes et de tables P, L, S selon le type de tablettes 107

Ces répartitions montrent que les listes de capacités jouent un rôle particulier dans la formation élémentaire, différent de celui des autres sections métrologiques. Un cas particulier La lentille Ni 2782* est un des rares exemplaires d extrait de liste métrologique écrite sur une tablette de type IV. C est également le seul cas de style plein pour cette séquence de mesures de capacités en sila 3 (présence de la mention še, qu on ne trouve habituellement que dans l incipit). Ni 2782* face 1/3 sila 3 še 1/2 sila 3 še 5/6 sila 3 še 1 sila 3 še revers 1 1/3 sila 3 še 1 1/2 sila 3 še 1 5/6 sila 3 še 2 sila 3 še 3 sila 3 še Les tablettes de type IV sont, dans le cas des mathématiques, généralement réservées à des exercices de calcul numérique intervenant après la phase élémentaire d assimilation des tables métrologiques et numériques (voir chapitre 7). Cette constatation, ainsi que le style et la qualité de la calligraphie de Ni 2782*, laissent supposer que son auteur est un étudiant avancé. Pourquoi un étudiant avancé s exercerait-il à écrire quelques lignes d une série de niveau élémentaire qu il a probablement déjà assimilée depuis longtemps? Il pourrait s agir d un entraînement à l écriture de modèles pour débutants, tels qu on peut les trouver sur les faces de tablettes de type II. Dans ce cas, cela montrerait que les étudiants avancés peuvent jouer un rôle de «moniteur» pour les plus jeunes. Listes et tables métrologiques sur les tablettes de type II Les catégories de texte étant différentes sur la face et le revers des tablettes de type II, on peut se demander s il existe une corrélation entre les textes qui se trouvent des deux côtés de ces tablettes. Or, là encore, les listes de capacités se distinguent des autres sections. On peut le constater en détail dans les tableaux concernant les tablettes de type II qui se trouvent dans l annexe (voir Annexe 3 «Données statistiques» 5). Quelques données plus globales sont rassemblées dans les deux tableaux suivants 220. 220 Les effectifs de ces données peuvent être supérieurs à la somme des effectifs partiels détaillés en annexe en raison des incertitudes sur l identification des textes : un texte identifié comme étant un exercice de sumérien mais de catégorie incertaine (liste lexicale, proverbe ou contrat) sera pris en compte dans les effectifs globaux de ces tableaux, mais pas dans les effectifs détaillés de l Annexe 3. 108

Nombre de tablettes de type II contenant des listes métrologiques selon les catégories de texte se trouvant sur la face et le revers : face liste C liste P, S ou L sumérien revers liste C 2 3 40 liste P, S ou L 1 1 3 sumérien 1 4 87% des listes métrologiques C sont couplées avec des textes sumériens ; pour les autres listes métrologiques, c est une minorité (37%) qui est dans ce cas. Nombre de tablettes de type II contenant des tables métrologiques pour différents couplages des textes sur la face et le revers : face table C table P, S ou L sumérien revers table C 2 8 19 table P, S ou L 0 3 4 sumérien 2 4 Un déséquilibre existe également pour les tables métrologiques, mais il est moins accentué, voire peu significatif : 67% des tables métrologiques C sont couplées avec des textes sumériens, contre 42% dans le cas des autres tables. Enfin, il faut insister sur le fait qu il n y a aucun cas de couplage sur une même tablette d une liste métrologique et d une table métrologique. On reviendra sur ce point important dans le paragraphe suivant. 6.1.9 Structure des séries métrologiques Les marques de fin de section et la répartition des sections selon la catégorie et le type de tablettes permettent de dégager quelques conclusions concernant la structure des séries métrologiques. Les 9 sections métrologiques constituent deux séries indépendantes : une série de quatre listes et une série de cinq tables. On ne trouve jamais, sur une même tablette, des listes et des tables métrologiques, ni dans les tablettes de type I (les listes et les tables appartiennent à des séries différentes), ni dans les tablettes de type II. Chaque section commence par un item de style plein qui donne le nom de la liste ou table (sauf dans le cas des longueurs, pour lesquelles on trouve hors de Nippur des cas où le nom figure dans un colophon). Au sein de chaque série, les sections se succèdent dans un ordre fixe qui ne souffre aucune exception (C, P, S, L, et Lh pour les tables). Cependant, les sections ne forment pas un ensemble homogène au sein de la série. Des sections et groupes de sections ont des relations de plus ou moins grande autonomie par rapport à l ensemble. Les listes de capacités se distinguent par leur nombre, le lien faible qui les relie aux autres sections (pas de ligne d appel et présence majoritaire des sections seules), leur place 109

prépondérante sur les revers de type II, et leur forte intégration dans le cursus sumérien (elles sont couplées principalement avec des listes lexicales dans les types II). Ces caractères s appliquent aussi aux tables de capacités, mais de façon plus atténuée. Les autres sections (P, S, L) sont beaucoup moins nombreuses que les capacités, elles ont une répartition relativement régulière, les tables y sont majoritaires, et elles sont fortement enchaînées les unes aux autres. Les tables de surfaces, longueurs et hauteurs forment un sous-groupe cohérent associé, selon des sources hors de Nippur, aux tables de racines carrées et cubiques. 6.2 Tables numériques On trouve à Nippur toutes les catégories de tables numériques attestées en Mésopotamie ; ces tables forment un ensemble composé des catégories suivantes : - une table d inverses - 38 tables de multiplication - une table de carrés - une table de racines carrées - une table de racines cubiques. L examen des tablettes de type I montre que cet ensemble ne forme pas une série unique, mais qu il faut distinguer deux séries différentes. Les trois premiers ensembles de tables (inverses, multiplications, carrés) forment une série indépendante qu on trouve complètement écrite sur les tablettes de type I, comme le montre la tablette Ni 2733*, un exemplaire exceptionnellement bien conservé. Les deux tables de racines ne sont pas associées aux autres sur les tablettes de type I et forment un groupe à part. La majorité des tables numériques (inverses, multiplication, racines carrées) sont elles-mêmes composées de plusieurs parties, parmi lesquelles on peut distinguer principalement : un en-tête d une ou plusieurs entrées, le corps de la table, et une extension d une ou plusieurs entrées supplémentaires. Ce schéma général est appliqué plus ou moins strictement selon les tables, et leur étude au cas par cas permettra de préciser cette structure. Alors que l en-tête et les extensions peuvent être variables ou facultatives, le corps des tables est très stable, les items sont toujours les mêmes et ne se présentent que sous deux formes : style plein ou abrégé. Sur les tablettes de type III ou les faces de type II, on trouve les tables écrites en section seule, séparées du reste de la série. Ce sont les tables d inverses, de multiplication, de carrés ou de racines que Neugebauer 221 appelait «tables simples». Sur les tablettes de type I ou les revers de type II, on trouve les tables écrites en séries de plusieurs sections. Ce sont les tables que Neugebauer appelait «tables combinées». Bien que la description en termes de typologie de 221 Neugebauer 1935-7, MKT I p. 4-8 ; Neugebauer et Sachs 1945, p. 11. 110

tablettes et d unités de textes (sections ou séries) soit plus exacte, il sera souvent fait usage du vocabulaire de Neugabauer dans les cas où il n introduit pas d ambiguïté ou d imprécision. L étude des tables numériques permettra de préciser d une part leur structure interne, d autre part l architecture générale de l ensemble des listes mathématiques auxquelles elles appartiennent. On s intéressera particulièrement à leur articulation avec les séries métrologiques. Ces tables seront étudiées en détail, en particulier dans leur style, leurs variantes, leur terminologie et leur utilisation dans les opérations arithmétiques. Des éléments de comparaison avec les tables attestées dans d autres sites de Mésopotamie permettront de mettre en valeur l uniformité de l enseignement du calcul, mais aussi l originalité et la cohérence interne du corpus de Nippur. Après l étude des tables au cas par cas, quelques données statistiques, notamment celles qui éclairent la corrélation entre catégories de table, types de tablettes et styles, permettront de préciser la place et la fonction de chacune des tables dans l ensemble des séries numériques. 6.2.1 Table d inverses La table d inverses est placée la première dans la série des tables numériques ; cette position indique d emblée le rôle clé joué par le problème de la division dans le calcul numérique. Rappelons quelques-unes des définitions et propriétés arithmétiques relatives aux inverses et à leur utilisation dans la division. Définitions Plusieurs formulations de la définition des inverses sont possibles ; elles sont équivalentes d un point de vue moderne, mais peuvent renvoyer à des significations différentes dans les tables anciennes. Cette question est discutée en détail ci-dessous dans le paragraphe consacré au sens du mot sumérien «igi», le plus souvent traduit par «inverse». 1- Une première définition est la suivante : n est l inverse de n si n n = 1 (n et n étant des nombres sexagésimaux écrits sans indication de la position des unités, et l égalité étant considérée comme une simple équivalence d écriture, voir 4.2.2). Exemples L inverse de 2 est 30 car 2 30 = 1. Pour imaginer les inverses en base 60, on peut penser à notre système de mesure du temps (dont l origine est babylonienne) : 2 fois 30 minutes dure 1 heure. L inverse de 3 est 20 3 20 = 1 (3 fois 20 minutes dure 1 heure) L inverse de 4 est 15 4 15 = 1 (4 fois 15 minutes dure 1 heure) etc. 2- On peut donner de la définition des inverses une formulation légèrement différente et plus symétrique : n et n forment une paire d inverses si n n = 1 Exemple : 2 et 30 forment une paire d inverses. Il est fréquent de noter les paires d inverses dans les commentaires de la façon suivante : 2 ~ 30. La différence entre la première formulation et celle-ci n est pas tout à fait anodine, et elle peut avoir une importance dans la mesure où elle est perceptible dans les textes cunéiformes, en particulier dans le passage du style plein au style abrégé. 111

3- Une troisième définition fait référence à la notion de fraction : L inverse de n est la fraction 1/n 4- Enfin, on trouvera dans les tables une signification proche de l idée de fraction, mais plus précisément exprimée en terme de quantième : L inverse de n est la n-ième partie de 1. Notons que, comme dans les autres égalités numériques entre nombres abstraits, cette identité n est à considérer que du point de vue formel de l écriture, ou bien, ce qui revient au même, le «1» est à considérer à un ou plusieurs facteurs 60 près, indéterminés dans l écriture cunéiforme. exemples : L inverse de 2 est la moitié de 1, soit 30 (1/2 heure dure 30 minutes) L inverse de 3 est le tiers de 1, soit 20 (1/3 d heure dure 20 minutes) L inverse de 4 est le quart de 1, soit 15 (1/4 d heure dure 15 minutes) etc. Nombres réguliers Un inverse n a pas toujours d écriture sexagésimale finie. Pour fixer les idées, on peut penser à notre système décimal : 2 a un inverse décimal (c est 0,5), 5 a un inverse décimal (c est 0,2), mais 3 n a pas d inverse décimal (1/3 n a pas d écriture décimale finie). Les nombres dont on peut écrire l inverse avec un nombre fini de chiffres dans une base sont dits «réguliers» dans cette base. D une façon générale, les nombres réguliers dans une base donnée sont ceux qui peuvent s écrire comme produit de diviseurs de la base : Les nombres décimaux réguliers sont ceux qui peuvent s écrire sous la forme 2 a 5 b (a et b entiers). Les nombres sexagésimaux réguliers sont ceux qui peuvent s écrire sous la forme 2 a 3 b 5 c (a, b et c entiers). 60 étant riche en diviseurs, les nombres réguliers en base 60 sont plus «nombreux» qu en base 10 : entre 1 et 10, tous les nombres sont réguliers en base 60 sauf 7 (en base 10, seuls 2, 4, 5 et 8 le sont) ; entre 1 et 60, il y a 25 nombres réguliers en base 60 : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 30, 32, 36, 40, 45, 48, 50, 54. Les nombres non réguliers en base 60, par exemple 7, portent en sumérien le nom «igi nu», c est-à-dire «sans inverse». Division D une façon générale en Mésopotamie, et particulièrement dans les textes scolaires de Nippur, la division d un nombre par un autre est effectuée en multipliant le premier par l inverse du deuxième : a n = a 1/n c est-à-dire a n = a n (n est l inverse de n). La division n est «possible» (c est-à-dire que le le quotient peut s écrire avec un nombre fini de places sexagésimales) que si le diviseur est régulier. Le cas où le diviseur n est pas régulier constitue un autre problème, qui est traité en tant que tel dans certains textes ne provenant pas de Nippur ; dans un exercice de Nippur, cependant, on trouve une division par 7 (N 3914, voir 7.5). Texte Le texte des tables d inverses de Nippur est constitué de 28 items (parfois 29 lorsque l inverse de 2 est donné sous deux formes différentes), parmi lesquels on distingue les trois parties évoquées ci-dessus : en-tête, corps et extension. Le texte composite se trouve dans l Edition (voir Tome 2). Je le reproduis ici dans les deux styles (plein et abrégé) de façon à mettre en évidence les trois parties et à présenter les cas particuliers. 112

texte composite style plein texte composite style abrégé 1-da 2/3-bi 40-am en-tête 1-da 2/3-bi 40-am 3 šu-ri-a-bi 30-am 3 šu-ri-a-bi 3 30-am 3 igi-2 gal 2 -bi 30-am 3 2 30 corps igi-3 gal 2 -bi 20 igi-4 gal 2 -bi 15 igi-5 gal 2 -bi 12 igi-6 gal 2 -bi 10 igi-8 gal 2 -bi 7.30 igi-9 gal 2 -bi 6.40 igi-10 gal 2 -bi 6 igi-12 gal 2 -bi 5 igi-15 gal 2 -bi 4 igi-16 gal 2 -bi 3.45 igi-18 gal 2 -bi 3.20 igi-20 gal 2 -bi 3 igi-24 gal 2 -bi 2.30 igi-25 gal 2 -bi 2.24 igi-27 gal 2 -bi 2.13.20 igi-30 gal 2 -bi 2 igi-32 gal 2 -bi 1.52.30 igi-36 gal 2 -bi 1.40 igi-40 gal 2 -bi 1.30 igi-45 gal 2 -bi 1.20 igi-48 gal 2 -bi 1.15 igi-50 gal 2 -bi 1.12 igi-54 gal 2 -bi 1.6.40 3 20 4 15 5 12 6 10 8 7.30 9 6.40 10 6 12 5 15 4 16 3.45 18 3.20 20 3 24 2.30 25 2.24 27 2.13.20 30 2 32 1.52.30 36 1.40 40 1.30 45 1.20 48 1.15 50 1.12 54 1.6.40 igi-1 gal 2 -bi 1 1 1 extension igi-1.4 gal 2 -bi 56.15 igi-1.21 gal 2 -bi 44.26.40 1.4 56.15 1.21 44.26.40 ligne d appel 50 a-ra 2 1 50 Le début de toutes les tables d inverses est constitué des deux entrées suivantes : 1-da 2/3-bi 40-am 3 de 1, ses 2/3 c est 40 šu-ri-a-bi 30-am 3 sa moitié, c est 30. Une tablette (UM 29-15-482) présente une légère variante, probablement due à une erreur du scribe (voir commentaires philologiques à la fin du paragraphe). Dans cette tablette, la désinence -da est fixée à 2/3 au lieu d être fixée à 1 : la première entrée est 1 2/3-da-bi. L en-tête est toujours de style plein, y compris lorsque le reste de la table est de style abrégé. Il y a cependant deux exceptions, d après les copies de Hilprecht. Dans CBS 11097 (copie BE 20 planche 14), les deux premiers items sont : 1 40-am 3 2 30-am 3 Dans CBS 11340 (copie BE 20 planche 10-11), les deux premiers items sont : 1 40-am 3 2 30 Dans les deux cas, l omission de «2/3», qui est l élément clé du premier item, est surprenante et cela 113

mériterait une collation. L entrée qui suit l en-tête est, dans un tiers des tablettes environ, l inverse de 2. Dans ces cas, la paire d inverses 2 ~ 30 est donnée sous deux formes différentes (la moitié de 1 et l inverse de 2). šu-ri-a-bi 30-am 3 la moitié de 1, c est 30 igi-2 gal 2 -bi 30-am 3 (en abrégé : 2 30)l inverse de 2, c est 30. Ces deux formes ont-elles des significations différentes? Une table numérique complètement normalisée, CBS 8536 (d origine incertaine, peut-être Nippur ou Abu Hatab, et probablement plus tardive), met en valeur, dans sa mise en forme, une différence de statut entre ces deux formulations : CBS 8536, face, col. I 1 2/3-bi-bi 40-am3 šu-ri-a/bi-bi 30-am3 ================= 2 30 3 20 etc. L en-tête est séparé du corps de la table par un double trait. Comme on l a vu précédemment dans de nombreux exemples, le double trait est une marque visuelle de fin de section. Il y a donc en fait deux tables : une courte de deux lignes, et une autre plus longue. La première renvoie plutôt aux fractions de 1, le corps de la table renvoie aux inverses et à la division. D une certaine façon, la «redondance» exprime le principe de la division babylonienne : diviser 1 par 2 (igi-2 gal 2 -bi), c est prendre la moitié de 1 (1-da šu-ri-a-bi), et dans les deux cas c est 30 (30-am 3 ). Dans quelques tables de Nippur, on trouve aussi cette séparation visuelle entre les deux premiers item et le corps de la table : dans Ni 3612, elle est marquée par un trait simple. Dans HS 203 et HS 205, qui proviennent peut-être de Nippur, l entrée «redondante» est également présente et semble intégrée à la première partie ; en effet, d après MKT p. 11, elle est suivie d un trait de section. Cependant, en l absence de copie ou de photo de ces deux exemplaires, il est difficile de déterminer la fonction de ce trait de section. Le corps de la table donne les inverses de tous les entiers réguliers de 3 à 54, puis de 1 (c est-àdire de tous les nombres réguliers à une seule place). La table se termine par deux paires d inverses supplémentaires de nombres à deux places commençant par 1 : 1.4 56.15 (remarque : 1.4 = 2 4 ) 1.21 44.26.40 (remarque : 1.21 = 3 4 ) En fait, la paire 1 ~ 1 peut indifféremment se rattacher au corps de la table ou aux entrées supplémentaires ; elle constitue une sorte de transition entre les deux parties. Ces deux dernières entrées sont présentes dans toutes les tables de Nippur ; je les considère néanmoins comme une «extension» pour deux raisons. La logique qui détermine la présence de ces deux entrées n est pas la même que pour le reste du corps de la table, qui donne les inverses de tous les nombres réguliers à une place sans omission ; or entre 1.4 et 1.21, il manque plusieurs 114

entrées (1.12, 1.15 et 1.20). D autre part, cette partie subit des variations d un site à l autre, d une époque à l autre. La liste des tables d inverses donnée dans MKT I (p. 10-12, dernière colonne) montre que, hors de Nippur, les omissions des entrées 1.12, 1.15 et 1.20 sont fréquentes mais pas systématiques, et que les omissions peuvent aussi concerner 1.4. Dans un seul cas, l entrée 1.12 semble présente à Nippur. Il s agit de la tablette CBS 11340+CBS 11402 (copie : BE 20 planches 10 et 11). Sur le revers, la succession des deux premières tables (inverses puis 50) est reproduite 3 fois. Dans deux cas, on voit la fin de la table d inverses. Colonne IV, la fin est conforme au modèle de Nippur (entrées 1.4 et 1.21) ; mais colonne I, la fin est abîmée et la copie laisse penser que l entrée 1.12 suit l entrée 1. Cette séquence, attestée nulle part ailleurs, me paraît douteuse et demande une collation. Enfin, une seule ligne d appel est attestée : UM 29-15-489 (type III, style plein). Terminologie Les tables d inverses posent deux questions lexicales qui méritent d être soulevées : le sens de 1- da et la traduction de igi. Le problème de la lecture du «1-da» ouvrant les tables d inverses a été abordé par Powell dans sa thèse sur la numération sumérienne 222. Powell pense qu il faut attribuer le sens d unité à ce «1», mais Steinkeller a montré qu il faut lui attribuer la valeur 60, position qui s est imposée par la suite. Powell propose pour le signe «1» la lecture «ge(d)» et le sens de «totalité» en se référant notamment à deux tablettes d époques très différentes (l une est néo-babylonienne, l autre néo-sumérienne) : 1) Ist Si 485 est une tablette scolaire du premier millénaire qui donne l écriture phonétique des tables d inverses ; le début est très abîmé, mais on peut distinguer le premier signe «ge» 223 : ge-[da-am] ša 2 -[na]- bi-bi 40 du tout, ses deux-tiers 40 2) TCL V 6048 est une tablette administrative d Umma de la fin du troisième millénaire ; ligne 24 on lit 224 : mu-eren 2-1-da-še 3 de la part de la troupe entière Steinkeller 225, se référant à MVN 2 359, et à la translittération de ugula-geš-da, «administrateur de soixante hommes», suggère une autre lecture du signe «1» : il faudrait le lire geš(t) (=60) et non ge (=1). Le passage de TCL V 6048 cité par Powell devrait dans ces conditions se traduire «de la part d une troupe de soixante hommes» ; l écriture du «1» sur la copie montrant de plus sans ambiguïté qu il s agit d un soixante 226. Le début de Ist Si 485 pourrait être le reste de l écriture phonétique de soixante : ge-eš. D après Steinkeller 227, l interprétation de 1-da = soixante-da dans les tables d inverses en découle ; elle avait été celle de Scheil 228 en 1915 et c est celle qui est généralement retenue aujourd hui 229. Un point important à souligner est que la fonction grammaticale du «1» est claire et compatible avec les deux lectures ci-dessus : 1-da est un génitif (/ged+a/ ou /gešt+a/) dans une construction inverse, qui concerne au moins les deux premières entrées (voire toute la table), et explique la présence du possessif bi dans la deuxième ligne (et éventuellement dans toutes les autres) : 222 Powell 1971, p. 21-22, 55ss. 223 Neugebauer 1935-7, p. 26-27 (copie, transcription). 224 Falkenstein 1957, p. 215. 225 Steinkeller 1979. 226 Ibid, p. 180 et n. 15, Friberg 1982, p. 125. 227 Steinkeller 1979, p. 187. 228 Scheil 1915b, p. 195-196. 229 Høyrup 2002, p. 28 n. 46 ; Oelsner 2001, p. 56. 1-da 2/3-bi = de «1» son inverse = l inverse de «1» <1-da> šu-ri-a-bi = <de 1> sa moitié= la moitié <de 1> 115

Cette discussion autour de la lecture de «1-da» illustre l ambiguïté du signe «1» (un clou vertical), de sa prononciation et de sa valeur. Dans le contexte des tables, les deux lectures (ge=1 et geš=60) font sens, puisque le résultat, écrit sans indication de l ordre de grandeur, est le même, c est 40 : 2/3 de 1 «=» 2/3 de 60 «=» 40 A la limite, on peut estimer que, dans la mesure où l ambiguïté fait partie du système, le choix de la valeur 1 ou 60 (ou même 12 960 000 comme l avait fait Hilprecht 230!), est sans importance du point de vue du sens. C est ce qu exprimait Thureau-Dangin : «Il est important de faire observer que, dans cette notation, il n existait aucun moyen d exprimer l ordre absolu de grandeur d une unité donnée. Hilprecht a soutenu que dans les tables de division qu il a publiées, le nombre à diviser était 60 4 (c est-à-dire 12.960.000, qui serait, selon lui, le «nombre de Platon»). En réalité, la question ne se pose même pas, car l unité considérée peut être d un ordre quelconque et représenter aussi bien l unité simple que 60 ou une puissance de 60, ou encore une unité fractionnaire, 1/60, 1/60² etc.» [Thureau-Dangin 1921 p. 124] Le problème n est finalement pas celui de la valeur de «1», mais de sa lecture, indispensable à la mémorisation. Dans le contexte abstrait des tables scolaires, la prononciation a pu se dissocier de la valeur de «1». On touche, avec le problème de la traduction de «1-da», le cœur de la nature des nombres sexagésimaux positionnels d usage scolaire, et, comme l a justement fait remarquer Scheil, le même problème se pose non seulement pour 1, mais pour tous les autres nombres. «C est une opinion fausse que dans les groupes de chiffres d un produit, les derniers doivent toujours être des unités, les précédents des unités d ordre supérieur, jusqu à 12.960.000 (et rien n empêche de pousser au delà!)». 231 Je poserais la question de façon plus radicale : faut-il que dans un nombre il y ait une position des unités? J ai choisi, pour les raisons développées dans la partie sur la notation des nombres sexagésimaux ( 4.2.2) de transcrire le clou vertical par «1», sans préjuger de la valeur de ce 1, en lui donnant un sens formel. En particulier, il ne signifie pas «l unité». Il en est de même pour tous les autres nombres : «40» est la transcription d un chiffre ou d un nombre écrit avec 4 chevrons, mais ne signifie pas «40 unités». Le mot «igi» a été traduit jusqu à présent «inverse», mais cette traduction n est pas tout à fait satisfaisante. L expression englobe plusieurs sens légèrement différents. igi-n gal 2 -bi peut se traduire par «l inverse de n», ou bien «1/n», ou bien «1/n de quelque chose», mais ces traductions ne sont pas parfaitement équivalentes entre elles, et aucune ne rend compte exactement et uniquement du sens original. L écriture fractionnaire 1/n, en particulier, introduit une notation avec numérateur et dénominateur qui n existe pas dans les textes cunéiformes. L expression «l inverse de n» atténue la présence implicite de la division de 1 (entendu au sens formel donné ci-dessus). La traduction sera donc liée au contexte. Le sens de «igi» dans le contexte des problèmes rédigés en akkadien a été analysé par J. Høyrup, qui a souvent préféré ne pas le traduire faute d équivalent satisfaisant dans les langues modernes 232. IGI est l idéogramme de l œil, et son sens dérivé «en face de» a souvent été invoqué pour expliquer son utilisation 230 Hilprecht 1906, p. 22-29. 231 Scheil 1915b, p. 196. 232 Høyrup 2002, p. 27-30 ; voir aussi le glossaire dans Høyrup 1990, p. 67sq. 116

dans les tables d inverses. Cependant, pour J. Høyrup 233, le sens littéral de «igi n gal 2» reste obscur, et l étymologie de igi en relation avec l œil est douteuse, car l utilisation de igi pour les fractions est plus ancienne que l introduction des tables et de la mise en «vis-à-vis» des nombres et leurs inverses. Le sens «fraction de quelque chose» se rencontre dans le contexte métrologique et dans certains problèmes. Dans les tables métrologiques de poids, on trouve l expression igi-n-gal 2 comme fraction d une unité de mesure (exemple dans la table métrologique des poids : igi-6-gal 2 gin 2 = 1/6 de gin 2 ). Dans les séries de problèmes écrits en idéogrammes sumériens, on trouve des modes d écriture des expressions et des opérations qui utilisent des fractions de longueur ou de surface, par exemple A 24195 234, colonne II, ligne 19 : igi-14-gal 2 uš 1/14 de la longueur (inconnue) Dans le cas des tables d inverses, la présence de la division de 1 induite par le début «1-da», est confirmée par la table d inverses publiée par Scheil 235 en 1915. De provenance inconnue et d époque paléobabylonienne, cette table est tout à fait analogue à celles qu on trouve à Nippur (type III de style plein), mais elle présente un colophon ainsi libellé : igi-gal 2 1-da kam parties de 1 Le colophon lui-même donne ici le titre de la table : ce sont les «parties de 1». Du point de vue grammatical, cette formulation est intéressante. La construction du génitif dans le colophon est directe, et non inversée comme elle l est au début de la tablette dans les tables. Cela peut mettre en valeur le fait que la construction inversée dans les tables permet de placer 1-da «en facteur» au début, évitant ainsi de le répéter toutes les lignes (dans l hypothèse où tous les -bi seraient des éléments de la construction initiée par 1-da). Dans ce cas, les lignes doivent être restituées : Le sens exact serait : Ce sens est rendu imparfaitement par : <1-da> igi-3-gal 2 -bi 20 <1-da> igi-4-gal 2 -bi 15 etc. de 1 sa 3 ème partie 20 de 1 sa 4 ème partie 15 etc. inverse de 3 20 inverse de 4 15 etc. Il ne s agit pas ici de résoudre le problème de la traduction de «igi», mais de souligner le fait que, dans les tables d inverses, les deux premières lignes mettent l accent sur l aspect fraction, le corps de la table met l accent sur l opération de division, et la double formulation de l inverse de 2 établit le lien entre ces deux points de vue. La traduction de igi ne sera jamais parfaite, car ce 233 Høyrup 2002, p. 27-28. 234 Neugebauer et Sachs 1945 (copie : MCT pl. 16 ; photo : MCT pl. 42 ; transcription : MCT, p. 119). 235 Scheil 1915b. 117

mot est intimement lié à un système de numération où les nombres sont sans ordre de grandeur (la position des unités n est pas spécifiée), tandis que le vocabulaire moderne (inverse, fraction, quotient) se rapporte à un système où l unité joue un rôle fondamental. Une dernière remarque due à M. Powell concernant la terminologie des fractions mérite d être citée. M. Powell a proposé une hypothèse intéressante sur l étymologie de certains noms de fractions dans sa thèse sur la numération sumérienne : The use of hand to designate fractional parts is not only found in Akkadian but in Sumerian as well, which suggests that the practice was a cultural characteristic cutting across linguistic boundaries and probably belong to the oldest stratum of Mesopotamian civilization. [Powell 1971 p. 121] Ainsi l origine de mots tels que šu-ri-a (un demi), šu-du 3 -a (un tiers de kuš 3 ), zipah (écrit ŠU.BAD) (un demi kuš 3 ) résiderait dans l évocation de gestes de la main 236. Cette place de la main (šu) dans le vocabulaire numérique pourrait être en relation avec des méthodes de calcul non écrit et l utilisation d un instrument matériel où la main jouerait un rôle important 237. 6.2.2 Tables d inverses néo-sumériennes Les textes mathématiques scolaires de la période d Ur III sont rares, mais quelques exemplaires de tables d inverses provenant de Nippur, Tello et Umma sont connus, pour certains depuis peu de temps : la tablette de Tello T 7375, conservée à Istanbul, a été publiée par Delaporte 238 en 1911 ; la tablette HS 201, probablement de Nippur, a été citée dans MKT, mais il a fallu attendre 2001 pour disposer de la copie et de la photo publiées par Oelsner 239 ; E. Robson vient de découvrir deux nouvelles tables provenant d Umma au British Museum (BM 106444 et BM 106425), et B. Lafont quatre autres conservées à Istanbul 240. Un exemplaire inédit provenant de Nippur et conservé à Istanbul présente les mêmes caractéristiques que ces tables néo-sumériennes : Ni 374* (type III) table d inverses «igi nu» Cette table d inverses est un petit chef d œuvre au niveau de la qualité de l argile, du modelage et de l écriture. La tablette est toute petite (5 cm 3,4 cm), et contient néanmoins 68 lignes réparties en 4 colonnes, deux sur chaque face. Sur la face, les colonnes vont de gauche à droite, sur le revers, les colonnes vont de droite à gauche, l axe de rotation est horizontal, la tablette se tourne autour de la tranche inférieure : les éléments d orientation de la tablette sont standard. C est une tablette apparentée au type III (une seule section qui commence sur la face et se poursuit sur le revers) mais elle est écrite en deux colonnes, presque entière, et le texte peut être complètement reconstitué, avec seulement un doute sur la première ligne en partie cassée. 236 Powell 1971, p. 125-128. C. Michel fait le même type de remarque à propos des noms de fraction paléo-assyriens (Michel 1998, p. 263), et de l utilsation de l idéogramme ŠU (main) au duel dans les noms sumérien et akkadien de 3/4 et 5/6 (Michel 1992 p. 97). 237 Proust 2001. 238 Delaporte 1911; Delaporte 1912 pl. 14 ; voir aussi Neugebauer 1935-7 MKT I, p. 10. 239 Oelsner 2001, p. 58 ; voir aussi Neugebauer 1935-7 MKT I, p. 10 ; Friberg 1987-90, p. 545. 240 Robson, à paraître, et communications personnelles. 118

face, colonne I face, colonne II revers, colonne III revers, colonne IV [igi] 16 3.45 igi 17 [nu] igi 18 3.20 [igi19 nu] igi 20 3 igi 21 nu igi 22 [nu] [1-da igi 2 gal 2 -bi] 30 [igi3] 20 [igi 4] 15 [igi5] 12 [igi6] 10 [igi7] nu [igi8 7].30 [igi9 6].40 [igi10] 6 [igi11] nu [igi12] 5 [igi13] nu [igi14] nu [igi15] 4 [igi] 23 [nu] [igi24 2].30 igi 25 2.24 igi 26 nu igi 27 2.13.20 igi 28 nu igi 29 nu igi 30 2 igi 31 nu igi 32 1.52.30 igi 33 nu igi 34 nu igi 35 nu igi 36 1.40 igi 37 nu igi 38 nu igi 39 nu igi 40 1.30 igi 41 nu igi 42 nu igi 43 nu igi 44 nu igi 45 1.20 igi 46 nu igi 47 nu igi 48 1.15 igi 49 nu igi 50 1.12 [igi51] nu [igi52] nu [igi53] nu igi 54 1.6.40 igi 55 nu igi 56 nu igi 57 nu igi 58 nu igi 59 nu [igi1] 1 [igi1.4 56.15] [igi1.12] 50 [igi1.15 4]8 [igi1.20] 45 [igi1.21 44.2]6.40 [igi1.30] 40 [igi1.36 3]7.30 [igi1.40] 36 La table semble commencer avec l inverse de 2, mais la formulation exacte n est pas visible. Elle se poursuit avec des items de la forme : igi n n La table est organisée en deux parties. Tout d abord, n décrit tous les entiers naturels de 2 à 59 (écriture sexagésimale à une seule place). Lorsque n est un nombre sexagésimal régulier, alors on trouve en vis-à-vis son inverse. Lorsque n n est pas un nombre sexagésimal régulier, alors on trouve en vis-à-vis la mention «nu», la particule de la négation. Exemple : igi 21 nu (21 n a pas d inverse) Ensuite, après l inverse de 59 (nu), vient naturellement l inverse de 1 : igi 1 1 L inverse de 1 est suivi des 8 inverses des nombres sexagésimaux réguliers à deux places jusqu à 1.40. Les nombres «igi nu» ont, dans cette partie de la table, été éliminés, comme ils le seront par la suite dans les tables normalisées du corpus paléo-babylonien. Le scribe s est certainement rendu compte d une sorte de loi de raréfaction, qui veut que le début de la liste est riche en nombres réguliers, mais que dans la séquence 1 1.40, ce sont les «igi nu» qui sont largement dominants : s il avait maintenu dans cette séquence le même principe de fabrication de la liste que dans la première partie, il aurait dû écrire 40 items alors que seuls 8 nombres sont réguliers. L épigraphie est archaïque : les 7, 8 et 9 ne sont pas écrits avec des clous groupés par rangées de 3 maximum, à la façon normalisée des écoles paléo-babyloniennes, mais avec des clous écrits en deux rangées (voir 4.2.1). Les 40 ont également une graphie ancienne ; mais cette graphie est différente selon la fonction du nombre. Lorsque 40 est écrit dans la colonne de gauche, les 4 chevrons sont écrits en une rangée : 119

Lorsque 40 est écrit dans la colonne de droite, les 4 chevrons sont écrits en deux rangées : Rappelons la graphie normalisée paléo-babylonienne : Cette écriture des nombres dans le contexte des tables numériques est une indication pour une datation haute 241, et confirme l appartenance de Ni 374* au petit lot des textes mathématiques néo-sumériens. Sur plusieurs autres points évoqués ci-dessus, cette table d inverses ne correspond pas aux normes scolaires paléo-babyloniennes. Ici, et contrairement aux habitudes paléobabyloniennes : les tablettes de type III ont deux colonnes de chaque côté ; les nombres nombres «igi nu» sont présents ; le style est semi abrégé ; la table débute avec l inverse de 2 ; la table se termine avec tous les inverses des sexagésimaux réguliers entre 1 et 1.40 ; une très haute qualité d exécution la distingue des brouillons d écoliers. La tablette HS 201, publiée par J. Oelsner et provenant probablement de Nippur, partage avec celle d Istanbul des traits essentiels (deux colonnes, présence des «igi-nu», graphie ancienne, début avec l inverse de 2, style semi abrégé), mais présente des différences qui illustrent la variabilité des tables à l époque d Ur III. Citons quelques unes de ces différences : Ist Ni 374* HS 201 étendue tous les entiers de 1 à 59 ; tous les tous les entiers de 1 à 32 sexagésimaux réguliers de 1 à 1.40 modèle igi n n n igi n épigraphie 7, 8, 9 en deux rangées de clous écriture soustractive : 17 = 20-3 ; 18=20-2 ; 19=20-1 On remarquera la prédilection, dans le choix du dernier item de la table, pour les nombres qui ont des propriétés numériques fortes telles que carrés parfaits et puissances de 2 (Ni 374 : 1.40 = 10 10 ; HS 201 : 32 = 2 5 ; autres tables : 1.4 = 8 8 et 1.21 = 9 9). Les autres tables d inverses néo-sumériennes ont elles aussi des traits communs avec les deux exemplaires de Nippur, mais elles sont toutes différentes les unes des autres 242. Leur principale caractéristique commune est le début de la table, qui commence directement avec l inverse de 2 (les deux items préliminaires qu on trouve dans les tables paléo-babyloniennes n existent pas dans les tables néo-sumériennes). Le début de HS 201 est nettement lisible : 1-da igi 2 gal 2 -bi 30 Les deux tables d Umma commencent également de cette façon, au détail près. Malgré la variabilité des tables néo-sumériennes, ce début semble assez stable et on peut raisonnablement supposer que la partie abîmée du début de Ni 374 doit être reconstituée ainsi par analogie. 241 Oelsner 2001, p. 56 (voir 2.1.4 et 4.2). 242 Voir étude comparative détaillée dans Robson à paraître. 120

On a vu que les deux premières lignes des tables paléo-babyloniennes (les 2/3 de 1 et la moitié de 1) fonctionnent comme une petite table autonome. Cet en-tête n existe pas dans les exemplaires anciens, il constitue un ajout greffé à l époque paléo-babylonienne sur le corps de la table d inverses issue de la tradition sumérienne du troisième millénaire. Terminons par un cas atypique : Ni 10240*. Il n y a pas de catégorie à laquelle on puisse rattacher cette tablette lenticulaire dont le contenu lacunaire n est pas facile à interpréter. Ni 10240* face igi 17 igi 22 igi 23 igi 26 igi 28 igi 34? tranche gauche (tourné à 90 ) 20 1? 29 50 revers (tourné à 90 ) 30 42 Il s agit certainement sur la face d une table d inverse, mais les nombres semblent tous non réguliers, à en juger en tous cas par la partie visible. Si tel est le cas, on aurait un exemple unique de table 100% «igi nu». Mais il est possible qu on ne voie que le début de nombres réguliers, les autres chiffres étant détruits. 6.2.3 Tables de multiplication La table d inverses est suivie de 38 tables de multiplication dont les «nombres principaux» sont, à Nippur, les suivants : 50, 45, 44.26.40, 40, 36, 30, 25, 24, 22.30, 20, 18, 16.40, 16, 15, 12.30, 12, 10, 9, 8.20, 8, 7.30, 7.12, 7, 6.40, 6, 5, 4.30, 4, 3.45, 3.20, 3, 2.30, 2.24, 2, 1.40, 1.30, 1.20, 1.15. Le problème le plus important soulevé par les tables de multiplication concerne cette liste des nombres principaux : la composition de cette liste obéit-elle à une logique arithmétique? L ordre décroissant des nombres principaux a-t-il une signification? Les tables de Nippur se distinguentelles des tables provenant d autres sites, d autres périodes? Dans ce paragraphe, on traitera de ces problèmes, ainsi que de questions relatives à l épigraphie. On trouvera le texte composite de l ensemble des tables de multiplication dans le Tome 2. Citons ici, par exemple, la table de nombre principal 50 (dite table de 50) : 121

table de 50 style plein 50 a-ra 2 1 50 a-ra 2 2 1.40 a-ra 2 3 2.30 a-ra 2 4 3.20 a-ra 2 5 4.10 a-ra 2 6 5 a-ra 2 7 5.50 a-ra 2 8 6.40 a-ra 2 9 7.30 a-ra 2 10 8.20 a-ra 2 11 9.10 a-ra 2 12 10 a-ra 2 13 10.50 a-ra 2 14 11.40 a-ra 2 15 12.30 a-ra 2 16 13.20 a-ra 2 17 14.10 a-ra 2 18 15 a-ra 2 20-1 15.50 a-ra 2 20 16.40 a-ra 2 30 25 a-ra 2 40 33.20 a-ra 2 50 41.40 50 a-ra 2 50 41.40 table de 50 style abrégé (50a-ra 2 ) 1 50 2 1.40 3 2.30 4 3.20 5 4.10 6 5 7 5.50 8 6.40 9 7.30 10 8.20 11 9.10 12 10 13 10.50 14 11.40 15 12.30 16 13.20 17 14.10 18 15 20-1 15.50 20 16.40 30 25 40 33.20 50 41.40 50 (a-ra 2 ) 50 41.40 50 fois 1 50 etc A partir de cet exemple, on peut saisir quelques caractéristiques des tables de multiplication, dont on s efforcera dans la suite du paragraphe de donner des éléments d explication : - Le style plein 243 se distingue du style abrégé par la présence du terme «a-ra 2» qui signifie «fois» (la racine /ra 2 / est celle du verbe «aller») 244. - La table a une structure en trois parties (incipit, corps, ligne supplémentaire). - La première ligne de la table contient le nombre principal et sert éventuellement de ligne d appel. Elle est souvent rédigée de façon plus complète que les autres items : dans les tables de style plein, le nombre principal en position de multiplicande est précisé (il est ensuite omis) ; dans les tables de style abrégé, il arrive que l incipit soit de style plein. - La table donne les produits du nombre principal par les multiplicateurs suivants :1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 30, 40, 50 (où 19 est toujours écrit 20-1). - La table se termine parfois par le carré du nombre principal, rédigé généralement en style plein même quand le corps de la table est abrégé. Cette extension peut ne concerner que 243 Concernant les tables de multiplication, le style plein de Nippur correspond au «type A» de la description de Neugebauer dans MKT, le style abrégé au «type C», et le cas où la première entrée est pleine et le corps de la table est abrégé correspond au «type B» (Neugebauer 1935-7, p. 2 ; Robson 2002b, p. 338) 244 Høyrup 2002, p. 21-22. 122

quelques tables dans une série ; il n y a pas de règle évidente qui guide le choix d insérer une extension, qui semble répondre simplement à des considérations de mise en page, pour «boucher des trous» ; irrégulière dans les types I, la présence du carré est assez fréquente dans les types III. Les nombres principaux Pour quelle raison les tables numériques contiennent-elles ces 38 tables de multiplication-là et pas d autres? E. Robson, remarque, à propos de son étude de la tablette Plimpton 322, que les tables de multiplication ne semblent pas être le résultat d une règle arithmétique d engendrement systématique : «They are complete neither in themselves (with multiplicands 1-20, 30, 40 and 50) nor as a set. Nor does that set appear to have been chosen according to any one criterion or generating algorithm : many are one-place sexagesimally regular number (but 27, for instance, is missing) ; many are significant numbers in the decimal system (but 4 10 [=250], for instance, is missing). Many are also found in the standard reciprocal table (but 2 13 20 for instance is missing); and many too are commonly occurring coefficients listed in the tables of technical constants (but 26 40, for instance, is missing). On the other hand, 22 30 belongs to none of these categories, and seems to have been included because it is half of 45. Similarly, 7 is there to complete the set of integer to 10. In sum, the set of multipliers appears to have been assembled because it gives good coverage of the numbers most likely to be used by scribes in their everyday arithmetical work.» [Robson 2001a, p. 195-196] Dans cet esprit, je relèverai plusieurs règles arithmétiques et besoins pratiques qui se combinent pour expliquer le choix des multiplicandes, en liaison avec les calculs qu on trouve dans les exercices scolaires de Nippur (voir page suivante, Tableau 20). Cependant, il me paraît important de hiérarchiser ces critères de sélection des multiplicandes, et de montrer que l un est structurant (le premier qui est cité dans le tableau 20), cependant que les autres sont secondaires. Pour effectuer toutes les multiplications en base 60, il faudrait en théorie mémoriser tous les produits élémentaires (soit 59 tables de 59 produits). Mais l existence de la base 10 intermédiaire dans l écriture des chiffres sexagésimaux permet de réduire considérablement le nombre des produits à mémoriser : il suffit que seules les unités et les dizaines figurent dans ces tables (nombres principaux et multiplicateurs 1 à 10, puis 20, 30, 40, 50), soit 14 tables de 14 produits. Par exemple, la multiplication de deux nombres à une place telle que 25 32 peut se décomposer en quatre produits partiels figurant dans ces tables réduites : 25 32 2 20 2 5 30 20 30 5 10 2 40 10 30 25 32 13 20 De fait, ces 14 tables à 14 produits sont bien incluses dans la série des tables numériques. Mais il existe beaucoup plus de tables et beaucoup plus d entrées que cet ensemble minimum. 123

Considérons la deuxième opération usuelle, la division. Les nombres concernés par cette opération sont les paires données par les tables d inverses. On peut comparer la liste des nombres principaux à l ensemble des nombres présents dans les tables d inverses : 124

31 nombres principaux sur 38 (soit 81%) appartiennent à la table d inverses ; d autre part, 31 nombres de la table d inverses sur 42 (soit 73%) sont des nombres principaux de table de multiplication. Le lien entre ces deux tables est donc très fort. Les tables de multiplication se succèdent dans l ordre décroissant des nombres principaux. Notons qu il s agit d un ordre lexicographique (classement selon le premier chiffre, puis le deuxième, etc.), et non d un classement selon des grandeurs qui, dans ce contexte, ne sont pas définies. Cet ordre décroissant peut paraître surprenant, car c est le seul cas dans les séries mathématiques où on observe un ordre décroissant ; mais en fait, si on considère les tables de multiplication comme des tables de division, elles sont classées dans l ordre croissant des diviseurs. Sept nombres principaux ne s expliquent pas par leur présence dans la table d inverses : - Tout d abord, le nombre principal 7, le seul qui ne soit pas régulier, appartient à l ensemble minimal des tables nécessaires pour pouvoir effectuer toutes les multiplications, comme cela a été souligné au début de cette discussion. - Les six autres nombres sont en rapport avec les opérations de doublement et de division par 2, en particulier avec la suite des nombres obtenus par doublements successifs de 2.5 (et dédoublements successifs des inverses) qui constituent une partie importante des exercices de calcul du niveau avancé (voir chapitre 7). En conclusion, plusieurs critères semblent guider le choix des tables de multiplication ; mais l un d entre eux est nettement prépondérant : c est la présence du nombre principal dans la table d inverses. Les tables de multiplication sont indissociables des tables d inverses, et cet ensemble constitue l outil de l opération de division / multiplication désignée en akkadien sous le nom igi-arê. nombres principaux nbres de la table remarques d inverses 56.15 54 50 50 48 45 45 44.26.40 44.26.40 40 40 36 36 32 30 30 27 25 25 24 24 22.30 1/2 de 45 20 20 18 18 16.40 2.5 2 3 16 16 15 15 12.30 1/2 de 25 12 12 10 10 9 9 8.20 2.5 2 2 8 8 7.30 7.30 7.12 inverse de 8.20 7 6.40 6.40 6 6 5 5 4.30 1/2 de 9 4 4 3.45 3.45 3.20 3.20 3 3 2.30 2.30 2.24 2.24 2.13.20 2 2 1.52.30 1.40 1.40 1.30 1.30 1.21 1.20 1.20 1.15 1.15 1.12 1.6.40 1.4 Tableau 20: nombres principaux et tables d'inverses 125

La liste des nombres principaux de Nippur présente de légères variantes par rapport à celle qui est attestée sur une aire géographique plus large d une part, et par rapport à la Maison F d autre part 245. Les tables de 48 et 2.15 sont présentes en Mésopotamie, mais pas à Nippur ; la table de 44.26.40 est présente à Nippur, mais pas dans la Maison F. table Mésopotamie 246 Nippur OB Maison F 48 Ist A 20, Assur, néo-babylonienne absente absente A 7897, région de la Diyala, OB MDP 27 n 296, Suse, OB CBS 8536, Nippur ou Abu Hatab, Cassite VAT 6220, origine inconnue 44.26.40 attestée attestée 26 fois absente 2.15 Ist A 20, Assur, néo-babylonienne A 7897, région de la Diyala, OB IM 92092, Tell al-seeb, OB absente absente Tableau 21 : tables de multiplication en Mésopotamie Les tables de 48 et 2.15, attestées dans le Nord à l époque paléo-babylonienne 247, ont peut-être été introduites à Nippur plus tardivement. L absence de la table de 44.26.40 dans la Maison F, alors que c est une des tables les plus fréquentes dans les autres écoles de Nippur, est surprenante. Epigraphie Le 19 en tant que multiplicateur est presque toujours écrit «20 la 2 1» ou «20 lal 2 1», c est-àdire 20 1. La seule exception est CBS 3335 (voir copie de Hilprecht en première page du chapitre 3). Cette petite table de multiplication est remarquable par son histoire. Elle s est trouvée au cœur de la «controverse Peters-Hilprecht» 248, qui s est cristallisée sur l existence de la «Bibliothèque du Temple». CBS 3335 a été mise en avant par Hilprecht pour prouver l existence de la fameuse Bibliothèque de Nippur. Peters et ses amis ont accusé Hilprecht d avoir menti sur l origine de la tablette, et ont soutenu qu elle avait été trouvée ailleurs qu à Nippur, ou même achetée. Il est donc difficile de bâtir des conclusions à partir de cet exemplaire controversé puisque sa provenance n est pas absolument sûre 249. 245 Neugebauer 1935-7, p. 34-35 ; Robson 2002b, p. 340-342. 246 Recherche limitée aux publications suivantes : Neugebauer 1935-7 I, p. 34-59 ; Neugebauer et Sachs 1945, p. 19-33 ; Bruins 1954 (Tell Harmal?) ; Cavigneaux 1996, p. 106-205 (Uruk) ; Isma'el 1999 (Tell al-seeb) ; Soubeyran 1984 (Mari) ; Gurney 1974, p. 4 (Ur) ; Dossin 1927 (Suse) ; Meer 1935 (Suse) ; Speleers 1925 (Kiš) ; Genouillac 1924-5 (Kiš). 247 Il faut probablement ajouter à cette liste un exemplaire de Sippar-Yahrurum (Al-Rawi et Dalley 2000, p. 68-69). Cette tablette est à mon avis une table numérique dont il reste une table de multiplication par 48. Les éditeurs de la tablette considèrent les traces comme insuffisantes : "the numbers preserved are not sufficient to offer a mathematical interpretation" (p. 69). Cependant, on peut reconnaître une partie substantielle de la table de multiplication par 48. 248 Voir 2.1 «Les fouilles». 249 Robson 2002a, p. 236 ; Kuklick 1996, p. 127-128. 126

L écriture du multiplicande 19 avec le signe «la 2» est répandue dans la Mésopotamie du sud à l époque paléo-babylonienne ; les rares tables de multiplication de cette époque où le 19 est écrit «normalement» 10+9 (avec un chevron et 9 clous) semblent provenir du Nord et de Suse 250 : Me-Turan (IM 92092) 251 Mari (Mari 10681 et Mari 12306) 252 Suse (TMS 4 = IM 52672 ; MDP 18 n 14 ; MDP 27 n 293, 294, 296) 253 Kiš (AO 10762) 254 Un cas d écriture soustractive pour 9 (=10 1) est attesté à Larsa, sur une table de multiplication inédite exposée au «Musée des enfants» à Istanbul : L 39530 (type III) table de multiplication par 20 L écriture 10+9 du 19 semble être la règle au premier millénaire à Uruk (Ist U 91 + W 169) 255. tables plus anciennes Dans deux tablettes, on trouve les chiffres 4, 7, 8 et 9 écrits dans une graphie qui, dans le contexte des tables numériques, peut être considérée comme ancienne (voir 4.2.1) : Ni 2208* (type III, style plein) table de multiplication par 7 Ni 5173* (type I, style abrégé) table numérique Dans ces deux tablettes, l écriture des chiffres ne suit pas la règle du groupement des clous par 3 ; ils sont répartis en deux rangées de la façon suivante : 4=2+2 ; 7=4+3 ; 8=4+4 ; 9=5+4 Par ailleurs, ces deux tablettes sont d une qualité d exécution exceptionnelle, et, comme dans le cas de la table d inverses Ni 374 décrite plus haut (voir 6.2.2), on peut difficilement croire qu elles sont l œuvre d un enfant. Les tables numériques semblent, à l époque d Ur III, relever de l érudition et non de l entraînement scolaire. tables plus récentes Le cas de la tablette CBS 8536 256, citée ci-dessus à propos des tables d inverses et de la table de multiplication par 48, est intéressant dans la mesure où il met le corpus OB de Nippur en perspective. Cette table numérique très complète et bien conservée est d époque cassite, et semble venir du Sud (le catalogue de Philadelphie indique qu elle a été achetée, et provient 250 Il est difficile d être très affirmatif sur ce point ; cette conclusion s appuie sur les seules tables dont j ai pu voir la copie (cf. index des tablettes), et qui sont relativement peu nombreuses. En effet, la majorité des tables de multiplication publiées n ont pas été copiées, mais simplement décrites par Neugebauer et Sachs dans MCT et MKT ; bien que très détaillées, ces descriptions ne distinguent pas les tablettes où 19 est non visible de celles où 19 est écrit «normalement» 10+9. 251 Isma'el 1999. 252 Soubeyran 1984. 253 Bruins 1954 ; Dossin 1927, p. 4 ; Meer 1935, p. 108. 254 Genouillac 1924-5 PRAK II tablette D 3. 255 Aaboe 1968-69 ; Neugebauer 1935-7 MKT III, p. 50. 256 Lutz 1920. Les informations concernant cette tablette, disparue du Musée de Philadelphie, sont fondées sur la copie de Lutz, et non sur l original ; elles sont donc à prendre avec précaution, notamment en ce qui concerne les détails de mise en forme. 127

probablement de Nippur ou Abu Hatab). Elle est de style abrégé (ou semi abrégé pour les inverses : igi 2 30, etc.), elle est organisée en tableau (d après la copie de Lutz), la liste des inverses de 2 à 1.21 est complète (incluant 1.4, 1.12, 1.20), la liste des nombres principaux inclut 48, le 19 est écrit 10+9, toutes les tables de multiplication se terminent par les entrées supplémentaires (carré, racine du carré, inverses, inverses de l inverse). Elle constitue une sorte d aboutissement du processus de normalisation des tables. Ces caractères se retrouvent presque tous à l époque paléo-babylonienne. C est le cas également pour la tablette néo-babylonienne d Uruk Ist U 91 + W 169, qui contient des tables de multiplication de style abrégé, dont la liste des nombres principaux inclut 2.15, où 19 est écrit 10+9, et où des entrées supplémentaires sont systématiquement présentes en fin de table 257. 6.2.4 Tables de carrés Dans quelques exemplaires de tablettes de type I bien conservées (et II/2 dans un cas), on peut voir des tables numériques qui se terminent par une table de carrés : Ni 2733* (type I, style abrégé) table numérique Ni 10230 (type I, style abrégé) table numérique CBS 7369 (type I, style plein) table numérique CBS 10502+CBS 11397 (type II, style abrégé) liste lexicale Proto-Lu; table numérique La table des carrés appartient donc à la série des tables numériques incluant tables d inverses et tables de multiplication. Dans les cas où la table qui précède celle des carrés est visible, il s agit de la table de multiplication par 1.15 (Ni 2733*, CBS 10502). La table des carrés vient donc après les tables de multiplication ; est-elle la dernière de la série? La réponse n est pas évidente. - Dans le cas de Ni 2733*, la fin de la tablette coïncide avec la fin de la table des carrés, et la réponse est oui. - Dans le cas de CBS 10502, la tablette semble inachevée et la table des carrés est suivie d une colonne vide, qui a pu être prévue pour une autre table. - Dans le cas de CBS 7369, la table des carrés est suivie d une colonne où on voit des restes malheureusement difficiles à identifier : aucune table numérique standard ne correspond à la colonne des nombres visibles. A la fin de CBS 7369, on lit les restes de nombres suivants : [ ] 30 [ ] 20 [ ] 5 [ ] 10 [ ] 15 [ ] 20 Neugebauer et Sachs (MCT p. 30) pensent qu il s agit d une table métrologique des longueurs : «la table se termine par des mesures en kuš 3». Dans ce cas, les traces de nombres visibles appartiendraient à la séquence : 1 1/2 kuš 3 7.30 1 2/3 kuš 3 8.20 257 Aaboe 1968-69, p. 89. 128

2 kuš 3 10 3 kuš 3 15 4 kuš 3 20 Mais le 5 (3 ème nombre visible) reste inexpliqué. D autre part, il s agirait du seul cas à Nippur de tablette contenant à la fois une table de carrés et une table métrologique. En section seule (table simple), on ne trouve la table des carrés que dans les deux tablettes de type III suivantes : HS 224 (type III, style abrégé) table de carrés (1-20, 30, 40, 50) CBS 10053 (type III, style plein) table de carrés (1-8) Ces deux exemples suffisent à reconstituer la table complète : elle donne les carrés de tous les entiers de 1 à 20, puis des dizaines de 20 à 50 (ce sont les mêmes entrées que dans les tables de multiplication). Lorsqu il est visible, 19 est écrit 20-1 (HS 224). Les deux modèles sont - en style plein : 1 a-ra 2 1 1 2 a-ra 2 2 4 etc. - en style abrégé : 1 1 1 2 2 4 etc. Le style, comme la liste des entrées, montrent que la table des carrés est écrite comme une table de multiplication particulière. CBS 10053 se termine par un colophon où l on devine une formule de louange à Nisaba et peutêtre une date: d Nisaba? za 3? mu? en? Cette doxologie indique que la table des carrés est bien la dernière de la série. 6.2.5 Tables de racines carrées et cubiques Un petit ensemble de 12 tables de racines (11 tables de racines carrées et 1 table de racines cubiques) est attesté à Nippur. Ces tables se distinguent par le fait qu elles sont écrites en section seule (types III, IV, II/1), et n appartiennent pas, avec les autres tables numériques, à des grandes séries écrites sur des tablettes de type I. Comment se rattachent-elles à l ensemble des séries mathématiques? Après une présentation détaillée de chacune de ces tables de racines et de leur vocabulaire, une comparaison avec des sources hors de Nippur permettra d apporter des éléments de réponse à cette question. Racines carrées Les tables de racines carrées sont toutes de style plein, et sont présentées ainsi : 1-e 1 ib 2 -si 8 1 a 1 pour racine carrée 129

4-e 2 ib 2 -si 8 4 a 2 pour racine carrée etc (voir texte complet dans l édition, Tome 2) Une analyse plus détaillée du sens de ib 2 -si 8 est développée à la fin de ce paragraphe. Les items encore visibles des 11 tables de racines carrées sont précisés dans le Tableau 22 cidessous, ainsi que le premier et le dernier item si ceux-ci sont préservés (les items sont identifiés dans la dernière colonne par les racines ; par exemple l item 4-e 2 ib 2 -si 8 est identifié par le nombre 2 ; l item 15-e 30 ib 2 -si 8 est identifié par le nombre 30, etc.). numéro type autre côté début /fin lignes visibles (pour les types II) CBS 14233 258 II/2 proverbe ou littérature 1 / non visible 1-11 ; 28-37 CBS 19813 III 1 / non visible 1-12 3N-T 604 259 III 1 / 30 1-14 ; 20-30 CBS 13636 III non visible 12-19 ; 35-41 CBS 8244 II/1 table numérique 30 / non visible 30-33 CBS 8266 III 30 / 40 30-40 HS 226 III 30 / non visible 30-39 Ni 4775* fragment 30 / non visible 30-39 CBS 8270 fragment non visible 52-56 N 4254 III non visible 41-49 Ni 2739* II/1 table numérique non visible / 59 ; palindromes ; appel des racines cubiques 56-59 Tableau 22: tables de racines carrées de Nippur Dans leur majorité, les racines carrées qu on trouve sur les tablettes de Nippur appartiennent à la deuxième partie de la table complète telle qu elle est reconstituée dans le texte composite (racines carrées supérieures à 30). Les entrées sont différentes de celles des tables de carrés : les racines carrées décrivent l ensemble de tous les entiers entre 1 à 59 (sexagésimaux à 1 place). Cette différence n est pas anodine : la table des racines ne fait pas double emploi avec celle des carrés, la table des racines carrées n est pas une table de carrés en lecture inverse. Les carrés sont des multiplications particulières, la racine carrée est une opération nouvelle. Là où il est visible, le 19 est écrit 20-1. Le suffixe -e ( ) est écrit en observant un parfait alignement : tous les e sont exactement les uns sous les autres. La dernière paire de clous du «e» est particulièrement appuyée, voire placée le long d une incision préalablement tracée, comme on peut le voir sur CBS 8266 et Ni 2739*. Cela crée une ligne de fragilité le long de laquelle la tablette se casse facilement (voir Ni 4775*). Racines de palindromes La table des racines carrées peut se terminer par une extension. C est le cas pour la tablette Ni 2739* (type II), où il subsiste sur la face la fin de la tables des racines carrées (56 à 59), suivie de quatre racines carrées supplémentaires, puis d un double trait et d un autre item : 258 Copie : Legrain 1922, p.55 (tablette n 22). 259 Cette tablette provient de la Maison F [Robson 2002b, p. 360] 130

Ni 2739 face [lignes cassées] [52.16] -e [56 ib 2 -si 8 ] [54.9] -e [57 ib 2 -si 8 ] 56.4 -e 5[8 ib 2 -si 8 ] 58.1 -e 5[9 ib 2 -si 8 ] 1 -e 1 [ib 2 -si 8 ] 1.2.1 -e 1.1 [ib 2 -si 8 ] 1.2.3.2.1 -e 1.1.[1 ib 2 -si 8 ] 1.2.3.4.3.2.1 -e 1.1.[1.1 ib 2 -si 8 ] ============================ [ ] -e 1 [ ] La fin de la table des racines est suivie de la racine carrée de 1 : 1 -e 1 [ib 2 -si 8 ] Cet item peut être considérée comme appartenant à la fois à la table standard et aux lignes supplémentaires. Les 4 items suivants possèdent une propriété numérique forte : ce sont des palindromes (nombres qui se lisent indifféremment de gauche à droite ou de droite à gauche), dont les racines carrées sont des nombres composés uniquement du chiffre 1. L existence d une extension à la fin de la table des racines n est pas exceptionnel. La table de racines carrées 3N-T 604 de la Maison F, publiée par E. Robson (voir Tableau 22 ci-dessus), se termine peut-être elle aussi par ce qui me semble être des palindromes : on distingue en effet nettement sur la photo (Robson 2002b, p. 360) à la fin de la table de racines une ligne supplémentaire de nombres composés de chiffres 1. On peut ainsi rapprocher la structure des tables de racines carrées de celle des tables d inverses et de multiplication : elles se terminent par trois items supplémentaires, dont la présence n est pas systématique. Le double trait final indique que la section est terminée, la ligne qui suit ce double trait est donc une ligne d appel. Il me semble dès lors possible d affirmer qu il s agit l incipit d une autre table, qui ne peut être que la dernière des tables appartenant au corpus de Nippur, la table des racines cubiques ; la dernière ligne pourrait être restituée ainsi : [1] -e 1 [ba-si 8 ] Table de racines cubiques La table de racines cubiques n est attestée que dans une seule tablette de type III, CBS 8165 : 131

face 1 -e 1 ba-si 8 8 -e 2 ba-si 8 27 -e 3 ba-si 8 1.4 -e 4 ba-si 8 2.5 -e 5 ba-si 8 3.36 -e 6 ba-si 8 5. 43 -e 7 ba-si 8 [lignes cassées] revers [lignes cassées ] 2.13.20 -[e 20 ba-si 8 ] 7.30 -e [30 ba-si 8 ] [erasures] Ce qui reste de ce texte permet de reconstituer la table complète : les racines cubiques décrivent les entiers de 1 à 20, puis 30, peut-être 40 et 50. Terminologie Les racines carrées et cubiques sont exprimées par la même racine verbale (si 8, être égal), intervenant dans le même modèle de construction, par exemple : 9-e 3 ib 2 -si 8 9 a pour racine carrée 3 27-e 3 ba-si 8 27 a pour racine cubique 3 Deux points sont à considérer : la traduction de la racine si 8 et les éléments grammaticaux. Le suffixe -e est un ergatif ou un locatif terminatif ; /i+b-/ est un préfixe de conjugaison + infixe d objet inanimé. Les traductions de J. Høyrup 260 et E. Robson prennent en compte ces éléments, mais sont un peu différentes l une de l autre. J. Høyrup traduit «9-e 3 ib 2 -si 8» par «alongside 9, 3 is equal», ou, en conservant au suffixe e son ambiguïté (ergatif ou locatif terminatif): «by 9, 3 is equalside». La traduction de E. Robson cherche à exprimer le fait que, dans les textes de problèmes, la figure du carré est désignée indifféremment soit par son côté, soit par sa surface, et le terme ib 2 -si 8 peut désigner selon les cas la racine carrée ou le carré. Pour garder ce sens général à ib 2 -si 8, se rapportant au carré sans distinguer nécessairement l une ou l autre de ses parties, E. Robson traduit «9-e 3 ib 2 -si 8» par «9 is the square of 3» 261, ce qui conduit d ailleurs à choisir la fonction d ergatif au suffixe e. En français, il est difficile de traduire mot à mot le verbe «être égal», qui renvoie à une figure équilatérale, tout en gardant une ambiguïté à la fonction du suffixe e. J ai choisi de considérer le e comme un locatif terminatif et de traduire «9-e 3 ib 2 -si 8» par : «relativement à 9, 3 est le côté (du carré)», ou, de façon moins exacte mais plus simple : «9 a pour racine carrée 3». En effet, dans le contexte des tables, il s agit clairement du côté du carré et non du carré lui-même. La différence entre carré et racine carrée est nette dans le vocabulaire : comme cela a été remarqué plus haut, le carré est une multiplication particulière désignée par a- ra 2, et la racine carrée est une opération nouvelle désignée par ib 2 -si 8. Dans les exercices de calcul de surfaces de carrés, très nombreux au début du niveau avancé, ib 2 -si 8 désigne sans ambiguïté le côté du carré (voir 7.4.1 «Surfaces de carrés»). Le cas de la racine cubique est analogue. La différence réside dans le choix du préfixe de conjugaison (ba-). La traduction suit le même modèle : «relativement à 27, 3 est le côté (du cube)». Dans certains textes de problèmes, les formes verbales «ib 2 -si 8» et «ba-si 8», écrites avec des orthographes variables, sont nominalisées. On peut dans ces cas les traduire par «racine carrée» ou «racine cubique» (les deux sens se 260 Høyrup 2002, p. 25-26. 261 Robson 2002b, p. 360. 132

rencontrent pour l un comme pour l autre). 262 Le cas où «ib 2 -si 8» est utilisée dans les sens de racine cubique sera rencontré dans le problème IM 54478 (voir 7.7). Le terme ib 2 -si 8 fait partie du vocabulaire scolaire des figures géométriques simples : on le trouve dans une séquence d une liste lexicale paléo-babylonienne de Nippur (Proto-Izi II ligne 313) 263 associé à des termes géométriques tels que longueur, largeur, diagonale, côté, triangle, trapèze (voir Annexe 7, Liste lexicale Proto-Izi). Les tables de racines hors de Nippur Les tables de racines carrées et de racines cubiques, dans une forme proche de celle de Nippur, sont attestées dans toute la Mésopotamie 264. L une d entre elles, en particulier, rappelle Ni 2739 et ses palindromes : Plimpton 318 a été publiée dans MCT, puis par E. Robson 265. Il s agit d une table de racines carrées de type III de style abrégé qui présente plusieurs traits communs avec les tables de Nippur. La table commence avec la racine d un palindrome : 1.2.3.2.1 1.2!.1 (le scribe semble avoir fait une erreur et écrit 1.2.1 ou 1.1.1.1 au lieu de 1.1.1). 266 Puis elle se poursuit avec des racines carrées variant de 30 à 59. Ainsi, la présence de racines de palindromes dans les tables de racines carrées n est pas une exception, mais peut faire partie du corpus normal des tables numériques. Par ailleurs, 5 tablettes paléo-babyloniennes publiées dans MKT et MCT associent les tables de racines aux tables métrologiques : les racines carrées puis cubiques suivent la table métrologique des longueurs dans une même tablette de type I. Ce fait a déjà été souligné à propos des tables de hauteurs, et on peut citer d autres exemples : 262 J. Høyrup a étudié l utilisation de ib 2 -si 8 dans les textes à caractère algébrique, et associe son usage comme verbe à une tradition akkadienne non scolaire, et son usage comme nom à une tradition scolaire issue des écoles néosumériennes (LWS ch. IX, plus précisément, p. 361). 263 Civil et Reiner 1971, p. 49. 264 Neugebauer 1935-7 MKT I, p. 68ss ; Neugebauer et Sachs 1945, p. 33ss. 265 Robson 2002a, p. 264, 269 (copie) ; MCT, p. 34 (transcription). 266 E. Robson (p. 264) ne relève pas l erreur du scribe ; dans MCT, les nombres 1.2.3.2.1 et 1.2.1 écrits en vis à vis ne sont pas interprétés comme un nombre et sa racine carrée, mais comme les carrés respectivement de 1.1.1 et 1.1. 133

tablettes provenance type contenu références VAT 6220? I ou II 267 table métrologique L + table de carrés; table numérique MKT I p. 53 n 113, p. 71 n 18; 90 ; pl. 69. W 1923-366? prisme à tables métrologiques L, Lh; table de Voir tableau 18 6 faces racines carrées BM 92698 Larsa I table métrologique L; table de carrés, table Voir tableau 18. de racines carrées, table de racines cubiques AO 8865 Larsa? prisme tables métrologiques L, Lh?; racines carrées; racines cubiques Voir tableau 18. Voir annexe 8. Ist O 4108 Kiš I série métrologique (non précisée par l éditeur) ; table de racines carrées, table de racines cubiques? Voir tableau 18. Tableau 23: tables de racines carrées en Mésopotamie Les tables de racines : une série autonome? D après les exemplaires de tables de racines de Nippur qui viennent d être présentés, il se dessine un ensemble composé de : - tables de racines carrées standard (racines variant de 1 à 59) ; dans un cas (Ni 2739*), la table des racines carrées se termine par une extension de racines carrées de «palindrome» et une ligne d appel, constituant très probablement l incipit de la table des racines cubiques; - une table de racines cubiques. Aucune tablette de type I rassemblant les deux tables de racines n est attestée. Le seul élément qui relie racines carrées et racines cubiques est la présence de la ligne d appel à la fin de Ni 2739*. Quelle est la place de cet ensemble dans les séries élémentaires? Les sources de Nippur et des autres sites apportent des indices contradictoires. A Nippur, les tables numériques les plus répandues (inverses, multiplications, carrés) n incluent pas les tables de racines : on ne les trouve jamais sur la même tablette. Les tables métrologiques se terminent avec la table des hauteurs, et n incluent pas non plus les racines. Au contraire, sur des tablettes de type I ou prismes provenant d autres sites (Larsa et Kiš), les tables de racines sont rattachée aux tables métrologiques de longueurs. Il semble donc que la définition des séries soit différente d un site à l autre. A Nippur, il y aurait en fait deux séries de tables numériques. La plus fréquente et la plus longue contient les tables d inverses, de multiplication et de carrés. Elle est centrée sur l opération de multiplication (la division et le carré se ramènent à des multiplications). L opération de divisionmultiplication est appelées igi-arê en akkadien, et, dans la suite, on nommera cette série «tables 267 Le type n est pas clair ; d après la reconstitution de Neugebauer (MKT II pl. 69), il s agit d un type I ; la table de carrés est alors à la fin de la tablette, sur le revers ; mais on ne comprend pas pourquoi la table de carrés est répétée deux fois, ni pourquoi la série des tables de multiplication est interrompue à x6. On peut aussi supposer qu il s agit d un type II : la table des carrés + la table métrologique L est alors sur la face, elle est répétée deux fois car il y a le modèle et la copie ; mais on ne comprend pas dans ces conditions pourquoi la deuxième table des carrés est tronquée de ses premières lignes. 134

de division / multiplication». Mais il existe une deuxième série de tables numériques plus courte et moins fréquente centrée sur les calculs de racines. Dans tous les cas, les tables de racines carrées se situent à la fin du cursus élémentaire. La présence d une table de racines carrées sur une tablette de type IV, type réservé à des exercices de niveau avancé, est un indice supplémentaire pour placer ces tables après les autres tables (mais à lui seul il ne constitue pas une preuve suffisante, car on trouve aussi, bien que rarement, des listes de capacités sur les types IV). 6.2.6 Répartition statistique des tables numériques Comme dans les autres données statistiques, celles de ce paragraphe portent sur l ensemble «maths BE» des tablettes mathématiques exhumées par la Babylonian Expedition. Tables numériques et type de tablettes Les tables numériques sont présentes sur environ la moitié des tablettes (381 sur un total de 843). Leur répartition par type de tablettes est assez différente de celle des listes métrologiques : alors que ces dernières sont concentrées dans les tablettes de type II et presque absentes des types III, les tables numériques sont très présentes dans les types II et les types III. Nombre de tables numériques selon le type de tablettes : inverses, multiplication, carrés type I type II type III type IV fragments total 32 136 98 0 103 369 racines carrées et cubiques type I type II type III type IV fragments total 0 3 6 0 3 12 Tables numériques sur les tablettes de type II On a vu que les faces et revers des tablettes de type II contiennent des textes indépendants (le revers n est pas la suite de la face), appartenant souvent à des catégories différentes. Dans le cas des tables numériques, comme le montre le tableau 24 suivant, il est très fréquent qu on les trouve aussi bien sur la face que sur le revers des types II : les tables numériques sont majoritairement couplées avec elles-mêmes (53 sur 101). Mais elle peuvent aussi être couplées avec des listes lexicales ou des phrases sumériennes (43 cas sur 101), parfois avec les tables métrologiques (6 cas sur 101) et jamais avec des listes métrologiques. Nombre de tablettes de type II de Nippur contenant des tables numériques pour différents couplages des textes sur la face et le revers : 135

revers face table numérique table métrologique liste métrologique sumérien tables numériques 53 4 0 12 tables métrologiques 2 listes métrologiques 0 sumérien 31 Tableau 24 : tables numériques et tablettes de type II Style Le style des tables numériques (abrégé ou plein) dépend en partie du type de la tablette sur laquelle la table est écrite, et cette corrélation peut donner des indications sur les pratiques pédagogiques 268. Les tables de racines carrées et cubiques sont toutes de style plein. On ne considèrera dans la suite de cette partie que la série des tables de division / multiplication (inverses, multiplication, carrés). Le style d une série complète (types I et II/2) est homogène : les tables d inverses, de multiplication, de carrés sont dans le même style, très majoritairement abrégé (90% des séries complètes) 269. Le style des tables simples (type III et II/1) est plein dans environ la moitié des cas (49% des tables seules sont de style plein, 35% sont de style abrégé, et 16% sont de style indéterminé). tables combinées tables simples type I type II/2 type II/1 type III total style plein 9 3 35 49 96 style abrégé 23 107 26 34 190 style non visible 0 4 14 15 33 total 32 114 75 98 319 Les résultats ci-dessus ne sont que partiellement conformes à la répartition des tables selon les styles reconstituée par E. Robson 270 avec les données de MKT pour l ensemble de la Mésopotamie d une part, et les données de la Maison F d autre part : - dans les trois groupes (Mésopotamie, Nippur, Maison F), les tables de multiplication insérées dans les séries (types I et II/2) sont très majoritairement de style abrégé ; 268 Robson 2002b, p. 343-344. 269 Dans un seul cas le style n est pas homogène. La tablette N 1970 est une table numérique contenant une table de multiplication par 12 de style abrégé et une table de multiplication par 8.20 de style plein. 270 Robson 2002b, p. 343. 136

- dans deux groupes (Mésopotamie, Maison F) les tables de multiplication simples sont très majoritairement de style plein (85% pour la Maison F) alors que dans le groupe de Nippur, la proportion est à peu près équilibrée entre les deux styles. Bien qu elles soient moins significatives pour l ensemble de Nippur que pour la Maison F, ces données montrent le même type de répartition : les tables simples sont plutôt de style plein, et les tables combinées de style abrégé. On peut donc retenir les conclusions d E. Robson 271 pour la Maison F. Ces styles de tables correspondent à des fonctions pédagogiques différentes : les tables simples des faces de type II sont des copies soigneuses et complètes de textes abordés pour la première fois ; une fois la table mémorisée, elle est écrite sur les tablettes de type III sans modèle du maître. Les revers de type II sont des exercices d entraînement à restituer sans modèle la série de toutes les tables qui ont été mémorisées ; elles sont écrites plus rapidement, avec moins de soin et de détails. L écriture abrégée donne une forme symétrique aux paires d inverses, qui, bien qu elle réponde à des impératifs pédagogiques, peut néanmoins orienter la notion d inverse vers une conception plus abstraite : l écriture produit ses propres effets de sens. 6.2.7 Structure des tables numériques En résumant les observations faites dans l étude des tables, on peut mettre en évidence quelques premiers éléments de structuration, d une part interne aux tables, d autre part en tant qu ensemble. Trois parties Le fait que les tables ont une structure interne en plusieurs parties a pu être mis en évidence dans la majorité des cas ; en général on distingue trois parties : incipit, corps et entrées supplémentaires, mais parfois seulement deux de ces parties sont présentes. L incipit est souvent plus complet que le reste de la table et sert de ligne d appel (tables de multiplication et de racines). Les entrées supplémentaires suivent des règles d engendrement différentes du corps de la table. Elles sont systématiques dans le cas des tables d inverses (entrées 1.4 et 1.21), mais elles sont facultatives pour les autres tables (carré du nombre principal dans les tables de multiplication ; racines de palindromes dans les tables de racines carrées). Dans le cas des tables de racines carrées et d inverses, un item de transition (racine ou inverse de 1) peut indifféremment se rattacher au corps de la table ou aux entrées supplémentaires. Deux séries de tables numériques à Nippur Les tables numériques se répartissent en deux séries différentes : - Une grande série de tables de division / multiplication est constituée des tables d inverses, multiplication, carrés. Elle regroupe 97% des tablettes numériques (369 des 381 tablettes numériques trouvées dans le groupe «math BE»). Les tables de multiplication ont des liens très forts avec la table d inverses et sont un outil pour la division tout autant, si ce n est plus, que pour la multiplication (présence de 81% des nombres principaux dans la table d inverses, 271 Ibid, p. 344. 137

classement par ordre décroissant des nombres principaux). Les tables de carrés sont des tables de multiplication particulières. - Une petite série de deux tables de racines (carrées et cubiques), est présente sur 12 tablettes de Nippur. L appartenance de ces deux tables à une même série est attestée par la ligne d appel de Ni 2739. La structuration n est pas la même dans d autres sites : d après des sources hors de Nippur (Larsa et Kiš notamment), les tables de carré et de racines sont rattachées aux tables métrologiques de longueurs. 6.3 Les séries mathématiques élémentaires dans le cursus 6.3.1 Ordre chronologique Dans la présentation générale des écoles de scribes et du cursus scolaire à Nippur (chapitre 3), un certain nombre de questions concernant le déroulement du cursus mathématique ont été soulevées. En effet, les reconstitutions du cursus scolaire par N. Veldhuis et E. Robson (ordre dans lequel les séries sont enseignées) mettent en évidence des divergences entre l ensemble de Nippur et le cas particulier de la Maison F. De plus, elles sont incertaines pour plusieurs listes. Ce paragraphe s efforcera de répondre aux questions suivantes : y a-t-il un ordre dans l apprentissage des séries? Le cursus est-il linéaire, ou bien apprend-t-on plusieurs séries en même temps? Y a- t-il des variations locales d une école à l autre? Comment s articulent les listes lexicales et les listes mathématiques? La reconstitution du cursus repose sur plusieurs types d indices, qui ne sont en général pas complètement probants si on les considère isolément : ils doivent se confirmer mutuellement. La présence d une ligne d appel reliant une série à la suivante est rare : on a vu plus haut que les fins des séries sont en général marquées par la formule de louange à Nisaba. Il n existe pas d appel à la fin des listes thématiques (Urra 1 à 6) 272, ni à la fin des séries mathématiques 273. Concernant les listes thématiques, N. Veldhuis 274 a exploité des informations provenant de sources de natures différentes. Un catalogue paléo-babylonien de Yale (YBC 13617) publié par Hallo 275, de provenance inconnue, est un des rares exemples de catalogue de listes lexicales. Il donne un inventaire ordonné des listes thématiques, nommées par leur incipit. D autre part, N. Veldhuis s est appuyé sur la comparaison des textes inscrits sur les faces et revers des tablettes de type II pour ordonner les exercices selon leur niveau scolaire, et a obtenu un classement proche de celui du catalogue de Yale. 272 Veldhuis 1997, p. 58. 273 Cependant, une ligne d appel est attestée à la fin de la liste lexicale Proto-Lu, montrant que, à Nippur, la série suivante est la liste lexicale Proto-Izi. 274 Ibid, p. 52. 275 Hallo 1982, p. 82. 138

En tenant compte à la fois des lignes d appel, du catalogue de Yale et de la répartition statistique des tablettes de type II selon le contenu de la face et du revers, N. Veldhuis a précisé et modifié l ordre déjà établi antérieurement et il a partiellement reconstitué le cursus de Nippur (voir 3.3.1), que je rappelle ici en partie. - listes thématiques : Urra 1 Urra 2 Urra 3 Urra 4 Urra 5 Urra 6 - listes avancées : Proto-Ea Proto-Lu Proto-Izi Proto-Kagal Proto-Nigga Proto-Diri - listes de phrases : modèles de contrats proverbes Concernant les séries mathématiques, rien n est indiqué dans les documents de type catalogue (tels que la tablette de Yale mentionnée ci-dessus), car ceux-ci ne citent que les textes littéraires. On ne peut pas non plus s appuyer sur les lignes d appel. Reste la méthode de corrélation des textes dans les tablettes de type II. Mais elle donne des résultats très incertains, en partie pour des raisons liées à la méthode elle-même et ses conditions d utilisation. Il est donc nécessaire de revenir en détail sur cette méthode, ses possibilités et ses limites. 6.3.2 La méthode de corrélation de N. Veldhuis Elle s appuie sur la comparaison des textes de la face et du revers des tablettes de type II. La face et le revers sont probablement écrits par le même scribe, et l exercice de la face (copie de texte nouveau) est, pour le scribe, de niveau supérieur à celui du revers (restitution de texte assimilé). L étude des séries mathématiques permettra de vérifier ce point (voir 6.3.3). En supposant que le cursus est une suite ordonnée de listes qui s enchaînent toutes les unes après les autres, la séquence de la face vient après la séquence du revers. On verra plus loin que l hypothèse de ce déroulement linéaire pose problème. Dans ce qui suit, on décrira les tablettes de type II par leur contenu, en notant entre parenthèses d abord le contenu de la face, puis celui du revers, selon le modèle : (contenu de la face, contenu du revers ) Par exemple, on trouve dans le corpus des listes lexicales de Nippur 276 la répartition suivante dans les tablettes de type II contenant à la fois des proverbes et des contrats : 276 Veldhuis 1997, p. 58, 62. 139

(proverbe, contrat) : 6 tablettes (contrat, proverbe) : 0 tablette Donc, d après ces exemplaires, les contrats précèdent les proverbes dans le cursus. Cependant, cette méthode ne donne pas des résultats probants dans tous les cas. Par exemple, on sait par la présence d une ligne d appel que la liste Proto-Lu précède en principe la liste Proto-Izi, pourtant la répartition ne confirme pas cette information : (Proto-Lu, Proto-Izi) : 2 tablettes (Proto-Izi, Proto-Lu) : 2 tablettes Quelles sont les raisons de cette discordance? La méthode est fondée sur le fait que l exercice de la face est plus avancé que celui du revers, pour un scribe donné. Ce fait sera confirmé pour le cas de l enchaînement des sections métrologiques d une part, et celui des tables numériques d autre part, grâce aux tablettes de type II homogènes (même série sur la face et le revers). Mais il y a plusieurs autres hypothèses qui devront être discutées : - l ordre est stable : il est le même pour toutes les écoles de Nippur, pendant toute la période paléo-babylonienne ; c est cette hypothèse que E. Robson remet en question en constatant que l ordre des listes provenant de la Maison F n est pas tout à fait le même que celui des listes provenant de l ensemble de Nippur ; - le cursus est linéaire : on n introduit pas plusieurs listes en même temps ; - les séries s enchaînent en bloc (une série n est pas entrecoupée par des sections d une autre dans le déroulement chronologique). 6.3.3 Les séries mathématiques dans les tablettes de type II Remarques générales La répartition des tablettes de type II selon le texte de la face et du revers se trouve en Annexe 3 («Données statistiques» 5) 277 sous forme d un tableau général et d un tableau détaillé, intégrant les données des bases «math BE» et des données publiées par N. Veldhuis (1997). Ces tableaux permettent une première observation générale : les séries mathématiques ont une capacité très inégale à se mélanger aux autres catégories de textes. Cette répartition particulière a déjà été remarquée à l occasion de l étude des différentes séries ; rappelons ici ses principales caractéristiques : - les listes métrologiques sont principalement couplées avec des listes lexicales, peu avec elles-mêmes (effectif sur la diagonale faible), peu avec les autres listes métrologiques, presque jamais avec les tables numériques (un seul cas à la Maison F) ; ces caractères sont particulièrement marqués pour les listes métrologiques C ; 277 Les données de l Annexe 3 ne prennent en compte que les tablettes dont la catégorie de texte est identifiée avec précision (exemple : liste lexicale Urra 1) ; les données plus globales insérées dans le texte ci-dessous prennent en compte également les tablettes dont on sait qu elles contiennent des compositions en sumérien, mais sans qu il soit toujours possible de les identifier. 140

- les listes métrologiques ne sont jamais couplées avec des tables métrologiques ; - les listes de capacités (et dans une moindre mesure les tables de capacités) restent présentes sur le revers des types II pendant tout l enseignement élémentaire : leur nombre ne décroît pas avec l avancée du cursus, et on les trouve aussi bien sur le revers de listes thématiques que de listes avancées, de contrats et de proverbes ; - les tables numériques sont majoritairement couplées avec elles mêmes (56 cas), assez souvent avec des listes sumériennes (25 cas), peu avec des tables métrologiques (6 cas), rarement avec des listes métrologiques (2 cas). Si l on regarde seulement le rectangle où sont réparties les séries mathématiques (partie inférieure droite, résumée dans le Tableau 25 ci-dessous), on constate une disposition assez symétrique et des effectifs concentrés sur la diagonale. Cette répartition rend difficilement utilisable la méthode de N. Veldhuis pour comparer les séries mathématiques entre elles. revers face liste métrol. table métrol. table num. liste métrol. 7 0 2 table métrol. 0 14 4 table num. 0 2 56 Tableau 25 : répartition des séries mathématiques dans les tablettes de type II A l inverse, la répartition à l extérieur de ce rectangle permet de comparer certaines séries mathématiques aux listes lexicales. Types II numériques sur la face et le revers Dans l ensemble des 56 tablettes de type II numériques homogènes, la table de la face est toujours plus avancée que la dernière table visible du revers : voir graphique en Annexe 3 («Données statistiques» 5). Il y a des cas de chevauchements : dans Ni 2726*, la face est la table de multiplication par 44.26.40, le revers est le début de la série des tables numériques, jusqu à la table de multiplication par 44.26.40 incluse. Lorsque le scribe commence à apprendre la série numérique, on trouve sur la face une des premières tables (50, 45, ou 44.26.40), et sur le revers la séquence connue par cœur, qui est très courte à ce stade. L étudiant répète cette séquence plusieurs fois, tant qu il dispose de place sur le revers : le texte de la face constitue un butoir que le texte du revers ne dépasse pas. Exemples : CBS 11368 table de multiplication par 50; table numérique : inverses (répétée 2 fois) CBS 11340+ table de multiplication par 45 (modèle et copie) ; table numérique : inverses, 50 (répétées 3 fois). Ni 10119 table de multiplication par 44.26.40; table numérique : inverses, 50 (répétées plusieurs fois) Ni 10109 table de multiplication par 30; table numérique : inverses, 50; 45 (répétées plusieurs fois) On constate ce phénomène de butoir également dans deux tablettes provenant probablement de Nippur et dont Neugebauer a fait des reconstitutions (MKT II pl. 64) : 141

HS 203 (Nippur?) table de multiplication par 16.40 et appel; table numérique : inverses, 50 à 16.40, puis inverses HS 205 ( Nippur?) table de multiplication par 24 et appel; table numérique : 30 ; 25, puis inverses Il est probable que, contrairement à ce qu indique la reconstitution de Neugebauer, HS 205 est de type II et donc la face et le revers sont à inverser par rapport à l identification de MKT. Dans le seul cas où on trouve une table d inverses sur la face, le revers n est pas une table numérique : N 3848 table d'inverses; liste lexicale Proto-Kagal. Types II métrologiques sur la face et le revers Les tablettes de type II métrologiques homogènes ne sont pas nombreuses : 6 tablettes avec des listes métrologiques sur la face et le revers ; 10 tablettes avec des tables métrologiques sur la face et le revers. On constate, sur un effectif plus réduit, le même type de répartition que pour les tables numériques : à une exception près, la séquence écrite sur la face est plus avancée que la fin de la série écrite sur le revers : voir graphique en Annexe 3 («Données statistiques» 5). La seule exception est : Ni 5196 liste métrologique C; liste métrologique P. où la face et le revers ont pu être écrits par des étudiants différents. Il arrive que la section de la face et celle du revers soient les mêmes, mais on trouve alors la fin sur la face et le début sur le revers, avec éventuellement des chevauchements : CBS 8104 table métrologique C (gur, geš 2 gur) ; table métrologique C (bariga, gur) CBS 8177 liste métrologique C (gur); liste métrologique C (bariga, gur) Ces deux exemples établissent solidement le fait que le niveau des exercices de la face est supérieur à celui des exercices du revers au sein d une série, sauf exceptions statistiquement marginales. Inversant la charge de la preuve, on peut établir le niveau des exercices en fonction des couples faces/revers : la répartition étant donnée, on cherche l ordre des séries qui se rapproche le plus de la situation idéale où l effectif «sous la diagonale» est nul. On trouvera en Annexe 1 le programme qui réalise, pour une distribution donnée, toutes les permutations possibles et sélectionne la ou les solutions. On ne retiendra ici que les comparaisons qui donnent des résultats exploitables, et l on se reportera à l Annexe 1 pour une analyse détaillée de toutes les corrélations. Comparaison des listes métrologiques avec les listes lexicales Comme le montre le Tableau 25 du paragraphe précédent, ainsi que d autres essais qu on peut trouver en Annexe 1, on n obtient aucun résultat en considérant les listes métrologiques en bloc, mais un classement plus net apparaît dès lors qu on détache les listes C du reste de la série. Le nombre de tablettes où les listes C sont couplées avec des listes lexicales est significatif, et permet d établir un ordre : les listes métrologiques des capacités sont introduites tôt dans le cursus, dès le début des listes thématiques. Mais, comme cela a été signalé plus haut, les listes C restent présentes sur le revers des tablettes de type II pendant toute la durée du cursus élémentaire. 142

revers face liste C thématique avancé contrat proverbe liste C 2 4 16 13 thématique 0 123 73 23 avancé 0 10 140 84 contrat proverbe 0 1 6 14 Tableau 26 : listes de capacités et listes lexicales La comparaison des listes métrologiques P, S, L (seules ou enchaînées) avec les listes sumériennes ne leur donne pas une place précise, mais montre au contraire qu elles peuvent être introduites à tous les stades du cursus élémentaire. Comparaison des tables métrologiques avec les listes lexicales Les tables métrologiques, prises dans leur ensemble, semblent introduites elles aussi au début de l'étude des listes thématiques. Mais si on considère séparément les tables C d'une part, les tables P, S, L d'autre part, le résultat est plus nuancé : les tables C semblent introduites en même temps que les listes C, mais les tables P, S, L pourraient intervenir plus tard, après les listes thématiques et coïncider avec le début de l'étude des listes avancées. Toutes ces hypothèses restent fragiles en raison du faible effectif sur lesquelles elles s'appuient. Comparaison des tables numériques avec les listes lexicales La comparaison indique que les tables numériques (inverses, multiplication, carrés) se placent entre les listes thématiques et les listes avancées : revers face thématique numérique avancé contrat proverbe thématique 123 4 73 23 numérique 1 56 5 12 avancé 10 1 140 84 contrat proverbe 1 2 6 14 Tableau 27 : tables numériques et listes lexicales Plus précisément, une comparaison avec les listes thématiques et avancées prises une à une permet de situer l introduction des tables numériques avant les listes Proto-Ea. Conclusion Cette étude des répartitions des tablettes de type II permet de faire quelques remarques concernant d une part la méthode elle-même, d autre part la place des séries mathématiques dans le cursus élémentaire. - On a vérifié dans le cas de tablettes homogènes (numériques ou métrologiques) que la face des tablettes de type II est plus avancée que le revers. Cependant, dans les tablettes mixtes, les cas de distributions symétriques sont fréquents : on a relevé le cas des listes Proto-Lu couplées avec Proto-Izi, et le cas des tables métrologiques couplées avec des tables numériques. Cela peut indiquer que l ordre du cursus n est pas strict, et qu il peut varier d une époque ou d une 143

école à l autre pour certains enchaînements 278, ou bien que plusieurs listes sont étudiées en même temps 279. - Il est possible d utiliser les distributions des tablettes de type II pour ordonner le cursus, mais dans des conditions particulières : effectif «hors de la diagonale» significatif, distribution non symétrique. Même dans ces conditions, il arrive que la méthode conduise à plusieurs solutions équivalentes, et des éléments d information extérieurs sont nécessaires pour trancher. C est le cas par exemple des listes Urra, qui peuvent être ordonnées de plusieurs façons par corrélation des faces, mais une seule est compatible avec l ordre du catalogue de Yale. Appliquée aux listes avancées, la méthode est très incertaine : on trouve 6 solutions, qui, par la qualité du résultat, ne se distinguent pas nettement des autres possibilités. - Appliquée aux séries mathématiques élémentaires, la méthode de N. Veldhuis permet de placer sûrement l introduction des listes métrologiques des capacités au début de l étude des listes thématiques, et probablement l introduction des tables numériques à la fin de cette étude. On sait que les autres listes métrologiques (P, S, L) suivent celle des capacités. Mais la méthode ne permet pas de situer plus précisément le déroulement de l apprentissage des tables métrologiques par rapport aux autres séries lexicales et mathématiques. Dans l ensemble, les séries mathématiques semblent introduites de façon nettement plus précoce que ce qu indiquent N. Veldhuis et E. Robson (voir 3.3 «Cursus scolaire»). La persistance d un nombre important de listes C sur le revers des tablettes de type II pendant tout le cursus élémentaire laisse penser que ces listes sont étudiées en parallèle avec les listes lexicales. L étude des tables numériques semble se dérouler dans la deuxième partie du cursus élémentaire, en même temps que les tables métrologiques P, S, L. 6.4 Architecture des séries mathématiques élémentaires Il est possible maintenant de préciser l architecture générale des séries mathématiques élémentaires, en particulier par rapport à celle qui a été proposée au chapitre 5 ( 5.3). L articulation des catégories de textes, unités de textes, types de tablettes et niveau scolaire permet de mettre en lumière plusieurs aspects de cette architecture complexe. 6.4.1 Catégories de textes et unités de textes Par rapport à la première liste donnée au chapitre 5 (Tableau 8), trois catégories de tables nouvelles ont été identifiées dans l étude des séries de Nippur. Elles relèvent de trois niveaux d unités de texte différentes : - la table des hauteurs est une section de la série des tables métrologiques ; 278 E. Robson 2001b. 279 A. Cavigneaux 1983, p. 611. 144

- les deux tables de racines forment une série autonome ; - les racines de palindromes font partie intégrante de la tables des racines carrées, dont elles sont une extension. En intégrant ces éléments nouveaux, on obtient la structure suivante : séries sections listes métrologiques liste C (capacités) liste P (poids) liste S (surfaces) liste L (longueurs) séries mathématiques élémentaires tables métrologiques table C (capacités) table P (poids) table S (surfaces) table L (longueurs) table Lh (hauteurs) tables de division / multiplication table d inverses 38 tables de multiplication table de carrés tables de racines table de racines carrées table de racines cubiques Tableau 28 : catégories et unités de texte 6.4.2 Catégories de textes et niveau scolaire Contrairement à ce que suggère cette présentation, les sections n occupent pas toutes une place équivalente et de fortes disparités les distinguent à plusieurs niveaux : leur fréquence dans les sources, leurs liens avec les autres sections, leur position chronologique dans le cursus. L étude des tablettes de type II conduit à considérer que le cursus mathématique n est pas structuré de façon linéaire à l image de celui des listes lexicales, mais que l enseignement des séries mathématiques se déroule en parallèle. Le diagramme suivant est une représentation très approximative, plus qualitative que quantitative, d un modèle essayant d intégrer ces différents niveaux de structuration des séries métrologiques : - Niveau quantitatif : la fréquence des différentes séries est représentée par des rectangles d aire proportionnelle à leur nombre. - Niveau chronologique : les sections sont disposées de gauche à droite selon un axe des temps repéré par le cursus des listes lexicales. Les seuls repères chronologiques à peu près sûrs sont la coïncidence entre le début des listes thématiques et le début des listes C d une part, la fin des listes thématiques et les tables numériques d autre part. Ces repères sont indiqués par des traits verticaux épais. 145

- Structure : les liens entre sections sont représentés par des traits pleins quand ils sont forts et pointillés quand ils sont faibles ; des doubles flèches verticales signalent des affinités particulières entre sections de séries différentes : listes C avec listes lexicales à cause de leur cohabitation fréquente sur les types II ; tables L et Lh avec tables de racines à cause de leur cohabitation fréquente dans des tablettes hors de Nippur. Figure 10: cursus mathématique 6.4.3 Fonction listes et tables métrologiques Pourquoi le cursus scolaire élémentaire contient-il deux types de séries métrologiques, des listes et des tables? Ont-elles des fonctions différentes dans l enseignement? La question a été posée par E. Robson, mais les sources de la Maison F ne sont pas suffisamment abondantes pour lui apporter une réponse. «But it is impossible to determine whether the list and tabular formats had distinct pedagogical functions ; neither is there much to be deduced from comparative material (primly because it is all under-published).» [Robson 2002b, p. 337] En considérant l ensemble des séries mathématiques de Nippur, il est possible d apporter à ce stade quelques éléments de réponse à la question. Les considérations externes aux textes (type de tablette, couplage avec d autres textes sur les types II, répartition statistique) montrent des différences entre listes et tables : - les listes sont majoritaires dans les séries C, minoritaires dans les autres séries métrologiques ; - dans les tablettes de type II, les listes sont plutôt couplées avec du sumérien, les tables plutôt couplées avec des séries mathématiques ; listes et tables ne sont jamais couplées entre elles ; - les listes sont plus nombreuses en début de cursus. Les listes sont donc moins intégrées au cursus mathématique que les tables. Or les listes ne permettent que d enregistrer des quantités de biens matériels, alors que les tables métrologiques 146

sont des outils de calcul d une importance majeure (l utilisation des tables métrologiques sera au centre de la reconstitution des méthodes de calcul développée au chapitre 7). En conclusion, s il est difficile de préciser la fonction pédagogique respective des listes et des tables, il est clair en revanche que les secondes ont une place beaucoup plus importante que les premières dans la formation mathématique proprement dite. On peut avancer de façon assez générale que : - les listes sont avant tout des exercices d écriture des unités de mesure ; - les tables sont des outils de calcul et donc préparent à la formation mathématique de niveau avancé. Une toute autre hypothèse peut être proposée, par comparaison avec les listes lexicales. Dans leur forme écrite à Nippur à l époque paléo-babylonienne, les listes lexicales sont presque toujours «monolingues», c est-à-dire ne comportent que la version sumérienne du vocabulaire, par opposition aux listes bilingues plus tardives, qui comportent également la traduction en akkadien sous forme de gloses. N. Veldhuis 280 a montré que si les listes de Nippur sont monolingues à l écrit, elles devaient très certainement être bilingues dans leur forme orale : l écrit est le squelette des listes mémorisées. On peut, par analogie, faire l hypothèse que les listes métrologiques sont des «squelettes» de tables, c est-à-dire que si les nombres sexagésimaux ne sont pas écrits en vis-à-vis des différentes mesures, ils étaient néanmoins verbalisés et mémorisés. On considèrerait dans ce cas les listes métrologiques comme des tables abrégées, dont les gloses numériques sont orales et non écrites. Listes et tables seraient de même nature, mais dans des formes écrites différentes. A mon sens, cette hypothèse n est pas convaincante. La forme des listes lexicales est typique d un site, d une époque : elles sont toutes monolingues à Nippur à l époque paléo-babylonienne, et elles sont bilingues au premier millénaire. Concernant les séries métrologiques, tables et listes sont simultanément présentes dans la même école, à la même époque (par exemple, dans la Maison F à l époque du règne de Samsu-Iluna), mais toujours sur des tablettes différentes (en aucun cas une liste et une table ne peuvent se trouver sur une même tablette de type I ou II). On a vu également que les listes sont beaucoup plus fréquentes parmi les sections de capacités, et au début du cursus mathématique. La différence entre liste et table n est pas une question de mode d écriture, analogue aux listes monolingues et bilingues, dépendant d un lieu ou d une époque. Il ne s agit pas non plus d une différence de style : les styles pleins et abrégés peuvent coexister sur une même tablette. Listes et tables métrologiques sont donc de nature différente. Fréquences décroissantes N.Veldhuis pour les listes lexicales thématiques, et E. Robson 281 pour les tables de multiplication de la Maison F, ont remarqué que les sections placées au début des séries sont beaucoup plus fréquentes dans les sources que celles de la fin. Plus précisément, E. Robson a montré que cette décroissance des effectifs des tables successives est particulièrement nette pour les revers de type II (et dans une moindre mesure les revers de type I), alors que la répartition est à peu près régulière pour les tables simples (type III et II/1). La prise en considération de l ensemble des sources de Nippur permet de confirmer cette répartition pour les tables numériques, tout en la 280 Veldhuis 1997, p. 132. 281 Ibid, p. 36 ; Robson 2002b, p. 343-344. 147

nuançant concernant les types I ; la situation est moins visible pour les séries métrologiques car elle se combine avec d autres phénomènes évoqués précédemment (voir 6.1.8 «Répartition des séries métrologiques»). Les effectifs des tables numériques sont représentés, pour chaque type de tablette, par des histogrammes dans la figure suivante (Figure 11). Le détail des dénombrements reportés dans le graphique se trouve en Annexe 3 («Données statistiques» 4). Les tables sont regroupées par tranches de 4, désignées par des lettres : - tranche A tables d inverses, tables x50, x45 et x44.26.40 ; - tranche B tables x40, x36, x30 et x25 ; - tranche C tables x24, x22.30, x20, x18 ; Etc. 120 100 nombre de tables 80 60 II/2 40 I 20 0 III II/1 types de tablettes A B C D E F G H I J tables numériques Figure 11 : répartition des tables numériques Le premier histogramme (premier plan) représente la répartition des tablettes de type III. On constate que cette répartition est très régulière : les tables numériques qui se trouvent sur des tablettes de type III ont une fréquence à peu près constante. 148

Le deuxième histogramme (deuxième plan) représente la répartition des tablettes de type II/1 (faces de type II). La première moitié des tables (tranches A à F) semble un peu plus fréquente que la deuxième moitié. Les effectifs étant faibles, cette différence n est pas nécessairement significative. Le troisième histogramme représente la répartition des tablettes de type I. La première moitié des tables est globalement plus fréquente que la deuxième moitié, mais dans le détail la répartition est assez irrégulière ; on ne constate pas de décroissance continue de la fréquence des tables. Le quatrième histogramme (dernier plan) représente la répartition des tablettes de type II/2 (revers de type II). La fréquence des tables est décroissante, de façon très marquée et régulière. Les quatre histogrammes de ce graphique montrent donc que, comme l a montré E. Robson pour la Maison F, les différentes tables sont de fréquences comparables (à quelques accidents près) pour les tables simples (types III et II/1), mais fortement décroissantes pour les tables inscrites sur les types II/2. E. Robson a mis en relation ces profils de répartition avec des pratiques pédagogiques, et ses conclusions pour la Maison F peuvent être étendues à l ensemble des écoles de Nippur : «it seems that while students were given initial exposure to the whole of a composition, by means of short extracts on tablets Types II/1 and III, their revision of that work was much less systematic, starting from the beginning again each time and rarely reaching the end.» [2002b p. 337, p. 344] Ce schéma s applique particulièrement bien aux tables numériques : le jeune scribe apprend une nouvelle table en la copiant sur la face d une tablette de type II, et révise les tables précédemment assimilées en les restituant de mémoire sur les revers de la même tablette. Cela explique le fait que les premières tables numériques sont beaucoup plus fréquentes sur les types II/2 que les dernières : le scribe commence toujours à écrire la série des tables numériques par le début, c està-dire les inverses, la table de 50, etc., et s arrête à la table qu il est en train d apprendre en la copiant sur la face. S il ne connaît que 2 ou 3 tables, il les copie plusieurs fois sur le revers. Le processus d apprentissage des tables numériques semble être assez continu et non entrecoupé de séquences consacrées aux autres listes (métrologiques ou lexicales). En effet, les tablettes de type II concernées sont en majorité homogènes, on y trouve en général des tables numériques sur la face et sur le revers. La répartition des sections métrologiques est de nature différente : les listes et tables de capacités sont très largement dominantes, alors que la répartition dans les autres catégories de tablettes et de sections est assez régulière. On observe moins nettement la fréquence régulièrement décroissante des sections P, S, L dans les tablettes de type II/2. 149

100 90 80 70 nombre de listes 60 50 40 30 20 10 II/1 I II/2 types de tablettes 0 III C P S L listes métrologiques Figure 12 : répartition des listes métrologiques 150

60 50 40 nombre de tables 30 20 10 0 C P S L tables métrologiques III II/1 I II/2 types de tablettes Figure 13 : répartition des tables métrologiques L organisation pédagogique décrite ci-dessus (copie sur la face des types II, puis révisions sur le revers) rend bien compte du contenu et de la répartition des tables numériques sur les tablettes de type II. Mais deux problèmes restent posés. D une part, le rôle des tablettes de type III et de type I reste à préciser : de répartition régulière et de facture en général soignée, ces tablettes pourraient avoir une fonction d examen plutôt que d entraînement quotidien. D autre part, les listes et les tables métrologiques ont une répartition d allure un peu différente de celle des tables numériques. Ces questions seront reconsidérées, dans un cadre plus général, dans le dernier chapitre. 6.4.4 Comparaison avec les époques plus anciennes et plus récentes Certains éléments de comparaison des séries mathématiques paléo-babyloniennes avec leurs prédécesseurs néo-sumériens et leurs successeurs du premier millénaire ont été signalés dans les paragraphes précédents : les textes paléo-babyloniens présentent une remarquable stabilité. Bien que beaucoup moins nombreux, les textes scolaires connus des époques antérieures et postérieures illustrent a contrario cette uniformité : les tables d inverses néo-sumériennes sont toutes différentes les unes des autres, ainsi que les tables métrologiques du premier millénaire. 151

Par ailleurs, outre la variabilité, on note dans les tables d inverses «igi nu» néo-sumériennes l association de plusieurs caractères spécifiques : des graphies anciennes pour l écriture des nombres, et un haut niveau d habileté dans l exécution. On pourrait, sur la base de ces caractères, classer dans cette catégorie d autres tables numériques : Ni 2208* (type III) table de multiplication par 7 Ni 10239*+ (type III) table d inverses Ni 5173* (type I) table numérique Il a déjà été remarqué qu un travail aussi minutieux ne peut pas être celui d un enfant. Dans une phase précoce de conception des tables, celles-ci relèvent peut-être d un niveau plus élevé : comme cela a été évoqué à propos des tables d inverses néo-sumériennes, il s agirait d un travail d érudition et non pas d un banal exercice scolaire de niveau élémentaire. 6.5 Ordres de grandeur Les tables métrologiques et numériques constituent l outil de base du calcul pratiqué dans la suite du cursus. L analyse des exercices de niveau intermédiaire, qui seront traités dans le chapitre 7, permet de reconstituer quelques aspects fondamentaux du calcul des surfaces et des volumes. L un de ces aspects est le passage permanent des mesures aux nombres abstraits et des nombres abstraits aux mesures, dont on essaiera dans les pages qui suivent de préciser le mécanisme. L écriture des nombres abstraits n indiquant pas la position des unités, le calcul se double donc toujours pour les scribes d une évaluation mentale des ordres de grandeurs. Le contrôle des ordres de grandeurs devait constituer une part de l entraînement des scribes. Existe-t-il des traces de cet entraînement? La question sera abordée sous différents angles : l échelle des mesures inventoriées dans les listes et leur signification ; le rapport entre les listes métrologiques et les listes lexicales ; les repères concrets qu un jeune scribe peut rencontrer dans son univers quotidien. Je mentionnerai souvent dans cette partie les équivalents en système métrique actuel. Ceci n a pas pour but d inciter à convertir les données numériques des exercices de scribes dans notre système - le calcul doit au contraire toujours être mené selon les règles du système ancien - mais de mettre en place un ensemble de représentations des grandeurs mises en jeu. 6.5.1 Echelle des mesures dans les tables Tout d abord, que représentent concrètement les mesures énumérées dans les listes et tables métrologiques? Leurs ordres de grandeur sont les suivants : Capacités : de 1 gin 2 (17 dl) à 1 (šar 2 ) gal šu-nu-tag gur (648 000 m 3 ) Poids : de 1/2 še (0,02 g) à 1 (šar 2 ) gal gu 2 (648 tonnes) Surfaces : de 1/3 sar (11,5 m²) à 1 (šar 2 )-gal šu-nu-tag gan 2 (2268 km²) 152

Volumes 282 : de 1/3 sar (6 m 3 ) à 1 (šar 2 )-gal šu-nu-tag gan 2 (environ 1 km 3 ) Longueurs : de 1 šu-si (1,6 cm) à 50 danna (525 km) Hauteurs : de 1 šu-si (1,6 cm) à 1 danna (10,5 km) Certaines mesures atteignent des valeurs considérables, dépassant certainement les besoins pratiques et les situations des exercices scolaires les plus imaginatifs, ou sont au contraire très en deçà des possibilités de mesure de l époque. Par exemple, 648 000 m 3 est une capacité supérieure à celle de la Ziggurat de Babylone. Les poids couvrent une étendue irréaliste. Aucune balance ne pouvait déceler un poids aussi infime que 0,02 g. A l inverse, les surfaces commencent à 11,5 m² seulement, et les petites étendues, très fréquentes dans les exercices et la vie quotidienne, sont hors du champ couvert par les tables. Cette lacune sera comblée par l utilisation dans le système des surfaces des subdivisions créées pour le système des poids : les petites unités de poids prennent ainsi un sens plus général de fraction d unités de mesures : 1 gin 2 = 1/60 et 1 še = 1/180. En pratique, il suffit de «couper» mentalement le début de la table des poids (1/2 še à 19 gin 2 ) et de le «coller» au début de la table des surfaces. Ce bricolage peut paraître un peu déroutant, mais, à l usage, ne présente pas de difficulté réelle. Il se trouve d ailleurs que la séquence 1/2 še 19 gin 2 greffée à la liste des surfaces couvre une échelle tout à fait réaliste : 15 cm² à 0,6 m². 6.5.2 Listes lexicales Il semble que c est dans le cadre de l apprentissage de l écriture et du vocabulaire sumérien que les jeunes scribes commencent à se familiariser avec les ordres de grandeur. Les listes lexicales thématiques contiennent des séquences associées à des mesures : capacités (Urra 1), poids (Urra 4), peut-être surfaces (Urra 5), longueurs (Urra 2 et 5). La tablette Ni 3531 (type II), par exemple, contient sur le revers un extrait de la liste des poids en pierre (la face est vide) : Ni 3531, revers, colonne 1 na 4 50 ma- na na 4 40 ma-na na 4 30 ma-na na 4 20 ma-na na 4 15 ma- na [na 4 ] 10 ma-na na 4 [5] ma-[na] na 4 3 ma-na na 4 6 [gin 2 ] na 4 [...] na 4 [...] na 4 [...] na 4 [...] colonne 2 [na 4 2/3] gin 2 [na 4 1/2] gin 2 [na 4 1/3] gin 2 na 4 igi-[4]-gal 2 na 4 igi-5-gal 2 na 4 [2] 2 1/2 še na 4 20 še na 4 15 še na 4 10 še na 4 5 še na 4 4 še na 4 3 še na 4 2 še na 4 1 še 282 La présence des volumes dans les tables sera justifiée dans le chapitre 7. 153

Toutes les séquences de listes lexicales paléo-babyloniennes de Nippur contenant des listes d unités de mesure (publiées dans les MSL 283, le site du PSD 284, citées dans Veldhuis 1997 et E. Robson) sont rassemblées ci-dessous. J ai accompagné la transcription d une traduction et d une évaluation approximative des ordres de grandeur en système métrique actuel. Chaque entrée est précédée du numéro de la ligne correspondante dans la liste complète reconstituée à partir des sources cunéiformes. bateaux : Urra 1 [Veldhuis 1997 p. 157 ; Robson 2002b p. 332-333] 279. giš ma 2-60-gur bateau de capacité 18 m 3 280. giš ma 2-50-gur bateau de capacité 15 m 3 281. giš ma 2-40-gur bateau de capacité 12 m 3 282. giš ma 2-30-gur bateau de capacité 9 m 3 283. giš ma 2-20-gur bateau de capacité 6 m 3 284. giš ma 2-15-gur bateau de capacité 4,5 m 3 285. giš ma 2-10-gur bateau de capacité 3 m 3 286. giš ma 2-5-gur bateau de capacité 1,5 m 3 287. giš ma 2 -tur petit bateau récipients étalon : Urra 1 [Veldhuis 1997 p. 163 ; Robson 2002b p. 333] 515. giš lid 2 -ga récipient étalon 516. giš ba-ri 2 -ga récipient de 60 litres 517. giš ba-an récipient de 10 litres 518. giš ba-an-5-sila 3 récipient de 5 litres 519. giš nig 2-2-sila 3 récipient de 2 litres 520. giš 1-sila 3 récipient de 1 litres 521. giš 1/2-sila 3 récipient de 1/2 litre 522. giš 1/3-sila 3 récipient de 1/3 litre 523. giš 2/3-sila 3 récipient de 2/3 litre 524. giš 10-gin 2 récipient de 170 cm 3 525. giš 5-gin 2 récipient de 85 cm 3 526. giš 3-gin 2 récipient de 50 cm 3 527. giš 2-gin 2 récipient de 34 cm 3 528. giš 1-gin 2 récipient de 17 cm 3 canne d arpenteur : Urra 2 [Landsberger 1959 (MSL 7) p. 191-192 ; Robson 2002b p. 334] 112. gi-1-ninda canne d arpenteur de 6 m 113. gi-1-kuš 3 canne d arpenteur de 50 cm 114. gi-1/2-kuš 3 canne d arpenteur de 25 cm 115. gi-1/3-kuš 3 canne d arpenteur de 17 cm 116. gi-2/3-kuš 3 canne d arpenteur de 33 cm (rmq : entorse à l ordre décroissant) poids en pierre : Urra 4 [Landsberger & Civil 1967 (MSL 9) p. 60-61 ; Robson 2002b p. 333-334] 178. na 4-1-gu2 poids en pierre de 30 kg 283 Materials for the Sumerian Lexicon 284 Pennsylvania Sumerian Dictionary 154

179. na 4-50-ma-na poids en pierre de 25 kg 180. na 4-40-ma-na etc. 181. na 4-30-ma-na 182. na 4-20-ma-na 183. na 4-15-ma-na 184. na 4-10-ma-na 185. na 4-5-ma-na 186. na 4-3-ma-na 187. na 4-2-ma-na 188. na 4-1-ma-na 189. na 4-2/3-ma-na 190. na 4-1/2-ma-na 191. na 4-1/3-ma-na 192. na 4-10-gin 2 193. na 4-5-gin 2 194. na 4-3-gin 2 195. na 4-2-gin 2 196. na 4-1-gin 2 poids en pierre de 8 g 197. na 4-2/3-gin 2 etc. 198. na 4-1/2-gin 2 199. na 4-1/3-gin 2 200. na 4 -igi-4-gal 2 -la 201. na 4 -igi-5-gal 2 -la 202. na 4-22 1/2 še 203. na 4-20-še 204. na 4-15-še 205. na 4-10-še 206. na 4-5-še 206a. na 4-3-še 206b. na 4-2-še 206c. na 4-1-še poids en pierre de 0,04 g champs : Urra 5 [Reiner & Civil 1974 (MSL 11) p. 100] 103. a-ša 3 -igi-10-gal 2 1/10 de champ 104. a-ša 3 -igi-5-gal 2 1/5 de champ 105. a-ša 3 -igi-4-gal 2 1/4 de champ 106. a-ša 3 -igi-3-gal 2 1/3 de champ 107. a-ša 3 -šu-ri- am 2 1/2 champ corde d arpenteur : Urra 5 [Reiner & Civil 1974 (MSL 11) p. 108] 420. eš 2-1-kuš 3 corde d arpenteur de 50 cm 421. eš 2-1/2-kuš 3 corde d arpenteur de 25 cm On peut remarquer que ces séquences apparaissent dans un ordre qui, à une exception près, est celui des séries métrologiques. Mais au sein de chaque séquence (sauf celle des surfaces), l ordre des mesures est décroissant. Les différentes mesures sont associées à des objets concrets (bateaux, récipients, pierres, roseaux), constituant des étalons. Il est ainsi possible pour le scribe de fixer quelques ordres de grandeur. Ceci dans une certaine limite, car une liste comme celle des poids en pierre couvre une échelle de 30 kg à 0,04 g, ce qui ne fixe pas grand chose de précis et n est pas toujours très réaliste. 155

La fonction de la liste des fractions de surfaces n est pas claire. Elle est extraite d une longue liste (160 entrées) de parcelles de terrain présentant toutes sortes de caractères géographiques, cadastraux, botaniques. La séquence des fractions de champ ne semble pas donner d ordre de grandeur, sauf si on suppose que le champ en question a une surface connue. Mais elle donne une liste de fractions, ce qui n est pas sans rapport avec les problèmes de mesure. Il ne devait pas exister un décalage chronologique très important entre l apprentissage des séquences métrologiques dans les listes lexicales, et celui des sections métrologiques correspondantes. En effet, on a vu que les listes de capacités étaient introduites en même temps que les listes Urra 1, lesquelles contiennent justement des listes de contenants (bateaux et récipients) avec leur capacité. 6.5.3 Ordres de grandeur usuels L usage des tables métrologiques requiert la capacité à contrôler les ordres de grandeur, donc à associer mentalement les dimensions d objets réels aux différentes mesures. Avec un peu d entraînement, cet exercice ne présente pas de difficulté dans une métrologie familière. Il ne devait pas être difficile pour les scribes, mais demande plus d efforts pour nous. Remarquons néanmoins qu il suffit, dans le système suméro-akkadien, de distinguer des grandeurs à un facteur 60 près, ce qui est relativement aisé. Le Tableau 29 donne pour le lecteur moderne quelques exemples d ordres de grandeur usuels, rencontrés fréquemment dans les exercices scolaires et l univers quotidien des élèves scribes. Ils suffisent pour nous repérer dans la plupart des textes mathématiques de Nippur. Rappelons que ces données sont approximatives car elles ne sont pas destinées à un calcul précis, mais seulement à des évaluations mentales très grossières. L désigne les longueurs et largeurs ; Lh les hauteurs, épaisseurs, profondeurs ; S les surfaces ; V les volumes. tablettes L Lh S 2 šu-si à 1/2 kuš 3 1 à 3 šu-si 1/2 še à 10 še (3,4 à 25 cm) (1,7 à 5 cm) (17 à 314 cm²) briques sar de briques cour maison L Lh S V C V C L S L S 12 šu-si à 1 kuš 3 5 šu-si 12 1/2 še à 1/3 gin 2 2 1/3 à 12 še 4 à 20 sila 3 7 gin 2 à 1 sar 7 gur à 1 (geš 2 ) gur 4 kuš 3 à 10 kuš 3 13 gin 2 à 1/2 sar 1 ninda à 2 ninda 1 1/2 sar à 3 1/2 sar (20 à 50 cm) (8 cm) (4 à 250 dm²) (4 à 20 dm 3 ) (4 à 20 litres) (2 à 18 m 3 ) (2000 à 18000 litres) (2 à 5 m) (8 m² à 15m²) (6 à 13 m) (50 m² à 120 m²) Tableau 29 : exemples d ordres de grandeur usuels Cette brève évaluation des ordres de grandeurs montre que les listes et tables métrologiques, tout comme les listes lexicales, ne complètement adaptées ni à un usage pratique, ni à un usage scolaire. Des séquences usuelles comme les petites surfaces sont absentes des séries 156

métrologiques, alors qu elles sont très utilisées dans les exercices. D autres séquences, comme des poids de fractions de grammes ou des capacités considérables sont présentes dans les séries métrologiques bien qu elles soient irréalistes. Les séries métrologiques ne sont pas seulement conçues comme un outil qui doit être efficace, elles sont aussi le résultat d une construction savante et de plusieurs sédimentations historiques. Ces caractères inadaptés demeurent présents dans le canon scolaire bien qu ils rendent les tables métrologiques plus difficiles à manier. Celles-ci restent, malgré leurs défauts, indispensables au calcul, comme le chapitre suivant le montre. 157

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7 Niveau avancé Le corpus des textes mathématiques de Nippur (toutes collections confondues) contient 47 tablettes d exercices et problèmes. Il ne s agit plus de listes ou extraits de listes élémentaires apprises par cœur, mais de calculs exigeant une certaine autonomie de la part de leur auteur, ainsi que de quelques textes d experts. Seules 10 de ces tablettes, conservées à Istanbul, sont inédites. Les autres ont déjà été publiées, en majorité par E. Robson (18 tablettes), mais aussi Neugebauer, Sachs, J. Friberg, Hilprecht, Al-Fouadi etc. 285 Les exercices et problèmes de Nippur constituent un ensemble cohérent, s appuyant sur le socle des connaissances de niveau élémentaire qui vient d être décrit. Mon objectif dans ce chapitre est à la fois de décrire la structure d ensemble de ces textes de niveau avancé, et de mettre en évidence comment l outil des tables métrologiques et numériques est utilisé dans la résolution de problèmes. En nombre raisonnable, ces 47 tablettes seront donc toutes examinées en détail dans les pages qui suivent, y compris celles qui ont déjà été publiées. L analyse se concentrera sur les relations existant entre les tablettes et sur la conduite des calculs. Typologie La typologie de cet ensemble, bien que comparable par certains aspects à celle du niveau élémentaire, s en distingue nettement. La typologie des tablettes de niveau avancé a été présentée rapidement dans le paragraphe consacré à cette question (chapitre 5), et je vais ici développer cette description. La très grande majorité des tablettes (34 sur 47) sont de type IV, et les autres sont des séries de problèmes ou de calculs écrits sur des tablettes à une ou plusieurs colonnes (types S et M). Les tablettes de type IV sont des petites tablettes dont le revers est fortement bombé et en général anépigraphe ; dans les cas où le revers est inscrit, il s agit souvent de calculs en relation avec l exercice de la face ; la forme typique de Nippur est le format carré (30 cas), mais on trouve aussi des tablettes lenticulaires (6 cas). Il s agit principalement d exercices de calcul (28 exercices de calcul numérique et 8 exercices de calcul de surface, 2 exercices portant sur des suites géométriques). On trouve rarement des extraits de listes élémentaires sur les tablettes de type IV (3 cas seulement). Les types S et M sont en étroite relation du point de vue du contenu ; en première analyse, les textes qu on trouve sur les types S sont des extraits des textes qu on trouve sur les types M ; je 285 Voir l index des tablettes citées, notamment celles dont le numéro de fouille est en 2N-T et 3N-T. 159

désigne pour cette raison ces derniers sous le nom de «texte de référence». On trouve le même type de relations dans le cas des textes littéraires 286. Type S : cinq tablettes CBS 11681 problème de volume 3N-T 362+366 = IM 58446+58447 littéraire (Eduba C); doublements / dédoublements, paires d inverses CBS 10201 doublements / dédoublements, paires d inverses N 3958 doublements UM 29-13-173 problème de surface Type M : trois tablettes Ni 5175*+ CBS 19761 problème de volume CBS 12648 problème de volume UM 29-13-021 doublements / dédoublements, paires d inverses Contenu Les textes de référence (et les extraits) se partagent en deux catégories distinctes du point de vue de leur contenu : les textes orientés vers le calcul des surfaces et des volumes, les textes orientés vers le calcul numérique pur, sans aucune référence à un contexte métrologique. Les uns comme les autres s appuient sur la technique des multiplications / divisions en système sexagésimal abstrait. Une première série d exercices est consacrée à la multiplication. Dans quelle mesure il s agit d une sorte de «tronc commun»? C est une des questions auxquelles il sera tenté de répondre. Deux autres séries d exercices sont plus directement liées aux deux catégories de textes de référence : inversion et méthode de factorisation d une part, calcul des surfaces et des volumes d autre part. Les exercices d inversion ont tous des liens très étroits, qui seront précisés dans l étude des différentes tablettes, avec une suite de nombres obtenus par doublements successifs de la valeur initiale 2.5 (voir les tablettes CBS 1215 et N 3958 respectivement dans 7.2 et 7.3). Ces nombres et leurs inverses fournissent un stock de données numériques très présent dans les exercices de Nippur. Ils seront systématiquement recherchés dans les différents genres d exercices. Ils permettront d établir des relations entre les textes et de dégager l organisation de l enseignement du calcul numérique. D autre part, le calcul des inverses s appuie sur une méthode de factorisation qui joue un rôle central dans le calcul numérique mésopotamien. Cette méthode a été mise en évidence par A. Sachs 287 sous le nom de «la Technique». Je la présenterai en préalable, ainsi que certains problèmes mathématiques qu elle pose, notamment la notion de divisibilité. Le calcul des surfaces est introduit à Nippur par une série d exercices portant sur des champs carrés. On s intéressera à la mise en «page» et la structure de ces exercices. On cherchera à établir un lien entre les tables métrologiques et numériques assimilées par les élèves scribes au niveau élémentaire et les méthodes de calcul mises en place progressivement au niveau avancé. 286 Tinney 1999, p. 160. 287 Sachs 1947. 160

Cette articulation entre les tables de niveau élémentaires et les exercices de calcul de surface du niveau avancé est une des questions clé qui permet d aborder le problème de la nature des «nombres abstraits» spécifiques aux textes mathématiques. Seuls trois textes de problèmes sont attestés à Nippur. Le calcul des volumes est au cœur de ces trois textes. La reconstitution des méthodes de calcul des volumes, centrée sur l utilisation des tables métrologiques, permettra de dégager une nouvelle interprétation de la fonction des tables de surface. On s interrogera également sur les différentes définitions des unités de volume attestées dans les textes cunéiformes, et les conséquences de ces définitions sur la façon dont les problèmes sont posés et résolus dans les trois textes de Nippur. La présentation des exercices et problèmes sera donc partagée en trois parties : - Les exercices portant sur la multiplication. - Les textes portant sur le calcul numérique sans contexte métrologique (factorisation, inversion, suites géométriques, racines carrées). Les séries de niveau avancé seront décrites avant les exercices, car dans de nombreux cas, seule la connaissance des textes de référence permet d identifier les calculs fragmentaires dont il ne reste que quelques signes numériques écrits sur des débris d argile. - Les textes portant sur les surfaces et les volumes. A l inverse, on suivra pour cette catégorie l ordre pédagogique (exercices puis textes de référence), car les détails présents dans les petits exercices permettent de comprendre les énoncés plus complexes des textes de référence. 7.1 Multiplication / division Toutes les tablettes de ce paragraphe sont de type IV et carrées, sauf indication contraire. On s intéressera particulièrement au fait que les calculs sont mis en «page» selon des règles assez régulières On distinguera, selon ce critère, deux type d exercices de multiplication : ceux où les facteurs et les produits sont écrits en deux colonnes, séparées par un trait vertical ; ceux où la multiplication est écrite en une colonne. Les fragments de Nippur sont peu nombreux et abîmés, et il est difficile de les utiliser pour comprendre clairement la signification de ces deux types de disposition. En revanche, la disposition en deux colonnes séparées par un trait vertical est très fréquente à Ur 288, et la comparaison avec ces tablettes peut apporter des informations. La disposition en une seule colonne sera mise en relation avec d autres exercices de Nippur (surfaces de carrés). Le choix des valeurs numériques sur lesquelles s opèrent les multiplication attirera également l attention : celles-ci n appartiennent pas aux tables numériques standard du niveau élémentaire ; on cherchera à déterminer si elles ont des propriétés significatives. Dans quelle mesure les séries numériques de niveau avancé, constituées principalement de suites de doublements de la valeur initiale 2.5, fournissent-elles les données numériques des exercices de calcul? 288 Robson 1999, p. 253; Friberg 2000. 161

7.1.1 Disposition des multiplications en deux colonnes Un premier groupe d exercices d exécution de multiplication se distingue par la présence d un trait vertical qui partage la surface en deux colonnes. En général, les facteurs sont placés à gauche et les produits à droite. Ni 3373* Seul le coin supérieur gauche de cette tablette carrée est conservé. Un trait vertical partage la surface en deux colonnes ; dans la colonne de gauche on lit les nombres 20 et 9 ; dans la colonne de droite on lit le produit 3. Ni 3373* (inédit) commentaire 20 9 3 20 9 = 3 Ni 10245* La colonne de gauche de la tablette est cassée net le long d un trait vertical identique à celui de la tablette précédente, et seuls les produits de la colonne de droite sont visibles ; une des multiplications est néanmoins facile à reconstituer. Ni 10245* (inédit) commentaire 56.15 5.37.30 56.15 6 = 5.37.30 [ ] 30 Le nombre 56.15 est particulier : la paire d inverses 1.4 ~ 56.15 constitue le premier terme d une des suites de doublements / dédoublements rencontrées dans le corpus de Nippur (UM 29-13- 021), dont il sera question plus loin (voir 7.2). UM 29-16-504+29-16-661 UM 29-16-504+ [Robson 1999, p. 276] commentaire 1 40 30.5 11.16.52.20! 22.30 30.5 22.30 = 11.16.52.30 Cette tablette a été analysée par E. Robson (1999 p. 276) : le principe est le même que dans les tablettes précédentes, mais avec une colonne supplémentaire à gauche, dont on ne comprend pas la fonction ; il y a une erreur dans le produit (le scribe a écrit 20 au lieu de 30). 162

22.30 est un nombre très répandu (nombre principal dans les tables de multiplication), et on peut également noter qu il intervient dans une des paires d inverses initiales des suites de UM 29-13- 021. En revanche, 30.5 n est pas régulier. Ni 2265* Le calcul est disposé de façon analogue, avec les facteurs à gauche et les produits à droite, à en juger tout au moins par la partie centrale où il s agit clairement d une multiplication. Cependant, le trait vertical n est pas tracé. Ni 2265* (inédit) 1? 8 5 10 25 2.30 4? commentaire 10 2.30 = 25 CBS 11601 Le texte est trop abîmé pour être identifié. La face et le revers sont inscrits, et semblent identiques. La surface est en partie effacée, mais on distingue deux colonnes de nombres disposés de part et d autre d un trait vertical, comme dans les exemples précédents : cela «est suffisant pour suggérer que ce sont les restes de deux copies d un tableau simple ou une série de multiplications» 289. Il est probable que cette tablette contenait un enchaînement de multiplications et de divisions comparable à ceux qu on trouve sur les tablettes d Ur. Dans cette première série d exercices, il s agit d effectuer une multiplication simple, mais n appartenant pas aux tables standard mémorisées. On remarque la présence de nombres appartenant aux séries numériques de doublements (voir suivant). Ce type d exercice est très courant à Ur (E. Robson 290 en a publié 20 exemplaires), mais moins commun à Nippur (5 exemplaires) et peu attesté ailleurs (seulement 2 exemplaires, YBC 7294 et YBC 10801, de provenance inconnue, qui l utilisent pour des calculs de carrés) 291. Dans les tablettes d Ur, on trouve un enchaînement de plusieurs multiplications et divisions (jusqu à 5 produits en cascade) et il en est probablement de même à Nippur (voie CBS 11601 citée cidessus). J. Friberg a mis, de façon très convaincante, les exercices de multiplications et divisions enchaînées d Ur en relation avec des problèmes de calcul de volume, de force de travail, de creusement de canaux 292. Mais cette catégorie est moins représentée à Nippur, et les exemplaires sont en mauvais état ; il est donc plus difficile d établir des relations avec des problèmes attestés. 289 Robson 2000 p. 26. 290 Robson 1999, p. 253. 291 Robson 1999, p. 252. 292 Ibid 163

7.1.2 Disposition des multiplications en une colonne Dans les trois tablettes qui suivent, la disposition de la multiplication est différente des exemples précédents. Elle se rapproche des calculs de carrés qui seront examinés dans la suite : les facteurs et le produit sont disposés les uns sous les autres en une seule colonne. Ni 900* Cette tablette semble avoir subi un début de recyclage : elle porte des traces de déformations et plusieurs zones d effacement ; sa forme est plus allongée qu une tablette de type IV habituelle. Elle est partagée en 3 sections. - La première section n est pas entièrement visible 293. - La deuxième section est clairement une multiplication de deux nombres ne figurant pas dans les tables, le premier facteur n est pas régulier. - La troisième section est difficile à interpréter : le premier nombre ne semble pas régulier (le seul régulier à deux ou trois positions sexagésimales commençant par 53 est 53.20, et il ne s agit visiblement pas de ce nombre) ; le deuxième nombre est illisible ; le troisième est régulier. section 1 section 2 section 3 tranche Ni 900* (inédit) 59? 36 -------------------------- 33 1.12 39.36 -------------------------- 53.6? [ ] 3.[ ] 13.30 39.36 commentaire 33 1.12 = 39.36 53.6 = 59 54 13.30 est régulier 13.30 appartient à la suite des doublements / dédoublements de la paire initiale 2.5 ~ 28.48 (13.30 = 28.48 2 7 et 28.48 est l inverse de 2.5) ; mais 33 et 39.36 ne sont pas réguliers. Il est difficile de déterminer si les sections ont des rapports entre elles. 293 Cette tablette est exposée dans une vitrine du Musée des Enfants installé à l intérieur du Musée Archéologique d Istanbul, je n ai pas pu l observer de près ni voir les tranches et le revers. 164

N 837 N 837 [Robson 2000 p. 26] 1 [traces] 30 [traces] 30 [traces] commentaire 1 30 = 30 2N-T 174 Cet exemplaire, publié dans MMT (p. 245), présente un enchaînement de plusieurs multiplications, évoquant, d après les auteurs, le calcul du volume d un prisme. 2N-T 174 [Neugebauer & Sachs 1984 p. 250-251] 294 commentaire 50 4.40 5 1? [ ] 20 [ ] 16.40 1.23.20 5.55.53.20 50 20 = 16.40 16.40 5 = 1.23.20 1.23.20 doublé 8 fois = 5.55.53.20 Les propriétés particulières de ces produits (16.40 = 10 3, doublements répétés) peuvent également évoquer une relation avec une suite numérique à identifier. Ce sont des nombres assez courants qui se rencontrent dans les tables numériques et les exercices de calcul élémentaire. Par exemple, 1.23.20 apparaît dans UET 6-2 343 d Ur (petit calcul faisant intervenir une paire d inverses) 295 et dans MLC 1731 de provenance inconnue (listes de surfaces de rectangles). 7.1.3 Carrés HS 232, CBS 7265, N 3971, Ni 10246*, CBS 3551, UM 29-16-401 Ces six tablettes sont très semblables : carrées, de revers anépigraphe, elles contiennent un calcul de carré numérique disposé en une seule colonne. 294 Le 5 encadré dans la tranlittération l est également dans la tablette. 295 Robson 1999, p. 251 ; Friberg 2000, p. 100. 165

HS 232 [Friberg 1983 p. 82] 4.50 4.50 2[3].21.40 ======== CBS 7265 [Robson 2000 p. 24] 5.15 5.15 27.33.45 N 3971 [Robson 1999, p. 275] 7.5 7.5 50.10.25 Ni 10246* (inédit) 7.35 7.35 57.30.25 -------------- CBS 3551 [Robson 2000 p. 24] 7.36 7.36 ib 2 -si 8 57.47!.36 --------------- UM 29-16-401 [Robson 2000 p. 25] 44.26.40 44.26.40 -------------------- 32.55.18.31.6.[40] ---------------------- Sauf dans un cas, ces carrés n appartiennent pas aux tables numériques élémentaires, ils portent sur des nombres non réguliers : HS 232 : 4.50 = 29 10 CBS 7265 : 5.15 = 7 45 N 3971 : 7.5 = 17 25 Ni 10246* : 7.35 = 13 7 5 CBS 3551 : 7.36 = 19 24 UM 29-16-401 : 44.26.40 régulier UM 29-16-401 est une exception : 44.26.40 est un nombre régulier appartenant à la liste des nombres principaux de tables de multiplication et à la table d inverse. En dehors de Nippur, les exercices scolaires portant sur le calcul d un carré sont rares. On peut citer les deux tablettes YBC 7294 et YBC 10801 d origine inconnue signalées ci-dessus (voir fin du 7.1.1) à propos des dispositions en deux colonnes, ainsi que deux tablettes lenticulaires d Ur 296 : UET 6-2 211 (type IV lenticulaire) proverbe; carré de 16.40 UET 6-2 321 (type IV lenticulaire) proverbe; carré de 1.33.45 Les exercices de calcul de carrés sont, contrairement aux autre types d exercices d exécution de multiplications, fréquents à Nippur et très nettement apparentés aux exercices de calcul de surface qui seront présentés au 7.4. Il n a pas été possible d expliquer la fonction des deux types de disposition des multiplications à Nippur, mais on peut faire quelques remarques. Le premier type (deux colonnes séparées par un trait vertical) est rare à Nippur, et les sources ne permettent pas d interpréter ces calculs. On peut émettre l hypothèse que ces exercices sont, comme ceux d Ur, des traces de calculs liés à des problèmes de volume, capacité, normes de travail, etc. Le deuxième type, principalement les calculs de carrés, est une préparation aux exercices de calculs de surface, très nombreux à Nippur. En effet, on trouve la même disposition dans le coin supérieur gauche de ces tablettes (voir 7.4.1). 296 Friberg 2000, p. 101-102. 166

7.1.4 Calculs non identifiés HS 231 Dans cette petite tablette de type IV carrée, seules quelques relations numériques peuvent être identifiées, et l ont été en partie par J. Friberg 297. HS 231 3.20 3.25 16 53.20 1 20 30 32 1.46.40. 16 4 1.20 3.20 16 = 53.20 3.20 32 = 1.46.40 On peut ajouter aux remarques de J. Friberg que ce texte semble organisé autour de 3 nombres (3.20, 53.20, 1.46.40) qui appartiennent à la suite des doublements de 1.40 ; ce détail, ainsi que la disposition, pourrait indiquer que cette tablette appartient à la première série de multiplication en relation avec les séries numériques. Ni 4689*, Ni 10247*, 2N-T 115 bis Ni 4689* est un éclat de la partie supérieure d une tablette lenticulaire dont on ne peut identifier avec sûreté que le nombre écrit sur la première ligne (3) et celui de la deuxième (25). Ni 10247* est un fragment de tablette lenticulaire très abîmé et friable, sur laquelle on devine quelques nombres. 2N-T 115 bis est un fragment sur lequel il ne reste que la partie centrale d un nombre : [...]28.50[...]. Ce nombre peut appartenir à la suite des doublements de 2.5 (par exemple : 9.28.53.20, qui est le 15 ème terme de cette suite) 298. 7.2 Factorisation Le calcul numérique à Nippur s appuie sur une méthode de factorisation que je présenterai avant d aborder l examen des tablettes. La factorisation d un nombre consiste à le décomposer en produit de nombres plus simples, c est-à-dire à le diviser de façon répétée pas des facteurs judicieusement choisis. Il se pose donc la question des critères de divisibilité, et avant tout de la notion même de divisibilité. 297 Friberg 1983, p. 83. 298 Je remercie J. Quillen qui a suggéré cette idée. 167

Divisibilité Que signifie qu un nombre est divisible par un autre dans un système où l écriture ne distingue pas les entiers des fractions sexagésimales, et où la division est toujours possible dès lors que le diviseur est un nombre régulier en base 60? On peut donner à cette question une réponse assez pratique. Le but est de transformer un nombre n appartenant pas aux tables standard en produit de facteurs plus simples et appartenant aux tables. Donc le résultat de la division (quotient) doit être plus simple que le nombre initial (dividende). Par exemple, dans la première section de la tablette CBS 1215 (analysée plus loin), 2.5 est divisé par 5 : 2.5 5 = 2.5 12 = 25 2.5 (nombre à deux places) est décomposé en produit de deux facteurs plus simples (nombres à une place) : 2.5 = 25 5 Quel est le critère de divisibilité utilisé par les scribes? Ils semblent procéder ainsi : si les dernières places forment un nombre appartenant à la table d inverses, on divise par ce nombre. On regarde l effet produit, qui en général est de réduire le nombre initial. Dans le cas contraire, on essaie un diviseur régulier de la dernière place 299. Cette façon de concevoir la divisibilité me semble perceptible dans le cas de la tablette Ist Si 428, qui conduit une extraction de racine carrée par factorisation 300. Ligne 4, le nombre à factoriser se termine par 16 ; le scribe divise par 16, mais obtient un nombre de plus grande taille que le nombre initial, il n est donc pas satisfait ; il recommence en divisant par 4, et obtient ainsi un nombre plus simple ; il est satisfait et l algorithme se poursuit. Ist Si 428 commentaires ligne 3 1.54.24.24.27.16 le nombre se termine par 16, il est divisé par 16 (c est-à-dire multiplié par 3.45) ligne 4 7.9.1.31.42.16! la division par 16 n a pas réduit le nombre de la ligne 3 le scribe tente une division par 4 ligne 5 28.36.6.6.49 la division par 4 a réduit le nombre de la ligne 3 le résultat est satisfaisant et l algorithme se poursuit La méthode de factorisation par la ou les dernières places est baptisée de façon assez évocatrice par J. Friberg «trailing part algorithm» 301 et constitue un outil fondamental dans les opérations 299 En toute rigueur, le critère de divisibilité par les nombres réguliers est le suivant : un nombre N (écrit en base 60) est divisible par a (nombre à 1 place en base 60) si a divise 60 et a divise la dernière place de N; N est divisible par b (nombre à 2 places) si b divise 60² et b divise le nombre formé par les deux dernières places de N, etc. (avec des raffinements autorisés par la présence de la base 10 intermédiaire). Le critère pratique utilisé dans les tablettes (le diviseur se voit sur les derniers chiffres) est en général correct ; dans les cas où il ne l est pas, le scribe ajuste le diviseur. 300 Publiée en 1902 par Scheil (Scheil 1902, p. 48) et transcrite par Neugebauer dans MKT I (Neugebauer 1935-7, p. 80), cette tablette est restée mystérieuse jusqu à son interprétation par J. Friberg dans RLA (Friberg 1987-90, p. 548). A noter une erreur dans la transcription de J. Friberg : ligne 4, le dernier chiffre est 5 et non 6 (d après une photo aimablement fournie par Veysel Donbaz et la copie de Scheil). 301 Friberg 2000, p. 103-105. 168

numériques des mathématiques avancées. Par exemple, dans la section 6 de la tablette VAT 6505 qui est analysée ci-dessous, le nombre 2.13.20 est divisé par 3.20 (la fin du nombre, que j ai mis en valeur par des caractères gras). J. Friberg a montré l importance de cette méthode dans la réduction des triplets pythagoriciens de la tablette Plimpton 322 302. Inversion par factorisation La méthode d inversion par factorisation est omniprésente dans les exercices numériques. Elle a été identifiée par Sachs 303 grâce notamment à deux tablettes de provenance inconnue très proches quant au contenu et très différentes quant au style : VAT 6505 et CBS 1215. Dans la première, la procédure est explicitée en détail et rédigée en akkadien 304. Dans la deuxième, la procédure se présente sous forme d une suite de résultats numériques où c est la disposition des nombres qui permet au scribe le contrôle de la conduite des calculs 305. Dans les deux cas, il s agit d une série de sections contenant les inversions par factorisation de nombres issus des duplications de 2.5. Sachs 306 décrit l algorithme d inversion par factorisation à l aide de la formule : en notant x l' inverse de x, a b a. 1 b a Puis il montre que cette formule rend compte du calcul de VAT 6505 et de CBS 1215. Je voudrais préciser cette interprétation sur deux points : l aspect numérique de l algorithme décrit par la formule de Sachs 307 ; la différence entre CBS 1215 et VAT 6505 dans le détail de la multiplication. VAT 6505 Considérons par exemple la section 6 de VAT 6505 (qui correspond à la section 7 de CBS 1215) : 302 Friberg 1981. 303 Sachs 1947. Sachs nomme cette méthode «la Technique». 304 VAT 6505 est classée par J. Høyrup dans le groupe des textes paléo-babyloniens provenant du Nord de la Mésopotamie, peut-être de Sippar (Høyrup 2000; Høyrup 2002, ch. IX). La question de la classification des textes mathématiques de provenance inconnue est abordée dans le 3.3.2. 305 L explication de ce texte qui était resté obscur pour Neugebauer a été trouvée par Sachs (Sachs 1947) grâce à la comparaison avec VAT 6505. Des joints nouveaux et une copie complète ont été publiés par E. Robson (Robson 2000, p. 23). 306 Sachs 1947, p. 222. 307 169

Translittération [Friberg 2000 p. 106] Traduction Interprétation 2.[13].20 igi-[bu-šu en-nam] [za-e] kin-ta-[zu-dè] igi 3.20 du 8 -a 18 [ta-mar] 18 a-na 2.10 rá-a 3[9 ta-mar] 1 dah-ha 40 [ta-mar] igi 40 du 8 -a 1.30 [ta-mar] 1.30 a-na 18 rá-a 27 ta-mar 27 igi-bu-[šu] [ki-a-am ne-pé-šum] 2.13.20 son inverse combien? Toi, dans ta procédure : l inverse de 3.20 ouvre, 18 tu vois 18 à 2.10 va, 39 tu vois 1 ajoute, 40 tu vois l inverse de 40 ouvre, 1.30 tu vois 1.30 à 18 va, 27 tu vois. 27 est son inverse. Telle est la procédure. 3 20 inverse : 18 2 13 20 18 2 10 18 + 3 20 18 39 + 1 40 40 inverse : 1.30 1.30 18 = 27 Ce texte explique très clairement comment le nombre à inverser 2.13.20 est décomposé en produit de deux facteurs (40 3.20) ; ensuite, l inverse du produit est le produit des inverses. Explication du calcul : 2.13.20 se termine par le nombre régulier 3.20, donc 2.13.20 est «divisible» par 3.20 ; l inverse de 3.20 est 18 2.13.20 3.20 = 2.13.20 18 Pour effectuer la multiplication de 2.13.20 par 18, le nombre 2.13.20 est décomposé en deux parties : 2.10 et 3.20 ; la multiplication par 18 est «distribuée» aux deux termes (2.10 18 et 3.20 18) et les produits obtenus (39 et 1) sont ajoutés. Finalement : 2.13.20 18 = 40 Le nombre initial 2.13.20 peut donc se factoriser en : 2.13.20 = 40 3.20 inverse (2.13.20) = inverse (40) inverse (3.20) inverse (2.13.20) = 1.30 18 = 27. C est dans la multiplication de 2.13.20 par 18 qu apparaît la différence entre VAT 6505 et CBS 1215. Ici, 2.13.20 est décomposé en somme de deux termes : 2.10 et 3.20. Chaque terme est multiplié par 18 séparément, puis les deux produits partiels sont ajoutés. Cette façon d opérer la multiplication est assez naturelle en calcul mental car il permet une économie de mémoire : un des produits partiels étant évident (3.20 18 est égal à 1 par construction), la multiplication se réduit à 2.10 18. Les procédés de calcul mental peuvent avoir eu une influence sur les algorithmes écrits. Cette décomposition de la multiplication peut également renvoyer à des manipulations d instrument de calcul 308. Il y a dans cette interprétation un problème de repérage de la position des chiffres permettant d effectuer l addition correctement. Une «écriture en ligne» sans indicateur tels que zéro en position finale ou «virgule» ne permet pas ce repérage. Plutôt que d introduire ces marqueurs de 308 On peut remarquer qu il s agit exactement de la même propriété que celle qui est utilisée dans N 3958 pour effectuer la multiplication des nombres de grande taille en plusieurs morceaux : la distributivité de la multiplication par rapport à l addition. 170

position, comme il est usuel de le faire dans les traductions de textes mathématiques cunéiformes, il me paraît préférable, pour contrôler le calcul, de poser les nombres les uns sous les autres (voir la colonne de droite du tableau ci-dessus), tels qu ils pouvaient l être sur une abaque. CBS 1215 Considérons à présent section #7 de la tablette CBS 1215, qui correspond à celui de VAT 6505 qui vient d être analysé, et où on reconnaît les étapes de l inversion de 2.13.20. On présentera ensuite la tablette dans son intégralité. CBS 1215 #7 2.13.20 18 40 1.30 27 commentaire 2.13.20 est «divisible» par 3.20 ; l inverse de 3.20 est 18 2.13.20 3.20 = 2.13.20 18 = 40 l inverse de 40 est 1.30 2.13.20 = 40 3.20 inverse (2.13.20) = inverse (40) inverse (3.20) = 1.30 18 = 27 Contrairement à ce qu on trouve dans VAT 6505, il n y a pas d explication rédigée de la procédure, mais une disposition des nombres permettant d effectuer l algorithme : pour trouver l inverse, il suffit de multiplier entre eux les nombres posés à droite. Cette disposition a une force opératoire comparable à celle d une division posée à la façon du «calcul à la plume» de notre tradition indo-arabe. Le résultat de la multiplication de 2.13.20 par 18 (c est-à-dire 40) est posé à gauche, mais rien n indique la façon dont la multiplication est effectuée. On ne sait pas si, comme dans VAT 6505, le nombre 2.13.20 est décomposé en somme et le produit par 18 «distribué» sur les deux termes. On trouvera ci-après (voir page suivante) la reconstitution du texte complet, faite d après la translittération de Sachs (p. 237) et la copie d E. Robson. La tablette présente trois colonnes sur chaque face, elle est constituée de 20 sections, chacune inscrite dans une case. L entrée de chaque section est extraite de la suite des duplications à partir de 2.5 telle qu on la trouve dans la tablette de Nippur N 3958 (analysée plus loin). Ce nombre est inversé par factorisations répétées, puis l inverse trouvé (souligné dans la transcription) subit le même traitement et la section se termine par le nombre initial. La disposition des nombres sur la tablette est reproduite dans la reconstitution : l inverse des facteurs sont posés à droite, les facteurs sont posés à gauche. On a vu que pour trouver l inverse cherché, il suffisait de multiplier entre eux les nombres posés à droite ; ces produits, effectués deux à deux, sont posés au centre des lignes. J ai ajouté des éléments de mise en forme destinés à faciliter la reconstitution des étapes du calcul : caractère gras pour la partie finale du nombre dont l inverse est inscrit en vis-à-vis ; soulignement de l inverse trouvé. 171

CBS 1215 face [Sachs 1947 p. 237 ; Robson 2000 p. 23. Astérisque : voir remarque qui suit la translittération] colonne I colonne II colonne III #1 2.5 12 #9 8.53.20 18 25 2.24 2.40 22.30 28.48 1.15 6.45 1.20 36 1.40 9 6.40 2.5 8.53.20 #2 4,10 6 25 2.24 14.24 2.30 36 1.40 4.10 #3 8.20 3 25 2.24 7.12 5 36 1.40 8.20 #4 16.40 9 2.30 24 3.[36] [1.40] 6 10 15!.40 #5 33.20 18 10 6 1.48 1.15 2.15 4 8! 6.40 26.40 33.20 #6 #7 1.6.40 9 10 6 54 1.6.40 [2].13.20 18 [40] 1.30 [27] 2.13.20 #8 4.26.40 9 40 1.30 13.30 2 27 2.13.20 4.26.40 #10 17.46.40 9 2.40 22.30 3.22.30 2 6.45 1.20 9 6.40 8.53.20 17.46.40 #11 36!.2! 3.20 18 10.40 1.[30] [16] 3.4[5] 5.37.30 [1.41.1]5 4 [6.45] 1.20 [9] 6.40 [8.53].20 [35.33].20 #12 [1].11.6.[40] 9 10.40 1.[30] 16 3.4[5] 5.37.30 50.37.30 2 1.41.15 4 6.4[5] 1.20 9 6.40 [8.5]3.[20] 35.33.20 1.11.6.40 #13 2.22.13.20 [18] 42.40 22.30 16 3.45 1.24.22.30 25.18.45* [16] 6.45 1.20 9 [6.40] 8.53.20 [2.2]2.13.[20] #14 4.44.26.40 [9] 42.40 2[2.30] 16 3.[45] 1.24.22.30 [12.3]9.22.30 [2] [25.18].45* [16] [6.45] [1.20] [9] [6.40] [8].53.20 [2.22.13. 20] [4.44.26.40] #15 [9.28].53.[20] [18] 2.50.40 [1.30] [4.16] [3.45] [16] [3.45] 14.3.[45] [2]1.5.3[7.30] [6.19.4]1.15 [4] [25.18.45]* [16] [6.45] [1.20] [9] [6.40] [8.53.20] 2.[22.13.20] 9.[28.53.20] #16 18.57.[46.40] [9] [2.50.40] [1.30] 4.[16] [3.45] 16 [3.45] [14].3. [45] [21.5.37.30] [3.9.50.37.30] [2] [6.19.41.15] [4] 172

revers colonne III colonne II colonne I #21 #19 10.6.48.53.20 18 [2.31.42.13.20 18] 3.2.2.40 22.[30] [45.30.40 1.30] 1.8.16 3.4[5] [1.8.16 3.45] 4.16 3.[45] [4.16 3.45] 16 3.[45] 16 [3.45] 1[4.3.4]5 14.[3.45] 52.44.[3.4]5 5[2.44.3.45] 19.46.31.24.22.[30] 1.18!.6.[5.37.30] 5.55.57.25.18.4[5] 16 23.43.49.[41.15] [4] 1.34.55.18.45* 16 1.[3]4.55.18.45* [16] 25.18.45* [16] [25].18.45* 1[6] 6.45 [1.20] [6].45 1.[20] 9 [6.40] [9] 6.40 8.53.20 8.53.20 2.22.13. 20 2.22.13.20 37.55.33.20 37.55.3[3.20] 10.6.48.53.20 2.31.42.13.[20] #20 5.3.24.26.40 [9] 45.30.40 1.30 1.8.16 3.45 4.16 3.45 16 3.45 14.3.45 5[2.44].3.45 1.19.6.5.37.30 11.51.54.50.37.30 2 23.43.49.41.15 4 1.34.55.18.45* 16 25.18.45* 16 6.45 1.20 9 6.[40] 8.53.20 2.22.13. 20 37.55.33.20 2.31.42.13.20 5.3.24.26.40 [25.18.45* 16] [6.45 1.20] [9 6.40] [8.53.20] [2.22.13. 20] [9.28.53.20] [18.57.46.40] #17 [37.55.33.20 18] [11.22.40 22.30] [4.16 3.45] [16 3.45] [14.3.45] [5.16.24.22.30] [1.34.55.18.45* 16] [25.18.45* 16] [6.45 1.20] 9 [6.40] [8.53.20] 2.22.13.[20] 37.55.33.[20] #18 1.15.51.6.40 9 11.22.40 22.30 4.16 3.45 16 [3.45] 14.[3.45] 5.16.[24.22.30] 47.27.[39.22.30 2] [1.34.55.18.45* 16] [25.18.45* 16] [6.45 1.20] [9 6.40] 8.[53.20] 2.2[2.13. 20] 37.55.[33.20] 1.15.51.[6.40] Erreurs #5 : lire 9 au lieu de 8. #11 : lire 35.33.20 au lieu de 36.23.20 (une dizaine en deuxième position est devenue une unité en première position) ; l erreur n est pas répercutée sur la suite : c est une erreur de copie. #19 : lire 19 au lieu de 18. *Remarque #13 à #21 : la partie finale inversée est 3.45 (d inverse 16) et non le nombre formé par les deux derniers chiffres ; en effet, celui-ci (8.45) est non inversible. On peut faire plusieurs remarques plus générales sur ces calculs. Une méthode élaborée est mise en œuvre pour trouver des résultats qui, certes, ne figurent pas dans les tables numériques élémentaires, mais sont connus d avance : les scribes savent parfaitement qu en doublant un 173

nombre, on divise son inverse par 2 (voir UM 29-13-21) et que l inverse de l inverse est une opération blanche. Ces deux caractéristiques, résultat connu d avance et algorithme en boucle, ne sont pas exceptionnels : on les trouve par exemple à Ur dans UET 6-2 222, un cas de calcul de carré suivi de l extraction de la racine carrée 309. De toute évidence, ce genre de texte n a pas la vocation de produire des résultats nouveaux, mais d utiliser une méthode, l inversion ou l extraction de racine carrée par factorisation ; c est peut-être une manière d en tester la validité. Le texte de CBS 1215 porte sur la méthode elle-même plus que sur ses résultats. Un autre aspect remarquable est l importance de la disposition des nombres (inverses des facteurs à droite et facteurs à gauche), qui permet un contrôle pas à pas de l algorithme ; cette disposition est également respectée dans la tablette d Ur citée ci-dessus. Les exercices de multiplication disposés en deux colonnes sont dans le même esprit : les produits sont posés à gauche d un trait vertical, et les multiplicateurs à droite. Enfin, on peut remarquer que l itération (voir par exemple le #20 de la tablette) est un procédé connu et exploité à l époque paléo-babylonienne. 7.3 Paires d inverses et suites géométriques Le calcul des inverses est le principal sujet des exercices de calcul numérique. On trouve les inverses soit sous forme de paires isolées sur des tablettes de type IV, soit sous forme de listes de paires d inverse obtenues par doublements successifs de l un des nombres de chaque paire (suite géométrique de raison 2), et division par deux de son inverse (suite géométrique de raison 30). On s intéressera principalement, dans cette partie, aux relations qui existent entre les paires isolées et les listes. Finalement, deux méthodes de calcul des inverses sont attestées : - Partant d une paire d inverses connue, on multiplie l un des nombres par 2 et on divise l autre par 2; on obtient ainsi une nouvelle paire. C est la méthode que je désigne par «doublement / dédoublement». - La méthode de factorisation mise en évidence par Sachs et exposée ci-dessus ( 7.2). Cette méthode consiste, rappelons-le, à factoriser le nombre à inverser, inverser les facteurs obtenus, et enfin multiplier entre eux ces inverses partiels. Comment s articulent ces deux méthodes? A quels types de données numériques sont-elles appliquées? Telles sont les question qu on peut se poser. 7.3.1 Textes de référence Concernant les tablettes de Nippur, je présenterai tout d abord les textes les plus complets, de type S ou M, qui constituent des «textes de références». Il s agit des tablettes N 3958, UM 29-309 La copie a été publiée par E. Robson (Robson 1999, p. 252), qui a identifié une partie des relations numériques entre les nombres de la tablette. L interprétation complète en tant que calcul de carré et racine carrée par factorisation a été découverte par J. Friberg (Friberg 2000, p. 108). Nous reviendrons plus loin sur cette tablette. 174

13-21 et CBS 10201, toutes trois éditées et bien connues. Ces textes donnent une vue d ensemble des méthodes et des données numériques usuelles à Nippur. On cherchera à rattacher les exercices et fragments à cet ensemble de résultats. N 3958 Cette tablette est de type S : taille assez petite, forme allongée, écrite sur une seule colonne. Elle présente une liste qui commence sur la face et se poursuit sur le revers. Le contenu est purement numérique. La copie et l interprétation du texte ont été publiées par Sachs en 1947 : il s agit d un nombre initial, 2.5, et d une duplication appliquée de façon réitérée au moins 35 fois. Chaque item est le double du précédent. On trouve ainsi sur cette tablette la suite des valeurs à partir desquelles sont construites les tablettes VAT 6505 et CBS 1215 décrites ci-dessus ; cette suite est omniprésente dans le calcul numérique de Nippur. N 3958 [Sachs 1947, p. 229] face 1 [2.5] 2 [4.10] 3 [8.20] 4 [16.40] 5 [33.20] 6 [1.6.40] 7 [2.13.20] 8 [4.26.40] 9 8.[53.20] 10 17.4[6.40] 11 35.33.20 12 1.11.6.40 13 2.22.13.20 14 4.44.26.40 15 9.28.53.20 16 18.57.46.40 17 37.55.33.20 18 1.15.51.6.40 19 2.31.42.13.20 20 5.3.24.26.40 revers 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 10+6.48.53.20 20+13.[37.46].40 40+2[7.15.33].20 1.20+54.31.6.40 2.40+1.49.2.13.20 5.20+3.38.4.26.40 [10.40+7.16.8.53].20 [21.20+14.32.17].46.40 [42.40+29.4.35.3]3.20 1.25.20+58.9.11.6.40 2.50.40(+)1.56.18.22.13.20 5.41.20(+)3.52.36.44.26.40 [11.22].40(+)7.45.13.28.53.20 [22.45].20(+)15.30.26.57.46.40 [45.30.40(+)]31.<0>.53.[55.33.20] [1.31.1.20(+)1.2.1.47.51.6.40] A partir de la 20 ème duplication (premier item du revers), les nombres dépassent 5 positions sexagésimales sont décomposés en somme. Les termes de la somme sont séparés par un signe composé d un clou et d un chevron :. C est la seule tablette où ce signe de séparation est attesté 310. Il n est pas répertorié dans les les manuels d épigraphie et il est difficile de savoir s il a une pronociation ; je l ai transcrit par «+». 310 Cependant, J. Friberg signale un texte d astronomie où ce signe est présent dans la même fonction (Friberg 1982 p. 68). 175

A partir de la ligne 21, les deux termes de la somme sont doublés séparément. Il faut ensuite ajouter ces deux parties pour obtenir la valeur totale, en tenant compte évidemment des positions sexagésimales relatives des chiffres. Le procédé continue dans tout le revers de la tablette, mais le scribe a omis de noter le signe de séparation à partir de la ligne 31. Je l ai restitué entre parenthèses. J ai également souligné en caractères gras les chiffres des deux nombres à ajouter qui occupent la même position sexagésimale. En 1987, J. Friberg 311 a relié la présence de l addition dans N 3958 à l hypothèse de l existence d un instrument de calcul : «This method of handling many-place numbers by cutting them up in smaller parts suggests that the calculations were carried out on some arithmetical device of limited capacity. A similar usage is documented in another OB table text (Sachs 1947, note 1), as well as in Hilprecht s MB astronomical Nippur text (Neugebauer 1936)» [Friberg 1987-90, p. 537]. Dans un article publié en 2001, j ai mis en rapport cette pratique de coupure des nombres de grande taille, ainsi que d autres observations faites par J. Høyrup 312, avec des erreurs de calcul assez générales dans les textes numériques cunéiformes. Le 5 ème chiffre des grands nombres est une zone où on trouve très souvent des erreurs typiques, comme on peut le constater par exemple dans les tablettes AO 6456 (grande table d inverses d époque séleucide) et Plimpton 322 (grande tablette de triplets pythagoriciens). Ces erreurs pourraient avoir la même explication que la présence de l addition dans la tablette N 3958 ci-dessus : lorqu ils dépassent 5 chiffres, les nombres sont décomposés en somme et la multiplication est effectuée séparément sur chaque terme de la somme. Ensuite les deux parties sont ajoutées et cette opération donne lieu à des erreurs dues au mauvais repérage des positions sexagésimales (chiffres omis ou ajoutés fautivement). Cette méthode peut être un indice de l utilisation d un instrument de calcul limité à 5 positions et peut-être lié, dans son fonctionnement ou sa conception, aux 5 doigts de la main. Dans N 3958, l addition des termes de la somme n est pas effectuée. On peut soupçonner qu il a eu dans ce texte une intention didactique : le signe «+» peut être un artifice d écriture destiné à faciliter l apprentissage de la technique de multiplication par décomposition en somme. UM 29-13-021 Cette tablette contient plusieurs listes de paires d inverses obtenues par une succession de doublement / dédoublement de paires initiales (respectivement 2.5 ~ 28.48 ; 2.40 ~ 22.30 ; 1.40 ~ 36 ; 1.4 ~ 56.15 ; 4.3 ~ 14.48.53.20). Bien qu il ne subsiste de cette tablette que la partie inférieure, elle a été reconstituée presque entièrement par Neugebauer et Sachs 313. Il s agit dune tablette de type M. La face comporte deux colonnes ; elle devait commencer par la paire d inverses initiale 2.5 ~ 28.48 ; chaque entrée est obtenue par doublement / dédoublement de la précédente, comme dans le cas de CBS 1215 ; la liste obtenue est constituée de 30 entrées (2.5 à 2.5 2 29 ). Chaque paire est écrite sur deux lignes : 311 Friberg 1987-90, p. 537 ; Proust 2001. 312 Høyrup 2000. 313 Neugebauer et Sachs 1945, p. 13-15 ; dans cette publication, la tablette porte le numéro CBS 29-13-21. 176

2.5 igi-bi 28.48 4.10 igi-bi 14.24 etc. L écriture est «justifiée» à droite et à gauche, comme c est la règle dans les textes cunéiformes : le premiers signe de chaque ligne est placé à gauche de la colonne, le dernier signe à droite, et il existe souvent un large écart entre les signes au sein des lignes (voir la transcription de J. Friberg 314 ). Par exemple, dans la première ligne de la tablette citée ci-dessus, le 2 est à gauche, le 5 est à droite, et les deux chiffres sont séparés par un grand espace. Dans la dernière paire, apparaît une «erreur» : L entrée de la dernière paire est écrite 1.25.20 58.9.11.6.40 au lieu de 1.26.18.9.11.6.40 On reconnaît les deux termes de la somme suivante : 1.25.20 58.9.11.6.40 --------------------- 1.26.18. 9.11.6.40 Neugebauer et Sachs ont remarqué cette écriture en deux termes posés côte à côte : «A possible explanation of the error would be that in computing, the scribe wrote two terms (20 and 58) side by side instead of giving their sum.» [MCT p. 13 n. 68] On peut proposer une interprétation alternative. Il ne s agirait pas d une erreur, mais d une écriture en somme de deux termes analogue à celle qui a été rencontrée dans l étude de la tablette précédente : c est exactement la même décomposition que dans la paire correspondante de N 3958. Dans sa transcription, J. Friberg, qui a remarqué cette analogie, signale la coupure par le signe cunéiforme, mais ce signe n apparaît pas dans la transcription de MCT. Il est difficile de dire d après la photo si ce signe est présent dans l original, car la cassure de la tablette passe précisément à cet endroit. On peut supposer que toutes les entrées précédentes, appartenant à la partie cassée de la tablette, devaient être également décomposées comme dans N 3958. Remarquons enfin que, si les entrées sont décomposées en sommes, les inverses ne le sont pas, ce qui reste à expliquer. En effet, les inverses sont obtenus par multiplications répétées par 30. La multiplication par 30 des nombres de plus de 5 chiffres avec un instrument de capacité limitée devait poser les mêmes problèmes que les multiplications par 2. On devrait s attendre donc à ce que les décompositions en sommes apparaissent également pour les inverses. A la fin de la deuxième colonne, deux «inverses» d un autre genre sont donnés : 314 Friberg 1983, p. 83. 177

UM 29-13-021 [MCT p. 13] face, col. II, lignes 3-10 a-ra-kara 2 ša 1.25.20 4.38.5.29.9.1.24.22.30 a-ra-kara 2 a-ra-ka-re-e ša 1.20 18.32.21.56.36.5.37.30 commentaire 4.38.5.29.9.1.24.22.30 est l inverse de 1.25.20 2 15 18.32.21.56.36.5.37.30 est l inverse de 1.20 2 19 Le terme arakarûm est difficile à traduire, bien que son sens mathématique soit assez clair : il désigne l inverse d un nombre qui a subi des doublements répétés. Il est plus difficile de cerner le sens exact de «l arakarûm de l arakarûm» : il exprime peut-être le fait que le nombre de doublements est important. On peut citer deux autres textes où le terme arakarûm est attesté. On le trouve dans les listes lexicales OB (liste Proto-Kagal bilingue section B ligne 20) 315 : a-ra 2 -kar 2 a-ra-ka-ru-u 4 -um On le trouve également dans un texte mathématique, YBC 4675, traitant d un problème de partition de trapèze en bandes d aires égales. Il désigne un facteur 2 qui intervient pour restituer une «vraie» longueur après une transformation destinée à ramener des configurations de rectangles à des configurations plus simples de carrés 316. Dans ce contexte, le terme arakarûm est également associé à une opération de doublement. Le revers est écrit sur 3 colonnes ; ce sont également des séquences de doublement / dédoublement de paires d inverses. La reconstitution de Neugebauer et Sachs permet de retrouver quatre des paires d inverses initiales : Rappelons la paire initiale de la face : 2.40 ~ 22.30 1.40 ~ 36 1.4 ~ 56.15 4.3 ~ 14.48.53.20 2.5 ~ 28.48 Comme il est remarqué dans MCT (p. 14), ces paires initiales appartiennent à la table d inverses des séries élémentaires (1.4, 1.40), ou s en déduisent par une multiplication simple (2.40=1.20 2 ; 4.3=1.21 3). On peut ajouter que les entrées ont des propriétés numériques particulières. Elles sont des nombres issus de suites géométriques très simples : ou bien sont des carrés : 1.4 = 2 6 4.3 = 3 5 2.5 = 5 3 2.40 = 40² 1.40 = 10² 315 Civil et Reiner 1971 (MSL 13), p. 84. 316 Høyrup 2002, p. 245-248. 178

J ai programmé les suites de doublements / dédoublements obtenues à partir de ces paires initiales (voir Annexe 2 «Suites géométriques»), et la recherche automatique dans ce fichier m a permis par exemple d identifier les restes de nombres visibles sur les tablettes 2N-T 115 et W 16743ay (voir 7.3.2, respectivement au début et dans la conclusion). CBS 10201 Comme pour N 3958, l aspect de la tablette est celui d un type III, mais le contenu est une série numérique qui se rattache au niveau avancé. Elle est donc de type S. Il s agit là encore d une suite de doublements / dédoublements à partir de la paire initiale 2.5 ~ 28.48. La séquence est relativement courte : 8 entrées ; elle est un extrait de série plus étendue telle qu on la trouve par exemple dans UM 29-13-021. La disposition est celle des algorithmes d inversion par factorisation : l inverse de la partie finale du nombre à factoriser est posé à droite. CBS 10201 [d après la copie de Hilprecht 1906, pl. 9] 317 Face Revers 2.5 igi-gal 2 -bi 4.10 igi-gal 2 -bi 8.20 igi-gal 2 -bi 16.40 12 28.48 6 14.24 3 7.12 1.30 igi-gal 2 -bi 33.20 igi-gal 2 -bi 1.6.40 igi-gal 2 -bi 2.13.20 igi-gal 2 -bi 4.26.40 igi-gal 2 -bi 3.36 18 1.48 9 54 18 27 9 13.30 Les trois «textes de référence» de Nippur consacrés au calcul numérique pur, sans référence à un contexte métrologique, constituent un ensemble très homogène. Ce sont des tablettes de type S ou M, dont le contenu est construit sur la suite des doublements de 2.5 : - N 3958 (type S) donne la suite des doublements de 2.5, avec mise en évidence de la méthode de multiplication des nombres de grande taille en deux parties ; - UM 29-13-21 (type M) donne la suite des doublements de 2.5 accompagnés des inverses et de traces de la méthode de factorisation ; de plus, cette tablette donne des suites de doublements de 2.40 ; 1.40 ; 1.4 ; 4.3 également accompagnés des inverses et des traces de factorisation. Elle fait mention d un terme akkadien, arakarum, qui pourrait désigner la méthode de construction de paires d inverses par doublements / dédoublements répétés. La méthode de multiplication des nombres de grande taille en deux parties y est repérable. - CBS 10201 (type S) donne la suite des doublements de 2.5 accompagnés des inverses et de traces de la méthode de factorisation. 317 Ma translittération, dont la disposition est legèrement différente de celle de MKT I p. 24, s efforce de rendre compte de la mise en page «justifiée à droite et à gauche» de la tablette originale. 179

La suite des doublements de 2.5, accompagnés éventuellement des inverses et des étapes de la méthode d inversion par factorisation, occupe donc à Nippur une place centrale dans l entraînement au calcul numérique. La mise en forme la plus complète de cette suite se trouve dans la tablette CBS 1215 présentée au 7.2. Bien que sa provenance soit inconnue, cette tablette, très proche de celles de Nippur, servira de référence dans la suite de ce chapitre. 7.3.2 Exercices Tous les exercices de calcul numérique pur attestés dans le corpus de Nippur sont en étroite relation avec la tablette CBS 1215 et les exemplaires apparentés décrits ci-dessus. Je chercherai à mettre en valeur cette unité aussi bien au niveau des nombres choisis, que de la méthode et de la présentation des calculs. Pour cela, il m a paru intéressant de donner les translittérations et commentaires d une partie significative des tablettes déjà publiées. En effet, O. Neugebauer n avait pas recherché systématiquement ces liens, qui seront mis en évidence ici. Je rappelerai les résultats d E. Robson, qui a signalé à plusieurs reprises les relations entre les exercices et CBS 1215 dans SCIAMVS 1 (Robson 2000). Les tablettes d Istanbul, inédites, seront naturellement présentées en détail. 2N-T 115 = IM 57845 et 2N-T 27 Ce fragment a été transcrit par Neugebauer et Sachs (MMT p. 244-245), mais aucune copie n a à ce jour été publiée. Cette paire d inverses n avait pas été identifiée auparavant. Par une simple recherche automatique dans un fichier contenant les tables attestées à Nippur (tables numériques et suites géométriques), on identifie sans difficulté ces nombres : ils appartiennent à la suite des doublements / dédoublements de la paire initiale 2.5 ~ 28.48 : 9.28.5[3.20] igi-bi 6.1[9.41.15] Sur le revers, les restes sont suffisants pour identifier une table de multiplication par 1.40. Les informations publiées dans MMT ne permettent pas de préciser le type de cette tablette. Il peut s agir d un type IV analogue aux autres tablettes carrées décrites dans ce paragraphe, avec des textes différents sur la face et le revers. On reconnaît des nombres de la même suite dans la tablette 2N-T 27, citée par J. Friberg 318. On ne peut pas se fonder sur la copie, qui n a pas été publiée, mais J. Friberg a identifié la paire d inverses 37.55.33.20 ~ 1.34.55.18.45. Elle appartient donc à la même suite que la tablette précédente (en effet, 37.55.33.20 = 2.5 x 2 16 ). 3N-T 362+366 = IM 58446+5844l7 Cette tablette rectangulaire presque entière provient de la Maison F. Elle a été publiée et décrite comme ci-après par E. Robson 319. Un extrait du texte «Eduba C» commence sur la face (lignes 1-22) et se termine sur le revers (3 lignes supplémentaires). La fin du texte sumérien est marquée 318 Friberg 1987-90, p. 549. 319 Robson 2000, p. 20. 180

par un double trait. Ensuite, on trouve un extrait de la série des paires d inverses développée sur CBS 1215. Il s agit même exactement de la section 10. 3N-T 362+366 [Robson 2000, p. 22] 17.46.40 2.40 3.22.30 6.4[5] 9 8.53.20 17.46.40 9 2!.22.30 [2] [1,20] 6. 40 commentaires lire : 22.30 Cette tablette est rectangulaire et plus grande que les autres tablettes de type IV, mais elle contient des extraits courts et appartient de ce fait à la catégorie des exercices. Elle est d un type intermédiaire entre le type IV et le type S. 3N-T 605 = UM 55-21-357 Cette tablette entière et bien conservée vient également de la Maison F. Elle est rectangulaire, mais sa taille et son contenu la rapprochent des autres tablettes de type IV. Deux lignes sont écrites sur la face, suivies d un double trait. C est une paire d inverses extraite d une section de CBS 1215 (ici, le #8). Mais le scribe semble avoir confondu inverse et moitié! (voir copie et commentaire de E. Robson 2000 p. 20). 3N-T 605 [Robson 2000 p. 20] commentaires revers 4.26.40 l inverse de 4.26.40 est 13.30 (et non 2.13.20) igi-bi 2.13.20 (sic!) 2N-T 500* = A 29985 On se reportera, pour cette tablette, à la copie, la translittération et l analyse de E. Robson, que je résume ici. C est une tablette de type IV carrée. Sur la face, on trouve un proverbe : «Un scribe bavard, sa faute est très grande». Celui-ci est suivi d un calcul esquissé, puis abandonné après une faute. Le calcul du revers est une inversion par factorisation d un nombre extrait de la suite des doublements de 2.5. Il correspond à la première partie du calcul de CBS 1215 #10. La paire d inverses est écrite et terminée par un double trait. En bas de l espace vide restant, on voit le détail des étapes de la méthode de factorisation. Cette tablette de Nippur a des ressemblances avec les types IV d Ur : proverbe d un côté (modèle suivi d une copie), calcul de l autre. Mais sa forme carrée est typique de Nippur. 181

2N-T 496 = IM 58966 C est un des rares exemples de tablette lenticulaire provenant de Nippur (copie Al-Fouadi 1979 p. 35). Sur la face, un proverbe est inscrit. Sur le revers, on lit : igi-bi 3.36. On peut supposer que c est la réponse à une question orale : quel est l inverse de 16.40? Il s agit encore d un extrait de CBS 1215 (#8). La présence d une réponse à une question qui n est pas formulée sur la tablette rappelle la situation qui a été rencontrée dans les tablettes où on trouve des enchaînements de multiplication ( 7.1.1). J. Friberg a, pour les textes d Ur, reconstitué le problème qui conduit à ces calculs. Dans ce cas comme dans celui de la présente tablette, une partie du travail est oral et il n en reste que des traces écrites. N 3891 A. Sachs 320 a reconstitué cette tablette carrée de type IV à partir d un fragment. Mise à part une ligne qui semble omise, le texte du revers est, comme le souligne A. Sachs, identique à CBS 1215 #9. La paire d inverses est donnée sur la face, et calculée sur le revers. N 3891 [Sachs 1947, p. 234] commentaires face [8.53.20] [igi]-bi 6.4[5] ========== revers [8].53.20 18 [2.40] [22.30] ligne omise : par le scribe ou par l éditeur? 6.45 [1.20] 9 6.40 [8,53,20] Ni 10241* On retrouve dans cette tablette carrée de type IV un modèle identique à celui de la tablette publiée par Sachs : sur la face, une paire d inverses, et sur le revers, le détail de la méthode de factorisation telle qu elle est développée dans CBS 1215 #8 (première partie). On remarquera sur la copie (voir planches, Tome 2) de la face le vide qui sépare les derniers chiffres afin de respecter la mise en forme justifiée. 320 Sachs 1947, p. 234 : copie du fragment et reconstitution du texte entier. 182

Ni 10241* commentaires face 4.26.40 40 est écrit à droite de la tablette igi-bi 13.30 30 est écrit à droite de la tablette =================== revers 4.26.40 9 40 1.30 13.30 Ni 10244* Bien que seule la face soit lisible, on reconnaît encore le modèle décrit dans les deux précédents exemples : 1.15.51.6.40 ~ 47.27. 39.22.30 est la paire d inverses de CBS 1215 #18. Ni 10244* commentaires face [1.15].51. 6.40 [igi-bi] 48!.28!.39.22.[30] lire : 47.27. 39.22.30 Conclusion Tous les exercices de calcul d inverses de Nippur sont extraits de la suite engendrée par doublements / dédoublements de la paire initiale 2.5 ~ 28.48, développée notamment dans CBS 1215. Il arrive souvent qu on trouve la paire seule sur la face, et les étapes de la factorisation sur le revers. La formulation peut être plus ou moins complète : - une paire d inverses seule, - une paire d inverses avec les étapes de la factorisation, - une paire d inverses avec les étapes de la factorisation et inversion de l inverse. Les exercices de Nippur portant sur les paires d inverses, dans leurs diverses formulations, sont rassemblés dans le Tableau 30 suivant. 183

Numéro # correspondant formulation dans CBS 1215 Paire seule Paire avec factorisation 2N-T 496 4 igi-bi 3.36 3N-T 605 8 4.26.40 igi-bi 2.13.20!!! Paire avec factorisation et inverse de l inverse 2N-T 115 15 9.28.5[3.20] igi-bi 6.1[9.41.15] Ni 10244 18 [1.15].51. 6.40 [igi-bi] 48!.28!.39.22.[30] Ni 10241 8 face 4.26.40 igi-bi 13.30 2N-T 500 10 face 17.46.40 igi -bi 3.22.30 revers 4.26.40 9 40 1.30 13.30 revers 17.46.40 [9] 2.40 22.30 3.22.30 CBS 10201 1-8 2.5 12 igi-gal 2 -bi 28.48 etc. N 3891 9 [8.53.20] [igi]-bi 6.4[5] [8].53.20 18 [2.40] [22.30] 6.45 [1.20] 9 6.40 [8,53,20] 3N-T 362 10 17.46.40 9 2.40 2!.22.30 3.22.30 [2] 6.4[5] [1,20] 9 6. 40 8.53.20 17.46.40 Tableau 30 : exercices de calcul d inverses à Nippur Les nombreux liens entre le texte de CBS 1215 et les exercices de calcul de Nippur laissent penser qu il existait probablement à Nippur des exemplaires très proches de CBS 1215, qui, elle, est d origine inconnue. On peut se demander si le même type de lien existe pour les autres corpus mathématiques de Mésopotamie. Les exercices de calcul et les tables portant sur les inverses, provenant d autres sites que Nippur (ou de provenance inconnue) et d époque paléo-babylonienne, sont rassemblées dans le Tableau 31 ci-dessous, complété par des remarques plus précises pour certaines tablettes. Dans le tableau ci-dessous (Tableau 31) comme dans le précédent, je propose une définition des paires d inverses par référence aux sections de CBS 1215. Les modèles de formulation sont en partie les mêmes qu à Nippur. On trouve les deux formulations suivantes (ces deux variantes sont désignées par des numéros entre parenthèses) : 184

(1) une paire d inverses seule, (2) une paire d inverses avec les étapes de la factorisation et inversion de l inverse Le style d écriture des paires d inverses peut également varier, par exemple : 2.5 igi-bi 28.48 ou bien 2.5 28.48 igi-bi ou bien 2.5 28.48 La paire est écrite sur une ligne ou deux, de façon justifiée ou non, etc. Mais le but n est pas ici d entrer dans ces détails. Ceux-ci pourraient avoir un intérêt dans une autre perspective, par exemple celle de dégager des styles caractéristiques d un lieu ou d une époque. On s en tiendra ici au contenu des exercices et à leur rapport avec des textes de référence tels que CBS 1215. Numéro Provenance Type Contenu # de CBS 1215 Formulation (1) paire d inverses seule (2) paire d inverses avec factorisations BM 80150 inconnue I table numérique ; paire d inverses dérivant de (2.5, 28.48) 1-13 (1) 2.5 28.48 igi-bi etc. FLP 1283 inconnue IV lentille proverbe; paire d inverses dérivant de (2.5, 28.48) 1 (1) 2.5 28.48 YBC 10802 inconnue IV? paire d inverses dérivant de (2.5, 28.48) W 16743ay Uruk IV carrée paire d inverses dérivant de (2.5, 28.48) 13 (1) 21 (1) MLC 651 inconnue IV? paire d inverses dérivant de (2.5, 28.48) 23 (extrapolation) (1) et (2) UET 6-2 295 Ur IV lentille paire d inverses dérivant de (2.5, 28.48) 1 (2) YBC 1839 inconnue IV? paire d inverses dérivant de (2.5, 28.48) 8 (2) VAT 5457 inconnue IV carrée paire d inverses dérivant de (1.4, 56.15) 9 ème doublement 1.4 de (2) Tableau 31 : exercices de calcul d inverses en Mésopotamie 185

Remarques MLC 651 : Sachs (1947 p. 233) ne précise pas l aspect de la tablette, et identifie la face comme le côté où le détail de la factorisation est développé, le revers comme le côté où seule la paire d inverses est écrite. En fait, on devrait à mon sens inverser l identification de la face et du revers. En effet, les tablettes de même contenu de Nippur (Ni 10241, 2N-T 500, N 3891) sont des tablettes de type IV avec la paire d inverses seule sur la face et le détail du calcul sur le revers. Par analogie, on peut supposer qu il en est de même pour MLC 651. Par ailleurs, la paire de cette tablette est celle qui est obtenue après 22 doublements / dédoublements de la paire initiale, c est-à-dire une paire qui ne figure pas parmi les 21 sections de CBS 1215. La section 23 n existe pas, c est une extrapolation de CBS 1215. W 16743ay : A. Cavigneaux 321 donne la copie et la transcription de cette tablette, mais sans l identifier. Interprétée comme étant la paire d inverses correspondant à la section 21 de CBS 1215, elle peut être reconstituée comme suit : [10.6.48].53.20 [5.55].57.25.18.45 Dans l ensemble de la Mésopotamie comme à Nippur, les exercices de calcul d inverses qu on trouve sur les tablettes de type IV sont tous en relation avec la suite des doublements de 2.5, ou, dans un cas, de 1.4. La seule tablette de type de I de ce corpus apporte un éclairage intéressant : la liste des paire d inverse obtenue à partir de la paire initiale 2.5 ~ 28.48 fait suite à la série des tables numériques (inverses et multiplications). Cette liste de paires d inverse a le statut d une table numérique appartenant à la série standard. 7.3.3 Racine carrée par factorisation Un dernier exercice se rattache aux techniques de factorisation, mais sont interprétation est incertaine en raison d une erreur probable du scribe. Il s agit de 3N-T 611, une tablette de type IV carrée de la Maison F. E. Robson, qui l a publiée, l a interprétée comme un possible calcul d inverse par factorisation. On repère bien les étapes de la factorisation, mais les nombres écrits dans les marges (à gauche et à droite dans les deux dernières lignes) s expliquent plus complètement si on considère le calcul comme une extraction de racine carrée. Le procédé serait alors tout à fait identique à celui qui est décrit par J. Friberg pour la tablette lenticulaire UET 6/2 222 provenant d Ur et déjà citée au début de ce chapitre. Je rappellerai le texte et l interprétation de cette tablette d Ur, à la lumière de laquelle je proposerai ma propre lecture de 3N-T 611, qui prolonge celle de E. Robson. 321 Cavigneaux 1996 n 283. 186

UET 6/2 222 [Friberg 2000, p. 108] 1.3.45 1.3.45 15 1.7.44.3.45 16 15 18.3.45 16 17 4.49 3.45 1.3.45 commentaire 1.3.45 1.3.45 = 1.7.44.3.45 division par 3.45 (inverse 16) ; la racine carrée de 3.45 est 15 division par 3.45 (inverse 16) ; la racine carrée de 3.45 est 15 la racine carrée de 4.49 est 17 les racines des facteurs (placés à gauche) sont multipliées de proche en proche : 15 15 = 3.45 3.45 17 = 1.3.45 Remarque : On retrouve dans ce calcul certains aspects de CBS 1215 : une opération numérique (calcul du carré) est suivie de l opération réciproque (calcul de la racine carrée) et le résultat final est identique à la donnée initiale ; la méthode de factorisation peut être appliquée à la recherche des racines carrées grâce à l utilisation de la propriété «la racine d un produit est égale au produit des racines». Les racines carrées partielles sont posées à gauche. 3 N-T 611 [Robson 2002b, p. 354] 3N-T 611 reconstitution des calculs selon la méthode de UET 6/2 222 16.40 16.40 16.40 20 4.37.46.40 9 50 42.39 [ ] 16.40 16.40 16.40 = 4.37.46.40 16.40 20 4.37.46.40 9 division par 6.40 (inverse 9) ; la racine c. de 6.40 est 20 50 41.40 la racine carrée de 41.40 est 50. 16.40 50 20 = 16.40 Presque tous les éléments de 3 N-T 611, valeurs numériques et disposition, correspondent à la méthode développée dans UET 6/2 222 : les premières lignes donnent des nombres identiques (16.40) ; cependant dans 3 N-T 611, 16.40 est écrit trois fois. Ensuite, on trouve le carré de 16.40 (4.37.46.40), encadré de deux nombres : à droite l inverse de la partie finale (9 est l inverse de 6.40) et à gauche la racine carrée de la partie finale (20 est la racine carrée de 6.40). Sur la ligne suivante, on trouve un résultat inattendu qui n est pas le produit de 4.37.46.40 par 9 (41.40), mais on trouve la racine carrée 50 correctement posée à sa gauche. E. Robson 322 a analysé l erreur dans le calcul de 4.37.46.40 9 de façon convaincante comme une erreur de positionnement des chiffres dans une étape de la multiplication : 322 Robson 2002b, p. 354. 187

calcul juste 4.37.46.40 9 --------------------- 4.37.40 9 + 6.40 9 --------------------- 41.39 + 1 --------------------- 41.40 calcul du scribe idem ---------------------------------- idem ---------------------------------- 41.39 + 1 ---------------------------------- 42.39 La racine carrée est correcte alors que le produit est faux. Ceci peut s expliquer de deux façons : - soit le scribe reproduit des séquences de calcul apprises par cœur de façon automatique ; il s agit d une défaillance de mémoire ponctuelle ; - soit il enregistre des calculs qui ne sont pas tous faits sur la tablette, mais sur un autre support ; il s agit d une erreur d enregistrement. L existence fréquente d erreurs ponctuelles ne se répercutant pas sur la suite des calculs, dans des contextes où il est peu vraisemblable que la séquence ait été mémorisée 323, me conduit à privilégier la deuxième explication. Comme pour les calculs d inverses, il devait exister des compilations rassemblant une série de calculs de racines carrées par factorisation à partir d une liste de nombres. La méthode d engendrement de la liste de nombres de CBS 1215 est celle des doublements successifs à partir de 2.5 car elle garantit que les nombres trouvés seront tous inversibles. Dans une compilation devant fournir une liste de nombres permettant le calcul ci-dessus, on trouverait les carrés des nombres de n importe quelle liste, par exemple celle de CBS 1215 (on remarque que le nombre initial 16.40 appartient à la suite des doublements à partir de 2.5) ; mais toute autre liste n étant pas nécessairement composée de nombres inversibles conviendrait aussi. Pour terminer cette partie, je relèverai quelques unes des questions soulevées dans l analyse des tablettes numériques, et qui n ont été que partiellement résolues. Des méthodes redondantes : On a vu que deux méthode d inversion sont utilisées dans les exercices et textes de référence : factorisation et suites géométriques. Alors que chacune de ces deux méthodes est suffisante pour conduire l inversion, il est fréquent de les voir toutes deux mises en œuvre simultanément. Et il arrive de surcroît que l extraction de l inverse soit suivie de celle de l inverse de l inverse, conduisant à retrouver à la fin de l algorithme la donnée initiale. La succession de deux opérations réciproques s observe également dans les calculs de racines carrées. Ces redondances 323 Citons par exemple Plimpton 322 (table de triplets pythagoriciens paléo-babylonienne), AO 6456 (grande table d inverses néo-babylonienne). 188

peuvent révéler une recherche, par les scribes, de vérifications et de justifications de leurs méthodes. Des méthodes puissantes, mais des applications stéréotypées : Malgré la puissance des méthodes d inversion, potentiellement applicables à tous les nombres inversibles, on ne trouve dans les exercices qu un très petit nombre d exemplaires stéréotypés. Par exemple la méthode de «doublement / dédoublement» est généralisable à toutes les paires d inverses, et il est possible de procéder de la même façon avec tout autre facteur régulier (3, 5 ou autre). Pourtant, on ne l observe à Nippur que dans le cas de la paire initiale 2.5 ~ 28.48 (à une exception près, UM 29-13-021) et appliquée avec le facteur 2. A l imagination des créateurs de ces méthodes, s oppose le conservatisme d un enseignement normalisé et immuable. La fonction des suites géométriques : Les sources de Nippur actuellement connues ne donnent qu une vision très partielle du calcul numérique, et il devait exister des pratiques plus riches que ce qui ressort de la petite collection d exercices stéréotypés parvenus jusqu à nous. D autres suites géométriques que celles de rapport deux vues ici sont attestées en Mésopotamie. Elles sont probablement une des clés d explication de la fabrication des grandes tables d inverses et nombreux exercices d époque séleucide qu on trouve, par exemple, à Uruk. C est l explication d E. Robson (Robson 2001a) pour la construction de la table de triplets pythagoriciens Plimpton 322 (Larsa, époque paléobabylonienne) à partir d une liste de paires d inverses. Plusieurs types de contraintes dans la disposition des calculs : Quelques remarques concernant le style la disposition des nombres sur la tablette ont été faites, et permettent d avancer quelques hypothèses. On peut distinguer deux sortes de tablettes : celles dont le contenu est purement numérique (CBS 1215 et N 3958, ainsi que les exercices d exécution de multiplications sur des tablettes de type IV), et celles où on trouve quelques éléments de vocabulaire, tels que igi ou arakarûm (UM 29-13-21 et CBS 10201). Dans la tablette CBS 1215, qui appartient à la première catégorie, la disposition des nombres a un sens mathématique. Elle met en évidence les étapes d un algorithme : inversion par factorisation, où les facteurs sont placés à gauche, les inverses des facteurs sont placés à droite, les produits partiels sont centrés. Cette disposition permet le contrôle du déroulement de l algorithme et des automatismes d exécution. On trouve dans la deuxième catégorie la tablette UM 29-13-21, où l écriture des lignes est justifiée (premier signe aligné à gauche, dernier signe aligné à droite, existence de larges espaces au sein de certaines lignes contenant peu de signes). L espace entre les signe n a pas de signification numérique (telle que existence d un «zéro» en position médiane, ou volonté de placer les chiffres en fonction de leur position sexagésimale). Il s agit d un mode de remplissage de la tablette, et non d une façon de «poser» les nombres pour faire des opérations. D autres indices montrent que les opérations ne sont pas effectuées «au calame» sur la tablette, mais probablement sur un autre support matériel. La disposition des nombres peut donc avoir un sens mathématique dans les tablettes purement numériques. Mais dans d autres cas, elle répond à des normes de remplissage de l espace écrit, qui n ont pas de signification mathématique. 189

L ensemble des tablettes analysées dans les paragraphes précédents ( 7.1, 7.3) permet de souligner quelques caractéristiques de l apprentissage du calcul numérique à Nippur. L entraînement porte d abord sur l exécution des multiplications, puis sur le calcul des inverses. Les multiplications se trouvent sur des tablettes de type IV, en général carrées. Deux types de disposition sont adoptés. La première disposition, en deux colonnes séparées par un trait vertical, est difficile à interpréter faute de sources. Elle évoque cependant les exercices rencontrés à Ur, que J. Friberg a mis en relation avec des problèmes de volume. La deuxième, en une colonne, est beaucoup plus courante. Elle est tout à fait analogue à celle qu on trouve dans les exercices de calcul de surface de Nippur, notamment de carrés (voir 7.4). Le calcul des inverses est stéréotypé : la méthode de factorisation est appliquée aux données numériques fournies par les doublements répétés de 2.5. On trouve sur les tablettes de type IV des paires d inverses qui sont toutes extraites de tablettes de référence de type S ou M. 7.4 Calcul des surfaces 7.4.1 Surfaces de carrés Le groupe de six exercices de calcul de surface de carrés présentés dans cette section constitue à mon sens le témoignage le plus explicite de l articulation entre les «nombres abstraits» et les systèmes métrologiques. Il occupe donc une place centrale. Ces textes seront analysés dans le but de dégager les bases du calcul des surfaces tel qu il est pratiqué dans les problèmes mathématiques. L attention se portera sur l utilisation des différents types de tables mémorisées au cours de l enseignement élémentaire. On reviendra sur la question de la fonction des tables métrologiques dans ce contexte. La disposition du texte, tout autant que sa formulation précise, sera prise en considération dans la reconstitution des méthodes de calcul. Les six tablettes de ce paragraphe sont de type IV et carrées. Dans le coin supérieur gauche, le calcul d un carré est disposé en une colonne, exactement comme dans les tablettes décrites plus haut (voir 7.1.2). Dans le coin inférieur droit, un petit problème court rédigé en sumérien donne le côté d un carré et demande sa surface. Ce petit texte est inscrit dans une grande case carrée divisée en cases plus petites et se termine par un double trait. Dans CBS 11318, Ni 18 et UM 29-15-192, les texte est divisé en trois parties : dans la première se trouvent les données, dans la deuxième se trouve la question, dans la troisième se trouve la réponse. La relation entre les deux textes de la tablette, le calcul numérique en haut à gauche et le calcul de surface en bas à droite, est la principale question à laquelle on s intéressera dans l analyse de ce type de texte. L importance de ces exercices justifie que leur translittération, dans la forme la plus proche possible de celle de la tablette originale, soit entièrement reproduite ici, y compris pour les tablettes déjà éditées (cinq d entre elles ont été publiées par Neugebauer et Sachs 324, et une, Ni 18*, est un inédit d Istanbul). Tout d abord, je m appuierai sur un exemple (CBS 11318) pour 324 Neugebauer & Sachs 1984, p. 246-251. 190

proposer une interprétation de ces exercices, puis je donnerai le texte des autres tablettes (translittération, traduction), ainsi que dans une troisième colonne des éléments d interprétation. CBS 11318 [copie : Neugebauer & Sachs 1984, p. 251] 1! 5 1! 5 25 traduction 5 5 25 1 kuš 3 ib 2 -si 8 ------------------- a-ša 3 -bi en-nam ------------------- a-ša 3 -bi 1/3 gin 2 15 še =========== 1 kuš 3 le côté (du carré). Quelle est sa surface? Sa surface est 1/3 gin 2 15 še Interprétation La première case de l énoncé placé dans le coin inférieur droit donne le côté d un carré : 1 kuš 3. L ordre de grandeur est celui de la longueur d une brique (voir le tableau 28 donné dans le 6.5.3 «Ordres de grandeurs»). Dans la deuxième case, on lit la question posée : quelle est sa surface? Consultons la table métrologique des longueurs, que, rappelons-le, le scribe connaissait par cœur (voir texte composite, Tome 2, p. 9). On lit : 1 kuš 3 5 La longueur 1 kuš 3 correspond au nombre abstrait 5 (dans la suite, je représenterai cette étape de consultation des tables par la notation : 1 kuš 3 5). Le calcul placé dans le coin supérieur gauche est une multiplication de 5 par 5 (la dizaine qui figure sur la copie de Neugebauer et Sachs est probablement une erreur du scribe ; une collation de la tablette serait nécessaire pour vérifier ce point). 5 5 = 25 Cette multiplication, effectuée sur les nombres abstraits, donne le résultat 25. Consultons à présent la table métrologique des surfaces. Les dimensions sont de l ordre de grandeur de celles d une brique, dont la surface de base varie de quelques še à une fraction de gin 2. On doit consulter cette zone de la table des surfaces (en fait, la séquence des fractions de gin 2 est écrite au début de la table des poids, mais, comme cela a été remarqué à propos des ordres de grandeurs, elle est également utilisée pour les surfaces ; voir texte composite, Tome 2, p. 7) : Et, un peu plus haut : 1/3 gin 2 20 15 še 5 191

Donc, au nombre abstrait 25 et pour l ordre de grandeur d une brique, correspond la surface: 1/3 gin 2 15 še. C est précisément cette réponse qui est donnée dans la dernière case du texte. Pour résumer, le tableau suivant donne les étapes du calcul : A. énoncé B. question C. procédure Le carré a pour côté 1 kuš 3 Quelle est la surface? 1. conversion de la longueur en nombre abstrait : 1 kuš 3 5 (table métrologique des longueurs ; ordre de grandeur : une brique) 2. calcul : 5 5 = 25 (table de multiplication par 5) 3. conversion du nombre abstrait en surface : 20 1/3 gin 2 (table métrologique des surfaces ; ordre de grandeur : une brique) 5 15 še Donc 25 1/3 gin 2 15 še D. réponse La surface du carré est 1/3 gin 2 15 še Les cinq autres tablettes de Nippur suivent la même méthode : - les nombres écrits dans le coin supérieur gauche de la tablette sont ceux qui correspondent aux mesures de longueur et de surface contenues dans le texte du coin inférieur droit, dans la correspondance donnée par les tables métrologiques ; - les opérations qui relèvent du calcul numérique sur les nombres abstraits sont situées dans une zone de la tablette (en haut à gauche) ; ce qui relève des grandeurs métrologiques est situé dans une autre zone, nettement séparée, et même diamétralement opposée (en bas à droite) : la multiplication opère sur les nombres abstraits, jamais sur les mesures de longueur. Ces exercices interviennent au début du cursus de niveau supérieur, alors que les apprentis scribes viennent de passer probablement plusieurs années à apprendre les tables métrologiques et numériques qui constituent l essentiel de leurs connaissances mathématiques. C est ce stock de connaissances qui est mobilisé dans les exercices de calcul de surface. 192

Dans tout ce qui suit, les flèches représentent une «lecture» de table, ou plus probablement une correspondance faite de mémoire (au même titre que celle qui associe pour nous 25 au produit 5 5). UM 29-15-192 [copie : Neugebauer & Sachs 1984, p. 251] [2]0 20 6.40 traduction 20 20 = 6.40 interprétation 2 šu-si ib 2 -si 8 --------------------- a-ša 3 -bi en-nam --------------------- a-ša 3 -bi igi- 3-gal 2 še-kam ============== 2 šu-si le côté (du carré). Quelle est sa surface? Sa surface est 1/3 še 2 šu-si 20 20 20 = 6.40 6.40 1/3 še 2.10 2.10 4.26!.40 Ni 18* 1/3 kuš 3 3 šu-si ib 2 -si 8 --------------------- a-ša 3 -bi [en-nam] --------------------- a-ša 3 -bi 13 še igi-4! gal 2 še-kam ============== traduction 2.10 2.10 = 4.41.40 1/3 kuš 3 3 šu-si le côté (du carré). Quelle est sa surface? Sa surface est 13 še 1/4! še. interprétation 1/3 kuš 3 šu-si 2.10 calcul correct : 2.10 2.10 = 4.41.40 4.40 14 še 1.40 1/12 še calcul du scribe : 2.10 2.10 = 4.26!.40 4.20 13 še 6.40 1/3 še Remarque : outre l erreur de conversion de la surface (1/4 še au lieu de 1/3 še) le scribe a fait une erreur de calcul dans la multiplication, et l erreur est répercutée sur la surface trouvée. Ce dernier détail montre que cet exercice n est pas une restitution de séquence apprise par cœur, mais un calcul réel exécuté de façon autonome. 193

2N-T 472 = UM 55-21-076 [édition : Neugebauer & Sachs 1984, p. 246 ; copie : Robson 2000, p. 25] [5.20 traduction 5.20 28.26.40] 1 kuš 3 2 šu-si-ta-am 3 ---------------------- ib2-si 8 ---------------------- a-ša 3 -bi en-nam ---------------------- a-ša 3 -bi ---------------------- 1/3 gin 2 25 2/3! še 1 kuš 2 šu-si de chaque côté (du carré). Quelle est sa surface? Sa surface est 1/3 gin 2 25 1/3 še interprétation 1 kuš 5 2 šu-si 20 5.20 5.20 = 28.26.40 20 1/3 gin 2 8.20 25 še 6.40 1/3 še (le scribe a écrit 2/3 au lieu de 1/3) Remarque : seule la partie inférieure est préservée. 2 N-T 116 = IM 57846 [ translittération : Neugebauer & Sachs 1984, p. 246 ; pas de copie (mise en forme reconstituée)] 5? 10 traduction interprétation 2/3 kuš 3 9 šu-si-ta-am 3 ib 2 -si 8 a-ša 3 -bi en-nam a-ša 3 -[bi] igi-4! -[gal 2 ] 5? [ ] 2/3 kuš 3 9 šu-si de chaque côté (du carré). Quelle est sa surface? Sa surface est 1/3 [gin 2 10 še] 2/3 kuš 3 9 šu-si 4.50 4.50 4.50 = 23.21.40 20 1/3 gin 2 3.20 10 še 1.40 négligeable 2N-T 30 = IM 57828 [photo : Steele 1951, p. 25; translittération: Neugebauer & Sachs 1984, p. 246-248] 194

1.45 1.45 <3.3.45> traduction interprétation 1/3 kuš 3 1/2 šu-si-ta-am 3 ib 2 -si 8 --------------------- a-ša 3 -bi en-nam --------------------- a-ša 3 -bi --------------------- 9 še igi-5 3 še-kam ============== 1/3 kuš 3 1/2 šu-si de chaque côté (du carré). Quelle est sa surface? Sa surface est* 9 še 1/5 3! še 1/3 kuš 3 1/2 šu-si 1.45 1.45 1.45 = 3.3.45 3 9 še 3.20 1/6 še 25 1/48 še *la photo de Steele permet de restituer cette ligne (a-ša 3 -bi) qui est manquante dans Neugebauer & Sachs 1984 et de confirmer la fin du texte (še-kam est incertain dans leur édition). J ajouterai quelques remarques sur des aspects numériques et grammaticaux qui montrent que ces six textes ne sont pas uniformes et standardisés comme le sont les tables de niveau élémentaire. Ils ont pour objectif l apprentissage d une méthode, et non d une liste de résultats à apprendre par cœur. Propriétés numériques Tout comme dans les calculs de carrés du 7.1.3, les nombres abstraits peuvent ne pas être réguliers : CBS 11318 : 5 régulier UM 29-15-192 : 20 régulier Ni 18* : 2.10 = 13 10 2N-T 472 : 5.20 régulier 2 N-T 116 : 4.50 = 29 10 (identique à HS 232) 2N-T 30 : 1.45 = 7 15 Les ordres de grandeurs des données de ces six tablettes appartiennent à la même zone, celle des dimensions d une tablette ou d une brique, c est-à-dire au premier cycle de 60 des nombres abstraits. Ce sont les dimensions les plus accessibles pour un écolier. Note philologique Ces petits textes sont riches en compléments grammaticaux. Deux exemples sont à signaler. ta-am 3 Dans les tablettes 2N-T 472, 2N-T 116, 3N6T 30, les mesures de longueur sont construites avec un distributif et la copule du verbe être. Par exemple, dans 2N-T 472, on lit : 1 kuš 3 2 šu-si-ta-am 3 / ib 2 -si 8 mot à mot : C est 1 kuš 3 2 šu-si chacun les côtés (du carré). kam Dans les tablettes UM 29-15-192, Ni 18, 2N-T 30, la mesure de surface est construite avec le suffixe kam ; la fonction courante d ordinal ne convient pas ici. Celle d un génitif suivi du verbe être /-ak+am3/ n est pas très satisfaisante non plus. On en restera à l opinion exprimée dans MMT : 195

«a final kam appears in [2N-T 30], where it seems to be of no particular significance.» [p. 247] Les six tablettes présentées ci-dessus constituent un groupe très homogène dans leur aspect et leur contenu : ce type d exercice semble caractéristique de Nippur. Seules deux tablettes analogues à celles de ce groupe sont attestées dans d autres sites. Leur contenu est le même qu à Nippur (carré numérique et carré métrologique), mais la disposition un peu différente et les ordres de grandeur plus importants. Je les présenterai toutes les deux en détail. NBC 8082 Cette tablette de provenance inconnue ressemble à celles de Nippur : type IV carrée, calcul numérique dans la partie supérieure gauche et surface d un carré dans la partie inférieure droite. Le calcul numérique est lui-même disposé en deux colonnes séparées par un trait vertical, avec un premier produit à gauche : 20 4 = 1.20 ; et un deuxième produit à droite : 1.20 1.20 = 1.46.40 suivi d un 16. L ordre de grandeur de la surface est supérieur à celui des exercices de Nippur (surface d une maison). [translittération : Neugebauer & Sachs 1945, p. 10 ; photo : Nemet-Nejat 1995, p. 260] traduction interprétation 20 1.20 20 4 = 1.20 1.20 1.20 = 1.46.40 4 1.20 1.20 1.46.40 16 1 ninda 4 kuš 3 ib 2 -si 8 ---------------------------- a-ša 3 -bi en- nam a-ša 3 -bi 1 2/3 [sar 6 2/3 gin 2 ] 1 ninda 4 kuš 3 le côté (du carré). Quelle est sa surface? Sa surface est 1 2/3 [sar 6 2/3 gin 2 ] 1 ninda 4 kuš 3 1.20 1.20 1.20 = 1.46.40 1.40 1 2/3 sar 6.40 6 2/3 gin 2 Pour expliquer la présence de la multiplication placée à gauche du trait vertical, ainsi que celle du 16 qui lui est probablement liée, on peut imaginer un problème d agrandissement, en amont de celui qui est écrit sur la tablette, et qu on pourrait ainsi formuler : Un carré a pour côté 4 kuš (4 kuš 20); quelle est la surface d un carré de côté 4 fois plus grand? Deux méthodes de résolution sont possibles. - La première consiste à multiplier le côté du petit carré par 4 (20 4=1.20), puis à calculer la surface du carré agrandi obtenu (1.20 1.20 = 1.46.40). Ce sont ces calculs qu on voit sur la tablette de part et d autre du trait vertical. - La deuxième consiste à calculer la surface du petit carré (20 20 = 6.40), puis à multiplier le résultat par 16 (6.40 16=1.46.40). De ce calcul, la seule trace sur la tablette est la présence du 16. Le 16 indiquerait donc la règle d agrandissement des surfaces : si on multiplie le côté par 4, on multiplie la surface par 16. 196

NCBT 1913 De contenu comparable aux précédentes, cette tablette lenticulaire a une disposition différente : le calcul numérique et l exercice métrologique se suivent en une seule colonne. L énoncé est omis : la mesure du côté n est pas écrite (mais on peut facilement la restituer, c est 58 ninda 4 kuš 3 ). L ordre de grandeur de la surface donnée en réponse est nettement supérieur à celui des exercices de Nippur : ce sont des dimensions de relevés cadastraux. NCBT 1913 [Neugebauer & Sachs 1945, p. 10 ; Nemet-Nejat 1995, p. 260] 58.20 58.20 56.42.46.40 a-ša 3 -bi en-nam a-ša 3 -bi 1 (bur 3 ) 2 (eše) 4 (iku) gan 2 2 2/3 sar 6 2/3 gin 2 traduction 58.20 58.20 56.42.46.40 Quelle est sa surface? Sa surface est 1 (bur 3 ) 2 (eše) 4 (iku) gan 2 2 2/3 sar 6 2/3 gin 2 interprétation 58.20 58.20 = 56.42.46.40 (ordre de grandeur donné oralement?) 50 1 (bur 3 ) 2 (eše) 6.40 4 (iku) gan 2 2.40 2 2/3 sar 6.40 6 2/3 gin 2 Conclusion Cette série d exercices est remarquable du fait de la présence d une disposition spatiale qui structure le texte. Cette disposition révèle quelques principes fondamentaux du calcul des surfaces : il n y a pas de nombre abstrait ni de calcul dans la partie métrologique ; il n y a pas d unités de mesure dans la partie calculatoire. Cette séparation des phases numérique et métrologique du calcul des surfaces renvoie à celle qui existe dans les tables métrologiques : les mesures à gauche, les nombres abstraits à droite. Dans ces exercices d initiation au calcul des surfaces, la mise en page reflète un effort pédagogique d explication des étapes du calcul et de la nécessité de ne pas confondre ses objets : les multiplications opèrent sur des nombres abstraits, les mesures de longueur ne se prêtent pas au calcul, mais permettent une représentation du calcul. Il y a donc deux sortes de «multiplication», l une figurative et l autre calculatoire, opérant sur des nombres de nature différente (nombres concrets et nombres abstraits), et les tables métrologiques permettent le passage de l une à l autre. On peut résumer ces principes par le schéma suivant : 197

multiplication métrologique multiplication numérique 1/3 gin 2 15 še 1 kuš 3 5 5 = 25 1 kuš 3 Il est important de noter que le principe de séparation des nombres abstraits et des données concrètes est inculqué avec une certaine rigidité dans la séries des 6 exercices d initiation au calcul des surfaces ci-dessus, mais que, dans la suite du cursus, il peut être plus souplement mis en oeuvre. On constatera notamment dans les autres exemples rencontrés dans ce chapitre que la donnée des mesures de longueur avec unités est fréquemment omise, aussi bien dans les énoncés de problèmes que dans les figures. 7.4.2 Surfaces de quadrilatères Deux autres tablettes d exercices contiennent des calculs de surface, mais se distinguent de celles qui viennent d être présentées sur plusieurs points : - elles ne portent pas la trace des intentions pédagogiques soulignées ci-dessus ; - le vocabulaire et la mise en forme rappellent les textes cadastraux de la pratique ; - plusieurs exercices s enchaînent sur la même tablette ; - les longueurs sont données directement en nombres abstraits ; - la forme des surfaces est variée (quadrilatère quelconque, rectangle). Pour ces différentes raisons, ces exercices sont probablement l oeuvre d étudiants déjà relativement expérimentés et connaissant différents aspects du calcul des surfaces. UM 29-15-481 Il s agit ici d une tablette de type IV carrée, dont la face contient trois calculs de surface de rectangle et dont le revers contient des calculs numériques. Une transcription a été publiée par Neugebauer et Sachs (MCT p. 36), sans autre élément d interprétation que l identification de ce texte comme une série de calculs d aire. J ai fait la translittération et la traduction qui suivent, ainsi que la copie (voir planche 38) d après la photo numérique d E. Robson avec sa généreuse autorisation ; ma lecture est sensiblement 198

différente de celle de MCT p. 36 ; quelques signes sur la tranche droite ne sont pas visibles : cette tablette nécessite une collation. UM 29-15-481* [d après photo E. Robson] face #1 42.30 uš x 40.3[6 sag] 1/3 sar 8 2/3? gin 2 16 še 1/2 x ---------------------------------- #2 51 uš 1.20 ninda? x 42.55 sag xx 1/2 sar 6 1/3 gin 2 26 1/2! še [ ] ----------------------------------- #3 37 uš [ ] 36 [x sag] 1/3 sar [ ] revers 325 1 10 27 30 sag x x ---------------------------------------- 15 51 57 20 20 1? 55 2 48 46 40 1 24 23 20 traduction 42.30 la longueur 40.36 la largeur 1/3 sar 8 2/3? gin 2 16 1/2 še [la surface] ------------------------------------------ 51 la longueur? 42.55 la largeur 1/2 sar 6 1/3 gin 2 26 1/4 še [la surface] -------------------------------------------- 37 la longueur 36 +x la largeur 1/3 sar + x [la surface] interprétation 42.30 40.36 = 28.45.30 20 1/3 sar 8.40 8.2/3 gin 2 5.20 16 še 10 1/2 še -------------------------------- 51 42.55 = 36.28.45 30 1/2 sar 6.20 6 1/3 gin 2 8.40 26 še 5 1/4 še -------------------------------- 37 36 = 22.12 20 1/3 sar?? 2.48.46.40 30 = 1.24.23.20 Note : La translittération de Neugabauer et Sachs est la suivante (je ne reproduis pas la mise en page) : face #1 40 2 30 uš SI(?) / 40 30 / 12 SAR 9(?) erim (?) 15,42 #2 50 uš 40(?) / 42 55 SI(?) 1,20 / 1/2 SAR 6 1/3 26 1/2 #3 30 7 / 306 revers 15 50 1 50 7 20 24 10 / 54 2 40 8 45 / 1 24 4 23 20 Le détail de la reconstitution des signes effacés ou cassés et du calcul ci-dessus n est pas absolument sûr, mais le sens général est clair. Les trois problèmes de la face sont des calculs de surface de rectangle simples, construits sur le même modèle : donnée de la longueur en nombre abstrait, donnée de la largeur en nombre abstrait, surface avec les unités précisées. Les ordres de grandeur sont ceux de la cour d une école (voir 6.5.3). Les dimensions du rectangle peuvent ainsi être restituées : #1 42.30 1/2 ninda 2 1/2 kuš 3 40.36 1/2 ninda 2 kuš 3 3 1/2 šu-si (+1/10 šu-si) #2 51 1/2 ninda 4 kuš 3 6 šu-si 42.55 1/2 ninda 2 kuš 3 2 1/2 šu-si 325 La transcription repose sur des regroupements de chiffres arbitraires, probablement faux. La translittération conforme de J. Friberg serait peut-être ici indiquée, mais elle masquerait les rares éléments interprétables du texte (par exemple, le fait que le dernier nombre est la moitié du précédent). 199

En revanche, je n ai pas réussi à interpréter les calculs du revers (mise à part une relation numérique), pourtant assez lisibles. UM 29-13-173 Il s agit ici de surfaces approchées de quadrilatères par la «formule des arpenteurs» 326. UM 29-13-173* [Robson 2000, p. 30 ; je propose une autre lecture de la fin des deux premières lignes] face 1. 43.40 uš UR d DA-x-x* 43.40 la longueur du côté de chez UR-DA-x-x (?) 2. 42.50 uš e-sir 2 -ra (?) [ ]* 42.50 la longueur du côté de la rue (?) 3. 36.30 sag-1-kam [ ] 36.30 la première largeur 4. 35 sag-2-kam- ma 35 la deuxième largeur 5. aša 5 -bi 25 1/3 sar [ ] -------------------------- sa surface 25 1/3 sar [ ] 6. 1.11 uš-1-[kam] -------------------------- 1.11 la première longueur 7. 1.8.30 uš-2- kam -------------------------- 1.8.30 la deuxième longueur 8. 4? 9 [...] sag - 1 -[kam] -------------------------- 4? 9 la première largeur 9. 4? 2 [sag-2-kam] [ ] 4? 2 la deuxième largeur revers [ ] 24? [...] 1 32? [...] 1 31 55 [...] 23 [...] 34 53 [...] 1 30 [...] Notes : La transcription de la fin des deux premières lignes est incertaine. La transcription de E. Robson est la suivante : 1. 43 40 uš UR AN DA EL 2. 42 50 uš e-bu-ra [ ] Il semble que la fin de la première ligne soit un nom propre, et que ce côté du champ soit désigné par le nom du propriétaire du champ mitoyen. La fin de la deuxième ligne est probablement aussi un élément de description de l emplacement du champ en sumérien. On peut lire e-sir 2 -ra (rue + locatif) ou bien e-sir 2 -dagal (grand-rue) ou bien e-gid 2 -da = allongé (communication personnelle de B. Lafont). Plusieurs petits problèmes de surface se succèdent dans cette tablette ; le premier est entièrement lisible (lignes 1-5), le deuxième partiellement (lignes 6-9). Sur le revers, on ne distingue que des signes numériques trop fragmentaires pour être interprétés ; il peut s agir des calculs associés aux textes de la face, de façon analogue aux calculs de surface de carrés examinés au paragraphe 326 Robson 2000, p. 30. 200

précédent. Mais la partie inférieure de la face ayant disparu, il est impossible de l affirmer avec certitude. Le calcul du premier problème a été reconstitué par E. Robson (2000 p. 31). Je reproduis ici cette interprétation, dans une mise en forme personnelle destinée à mettre en évidence les étapes du calcul qui font référence à des pratiques «hors texte» : positionnement des nombres pour l addition, utilisation des tables métrologiques. I Il s agit d un champ ayant la forme d un quadrilatère ; celui-ci a deux «longueurs» (les côtés opposés les plus longs), et deux largeurs (les côtés opposés les plus courts). Aucune indication n est donnée sur les angles, notion absente de la géométrie mésopotamienne. La surface est calculée de façon approchée par une méthode appelée «formule des arpenteurs» dans les publications modernes. Elle consiste à calculer la moyenne des deux longueurs, puis la moyenne des deux largeurs, et la surface approchée est le produit de ces deux moyennes. Bien que les ordres de grandeur ne soient pas donnés, l addition des longueurs entre elles (et des largeurs entre elles) peut se faire sans risque d erreur de positionnement, car les côtés opposés ont des valeurs proches, donc de même ordre de grandeur ; c est une condition nécessaire à l utilisation de la formule des arpenteurs (appliquée à des figures très déformées par rapport au rectangle, elle donne des résultats aberrants) 327. Placer les nombres les uns sous les autres, comme ils le seraient sur un instrument de calcul, permet le repérage des positions relatives des chiffres sexagésimaux. moyenne des longueurs : 1 ère longueur 43.40 2 ème longueur 42.50 somme 1.26.30 moyenne : 1/2 de 1.26.30 = 30 1.26.30 = 43.15 moyenne des largeurs : 1 ère largeur 36.30 2 ème largeur 35 somme 1.11.30 moyenne : 1/2 de 1.11.30 = 30 1.11.30 = 35.45 327 Les arpenteurs devaient certainement connaître les limites de l utilisation de leur méthode. Et de fait, on constate qu elle est toujours appliquée dans des conditions correctes, du moins dans les cadastres que nous connaissons. Sauf dans un cas qui a été relevé par J. Høyrup : un cadastre néo-sumérien de Nippur, 6 N-T 777 (Høyrup 1995), où certaines parcelles présentent des angles très aigus et l erreur peut atteindre 50% ; J. Høyrup soupçonne l arpenteur d avoir sciemment abusé de son autorité d expert. 201

produit des moyennes : 43.15 35.45 = 25.46.11.15 surface : Il y a plusieurs réponses possibles, car on ne connaît pas les ordres de grandeur ; le scribe a pu avoir des indications orales supplémentaires. 25 25 sar 40 2/3 sar 6 6 gin 2 10 1/6 gin 2 La réponse de la tablette n est pas tout à fait exacte. On peut reconstituer les données initiales : Longueurs : 43.40 43 ½ ninda 2 kùš et 42.50 42 ½ ninda 4 kùš Largeurs : 36.30 ½ ninda 1 kùš 9 šu-si et 35 ½ ninda 1 kùš On constate que ces mesures donnent au champ une forme en «lanière», comme on en trouve dans les cadastres néo-sumériens 328. Ce problème présente les caractères d un texte cadastral, plus nettement encore que le précédent. D abord, la description du champ fait référence à des réalités, telles que des noms propres. Dans les textes scolaires, les côtés opposés d un quadrilatère sont désignés par des expressions plus désincarnées telles que «premier, deuxième», ou bien «supérieur, inférieur». Ensuite, comme dans les cadastres, il est fait usage de la «formule des arpenteurs». Cette méthode est très largement répandue dans les pratiques d arpentage, mais elle n est pas absente des textes mathématiques 329. En dernier lieu, la reconstitution des mesures du champ à partir de la surface trouvée (environ 43 ninda, soit 260 m pour les longueurs ; environ 1/2 ninda 1 kuš, soit 3,5 m pour les largeurs) donne une forme de champ très allongée typique des relevés cadastraux néosumériens 330. Ce problème a donc un lien fort avec une situation réelle, ce qui est inhabituel dans un texte scolaire. Cependant, il s agit incontestablement d un texte scolaire. L aspect de la tablette est un argument en faveur de cette hypothèse : c est un type IV carré caractéristique. Mais surtout, les mesures du champ sont données directement en nombres abstraits, alors que les unités de longueur sont absentes. Par ailleurs, on ne trouve pas dans ce texte des éléments caractéristiques des cadastres d époque néo-sumérienne : mention du nom de l arpenteur et de la date ; ordre de grandeur des surfaces nettement plus important 331. UM 29-13-173 et UM 29-15-481, au delà de leurs différences dans la forme du champ et la méthode de calcul, ont des traits communs importants : type IV carrée à coins arrondis, de taille 328 Robson 2000, p. 31. 329 Voir par exemple IM 52301 (Tell Harmal), YBC 4675 (provenance inconnue, peut-être Larsa), YBC 7290 (provenance inconnue), YBC 11126 (provenance inconnue). 330 Liverani 1990. Pour une analyse détaillée des procédures de calcul dans les cadastres sumériens, de leur lien avec les pratiques d arpentage et de l origine de la formule des arpenteurs, voir Quillien 2003. 331 Ces remarques m ont été faites par J. Quillien. 202

comparable (voir planche 38); sur la face deux ou trois problèmes et sur le revers des calculs numériques, non identifiés mais de même allure ; les données des dimensions linéaires en nombres abstraits, la surface trouvée accompagnée des unités de mesure. Dans une logique pédagogique, il est naturel de considérer ce type d exercice comme faisant suite aux exercices de calculs de carrés du paragraphe précédent. 7.4.3 Figures Deux tablettes sont les seuls témoignages à Nippur d un enseignement de rudiments de géométrie. Il est difficile à partir d éléments aussi maigres de fonder des hypothèses sur le contenu et la place de la géométrie dans le cursus de Nippur. UM 29-15-709 [Robson 2000, p. 29-30] Sur cette tablette de type IV carrée, on trouve le même exercice des deux côtés. Un triangle vaguement isocèle tracé à main levée est accompagné des dimensions en nombres abstraits : base 54, côté 57.30, et surface 25.52.30. Le revers précise en plus la demi-base (27). La formule utilisée est assez grossière : surface = demi-base côté. 27 57.30 = 25.52.30 N 4942 [Robson 2000, p. 29] Sur une tablette de type IV carréé, une figure de demi-cercle et quelques nombres sans rapport évident avec la figure ne permettent pas une interprétation de la tablette. 7.5 Tableaux de calculs Unique représentante de son genre à Nippur, une tablette présente une série de calculs dans un tableau, avec tracé de traits de colonne. E. Robson 332 a rapproché cette tablette d une série de tablettes du même genre, de provenance inconnue, publiées par Neugebauer et Sachs (MCT p. 17). Pour comprendre le sens de ces tableaux de nombres, je les comparerai avec ceux qu on trouve dans une autre tablette, YBC 7356, elle aussi de provenance inconnue, publiée par K. Nemet-Nejat 333. Le même type de données y est disposé dans des rectangles et fait apparaître le rôle clé joué par une suite de rectangles de surface constante. L ensemble de cette documentation soulève la question de la représentation de la multiplication par des rectangles. 332 Ibid, p. 28. 333 Nemet-Nejat 1995, p. 256. 203

N 3914 N 3914 est une série de nombres disposés en tableau à 4 colonnes et 10 lignes. C est encore un type IV carré à coins arrondis. La tablette a été publiée et décrite par E. Robson 334 (voir copie planche 39). N 3914 [Robson 2000, p. 28] 1 2 3 4 5 [6] [7] [8] [9] [10] 7 3.30 2.20 1.45 1.24 1.10 1 52.30 [4]6.40 [42] 3.25.1.40 1.10 35 [23].20 17.30 14.40 11.40 10 8.45 7.[46.40] [7] 1.10 1.40 1.10 1.10 1.10 1.10 <1.10> <1.10> <1.10> <1.10> <1.10> Pour chaque ligne : le nombre de la colonne II est obtenu en divisant 7 par le nombre de la colonne I ; la colonne III est obtenue en multipliant les nombres de la colonne II par 10 ; la colonne constante IV est obtenue en multipliant les nombres de la colonne I par ceux de la colonne III. L en-tête de la colonne III est la somme de tous les nombres de cette colonne. En langage moderne : col. I col. II col. III col. IV somme des termes col. III n 7/n 7/n 10 1.10 (= n 7/n 10) 3.25.1.40 Cette tablette est analogue, dans sa présentation en tableau et ses relations numériques, à cinq tablettes carrées (de type IV probablement, provenance inconnue) qui ont été publiées dans MCT (p. 17) ; voir copie de l une d entre elles (YBC 7358) planche 39. Je donne leur contenu de façon synthétique pour les colonnes I à IV, ainsi que la valeur de la somme des termes de la colonne III qui figure sur chaque tablette (n est un entier variant de 1 à 5 ou 6 selon les tablettes) : YBC 11127 col. I col. II col. III col. IV somme des termes col. III n 1/n 1/n 2 2 (= n 1/n 2) 4.54 YBC 7354 col. I col. II col. III col. IV somme des termes col. III n 1/n 1/n 30 30 (= n 1/n 30) 1.13.30 YBC 7355 334 Ibid, p. 28. 204

col. I col. II col. III col. IV somme des termes col. III n 1/n 1/n 40 40 (= n 1/n 40) 1.38 YBC 7358 col. I col. II col. III col. IV somme des termes col. III n 1/n 1/n 45 45 (= n 1/n 45) 1.42.45 YBC 7234 col. I col. II col. III col. IV somme des termes col. III n 1/n 1/n 1.10 1.10 (= n 1/n 1.10) 2.51.30 Quel est le sens de ces colonnes de nombres? Le texte suivant permet peut-être de répondre. YBC 7356* L importance de la disposition dans les remarques qui suivent m a incitée à faire une copie d après la photo de K. Nemet-Nejat (voir planche 39). La transcription de K. Nemet-Nejat représente assez bien cette disposition, et je la reproduis ci-dessous : 48 24 16 12 1.40 1 1 2 30 3 20 4 15 48 48 48 48 On retrouve exactement les mêmes séries de nombres que dans les tablettes précédentes, mais dans une présentation plus figurative : 1/n 48 somme des termes de la ligne supérieure : 1.40 n 1/n 48 Ces remarques suggèrent l interprétation suivante : le dessin de cette tablette représente à la fois les cases d un tableau et des rectangles en tant que figures géométriques ; les quatre rectangles ont la même surface, 48 ; ils ont une largeur respectivement de 1, 2, 3, 4 ; les longueurs, inscrites au dessus des rectangles sont donc respectivement 48, 1/2 48=24, 1/3 48=16, 1/4 48=12. La somme représente la longueur totale des 4 rectangles. Ces rectangles sont des schémas réalisés sans aucun souci de l échelle, selon l usage dans les textes géométriques ou cadastraux cunéiformes. Dans cette interprétation, chacune des 5 tablettes de MCT donnerait les dimensions d une série de rectangles de même surface. Pour chaque rectangle, les nombres inscrits dans les colonnes auraient la signification suivante : 205

colonne I : largeur l colonne II : inverse de la largeur 1/l colonne III : longueur L = S / l = S 1/l colonne IV : surface S (constante) somme : longueur totale des 5 ou 6 rectangles. Remarquons que les valeurs prises par la largeur n sont les nombres entiers de 1 à 6 (1 à 5 dans le cas de YBC 7358), et s arrêtent avant 7, qui n est pas inversible. YBC 7234 [MCT p. 17] Reprenons la dernière des 5 tablettes. 1 2 3 4 5 6 1 30 20 15 12 10 1.10 35 23.20 17.30 14 11.40 2.51.[30] 1.10 1.10 1.10 1.10 1.10 1.10 YBC 7234 s arrête à n = 6 et la colonne II donne la liste des inverses de la colonne I. Pour le reste, elle est identique à N 3914 de Nippur. La deuxième colonne de la tablette de Nippur, qui donne la liste des 7/n au lieu de la liste des 1/n, permet de contourner la difficulté de la division par 7 en évitant d avoir recours à l inverse de 7. Il est difficile de reconstituer le raisonnement qui permet au scribe de d exécuter la division de 1.10 par 7. Aujourd hui, on pourrait l exprimer ainsi : 1.10 7 = (10 7) 7 = 10 (7 7) = 10 1 = 10 Grâce à cette colonne II, la largeur n peut prendre toutes les valeurs entières de 1 à 10. Pour n = 11, il y a de nouveau un blocage ; mais la tablette s arrête à n = 10. Conclusion Il est probable que les nombres du tableau de N 3914 représentent les dimensions (en nombres abstraits) de 10 rectangles de même surface 1.10 ainsi disposées : la largeur dans la colonne I ; la longueur dans la colonne III ; la surface constante dans la colonne IV ; la longueur totale des 10 rectangles en en-tête. La colonne II des 7/n est un intermédiaire de calcul permettant d effectuer toutes les divisions de 1.10 par 1, 2,, 7,, 10, utilisant le fait que 1.10 est un multiple de 7 (1.10 = 7 10). Cette tablette, comme les autres de la même série, traite un problème arithmétique représenté par des rectangles : trouver les côtés de rectangles de surface constante. La question de la division par un nombre non régulier en système sexagésimal est abordée dans l exemplaire de Nippur. La tablette N 3914 est seule en son genre à Nippur, mais les autres exemplaires très proches publiés dans MCT montrent que ce genre n est pas exceptionnel et peut faire partie du cursus scolaire standard. On peut également avancer que, comme les exercices d inversion, ils sont des extraits d une série complète existant sur des grandes tablettes de référence qui ne sont pas parvenues jusqu à nous. 206

7.6 Calcul des volumes Dans ce paragraphe, je proposerai une reconstitution du calcul des volumes dans la continuité de celle qui a été proposée ci-dessus pour les surfaces. Sans être en contradiction avec les interprétations qui ont été développées antérieurement, elle est plus systématiquement appuyée sur l utilisation des tables métrologiques. Le lien étroit entre les calculs métrologiques et l utilisation des tables a souvent été souligné 335. Il s agit ici d examiner plus en détail les pratiques de conversion. Ses principales étapes ont été reconstituées par J. Friberg. «Metrological tables were almost indispensable as tools for the multiplication of measures. In order to compute the volume of a rectangular wall or excavation, the fastest way was a) to use table Ln [ici table L] for two of the sides and table Lc [ici table Lh] for the remaining side, b) to perform two multiplications of sexagesimal numbers, and c) to return to standard volume measure by use of table A [ici table S]. Table A [table S] can be used for area and volume measures alike, since an OB volume unit is an area unit <multiplied by 1 cubit!>» [Friberg 1987-90 p. 543] Mais il n y a pas de table des volumes dans les séries métrologiques élémentaires. Comment donc sont effectuées les conversions nécessaires au calcul des volumes? Il sera tenté de répondre à la question de façon à garder sa cohérence au corpus des textes mathématiques de Nippur. On s appuiera donc sur la méthode mise en évidence pour le calcul des surfaces. La première question qui se pose est la suivante : dans quelles unités sont exprimés les volumes? Plusieurs définitions des unités de volume coexistent dans les tablettes mathématiques : - la définition standard des systèmes métrologiques (l unité de volume est une unité de surface dotée d une épaisseur de 1 kuš 3 ) ; - une définition liée à la représentation des éléments de volume par des briques (l unité de volume est la brique, et les volumes sont exprimés en nombre de briques) ; - une définition pratique liée à des quantités de matière, en particulier de céréales (capacités) 336. Le choix de l une ou l autre de ces définitions dépend du contexte. Par exemple, les problèmes de volume sans référence à une situation concrète, mais aussi d autres catégories comme les problèmes d excavation, utilisent généralement la première définition ; les problèmes de construction utilisent plutôt (mais pas exclusivement) la deuxième définition ; les capacités sont parfois utilisées dans les textes mathématiques, mais leur contexte naturel est celui des textes administratifs et comptables. Le problème de la conversion des volumes d un système à l autre est traité dans certains textes, qui de ce fait apportent des indications sur le calcul des volumes eux-mêmes. Cette documentation a été utilisée chez les auteurs qui ont proposé des 335 Voir notamment Friberg 1987-90, p. 543 et Robson 1999, p. 112. 336 J. Friberg a identifié une autre unité de volume ayant une forme de cylindre, attestée notamment dans des textes scolaires d Ur (UET 6-2 247, UET 6-2 269, UET 6-2 250) ; voir Friberg 2000, p. 133-135 ; Friberg 2001. 207

reconstitutions des méthodes de calcul des volumes 337. C est également sur cette base que s appuient les analyses qui suivent. 7.6.1 Volume standard Le volume standard est celui qui résulte directement de la définition des unités de volumes dans le système métrologique normalisé issu des réformes de la fin du troisième millénaire. C est celui qui est pratiqué dans toute la Mésopotamie paléo-babylonienne, et enseigné au niveau élémentaire dans les écoles par le biais des listes et des tables métrologiques : unité de volume = unité de surface d épaisseur 1 kuš 3 L unité de volume ainsi définie porte le même nom que l unité de surface qui en constitue la base. Il est d usage de les distinguer dans les traductions par des indices : 1 sar v = 1 sar s d épaisseur 1 kuš 3 1 gan 2v = 1 gan 2s d épaisseur 1 kuš 3 La reconstitution détaillée du calcul des volumes proposée ici prend en compte cette définition et les éléments qui ont été dégagés plus haut lors de l étude des tables métrologiques et de leur usage dans le cas des surfaces : - Un volume est une surface affectée d une épaisseur (ou hauteur, ou profondeur) ; il commence donc par le calcul de la surface de base. Cette surface de base porte dans certains textes un nom spécifique : gagar = terre, sol (exemple : YBC 4666). - Un volume est «orienté» : il a une base horizontale et une dimension verticale de nature différente des dimensions horizontales. - Il existe une table métrologique spécifique pour les hauteurs et profondeurs comme en témoignent les colophons des tablettes UET 7-115 et BM 92698 (voir 6.1.5) ; cette table établit la correspondance 1 kuš 1, différente de celle des tables de longueurs courantes. Quatre exemplaires de tables métrologiques de hauteurs (ici dénommées tables Lh) sont attestés à Nippur. - Il n existe pas de table spécifique pour les volumes ; les tables existantes sont donc aptes à être utilisées pour les volumes. - Les exercices de calcul de surfaces de carrés ont montré que le calcul numérique, c est-à-dire les multiplications et divisions, est effectué sur les nombres abstraits, de façon séparée de la partie métrologique. Avant tout calcul, les mesures de longueur sont donc converties en nombres abstraits par utilisation des tables. On pourrait s attendre à ce qu il existe à Nippur, pour les volumes, des exercices d application directe du même type que ceux qu on trouve pour les surfaces de carrés ; de tels exercices ont peut-être existé, mais on n en a pas trouvé à ce jour. 337 Voir notamment : Neugebauer et Sachs 1945, p. 94-96; Powell 1982 annexe II, p. 116-123 ; Friberg 1995 ; Friberg 2001 ; Robson 1996 ; Robson 1999 chapitres 4 et 7. 208

Cependant, on connaît un exemplaire répondant à cette attente. Mais il date d une autre époque et provient d un autre site : c est une petite tablette lenticulaire néo-sumérienne de Girsu, AOT 304, qui sera analysée plus loin. Elle présente un calcul de volume direct en nombre de briques, séparant la partie métrologique (sur la face) et la partie numérique (sur le revers). Dans tout ce qui suit, on veillera particulièrement à toujours préciser quels types de nombres sont concernés par les différentes opérations : une «formule» n est valide que si elle précise la nature des nombres sur lesquels elle porte. En particulier, la multiplication, en tant qu opération arithmétique, n est définie que pour les nombres «abstraits», c est-à-dire ceux qui sont écrits en notation sexagésimale positionnelle sans indicateur d ordre de grandeur. On distinguera donc le volume standard (volumes exprimés avec des unités), et le volume abstrait (nombre sexagésimal). Il en est de même pour les autres mesures : les longueurs d une part (celles qui se trouvent dans le colonne de gauche des tables métrologiques), les longueurs abstraites d autres part (celles qui se trouvent dans la colonne de droite des tables), etc. En tenant compte de tous ces aspects, on peut reconstituer les gestes successifs effectués dans le calcul des volumes en unités métrologiques standard. Je prendrai comme exemple le volume calculé dans le problème 1 de YBC 4666. YBC 4666 col. I, #1 d après copie et translittération de Neugebauer et Sachs [MCT p. 76] Un canal ; sa longueur est 5 uš, sa largeur est 2 kùš, sa profondeur est 1 kùš. La norme est 1/3 gin de volume (creusé par jour), la force de travail des travailleurs journaliers coûte 1 bán de grain. Quelle est l aire, le volume, le nombre d ouvriers et le salaire des ouvriers? L aire est 1/2 gan 2, le volume est 1/2 gan 2. Le nombre d ouvriers est 150, le salaire total est 5 gur de grain (par jour). On ne s intéresse ici qu à la partie du problème concernant le volume du canal : Surface de base du canal (gagar) : longueur 5 uš 5 (lecture de la table L) largeur 2 kuš 3 10 (lecture de la table L) surface 5 10 = 50 50 1/2 gan 2 (lecture de la table S) Volume du canal : Comme dans le cas du calcul des surfaces analysé dans le 7.4.1, les dimensions sont converties en nombres abstraits, puis le volume abstrait est calculé en multipliant la surface et la profondeur : La conversion des profondeurs en nombre abstrait se fait par lecture de la table Lh. profondeur 1 kuš 3 1 volume = surface profondeur 1 50 = 50 La conversion des volumes abstraits en mesures de volume se fait par lecture de la table S. 50 1 (ubu) gan 2 Réponse Le volume est 1/2 gan 2 D une façon générale, cette procédure est une application de la définition des unités de volume. unité de volume = unité de surface d épaisseur 1 kuš 3 En convertissant en nombres abstraits : unité de volume v 209

unité de surface s 1 kuš 3 1 donc v = s 1 v = s Les unités de volumes en nombres abstraits sont égales aux unités de surface en nombres abstraits. La relation entre volume, surface et hauteur lue en nombres abstraits dans les tables correspondantes s exprime : V = S h mesure de volume V (lecture de la table S) mesure de surface S (lecture de la table S) mesure de hauteur h (lecture de la table Lh) L opération de conversion des hauteurs en nombres abstraits au moyen de la table Lh apparaît par exemple dans le passage suivant : BM 85200+VAT 6599 #7 (transcription de J. Høyrup, LWS p. 139) za-e 1 u 2 12 bala gar-ra toi, 1 et 12 les conversions tu poses Il est cependant facile de ne pas utiliser la table Lh et d obtenir les hauteurs par simple division des nombres de la tables L par 5 (ou, ce qui est équivalent, par multiplication par 12). Le calcul se résume alors de la façon suivante : V = S (h 12) mesure de volume V (lecture de la table S) mesure de surface S (lecture de la table S) mesure de hauteur h (lecture de la table L) Il est fréquent que ce facteur 5 (ou 12) soit présent dans les textes plus ou moins explicitement. On trouve des exemples cités par E. Robson dans sa liste de coefficients pour le calcul des volumes, où ce facteur porte un nom (numun ou bala) 338 : BM 85194 (#17 : revers, ligne 8) 12 bala sukud 12, la conversion de la hauteur BM 85200 (#1 : face, ligne 4 etc.) 12 bala bur 3 12, la conversion de la profondeur Là où Neugebauer (MKT I p. 147, 194) et Thureau-Dangin (TMB p. 11, 30) lisent bala, E. Robson lit numun, qui est un signe proche. Le sens n est pas affecté par cette différence, mais la notion de changement, conversion, présente dans le mot bala convient bien ici. Le choix de bala est par ailleurs confirmé par la tablette BM 85200+VAT 6599 citée ci-dessus. 338 Ibid, p. 112 ; voir étude plus détaillée dans le 7.6.3 «Capacité». 210

7.6.2 Nombre de briques Les briques et les empilements de briques jouent un rôle important dans les problèmes de volume. Ce n est pas seulement pour des raisons pratiques, dans le but par exemple de résoudre des problèmes de construction. Plus généralement, la brique (sig 4 ) représente un élément de volume et le tas de briques (sig 4 -anše = amarum) représente un prisme rectangulaire (ou pavé droit), tout comme le champ (a-ša 3 ) désigne plus généralement un rectangle. Neugebauer et Sachs (MCT p. 94) ont mis en évidence l utilisation de la brique comme unité de mesure des volumes. Deux aspects sont à prendre en considération : le système de numération associé à ces comptes de briques (définition du «sar» de briques) ; la dimension des briques (définition du «nalbanum»). Le «sar» de briques Le décompte des briques dans le contexte des problèmes de volume, ainsi que dans certaines comptabilités (voir ci-dessous), est effectué dans un système numérique particulier construit sur l équivalence 1 sar de briques = 12 soixantaines de briques = 720 briques. Thureau-Dangin a établi l équivalence 1 sar de briques = 12 soixantaines de briques à partir de la tablette BM 85194 ligne 11 où il apparaît explicitement le nombre «12 šu-ši» (12 soixantaines) pour désigner 1 «sar» de briques 339. Cette équivalence a été confirmée par Neugebauer et Sachs 340 dans MCT p. 94-96 à partir de la tablette YBC 4607 qui permet d établir : 1 sar 2.24 = 12 soixantaines + 2.24. En fait, dès 1915, Scheil (Scheil 1915a, p. 162) avait identifié cette équivalence à partir d une liste de quantités de briques et de leur somme dans un texte de Drehem néo-sumérien : «Dans le nouveau texte, le sar était de 722 briques (720 en chiffre rond)». Il a ainsi montré que la mesure des volumes par quantités de briques, qu il appelle «cubage», est une pratique ancienne, remontant à l époque d Ur III au moins. Le sar de briques vaut toujours 720, il ne dépend pas du type des briques. Le sar de briques a des multiples et sous-multiples, qui ne sont autres que ceux du sar dans le système des surfaces : 1 gin 2 sig 4 = 12 briques 1 sar sig 4 = 12 soixantaines de briques = 720 briques 1 gan 2 sig 4 = 100 sar sig 4 = 72000 briques On va montrer dans ce qui suit que, loin d être un hasard, cette superposition des unités de surfaces et de nombres de briques est conçue pour permettre d utiliser une seule et unique table, la table métrologique S, non seulement pour convertir les volumes comme on l a vu plus haut, mais également pour convertir les quantités de briques. Le nalbanum Le nombre de briques dans un volume donné dépend des dimensions des briques. Les briques sont standardisées, tout au moins dans les textes mathématiques ; les cinq types les plus courants 339 Thureau-Dangin 1932b, p. 192 n. 1 ; Thureau-Dangin 1937, p. 82-83. 340 Neugebauer et Sachs 1945, p. 94-96. Cette écriture des nombres de briques dans YBC 4607 est exactement la même que celle qui est décrite par Scheil dans le compte néo-sumérien de Drehem. 211

sont répertoriés dans la série de problèmes de la tablette YBC 4607 341. Pour chaque type de briques, un coefficient, le «nalbanum» 342, exprime le nombre de briques par unité de volume (nombre de sar-briques dans 1 sar-volume). En pratique, la multiplication du volume abstrait (V) par le nalbanum permet d utiliser la table des surfaces pour trouver le nombre de briques : B = V nalbanum mesure de volume V (lecture de la table S) nombre de briques B (lecture de la table S) Les 5 types de briques de YBC 4607, donnés dans l ordre où ils apparaissent dans la tablette, ont les nalbanum suivants : # nom format dimensions nalbanum 1 2 3 4 5 sig 4 sig 4 sig 4 -ab 2 sig 4 -al-ur 3 -ra sig 4 -al-ur 3 -ra l = 2/3 L l = 2/3 L l = 1/2 L l = L l = L 1/2 kuš 3 ; 1/3 kuš 3 ; 5 šu-si (25 17 8 cm) 18 šu-si ; 12 šu-si ; 5 šu-si (16 12 8 cm) 2/3 kuš 3 ; 1/3 kuš 3 ; 5 šu-si (34 17 8 cm) 2/3 kuš 3 ; 2/3 kuš 3 ;5 šu-si (34 34 8 cm) 1 kuš 3 ; 1 kuš 3 ; 5 šu-si (50 50 8 cm) Tableau 32 : format des briques dans YBC 4607 7.12 5 5.24 2.42 1.12 Le type de brique le plus fréquent, qu on peut appeler «ordinaire», est le premier (type II de Powell). L exemple suivant permet de vérifier que le calcul des volumes en nombre de briques est identique au calcul des volumes standard, et fait appel à la même table métrologique ; il nécessite seulement une multiplication supplémentaire (par le nalbanum). YBC 4708 Cette tablette appartenant à la catégorie des «séries de problèmes» contient une liste de 60 problèmes de volume exprimé en quantité de briques. 341 Voir Neugebauer et Sachs 1945, p. 93, Powell 1982 annexe II, p. 119, Robson 1999 chapitre 4, Friberg 2001 4. Dans MCT, Neugebauer et Sachs numérotent les types de 1 à 5 dans l ordre où ils apparaissent dans YBC 4607. M. Powell adopte une autre numérotation, par ordre de volume croissant ; cela ne facilite pas les comparaisons, et surtout cela détruit la logique combinatoire de YBC 4607. J. Friberg fait une description exhaustive plus complète que les auteurs précédents, et adopte une nomenclature encore différente de ses prédécesseurs, organisée selon le format des briques. 342 Le terme nalbanum est attesté dans les textes mathématiques paléo-babyloniens ; pour une étude complète du mot et de ses occurrences, voir Robson 1999 chapitre 4, en particulier p. 58-59. 212

YBC 4708 face col. I #1 [sig 4 sig 4 -anše] 5 ninda uš-bi Un tas de briques, 5 ninda sa longueur [1 1/2] ninda sag 1/2 ninda sukud-bi 1 1/2 ninda sa largeur, 1/2 ninda sa hauteur. sig 4 -bi en-nam Combien de briques? sig 4 -bi 3 (iku) gan 2 24 sar Le nombre de briques est 3 (iku) gan 2 24 sar Procédure surface de base du tas : 5 ninda 5 1 1/2 ninda 1.30 5 1.30 = 7.30 volume abstrait du tas : 1/2 ninda 6 (lecture de la table Lh) 6 7.30 = 45 nombre de briques sig 4 (de nalbanum 7.12) 45 7.12 = 5.24 5 3 gan 2 (lecture de la table S) 24 24 sar le nombre de briques est égal à 3 gan 2 24 sar AOT 304 Cette petite tablette lenticulaire provenant de Girsu est une des très rares tablettes scolaires d époque néo-sumérienne connues. C est un exercice de conversion des volumes en nombres de briques. Sa disposition rappelle de façon frappante celle des exercices scolaires paléobabyloniens de Nippur consacrés au calcul des surfaces : sur la face, on trouve un petit problème de volume, sur le revers les données numériques correspondantes. Une analyse complète de cette tablette et des erreurs qu on y trouve a été développée par E. Robson (1999 p. 66), dont je reprends ci-dessous l essentiel des conclusions. Pour ma part, j insisterai sur les procédures de calcul en explicitant l usage des tables. Figure 14 : AOT 304 [Thureau-Dangin, RTC 413] 213

AOT 304 face 6 ninda 4 1/3 kuš 3 gid 2 1/2 ninda sukud 2 kuš 3 5 šu-si dagal --------------------------------- sahar-bi 3 1/2 sar 2 1/2 gin 2 --------------------------------- sig 4 -bi 25 1/2 sar revers 6.31.50 3 10.50 6 ninda 4 1/3 kuš 3 la longueur 1/2 ninda la hauteur 2 kuš 3 5 šu-si la largeur son volume est 3 1/2 sar 2 1/2 gin 2 son nombre de briques 25 1/2 sar Le calcul se reconstitue immédiatement par application des «formules» données ci-dessus. Les briques sont ici de format standard (nalbanum égal à 7.12) ; les erreurs du scribe, dans les deux premières lignes, sont indiquées en caractères gras. calcul correct 6 ninda 4 1/3 kuš 3 6.21.40 (lecture de la table L) 1/2 ninda 6 (lecture de la table Lh) 2 kuš 3 5 šu-si 10.50 (lecture de la table L) volume : 6.21.40 10.50 = 1.8.56.31.40 1.8.56.31.40 6 = 6.53.28.20 6.53.28.20 6 5/6 sar 3 1/3 gin 2 nombre de briques : 6.53.28.20 7.12 = 49.37 (nalbanum égal à 7.12) 49.37 49 1/2 sar 7 gin 2 calcul du scribe 6 ninda 4 1/3 kuš 3 6.31.50 1/2 ninda 3 2 kuš 3 5 šu-si 10.50 volume : 6.31.50 10.50 = 1.10.43.3.20 1.10.43.3.20 3 = 3.32.9.10 3.32.9.10 3 1/2 sar 2 gin 2 nombre de briques : 3.32.9.10 7.12 = 25.27.30 25.27.30 25 1/2 sar environ Comme E. Robson l a remarqué, les trois nombres écrits sur le revers sont les nombres abstraits correspondant à la longueur (6.31.50), la hauteur (3), la largeur (10.50) ; les deux premiers sont faux, le scribe a fait deux erreurs de conversion ; le troisième est exact. Je soulignerai pour ma part que, à partir de ces données erronées, tous les autres calculs sont exacts (le calcul de surface et les conversions sont justes avec des données fausses). Comme on l a déjà constaté dans le cas des calculs de surfaces, le calcul est réellement effectué par le scribe, il ne s agit pas d un modèle appris par cœur et reproduit de mémoire. On note quelques différences entre ce texte et ceux de Nippur pour ce qui est du vocabulaire : gid 2 (=long) au lieu de uš pour la longueur ; dagal au lieu de sag pour la largeur. Mais le système métrologique est identique. Cette tablette témoigne de l existence, dès la fin du troisième millénaire, de méthodes de calcul enseignées dans les écoles paléo-babyloniennes, et en particulier d un développement avancé du calcul sexagésimal positionnel. La taille importante des nombres manipulés dans ce texte est particulièrement révélatrice de cette maîtrise du calcul. Certaines méthodes pédagogiques, en particulier la séparation nette sur la tablette de la partie calcul (ici sur le revers) et de la partie métrologique (ici sur la face), semblent également fixées dès cette époque. 214

7.6.3 Capacité Les capacités possédant leur propre table cohérente avec l ensemble du système, elles se calculent directement : C = L l h mesure de longueur L (lecture de la table L) mesure de largeur l (lecture de la table L) mesure de hauteur h (lecture de la table L) Les conversions se réalisent pour les trois dimensions dans la table L. Ensuite, il suffit de se reporter à la table des capacités. Cela revient à multiplier les volumes abstraits par 5. C = V 5 mesure de capacité C (lecture de la table C) mesure de volume V (lecture de la table S) Les deux exemples suivants montrent l utilisation des capacités dans les problèmes de volume : dans YBC 4607 #1, il faut trouver le volume et la capacité d une brique connaissant ses dimensions ; dans BM 95194, il faut trouver la capacité d un bateau connaissant son volume en nombre de briques. YBC 4607 Cette tablette d origine inconnue, provenant probablement du Sud de la Mésopotamie, est une série de 10 problèmes relatifs au volume et à la capacité des briques des 5 modèles courants. YBC 4607 #1 1 sig 4 ½ kuš 3 uš-bi 2 1/3 kuš 3 sag-bi 5 šu-si sukud-bi 3 gagar sahar-bi u 3 NI.ŠAM 2 SAHAR-bi en-nam 4 12 še šu-ri-a še gagar-bi 2 še u 3 <igi>-12-gal 2 še sahar-bi 5 3 1/3 sila 3 8 1/3 gin 2 i 3 -šam 2 sahar-bi Une brique. 1/2 kuš 3 sa longueur, 1/3 kuš 3 sa largeur, 5 šu-si son épaisseur. Sa surface, son volume et sa capacité combien? 12 1/2 še sa surface, 2 1/12 še son volume, 3 1/3 sila 3 8 1/3 gin 2 sa capacité. terminologie : gagar = sol, terre = surface de base ; la brique est représentée comme posée horizontalement sur sa plus grande face. Le sens de NI.ŠAM 2 SAHAR n est pas clair. D après MCT (p. 97), il s agit probablement d un équivalent en volume d huile (NI se lirait i 3 = huile ; šam 2 =valeur ; sahar=volume). La capacité est en général une quantité de matière ; habituellement, il s agit de grain še (c est le cas dans les tables métrologiques), mais ici il 215

s agirait d huile pour une raison inconnue. 343 procédure La surface et le volume de la brique ont été calculés ci-dessus : surface : 4.10 12 ½ še (lecture de la table S) volume : 41.40 2 1/12 še (lecture de la table S) Capacité : C = 41.40 5 C = 3.28.20 3.28.20 3 1/3 sila 3 8 1/3 gin 2 (lecture de la table C) BM 85194 BM 85194 est une tablette provenant probablement du Nord, peut-être de Sippar, contenant une série de 34 problèmes relatifs à des volumes, des surfaces, des normes de travail. BM 85194 revers col. I - translittération d après MCT p. 96 7 8 9 10 11 12 šum-ma giš-ma 2 1 sar sig 4 i-na-aš-ši-i še-a-am en-nam i-na-aš-ši za-e 41.40 sahar-ha 2 1 sig 4 -ha 2 41.40 a-na 5 gan 2 i-ši 3.28.20 sahar-ha 2 3 1/2 sila 3 8 1/3 gin 2 še sig 4 1 sig 4 3.28.20 a-na 12 šu-si i-ši 41.40 ta-mar 8 (gur) 1.40 še-gur ta-mar ne-pe-šum Si un bateau transporte 1 sar de briques, quelle capacité transporte-t-il? toi : 41.40 est le volume de 1 brique. 41.40 et 5 multiplie : 3.28.20 le volume. 3 1/2 sila 3 8 1/3 gin 2 est la capacité de 1 brique 3.28.20 et 12 soixantaines multiplie, 41.40 tu vois. 8 (gur) 1.40 še de capacité tu vois. C est la procédure. Il s agit de la même brique que dans le problème précédent. On doit calculer la capacité de 1 sar de briques (la capacité du bateau). La procédure consiste à calculer la capacité d une brique, puis de multiplier par le nombre de briques. Le volume d une brique standard (sig 4 ) est connu du scribe : c est 41.40. Pour calculer la capacité, il multiplie ce volume (abstrait) par 5 : le résultat permet de trouver les mesures de capacité par lecture de la table C, comme indiqué ci-dessus. Ces deux tablettes montrent que les capacités sont utilisées dans les problèmes mathématiques, bien que de façon moins courante que les volumes. Le problème qui semble intéresser les scribes est celui de la conversion des volumes en capacités. Le facteur 5 de conversion est explicitement présent dans ces textes. Ce facteur met clairement en relation le calcul des capacités avec l usage des tables métrologiques. 343 Voir commentaire philologique dans MCT, p. 97 ; je remercie E. Robson pour les éclaircissements sur cette expression qu elle m a aimablement apportés. 216

7.6.4 Poids Le calcul des poids est, comme les précédents, appuyé sur un système de coefficients permettant l utilisation de la table P. La tablette YBC 7284, d origine inconnue, en est une illustration, explicite par sa mise en forme tout à fait analogue à celle des exercices de Nippur traitant des surfaces de carrés : tablette de type IV, ici lenticulaire, où le calcul numérique et le problème métrologique sont physiquement séparés (l un est sur la face, l autre est sur le revers). Comme dans les exercices de Nippur, le texte est réparti en 3 cases : la donnée dans la première case, la question dans la deuxième et la réponse dans la troisième. Figure 15 : YBC 7284 [MCT p. 97] YBC 7284 - MCT p. 97 ; Friberg 2001p. 118 face 41.40 8.20 igi-gub-ba-bi 12 41.40 8.20 son coefficient 12 1.3.40 (?) revers 1 sig 4 ki-la 2 -bi en -nam ki-la 2 -bi 8 1/3 ma-na 1 brique son poids combien? son poids 8 1/3 ma-na Il s agit encore de la brique standard sig 4 de volume 41.40. Son coefficient est 12 (cela représente une masse volumique de 12 60² ma-na par sar v, soit une densité de 1,2 344 ). Le calcul écrit sur la face est : 41.40 12 = 8.20 344 Une densité de 1,2 peut paraître faible pour des briques ; peut-être s agit-il de briques d argile mélangée avec de la paille. 217

Le volume est transformé en poids abstrait par multiplication par le coefficient. Le résultat, 8.20, permet de trouver le poids en unités standard par lecture de la table P. 8.20 8 1/3 ma-na Cet exercice est une application directe de la relation entre nombres abstraits : Poids = Volume igi-gub Cette relation numérique est complétée par l utilisation de la table métrologique des poids. Il s agit exactement du même schéma, tant dans la méthode que dans la mise en forme, que les exercices de calcul de surface (exemple Ist Ni 18) et de volume (AOT 304). 7.6.5 Formulaire du calcul métrologique Avant d aborder les textes de Nippur relatifs aux problèmes de volume, il est peut-être utile de faire une récapitulation des résultats précédents. Ceux-ci se résument à un ensemble réduit de règles simples, constitué de relations numériques entre des nombres abstraits (représentées ici par des égalités) et de correspondances entre grandeurs métrologiques et nombres abstraits (représentées ici par des flèches qui renvoient à la lecture 345 des tables métrologiques). Ce «formulaire» constitue une grille d interprétation des calculs de surfaces et volumes qui sera utilisée dans les analyses de textes qui suivent. On notera par ailleurs que le lecteur actuel des textes cunéiformes a tout intérêt à utiliser luimême ce système cohérent de règles de calcul simples et rapides, qui lui épargnent de longues et fastidieuses conversions. La cohérence et l efficacité de ces règles rapprochent le système normalisé mésopotamien de certains aspects du système métrique moderne et le distinguent des métrologies européennes anciennes. surface S = L l mesure de surface S (lecture de la table S) mesure de longueur L (lecture de la table L) mesure de largeur l (lecture de la table L) 345 Le mot «lecture» est entendu au sens large : il s agit de la consultation des tables métrologiques, qu elles soient sous une forme écrite ou mémorisée. 218

volume V = S h mesure de volume V (lecture de la table S) mesure de surface S (lecture de la table S) mesure de hauteur h (lecture de la table Lh) V = S (h 12) mesure de volume V (lecture de la table S) mesure de surface S (lecture de la table S) mesure de hauteur h (lecture de la table L) nombre de briques B = V nalbanum mesure de volume V (lecture de la table S) nombre de briques B (lecture de la table S) capacité C = S h mesure de surface S (lecture de la table S) mesure de hauteur h (lecture de la table L) C = V 5 mesure de capacité C (lecture de la table C) mesure de volume V (lecture de la table S) 7.7 Le problème de l arête du cube Les exemples présentés ci-dessus ont porté sur le problème direct du calcul des volumes de prismes rectangulaires connaissant leurs dimensions. Mais les textes de Nippur (ainsi que quelques autres, provenant de Tell Harmal et d Ur notamment) posent aussi le problème 219

réciproque : le calcul des dimensions d un prisme rectangulaire connaissant son volume et des relations entre ses dimensions et, en particulier, la recherche de l arête d un cube 346. Dans notre système numérique décimal couplé avec le système métrique, la recherche du côté d un cube connaissant son volume se traduit immédiatement par un calcul de racine cubique. Dans le système suméro-akkadien, où l unité de volume n a pas la forme d un cube mais d un prisme droit, le même problème doit subir des transformations pour se ramener à un calcul de racine cubique. Dans les exemples qui suivent, je montrerai que le principe consiste à procéder par comparaison avec un cube de référence d arête 1 ninda, en utilisant un rapport de proportionnalité entre les arêtes des deux cubes (l équivalent d un rapport d agrandissement / réduction). Les problèmes traitant du calcul de cette «racine cubique géométrique» sont assez rares dans les mathématiques cunéiformes. Pourtant, les problèmes de Nippur concernent plus ou moins directement cette question. CBS 11681 est particulièrement explicite sur la référence à la proportionnalité. Mais la tablette est malheureusement cassée, et le texte n est pas entièrement compréhensible. Il existe en revanche une tablette de Tell Harmal, IM 54478, dont E. Robson a remarqué la grande proximité avec CBS 11681. Cette tablette donne une solution complète au problème de l arête du cube. Interprété comme un problème d agrandissement (ou réduction) du cube, ce texte fournit des éléments d explication du calcul dans CBS 11681, et peut-être également dans CBS 12648. Nous l examinerons dans un premier temps. IM 54478 Ce problème a été publié et commenté par Baqir (1951), et la solution a été analysée par E. Robson (1999, p. 113). Je propose ici une interprétation personnelle qui met en évidence une méthode de comparaison entre le cube dont on cherche l arête et un cube de référence. Par ailleurs, j apporterai une attention particulière au calcul des volumes et à la nature des conversions opérées. IM 54478 - Translittération Baqir 1951, p. 30 face 1 2 3 4 5 6 7 8 revers 1 2 3 4 5 6 šum-ma ki-a-am i-ša-al-ka um-ma šu-u 2 -ma ma-la uš-ta-am-hi-ru u 3 -ša-pi 2 -il-ma mu-ša-ar u 3 zu-uz 4 mu-ša-ri e-pe 2 -ri a-su-uh ki-ia uš-tam-hi-ir ki ma-s i 2 u 3 -ša-pi 2 -il at-ta i-na e-pe 2 -ši-ka [1.30 u 3 ] 12 lu-pu-ut-ma i-gi 12 pu-t u 2 -ur-ma [5 ta-mar 5 a-na 1].30 e-pe 2 -ri-ka i-ši-ma 7.30 ta-mar 7.30 mi-nam ib 2 -si 8 30 ib 2 -si 8 30 a-na 1 i-ši-ma 30 ta-mar 30 i-na 1 ša-ni-im i-ši-ma 30 ta-mar 30 i-na 12 i-ši-ma 6 ta-mar 30 mi-it-ha-ar-ta-ka 6 šu-pu-ul-ka Si on te demande : d autant que j ai construit le carré j ai creusé. 1 1/2 sar de volume j ai extrait. De combien j ai construit le carré? De combien j ai creusé? Toi, dans ta procédure, 1.30 et 12 inscrire, puis l inverse de 12 dénouer : 5 tu vois. 5 par 1.30 ton volume multiplie : 7.30 tu vois. De 7.30 quelle est la racine cubique? 30 la racine. 30 par 1 multiplie : 30 tu vois. 30 par l autre 1 multiplie : 30 tu vois. 30 par 12 multiplie : 6 tu vois. 30 est ton côté, 6 est ta profondeur. 346 Parmi ces problèmes du «troisième degré», on peut citer, outre les problèmes de Nippur : UET 5-859 [Vaiman 1961 p. 254-258] ; BM 85200+VAT 6599 [Høyrup 2001, p. 149-154] ; IM 54478, analysée ci-dessous [Baqir 1951]. 220

Notes Le texte est entièrement rédigé en akkadien, y compris le nom des unités de mesure (mušarum = sar) et l inverse (i-gi = igi). Le seul idéogramme sumérien est ib 2 -si 8 (ici dans le sens de racine cubique). Ligne 1 de la face, le premier signe est šum (dans l édition de Baqir, il est noté šu). Le texte peut s interpréter ainsi : Données Les côtés du carré de base et la profondeur d une excavation sont égaux. Le volume est 1 1/2 sar (lignes 2-3). Question Quel est le côté du carré de base? Quelle est la hauteur? (lignes 4-5) Procédure Conversion du volume donné 347 : 1 1/2 sar 1.30 (lecture de la table S) Dans la ligne 7 de la face, le volume donné (1.30) et un volume de référence (12) sont juxtaposés (lapâtum). Ensuite, le calcul est celui du rapport de proportionnalité entre ces deux volumes. En effet, le rapport des deux volumes est (face, ligne 7 et revers, lignes 1 et 2) : 1.30 12 = 1.30 5 = 7.30 Le rapport de proportionnalité des longueurs est la racine cubique de 7.30, c est-à-dire 30 (revers, ligne 2). Les dimensions du cube cherchées sont proportionnelles à celles du cube de référence dont les dimensions sont les suivantes, une fois converties en nombres abstraits au moyen des tables de longueur et de hauteur: longueur l, largeur 1, hauteur 12 ; cette interprétation permet d expliquer les calculs du revers, lignes 2, 3, 4 et la présence des deux multiplications par 1, ainsi que le terme «l autre» (šanim) : longueur : 30 1 = 30 largeur : 30 1 = 30 profondeur : 30 12 = 6 30 est le côté du carré de base, 6 est la profondeur. Le résultat est donné en nombres abstraits, mais on peut le convertir en mesures de longueur : Côté du carré : 30 1/2 ninda (lecture de la table L) Profondeur : 6 1/2 ninda (lecture de la table Lh) Remarques La formulation des données comme de la question distinguent les côtés de la base et la hauteur ; il n est pas question d un cube et de ses arêtes, mais d un prisme dont la hauteur est égale aux 347 Pour E. Robson, le volume exprimé en sar v est converti en ninda 3 (Robson p. 113) ; dans la présente interprétation, il est converti en nombre abstrait. 221

côtés de la base. Les dimensions verticales et horizontales ne sont pas traitées de façon homogène. Le cube de référence d arête 1 ninda est présent dans ce texte à plusieurs endroits : on trouve les dimensions en nombres abstraits (1, 1 et 12) de ce cube lignes 2, 3 et 4 du revers, et le volume abstrait (12) apparaît ligne 7 de la face. Résumé Le but du problème est de trouver les dimensions d un cube de volume 1 ½ sar (volume abstrait 1.30). Ce cube est comparé au cube de référence d arête 1 ninda (volume abstrait 12). Le rapport des volumes est 1.30 12 = 7.30, le rapport des arêtes est la racine cubique de 7.30, soit 30 ; les dimensions du cube cherchées s en déduisent par proportionnalité. On trouvera exactement le même procédé dans les problèmes de Nippur. 7.8 Les trois problèmes de Nippur Seules trois tablettes, sur plus de 800 tablettes et fragments mathématiques de Nippur, contiennent des textes de problèmes ; toutes trois concernent le calcul des volumes. CBS 12648 est le premier texte de problème mathématique cunéiforme à avoir été porté à la connaissance du public (Hilprecht 1906) ; CBS 11681 et CBS 19761 ont été publiées très récemment (Robson 2000) ; Ni 5175 est inédite, et a été reconnue comme appartenant à la même tablette que CBS 19761 en juin 2003 par E. Robson, lors de notre collaboration pour réunifier les parties du corpus de Nippur conservées à Philadelphie et à Istanbul. 7.8.1 CBS 11681 Seule la partie inférieure est conservée, il est donc difficile de reconstituer la forme initiale de la tablette ; on peut néanmoins constater qu elle est écrite sur une seule colonne, et qu elle est donc probablement de type S. Il subsiste la fin d un problème sur la face, et le début d un autre sur le revers. Ces restes sont suffisants pour reconnaître deux problèmes de volume réciproques, le premier est un calcul de volume direct, le deuxième un calcul d arête de cube. CBS 11681 Translittération [Robson 2000 p. 33] face #1 1 [ ] [X] [ ] 2 [ ] am 3 ú [X] [ ] 3 [1/2] [ninda] u 2 -[ša]-ap-pi-il 5 [e]-pe-ru- u 2 [ki ma-s i] 4 i-na e-pe-ši-ka ½ ninda a-na ½ ninda tu-[uš-ta-ka-al-ma] 5 6 7 8 15 i-il-li-a-am 15 a-na 5 igi-gub-ba tu-ub-ba-al-ma 1.15 i-il 5 -li-a-am 1 gin 2 igi-4-gal 2 GAN 2 [ ] [1/2 ninda] j ai creusé. Quel est le volume? Dans ta procédure : 1/2 ninda et 1/2 ninda tu croises : 15 il vient. 15 à 5 le coefficient tu portes : 1.15 il vient. 1 1/4 gin 2 est la surface 222

9 10 11 revers #2 1 2 3 4 5 6 7 8 1.15 a-na ½ ninda šu-up-li-im tu-ub-ba-al-ma 7.30 i-il 5 -[li]-a-am 7 ½ gin 2 [sahar] šum-ma 7 ½ gin 2 sahar ma-la u 2 -[ ] u 2 -ša-ap-pi-il 5 ki ma-s i 2 u 2 -[ ] ki ma-s i u 2 -ša-ap-pi-il 5 i-na e-pe-ši-ka 1 uš 1 sag 12 gam ša la ti-du-šu-nu-ti ta-la-ap-pa-at-ma ša la [ ] tu-uš-ta-ka-al-[ma 12 i-il 5 -li]-a- am [ ] 1.15 à 1/2 ninda de profondeur tu portes : 7.30 il vient. 7 1/2 gin 2 est le volume. Si le volume atteint 7 1/2 gin 2 Autant que j ai creusé, j ai [donné au côté] Combien ai-je creusé? Dans ta procédure, 1 la longueur, 1 la largeur, 12 la profondeur, celles que tu ne connais pas, tu inscris ; puis celles que [tu ne connais pas] tu croises : [12 il vient ] [ ] tranche inférieure [ ]-ma [1/2 ninda uš 1/2 ninda]sag 1/2 ninda gam i-il 5 -li-a-am 1/2 ninda la longueur, 1/2 ninda la largeur, 1/2 ninda la profondeur il vient. Quelques remarques sur les données et la réponse de ces deux problèmes peuvent être faites avant d examiner la procédure en détail. Dans le premier problème, il s agit d un prisme droit dont la base est un carré de côté 1/2 ninda (ligne 4 où on voit les mesures des côtés et ligne 8 où on voit que ces deux côtés forment la surface de base) ; la hauteur est également 1/2 ninda (elle n est pas lisible au début du texte, mais elle apparaît ligne 9). Ligne 11, on lit la réponse : le volume est 7 1/2 gin 2. Malheureusement, le volume d un cube d arête 1/2 ninda est 1 1/2 sar (voir tablette précédente), et pas 7 1/2 gin 2. Le volume trouvé est 12 fois trop petit par rapport à celui qu on attend pour le volume d un cube d arête 1/2 ninda. S agit-il d une erreur du scribe? L erreur serait grossière, et n est pas habituelle pour ce type de problème qui ne relève pas d un niveau élémentaire. En fait, rien ne dit que le volume trouvé comme solution est celui du cube décrit dans l énoncé au début de la partie lisible. Il manque les premières lignes du texte, et il n est pas exclu que la question porte sur un autre volume, découlant de celui du cube et 12 fois plus petit : la ligne 6, qui peut être interprétée comme une division par 12, témoigne en faveur de cette hypothèse 348. La réduction supposée de la surface de la base peut être représentée par la Figure 16. 348 En fait, comme 12 est l inverse de 5, il peut s agir d une division par 12 tout autant que d une multiplication par 5 ; mais les données des mesures de longueur initiales et la réponse montrent que le volume trouvé est 12 fois plus petit que celui qui est attendu. 223

Figure 16 : interprétation de CBS 11681 Dans le deuxième problème, la même question se pose, mais la fin de la ligne 1 qui aurait pu apporter des informations est détériorée. Un problème mathématique plus profond est peut-être à l origine de la rédaction de ce texte : le volume 7 1/2 gin 2 n est pas «cubable», c est-à-dire qu aucun cube exprimable en mesure exacte du système métrologique n a un volume de 7 1/2 gin 2. En effet, 7.30 12 = 37.30 n a pas de racine cubique exacte en nombre sexagésimal abstrait (ni dans aucune base). Données Interprétation du problème 1 de la face Une surface de base carrée de 1/2 ninda de côté ; une profondeur de 1/2 ninda et des informations supplémentaires éventuelles perdues. Question Quel est le volume? (on ne sait pas exactement de quoi) Procédure Conversion des mesures de longueur : longueur 1/2 ninda 30 (lecture de la table L) largeur 1/2 ninda 30 (lecture de la table L) Surface de base (ligne 4, qui omet l étape de la conversion des longueurs) : 30 30 = 15 La surface de base est multipliée par le «coefficient» 5 (c est-à-dire divisée par 12) 15 5 = 1.15 On ne sait pas à quoi fait référence ce coefficient, et c est là qu intervient l opération inexpliquée (erreur du scribe ou information perdue exigeant de partager la surface de base en 12). Une discussion au sujet de cette 224

«faute» est développée un peu plus loin. Conversion de la surface en unités de mesure (ligne 8) : 1.15 1 1/4 gin 2 Conversion de la mesure de hauteur : Volume : 1/2 ninda 6 (lecture de la table Lh) volume abstrait (ligne 9, qui omet de préciser l étape de la conversion de la hauteur) 1.15 6 = 7.30 conversion du volume en unités de mesures 7.30 7 1/2 gin 2 Revenons de façon plus détaillée sur l hypothèse d une erreur du scribe 349. Si erreur il y a, elle se situe ligne 6. Outre le fait déjà signalé qu une erreur de méthode lourde est une explication difficilement acceptable dans un texte de niveau non élémentaire, plusieurs autres objections fragilisent cette hypothèse. La ligne 6 comporterait une triple erreur : la scribe aurait appliqué le facteur 5 à la surface ; il l aurait appliqué deux fois (une première fois à la surface, une deuxième fois au volume ligne 9) ; il l aurait appliqué à l envers (en multipliant par 5 au lieu de diviser par 5). Le facteur 5 est correctement appliqué dans le calcul du volume lignes 9 et 10, ce qui prouve que le scribe sait l utiliser. Le terme «igi-gub-ba» a un sens technique précis, il concerne des coefficients répertoriés, mais dans le cas de cette conversion très usuelle, il est inhabituel : le facteur 5 s applique en général dans ce cas de façon muette (voir BM 85194 ligne 9 ci-dessus), ou bien il porte un autre nom (bala ou numun, voir la liste des facteurs de conversion dans Robson 1999 p. 112 et le 7.6.1 «Volume standard» ci-dessus). Au revers, on a le problème inverse qui reprend exactement les mêmes données et solution. La même erreur se serait produite dans les deux sens : ce ne serait pas une erreur de calcul, mais un erreur plus grave de raisonnement. Il serait préférable de trouver une explication qui ne soit pas fondée sur l hypothèse d une erreur du scribe. Pourquoi la multiplication par 5 à la ligne 6 ne serait-elle pas justifiée? Le début du texte manque, donc on ne connaît pas le contexte de ce calcul de volume. Mais si ce contexte justifiait que la surface de base soit divisée par 12, tout le texte serait correct. On connaît d autres situations où la surface de base est multipliée par un facteur «igi-gub-ba». C est le cas par exemple du calcul du volume des murs d une maison : la surface de base des murs est 1/3 de la surface de la maison ; le facteur multiplicatif «igi-gub-ba» est 20 350. Interprétation du problème 2 du revers Données Un volume de 7 1/2 gin 2 (fin de la phrase perdue) ; le côté de la base est égal à la profondeur. Question Quelle est la profondeur? Procédure 349 Robson 2000, p. 36. 350 Robson 1996, p. 188. 225

Comme dans IM 54478, il faut «inscrire» (lapâtum) les dimensions du volume de référence (1, 1, 12) et les «croiser» (šutākulum, produit géométrique) ; cette opération se traduit par le calcul du volume de référence : 1 1 12 = 12 Le texte semble dire que, toujours comme dans IM 54478, il faut faire de même avec «celles que tu ne connais pas», c est-à-dire inscrire, puis «croiser» les dimensions inconnues (produit géométrique). Le résultat est le volume connu. Dans l hypothèse proposée ci-dessus où le volume du cube est 12 fois plus grand que les 7 1/2 gin 2 ( 7.30) qu on lit au début de l énoncé, le volume connu est 7.30 12 à savoir 1.30 ; E. Robson a restitué 12 dans la partie cassée de la ligne 7 du revers, mais il est aussi possible que ce soit 1.30, ou même les deux volumes juxtaposés. Si on poursuit le parallèle avec IM 54478, la fin pourrait être le calcul du rapport du volume donné (1.30) au volume de référence (12), puis le calcul de la racine cubique de ce rapport, puis le calcul des dimensions inconnues par proportionnalité : 1.30 12 = 1.30 5 = 7.30 La racine cubique de 7.30 est 30, donc le rapport de proportionnalité des côtés est 30 : longueur : 30 1 = 30 largeur : 30 1 = 30 profondeur : 30 12 = 6 Conversion en mesures de longueur : côté du carré : 30 1/2 ninda (lecture de la table L) profondeur : 6 1/2 ninda (lecture de la table Lh) Bien que plusieurs points restent obscurs dans ce texte lacunaire, la comparaison des dimensions du cube inconnu au cube de référence semble en être la clé. Que ce soit une méthode de fausse position (E. Robson 2000 p. 36), ou une méthode de proportionnalité (point de vue choisi cidessus), le fond n est pas très différent, mais les calculs et la terminologie ne sont pas exactement les mêmes dans le détail. 7.8.2 CBS 12648 Cette tablette occupe une place particulière dans l histoire des mathématiques cunéiformes : «The first mathematical cuneiform texts ever to be published were the present fragment of a theme text, CBM 12648, and CBM 10201, an interesting algorithm text. They are both from early Old Babylonian Nippur, and they appeared in Hilprecht (1906). It is ironic that precisely these two texts were particularly difficult to understand, so that correct interpretations of them were not achieved until long after the publication in MKT of the main corpus of Babylonian mathematical texts.» [Friberg 2001 p. 149] D après Hilprecht [BE 20 p. 62], Neugebauer [MKT I p 234] et Friberg [2001 p. 149], il s agit d un texte précoce, datant du tout début de la période paléo-babylonienne. Mais J. Høyrup 351 émet des réserves quant à cette datation ancienne : sa langue et son écriture recherchées en font un texte «archaïsant plus qu archaïque» dont la structure akkadienne sous-jacente est frappante. Ce texte pourrait être une reconstruction, rédigée dans un sumérien artificiellement savant, d un 351 Høyrup 2000. 226

problème pensé en akkadien et inspiré d une tradition plus tardive dont les racines seraient extérieures à Nippur 352. Il s agit néanmoins d un texte véritablement rédigé en langue sumérienne, et non pas d un texte logographique où les idéogrammes sont juxtaposés sans aucun élément grammatical, comme c est le cas dans certaines catégories de textes mathématiques, en particulier les «séries de problèmes». Les seuls autres textes mathématiques connus rédigés dans un sumérien grammaticalement correct appartiennent au corpus des textes scolaires d Ur 353. Le fragment parvenu jusqu à nous est la partie inférieure gauche d une grande tablette de type M. Deux colonnes sur la face et les traces d une sur le revers sont encore visibles. La tablette contient les restes de 4 problèmes de volumes : sur la première colonne de la face, la fin d un problème et le texte presque complet d un deuxième ; sur la deuxième colonne, les restes d un troisième problème ; sur le revers, le début de quelques lignes d un quatrième problème. CBS 12648 - face : translittération Friberg 2001 p. 149 ; revers : translittération Robson 2000 p. 32 face col. I 1 2 3 4 [ ] ub-te- gu 7 -[ma] sahar-bi ba-e-il 2 -ma bur 3 -bi ba-zu-zu-un bur 3 -bi 1 1/2 kuš =============== [ ] tu croises, puis [à] son volume tu élèves, puis sa hauteur tu connaîtras. Sa hauteur est 1 1/2 kuš 3. 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2 še igi-12 gal 2 [sahar]* 2/3-bi uš-a-kam sag šu-ri-a sag-ga 2 -kam bur 3 -bi uš-bi sag-bi u 3 bur 3 -bi en-nam uš [sag] u 3 bur 3 -bi ub-te-gu 7 -ma igi-bi e-du 8 -ma sahar-še 3 ba-e-il 2 -ma ib 2 -si 8 15.37.30 e 11 -de 3 ib 2 -si 8 15.37.30 [2.30] 2 še 1/12 [le volume] 2/3 de la longueur : la largeur la moitié de la largeur : la hauteur. Sa longueur, sa largeur, sa hauteur combien? La longueur, la largeur, et la hauteur tu croises, puis son inverse tu dénoues, puis à son volume tu élèves, le côté de 15.37.30 est à extraire. Le côté de 15.37.30 [est 2.30] 352 Pour un développement des idées de J. Høyrup au sujet des origines de «l algèbre» paléo-babylonienne, voir Høyrup 2002 chapitre 10. 353 Friberg 2000, p. 157. 227

face col. II 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 [ ] ub-te-gu 7 -[ma] igi-bi he 2 -[du 8 -ma] sahar-še 3 ba-e-[il 2 -ma] ib 2 -si 8 [7.30] e 11 -[de 3 ] 6!.30 ib 2 -si 8 30 uš [sag-še 3 ] u 3 bur 3 -[bi-še 3] ba-e-il 2 -[ma] uš-bi sag-[bi] u 3 bur 3 -[bi] ba-zu-zu-[un] uš-bi [ ] sag-bi [ ] bur 3 -bi [ ] 1 [ ] tu croises, puis son inverse dénoue, puis au volume élève. Le côté de 7.30 est à extraire. Le côté de 7.30 est 30. La longueur à la largeur et à la hauteur tu élèves, puis sa longueur, sa largeur et sa hauteur tu connaîtras. Sa longueur : [ ] Sa largeur : [ ] Sa hauteur : [ ] revers 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 bur 3 - bi [ ] uš-bi 5 ninda u 3 sag-bi [ ] a-ša 3 -bi [ ] uš u 3 [ ] en-[nam] 5 a-ša 3? 3 [ ] 5? [ ] igi [ ] 3 [ ] 1 [ ] sa hauteur [ ] sa longueur 5 ninda [ ] et sa largeur [ ] sa surface [ ] longueur et [ ] combien? [ ] Notes Face, colonne I, ligne 5 : J. Friberg propose a-ša 3 (surface) dans la translittération, et volume dans la traduction ; il s agit bien d un volume, comme l interprétation du calcul le montre, en particulier la ligne 15 ; pour cette raison, j ai préféré restituer sahar (volume) dans la translittération. Face ligne 18 : pour la traduction de e 11 = extraire, voir Muroi 1989, p. 187. Problème 2 Le problème 2 (face, lignes 5 à 20) est suffisamment préservé pour permettre une reconstitution complète. 228

Données Question - Le volume d un prisme droit = 2 1/12 še; Figure 17 : interprétation de CBS 12648 - relation entre les dimensions des arêtes : sag = 2/3uš ; bur 3 = 1/2sag. calculer les dimensions : longueur uš, largeur sag, hauteur bur 3. Procédure Deux interprétations de ce problème ont été proposées. Celle de Muroi 354 fait appel à des notations algébriques modernes qui permettent de suivre facilement les calculs du scribe, mais ne reconstituent pas sa démarche. Celle de J. Friberg 355 fait appel à une méthode de fausse position (la longueur prend la valeur arbitraire 1, le «faux» volume est calculé, puis son rapport au «vrai» volume). Elle rend compte des calculs présents dans le texte, mais on ne trouve pas les éléments de vocabulaire associés à cette méthode, tels que les termes de «vraie» (gi-na = kînum) longueur et «fausse» (lul = sarrum) longueur qu on s attend à trouver dans ce cas 356. Une autre solution consiste à procéder par analogie avec les tablettes de Nippur étudiées ci-dessus et interpréter ces calculs comme application d un rapport de proportionnalité entre les dimensions de deux solides de même forme, l un connu servant de référence et l autre inconnu. On notera de nouveau que la proportionnalité et la fausse position sont des méthodes très proches, qui ne se distinguent que par des nuances de vocabulaire. Le solide cherché est un prisme rectangulaire dont les dimensions sont les suivantes : uš ; 2/3 uš ; 1/3 uš (uš est la longueur inconnue). 354 Muroi 1989, p. 184. 355 Friberg 2001, p. 149. 356 Voir par exemple Str. 368 dans Thureau-Dangin 1938a, p. 91-92 ; Thureau-Dangin 1938b ; VAT 8391 #3 dans Høyrup 2002, p. 83 et l étude de la terminologie des mathématiques dans Høyrup 2002, p. 36-37. 229

Le prisme rectangulaire de référence prend par exemple les dimensions suivantes : 1 ninda ; 2/3 ninda ; 1/3 ninda volume de référence La longueur, la largeur et la hauteur du solide de référence sont «croisées mutuellement», c està-dire mises en position géométrique de former un prisme rectangulaire. Pour passer au calcul, la relation est convertie en nombres abstraits (lignes 11-13) : longueur 1 ninda 1 largeur 2/3 ninda 40 hauteur 1/3 ninda 4 (lecture de la table Lh) volume : 1 40 4 = 2.40 rapport des volumes Le rapport entre le volume donné (2 še 1/12 41.40) et le volume de référence (2.40) est (lignes 14-15) : 41.40 2.40 = 41.40 22.30 = 15.37.30 rapport des longueurs Le rapport entre les volumes est 15.37.30, donc le rapport de proportionnalité entre les côtés des solides est la racine cubique de 15.37.30 (ib 2 -si 8.a le sens ici de racine cubique), c est-à-dire 2.30 (lignes 16-20). longueur des arêtes La fin est cassée, mais se reconstitue facilement : longueur : 2.30 1 = 2.30 soit : 2.30 1/2 kuš 3 (lecture de la table L) largeur : 2.30 40 = 1.40 soit : 1.40 1/3 kuš 3 (lecture de la table L) profondeur : 2.30 4 = 10 soit : 10 5 šu-si (lecture de la table Lh) Il n est pas étonnant de retrouver les dimensions de la brique ordinaire (voir 7.6.2 «Nombre de briques»). Terminologie Ce texte atteste des aspects représentatifs du style de Nippur dans sa langue et son écriture : - il est rédigé en sumérien, dans une langue recherchée particulièrement riche en éléments grammaticaux ; - la graphie a le style archaïsant et soigné qu on trouve sur les faces des tablettes scolaires élémentaires de type II dans les modèles d écriture de listes lexicales. 230

Mais il présente des tournures akkadiennes, des constructions inhabituelles et des particularités dans la terminologie 357. Tournures akkadiennes : Les constructions hyper grammaticales telles que 2/3-bi uš-a-kam sag (au lieu du plus courant 2/3 uš sag = les 2/3 de la longueur égalent la largeur) sont exceptionnelles dans les formules sumériennes des textes mathématiques. La particule enclitique ma à la fin des phrases, qui structure le texte, appartient à la langue akkadienne et relève, pour employer les termes de J. Høyrup, du «méta-langage» propre aux textes mathématiques 358. Généralement, cette particule annonce le résultat de l opération commandée par le verbe ; ici, le résultat des étapes intermédiaires est omis. La conjonction u 3 (et) appartient également à l akkadien. K. Muroi 359 relève une autre forme qui pourrait être influencée par l akkadien : e-du 8 (face, col. I, ligne 14), où le préfixe verbal est omis. Constructions inhabituelles et particularités dans la terminologie : La chaîne verbale ub-te-gu 7 est une construction inhabituelle dans un texte mathématique (/u/ prospectif + /b-ta/ comitatif? + /e/ pronom 2 ème personne + racine /gu 7 / manger) 360. D après J. Høyrup (2001 p. 23-24), cette construction est calquée sur l akkadien «šutākulum», forme qui semble avoir été confondue dans les textes mathématiques avec «šutakūlum». J ai repris ici le sens technique donné à cette forme par J. Høyrup : elle désigne en général, dans les textes mathématiques, la formation d un rectangle à partir de segments, c est-à-dire une sorte de «multiplication» figurative et non pas numérique. J. Høyrup traduit cette forme par «to make hold each other». J ai choisi plus simplement : croiser. Le verbe gu 7 agit ici sur la longueur, la largeur, la hauteur : il ne s agit pas de la fabrication d un rectangle, comme il est d usage dans les textes mathématiques, mais d un prisme rectangulaire. D habitude, les volumes sont conçus comme le produit d une surface et d une hauteur, et non des trois dimensions. Un traitement symétrique des trois dimensions d un prisme rectangulaire se trouve également dans BM 85200 + VAT 6599, tablette paléo-babylonienne provenant du nord, peut-être de Sippar, un des rares textes connus traitant de problèmes du troisième degré (Høyrup, LWS p. 150). La racine cubique est désignée par ib 2 -si 8, nom réservé à la racine carrée dans les tables numériques. Bien qu il laisse sans réponse des questions importantes (datation, tradition mathématique à laquelle il se rattache), ce texte met en évidence un aspect extrêmement intéressant du calcul des volumes. Les trois dimensions (longueur, largeur, hauteur) sont «croisées» (gu 7 = šutākulum), c est-à-dire mises dans une position où elles forment un prisme rectangulaire. J. Høyrup 361, dans le cadre de son interprétation de la résolution des problèmes de surface, a mis en évidence cette façon de concevoir une certaine forme de multiplication : longueur et largeur sont «croisées» pour former une rectangle. Ici, cette conception est appliquée de façon inhabituelle aux 3 357 La liste des éléments caractéristiques de cette tablette relevés ci-dessous a été établie par J. Høyrup (Høyrup 2000, p. 158). 358 Høyrup 2002, p. 37-39. 359 Muroi 1989, p. 187. 360 On trouve cette construction dans un autre texte mathématique provenant d Ur, UET 5-858 (Høyrup 2002, p. 344 n. 404). L analyse de cette construction par J. Høyrup est un peu différente de celle qui est donnée ici. Pour lui, l infixe /b/ est un élément pronominal. Mais l élément pronominal se place généralement juste avant la racine, alors qu ici il se trouverait avant l infixe de cas. Il me semble donc qu il peut s agir d un comitatif 3 ième personne inanimée (variante phonétique ta- au lieu de da-, voir Thomsen 1984 449). 361 Høyrup 1990 ; 2002. 231

dimensions d un volume. Ensuite, ce produit géométrique est converti en nombres abstraits sur lesquels s effectue le calcul. On trouve parmi la série de 60 problèmes de la tablette YBC 4708, déjà citée ci-dessus ( 7.6.2 «Nombre de briques»), 4 problèmes (#49 à 52) très proches de celui-ci, mais sous la forme brève d une série d énoncés écrits en sumérien avec la réponse. Les données du #49 sont les mêmes que celles de CBS 12648 concernant les dimensions du volume de référence. La méthode de résolution des 4 problèmes, qui n est pas donnée, devait être la même que celle de CBS 12648, et on peut en proposer une reconstitution sur le même modèle ; on se limitera ici au #49. YBC 4708 Translittération MKT I, p. 389 sq. revers, col. II 49 6. 7. 8. 9. 10. sig 4 sig 4 -anše 1 (geš 2 ) 4 2/3 sar 8 gin 2 2/3 uš sag šu-ri-a sag sukud [uš sag] sukud-bi en-nam [1 1/2 ninda uš] 1 ninda sag [1/2] ninda sukud-bi en?-[nam?] Un tas de briques de 1 (geš) 4 2/3 sar 8 gin 2 briques. La largeur est 2/3 de la longueur ; la hauteur est la moitié de la largeur. Sa longueur, sa largeur, sa hauteur combien? Sa longueur 1 1/2 ninda, sa largeur 1 ninda, sa hauteur 1/2 ninda. Procédure du #49 volume de référence longueur 1 largeur 40 profondeur 4 volume V = 1 40 4 = 2.40 volume du tas de briques nombre de briques 1.4.48 V = B nalbanum = 1.4.48 7.12 = 1.4.48 8.20 = 9 rapport des volumes V V = 9 2.40 = 3.22.30 rapport des longueurs racine cubique de 3.22.30 = 1.30 dimensions du tas de briques longueur 1.30 1 = 1.30 1 1/2 ninda largeur 1.30 40 = 1 1 ninda profondeur 1.30 4 = 6 1/2 ninda 7.8.3 Ni 5175* + CBS 19761* Le fragment CBS 19761, conservé au musée de Philadelphie, a été publié par E. Robson (2000 p. 36-39). Le fragment Ni 5175, conservé au musée d Istanbul, n avait pas été publié auparavant. Le 232

joint entre ces deux parties de la tablette a été fait par E. Robson lors de notre collaboration à Paris en mai 2003. La translittération du nouveau fragment est à mettre à son crédit, ainsi qu à celui d A. Cavigneaux qui a fait un premier déchiffrement à Istanbul. Considérées séparément, les deux parties de la tablette apportent peu de choses ; ensemble, elles permettent de reconstituer un problème de volume intéressant. L interprétation de ce problème est due pour l essentiel à E. Robson ; le détail de la présentation des calculs reflète mon propre point de vue. La tablette complète mesure environ 15 cm de longueur, la largeur originale ne peut pas être estimée à partir des fragments existants. C est une tablette de type M, inscrite sur plusieurs colonnes, dont seulement deux sont visibles sur la face. Sur le revers, la première colonne est entièrement conservée et la deuxième colonne est vide, le reste est cassé. Comme l a remarqué E. Robson 362, le texte du revers ne se termine pas par un double trait de fin de texte, donc la tablette est inachevée. La première colonne visible sur la face semble contenir un problème relatif à des carrés (côtés et surface). Le début de la deuxième colonne est de façon plus sûre un problème de surface de carrés, mais il est difficile de dire s il est la suite de celui de la première colonne ; deux opérations identifiables (une soustraction ligne 3 et une extraction de racine carrée ligne 10) indiquent qu il s agit très probablement d un problème du second degré. D après E. Robson (2000 p. 39), il pourrait être proche du problème 8 de BM 13901 concernant deux carrés dont on connaît la somme des surfaces et la somme des côtés. Le problème suivant est complet grâce au recollement des fragments de Philadelphie et d Istanbul. Il débute sur la face, colonne 2 (ligne 15), avec le fragment d Istanbul, et se termine sur le revers à la fin de la première colonne (qui est également la fin du texte). Il s agit d un problème de volume de tas de brique, sur lequel on se concentrera dans la suite de ce paragraphe. On trouvera ci-dessous la translittération complète du texte, y compris les parties trop détériorées pour permettre une interprétation. face, colonne 1 (CBS 19761) [Robson 2000] 1. [ mi-it]-ha-ra-tim 2. [ak]-mu-ur-ma 13 3. [ mi-it]- ha -ra-ti-ma* 4. [ ak]- mu - ur -ma 5 5. [ ]-tum 6. [ mi-it-ha]- ar-tum 7. [ ]-er 8. [ mi-it-ha]- ra -ti-ia 9. [ ]-in 10. [ mi-it-ha]- ra-tim 11. -li [ ] a-ša 3 face, colonne 1 (Ist Ni 5175) 12. [ mi-it-ha]- ra -tim 13. [ ]-a? 14. [ ]-ma? 362 Robson 2000, p. 39. 233

15. [ ]-tum 16. [ ]-tum? 17. [ ]-a? 18. [ ]-40? 19. [ ]-kum? 20. [ ]-? face, colonne 2 (CBS 19761) 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 3 a-ra 2 3 9 9 a-ša 3 iš-te 10 - en-ma 9 i-na 13 a-ša 3 hu-ru-us -ma* a-ša -am 3 ša-ni-a-am li-ma-ad a-na X ru-bu- u 2? 4 ša-pi-il-<ti> ib 2 -si 8 4 a-ša 3 x mi-it- ha-ar -ti-ka ša-ni-a-am i-na ib 2 -si 8 -e pu-t u 3 -ur-ma! pa-a-ti-ka li-ma-ad 4-e 2 [ib 2 ]-si 8 2 [ ]-ka ib 2?-[si 8 ] face, colonne 2 (Ist Ni 5175) [d après A. Cavigneaux et E. Robson] 15. a-ma-ru-um 16. 10 ninda uš 17. 1 ninda sag 18. 1/2 ninda sukud-bi 19. i-na uš-gid 2 * e-[ru]-ub-ma 20. 1 (iku) gan 2 sig 4 21. ib? 2 -si? 8 zi? 22. ki-ma uš e-ru-ub 23. 10 uš a-na 1 sag bi-il 24. 10 i-li-a-kum 25. 10 a-na 6 sukud bi-il 26. 1 i-li-a-kum revers, colonne 1 (Ist Ni 5175) 1. [7].12 igi-gub-ba bi-il 2. [7.1] 2 i-li-a-kum 3. [igi]-šu pu-t u 3 -ur 4. 8.20 i-li-a-kum 5. 8.20 a-na 1.40 sig 4 -šu 6. bi-il 7. 13.53.20 8. i-li-a-kum 9. 13.53.20 10. a-na 10 uš-gid 2 revers, colonne 1 (CBS 19761) [Robson 2000] 11. bi-il 12. 2.18.53.20 13. i-li-a-kum 14. 2.18.53.20 15. te-ru-ub 3 fois 3 9 9 la première surface 9 de 13 arrache l autre surface apprends : à [ ] 4 le reste du carré 4 la surface de ton carré* la deuxième (surface?) la racine carrée extrais : ton côté apprends 4 a 2 pour racine carrée 2 ton [ ] [ ] Un tas de briques. 10 ninda sa longueur 1 ninda sa largeur 1/2 ninda sa hauteur. Pour une (autre) longueur j ai entré : 1 gan 2 de briques côté (?) soustraire (?) Quelle longueur ai-je entré? 10 la longueur et 1 la largeur multiplie, 10 il te vient. 10 et 6 la hauteur multiplie, 1 il te vient. 7.12 le coefficient multiplie, 7.12 il te vient. Son inverse extrais 8.20 il te vient. 8.20 et 1.40 ses briques multiplie, 13.53.20 il te vient. 13.53.20 et 10 la longueur multiplie, 2.18.53.20 il te vient. 2.18.53.20 tu entres. notes face, colonne 1, ligne 3 : on lit plutôt ia, comme à la ligne 8. face, colonne 2 lignes 8-9 : la traduction dev E. Robson est 4 the area of your second square. 234

face, colonne 2 ligne 19 : uš-gid 2 = côté long = longueur ; attesté dans les listes lexicales (Proto-izi ligne 305, dans une séquence de termes associés à des figures géométriques). Dans le problème qui commence sur la face, colonne 2, il est question d un tas de briques formant un prisme dont on donne les dimensions. On soustrait de ce tas une certaine quantité de briques, dont on donne le volume, et il est demandé de calculer la longueur du nouveau tas (hauteur et largeur restant inchangées). On peut résumer la situation par le shéma suivant (Figure 18). Figure 18 : interprétation de Ni 5175 + CBS 19761 Données Question Un tas de briques (un prisme rectangulaire) ; dimensions : longueur 10 ninda ; largeur 1 ninda ; hauteur 1/2 ninda. Ligne 19, il est «donné» une nouvelle longueur, la largeur et la hauteur n étant visiblement pas modifiées ; cette nouvelle longueur semble désignée par «uš-gid 2» (longueur longue) d après les signes qu on peut lire ligne 19 de la face et ligne 10 du revers ; on devine ligne 21 le signe «zi» (soustraire), qui semble indiquer qu on a extrait du tas initial une partie des briques, mais cette lecture est incertaine. Malgré ces incertitudes, l essentiel est assez clair : il est question d un nouveau tas auquel on a donné une longueur inconnue, les autres dimensions restant inchangées, et dont le volume en nombre de briques est égal à 1 gan 2 (72000 briques). Quelle est la longueur donnée? La longueur du tas initial est connue ; la question porte sur la longueur donnée au nouveau tas. 235

Procédure Calcul du volume du tas initial (d abord la surface de base, puis le volume abstrait). longueur 10 ninda 10 largeur 1 ninda 1 surface 10 1 = 10 hauteur 1/2 ninda 6 volume 10 6 = 1 (lignes 25 et 26) Lignes 1 et 2 du revers, le volume abstrait est converti en nombre de briques grâce à la multiplication par 7.12, le nalbanum des briques standard, ici appelé «igi-gub-ba» (voir formulaire) : 1 7.12 = 7.12 Rapport des volumes (lignes 3 à 8) volume du nouveau tas 1 (iku) gan 2 1.40 (lecture de la table S) rapport des volumes 1.40 7.12 = 1.40 8.20 = 13.53.20 Longueur du nouveau tas Les longueurs et les volumes des deux tas sont dans le même rapport, car la largeur et la hauteur sont inchangées. longueur du nouveau tas : 10 13.53.20 = 2.18.53.20 La réponse est donnée en nombre abstrait : «j ai donné 2.18.53.20 (à la longueur)». Convertie en mesures de longueur, cela représente environ 2 ninda. Comme dans les deux autres tablettes de Nippur concernant les prismes, la clé du calcul pourrait être le rapport de deux volumes. Mais dans ce cas, ce n est pas la méthode la plus simple. On considère en effet un prisme rectangulaire dont on connaît la largeur, la hauteur et le volume, et il est inutile de passer par l intermédiaire d un autre prisme pour trouver la longueur, qui pourrait s obtenir directement par une simple division : longueur = volume (largeur hauteur) La tablette étant cassée, il nous manque des éléments de contexte pour expliquer ce choix. Peutêtre a-t-on affaire à une série de problèmes dans la logique desquels la proportionnalité joue un rôle structurant. On peut avancer une autre explication. Dans la méthode directe, il serait nécessaire de calculer le produit : largeur hauteur. Or ce produit n a pas de sens géométrique évident dans une conception de l espace où les surfaces sont horizontales. Pour essayer d expliquer la méthode de calcul choisie et la transformation du tas de brique initial en un tas de longueur plus petite, on peut se tourner vers d autres problèmes du même genre. Mais le choix est limité : le seul qui soit en relation avec les problèmes de prisme dont on modifie une des dimensions est AO 10822, une tablette paléo-babylonienne de Kiš 363. Six problèmes de cette tablette sont en relation avec le texte de Nippur (lignes 13 à 22). Les lignes 13 à 15, moins détériorées que les autres, sont les suivantes : 363 Cette tablette est signalée par E. Robson à propos des problèmes de tas de briques (Robson 1999, p. 65). 236

AO 10822 - transcription d après MKT I p. 124 face colonne II 13 sig 4 -anše sig 4 1 uš 30 sag 30 sukud sig 4 en-nam Un tas de briques. 1 la longueur, 30 la largeur, 30 la hauteur. Combien de briques? 14 15 sig 4 -anše sig 4 3 uš 2.30 sag 6 sukud 3.45 sig 4 i-na [uš 10 sar] sig 4 ha-aš-ha-ma uš en-nam e-ru-ub* Note : *ligne 15, Neugebauer transcrit lu-ru-up Un tas de briques. 3 la longueur, 2.30 la largeur, 6 la hauteur. 3.45 les briques dans la longueur (?) 10 sar de briques nécessaires (?). Quelle longueur j ai entré? Les problèmes sont énoncés, mais la solution n est pas donnée. Ils concernent un tas de briques «sig 4 -anše», l équivalent sumérien du terme akkadien «amarum» qu on trouve dans Ni 5175 + CBS 19761. De la même façon que dans le problème de Nippur, cette liste de problèmes peut être interprétée comme la mise en rapport de deux volumes de prismes rectangulaires dont une dimension a été réduite ; le vocabulaire est le même, les texte de Nippur choisissant plus systématiquement l équivalent akkadien. Dans les deux textes, celui de Nippur et celui de Kiš, il intervient une réduction de la longueur du tas de brique. Cette réduction a-t-elle une explication pratique? Malheureusement, dans les deux cas, le texte est détérioré là où on pourrait espérer des précisions. Le texte de Kiš emploie le verbe hašâhum (avoir besoin de), à propos du nouveau volume, celui de Nippur semble utiliser zi (soustraire), bien que cette lecture soit très incertaine. S agit-il de prélever dans une réserve de briques stockées sous la forme d un tas rectangulaire de dimensions connues une certaine quantité pour les besoins d une construction? L artisan qui a besoin des briques doit certainement être capable d en estimer le nombre (ce qui correspond aux données de AO 10822) ; le responsable du stock doit plutôt se demander quelle longueur de son tas ce nombre représente pour pouvoir effectuer le prélèvement (ce qui correspond aux données de Ni 5175+). Qu elle que soit la situation réelle dont peuvent s inspirer les problèmes de ce genre, ses aspects techniques et réalistes ne sont pas les plus importants, car ils ne sont qu un simple habillage concret pour exercice scolaire. 7.8.4 Synthèse Du point de vue de leur contenu, les trois textes de problèmes de Nippur sont proches : ils traitent principalement du calcul des volumes (mais pas uniquement : dans CBS 12648, on trouve aussi des problèmes de rectangles, probablement du second degré pour certains). Ils utilisent la même clé : la comparaison de deux prismes rectangulaires. L un est un prisme de référence, et l autre est un nouveau prisme ayant subi une réduction : - réduction des 3 dimensions (CBS 12648) ; - réduction de la surface de base (CBS 11681) ; - réduction de la longueur (Ni 5175 + CBS 19761). Cependant, ils sont très différents dans leur style. CBS 12648 est rédigé en sumérien, les deux autres en akkadien syllabique. La multiplication n est pas traitée de la même façon dans les trois 237

textes. CBS 11681 présente des éléments de structuration de la langue mathématique 364 et d une façon générale répond plus strictement que les autres aux normes de «l algèbre» akkadienne appuyée sur des représentations géométriques (distinction entre la multiplication «géométrique» et la multiplication arithmétique) 365. CBS 12648 distingue également ces deux sortes de multiplication, mais pas Ni 5175 + CBS 19761. Les deux textes écrits en akkadien n utilisent des idéogrammes sumériens que pour désigner des objets mathématiques : les unités de mesure, le nom des opérations arithmétiques, le nom des grandeurs métrologiques. CBS 11681 CBS 12648 Ni 5175 + CBS 19761 Langue akkadien sumérien akkadien multiplication «géométrique» (longueur par largeur) šutakūlum gu 7 wabālum multiplication «géométrique» šutakūlum // // (longueur par largeur par hauteur) multiplication surface par hauteur wabālum // wabālum multiplication par un coefficient wabālum // wabālum multiplication d un volume par un inverse wabālum il 2 wabālum annonce de résultat (:) -ma // // obtention de résultat (il te monte) elūm (illiakkum) // elūm (illiakkum) ouverture de la procédure ina epešika // // si šumma // // idéogrammes unités de mesure calcul (coefficient, fois, racine) ninda, gan 2, gin 2 igi-gub-ba, gan 2 igi-gub-ba, a-ra 2, ib 2 -si 8 grandeurs métrologiques (longueur, largeur, uš, sag, sahar, uš, sag, sukud, gid 2, aša 3, profondeur, hauteur, surface, volume) GAN 2 (aša 5 ) sig 4 Ces éléments disparates et le faible nombre de problèmes ne permettent pas de caractériser le style mathématique de Nippur. On peut néanmoins souligner quelques traits qui rattachent ces textes plus nettement à la tradition du sud qu à celle des régions périphériques, plus précisément au Groupe 1 (ensemble de textes mathématiques provenant probablement de Larsa) et dans une moindre mesure au Groupe 2 (ensemble de textes mathématiques provenant probablement du sud) 366. Les traits communs au Groupe 1 et aux deux textes de problèmes en akkadien de Nippur (CBS 11681 et Ni 5175 + CBS 19761) sont les suivants : l orthographe riche en voyelles le choix du signe PI pour écrire les sons pi et pe l absence de certains opérateurs logiques (inūma = ainsi, aššum = donc) l usage de illiakkum plutôt que de tammar pour l annonce des résultats 364 Ces éléments (tels que «si... alors», formules d ouverture et de fin de procédure) appartiennent à ce que J. Høyrup dénomme «méta-langage» mathématique [Høyrup 2002, p. 32]. 365 Ibid 366 Il s agit de la classification des textes mathématiques de provenance inconnue en Groupes de même origine géographique probable sur la base de critères linguistiques, faite par Goetze dans un chapitre de MCT (Neugebauer et Sachs 1945, p. 146-151) et surtout par J. Høyrup, qui a beaucoup enrichi cette classification (Høyrup 2002 chapitre 9). Voir 3.3.2. 238

Une partie de la description du Groupe 2 par J. Høyrup 367 pourrait aussi s appliquer au petit échantillon de Nippur : un ensemble peu homogène, qui témoignerait d une phase de créativité avant que le canon ne soit fixé, et se serait développé dans une période de transition entre une culture semi orale et le début d une tradition écrite. 7.9 Exercices et textes de référence Il est possible, à l issue de cette présentation des 47 exercices et problèmes de Nippur, de préciser quelques traits caractéristiques du niveau avancé. Comme pour les séries élémentaires, on s intéressera à l articulation entre type et contenu des tablettes, aux relations entre les différentes catégories de textes, et à leur place dans le cursus. Exercices et type IV Les exercices sont des textes mathématiques courts, portant sur un point précis et réduits à une suite de calculs dont le contexte n est en général pas précisé. Ils sont toujours écrits sur les tablettes de type IV, inversement les tablettes de types IV sont, à peu d exceptions près, réservées aux exercices. Cette coïncidence entre genre de texte et type de tablette est une première différence avec ce qu on observe dans le corpus des séries élémentaires, où tous les catégories de listes et tables peuvent se trouver sur tous les types de tablettes. Les exercices peuvent être partagés en plusieurs catégories selon le contenu : - multiplications / divisions en plusieurs colonnes - multiplications / divisions en une seule colonne - carré numérique - carré numérique couplé à une surface de carré - paire d inverses, avec ou sans factorisation - extraction de racine carrée par factorisation - tableau de calculs - surface de quadrilatère et triangle, avec ou sans figure Types S et M Les autres textes de niveau avancé ne se laissent pas classer selon une typologie très stricte. On a distingué les types S (petites tablettes à une colonne) des types M (grandes tablettes à plusieurs colonnes). En général, mais sans que ce soit une règle absolue, les types M réunissent plusieurs sections organisées de façon systématique, et les types S ne contiennent qu une section (un problème ou une liste de paires d inverses). On peut penser que les types S sont plutôt des travaux d élèves et les types M des «manuels» du maître ; mais dans ce cas, la différence entre maîtres et élèves a tendance à s estomper. 367 Høyrup 2002, p. 344-345. 239

Relations entre exercices et textes de référence J. Friberg 368 et E. Robson ont relevé à plusieurs reprises la relation étroite qui existe entre certaines grandes tablettes et toute une série de petits calculs généralement écrits sur des tablettes de type IV. Par exemple à Ur, les multiplications enchaînées des tablettes de type IV renvoient à des problèmes de volume rédigés en séries sur des grandes tablettes. De même, l algorithme permettant la création de listes de paires d inverses par doublements / dédoublements d une paire initiale, tel qu il est développé dans UM 29-13-021 et CBS 1215, se retrouve dans de nombreux exercices de calcul, que ce soit à Nippur ou ailleurs. «The popularity in the Old Babylonian schools of problems related to this algorithm is shown also by the fact that several examples have been unearthed of small exercise tablets with pairs of reciprocal regular numbers or sequence of regular numbers obtained by the algorithm for instance VAT 5457, HS 231, FLP 1283 (JCS 24, 1972) and YBC 4704 (MCT 1945, 16).» [Friberg 1983 p. 82] «The examples mentioned above [CBS 10201, BM 80150, YBC 10802, 2N-T 27, N 3958, UM 29-13-21], and several others, suggest that a combined table like CBS 29-13-21 [=UM 29-13-21] may have been a well known standard text, used as a source of more or less complicated exercises involving pairs of regular reciprocal numbers.» [Friberg 1987-90 p. 550 col. 1.] Les exercices de multiplication fréquents sur les tablettes de type IV renvoient probablement à des problèmes de surface et de volume, comme l indique E. Robson. [Lenticular tablets] are almost certainly the arithmetical calculations done while solving the sorts of questions posed in problem texts. There is never any explanatory material of them, and the layout is often far from neat. [E. Robson 1999 p. 10] J. Friberg a explicité ce lien entre exercices et problèmes pour les tablettes scolaires d Ur, mais la documentation de Nippur, où les exercices de multiplication sont moins nombreux et plus fragmentaires, ne permet pas d identifier précisément les problèmes de référence. Dans le cas des exercices numériques de Nippur, on a vu que tous les calculs d inverses réalisés sur des tablettes de type IV sont extraits d une tablette telle que CBS 1215 construite sur la suite des doublements / dédoublements de la paire initiale 2.5 ~ 28.48. Ces exercices très stéréotypés sont en étroite relation avec un stock de données rassemblées dans des tablettes de type S ou M que j ai appelées «textes de référence». Cursus avancé A quel moment du cursus sont abordés les exercices de calcul? Il existe à Nippur quelques tablettes où ces exercices sont couplés avec des proverbes 369 : 2N-T 115 = IM 57845 (fragment) exercice de calcul (paire d inverses); sumérien (proverbe?); table de multiplication 1.40 2N-T 496 = IM 58966 (type IV lenticulaire) sumérien (proverbes collection 2, n 42); exercice de calcul (paire d inverses) 2N-T 500* = A 29985 (type IV carrée) sumérien (proverbe collection 2, n 52); exercice de calcul (inversion par factorisation) Les exercices de calcul commencent donc à la fin du cursus élémentaire, quand les apprentis scribes vont aborder le début de l étude des textes littéraires sumériens. 368 Friberg 1983, p. 82 ; Friberg 1987-90, p. 550 col. 1; Robson 2000 p. 23; Robson 1999, p. 10. 369 A Ur, ces couplages sont très fréquents. 240

Le calcul des inverses est, dans un cas, couplé avec un texte littéraire sur une tablette de type S : 3N-T 362+366 = IM 58446+58447 (type S) texte littéraire (Eduba C); exercice de calcul (inversion par factorisation) La composition «Eduba C» est un texte d apprentissage, mais il intervient dans la dernière phase du cursus avancé 370. Le calcul des inverses par factorisation fait donc l objet d un entraînement tout au long de la formation de niveau avancé. 370 Robson 2001b, p. 54. 241

242

8 Les mathématiques à Nippur A partir des restes d activités scolaires retrouvés dans les écoles de scribes de Nippur, il est possible de dessiner quelques grandes tendances du développement des mathématiques dans la capitale culturelle de la Mésopotamie. Je propose dans ce dernier chapitre une synthèse d ensemble des études concernant ce corpus de tablettes et de leur contexte naturel : celui de la formation des scribes. Cette synthèse intègre les résultats antérieurs, notamment ceux de N. Veldhuis et E. Robson, et les éléments apportés au cours des chapitres précédents par l analyse de la collection complète des tablettes mathématiques de Nippur qui m ont été accessibles 371. Les sources actuellement disponibles nous donnent un accès privilégié aux productions d élèves scribes de niveau élémentaire, en sumérien comme en calcul, mais ne livrent que peu de témoignages sur les mathématiques érudites. Cependant, le contenu des premiers stades de l apprentissage permet d identifier la nature et le fonctionnement des outils mathématiques forgés par les maîtres de Nippur, notamment en ce qui concerne l utilisation des différents systèmes numériques et métrologiques ainsi que les méthodes de calcul. Les quelques problèmes retrouvés à Nippur donnent un éclairage particulièrement intéressant sur deux domaines importants des mathématiques cunéiformes : le calcul numérique et le calcul des volumes. La reconstitution du cursus apporte des éléments d information non seulement sur le fonctionnement des écoles, mais plus généralement sur l organisation des connaissances. 8.1 Enseignement Organisation et contenus Le cursus est organisé en deux niveaux nettement identifiables, tant par l observation de l aspect matériel des tablettes que par leur contenu. Le niveau élémentaire est caractérisé par la forme des listes. En sumérien, il s agit d énumérations de signes, de mots, d expressions et de phrases dont l apprentissage constitue la 371 Je dois rappeler une fois de plus ma reconnaissance envers E. Robson et V. Donbaz, qui m ont permis de travailler sur l ensemble de cette collection. 243

«phase lexicale». En mathématiques, ces listes sont organisées en trois grandes séries (listes métrologiques, tables métrologiques, tables numériques), complétées probablement par une petite série additionnelle de tables de racines carrées et cubiques. Les listes et tables devaient probablement être entièrement mémorisées, et à l issue de l enseignement élémentaire, le jeune scribe devait les savoir par cœur et être capable de les restituer par écrit : l enseignement élémentaire des mathématiques est, comme en sumérien, à la fois un entraînement de la mémoire et un exercice d écriture. Parmi les séries mathématiques, les listes de capacités occupent une place prépondérante et sont fortement intégrées au cursus sumérien. Elles devaient jouer un rôle important dans l apprentissage de l écriture, ainsi que dans la formation à la gestion (administration, impôts, distributions des rations alimentaires). Les exercices quotidiens sont écrits sur des tablettes de type II, qui représentent presque les deux tiers des sources du niveau élémentaire. La méthode d enseignement dont témoigne ce type de tablette combine le travail de la mémoire et l apprentissage de l écriture : initiation aux nouvelles séquences sur la face, en copiant un modèle du maître ; révision des séries étudiées antérieurement sur le revers, en les restituant par écrit 372. Les tablettes de type III et I sont moins nombreuses mais beaucoup plus soignées. Elles portent souvent des marques de structure telles que lignes d appel et doxologie (qu on ne trouve pas sur les revers de type II, seulement destinées à l entraînement). Les tablettes de type I sont probablement des sortes d examens, intervenant à la fin de l étude d une grande série (liste ou table métrologique, table numérique). E. Robson pense que les tablettes de type III sont utilisées pour des exercices d assimilation des listes, tout comme les revers de type II, mais il me paraît possible qu elles soient également des examens, limités à une section. Ce type d examen «partiel» serait pratiqué de façon plus spécifique pour les tables numériques 373. Par ailleurs, on a vu que le type III est le seul qui soit attesté à Nippur en mathématiques pour les époques antérieures (fin du troisième millénaire), et que ces exemplaires sont des tables numériques (inverses principalement) dont la qualité de fabrication évoque une œuvre de maître plus qu un exercice d élève. Le type III serait donc, à l époque paléobabylonienne, un résidu de pratique plus ancienne associé aux tables numériques, dont la fonction aurait évolué d une œuvre de maître à celle d un examen. Il n y a pas, au niveau élémentaire, de «manuel du maître» dans lequel seraient consigné l ensemble des listes à enseigner : de tels enregistrements écrits sont inutiles pour des maîtres qui connaissent les listes par cœur. Le niveau élémentaire témoigne de l importance, à l époque paléo-babylonienne, de la transmission orale des connaissances. Le niveau avancé est plus nettement orienté vers l apprentissage de méthodes : technique d inversion par factorisation, calcul des surfaces et des volumes par utilisation des tables métrologiques et numériques mémorisées au niveau élémentaire. Ce niveau commence avec une phase d exercices de calcul écrits sur des tablettes de type IV 374. L énoncé des problèmes n est 372 Ce processus a été bien décrit par N. Veldhuis (1997) et E. Robson (2001). 373 Voir Annexe 3 «Données statistiques», 2, figure 3 : environ 80% des types III mathématiques sont des tables numériques. 374 R. S. Falkowitz (1984, p. 21) pense que les tablettes de type IV sont utilisées à Nippur au tout début du cursus élémentaire, tout en s étonnant de ne pas y trouver les textes de grand débutant (listes de signes dites «tu-ta-ti») ; il est cependant clair que, dans le domaine des mathématiques, ce type de tablette appartient au niveau avancé. 244

pas écrit sur ces tablettes, et il est souvent difficile de reconstituer le contexte de ces calculs. On trouve ensuite des tablettes allongées ressemblant à des types III, écrites sur une colonne (type S), contenant un problème ou une liste de résultats numériques (suite géométrique par exemple). Ces exercices sont construits à partir de séries de problèmes ou d algorithmes numériques rassemblés sur des grandes tablettes à plusieurs colonnes (type M) et constituant des «textes de références», dont quelques exemplaires seulement sont parvenus jusqu à nous. Les problèmes inverses de volumes (trouver les dimensions d un prisme connaissant son volume et des relations entre les longueurs de ses arêtes) occupent une place particulière dans la documentation de Nippur accessible. Leur résolution est fondée sur une méthode de proportionnalité entre prismes de même «forme». Les textes de référence peuvent être considérés comme des «manuels du maître». Les modèles d exercices destinés à la formation sont puisés dans ces recueils de problèmes et de données numériques. Cependant, les textes de référence ne sont pas normalisés comme le sont les séries élémentaires dans la mesure où ils sont différents les uns des autres et paraissent refléter un travail original propre à chaque maître. L élaboration de séries structurées de problèmes et algorithmes numériques est en elle-même une activité de création mathématique de la part des scribes «experts en calcul» (l expression «dub-sar šid-ma» désigne ces scribes dans un proverbe ; voir Ni 5376 ci-dessous). La rupture entre le niveau élémentaire et le niveau avancé est plus nette en mathématiques qu en sumérien. En mathématiques, il n y a pas de phase intermédiaire. Lors du passage au niveau avancé, le contenu (exercices de calculs) comme la typologie des tablettes (type IV) sont nouveaux. L ensemble des sources de Nippur illustre cette séparation nette, à trois exceptions près (voir fin du 7-9). En sumérien, la frontière entre les deux niveaux est plus floue : on trouve des modèles de contrats et des proverbes dans les tablettes de type II utilisées au niveau élémentaire, tout comme dans les tablettes de type IV utilisées au début du niveau avancé. Ces remarques sont résumées dans le tableau suivant : Niveau élémentaire Transition Niveau avancé Sumérien Mathématiques Textes Types de tablettes Textes Types de tablettes listes élémentaires I, II listes lexicales I, II, III listes et tables métrologiques, tables numériques contrats et I, II, III, IV proverbes I, II, III extraits IV, S exercices IV, S textes littéraires S, M textes de référence S, M Tableau 33 : catégories de textes et types de tablettes pour le sumérien et les mathématiques Il est important de noter ici que ce tableau ne prétend pas donner des indications chronologiques : l étude des proverbes en sumérien peut très bien coïncider avec la fin du cursus élémentaire en mathématiques (tables numériques) ou au début du niveau avancé (exercices et problèmes). Le paragraphe suivant revient sur ces questions de déroulement du cursus. 245

Par ailleurs, la transition entre les deux niveaux semble variable d une école à l autre, d une cité à l autre. Les exercices de calcul se situent à la fin de la première phase ou au début de la deuxième, selon les archives considérées. A Nippur et à Ur, les exercices de calcul appartiennent au niveau avancé ; cependant, ils ne sont pas attestés dans la Maison F de Nippur 375. A Sippar- Amnânum et à Suse 376, les exercices de calcul sont associés au cursus élémentaire. A Sippar- Jahrurum, ils sont associés aux deux niveaux 377. Déroulement chronologique du cursus élémentaire L ordre dans lequel sont enseignées les séries mathématiques de niveau élémentaire, et, au sein de chaque série, les différentes sections, peut être reconstitué avec plus ou moins de certitude grâce à plusieurs types d indices : l ordre des sections dans les tablettes de type I, les marques de structure, la comparaison de la face et du revers des tablettes de type II. Au sein d une série, les sections s enchaînent dans un ordre strict, donné de façon cohérente à la fois par les tablettes de types I (prisme inclus) et les marques de structure (lignes d appel et doxologie). Cet ordre ne souffre aucune exception à Nippur, et il est respecté dans tous les centres d enseignement d époque paléo-babylonienne dont on connaît des archives scolaires. Rappelons cet ordre au sein de chaque série : - Série des listes métrologiques : o capacités o poids o surfaces o longueurs - Série des tables métrologiques : o capacités o poids o surfaces o longueurs o hauteurs - Série des tables de multiplication / division o inverses o multiplication (par ordre lexicographique décroissant des nombres principaux) o carrés 375 Robson 2002, p. 361. 376 Gasche, H. and L. De Meyer (à paraître). 377 Tanret 2002. 246

«Gloire à Nisaba» - Série des tables de racines o racines carrées o racines cubiques L ordre dans lequel sont étudiées les séries mathématiques élémentaires et leur insertion dans le cursus de sumérien peuvent être partiellement établis à partir de la comparaison de la face et du revers dans les types II, ainsi que, de façon plus limitée, par les marques de structure (doxologie). L examen des tablettes de type II semble montrer que l étude des séries mathématiques commence de façon relativement précoce (par rapport aux hypothèses de N. Veldhuis et E. Robson), en même temps que les premières listes lexicales. Les listes métrologiques de capacités occupent l essentiel des activités mathématiques, au moins au début du cursus, et leur place reste importante pendant toute la formation de niveau élémentaire. Elles sont, beaucoup plus que les autres sections mathématiques, intégrées au cursus de sumérien. L apprentissage des listes de capacités est suivi de celui des autres listes métrologiques (poids, surfaces, longueurs). Les tables métrologiques sont introduites un peu plus tard que les listes de capacités, mais il est difficile de déterminer à quel moment précis. S il y a un décalage entre l introduction des listes métrologiques et des tables métrologiques, leur étude semble ensuite se dérouler parallèlement. Les tables de multiplication / division sont introduites nettement plus tard, à la fin de l étude des listes thématiques ou au début de celle des listes avancées. Elles forment une série qui se termine avec la table des carrés et se conclut par la formule typique «Gloire à Nisaba». Les tables de racines carrées et cubiques forment une petite série indépendante ; bien que peu nombreuses et, de ce fait, difficiles à comparer aux autres tables, elles semblent intervenir à la fin du cursus élémentaire pour un petit nombre d élèves. L articulation entre les listes de sumérien et les listes mathématiques est difficile à établir, car, exception faite des listes de capacités, elles ne sont pas très souvent couplées dans les tablettes de type II. Dans les cas où l on observe une section mathématique et une section sumérienne sur une même tablette de type II, le classement chronologique qui en résulte est incertain. Le cursus mathématique semble en fait relativement autonome, et il est probable qu il se déroule parallèlement à celui du sumérien. Il peut donc exister un décalage important entre l avancée des études en mathématiques et en sumérien. L importance du décalage dépend certainement des choix pédagogiques faits par certains maîtres dans certaines écoles, mais aussi probablement de facteurs individuels propres aux élèves scribes. Ces préférences personnelles, qui devaient exister autrefois comme aujourd hui, sont soulignées avec ironie par le troisième proverbe de la tablette Ni 5376 378. 378 Proverbe n 50 de la collection 2 (Alster 1997, p. 54-55 ; copie : Kramer 1952, p. 12). La face de la tablette Ni 5376 contient la liste de proverbes suivante : 1) L'homme qui ne sait pas dire " a-a ", comment pourrait-il parler rapidement? 2) Le scribe qui ne sait pas le sumérien, comment pourrait-il faire une traduction? 3) Le scribe expert en calcul est déficient en écriture; le scribe expert en écriture est déficient en calcul. 4) Le scribe bavard, sa faute est très grande! 5) Le jeune scribe qui a du pain et de la nourriture en excès, n'est pas attentif à l'art du scribe. 6) Le scribe déchu devient prêtre. / Le chanteur déchu devient joueur de cornemuse. / Le chantre déchu devient flûtiste. / Le commerçant déchu devient (?) / Le charpentier déchu devient tourneur de broche. / Le forgeron déchu devient faucheur. / Le maçon déchu devient (?) (traduction personnelle d après Alster 1997). 247

Ni 5376* (type II) proverbes ; liste métrologique C 5'. [dub-sar] ŠID-ma im-ma ba-an-la 2 Le scribe expert en calcul est déficient en écriture; 6'. [dub-sar im]-ma šid-e ba-an-la 2 le scribe expert en écriture est déficient en calcul. En conclusion, on peut proposer la description suivante du cursus mathématique élémentaire : il est relativement autonome, il progresse à un rythme variable selon les écoles et les élèves, il commence assez précocement. Les listes de capacités en occupent la plus grande part, et seul un nombre faible d élèves parvient à son terme, à savoir les tables de racines. Ecoles spécialisées? On a remarqué à plusieurs reprises des variations dans l organisation de l enseignement entre écoles d une cité à l autre, mais également au sein de Nippur. Ces particularités locales sont-elles de simples choix pédagogiques, ou bien témoignent-elles aussi d un certain degré de spécialisation des écoles? Les différences observées dans la typologie des tablettes sont probablement à mettre en relation avec des différences dans les méthodes pédagogiques : les tablettes de type II semblent caractéristiques de Nippur, où elles sont majoritaires, alors qu elles sont rares ou absentes dans les autres sites. De même, les tablettes de type III n existent pas dans toutes les écoles de scribes : elles sont fréquentes à Nippur, mais pratiquement absentes à Sippar-Amnânum. Les tablettes de types IV sont utilisées à Ur un peu comme les types II à Nippur : on y trouve des textes de nature différente sur la face et le revers, ainsi que des exercices de copie. Par ailleurs, il est probable que l ordre d enseignement des listes élémentaires n a pas été exactement le même dans toutes les écoles : E. Robson a montré l existence d un ordre des listes avancées différent dans la Maison F et dans le reste de Nippur. Mais il existe des différences plus importantes, notamment dans le profil des archives scolaires. A Ur, on n a pas trouvé de listes et de tables métrologiques, et les tables numériques sont peu nombreuses (10 à «1 Broad Street» et 4 à «7 Quiet Street») ; l essentiel des tablettes relève du niveau avancé (47 tablettes). Dans la Maison F de Nippur, les textes mathématiques sont tous de niveau élémentaire, alors que les exercices de sumérien couvrent l ensemble des deux niveaux. A Sippar-Amnânum, on n a pas trouvé de table numérique (7 listes et tables métrologiques, 3 tablettes lenticulaires avec des exercices de calcul). Ces lacunes dans la documentation n ont pas nécessairement de signification : le fait qu une catégorie de texte soit absente des archives d une maison ne signifie pas qu elle n y ait jamais existé. Mais elles peuvent aussi indiquer que certaines écoles se cantonnent au niveau élémentaire, d autres au niveau avancé. Le cas de la Maison F peut témoigner de l existence d une formation avancée tournée vers la littérature plus que vers les mathématiques. L hypothèse d écoles spécialisées à Nippur a été avancée dans le domaine du droit par S. Lafont 379. Nippur est en effet le siège du plus grand tribunal de Mésopotamie, où se règlent les affaires particulièrement graves. Les fonctions juridiques engendrées par cette importante activité judiciaire nécessitent une formation particulière, dont l étude des modèles de contrats devait constituer la première étape. " [Les tablettes scolaires] présentent des ressemblances de forme et de fond avec le droit positif et les actes 379 S. Lafont 1997, p. 13 ; 2000, p. 16. 248

de la pratique. Les scribes recevaient donc dans leur formation générale (mathématique, littérature, syntaxe et grammaire) un enseignement juridique dont on retrouve la trace visible dans le droit vivant. Le cursus suivi par le futur lettré ne le prédisposait pas forcément à devenir juriste. Il semble plutôt que la spécialisation apparaissait, après quelques temps d'études, et qu'au moins une école de droit ait existé à Nippur ". [S. Lafont 1997, p. 13] S. J. Lieberman 380 a mis en valeur des relations entre le contenu des textes scolaires juridiques (modèles de contrats) et certaines formes politiques propres à Nippur : "The importance of the puhrum [assemblée] of Nippur led to its becoming a centre of legal expertise, as well as a school, since schools were to train legal secretaries. [Lieberman 1992, p. 134] D après S. J. Lieberman et S. Lafont, Nippur est la ville des assemblées politiques, la ville du droit et la ville des écoles : elle devait abriter une école spécialisée dans la formation des futurs juristes. 8.2 Structure des listes Les séries mathématiques élémentaires ne sont pas seulement des outils pour le calcul métrologique et numérique. Elles ne sont pas de simples agrégats de systèmes métrologiques et numériques disparates, mais constituent un système global, résultat d une élaboration savante qui s est probablement développée dans les écoles à la fin du troisième millénaire, sous la pression de politiques royales centralisatrices (Dynastie d Akkad et 3 ème Dynastie d Ur). Le système métrologique issu des réformes du troisième millénaire est le fondement de l ensemble cohérent constitué par les séries mathématiques élémentaires. Les trois séries mathématiques sont elles-mêmes des listes dont la structure interne et les principes d engendrement rappellent ceux qui sont à l œuvre dans les listes lexicales. La structure interne et l articulation des unités de textes avec les différents types de tablettes présentent les mêmes caractéristiques en mathématiques et en sumérien. Les séries mathématiques sont composées de plusieurs sections, la première ligne de chaque section, en général de style plein, est utilisée éventuellement comme ligne d appel (incipit). La fin des série des tables de multiplication / division est marquée par la formule «Gloire à Nisaba», suivant un modèle fréquent dans les listes lexicales. La série complète constitue l unité de texte spécifique des tablettes de type I (prismes inclus) ; la section constitue, dans le cas des tables numériques, l unité de texte spécifique des tablettes de type III et II/1 ; les extraits de sections métrologiques sont, comme les extraits de listes lexicales, présents principalement sur les faces de tablettes de type II. Les principes d engendrement des listes dans les séries mathématiques ont leur propre logique interne. Dans les listes et tables métrologiques, on trouve des séquences qui sont des extrapolations sans utilité pratique. C est le cas des plus petites unités de poids (le «še» de 0,04g n est pas décelable avec les moyens de pesée de l antiquité), et des plus grandes unités des 380 S. J. Lieberman 1992, p. 127-137. 249

systèmes S et G (le «šar-gal-šu-nu-tag», c est-à-dire «le grand šar que la main n atteint pas», est une invention plus théorique que pratique). A l inverse, une séquence d unités de surfaces (ainsi que de volume) donnant des dimensions usuelles (quelques cm² à quelques m²) est absente des listes et tables métrologiques, alors qu elle est très présente dans les exercices scolaires. La présence des différentes sections métrologiques est parfois justifiée par des raisons pratiques ou pédagogiques, mais pas toujours. On a vu par exemple que certaines séries métrologiques ont une fonction particulière : les listes de capacités ont une utilité dans la gestion administrative, les tables de surfaces et longueurs ont une importance mathématique fondamentale ; mais la table de capacités a une fonction moins évidente. Sa présence (et son utilisation dans quelques problèmes) peut très bien s expliquer par le seul fait qu elle donne une cohérence logique à l ensemble du système. Par ailleurs la composition des séries mathématiques présente des singularités analogues à celles qu on trouve dans les listes lexicales. Un principe général guide le choix des items, mais il existe de nombreuses dérogations à cette règle principale et des digressions obéissant à d autres règles (qui ne nous sont pas toujours très claires). On a vu que les tables d inverses étaient composées de tous les nombres réguliers à une place, puis se terminaient par des paires d une autre nature. Les nombres principaux des tables de multiplication correspondent à peu près à l ensemble des nombres présents dans les tables d inverses, mais il y a des omissions et des nombres supplémentaires. D une façon générale, l idéal d exhaustivité n est pas absent, mais il est rarement réalisé. Ces remarques sont à mettre en relation avec des caractéristiques propres aux listes en Mésopotamie. Par exemple A. Guinan 381 a analysé la structure des listes divinatoires et N. Veldhuis celle des listes lexicales thématiques. Une liste (lexicale ou divinatoire) doit être lue en deux dimensions : une dimension horizontale pour connaître un résultat particulier, une dimension verticale pour connaître les règles d engendrement de la liste, c'est-à-dire une sorte de cas général. A. Guinan a montré comment la lecture verticale apporte des informations qui restent cachées dans les lectures horizontales (par exemple, des principes de morale dans des listes de présages). La liste est le mode d'expression d'un principe abstrait. Les séries mathématiques élémentaires, construites sur des principes logiques forts, mais présentant elles aussi des extrapolations, des digressions et des omissions, relèvent de la même forme de pensée. Ce point de vue permet de comprendre la présence, dans tout le cursus élémentaire de Nippur, de listes métrologiques aux côtés de tables métrologiques, que les raisons pédagogiques ou pratiques ne suffisent pas à justifier totalement. Il s agit en fait d un système tout autant que d un outil. On peut le résumer ainsi (ce schéma est développé dans le paragraphe suivant, voir 8.3) : listes métrologiques tables métrologiques tables numériques (mesures) (conversion) (nombres abstraits) La structure de liste ne caractérise pas seulement les séries élémentaires : elle est sous-jacente à l organisation des textes de référence du niveau avancé. A Nippur, la documentation est trop 381 Guinan 1989, citée dans Veldhuis 1997. 250

lacunaire pour permettre une analyse très poussée de l organisation des listes de problèmes. Une catégorie de textes appelée par Neugebauer et Sachs «séries de problèmes», de provenance inconnue, constitue en revanche un champ d étude extrêmement intéressant. Bien que cette étude dépasse le cadre de la présentation des textes mathématiques de Nippur, on peut citer des exemples particulièrement spectaculaires du degré de complexité de la structure des séries d énoncés et de la maîtrise de méthodes combinatoires. Les tablettes A 24194 et A 24195 sont des listes contenant chacune plus de 200 énoncés ; leur rédaction est si compacte qu elle permet de les comprimer dans une surface relativement faible (les tablettes mesurent environ 7,5 cm sur 10 cm). L énumération des énoncés est organisée selon des variantes emboîtées, donnant à l ensemble une structure arborescente à 4 niveaux, et même 5 niveaux si on considère que ces deux exemplaires sont des pièces d un ensemble plus vaste constitué de plusieurs tablettes (comme l indique le colophon de A 24194 : «4 soixantaines de sections sur la 10 ème tablette») 382. Les séries mathématiques élémentaires présentent donc des structures complexes. Leur caractère «élémentaire» fait référence au niveau scolaire où elles sont enseignées à l époque paléobabylonienne, et non à leur niveau d élaboration. 8.3 Nombres abstraits et nombres concrets Tout au long de la reconstitution de l enseignement des mathématiques à Nippur élaborée au cours de cette étude, depuis les premiers pas de l apprentissage du système de mesure des capacités jusqu aux problèmes de volume de niveau avancé, s est posée la question de la nature des nombres mis en jeu dans la métrologie et les calculs. Cette question a été abordée comme un problème technique de notation des nombres dans les traductions et les commentaires ( 4.2), puis les choix de notation ont eu des conséquences importantes sur l interprétation des textes. La lecture que je propose distingue systématiquement, à chaque étape, l utilisation des nombres abstraits dans le calcul de celle des nombres concrets dans la quantification des grandeurs métrologiques. Cette interprétation des systèmes de numération est-elle nouvelle dans le champ des mathématiques cunéiformes? Quelles en sont les conséquences, notamment dans la reconstitution des méthodes de calcul? Il me semble que le nœud de la discussion se situe dans l interprétation de la fonction des tables métrologiques. Il est habituellement admis que celles-ci sont des tables de conversion des différentes unités de mesure dans une seule unité de mesure de référence ; autrement dit, chaque sous-système métrologique (capacités, poids, etc.) a son unité de base servant à faire les calculs. Cette position est exposée par exemple par M. Tanret dans son étude des textes scolaires de Sippar : «Pour faire des calculs, il fallait passer de ces systèmes divers, de mesures de longueur, de surface, de poids et de capacité à un système unique sexagésimal positionnel (E. Robson 1999 p. 112). A cet effet, on partait d une unité de base: pour les mesures de capacités le sila 3, pour les poids le gin 2, pour les surfaces le sar et 382 Voir la présentation de la structure arborescente de A 24194 dans le CD, où cette structure peut être parcourue grâce à l explorateur de document du logiciel Word. 251

pour les longueurs le ninda. Toutes les autres unités de ces systèmes pouvaient être notées comme des multiples ou des fractions de ces unités de base. Afin d inculquer ces équivalences aux apprentis, on ajouta aux listes métrologiques à chaque ligne l équivalent sexagésimal ainsi obtenu.» [Tanret 2002, p. 100]. Cette position est exprimée par la plupart des auteurs spécialistes des mathématiques cunéiformes : outre la référence à E. Robson (1999, p. 112) indiquée par M. Tanret ci-dessus, on peut par exemple citer Neugebauer et Sachs (1984, p. 246), J. Friberg (1993, p. 402), K. Nemet- Nejat (1995, p. 256), J. Høyrup (2002, p. 18) 383. Cette hypothèse pose plusieurs problèmes. Tout d abord, le choix de l unité de base attribuée à chaque sous-système n est pas le même d un auteur à l autre. Il se porte toujours sur des unités qui correspondent à la valeur sexagésimale 1 des tables métrologiques (voir Annexe 4 «systèmes métrologiques»). Mais, à partir de ce critère, plusieurs candidats sont possibles. Pour les poids, on peut choisir le gin 2 (c est ce que font E. Robson et M. Tanret), ou bien le ma-na (c est ce que fait J. Friberg) ; du reste, pourquoi ne pas choisir le gin 2 systématiquement, et pas seulement pour les poids, puisque cette unité «fédératrice» existe dans presque tous les sous-systèmes (capacités, poids, surfaces) 384? Rien ne permet de trancher, puisque la notation sexagésimale n indique pas les ordres de grandeur, et surtout, il n est jamais fait mention d unités de mesure dans les parties des textes où sont notés des équivalents sexagésimaux, que ce soit dans les tables métrologiques (sous-colonne de droite), ou dans les exercices de calcul de surface et volume (par exemple en haut à gauche dans les exercices de calcul de surface décrits dans le 7.4). Sur le plan du calcul, manipuler ces unités de base sans l outil mathématique que sont les marqueurs de position (zéros en position finale et virgule) est impraticable : comment calculer avec le sar (36 m²) comme unité de base dans des problèmes portant sur des surfaces de quelques še (de l ordre des cm²)? Les commentateurs modernes utilisent abondamment les «zéros». Mais les scribes eux, comment calculaient-ils? J ai argumenté, dans l analyse du corpus de Nippur, en faveur de l hypothèse qui considère que les tables métrologiques sont des tables de conversion des unités de mesures en nombres sexagésimaux positionnels sans ordre de grandeur défini, et non pas en d autres unités de mesure. La fonction de ces «nombres abstraits» n est pas de quantifier, mais uniquement de permettre d exécuter les calculs, en premier lieu les multiplications et les divisions nécessaires au calcul des surfaces, des volumes, et à l application des divers coefficients. Cette hypothèse n est pas nouvelle, mais il s agit de l affirmer clairement, de l appuyer sur l examen des sources et d en explorer toutes les conséquences dans un cadre d interprétation cohérent. Cette hypothèse est assez proche de la conception des tables exprimée par J. Ritter en 1999 : Even more important, though generally overlooked in standard accounts of Babylonian number system, is the fact that this system was used in a special calculational context. Given any problem, the scribe was led 383 Une position assez différente est développée dans Archaic Bookkeeping par P. Damerow et R. Englund (1994, p. 146-147) : les tables métrologiques seraient des tables de conversion d un système ancien (les nombres et unités de mesure standard) en un système nouveau (les nombres sexagésimaux positionnels). 384 On notera la contradiction entre le fait de considérer le sila 3 comme unité de base des capacités dans les tables métrologiques, et le fait d adopter un système «positionnel» de translittération des capacités dans les textes administratifs où c est le gur qui joue le rôle d unité de base (voir 4.1.3). L image emblématique du gur incarnant le système métrologique normalisé en Mésopotamie (voir 4.1.2, «Capacité») justifie ce dernier choix ; malheureusement le nombre sexagésimal associé au gur est 5 (et pas 1). C est un bon candidat pour des raisons historiques, mais pas dans la logique décrite ici. 252

first to translate any metrological data appearing in the formulation of the problem into this special numerical system. Performing all necessary calculations on the numbers in this form and determining the answer, he had then to retranslate back into the appropriate metrological system. That is, the new numerical system was the carrier of the concept of an abstract number, independent of any particular metrological system and applicable to them all. [Ritter 1999, p. 234] Dès 1930, Thureau-Dangin avait indiqué cette direction : «La tablette dite de l Esagil illustre parfaitement la méthode employée par les Babyloniens et montre comment, dans leurs calculs, ils passaient du concret à l abstrait, puis revenaient de l abstrait au concret. [ ] Les données concrètes de chaque problème sont traduites en nombres abstraits, sans ordre de grandeur déterminé, et c est sur ces nombres qu opère le calculateur. [ ] Le résultat est encore un nombre abstrait. La dernière opération consiste à passer de l abstrait au concret.» [Thureau-Dangin 1930a p. 117] Considérer les nombres sexagésimaux positionnels, notamment ceux qu on trouve dans les tables métrologiques, comme des nombres sans ordre de grandeur défini a des conséquences dans l interprétation des calculs : le caractère indéterminé des ordres de grandeur doit être respecté dans les traductions et les commentaires ; en particulier, la reconstitution des calculs ne doit pas faire appel à des notions mathématiques étrangères telles que zéros et virgules. Il est nécessaire d identifier précisément le contexte numérique dans lequel se place chaque phase de la résolution des problèmes : celui des «nombres concrets», c'est-à-dire la quantification des grandeurs métrologiques et celui des «nombres abstraits» sur lesquels «opère le calculateur», éventuellement au moyen d un instrument matériel. Les conversions que nécessitent ces va-et-vient entre nombres abstraits et nombres concrets doivent être accompagnées d un contrôle mental des ordres de grandeurs. Les scribes devaient être entraînés à cet exercice dès le début de l apprentissage de l écriture, notamment au moyen de certaines séquences des listes lexicales thématiques. Les textes scolaires de Nippur, dans leurs intentions didactiques, sont particulièrement explicites dans la séparation du domaine de la mesure et du domaine du calcul. Les exemples les plus typiques sont les suivants : Mesure et nombres concrets Listes métrologiques Tables métrologiques, sous-colonne de gauche Exercices de surface (type Ni 18), en bas à droite Calcul et nombres abstraits Tables métrologiques, sous-colonne de droite Tables numériques Exercices de surface (type Ni 18), en haut à gauche Pour être tout à fait précis, il faut noter que les tables numériques contiennent quelques entrées qui n appartiennent pas entièrement au domaine du calcul. Il s agit des deux premiers items des tables d inverses, qui, comme cela a été remarqué lors de leur étude ( 6.2.1) sont des tables de conversion de fractions en nombres abstraits. Cette partie des tables d inverses a la même fonction que les tables métrologiques : il faut placer la sous-colonne de gauche dans la catégorie «nombres concrets», et la sous-colonne de droite dans celles des «nombres abstraits». Les exercices de calcul de surface de carrés du type Ni 18 (voir 7.4.1) mettent en «page» de façon très visuelle la séparation des deux domaines ; cette présentation, attestée pour les surfaces à Nippur, est également attestée pour les volumes à Girsu (voir AOT 304, 7.6.2) et pour les poids (voir YBC 7284, de provenance inconnue, 7.6.4). 253

L analyse des textes d exercices et de problèmes de niveau avancé montre que les règles de calcul des surfaces, volumes, capacités et poids se résument à des multiplications opérant sur des nombres abstraits (voir formulaire 7.6.5). Dans cette logique, multiplier arithmétiquement deux mesures de longueurs (1 kuš 3 1 kuš 3 par exemple) n a pas de sens. Multiplier deux longueurs signifie construire un rectangle ou un carré (a-ša 3 en sumérien) ; l opération numérique de multiplication (a-ra 2 en sumérien) s effectue sur les nombres abstraits après conversion. On peut illustrer ce schéma par celui qui est proposé à la fin du 7.4.1, et que je rappelle ici : multiplication métrologique (a-ša 3 ) multiplication numérique (a-ra 2 ) 1/3 gin 2 15 še 1 kuš 3 5 5 = 25 1 kuš 3 Les calculs proprement dits, c est-à-dire en premier lieu les multiplications qui opèrent sur les nombres abstraits, n ont pas laissé de trace sur les tablettes. Les résultats des opérations sont enregistrés sur l argile, mais on ne trouve jamais de notation des étapes intermédiaires des calculs, même dans le cas où ils nécessitent un grand nombre de résultats partiels dépassant vraisemblablement les capacités du calcul mental. Par ailleurs, pour effectuer une multiplication, il est nécessaire, dans une des phases du calcul, de repérer les positions relatives des chiffres sexagésimaux des produits partiels. Pourtant, on ne trouve pas dans les tablettes numériques des alignements de chiffres les uns sous les autres qui pourraient répondre à cet impératif 385. Les éléments de mise en «page» des nombres rencontrés au cours de cette étude répondent à des contraintes d une autre nature (remplissage des lignes par une répartition «justifiée» des signes, disposition permettant de suivre la progression d un algorithme, dans CBS 1215 par exemple). La disposition des nombres sur les tablettes n évoque donc pas un calcul «au calame», écrit directement sur l argile. Ces éléments, ainsi que des indices d une autre nature tels que les types d erreurs de calcul, font penser qu il devait exister un instrument de calcul matériel 386. L existence d un abaque est souvent évoquée dans les publications portant sur la numération 385 Il existe une exception : YBC 12593 est une tablette datant de l époque d Ur III où des nombres sexagésimaux positionnels sur lesquels doit être effectuée une addition sont placés les uns sous les autres en tenant compte de la position relative des chiffres les uns par rapport aux autres. Cette tablette montre par ailleurs que le système sexagésimal positionnel est complètement formé à la fin du 3 ème millénaire [Keiser 1919 n 293 ; Powell 1976 p. 420; Ritter 1999 p. 235]. 386 Cette hypothèse a été avancée dans les 4.2.2, 6.2.1 et surtout 7.2.1. 254

cunéiforme ou le vocabulaire scolaires 387. M. Powell pense même que l écriture positionnelle est, dans sa conception même, directement issue des pratiques de calcul sur abaque. Pour A. Cavigneaux, le signe šid (calcul) pourrait représenter un abaque : le dessin primitif dont ce signe est issu évoque la forme d une sorte de métier à tisser qui serait en fait un instrument de calcul 388 (voir Figure 19 ci-dessous). šid : formes archaïques [Labat n 314] šid : signe paléo-babylonien [Ni 3913] Figure 19 : signe šid Lorsqu on compare les «nombres concrets» et les «nombres abstraits», il n y a pas lieu d opposer numérations anciennes et numération nouvelle, calcul élémentaire et méthodes avancées, problèmes pratiques et mathématiques savantes, calcul mental ou manuel et calcul écrit. Ce sont les multiples faces d un seul système complexe, construit et cohérent, probablement élaboré à la fin du troisième millénaire au sein des écoles de scribes sumériennes. Nippur a été, à l époque paléo-babylonienne, le plus prestigieux conservatoire de cet héritage. 387 Oppenheim 1959 ; Civil & al. 1969, p. 171 ; Lieberman 1980 ; Høyrup 1982, p. 28 ; Høyrup 2002 ; Liverani 1983; Ludwig 1990, chapitre 8 (lignes 3-4 de l Hymne d Išme-Dagan V) ; Nissen & al. 1993, p. 147; Michel 1998. 388 Communication personnelle. 255

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Annexes 257

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Annexe 1 : Programme Mathematica pour la mise en ordre du cursus 259

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Annexe 2 : Suites géométriques et puissances 267

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Annexe 3 : Données statistiques 271

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Annexe 4 : Systèmes métrologiques 283

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Annexe 5 : Carte Figure 20 : carte du «Pays de Sumer et d Akkad» [B. Lafont et M. Sauvage, in Joannès 2001, Dictionnaire de la Civilisation Mésopotamienne, p. 793] 287

Annexe 6 : Chronologie La chronologie donnée ici (page suivante) est constituée à partir de celle du Dictionnaire de la civilisation mésopotamienne p. XVIII et XX [Francis Joannès (éd.), Bouquins, Paris 2001], selon la «chronologie moyenne» adoptée par la majorité des assyriologues. Je n ai pas reproduit la liste complète de tous les souverains ayant régné sur le sud de la Mésopotamie au début du deuxième millénaire, mais je me suis limitée à situer les périodes, les noms et les événements auxquels il est fait référence dans le texte de cette étude. J ai noté les règnes du début et de la fin des dynasties citées, ainsi que le nom des rois qui occupent une place particulière dans la littérature scolaire. La période paléo-babylonienne est plus détaillée, et les années où les dynasties d Isin, Larsa ou Babylone ont exercé le pouvoir sur la cité de Nippur sont soulignées par une trame grise. 288

Dates Période d Akkad 2350 Sargon 1 er (2334-2279) Narâm-Sîn (2254-2218) Šar-Kali-Šarri (2217-2193) Période néo-sumérienne (Ur III) 2110 Ur-Nammu (2112-2095) Šulgi (2094-2047) Amar-Sîn (2046-2038) Šu-Sîn (2037-2029) Ibbi-Sîn (2028-2004) 2000 Période paléo-babylonienne Dynasties d Isin Dynastie de Larsa Nippur 1900 Išbi-Erra (2017-1985) Šu-Ilišu (1984-1975) Iddin-Dagan (1974-1954) Išme-Dagan (1953-1935) Lipit-Ištar (1934-1924) Naplânum (2025-2005) Dynastie de Babylone Pouvoir d Isin et Larsa alternativement (2000-1793) 1800 Damiq-Ilišu (1816-1794) Rîm-Sîn (1822-1763) Sûmû-Abum (1894-1881) Hammurabi (1792-1750) Samsu-Iluna (1749-1712) Samsu-Ditana (1625-1595) Pouvoir de Larsa (1793-1763) Pouvoir de Babylone (1763-1721) Maison F (1800-1721) Fin des écoles (1739) Fin des archives cunéiformes (1720) 1600 Période cassite 1150 Période post-cassite 900 Période néo-babylonienne 550 Période achéménide 300 Période séleucide 289

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Annexe 7 : Glossaire Ce glossaire contient : - le vocabulaire sumérien rencontré dans les textes analysés au cours de cette étude ; - le vocabulaire sumérien et akkadien des 3 textes de problèmes de Nippur ; - des extraits d une liste lexicale («Proto-Izi») de Nippur contenant des séquences de vocabulaire mathématique. 291

Vocabulaire sumérien sumérien sens littéral traduction contexte [1-da] igi n gal 2 -bi [de 1] sa n ème partie inverse de n table d inverses (ou division de 1 par 2) 4-e 2 ib 2 -si 8 relativement à 4, 2 est le côté la racine carrée de 4 est 2 table de racines carrées (du carré) 8-e 2 ba-si 8 relativement à 8, 2 est le côté la racine cubique de 8 est 2 table de racines cubiques (du cube) a-ra 2 aller fois table de multiplication table de carrés a-ša 3 champ surface table métrologique S d Nisaba za 3 -mi 2 gloire à Nisaba fin de série listes lexicales et mathématiques dub tablette tablette dub-sar scribe scribe dumu-e 2 -dub-ba fils de la maison des tablettes élève scribe e 2 -dub-ba maison des tablettes école de scribes gub tracer composition (Eduba A) im argile écriture Proverbe (Ni 5376*) im-gid 2 -da tablette allongée tablette de type III colophon, type III im-šu argile+main case composition (Eduba A) colophons de séries mathématiques im-šu-gub-ba cases tracées? table (tablette contenant une liste) ku 3 -babbar argent poids table métrologique P mu entrée, item proverbe (SP 2-38) mu-gub-ba ligne tracée trait de section ou de composition (Eduba A) colonne nam-sukud-bur 3 nam-sukud-gam abstrait + hauteur-profondeur dimensions verticales table métrologique Lh (colophon Ur) nam-uš-dagal nam-uš-sag abstrait + longueur-diagonale abstrait + longueur-largeur dimensions horizontales table métrologique L (colophon Ur) sar écrire sar-šu-ba tablette à jeter tablette de type II composition (Eduba A) še grain capacité table métrologique C šid calcul calcul proverbe, liste lexicale (Ni 5376*, Ni 3913*) šu main liste šu-ri-a geste de la main? moitié table d inverses Vocabulaire akkadien et sumérien des textes de problèmes akkadien sumérien Sens littéral traduction référence bala tour de rôle, cycle, règne, alternance conversion BM 85194, BM 85200 +VAT 6599 bur 3 hauteur CBS 12648 e 11 extraire extraire une racine CBS 12648 gam profondeur CBS 11681 gid 2 long Ni 5175 + CBS 19761 ib 2 -si 8 égaliser côté (du cube), racine cubique CBS 12648 igi---du 8 dénouer l inverse CBS 12648 292

igi-gub-ba coefficient Ni 5175 + CBS 19761 CBS 11681 il 2 élever multiplier par l inverse CBS 12648 sag tête largeur Ni 5175 + CBS 19761 exercices sukud hauteur Ni 5175 + CBS 19761 uš longueur Ni 5175 + CBS 19761 exercices zu connaître CBS 12648 amarum (sig 4 -anše) tas de briques prisme rectangulaire Ni 5175 + CBS 19761 arakarûm a-ra 2 -kar 2 inverse après doublements UM 29-13-021 edûm connaître fausse position? CBS 11681 ša la ti-du-šu-nu-ti que tu ne connais pas elūm monter, venir venir (un résultat) Ni 5175 + CBS 19761 CBS 11681 eperum sahar terre, poussière volume CBS 11681 CBS 12648 erēbum entrer Ni 5175 + CBS 19761 haras um zi arracher soustraire Ni 5175 + CBS 19761 ina epešika dans ta procédure début de procédure CBS 11681 išten un, premier Ni 5175 + CBS 19761 kamārum additionner Ni 5175 + CBS 19761 kî mas i en-nam combien? CBS 11681 CBS 12648 exercices kima combien? Ni 5175 + CBS 19761 lamādum apprendre Ni 5175 + CBS 19761 lapātum inscrire poser CBS 11681 (libittum) sig 4 brique standard unité de volume Ni 5175 + CBS 19761 mithartum ib 2 -si 8 égaliser côté (du carré); carré Ni 5175 + CBS 19761 pātum bord côté Ni 5175 + CBS 19761 pat ārum extraire (l inverse) Ni 5175 + CBS 19761 šanûm second, suivant, autre Ni 5175 + CBS 19761 šapālum creuser CBS 11681 šapiltum reste (d une soustraction) Ni 5175 + CBS 19761 šumma si CBS 11681 šutakūlum gu 7 croiser multiplier (multiplication «géométrique») CBS 11681 CBS 12648 wabālum porter multiplier (multiplication Ni 5175 + CBS 19761 «géométrique») wabālum porter multiplier Ni 5175 + CBS 19761 CBS 11681 Liste lexicale «Proto-Izi» La liste lexicale «Proto-Izi» est dite «acrographique», c est-à-dire que les entrées sont classées et ordonnées selon la forme du premier signe de chaque item ; en fait, ce critère graphique dominant est souvent combiné avec des critères phoniques et sémantiques 389 : 389 Civil 1975, p. 128 ; Cavigneaux 1983, p. 632. 293

«les principes d organisation des entrées des listes lexicales Proto-Izi et Proto-Kagal, une combinaison d économie mnémotechnique et de digressions par associations d idées pourraient être un fascinant sujet d études» [Civil 1975 p. 128] Deux séquences de cette liste sont en relation avec le vocabulaire mathématique. L une concerne les mots šid (calcul) et sig 4 (brique) (lignes 254-264), l autre concerne les termes utilisés dans les problèmes de surface et de volume (lignes 296-315). Vocabulaire des surfaces et volumes liste Proto-Izi I [MSL 13, 26] 296. u 2 -dagal diagonale? 297. u[š] longueur 298. u[š] 299. u[š] 300. [uš] 301. sag-uš largeur-longueur 302. uš-sag longueur-largeur 303. uš-an-[na] longueur supérieure 304. uš-ki-[ta] longueur inférieure 305. uš-gid 2 -d[a] longueur la plus longue 306. sag largeur 307. sag-an-na largeur supérieure 308. sag-ki-ta largeur inférieure 309. uš-buru 3 profondeur 310. za 3 -giš-kiri 6 (SAR) 311. uš-uš longueur-longueur 312. us 2 -sa-du côté 313. ib 2 -si 8 racine carrée, côté du carré 314. sag-du 3 triangle 315. sag-ki-gu 4 trapèze Remarques : lignes 301 : le groupe «uš-sag» est utilisé dans la série d énoncés de A 24194 pour désigner une expression fixe dépendant de la longueur et de la largeur (par exemple leur somme uš+sag, ou bien uš + sag + 2(uš sag)) lignes 303-304 ; 307-308 : les longueurs ou largeurs supérieures et inférieures s emploient pour désigner les côté opposés d un trapèze ou d un quadrilatère quelconque. šid (calcul) et sig 4 (brique) : Ni 3913* La tablette Ni 3913*, citée parmi les sources de MSL 13 (p. 16), est une tablette de type II dont la face contient un extrait de la liste «Proto-Izi» et le revers une liste métrologique de capacités. 294

Ni 3913* liste Proto-Izi I [MSL 13, 26] face 1 ŠID 254. ŠID ma-nu-u -um 2 2 ŠID 255. [m]a-ru um-mi-a-ni ŠID u 3 ŠID 255a. 2 4 5 6 7 8 9 ŠID ŠID ŠID sig 4 -al-ur 3 -ra sig 4 -sig 4 sig 4 -idim 256. 257. 258. 258a. 258b. 259. ŠID ra-ka-bu ŠID qa -ra-du 2 ŠID li-i-šušum ŠID d.en/lil2 ŠID u4-ru-hu šeg 12 (sig4) 260. sig 4 -al-ur 3 -ra 260a. sig 4 -izi-ur 3 -ra 261. sig 4 -anše a-ma-a-rum 262. a-ma-a-rum sig 4 -du 3 263. la-ba-a-nu sig 4 -du 8 264. SIG 4.IDIM te-rum -bi-sag umbisag(šid) tu-up-ša-rum calculer expert scribe brique carrée pile de briques Cet extrait énumère différentes valeurs de ŠID, puis des composés de SIG 4. Il existe une version de cette liste comportant des gloses akkadiennes (deuxième colonne ci-dessus) omises dans Ni 3913, et qui permettent d identifier les différentes valeur de ŠID. On reconnaît les termes mathématiques suivants : šid (manûm) sig 4 -al-ur 3 -ra (agurrum) sig 4 -anše (amarum) calculer brique carrée pile de briques L association des entrées de cette séquence répond à un critère graphique (énumération des valeurs de šid), mais aussi à un critère phonétique (šid šeg sig 4 ), et thématique (association d idées entre des termes appartenant au champ sémantique des mathématiques). 295

296

Annexe 8 : Prisme AO 8865 Edition: Thureau-Dangin 1930, RA 27, p. 73-78 (p. 74 copie faces I et II); Neugebauer, MKT I, p. 69; p. 88-90 (translittération faces I et II) Bibliographie : Friberg 1987-90 p. 543 ; Robson 2002c, MAA Online. Copie : voir planches à la fin de cette annexe. Le prisme AO 8865 est une belle pièce presque entièrement conservée. Thureau-Dangin (1930) a publié la copie des faces I et II, et Neugebauer la translittération de ces faces ainsi que de l un des colophons. Mais la tablette n avait jamais encore été éditée dans son intégralité. C est à la demande de J. Friberg que j ai fait en juin 2004 une collation de ce prisme. Je le remercie donc vivement d avoir attiré mon attention sur cette pièce d un grand intérêt. Je remercie également Béatrice André-Salvini, Conservateur au Département des Antiquités Orientales Musée du Louvre, qui m a aimablement autorisée à publier ici la copie (voir fin de l annexe) et la translittération complètes. La présentation de AO 8865 trouve sa place dans cette étude, puisqu il s agit d une série réunissant des tables métrologiques et des tables de racines. Cette structure est différente de celle qu on trouve à Nippur, et permet de mettre en évidence l existence de choix différents, d un site à l autre, dans la composition des séries. Le prisme a 6 faces, il est traversé d un trou axial. Il mesure 20 cm de hauteur environ, les faces ont 4 à 4,5 cm de largeur. Le contenu des faces I, II, IV, V et VI est identifiable, la face III est détruite. La face VI et la face supérieure contiennent chacune un colophon. L écriture est serrée et régulière. Deux petites cassures récentes ont fait disparaître quelques signes qui existaient lorsque la tablette a été copiée par Thureau-Dangin. 297

Face I (52 lignes) 1 šu-si [10] 2 šu-si [20] 3 šu-si 30 4 šu-si 40 5 šu-si 50 6 šu-si 1 7 šu-si 1.10 8 šu-si 1.20 9 šu-si 1.30 1/3 kuš 3 1.40 ½ kuš 3 2.30 2/3 kuš 3 3.20 5/6 kuš 3 4.10 1 kuš 3 5 1 1/3 kuš 3 6.40 1 ½ kuš 3 7.30 1 2/3 kuš 3 8.20 2 kuš 3 10 3 kuš 3 15 4 kuš 3 20 5 kuš 3 25 ½ ninda 30 ½ ninda 1 kuš 3 35 ½ ninda 2 kuš 3 40 ½ ninda 3 kuš 3 45 ½ ninda 4 kuš 3 50 ½ ninda 5 kuš 3 55 1 ninda 1 1 ½ ninda 1.30 2 ninda 2 2 ½ ninda 2.30 3 ninda 3 3 ½ ninda 3.30 4 ninda 4 4 ½ ninda 4.30 5 ninda 5 5 ½ ninda 5.30 6 ninda 6 6 ½ ninda 6.30 7 ninda 7 7 ½ ninda 7.30 8 ninda 8 8 ½ ninda 8.30 9 ninda 9 9 ½ ninda 9.30 10 ninda 10 [10] ninda 10 [15] ninda 15 [20] ninda 20 [25] ninda 25 [30] ninda 30 [35] ninda 35 Face II (45 lignes) 40 [ninda 40] 45 ninda [45] 50 ninda [50] 55 ninda [55] 1 uš 1 2 uš 2 3 uš 3 4 uš 4 5 uš 5 6 uš 6 7 uš 7 8 uš 8 9 uš 9 10 uš 10 11 uš 11 12 uš 12 13 uš 13 14 uš 14 Nippur : 15 [uš] 15 16 [uš] 16 17 [uš] 17 18 [uš] 18 19 [uš 19] 2/3 danna [20] 1 danna [30] 1 ½ danna [45] 1 2/3 danna [50] 2 danna [1] 3 danna [1.30] 4 danna [2] 5 danna [2.30] 6 danna [3] 7 danna [3.30] 8 danna [4] 9 danna [4.30] 10 danna [5] 11 danna [5.30] 12 [danna 6] 13 [danna 6.30] 14 [danna 7] 15 [danna 7.30] 16 [danna 8] 17 [danna 8.30] 18 [danna 9] 19 [danna 9.30] Face III : détruite ½ danna 15 ½ danna 1 uš 16 ½ danna 2 uš 17 ½ danna 3 uš 18 ½ danna 4 uš 19 298

Face IV (53 lignes) [1 -e 1 am 3 ib 2 -si 8 ] [4 -e 2 am 3 ib 2 si 8 ] [9 -e 3 am 3 ib 2 -si 8 ] [16 -e 4 am 3 ib 2 -si 8 ] [25 -e 5 am 3 ib 2 -si 8 ] [36 -e 6 am 3 ib 2 -si 8 ] [49 -e 7 am 3 ib 2 -si 8 ] [1.4 -e 8 am 3 ib 2 -si 8 ] [1.21 -e 9 am 3 ib 2 -si 8 ] [1.40 -e 10 am 3 ib 2 -si 8 ] [2.1 -e 11 am 3 ib 2 -si 8 ] [2.24 -e 12 am 3 ib 2 -si 8 ] [2.49 -e 13 am 3 ib 2 -si 8 ] [3.16 -e 14 am 3 ib 2 -si 8 ] [3.45 -e 15 am 3 ib 2 -si 8 ] [4.16 -e 16 am 3 ib 2 -si 8 ] [4.49 -e 17 am 3 ib 2 -si 8 ] [5.24 -e 18 am 3 ib 2 -si 8 ] [6.1 -e 19 am 3 ib 2 -si 8 ] [6.40 -e 20 am 3 ib 2 -si 8 ] [7.21 -e] 21 am 3 [ib 2 -si 8 ] [8.4 -e] 22 am 3 [ib 2 -si 8 ] [8.49 -e] 23 am 3 [ib 2 -si 8 ] [9.36 -e 2]4[am 3 ib 2 -si 8 ] [10.25 -e 2]5[am 3 ib 2 -si 8 ] [11.16 -e 2]6[am 3 ib 2 -si 8 ] [12.9 -e 27 am 3 ib 2 -si 8 ] [13.4 -e] 2[8am 3 ib 2 -si 8 ] [14.1 -e] 29 am 3 [ib 2 -si 8 ] [15 -e 30 am 3 ib 2 -si 8 ] [16.1 -e 31 am 3 ib 2 -si 8 ] [17.4 -e 32 am 3 ib 2 -si 8 ] [18.9 -e] 33 am 3 [ib 2 -si 8 ] [19].16 -e 34 am 3 [ib 2 -si 8 ] [20.2]5 -e 35 am 3 [ib 2 -si 8 ] [21.36 -e 36 am 3 ib 2 -si 8 ] 22.49 [-e 3]7 [am 3 ib 2 -si 8 ] 24.4 [-e 3]8 [am 3 ib 2 -si 8 ] [25.21 -e 3]9 [am 3 ib 2 -si 8 ] [26.40 -e 40 am 3 ib 2 -si 8 ] [28.1 -e 41 am 3 ib 2 -si 8 ] [29.24 -e 42 am 3 ib 2 -si 8 ] [30.4]9 [-e 4]3 [am 3 ib 2 -si 8 ] [32.1]6 [-e 4]4 [am 3 ib 2 -si 8 ] [33.45 -e 45 am 3 ib 2 -si 8 ] [35.16 -e 46 am 3 ib 2 -si 8 ] [36.49 -e 47 am 3 ib 2 -si 8 ] [38.24 -e 48 am 3 ib 2 -si 8 ] [40.1 -e 49 am 3 ib 2 -si 8 ] [41.40 -e 50 am 3 ib 2 -si 8 ] [43.21 -e 51 am 3 ib 2 -si 8 ] [45.4 -e 52 am 3 ib 2 -si 8 ] [46.49 -e 53 am 3 ib 2 -si 8 ] Face V (45 lignes) [48.36 -e 54 am 3 ib 2 - si 8 ] [50.25 -e] 55 am 3 ib 2 -si 8 [52.16 -e] 56 am 3 ib 2 -si 8 [54.9 -e] 57 am 3 ib 2 -si 8 [56.4 -e] 58 am 3 ib 2 -si 8 [58.1] -e 59 am 3 ib 2 -si 8 [1] -e 1 am 3 ib 2 -si 8 [1] -e 1 am 3 ba-si [8] -e 2 am 3 ba-si [2]7 -e 3 am 3 ba-si [1]. 4 -e 4 am 3 ba-si [2]. 5 -e 5 am 3 ba-si [3. 3]6 -e 6 am 3 ba-si [5. 4]3 -e 7 am 3 ba-si [8. 32] -e 8 am 3 ba-si [12. 9] -e 9 am 3 ba-si [16]. 40 -e 10 am 3 ba-si [22]. 11 -e 11 am 3 ba-si [28]. 48 -e 12 am 3 ba-si [36]. 37 -e 13 am 3 ba-si [4]5. 44 -e 14 am 3 ba-si 56. 15 -e 15 am 3 ba-si 1. 8. 16 -e 16 am 3 ba-si 1. 21. 53 -e 17 am 3 ba-si 1. 37. 12 -e 18 am 3 ba-si 1. 54. 19 -e 19 am 3 ba-si 2. 13. 20 -e 20 am 3 ba-si 2.34.21 -e 21 am 3 ba-si 2.57.28 -e 22 am 3 ba-si 3.22.47 -e 23 am 3 ba-si 3.50.24 -e 24 am 3 ba-si 4.20.25 -e 25 am 3 ba-si 4.52.56 -e 26 am 3 ba-si [5.2]8.3 -e 27 [am 3 ba-si] [6.5.52 -e 28 am 3 ba-si] 6.4[6.29 -e 29 am 3 ba-si] [7.30 -e 30 am 3 ba-si] [8.16.31 -e 31 am 3 ba-si] 9.[6.8 -e 32 am 3 ba-si] 9.[58.57 -e 33 am 3 ba-si] 10.5[5.4 -e 34 am 3 ba-si] 11.5[4.35 -e 35 am 3 ba-si] 12.5[7.36 -e 36 am 3 ba-si] [1]4.[4.13 -e 37 am 3 ba-si] [15.14.32 -e 38 am 3 ba-si] Nippur: 7.30 -e 30 ba-si 17.46.40 -e 40 ba-si 34.43.20 -e 50 ba-si 299

Face VI 16.28.39 -e 39 am 3 ba-si 7.46.40 -e 40 am 3 ba-si 4.13 mu-bi-im Il y a 253 lignes iti ziz 2 -a u 4-5-kam 5 ème jour du mois XI (šabattu = mi-janvier à mi-février) [mu sa]-am-su 2 -i-lu-na lugale Première année du règne de Samsu-Iluna Face supérieure d nisaba za 3 -mi 2 Gloire à Nisaba Note : Le prisme a subi deux cassures récentes qui n existaient pas lorsque Thureau-Dangin a fait la copie. La première se situe en haut de la face I, où la fin des deux premières lignes a disparu (les nombres 10 et 20 figurent sur la copie de Thureau-Dangin, mais sont aujourd hui détruits). La deuxième se situe en bas, à l angle des faces I et VI. Le début des six dernières lignes de la face I a disparu (Thureau-Dangin avait vu cette partie, où étaient inscrits les nombres 10, 15, 20, 25, 30, 35). Description Contenu Le contenu général des 6 faces du prisme est le suivant. - Face I (52 lignes) : table métrologique des longueurs (1 šu-si 35 ninda). - Face II (45 lignes) : table métrologique des longueurs, suite (40 ninda 19 danna). - Face III : détruite. - Face IV (53 lignes) : table des racines carrées (entrées 1 à 53). - Face V (45 lignes) : table des racines carrées, suite (entrées 54 à 59, puis 1) ; table des racines cubiques (entrées 1 à 38). - Face VI (2 lignes et colophon) : table des racines cubiques, suite (entrées 39 à 40) et double trait ; nombre de lignes, mois, année. - Face supérieure : doxologie. 300

Graphie Bien que la tablette date de la première année du règne de Samsu-Iluna (la date est indiquée dans le colophon), la graphie de certains chiffres (4, 7, 8, 40) est archaïsante et ne respecte pas les règles de la normalisation paléo-babylonienne en vigueur à Nippur. 19 est écrit 10+9, et non 20-1 comme à Nippur. 4 7 8 40 19 AO 8865 Nippur Style Les tables de racines sont de style plein, mais dans une forme plus complète que celle de Nippur : la copule du verbe être (/am 3 /) est présente dans toutes les entrées. Les modèles de AO 8865 et de Nippur sont les suivants (en notant n la racine carrée ou cubique de n) : AO 8865 Nippur racines carrées n -e n am 3 ib 2 -si 8 n -e n ib 2 -si 8 racines cubiques n -e n am 3 ba-si n -e n ba-si Variantes par rapport à Nippur Le texte de la table métrologique des longueurs présente, sur une brève séquence, une variante par rapport au texte composite de Nippur: là où les tables de Nippur donnent des fractions de danna, la table de AO 8865 donne ces mesures en nombres entiers de uš (15 à 19 uš). Le texte des tables de racines diffère de celui de Nippur par le style (voir ci-dessus) et dans la fin de la liste des racines cubiques. Celle de AO 8865 est plus détaillée que celle de Nippur. Cette remarque n a pas nécessairement de signification, car les tables de racines cubiques ne sont attestées à Nippur que sur un seul exemplaire (CBS 8165). Colophons La table des racines cubiques se termine, sur la face VI, par un double trait, puis un grand espace vide. Un colophon en 3 lignes très espacées est ensuite inscrit. Ce colophon a été publié par Neugebauer (MKT I, p. 72). La première ligne donne le nombre de lignes du prisme : 4.13 mu-bi-im Il y a 253 lignes (mot-à-mot : 253 sont ses lignes) 301

Cela correspond au nombre total de lignes qui devait être écrit sur le prisme. On trouve 52+45+53+45+2=197 lignes sur les 5 faces dont on peut reconstituer le texte assez sûrement ; 56 lignes pouvaient donc être inscrites sur la face III détruite. Cette partie du colophon confirme que mot sumérien «mu» («année» ou «nom») peut également prendre le sens de «ligne, entrée». Ce sens est par ailleurs attesté dans les exemples suivants. Proverbe : collection 2, n 38 [Alster p. 52; Gordon p. 200-2001; ETCSL c.6.1.02] [dub-sar]-re mu diš-am 3 he 2 -en-zu Quand le scribe sait toutes les lignes, [šu]-ni he 2 -sa 6 -sa 6 e-ne-am 3 dub-sar-ra Quand sa main est bonne, il est véritablement un scribe! Colophon : Texte Mathématique de Suse n 5 (TMS 5), [Bruins 19961] 4.22 mu-bi nigin-meš 262 entrées sur les carrés. Liste lexicale : Ana ittišu IV, annexe [MSL 1, 69], dernière entrée de la liste 35 mu-bi-im Il y a 35 lignes Ana ittišu VI [MSL 1, 89], dernière entrée de la liste šu-nigin 2 3-šu mu-bi-im Il y a au total 180 (3 soixantaines) lignes En-tête : Plimpton 322, dernière colonne [Robson 2001] mu-bi-im / ki-1 / ki-2, etc. Ses lignes sont : n 1, n 2, etc. Remarque : E. Robson traduit «son nom / 1 / 2 / etc.», ce qui est aussi possible. Les deux autres lignes du colophon donnent la date : iti ziz 2 -a u 4-5-kam / [mu sa]-am-su 2 -i-lu-na lugal-/e 5 ème jour du mois XI (šabattu), l année où Samsu-Iluna a été roi. La tablette date donc de la première année du règne de Samsu-Iluna, soit 1749 en chronologie moyenne. Un deuxième colophon se trouve sur la face supérieure. Il s agit d une inscription très érodée, qui n avait pas, semble-t-il, été remarquée par Thureau-Dangin. On lit cependant nettement la formule de louange à Nisaba «d Nisaba za 3 -mi 2». Contenu de la face détruite Le prisme contient sur les faces I et II la table métrologique des longueurs, et sur les faces IV, V et VI les tables de racines carrées et cubiques. Le principal problème qui reste à résoudre est le contenu de la face III détruite. J. Friberg pense qu il s agit d une table de longueurs «converties en cubits», c est-à-dire une table Lh selon la terminologie adoptée dans cette étude. On peut essayer de comparer le prisme avec d autres tablettes contenant à la fois des tables métrologiques et des tables numériques. Celles-ci sont citées dans les paragraphes concernant les tables des hauteurs ( 6.1.5) et les tables de racines carrées ( 6.2.5). Elles ne viennent pas de Nippur où, nous l avons vu, les tables métrologiques de longueurs et les tables de racines appartiennent à des séries différentes. Rappelons leur contenu : 302

tablette provenance type table L table Lh table de carrés table de rac. carrée table de rac. cubique BM 92698 «table de Senkereh» Larsa I AO 8865 Larsa Prisme Ist O 4108 Kiš I?? W 1923-366? Prisme VAT 6220? I ou II + table numérique Dans quatre de ces cinq tablettes, les tables de longueurs et de hauteurs sont associées à des tables de racines. La tablette VAT 6220, la seule qui contient une table de carrés et des tables de multiplication, est nettement différente des autres. La comparaison la plus pertinente est certainement celle du prisme AO 8865 avec la «tablette de Senkereh» BM 92698, qui provient aussi de Larsa. Ces remarques permettent d appuyer la position de J. Friberg : la face III contenait probablement une table métrologique des hauteurs. Mais il faut insister sur le fait qu il ne s agit que d une hypothèse, et qu aucun indice épigraphique direct ne permet d identifier le texte. Conclusion Le prisme AO 8865 du Louvre, provenant de Larsa et datant de la fin de l époque paléobabylonienne, contient des tables métrologiques et numériques qui, en ce qui concerne le texte proprement dit, s écarte très peu du modèle de Nippur. On constate des différences de forme : - usage de graphies archaïsantes pour les chiffres 4, 7, 8, 40 - style plein avec présence du verbe «être» dans les tables de racines. Cependant, la structure d ensemble est différente de celle des tables de Nippur. Elle est probablement identique à celle de l autre tablette de Larsa de type I connue, la «table de Senkereh» BM 92698. Ces deux exemplaires montrent l existence à Larsa d une série composée des sections suivantes : - table métrologique L - table métrologique Lh - table de racines carrées - table de racines cubiques. La section des racines cubiques termine la série, comme en témoigne l inscription «Gloire à Nisaba» sur la face supérieure. La collation de la tablette Ist O 4108 devrait permettre de savoir si on trouve la même structure à Kiš. 303

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Références des tablettes publiées et citées dans le texte C = copie ; P = photo ; T = transcription numéro publication C P T 2N-T 115 Neugebauer & Sachs 1984, p. 244 x 2N-T 27 non publiée, citée dans Friberg 1987-90, p. 549 2N-T 115 bis Neugebauer & Sachs 1984, p. 245 2N-T 116 = IM 57846 Neugebauer & Sachs 1984, p. 246 x 2N-T 174 Neugebauer & Sachs 1984, p. 250-251 x 2N-T 30 = IM 57828 Steele 1951, p. 25 x Neugebauer & Sachs 1984, p. 246-248 2N-T 472 = UM 55-21-076 Neugebauer & Sachs 1984, p. 246 Robson 2000, p. 25 x 2N-T 496 Al-Fouadi 1979 n 134 pl. 35 x 2N-T 500 Gordon 1959 n XXX, p. 171, 210, pl. 70 Robson 2000, p. 20 x x x 2N-T 600 = IM 58045 Friberg 1987-90, p. 541 x x 3N-T 362+366 Robson 2000, p. 22 x = IM 8446+58447 Vanstiphout 1997, p. 590-592 3N-T 604 = UM 55-21-356 Robson 2002, p. 360 x x 3N-T 605 = UM 55-21-357 Robson 2000, p. 19-20 x x Robson 2002, p. 335 x 3N-T 611 = A 30279 Robson 2002, p. 354 A 24194 Neugebauer & Sachs 1984, p. 107-112, pl. 15 x x x A 24195 Neugebauer & Sachs 1984, p. 119 ; pl. 16, 42 x x x AO 5670 Genouillac 1922, pl. IV x CDLI x x AO 8865 Thureau-Dangin 1930, p. 74 x MKT I, p. 88-90 x AO 10822 Neugebauer 1935-7 MKT I, p. 123-125 x x Genouillac 1924-5 PRAK 2, D 63 x AOT 304 = RTC 413 Thureau-Dangin 1903, n 413 x BM 17403 Nissen & al. 1993 p. 146 x x BM 80150 Pinches 1963; x Nissen & al. 1993, p. 144-145 x BM 85194 King 1900, p. 8-13 x Neugebauer 1935-7 MKT I, p. 143-151 x Neugebauer 1935-7 MKT II pl. 5-6 x Thureau-Dangin 1938, p. 21-39 x BM 85200+VAT 6599 Neugebauer 1935-7 MKT I, p. 193 ; MKT II pl. 7-8, 39-40 Thureau-Dangin 1936, p. 11-21 x x x x x BM 92698 «table de Senkereh» Rawlinson, et al. 1861-1884 IV, 40, n 1 Lenormant 1873, p. 219 Neugebauer 1935-7 MKT III pl. 61 (plan) Pullan 1968 x CBS 10190 Hilprecht 1906, n 11, pl. 5, pl. II x x CBS 10201 Hilprecht 1906, n 25, pl. 15, pl. IX Neugebauer 1935-7, MKT I, p. 24 x x CBS 10207 Hilprecht 1906, n 38, pl. 25 x CBS 10219 Hilprecht 1906, n 17, pl. 8, pl.iii x x CBS 10221 Hilprecht 1906, n 5, pl.3 x CBS 10745 Hilprecht 1906, pls. XIII-XIV x x x x x x x 307

CBS 10990+CBS 19815 Hilprecht 1906, n 29, pl. 17, pls.xi-xii x x CBS 11318 Neugebauer & Sachs 1984, p. 247, 251 x x CBS 11340+ Hilprecht 1906, n 20, pl. 10, pls. IV-V x x CBS 11368 Hilprecht 1906, n 21, pl. 10 x CBS 11397 (?) Hilprecht 1906, pl. VI-VII x CBS 11601 Robson 2000, p. 26-27 x x CBS 11681 Robson 2000, p. 32-33 x x CBS 11902 Hilprecht 1906, n 22, pl. 12 x CBS 1215 Sachs 1947, p. 237 x Robson 2000 p. 23 CBS 12648 Hilprecht 1906, pl. 15 Neugebauer 1935-7 (MKT 1), p. 234 Muroi 1989, p. 184-186 Friberg 2001, p. 149 Robson 2000, p. 32 x CBS 14233 Legrain 1922, p.55 (tablette n 22) x x CBS 19761 Robson 2000, p. 37 x x CBS 19790 (19760) Hilprecht 1906, n 23, pl. 13, pl. VIII x x CBS 19813 Hilprecht 1906, n 27, pl. 16, pl. X x x CBS 19814 Hilprecht 1906, n 35, pl. 22 x CBS 19820 Hilprecht 1906, n 34, pl. 22 x CBS 19836 Hilprecht 1906, pl.x x CBS 2142 Hilprecht 1906, n 24 pl. 14 x CBS 3335 Hilprecht 1906, n 2, p. 57, pl. 1 x CBS 3551 Robson 2000, p. 24 Neugebauer & Sachs 1945, p. 36 x x x CBS 4505 Hilprecht 1906, n 33, pl. 22 x CBS 6063 Hilprecht 1906, n 4, pl. 2 x CBS 6482 SLT 92(Obv); MSL 13, 41 T CBS 7265 Robson 2000, p. 24 x x CBS 8537 Hilprecht 1906, n 7, pl. 3, pl. II x x FLP 1283 Young 1972, p. 132 x H. 31 Hilprecht 1906, n 31, pl. 21 x H. 32 Hilprecht 1906, n 32, pl. 21 x H. 36 Hilprecht 1906, n 36, pl. 23 x H. 37 Hilprecht 1906, n 37, pl. 24 x H. 39 Hilprecht 1906, n 39, pl. 26 x H. 40 Hilprecht 1906, n 40, pl. 26 x H. 41 Hilprecht 1906, n 41, pl. 27 x H. 42 Hilprecht 1906, n 42, pl. 27 x H. 43 Hilprecht 1906, n 43, pl. 28 x Haddad 104 Al-Rawi & Roaf 1984 x x HS 210 Hilprecht 1906, n 19, pl. 9 x HS 211 Hilprecht 1906, n 6, pl. 3 x HS 215 Hilprecht 1906, n 16, pl. 7 x HS 217a Hilprecht 1906, n 15, pl. 7 x HS 218 Hilprecht 1906, n 3, pl. 6 x HS 222a Hilprecht 1906, n 1, pl. 1 x HS 223 Hilprecht 1906, n 8, pl. 4 x HS 224 Hilprecht 1906, n 26, pl. 16 ; pl. X-12 x x HS 226 Hilprecht 1906, n 28, pl. 16, pl. X-14 x x HS 231 Friberg 1983, p. 83 x x HS 232 Friberg 1983, p. 82 x IM 52301 Baqir 1950 x IM 54478 Baqir 1951, p. 30 x x Ist O 4108 Neugebauer 1935-7 pl. 68 (plan) Genouillac 1924-5 PRAK 2, A 303 MLC 651 Sachs 1947, p. 233 x x x x x x 308

N 3891 Sachs 1947, p. 234 x x N 3914 Robson 2000, p. 28 x x N 3958 Sachs 1947, p. 229 x x N 3971 Robson 1999, p. 275 x x N 3971 Robson 1999, p. 275 x x N 4281 Robson 1999, p. 276 x x N 4942 Robson 2002, p. 28-29 x x N 837 Robson 2000, p. 26 x x NBC 8082 Neugebauer & Sachs 1945, p. 10 x Nemet-Nejat 1995, p. 260 x NCBT 1913 Neugebauer & Sachs 1945, p. 10 x x Nemet-Nejat 1995, p. 260 x Scheil 1915 Scheil 1915, p. 197 x UET 6-2 211 Friberg 2000 p. 101-2, p. 101-102 x x UET 6-2 222 Gadd & Kramer 1966 pl. 248 Robson 1999, p. 252 Friberg 2000, p. 108 x x x x x UET 6-2 295 Friberg 2000 p. 101-2, p. 101-102 x x UET 6-2 321 Gadd & Kramer 1966 pl. 259 Robson 1999, p. 251 Friberg 2000, p. 101 x x x x x UET 7-115 Gurney 1974 UET 7 n 115 Friberg 2000, p. 156 x x UM 29-13-021 Neugebauer & Sachs 1945, p. 13-14, pl. 24. x x UM 29-13-173* Robson 2000, p. 30-31 x x UM 29-15-192 Neugebauer & Sachs 1984, p. 250-251 x UM 29-15-481* Neugebauer & Sachs 1945, p. 36 x UM 29-15-709 Robson 2000, p. 29-30 x x UM 29-16-401 Robson 2000, p. 25 x x UM 29-16-504+29-16-661 Robson 1999, p. 276 x x UM 29-16-504+29-16-661 Robson 1999, p. 276-277 x x VAT 5457 Sachs 1947, p. 234 x Friberg 1983, p. 83 x x VAT 6505 Neugebauer 1935-7, MKT I p. 270, MKT II pl. 14, 43 x x x W 16743ay Cavigneaux 1996, n 283 x x W 1923-366 van der van der Meer 1938 n 156 Neugebauer & Sachs 1945, p. 34. x x W 22260a Hunger 1973, p. 102 ; 167 x x W 23273 von Weiher 1993 n 172 x YBC 10801 Neugebauer & Sachs 1945, p. 35 x YBC 10802 Sachs 1947, p. 233 x YBC 11127 Neugebauer & Sachs 1945, p. 17 x Neugebauer & Sachs 1945, p. 254 x x YBC 12593 Keiser 1919 n 293 YBC 1839 Sachs 1947, p. 232 x YBC 4607 Neugebauer & Sachs 1945, p. 91-92, pl. 12, 37 x x x YBC 4612 Neugebauer & Sachs 1945, p. 103 ; pl. 14, 40 x x x YBC 4666 Neugebauer & Sachs 1945, p. 76-80, pl. 9, pl 34. x x x YBC 4675 Neugebauer & Sachs 1945, p. 44-48, pl. 1, pl. 26 x x x YBC 4708 Neugebauer 1935-7 MKT I, p. 389ss., MKT II pl. 57 Thureau-Dangin 1938, p. 21-39 x x x YBC 7234 Neugebauer & Sachs 1945, p. 17 x YBC 7284 Neugebauer & Sachs 1945, p. 97 x x YBC 7290 YBC 7294 Neugebauer & Sachs 1945, p. 35 x YBC 7354 Neugebauer & Sachs 1945, p. 17 x YBC 7355 Neugebauer & Sachs 1945, p. 17 x 309

YBC 7356* Neugebauer & Sachs 1945, p. 256 Nemet-Nejat 1995, p. 256 x x x x YBC 7358 Neugebauer & Sachs 1945, p. 17 Neugebauer & Sachs 1945, p. 254 x x x YBC 11126 Neugebauer & Sachs 1945, p. 44 x 310

Sigles JNES Journal of Near Eastern Studies AfO Archiv für Orientforchung AJSLL American Journal of Semitic Languages and Literatures AO Antiquités Orientales AS Assyriological Studies AUWE Ausgrabungen in Uruk-Warka Endberichte BE Babylonian Expedition BE 20 Hilprecht 1906 (Mathematical, Metrological and Chronological Tablets from the Temple Library of Nippur) BBVO Berliner Beiträge zum Vorderen Orient BM British Museum CBS Catalogue of the Babylonian Section, Philadelphie CBM = CBS CDLI Cuneiform Digital Library Initiative ETCSL The Electronic Text Corpus of Sumerian Literature HS Hilprecht Sammlung (Université de Iéna) ISET Istanbul Sumer Edebi Tablet ve parçalari (ISET I = Çığ & al. 1969; ISET II = Kramer 1976) Ist Ni collection de Nippur, Musée d Istanbul Ist O collection de Kish, Musée d Istanbul JCS Journal of Cuneiform Studies JNES Journal of Near Eastern Studies LWS Lengths, Widths, Surfaces (Høyrup 2002) MCT Mathematical Cuneiform texts (Neugebauer et Sachs 1945) MDP Mémoires de la mission archéologique en Perse MKT Mathematische Keilschrifttexte (Neugebauer 1935-1937) MLC Morgan Library Collection MMT Mathematical and Metrological Texts (Neugebauer et Sachs 1984) MSL Materials for the Sumerian Lexicon N Nippur Collection, Philadelphie Ni Voir Ist Ni NB Néo-babylonien OB Old Babylonian = paléo-babylonien PAS Proverbs of Ancient Sumer (Alster 1997) PSD Pennsylvania Sumerian Dictionary RA Revue d Assyriologie et d Archéologie Orientale RAI Rencontres Assyriologiques Internationales RlA Reallexikon der Assyriologie SP Sumerian Proverbs (Gordon 1959) TTKY Turk Tarih Kurumu Yayınları VAT Vorderasiatische Abteilung Tontafeln YBC Yale Babylonian Collection 311

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