La physique au petit déjeuner

La physique au petit déjeuner La question est l'étude des tourbillons à l'arrière d'un objet (par exemple dans une tasse de chocolat au lait). Nous avons expérimenté avec un petit chariot muni d'un moteur électrique. Ce chariot déplace un tube en verre qui avance régulièrement dans le fluide. On observe les tourbillons qui apparaissent dans certaines conditions de vitesse, diamètre du tube, viscosité du liquide. Les images sont enregistrées puis analysées afin de déterminer la fréquence des tourbillons. Plusieurs procédés de visualisation ont été essayés (poudre d'alu, lycopode) puis tomographie par nappe laser. C'est très joli et par balayage, on voit en 3D! Cette étude trouve des applications étonnantes. Par exemple, c est l'apparition des tourbillons à une certaine fréquence qui a fait entrer le pont de Tacoma en résonance et non une éventuelle décomposition en série de Fourier des bourrasques de vent. A cet effet, un jet d'air ou d'eau est envoyé sur une corde permet de la faire vibrer. Un petit montage ingénieux permet même de pouvoir écouter ces tourbillons

2007-2008 OLYMPIADES DE PHYSIQUE La physique au petit déjeuner Héléna LACROIX Marion DERIOT sous la direction de Hervé IDDA Lycée Gustave Eiffel Dijon Académie de Dijon

Nous souhaitons remercier chaleureusement Monsieur IDDA, professeur de physique au lycée Gustave Eiffel de Dijon, pour nous avoir suivi et motivé dans cette expérience. Merci aussi au jury qui nous a permis de continuer l aventure ainsi que le lycée International des Pontonniers pour nous avoir accueilli à Strasbourg. Enfin, merci à l administration, à l intendance du lycée Eiffel et à toutes les personnes qui nous ont soutenus.

Sommaire Introduction 03 I. Mise en place de l expérience sur les tourbillons 1. Vous préférez cacao ou noix de coco?! 04 2. Le travail en volume 06 3. Mise en mouvement de l objet et enregistrement 07 4. Constatations 11 II. Mesures et exploitation 1. Technique de mesure 12 2. Les résultats expérimentaux 15 3. Interprétation des résultats 17 4. Petit point «d histoire» 18 III. Vérification de nos mesures 1. Les nombres de Reynolds et de Strouhal 22 2. Mesure de la viscosité h 25 IV. Applications 1. Aussi dans la nature 28 2. Résonance d un fil 28 3. L incroyable histoire du pont de Tacoma 29 Bibliographie 31-2 -

Introduction Au petit déjeuner tout le monde a déjà eu l occasion de tourner une centaine de fois sa cuillère dans sa tasse, pourtant on ne prête jamais attention aux tourbillons qui se forment alors derrière notre cuillère! C est le début d une aventure au cours de laquelle nous mettrons en place un protocole expérimental permettant d analyser ces fameux tourbillons. Par la suite, la lecture de thèses de recherche nous permettra de mieux comprendre et de confirmer nos résultats à l aide de quelques expériences supplémentaires. Pour finir, nous avons découvert quelques applications inattendues de ces phénomènes. Mais pour toutes les découvrir, il faut patienter encore un peu... - 3 -

I. Mise en place de l expérience sur les tourbillons 1. Vous préférez cacao ou noix de coco?! Pour mettre en place notre expérience et reproduire ces tourbillons observés dans la tasse du petit déjeuner il a d abord fallu trouver une poudre permettant la reproduction des tourbillons de façon relativement précise, nous avons donc essayé plusieurs substances : Poudre de cacao Poudre de liège Poudre de noix de coco Rétro projection sur un tableau blanc - 4 -

Nous sommes passés par le cacao, la poudre de noix de coco, ainsi que le liège et bien d autres! Or, à chaque fois deux problèmes se sont posés : - la présence de grumeaux empêchant la représentation des tourbillons - le sillage avec la formation d une vague devant l obstacle Formation et propagation de la vague lors d un essai avec de la poudre de craie (Vue de dessus ; images obtenues par rétro projection sur un tableau) - 5 -

Toutefois un essai avec la poudre d aluminium a retenu notre attention puisque cette poudre fine avait une bonne dispersion, mais un autre problème s est posé : - Les particules ne restaient pas en suspension et se déposaient au fond de la cuve De plus, le problème de la vague n était pas réglé. Poudre d aluminium (vue de dessus) Et c est en pratiquant plusieurs essais avec cette poudre que nous est venue l idée de la vision en volume. 2. Le travail en volume En effet, au cours des tests avec la poudre d aluminium, on a pu observer des tourbillons se former dans tout le volume de notre récipient. Nos problèmes de grumeaux et de vague sont ainsi résolus, mais, à peine un problème est résolu qu un autre se pose! Comment observer les tourbillons dans un seul plan et pas dans tout le volume? Le laser s est vite imposé comme la bonne solution, mais il nous le fallait en plan. C est avec une tige en verre accrochée devant le faisceau que nous avons obtenu la dispersion de la lumière en un plan rectiligne. Laser Cylindre de verre Cylindre de verre en mouvement de translation uniforme Faisceau laser élargi et plan Cuve eau + poudre d aluminium - 6 -

Mais il fallait trouver une solution au problème de suspension des particules. Nous avons donc ajouté au mélange de la glycérine permettant de rendre le mélange plus visqueux et donc de ralentir la chute de la poudre d aluminium au fond de la cuve. La solution que nous utiliserons dans toute la suite de cette étude est faite avec 480 ml de glycérine et 570 ml d eau. 3. Mise en mouvement de l objet et enregistrement Pour pouvoir s appuyer sur nos résultats d expérience nous devions pouvoir reproduire l expérience à l identique, or en faisant bouger l objet à la main il était impossible de reproduire le mouvement de translation rectiligne uniforme de la tige en verre. Pour automatiser cette manipulation nous avons choisi de construire un chariot en lego alimenté avec une alimentation réglable. Après nous avons cherché le meilleur moyen de capturer notre expérience, il y avait plusieurs solutions : - L appareil photo numérique - La webcam - La caméra numérique (en mode infrarouge et normal) Après plusieurs essais pas toujours réussis et représentatifs du travail, nous avons gardé les séquences vidéos réalisées avec la caméra, qui étaient les mieux exploitables. - 7 -

En résumé, voici le schéma de notre montage : Ici, avec quelques photos : Chariot lego en hauteur par rapport à la cuve et alimentation variable - 8 -

Chariot lego et alimentation Chariot lego vue de dessus et trépied de caméra Trépied de caméra et cuve vue de coté vue de devant vue de dessus Zoom sur la fixation entre la tige de verre et le chariot Remarque : c est la vue de dessus que l on observe sur les films - 9 -

Nous avons réalisé les enregistrements dans le noir pour avoir un maximum de contraste. Exemple de photos extraites d un des enregistrements avec un cylindre en verre de diamètre 6.1 mm (en fausse couleur) : - 10 -

4. Constatations Au fil de nos enregistrements nous avons fait deux constatations : - Si la vitesse est trop faible alors il n y a pas de tourbillons à l arrière du cylindre. - Si la vitesse est supérieure à une vitesse de seuil alors des tourbillons se forment derrière le cylindre. A partir de ces constatations nous nous sommes posés deux questions : - A partir de quelle vitesse de seuil (V seuil ) se forment les tourbillons? - Quelle est la fréquence d apparition de ces tourbillons? - 11 -

II. Mesures et exploitation 1. Technique de mesure Nous avons ensuite exploité les films pris à différentes vitesses pour détecter à quel moment apparaissent les tourbillons, ainsi que leur fréquence, ceci en trois étapes : 1- Mesure de l échelle à partir de la première image du film qui représente une règle : 2- Détermination de la vitesse du cylindre : Échelle 390 pixel pour 10 cm E = 39 pixel / cm A partir de deux images différentes (à raison de 25 images/seconde soit t = 40 ms entre 2 images) : On en déduit la vitesse V par la relation : V = XN X1 1. E ( N 1). t - 12 -

Avec : - E : l échelle en pixel / cm - X 1 et X N les pointages de la position du tube sur l image 1 et l image N - t : le temps entre 2 images successive (soit 40 ms pour nos film) 3 Détermination de la fréquence des tourbillons : On mesure sur une image la distance λ entre deux tourbillons successifs et connaissant la vitesse du cylindre, on en déduit la fréquence d apparition des tourbillons par la relation : f V = λ E Avec : - E : l échelle en pixel / cm - λ la distance entre deux tourbillons (en pixel) - V : la vitesse du cylindre en cm/s - 13 -

Pour donner une petite idée de la quantité d image à exploiter (un peu plus de 2 secondes de film en fausse couleur) Au total, il y a plusieurs Gigaoctets de données vidéo - 14 -

2. Les résultats expérimentaux Nos résultats pour trois diamètres différents : V seuil D=6,1mm D=8,0 mm D=9,7 mm V (cm/s) f (Hz) V (cm/s) f (Hz) V (cm/s) f (Hz) 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 2 0 2 0 2 0 3 0 2,7 0 2,1 0 5,3 1,9 4,3 1 3,4 0,7 5,9 2,1 5,5 1,53 4,6 1 6,5 2,3 6,1 1,7 5,5 1,2 7,1 2,4 7 1,8 6,4 1,3 8,2 2,5 7,9 1,9 7,5 1,6 8,9 2,9 8,5 2,2 8,3 1,7 9,1 3 9 2,3 8,9 1,9 9,6 3,3 9,6 2,5 9,6 2,2 En rouge : vitesse de seuil vérifiée expérimentalement (au dessus de cette vitesse, il y a apparition de tourbillons derrière la tige) Remarque : la mesure de la fréquence des tourbillons quand la vitesse est juste au dessus de V seuil est une mesure très difficile. 3,5 3 2,5 f (Hz) 2 1,5 6.1 mm 1 0,5 0 0 2 4 6 8 10 12 v (cm/s) Fréquence d apparition des tourbillons en fonction de la vitesse pour un cylindre de diamètre 6.1 mm. - 15 -

3 2,5 2 f (Hz) 1,5 8,0 mm 1 0,5 0 0 2 4 6 8 10 12 v (cm/s) Fréquence d apparition des tourbillons en fonction de la vitesse pour un cylindre de diamètre 8.0 mm. 2,5 2 f (Hz) 1,5 1 9,7 mm 0,5 0 0 2 4 6 8 10 12 v (cm/s) Fréquence d apparition des tourbillons en fonction de la vitesse pour un cylindre de diamètre 9.7 mm. - 16 -

3. Interprétation des résultats Au vu des résultats, trois grandes constatations peuvent être faites : 1 - Pour un diamètre donné, plus la vitesse augmente et plus la fréquence des tourbillons augmente. 3 2,5 2 Résultats pour D = 8,0 mm f (Hz) 1,5 1 8,0 mm 0,5 0 0 2 4 6 8 10 12 v (cm/s) 2 - Si le diamètre du tube augmente, alors la vitesse de seuil diminue. Vitesse de seuil pour les trois diamètres 3 - À vitesse constante, quand le diamètre augmente, la fréquence de formation des tourbillons diminue. D=6,1mm D=8,0 mm D=9,7 mm V (cm/s) f (Hz) V (cm/s) f (Hz) V (cm/s) f (Hz) 9,1 3 9 2,3 8,9 1,9 9,6 3,3 9,6 2,5 9,6 2,2 Exemples de fréquences pour les trois diamètres à V 9 cm/s et 9,6 cm/s Avec ces résultats, on peut alors se demander : - Pourquoi les tourbillons ne se forment qu à partir d une certaine vitesse (V seuil )? - Pourquoi la taille de l objet influe-t-elle aussi sur ce phénomène? C est grâce à Internet et à une longue recherche bibliographique que le voile va peu à peu se lever pour nous. - 17 -

4. Petit point «d histoire» Pour faire un bref résumé de nos découvertes : 1- Phénomène de tourbillon bien connu : Instabilité de Bénard Von-Karman 2- Existence de différents types d écoulement dépendant d un nombre sans dimension dit le nombre de Reynolds R. e R e ρ. VD. = η ρ est la masse volumique du fluide (en kg/m 3 ) ; V la vitesse de l écoulement (en m/s) ; D le diamètre de l objet (en m) et η la viscosité (en kg/m/s ou Poiseuille Pl) En fonction du nombre de Reynolds, l écoulement peut être : - rampant pour R e < 5. Le fluide reste attaché au cylindre et il n y a pas de décollement. L écoulement est symétrique par rapport a` l axe central du courant (axe longitudinal) et également entre l amont et l aval. - 18 -

- régime stationnaire décollé pour 5< R e < 46. On observe un décollement de chaque côté du cylindre. L écoulement est stable et reste stationnaire et symétrique par rapport à l axe longitudinal. - régime instationnaire 2D pour 47 R e < 189. L écoulement devient instationnaire. Les différentes perturbations possibles ne peuvent plus être amorties et une instabilité se déclenche. Les deux tourbillons perdent leur symétrie par rapport à l axe longitudinal du cylindre. On observe un décollement de chaque côté du cylindre alternativement pour former l allée tourbillonnaire de Von Karman Cette instabilité absolue est de nature bidimensionnelle et est caractérisée par une périodicité fortement prononcée. La fréquence du lâcher tourbillonnaire est liée à la vitesse de l écoulement et au diamètre du cylindre par un nombre sans dimension appelé nombre de Strouhal : S t = fd. V - régime instationnaire 3D pour R e > 189. L écoulement reste instationnaire. La situation se complique un peu en étant maintenant à 3D. - 19 -

En résumé : Enfin, notons que pour R e > 3000, l écoulement devient turbulent se qui complique encore les choses. filet coloré écoulement laminaire écoulement turbulent vue instantanée écoulement turbulent vue en pose - 20 -

Concernant le nombre de Strouhal, voici quelques données trouvées dans ces thèses : Conclusion : La fréquence d apparition dépend donc d un nombre (sans dimension) nommé nombre de Strouhal (S t ) qui dépend un peu du nombre de Reynolds mais dont la valeur reste proche de 0,2. Soit : fd. St = 0,2 V - 21 -

III. Vérification de nos mesures 1. Les nombres de Reynolds et de Strouhal Pour comparer nos mesures nous avons établi le tableau ci-dessous à l aide du tableur Excel: D=6,1mm D=8,0 mm D=9,7 mm V (cm/s) f (Hz) V (cm/s) f (Hz) V (cm/s) f (Hz) 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 2 0 2 0 2 0 3 0 2,7 0 2,1 0 5,3 1,9 4,3 1 3,4 0,7 5,9 2,1 5,5 1,53 4,6 1 6,5 2,3 6,1 1,7 5,5 1,2 7,1 2,4 7 1,8 6,4 1,3 8,2 2,5 7,9 1,9 7,5 1,6 8,9 2,9 8,5 2,2 8,3 1,7 9,1 3 9 2,3 8,9 1,9 9,6 3,3 9,6 2,5 9,6 2,2 Strouhal St Strouhal St Strouhal St 0,219 0,186 0,200 0,217 0,223 0,211 0,216 0,223 0,212 0,206 0,206 0,197 0,186 0,192 0,207 0,199 0,207 0,199 0,201 0,204 0,207 0,210 0,208 0,222 Nos résultats sont très cohérents avec les données recueillies. De plus, nos constatations expérimentales trouvent ainsi une justification. SV t. En effet, à partir du nombre de Strouhal, l expression de la fréquence est : f = D On remarque que si V augmente alors f augmente et que si D augmente alors f diminue. Ce qui est cohérent avec nos constatations expérimentales. 3 2,5 2 f (Hz) 1,5 8,0 mm 1 0,5 0 0 2 4 6 8 10 12 v (cm/s) 1- A diamètre constant; f augmente avec v 3- A v constante, f diminue quand le diamètre augmente - 22 -

Toujours d après la littérature, les tourbillons apparaissent à partir de R e seuil = 47 Or R e ρ. VD.. Re seuil = soit Vseuil. D = η = cte η ρ Le produit V seuil x D doit donc être constant. D (mm) V seuil x D (USI) 6,1 1,83.10-4 8,0 2,16.10-4 9,7 2,04.10-4 η. R e seuil 4 2 1 =. Celui semble constant (à 10%) avec une valeur Vseuil. D 2.10 m. s ρ On retrouve logiquement la dépendance entre la vitesse de seuil et le diamètre du tube. Celle-ci diminue quand le diamètre augmente. 2- La vitesse de seuil diminue quand le diamètre augmente À partir de ce résultat, il est aussi possible d obtenir un ordre de grandeur de la viscosité de notre fluide si l on connaît la masse volumique ρ de la solution car : η V. seuil D = ρ. avec R e seuil 4 2 1 et R e seuil = 47 V. D 2.10 m. s - 23 -

Après mesure de ρ avec un densimètre on peu en déduire la viscosité théorique de notre mélange, soit : -3 ρ = 1125 kg.m et donc 3 η th 4.10 Pl Une question se pose alors : Ce résultat est-il cohérent avec la viscosité réelle de notre solution? - 24 -

2. Mesure de la viscosité h Notre méthode consiste à mesurer le débit volumique (viscosimètre d Ostwald). D V d un écoulement à travers un tube capillaire Ensuite, par comparaison avec la viscosité de l eau, on en déduit η. La loi de Poiseuille dans le capillaire est : Avec D V 4 π. R. P = 8. η. L - D V le débit volumique ( m 3.s -1 ) - R le rayon du capillaire ( m ) - L la longueur du capillaire ( m ) - P la différence de pression aux extrémités du capillaire ( ici P = ρ. gh. avec H la différence de hauteur entre la surface et le capillaire) - η la viscosité du fluide (en Pascal seconde (Pa s) ou Poiseuille (Pl) ) (1 Pa s = 1 Pl = 1 kg/m s) - 25 -

Or, on mesure le débit massique avec la balance D m m Dm =, or Dm = ρ. DV soit DV = t ρ On en déduit : η π. R P π. R. gh. ρ =. =. 8. L D 8. L D 4 4 2 V m 2 ρ Formule que l on peut résumer par : η = K. avec K constant au cours de cette expérience. D Il ne reste qu à faire deux mesures ; une avec de l eau et l autre avec notre solution soit : m 3 Or η eau = 1.10 USI.. ; 2 ρeau η = K. et D eau -3 ρ eau = 1000 kg.m et 2 S S meau ms ρ = 1125 kg.m S ρ η = K. D -3 Mesures avec t = 10 min : = 24,4 g soit m eau D meau m eau = = t -1 2,44 g.min = 7,2 g soit m S D ms m S = = 0,72 g.min t -1 2 2 ρ D S m ρ eau S meau On trouve : ηs = η.... 4,3.10 Exp eau = η 2 eau 2 ρ D ρ m eau ms eau S 3 Pl - 26 -

Voici dans un tableau la viscosité de quelques fluides : Fluide η (Pa s) eau (0 C) 1,787 10 3 eau (20 C) 1,002 10 3 eau (100 C) 0,2818 10 3 huile d'olive (20 C) 100 10 3 glycérol (20 C) 1000 10 3 H 2 (20 C) 0,86 10 5 O 2 (20 C) 1,95 10 5 3 Donc notre résultat η Exp 4,3.10 Pl semble cohérent car supérieur à celui de l eau pure (rappelons que nous avons utilisé un mélange d eau et de glycérine. De plus, celui-ci conforte le résultat trouvé dans la partie précédente à partir de la vitesse de seuil et du 3 nombre de Reynolds, à savoir η th 4.10 Pl. Il est maintenant possible de déterminer le nombre de Reynolds de chacun de nos résultats afin de vérifier que l on se trouve bien dans un type de régime instationnaire Re 47 quand il y a des tourbillons derrière le cylindre. D=6,1mm D=8,0 mm D=9,7 mm V (cm/s) f (Hz) V (cm/s) f (Hz) V (cm/s) f (Hz) 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 2 0 2 0 2 0 3 0 2,7 0 2,1 0 5,3 1,9 4,3 1 3,4 0,7 5,9 2,1 5,5 1,53 4,6 1 6,5 2,3 6,1 1,7 5,5 1,2 7,1 2,4 7 1,8 6,4 1,3 8,2 2,5 7,9 1,9 7,5 1,6 8,9 2,9 8,5 2,2 8,3 1,7 9,1 3 9 2,3 8,9 1,9 9,6 3,3 9,6 2,5 9,6 2,2 Reynold Re Strouhal St Reynold Re Strouhal St Reynold Re Strouhal St 0 0,000 0 0,000 0 0,000 17 0,000 23 0,000 27 0,000 34 0,000 45 0,000 55 0,000 51 0,219 61 0,186 57 0,200 91 0,217 97 0,223 93 0,211 101 0,216 124 0,223 125 0,212 112 0,206 137 0,206 150 0,197 122 0,186 158 0,192 175 0,207 141 0,199 178 0,207 205 0,199 153 0,201 191 0,204 226 0,207 156 0,210 203 0,208 243 0,222-27 -

IV. Applications 1. Aussi dans la nature Allée de Von Karman observée au dessus de l île Guadalupe dans la baie de Californie. 2. Résonance d un fil On a pu constater que dans les ports, quand le vent souffle de façon régulière les cordes des bateaux «sifflent» ceci indique que ces cordes sont en résonance. Rappelons que la fréquence propre de vibration d une corde de longueur L, de masse linéïque λ et de tension T est : 1 T f =. 2L µ Donc, si cette corde de diamètre D se trouve dans un écoulement à la vitesse V pour un fluide de viscosité η, celle-ci peut entrer en résonance si : f 1 T SV.. t = = 2L µ D Remarque : si les fréquences ne sont pas identiques, la corde se met à vibrer tout de même. - 28 -

3. L incroyable histoire du pont de Tacoma Durant la formation des tourbillons, le fluide exerce une force transversale sur le cylindre. Cette force est perpendiculaire à l écoulement et à l axe du cylindre. Le sens des tourbillons étant alterné, la force est alternative et permet de mettre en résonance la corde. C est précisément ce qui s est passé sur le pont surplombant le détroit de Tacoma, dans la ville de l'état de Washington du même nom (USA) en 1940. Les câbles se mettant à vibrer avec le vent, ceux-ci ont entraîné tout le pont dans cette résonance jusqu à sa destruction et ceux en présence de vents de 65 km à l'heure seulement! À la suite de cette catastrophe, les maquettes des nouveaux ponts sont testées en soufflerie afin d'atténuer les vibrations qu'engendre le vent. - 29 -

Le pont de Tacoma a été inauguré le 1 er juillet 1940. Dès son ouverture, le pont a oscillé, attirant de nombreux curieux. Le pont s'est alors valu le surnom de Galloping Gertie. Le matin du 7 novembre 1940, le pont s'est mis à osciller de manière persistante. Vers 10 h, l'oscillation s'est amplifiée davantage. En plus de son mouvement de vibration sur sa longueur, le pont présentait un fort mouvement de torsion. À ce moment, un côté de la voie pouvait être près de 8,5 m plus haut que l'autre. À 10 h 30, des craquements ont commencé à se faire entendre et à 11 h 10, le pont s'est complètement effondré dans la rivière. Heureusement, personne ne se trouvait sur le pont à ce moment. Seul le chien d'un journaliste a péri dans ce désastre, son maître ayant atteint la terre ferme de justesse en rampant. Peu avant l'événement, une banque locale se vantait d'être «aussi sécuritaire que le pont de Tacoma». Le panneau publicitaire a été retiré rapidement après l'effondrement du pont... - 30 -

Bibliographie Thèses : Contribution à la modélisation et à la prise en compte informatique de niveaux de descriptions multiples. Pierrick TRANOUEZ (2005) ; Université du Havre ; p 103-104 Analyse physique et modélisation d écoulements incompressibles instationnaires turbulents autour d un cylindre circulaire à grand nombre de Reynolds. Rodolphe PERRIN (2005) ; Institut National Polytechnique de Toulouse ; p 6-7 Méthodes particulaires pour la simulation des sillages tridimensionnels Philippe PONCET (2001) ; Université de Grenoble I Joseph FOURIER ; p117-139 Adresses Internet : wwww2.fsg.ulaval.ca/opus/physique534/complements/sonsvib.shtml www.nrc-cnrc.gc.ca/highlights/2003/0306tacoma_f.html www.imaginascience.com/articles/sciencesphysiques/mecanique/resonance/resonance5.php www.onera.fr/cahierdelabo/french/hqvid.htm www.math.rug.nl/~veldman/cfd-gallery.html www.ac-nancy-metz.fr/enseign/physique/tp-phys/term/tp-fluid/visco-eau.htm - 31 -