CH. PII. 6 : FILTRES EN REGIME SINUSOÏDAL FORCE

CH. PII. 6 : FILTRES EN REGIME SINUSOÏDAL FORCE QUESTIONS DE COURS VERS LA COLLE 1. Signal, signal périodique, décomposition de Fourier d un signal périodique. 2. Applications 2, 3, 4 et 5 3. Etude d un filtre passe bas du premier ordre. 4. Etude d un filtre passe-haut du 1 er ordre. 5. Etude d un filtre passe bas du second ordre. 6. Etude d un filtre passe bande du second ordre. CONSEILS A SUIVRE ; ERREURS A EVITER 1. Il est fortement recommandé de mettre les expressions étudiées sous forme de fonctions de transfert dépendant de la pulsation réduite : l étude de ces formes canoniques est généralement nettement plus simple, et a déjà été effectuée en cours 2. L étude qualitative des comportements haute et basse fréquence doit savoir être effectuée rapidement, et permet de vérifier que le résultat analytique obtenu n est pas incohérent. 3. Sur un diagramme de Bode, il est important de ne pas confondre graduation linéaire et graduation logarithmique ; par exemple, le «milieu» de la décade ne correspond pas au milieu de l intervalle de fréquence. A SAVOIR FAIRE Application 1 : Enregistrement de sons * ou ** Pour accorder son instrument, un guitariste utilise un diapason qui émet un son pur. Un dispositif d acquisition permet d obtenir les enregistrements b) et c) ci-dessous. L un de ces enregistrements correspond au son émis par le diapason seul et l autre au son émis par la guitare seule. Enregistrement b) Enregistrement c) L analyse spectrale du son de la guitare fournit le spectre ci-contre. a) Attribuer à chaque instrument sa courbe b) ou c) en justifiant votre réponse, et en indiquant si le son produit est un son pur ou un son complexe. b) Représenter le spectre du son émis par le diapason. c) À quoi correspondent les différents pics du spectre du son de la guitare? d) Quelle note la guitare joue-t-elle? est-elle bien accordée avec le diapason? Chapitre PII. 6 : Filtres Sonia Najid -Lycée Corneille MPSI 2017-2018 1

Application 2 : influence d un oscilloscope L'impédance d'entrée d'un oscilloscope est modélisée par l'association parallèle d'un résistor de résistance R = 1 MΩ et d'une capacité C = 30 pf. Obtient-on un relevé fidèle du diagramme de Bode d'un filtre passebas RC tel que R = 1kΩ et C =10 nf? Application 3 : Fonction de transfert et influence de la charge * Déterminer la fonction de transfert du quadripôle RC représenté ci-contre, en sortie ouverte puis avec une résistance de charge RC. Application 4 : cascade de deux cellules RC ** Etudier la mise en cascade de deux quadripôles RC (en sortie ouverte). Application 5 : Filtrage d un signal * ou ** (PP) On considère le signal électrique dont la tension et le spectre (décomposition en série de Fourier) sont représentés ci-dessous. Pulsation (en 10 3 rad.s -1 ) Tracer l allure de la tension en sortie de chacun des filtres dont le diagramme de Bode est donné ci-dessous. Ces filtres sont réalisés avec une résistance R et un condensateur de capacité C. Indiquer de quelle manière réaliser chacun de ces filtres en proposant des valeurs de R et C cohérentes avec les diagrammes de Bode fournis. Chapitre PII. 6 : Filtres Sonia Najid -Lycée Corneille MPSI 2017-2018 2

Application 6 : Filtres passe-bande ** (P) On considère un filtre passe-bande d ordre 2 de facteur de qualité Q = 0,1 alimenté par un signal triangulaire (représenté en gris clair sur la figure 1 ci-dessous). Le signal en sortie de ce filtre est représenté en noir (fig. 1) pour un filtre A dont la fréquence centrale est celle du fondamental et en gris foncé (fig. 1 et 2) pour un filtre B dont la fréquence centrale est 100 fois plus faible (la figure 2 présente un agrandissement du signal de sortie du filtre B). Interpréter qualitativement l allure de ces signaux. Fig. 1 Fig. 2 On considère à présent un filtre passe-bande d ordre 2 alimenté par un signal créneau (en gris clair sur la figure suivante). Fig. 3 Fig. 4 Sur la figure 3 en noir est représenté le signal de sortie dans le cas où Q = 100 et où la fréquence du fondamental du créneau est égale au cinquième de la fréquence centrale du passe-bande. Interpréter qualitativement son allure. Sur la fig. 4, la sortie est représentée dans le cas d un filtre de facteur de qualité Q = 10 dont la fréquence centrale est deux fois plus faible que la fréquence du fondamental du créneau. Interpréter qualitativement l allure de la sortie. VRAI-FAUX 1) Il est possible de passer de la fonction de transfert d un quadripôle aux équations qui régissent le régime transitoire du système et réciproquement. 2) L ordre d un filtre est aussi l ordre du système en régime transitoire. 3) Un filtre passe-bande laisse passer les hautes fréquences. 4) La pulsation de coupure à 3 db est la pulsation pour laquelle la valeur du gain est 2 fois plus petite que sa valeur maximale 5) La courbe de gain d un filtre du premier ordre peut avoir une pente de - 40dB / décade. 6) La courbe de gain d une filtre du second ordre peut avoir une pente de - 20dB / décade. 7) Les filtres passe-bas et passe-haut du premier ordre peuvent se comporter comme des circuits dérivateurs. 8) La pulsation de coupure réduite d un filtre du premier ordre est xc = 1. 9) La pulsation de coupure réduite d un filtre du second ordre est xc = 1. Chapitre PII. 6 : Filtres Sonia Najid -Lycée Corneille MPSI 2017-2018 3

10) La phase d un filtre du premier ordre peut varier de π au maximum. 2 11) La phase d un filtre du second ordre peut varier de π au maximum. 2 12) Pour un signal périodique s(t), il est possible de déterminer sur le graphe s(t) fonction de t la composante V0 de la décomposition de Fourier du signal. 13) On impose en entrée d un filtre passe-bas du premier ordre de fréquence de coupure 1 khz un signal sinusoïdal de fréquence 1 MHz ; le signal de sortie est sinusoïdal. 14) On impose à l entrée d un quadripôle un signal de la forme e(t) = E 1 cos(2πft) + E 2 cos(15πft + φ). Le signal de sortie est de la forme s(t) = S cos(2πft + ) ; on en déduit que le quadripôle est non linéaire. LES INCONTOURNABLES I) Lire un diagramme de Bode * (P) Le diagramme de Bode en amplitude d un filtre est représenté ci-dessus, les fréquences sont en khz. a. Quel est le gain maximal? Quelle est la bande passante à -3dB? Quelles sont les pentes des asymptotes? On envoie à l entrée du filtre un signal carré de fréquence 3 khz. On rappelle qu un signal alternatif carré de période se décompose en une somme de signaux sinusoïdaux de pulsation (2p+1) où =2 /T et T période du signal carré. b. Qu obtient-on approximativement en sortie? Ce signal de sortie peut-il être considéré comme harmonique? II) Caractéristiques d un filtre (extrait Centrale MP 215) * ou ** (P) 1) On donne le diagramme de Bode ci-dessous. Quelle est la nature du filtre? 2) On souhaite réaliser un filtre avec le cahier des charges suivant : - Gain à basse fréquence GBF = 1 ; - Pulsation de coupure à 3 db c ; - Atténuation pour 1 = 5 c de 80 db. a) Montrer que le filtre de fonction de 1 transfert H telle que H = convient. 1+( ω )2n ωc b) Quelle valeur entière de n doit-on retenir pour satisfaire au cahier des charges des filtres? III) Détermination d un spectre ** (PP) On considère un montage caractérisé par la fonction de transfert suivante : 1 H (jx) = ; avec x = ω/ω0 = f/f0. ) 1+jQ( x 1 x Chapitre PII. 6 : Filtres Sonia Najid -Lycée Corneille MPSI 2017-2018 4

a. Quelle est la nature de ce filtre? b. Comment s appelle f0? Comment s appelle Q? Quelle est son influence? On applique à l entrée de ce montage le signal suivant : e = 0 ou e = E = 10 V, de fréquence 3,0 khz. La décomposition de ce signal est la suivante : e(t) = E + 2E [sin(2πft) + 1 sin(2π3ft) + 1 sin(2π5ft) + ] 2 π 3 5 e(t) E t c. L expression du premier terme était-elle prévisible? Pourquoi n y a-t-il pas de terme en cosinus? d. Donner l allure du signal de sortie si Q = 20 et f0 = 3,0 khz. Ce filtre est-il sélectif? e. Expliquer comment on peut utiliser un tel montage pour déterminer expérimentalement le spectre du signal d entrée. IV) Passe bas du second ordre ** (P) Un filtre a pour fonction de transfert H (jx) = a. Quelle est la nature de ce filtre? 1 1 x 2 +j x avec x = ω/ω0 Q b. On envoie la tension triangulaire ci-contre en entrée, de décomposition : v e (t) = 8E m π 2 [cos(ω 0t) + 1 3 2 cos(3ω 0t) + 1 5 2 cos(5ω 0t) + ] où Em = 1 V. On constate expérimentalement que la tension de sortie est quasi sinusoïdale : vs = Vs cos(ω0t + φ ) ; expliquer. c. Exprimer la fonction de transfert H dans ce cas et en déduire les caractéristiques Vs et φ du signal de sortie. d. On suppose à présent que la tension ve est un échelon de tension tel que ve = 0 pour t < 0 et ve = E pour t > 0. a) Que se passe-t-il selon les valeurs de Q? b) Commenter le graphe ci-contre représentant la tension de sortie vs(t) obtenue. V) Filtre de Colpitts (PP) On considère le quadripôle ci-dessous. Il est utilisé en RSF en sortie ouverte. 1. Etudier qualitativement le comportement de ce quadripôle et indiquer de quel type de filtre il s agit. 2. On donne son diagramme de Bode ci-dessous. Son allure est-elle cohérente avec le type de filtre attendu? Chapitre PII. 6 : Filtres Sonia Najid -Lycée Corneille MPSI 2017-2018 5

Etablir la fonction de transfert et la mettre sous la forme suivante H(jx) = H 0 1+jQ(x 1 x ) = H x 0j Q 1 x 2 +j x Q avec x pulsation réduite telle que x = ω ω 0. Indiquer les expressions de H 0, ω 0 et Qen fonction des caractéristiques du système. Justifier l allure des parties rectilignes. 3. Déduire du diagramme la valeur de la fréquence de résonance (ou fréquence d accord) fr et évaluer l ordre de grandeur du facteur de qualité. 4. Un circuit multiplieur fournit le signal d entrée ue(t) = 2Bcos(ω3t) cos(ω4t) avec ω3 = 100 ω0 et ω4 = 101ω0. Ecrire ue(t) sous la forme d une somme de cosinus. En déduire le signal obtenu à la sortie de ce filtre. VI) Sismomètre ** (P) 1) Le principe d un sismomètre est schématisé sur la figure ci-contre. Un ressort (1) de masse négligeable, dont la réponse en élongation, linéaire, est caractérisée par une raideur k, est suspendu à un boitier rigide lié au sol. Un slide (2), de masse m, est accroché à l autre extrémité de ce ressort. Une partie de ce solide est solidaire d un amortisseur (3) exerçant sur (2) la force de frottement fluide f = hv, où h est une constante et v la vitesse de translation de (2) par rapport au boitier. Chapitre PII. 6 : Filtres Sonia Najid -Lycée Corneille MPSI 2017-2018 6

Le passage d une onde sismique provoque un mouvement du boitier par rapport à un référentiel galiléen qui est repéré par sa coordonnée X(t) le long de l axe (O X). Le mouvement de (2) par rapport au boitier Le passage d une onde sismique provoque un mouvement du boitier par rapport à un référentiel galiléen qui est repéré par sa coordonnée X(t) le long de l axe (O X). Le mouvement de (2) par rapport au boitier est repéré par sa coordonnée x(t) sur un axe (Ox) fixe par rapport au boîtier dont l origine O correspond au point d attache de (2) dans sa position d équilibre en l absence de mouvement du boitier. Les axes (O X) et (Ox) sont verticaux ascendants. On étudie le mouvement x(t) de (2) provoqué par le mouvement X(t) du boitier. On étudie le mouvement x(t) de (2) provoqué par le mouvement X(t) du boitier. a) Etablir l équation différentielle suivante liant les variables X(t) et x(t) : d 2 x dt 2 + 2 dx τ dt + ω 0 2 x = d2 X dt 2 Où ω 0 = k m est la pulsation propre du sismomètre et par définition τ = 2 m h relative à l amortissement. la constante de temps b) On considère une onde sismique sinusoïdale et de pulsation ω. En régime forcé, la fonction x(t) est sinusoïdale elle aussi, et de même pulsation. Etablir l expression de la fonction de transfert H(j ) = x, où g est la grandeur complexe associée à g(t). X On suppose désormais que ω 0 τ = 1 ; montre que la fonction de transfert mécanique peut s écrire : H(j ) = x = 1 X ω 2. 0 1+j 2 0 c) Exprimer G( ) = H(j ) et φ( ) = arg (H(j ) pour < 0. A quel type de filtre correspond cette fonction de transfert? 2) La pulsation propre du sismomètre étant 0 = 20 rad. s 1, cet appareil détecte une onde sismique sous la forme d une fonction périodique x(t) reproduite sur la figure cicontre ; l amplitude est en unité arbitraire. L application d un algorithme de transformée de Fourier à x(t) fournit la décomposition en série de Fourier sous la forme x(t) = c 0 + n c n cos(n t + n ) avec = 10 rad. s 1. Les valeurs des coefficients sont réunies dans le tableau ci-dessous : n c n n 0 0 1 4 0,4π 2 3,5 0,6π 3 2 0,5π Chapitre PII. 6 : Filtres Sonia Najid -Lycée Corneille MPSI 2017-2018 7

4 0 5 1 0,6π a) En déduire l excitation sous la forme X(t) = c 0 + n c n cos(n t + n ). Tracer l allure de X(t) sur une période. b) Comment devrait-on modifier les caractéristiques du sismomètre afin que l enregistrement de x(t) permette de déduire directement X(t)? EXERCICES COMPLEMENTAIRES VII) Analyse de spectres ** Le même signal s(t) périodique, dont le spectre des fréquences est donné figure 1, est envoyé à l entrée de 3 quadripôles différents. On procède à l analyse spectrale du signal de sortie pour chacun. Quelles caractéristiques de chaque quadripôle peut-on en déduire? VIII) Etude d un circuit RL en régime sinusoïdal forcé (d après agro 2004) * ou ** On étudie le circuit ci-contre alimenté par un générateur sinusoïdal de fréquence f et de tension maximale E = 2 V, l'interrupteur étant fermé. Données : R = 1,0 k, L = 35 mh. 1) Comment se comporte le circuit en hautes et basses fréquences? 2) Etablir la fonction de transfert en notation complexe, Mettre le résultat sous la forme H o fo 1+ jf. s H =. e 3) Exprimer Ho et fo en fonction de L et R et effectuer les applications numériques. 4) Déterminer la valeur maximale de l amplitude S de la tension s(t). 5) Déterminer la ou les fréquences de coupure de ce filtre, qu on notera fc. Effectuer l application numérique. 6) Tracer l'allure du diagramme donnant le module de H en fonction de la fréquence f. 7) Le circuit est à présent alimenté en entrée par un signal créneau de fréquence f = 2,0 khz, de tension moyenne nulle ; la décomposition de ce signal est e(t) = 2E π [sin(2πft) + 1 3 sin(2π3ft) + 1 5 sin(2π5ft) + ]. Quelle sera l allure du signal en sortie du filtre? Chapitre PII. 6 : Filtres Sonia Najid -Lycée Corneille MPSI 2017-2018 8

8) Déterminer l argument de H en fonction de la fréquence f. Quelle est sa signification physique? tracer son allure en fonction de la fréquence f. 9) On considère à présent le montage de la figure ci-contre ; le générateur est un générateur sinusoïdal de fréquence f et de tension maximale E. a) Comment se comporte le circuit à hautes et basses fréquences? b) Etablir la fonction de transfert H lorsque K est fermé. Que peut-on dire de la nature du filtre obtenu par rapport au circuit précédent? c) Quelle sera l allure du signal en sortie du filtre s il est alimenté par le même signal créneau que précédemment? IX) Téléphone sur écoute ** ou *** La NSA surveille les communications de téléphones. Les enregistrements sont perturbés par les systèmes d acquisition branchés sur le secteur, qui génèrent un bruit de 50 Hz. Proposez un système permettant d améliorer la qualité des enregistrements et précisez les caractéristiques quantitatives de ce système. Exemple de correction d un enregistrement (fichier avant et après correction) : Filtres passe-haut ** (Oral Centrale PSI 2015) On cherche à traiter un signal électrique proche de 300 Hz, comportant un bruit à 50 Hz que l on veut filtrer. Plus précisément, on souhaite construire un filtre passe-haut présentant une atténuation importante à f1 = 50Hz (GdB(f1) 20 db), mais la plus faible possible à f2 = 300 Hz (GdB(f2) 0,5 db). 1) Tracer l allure du diagramme de Bode en gain du filtre idéal susceptible de respecter ce cahier des charges. Un filtre passe haut du premier ordre peut-il convenir? Justifier. On considère maintenant un filtre passe-haut RLC du second ordre, constitué d une résistance R, d un condensateur de capacité C et d une bobine d inductance L (cf. schéma cicontre). Sa fonction de transfert s écrit : H = ω ω 0. x 2 1 x 2 +j x Q ; avec x = Chapitre PII. 6 : Filtres Sonia Najid -Lycée Corneille MPSI 2017-2018 9

2) Déterminer l expression de ω0 et de Q en fonction R, L et C. 3) Afin d éviter les distorsions de signal, on souhaite Q = 1 2. Déterminer ω0, puis la valeur minimale de L, sachant que C 10 6 F. Commenter le résultat obtenu. On exploitera la courbe donnée en annexe, représentant la fonction g = log(1 + 1/x 4 ) en fonction de x. A SAVOIR 1. Définir les notions de développement en série de Fourier, de spectre, de synthèse d un signal périodique ; à quoi correspond l harmonique de rang n? le terme fondamental? quelles sont les valeurs de leur pulsation? 2. Qu appelle-t-on quadripôle linéaire? tensions d entrée et de sortie? à quoi correspondent les notions d impédance d entrée et de sortie? 3. Qu appelle-t-on fonction de transfert d un filtre linéaire? Gain d un quadripôle? Comment la fonction de transfert donne-t-elle accès au gain? au déphasage entre la sortie et l entrée? Qu est-ce que le gain en décibels? 4. Quels sont les principaux types de filtres? donner l allure de leur gain. 5. Définir les notions de diagramme de Bode, de pulsation de coupure et de bande passante à 3 db. Pourquoi utilise-t-on une échelle logarithmique? Quel est l intérêt des diagrammes de Bode? 6. Filtres passe-bas et passe-haut du 1 er ordre, passe-bande du second ordre : définition? exemple simple? forme canonique de la fonction de transfert? comportement en HF et BF? étude de H(x) = H(jx) et de arg (H(jx))? Préciser les pulsations de coupure et tracer les diagrammes de Bode asymptotiques et réels en amplitude et en phase. Chapitre PII. 6 : Filtres Sonia Najid -Lycée Corneille MPSI 2017-2018 10