Lycée Professionnel Henri Becquerel BACCALAURÉAT PROFESSIONNEL Session 2007 2008 SYSTÈMES ÉLECTRONIQUES NUMÉRIQUES Mention Alarme Sécurité Incendie E1 : Épreuve scientifique à caractère professionnel Sous-épreuve E11 MATHÉMATIQUES CCF PREMIÈRE ÉVALUATION 27 FÉVRIER 2008 Les différents exercices sont indépendants. À lire attentivement par les candidats La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront dans l appréciation des copies. L usage des calculatrices électroniques est autorisé sauf mention contraire figurant sur le sujet. L'usage du formulaire officiel de mathématiques est autorisé. Page 1 / 6
Exercice 1 (6 points) On utilise une antenne parabolique mobile pour recevoir des informations en provenance de différents satellites. L antenne peut décrire une rotation autour de son axe de fixation passant par O. Le foyer de l antenne, point de convergence des rayonnements, est initialement placé en F. Le repère représente une vue de dessus. Partie A 1) Lire sur le repère les coordonnées des points O et F (coordonnées entières). 2) Calculer les coordonnées du vecteur OF puis calculer sa norme. Partie B Pour recevoir des informations provenant d un autre satellite placé dans la direction du point I, on fait tourner, dans le sens trigonométrique, l antenne autour de O d un angle ( OF ; OI ) pour que le foyer F se place sur le point I. 3) On appelle x I l abscisse du point I et y I = 4,45 son ordonnée. Exprimer les coordonnées du vecteur OI et sa norme en fonction de x I. En remarquant que les normes de OF et de OI sont égales, calculer x I puis en déduire les coordonnées du vecteur OI. Vérifier sur le schéma. 4) Calculer le produit scalaire OF. OI. 5) En déduire la valeur de l angle de rotation ( OF ; OI ) nécessaire pour recevoir les nouvelles informations. Arrondir au dixième de degré. y I 6 5 4 3 Antenne parabolique 2 O 1 F -2-1 0 1 2 3 4 5-1 x Page 2 / 6
Exercice 2 (3 points) La qualité de la réception de l antenne parabolique n est pas constante mais dépend de la fréquence du signal reçu. L amplitude du signal à la sortie de la parabole s exprime en fonction de la fréquence par : A(f) = - 0,008 f 2 + 1,15 f + 10 f est la fréquence du signal (exprimée en MHz), l amplitude est exprimée en millivolt (mv). 1) Calculer, à la sortie de l antenne, l amplitude d un signal de fréquence f = 20 MHz. On considère que la réception est de bonne qualité lorsque l amplitude est supérieure à 38 mv. 2) Déterminer pour quelles valeurs de fréquence l amplitude est égale à 38 mv. On résoudra pour cela l équation : - 0,008 f 2 + 1,15 f + 10 = 38. Arrondir les résultats au dixième de MHz. 3) En déduire la plage de fréquences pour laquelle l antenne est bien adaptée (bonne qualité de réception). Justifier le résultat. Exercice 3 (4 points) Un circuit électronique amplifie ensuite le signal reçu. La fonction de transfert complexe du circuit, 10 pour une valeur fixée de la fréquence, est T = (1-2j) 2. 1) Développer (1-2j) 2 et réécrire T. 2) En multipliant le numérateur et le dénominateur par le nombre complexe (-3 + 4j), montrer que la fonction de transfert peut s écrire : T = -1,2 + 1,6j. 3) Calculer le module T de T. 4) Le gain du circuit (exprimé en décibel db) est donné par la formule : G = 20 log T. Calculer le gain. Page 3 / 6
Exercice 4 (7 points) Le signal reçu du satellite est ensuite transmis au réseau de traitement par une fibre optique qui l atténue en partie. Le récepteur ne reçoit donc qu une partie P de la puissance P 0 (exprimée en watt) reçue par l antenne et est donnée par la relation : P = P 0 e - α L α est le coefficient d atténuation pour une certaine longueur d onde exprimée en db/km. L est la longueur de la fibre optique exprimée en km. 1) Calculer α, à 0,1 près, pour P = 0,33 mw ; P 0 = 0,7 mw et L = 2,5 km. 2) Soit f la fonction définie sur l intervalle [0 ; 10] par f(x) = 0,7 e 0,3 x. a) Calculer la fonction dérivée f de la fonction f. b) Étudier le signe de la dérivée puis compléter le tableau de variations de l annexe. c) Sur l annexe, compléter le tableau de valeurs (arrondies à 0,01 près) puis tracer la représentation graphique de la fonction f dans le repère donné. 3) Déterminer l équation de la tangente au point d abscisse x 0 = 0 et la tracer dans le repère précédent. 4) Trouver une primitive de la fonction f puis calculer l intégrale de la fonction f entre les bornes d intégration 0 et 10. Page 4 / 6
ANNEXE (à rendre avec la copie) Tableau de variations x f (x) f(x) Tableau de valeurs Représentation graphique y 0,5 O 5 x Page 5 / 6
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FICHE D ÉVALUATION (1) Nom : Prénom : Classe : T SEN ASI Barème Note élève EXERCICE 1 Antenne parabolique / 6 1) lectures des coordonnées 0,5 2) coordonnées et norme 0,5 + 0,5 3) expression des coordonnées + norme 1 calcul de x I puis vecteur 0,5 + 0,5 4) produit scalaire 1 5) angle de rotation arrondi 1 + 0,5 EXERCICE 2 Qualité de réception / 3 1) calcul 0,5 2) résolution 2 3) conclusion 0,5 EXERCICE 3 Circuit électronique / 4 1) développement et réécriture de T 0,5 2) nouvelle écriture de T 2 3) calcul du module 1 4) calcul du gain 0,5 EXERCICE 4 Transmission du signal / 7 1) calcul de α 0,5 2) dérivée de f et signe 1 + 0,5 Tableau de variations 0,5 Tableau de valeurs 1 Représentation graphique 1,5 3) équation de tangente et tracé 0,5 + 0,5 4) primitive et intégrale 0,5 + 0,5 TOTAL / 20