Cours 3a-1 Linéarité proportionnalité Discipline Sommaire 1 Fonctions affines et linéaires........................................... 2 1.1 Représentation graphique 2 1.2 Linéarité et proportionnalité 2 2 Propriétés de linéarité et tableaux de proportionnalité..................... 3 2.1 Linéarité additive 3 2.2 Linéarité multiplicative 3 2.3 Rapports égaux 4 2.4 Produits en croix 4 3 Comment déterminer une quatrième proportionnelle?...................... 4 3.1 Passage par l unité 4 3.2 Règle de trois 5 3.3 Produit en croix 5 4 quelques exemples.................................................... 5 4.1 Prix payé en fonction du poids 5 4.2 Mouvement à vitesse constante 5 4.3 Échelle sur une carte 6 4.4 Calcul de pourcentage 6 La notion de proportion est présente chez Euclide dans le Livre V des Éléments (compilation du savoir géométrique qui resta le noyau de l enseignement mathématique pendant près de 2000 ans). Cependant, Euclide ne considère que des rapports de grandeurs de même type. Voilà la définition qu il donne : «On dit de quatre grandeurs, a, b, c, d, prises dans cet ordre, que la première est à la deuxième dans le même rapport que la troisième est à la quatrième, quand n importe quel équimultiple de la première et de la troisième grandeur est en même temps et respectivement soit supérieur, soit égal, soit inférieur à n importe quel équimultiple de la deuxième et de la quatrième grandeur.» Je laisse au lecteur le soin de traduire, en langage mathématique, cette définition ;-) Euclide (environ -325 à -265)
1 Fonctions affines et linéaires 1.1 Représentation graphique Définition 1. a et b sont deux réels donnés. La fonction définie sur R par f(x) = ax + b est appelée fonction affine, elle est représentée par une droite où le réel a est le coefficient directeur de cette droite ; le réel b est l ordonnée à l origine. Dans le cas où b = 0, la fonction est appelée fonction linéaire, représentée par un droite passant par l origine. Comme pour n importe quelle fonction, pour tracer une fonction affine, on choisit des points que l on place dans un repère (deux suffisent, éventuellement un troisième pour vérifier!). Dans le cas d une fonction linéaire, il suffit d un point en plus de O. Exemple 2 Représentation graphique des fonctions : C 1 : f(x) = x + 1, C 2 : f(x) = 2, C 3 : f(x) = 3x, C 4 : f(x) = 3 4 x 3. C 2 C 1 1 0 1 C 3 C 4 La fonction est croissante si a est positif, constante si a est nul, et décroissante si a est négatif. 1.2 Linéarité et proportionnalité Définition 3. Deux suites de n nombres réels (x 1, x 2,..., x n ) et (y 1, y 2,..., y n ) sont proportionnelles si tout nombre de l une est obtenu en multipliant tout nombre de même rang de l autre par un nombre constant appelé coefficient de proportionnalité, ou par son inverse. En terme de fonction, l une est l image de l autre par une fonction linéaire f définie par y = f(x) = a x où le nombre non nul a est le coefficient de proportionnalité. N@thalie DAVAL 2/6 ESPE de la Réunion
Exemple 4 Soit les suites (0; 1; 2; 3; 4) et (0; 0, 5; 1; 1, 5; 2) : abscisse 0 1 2 3 4 ordonnée 0 0,5 1 1,5 2 0, 5 Ce tableau est un tableau de proportionnalité. Le coefficient de proportionnalité (ici 0, 5) est le coefficient directeur de la droite. Propriété 5. 2 1 0 0 1 2 3 4 5 On reconnaît une situation de proportionnalité lorsque la représentation graphique est une droite passant par l origine du repère. 2 Propriétés de linéarité et tableaux de proportionnalité 2.1 Linéarité additive Propriété 6. Si deux suites sont proportionnelles, f(x 1 +x 2 ) = f(x 1 )+f(x 2 ), c est à dire que l image d une somme est égale à la somme des images. Exemple 7 + = 4 5 9 18 6 12 15 27 54 18 + = Dans ce tableau, dans la première ligne on peut dire que 4+5 = 9. Dans la ligne du dessous, on a également 12 + 15 = 27. 2.2 Linéarité multiplicative Propriété 8. Si deux suites sont proportionnelles, f(k x) = k f(x). En particulier, l image du double, triple... d un nombre est le double, le triple... de l image de ce nombre. Exemple 9 2 3 4 5 9 18 6 12 15 27 54 18 2 3 Dans ce tableau, dans la première ligne on a 9 2 = 18 et 18 3 = 6 et dans la ligne du dessous 27 2 = 54 et 54 3 = 18. N@thalie DAVAL 3/6 ESPE de la Réunion
2.3 Rapports égaux Propriété 10. Les rapports obtenus en faisant le quotient d un nombre de la deuxième suite par le nombre correspondant de la première suite sont tous égaux au coefficient de proportionnalité. Exemple 11 3 4 5 9 18 6 12 15 27 54 18 3 On a : 18 6 = 54 18 = 27 9 = 15 5 = 12 4 = 3. Remarque 12 Le coefficient de proportionnalité peut ne pas être entier. Dans le tableau ci-dessous, le coefficient de proportionnalité est le nombre fractionnaire 7 3. 3 6 18 7 14 42 7 3. 2.4 Produits en croix Propriété 13. Dans un tableau de proportionnalité, les produits «en diagonale» (ou produits en croix) sont deux à deux égaux. Ceci permet de déterminer une quatrième proportionnelle. Exemple 14 Dans le tableau de proportionnalité 4 7 8 14, on a l égalité 4 14 = 8 7. 3 Comment déterminer une quatrième proportionnelle? on considère que les stylos ont tous la même valeur On considère le problème suivant, bien connu (cf. vidéo de Xavier Darcos) : Si 4 stylos coûtent 2,42e, combien coûtent 14 stylos? Voici quelques techniques de résolution : 3.1 Passage par l unité on peut passer par les prix de 2 stylos puis multiplier par 7 Cette technique consiste à chercher la valeur d une unité, ici le prix d un stylo, puis de multiplier par le nombre de stylos recherchés. 4 stylos coûtent 2,42edonc, 1 stylo coûte 2,42e 4 = 0,605e. 14 stylos coûtent 14 0, 605e= 8, 47e. N@thalie DAVAL 4/6 ESPE de la Réunion
3.2 Règle de trois Il s agit, en fait, de la même technique que précédemment, à ceci près que dans la règle de trois, le calcul est fait en une seule fois, donc plus rapidement, mais il est apparenté à une «recette de cuisine» où le sens est parfois oublié. 4 stylos coûtent 2,42edonc, 14 stylos coûtent 14 2, 42e 4=8,47e. 3.3 Produit en croix Cette technique, non utilisée à l école primaire, consiste à résoudre une équation. Pour cela, on peut utiliser un tableau. Nombre de stylos 4 14 On a le tableau de proportionnalité : Prix des stylos ene 2,42 x d où l égalité : 4 x = 2, 42 14. On calcule la donnée manquante : x = 2, 42 14 4 = 8, 47. 4 quelques exemples 4.1 Prix payé en fonction du poids Au marché, le prix des letchis est de 1,2ele kilogramme. On reporte dans un tableau le prix payé en fonction de la quantité de letchis achetée. Le coefficient de proportionnalité est 1,2. Poids des letchis en kg 1 5 3 2 0,5 1,5 10 Prix ene 1,2 6 3,6 2,4 0,6 1,8 12 1, 2 4.2 Mouvement à vitesse constante Propriété 15. l unité de vitesse dépend des unités de distance et de temps La vitesse moyenne v d un objet qui parcourt une distance d en un temps t est donnée par v = d t. Exemple 16 Une voiture parcourt 400 km en 5 heures, sa vitesse moyenne est de 400 (km) 5 (h) = 80 km/h. Connaissant la vitesse moyenne d un objet, on peut calculer la distance parcourue en un temps donné par la formule d = v t ou le temps mis pour parcourir une distance donnée par la formule t = d v. Lorsqu un véhicule se déplace toujours à la même vitesse, il y a proportionnalité entre la distance parcourue et le temps. N@thalie DAVAL 5/6 ESPE de la Réunion
Exemple 17 Temps écoulé (s) 5 8 15 100 Distance parcourue (m) 15 24 45 300 3 Ce tableau est un tableau de proportionnalité de coefficient 3 : la vitesse est de 3 mètres par seconde. 4.3 Échelle sur une carte Définition 18. L échelle d une carte est le coefficient de proportionnalité entre une mesure réelle et sa mesure sur la carte, ces deux mesures étant exprimées dans la même unité. Exemple 19 Une carte au 1/200 000 signifie que 1 cm sur la carte représente 200 000 cm sur le terrain, soit 2 km. Combien 5 km sur le terrain font-ils sur la carte? 2 Distance sur la carte (cm) 1 x Distance sur le terrain (km) 2 5 2 x = 1 5 2 = 2, 5 donc, 5 km sur le terrain sont représentés par 2,5 cm sur la carte. 4.4 Calcul de pourcentage Définition 20. Le pourcentage d un effectif est le nombre qui aurait été proportionnellement obtenu si l effectif avait été de 100. Propriété 21. Pour calculer le pourcentage d une quantité x par rapport à une quantité y, on calcule : x y 100. x Pour calculer x % d un nombre, on multiplie ce nombre par 100. Exemple 22 Dans un collège, il y a 125 filles et 180 garçons. 40 % des filles et 60 % des garçons mangent à la cantine. Quel est le pourcentage d élèves qui mangent à la cantine parmi tous les élèves du collège? Calcul du nombre de filles qui mangent à la cantine : 40 % de 125. 40 125 = 50. Donc, 50 filles mangent à la cantine. 100 Calcul du nombre de garçons qui mangent à la cantine : 60% de 180. 60 180 = 108. Donc, 108 garçons mangent à la cantine. 100 Calcul du pourcentage d élèves du collège qui mangent à la cantine : 158 élèves sur 305. 158 100 51, 8. 305 Le pourcentage d élèves du collège qui mangent à la cantine est d environ 51,8 %. N@thalie DAVAL 6/6 ESPE de la Réunion