hapitre 10 Géométrie dans l espace TLE DES MTIÈRES page -1 hapitre 10 Géométrie dans l espace Table des matières I Exercices I-1 1................................................ I-1 2................................................ I-1 3................................................ I-1 4................................................ I-1 5................................................ I-2 6................................................ I-2 7................................................ I-2 8................................................ I-3 9................................................ I-3 10................................................ I-4 11................................................ I-4 12................................................ I-4 13................................................ I-4
hapitre 10 Géométrie dans l espace I EXERIES page I-1 I Exercices 1 Positions relatives de deux plans On considère un cube DEGH de 6 cm d arête. 2 1. Tracer le cube en perspective cavalière. 2. Placer I, J, K L les milieux respectifs de [], [], [G], [E]. 3. On coupe le cube par le plan qui passe par I, J, K. Quelle est la nature de la section? La tracer. 4. Tracer IJ et IJKL en vraie grandeur. 5. alculer l aire de IJKL. On considère le cube DEGH de l exercice 1. 3 1. Quelles sont les intersections des plans (a) () et ()? (b) (IJK) et ()? (c) (E) et (EG)? (d) (E) et (DG)? 2. iter deux exemples de deux plans parallèles. (Math 2de, Pixel, ordas, 2010, 12 p 235) DEGH est un pavé droit, I est un point du segment [GH], distinct de G et de H. Le point J est le centre de la face G. On admet que GH et DG sont des rectangles. 4 1. Pour les deux plans indiqués, préciser chaque fois si les deux plans sont sécants, parallèles ou confondus. Justifier. (a) (GH) et (D) (b) (GH) et (EIJ) (c) (I) et (HGJ) (d) (DHG) et (I) 2. Dans les cas où les deux plans sont sécants, préciser la droite d intersection. DEGH est un cube de 5 cm d arête. K est un point de l arête [G], tel que GK = 2 cm. L est un point de l arête [E], tel que L = 2 cm. 1. Pour les deux plans indiqués, préciser chaque fois si les deux plans sont sécants, parallèles ou confondus. Justifier. (a) (EK) et (G) (b) (L) et (DHG) (c) (HEK) et (GL) (d) (EH) et (KG) (e) (DHK) et (G) 2. Dans les cas où les deux plans sont sécants, préciser la droite d intersection. E D H E L D H I J K G G
hapitre 10 Géométrie dans l espace I EXERIES page I-2 5 Dans cet exercice, on considère le cube DEGH de l exercice 4 et les points K et L. 6 1. Sur le dessin en perspective de l exercice 4 tracer la section du cube DEGH par le plan (DHK). Il faudra tracer des segments et nommer un point. 2. La section du cube DEGH par le plan (DHK) est un polygone, préciser la nature ce polygone sans justifier. 3. alculer la distance HK (valeur exacte et arrondie au dixième). 4. alculer l aire du polygone de la question 2 (valeur exacte et arrondie au dixième). 5. Quand on coupe le cube DEGH par le plan (DHK) on sépare le cube en deux solides. Quelle est la nature du solide qui contiient le point G? 6. alculer le volume du solide précédent. Positions relatives de deux plans, d une droite et d un plan. et exercice sera fait en salle d informatique, avec le logiciel abri 3D. Ouvrir le fichier ex-4-cube-2-plans-et-droite.cg3. DEGH est un cube. M est un point sur l arête [] et N un point sur l arête [G] tels que M = N. 7 1. On coupe le cube par le plan (HEM). Quelle est la section du cube par ce plan? 2. Tracer cette section avec le bouton Polygone (il faudra revenir cliquer sur le 1er point pour achever le polygone). 3. liquer sur le bouton en haut à gauche (flèche blanche), cliquer sur le bouton droit de la souris et laisser appuyé, puis faire tourner la figure pour vérifier votre réponse du 1). 4. Nous allons construire l intersection du plan () et du plan (HEM). Le plan () apparaît déjà. (a) Pour faire apparaitre le plan (HEM), cliquer sur le bouton Plan, puis sur les points H, E, M. (b) Pour faire mieux apparaitre l intersection, cliquer sur le bouton ourbe d intersection, puis cliquer sur le plan () et le plan (HEM). 5. Le plan (HEM) est parallèle à une arête du cube. (a) Laquelle par exemple? (b) Tracer cette arête avec le bouton Droite. (c) aire tourner la figure comme au 3) pour observer que cette droite ne coupe pas le plan (HEM). Math 2de, Pixel, ordas, 2010, activité 2 p 227, droite et plan. et exercice sera fait en salle d informatique, avec le logiciel abri 3D. D est un tétraèdre (ou une pyramide à base triangulaire). Le point I est le milieu de [D] et J le milieu de [D]. P est un point du segment [D]. On va s intéresser à la position de la droite(ip) et du plan () selon la position du point P. 1. (a) réer la droite (IP) avec le logiciel.
hapitre 10 Géométrie dans l espace I EXERIES page I-3 8 (b) aire tourner la figure pour observer ce tétraèdre, la droite IP et le plan (). 2. (a) Demander au logiciel de créer le point E d intersection de la droite (IP) et du plan (). (b) Pour une position du point P, le point E n existe pas. Quelle position? (déplacer le point P sur l arête [D] pour répondre. 3. (a) Quand on déplace le point P, observer le déplacement du point E : il se déplace sur une droite. Laquelle?........................ Pour répondre, on peut utiliser le bouton Trajectoire. (b) Tracer cette droite avec le logiciel et faire touner la figure pour vérifier que la droite (IP) et cette droite se coupent en E. On considère à nouveau le cube DEGH de l exercice sur fiche n o 6, et les points M et N respectivement sur les arêtes [] et [G] tels que M = N. On rappelle que l arête du cube mesure 6 cm et que M = N = 2 cm. 9 1. Dans l exercice sur fiche n o 6, l intersection des plans () et (HEM) a été déterminée avec le logiciel. onstruire maintenant cette intersection sur la figure ci-dessous. Indication : construire d abord le point P intersection de la droite (EM) avec le plan () et le point R intersection de la droite (HN) avec le plan (). 2. On veut maintenant calculer à quelle distance du cube se trouve l intersection des plans () et (HEM). (a) Tracer en vraie grandeur le carré E, et la droite (EM) et le point P. (b) alculer la distance P. On considère à nouveau le tétraèdre D de l exercice 4. I est le milieu de [D], J le milieu de [D]. P est un point du segment [D]. 1. Quand le point P n est pas sur le point J, la droite(ip) coupe le plan () en un point E. onstruire ce point E. 2. Quand le point P est confondu avec J, quelle est la position de la droite (IP) ou plutôt la droite (IJ) par rapport au plan ()? 3. Que peut-on dire des droites (IJ) et ()? Justifier par une propriété de géométrie. E D H M I P G N D J
hapitre 10 Géométrie dans l espace I EXERIES page I-4 10 Positions relatives d une droite et d un plan, de deux droites DEGH est un pavé droit. I est un point du segment [GH], distinct de G et de H. Le point J est le centre de la face G. On admet que GH et DG sont des rectangles. 1. Sans justifier, que peut-on dire chaque fois de la droite et du plan? Lorsque la réponse est «sécants» H I G préciser le point d intersection E a) (GD) et () b) () et (EHD) c) () et (DH) d) (H) et () J 2. Sans justifier que peut-on dire des droites a) (EH) et ()? b) () et (G)? c) (DI) et (G)? d) (H) et (G)? e) (E) et ()? f) (EG) et ()? D Intersection de deux plans onstructions 11 DEGH est un cube. I est un point de l arête [GH]. Le but de l exercice est de déterminer l intersection des plans (EI) et (G). Les tracés seront effectués sur la figure cicontre. 1. Sans justifier déterminer un point qui appartient à la fois aux deux plans (EI) et (G). 2. Les droites (EI) et (G) se coupent en J. onstruire le point J. 3. Le point J appartient-il au plan (EI)? Justifier. 4. Le point J appartient-il au plan (G)? Justifier. 5. Quelle l intersection des plans (EI) et (G)? Effectuer un tracé sur la figure. 12 D est un tétraèdre. Les points E,, G sont respectivement sur les arêtes [], [], [D]. À l aide d une construction à la règle, déterminer l intersection des plans (EG) et (D). Justifier. On pourra s inspirer de l exercice 11. E D H I G G D 13 DE est un prisme à base triangulaire. Les points G, H, I sont respectivement sur les arêtes [D], [E], []. À l aide d une construction à la règle, déterminer l intersection des plans (GHI) et (E). Justifier. D E E G H I
hapitre 10 Géométrie dans l espace I EXERIES page I-5 Exercices du manuel de mathématiques Pixel 2de (ordas 4, 9, page 234 et 11, 12, 14, 15, 16 page 235