LE RAISONNEMENT LOGIQUE DANS L'ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE SECONDAIRE ET UNIVERSITAIRE PAR R. SUPPANTSCHITSCH. Il y a une dizaine d'années, l'on aurait jugé inutile de dire un mot sur le raisonnement logique dans l'enseignement mathématique tant secondaire qu'universitaire. Tout enseignement mathématique, sauf le primaire dans tous les cas, était logique, rien que logique, ayant pour but principal, presque unique, le développement de la faculté de raisonner. Les maîtres suivaient alors un chemin bien tracé et sans crainte possible d'aberrations. On pourrait envier à ces anciennes écoles le calme parfait de leur œuvre pédagogique que ne troublaient pas encore les discussions publiques. Mais regardons le revers de la médaille! Les anciens maîtres connaissaient fort bien leur tâche, ils l'accomplissaient tous les ans; mais cela leur avait enlevé la faculté de regarder au dehors. On aurait dit qu'ils portaient avec plaisir les œillères qu'on trouve inutiles aujourd'hui même pour les êtres inférieurs. Puis, au commencement de ce siècle vint la grande réforme, d'origine française. Alors, on s'est aperçu que le fondement soi-disant logique des éléments de mathématiques n'était rien moins qu'irréprochable, qu'il y avait là un problème trop difficile pour l'enseignement secondaire, que maintes démonstrations, d'une sécheresse horrible pour les enfants, étaient dépourvues de toute valeur. En même temps, on commençait dans quelques cas à faire largement appel à l'intuition des élèves, et les résultats obtenus étaient des plus surprenants. Certes, un jeune homme apprend plus vite un nombre considérable des théorèmes qui sont vérifiés dans des cas simples, qu'une seule démonstration rigoureuse ; il peut même saisir parfaitement leur portée et acquérir le don de s'en servir à propos. Ainsi, il accumulera très vite des connaissances utiles pour la vie, et son instruction mathématique, étendue quoique superficielle, lui permettra d'aborder des problèmes d'une certaine difficulté. Mais par là, je ne veux pas dire que cette acquisition rapide des notions mathématiques puisse avoir, pour le développement des facultés les plus nobles de l'esprit, autant de valeur que l'enseignement approfondi d'un seul théorème même très restreint. L'enseignement logique une fois abandonné, on croyait ne point pouvoir délivrer assez les programmes des anciennes méthodes qui, cependant, avaient contribué pendant des siècles à la formation des esprits élevés. Si rien n'est plus dangereux pour l'enseignement qu'une immobilité prolongée, cependant une évolution brusquée produit souvent des effets aussi fâcheux. On croirait, dans certains pays, l'enseignement mathématique élémentaire transformé en un véritable jeu. Ce fait ne serait :jue des plus heureux, s'il n avait deux inconvénients. D'abord, la vie devient
456 R. SÜPPANTSCHITSCH toujours plus difficile, elle nous impose des efforts grandissants, elle rejette avec une cruauté impitoyable tous ceux qui n'ont pas acquis dès leur jeunesse les forces nécessaires pour cette épouvantable lutte: tandis que nous n'avons plus le souci de former nos enfants à l'école puisque nous ne cherchons qu'à leur éviter tout travail sérieux. Ensuite, ne croyons point que nos enfants puissent trouver amusantes ces soi-disant récréations mathématiques. L'esprit railleur de la jeunesse saisit très vite que l'expérience faite dans une leçon de physique est liée étroitement avec les recherches sérieuses. Au contraire, l'expérience mathématique, appelée à éclairer une certaine vérité, n'est souvent qu'un moyen infaillible d'embrouiller ceux qui n'ont encore que des notions imparfaites et d'ennuyer les autres. Prenons un exemple : voici un cercle et un point A situé en dehors. Je mène plusieurs droites passant par le point A et coupant le cercle. J'obtiens une corde sur chacune d'elles et je vois que la corde située sur le diamètre passant par A est la plus longue et que les cordes décroissent, si j'éloigne la droite du centre...etc. C'est absolument simple. Cependant, il me semble qu'on l'a jugé assez compliqué, car autrement je ne comprendrais pas comment on a pu imaginer l'appareil suivant pour apprendre aux enfants ces propriétés des cordes de cercle. On marque le point A sur un carton gris et assez fort et on y trace le cercle. Puis, on fabrique avec des ciseaux une espèce d'aiguille en carton rouge p.e., évidée dans toute sa longueur. On y marque le point A et on attache l'aiguille en carton gris avec un œil de manière que les deux points A se superposent et que l'aiguille puisse tourner autour de l'œil. Mettons l'appareil en mouvement! Alors, on voit dans l'ouverture de l'aiguille les variations de la corde limitée par le cercle...etc. Les élèves sont tenus, quelquefois, de se faire eux-mêmes cet appareil. Maintenant, il faut avoir le courage de le dire : si un élève ne saisit pas immédiatement et à l'aide d'un dessin grossier les propriétés de la corde mobile, il sera entièrement inapte aux études mathématiques. Bien n'est plus inutile que cet essai d'une expérience à laquelle il est toujours nécessaire de consacrer de 30 minutes à une heure. Or, dans l'enseignement, le superflu est nuisible. Et l'effet moral est pis encore : ou bien, on risque de suggérer aux élèves l'idée qu'on se livre en mathématiques à des expériences fastidieuses, ou bien qu'on est assez peu averti de la vigueur et de la vivacité de l'esprit chez les jeunes gens. Je vous prie de ne pas me considérer comme un adversaire acharné des expériences mathématiques ; mais, selon moi, il est indispensable d'attendre que les choses deviennent assez compliquées pour qu'on ait peine à les imaginer, nettement et longtemps, sans se servir des modèles. Je ne cite qu'un seul exemple: les beaux modèles cinématiques qui mettent en évidence l'engendrement des cyclides. Mais alors, les expériences sont réservées aux classes les plus élevées de l'enseignement secondaire et surtout à l'enseignement supérieur. Je n'ai pas encore parlé de la logique dans l'enseignement secondaire. J'y reviens. Mais ne craignez pas que j'aille plaider pour le rétablissement des erreurs abandonnées. Bien communiquer les meilleures méthodes est aussi, à mon avis, un enseignement logique, qui cesse de l'être seulement lorsqu'on présente toujours des cas singuliers, exprès imaginés, on le dirait, pour cacher la vraie nature de problèmes qui autrement seraient facilement saisis dans toute leur généralité. Est-il nécessaire de traiter en géométrie descriptive p.e., l'intersection de deux plans, en partant des remparts, qui sont bien plus compliqués que ces notions géométriques élémentaires?
LE RAISONNEMENT LOGIQUE DANS L'ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE 457 Est-il logique d'imposer aux élèves la nécessité toujours indispensable de voir enfin par eux-mêmes les lois cachées dans ces nombreux cas logiquement identiques, il est vrai, mais très différents en apparence? L'enseignement devient logique, selon moi, dès que l'on réduit ces points de départ pris à la vie pratique, éternellement renouvelés, à l'importance qui leur convient et qu'on fait comprendre aux élèves que la connaissance des bonnes méthodes et la faculté de s'en assimiler de nouvelles sont les qualités les plus précieuses pour la plupart des hommes, sauf peut-être pour les grands génies. La logique infiniment subtile, nécessaire aujourd'hui pour inventer ou même pour bien comprendre une démonstration vraiment correcte, n'est plus à la portée de nos élèves de collèges, mais ils auront besoin toujours de la logique de méthodes qui ne dépasse pas leur intelligence. Je veux dire qu'ils doivent apprendre à pouvoir se servir bien vite d'une méthode enseignée, à voir si son application est possible dans des cas relativement compliqués, à critiquer les différentes méthodes et à choisir la plus pratique dans un cas donné. Cette faculté précieuse ne s'acquiert nullement, je le crois du moins, quand on n'habitue pas les élèves de bonne heure à des procédés généraux. Il ne faut pas s'illusionner encore sur la complexité de la vie pratique : jamais, dans les collèges, on ne pourra enseigner la géométrie au point qu'un arpentage exécuté dans les conditions de la réalité puisse donner des résultats sérieux. C'est un exemple seulement, qu'il serait aisé de multiplier. Rappelons-nous seulement combien même les élèves sortant de Polytechnique ou de Centrale ont encore à apprendre dans la vie pratique. Les exemples techniques de l'enseignement secondaire ne servent donc qu'à lui donner plus de vie, et -cela est très juste. Mais n'exagérons pas! Nous ne voulons point que nos élèves ne voient dans les mathématiques qu'un moyen et non une science. Il faut, au contraire, leur apprendre à goûter la beauté de cette science. A ce sujet, il est indispensable de leur faire de temps à autre une démonstration rigoureuse, bien choisie, qui leur donnera le goût de la rigueur et de la critique. Je veux insister encore sur un point important. Les études mathématiques, comme celle de la grammaire, forcent les jeunes gens à s'exprimer avec précision et simplicité. Rien ne favorise plus l'habitude des expressions claires que la nécessité de rendre dans le langage ordinaire un théorème compliqué, mais que l'on a compris parfaitement. Vous savez tous l'énoncé exact des conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une suite de nombres ait une limite ; vous savez aussi que les commençants sont souvent tentés de formuler ce théorème d'une manière très incomplète. J'entre d'autant moins dans la discussion des erreurs possibles que quelques-unes d'entre elles sont très subtiles. Cependant, je citerai un exemple simple qui, très à la portée des élèves, les forcerait à réfléchir sur l'énoncé de ce théorème. Prenons la suite de nombres : _ _2 _ 3 j_l _ 5 i Le nombre 1 est évidemment tel qu'il y a des nombres dans cette suite qui s'en rapprochent arbitrairement, mais il n'est pas la limite de ces nombres. L'esprit de la critique, la faculté de s'exprimer avec clarté voilà encore des qualités bien nécessaires à un bon citoyen. On ne peut guère imaginer, en effet, un véritable homme d'état dénué d'esprit critique. C'est pour cette raison, sans doute, qu'on a toujours jugé les études des mathématiques pures très utiles pour la culture nationale.
458 R. SUPPANTSCHITSCH Sur l'enseignement universitaire, j'ai peu de chose à dire. Il est divisé par sa nature en un enseignement purement scientifique, donné aux futurs savants, et un enseignement donné aux candidats du professorat secondaire. Le premier, confié toujours aux plus grands savants du pays, suit par ce fait même les derniers progrès de la science. Dans le second, on est obligé déjà de choisir les méthodes et la matière en vue d'un but pratique. Les grandes découvertes modernes de la science ont amené de fréquentes réformes des programmes de ces études dans les différents pays. D'autre part, la révision des programmes de l'enseignement secondaire exige de nouvelles qualités du maître, surtout une connaissance plus complète des applications techniques. La nécessité d'études pratiques pourrait nuire à la haute précision à laquelle on est habitué depuis longtemps dans l'enseignement universitaire. Un second danger menace l'enseignement donné aux futurs professeurs, c'est celui d'idées pédagogiques, mal conçues et défendues par des partisans manquant d'une instruction mathématique très solide. Ici, il faut toutefois excepter la France, où à l'ecole Normale Supérieure un enseignement pédagogique parfait est donné par des professeurs des mathématiques. Mais je ne crains pas non plus un abaissement de l'enseignement universitaire dans les autres pays, car dans l'intérêt grandissant qu'on prête à l'étude critique des principes, je vois un remède aux deux dangers. Je peux résumer ainsi mon opinion sur le meilleur enseignement universitaire à donner aux candidats du professorat : on doit ne pas toucher sauf quelques allégements au fond de cet enseignement, donner une place bien plus large aux applications techniques, étudier celles-ci, autant que possible, dans une école technique, faire toujours donner par des professeurs de mathématiques aux candidats à la fin de leurs études des connaissances pédagogiques indispensables, et enfin, souligner, le cas échéant, la valeur de la rigueur. Ainsi, on obtiendra des maîtres qui réuniront au gout absolument indispensable de la rigueur celui des applications pratiques. Que c'est là une chose possible, les grands mathématiciens sortis de l'école polytechnique en France nous le prouvent. En passant de vue l'enseignement supérieur, je n'ai parlé que de l'enseignement universitaire. En effet, l'enseignement mathématique dans les écoles techniques proprement dites, j'exclue formellement l'école polytechnique de France, doit être donné, selon moi, d'une manière tout à fait différente. Dans ces établissements, il s'agit d'enseigner surtout et avant tout des théorèmes et des méthodes qui sont applicables aux problèmes posés aux ingénieurs par la vie pratique. Ces problèmes étant bien souvent trop difficiles, vu l'état actuel de nos connaissances, il est encore nécessaire d'habituer les élèves à simplifier les données réelles de telle façon que le résultat final ne soit pas trop modifié. Cet enseignement, malgré son but pratique, n'est pas moins scientifique; en outre, il doit contribuer à la formation définitive d'esprit des futurs ingénieurs. Nous voyons que l'enseignement mathématique aux écoles techniques exige de la part du professeur non seulement des connaissances mathématiques approfondies, mais aussi une grande expérience et un don particulier d'enseigner. Je ne peux que signaler ici ces grandes difficultés et je renvoie ceux qui désireraient de plus amples renseignements au très beau rapport de M. Czuber sur les écoles polytechniques en Autriche.
COMMUNICATIONS SECTION IV (a) (PHILOSOPHY AND HISTOEY)