Représentation graphique d une fonction affine, intersection d une parabole et d une droite L objectif de cette séance est de faire découvrir aux élèves la représentation graphique d une fonction affine en utilisant le menu DYNA de la calculatrice graph35+. Puis d utiliser ce menu pour faire varier un paramètre et discuter sur le nombre de points d intersections de deux courbes et donc sur le nombre de solutions d une équation du second degré en fonction d un paramètre m. Exercice : Première partie : On considère la fonction affine définie sur IR par f(x)=ax + b ) Quelle est la représentation graphique d une telle fonction? 2) Sur la calculatrice,utiliser le menu dynamique pour fixer la valeur de a à 0,5 et faire varier la valeur de b entre -5 et +5. a) Qu observe-t-on sur le graphique? b) Où retrouve-t-on la valeur de b? Expliquer le nom donné à b dans le cours. c) Comment repère-t-on graphiquement une fonction linéaire? 3) Fixer maintenant la valeur de b à, faire varier a entre -5 et 5. a) Qu observe-t-on graphiquement? b) A quoi correspond a=0? Deuxième partie : On considère la fonction carré définie sur IR par g(x)=x 2 et la fonction affine définie sur IR par f(x)=2x + m On cherche à résoudre l équation x 2-2x-m = 0 ) Montrer que résoudre cette équation équivaut à résoudre f(x)=g(x). 2) En utilisant votre calculatrice conjecturer, en fonction des valeurs de m, le nombre de solutions de cette équation. Première partie : ) La fonction affine définie sur IR par f(x)=ax+b est représentée par la courbe d équation y=ax+b qui est donc une droite. Pour visualiser cette droite nous allons utiliser la calculatrice. Nous allons tout d'abord mettre la calculatrice en langue française et pour cela nous allons dans le menu système de la calculatrice : pj(e) ennn(français)q(sel)d
2) Nous utilisons le menu dynamique de la calculatrice: p4 Nous choisissons un type de fonction intégrée y(b-in) et le premier type Y=AX+B l Nous fixons ensuite la valeur de A à 0,5 : r(var)0.5l Nous sélectionnons B comme variable dynamique q(sel) et faisons varier B de -5 à 5 avec un pas de w(set) -5l5lll 2
Nous lançons l'animation dynamique u(dyna) Un message d attente apparaît lorsque l animation se construit. On ne voit pas très bien se qui se passe car la fenêtre n'est pas assez grande. On change donc la fenêtre d'affichage, en interrompant l'animation Od On peut faire par exemple varier Y entre -7 et 7 : Le(V-window) NNNN-7l7l l On relance l animation : u(dyna) On peut ainsi observer ce qui se passe lorsque B varie. 3
Oq(>=) Ce réglage permet de contrôler l'évolution de B manuellement, chaque appui sur la touche l incrémente la valeur de B. (les autres réglages proposés permettre d augmenter ou réduire la vitesse de l animation) Od permet d arrêter l animation. a) Ces observations nous permettent de voir que la valeur de b correspond à la valeur de l intersection de la droite avec l axe des ordonnées. b) b correspond à la valeur de l image de 0, ou l ordonnée sur la droite lorsque x vaut 0, d où le nom donné à b dans le cours: ordonnée à l origine. c) lorsque b=0, la fonction est linéaire et la droite passe par l origine du repère. 4
3) Nous allons maintenant utiliser la même fonction pour observer ce qui se passe lorsque b reste fixe et que a varie. Pour pouvoir maintenant modifier la valeur de A allons sélectionner A comme variable dynamique Bqwl et fixer la valeur de B à Nl puis lancer l'animation qui est restée en contrôle manuel u (DYNA) Chaque appui sur la touche l change la valeur du coefficient A. Nous voyons que l'ordonnée à l'origine reste fixe alors que le coefficient directeur change. En se plaçant dans le cas où A=0 nous voyons que la droite est horizontale. a) Le graphique nous permet de voir le rôle du coefficient directeur a, lorsque a varie l inclinaison de la droite est modifiée. b) pour a=0,on obtient une fonction constante et la droite représentant cette fonction est horizontale. 5
Deuxième partie : ) On considère la fonction carré définie sur IR par g(x)=x 2 et la fonction affine définie sur IR par f(x)=2x + m f(x)=g(x) x 2 = 2x + m x 2 2x m = 0 2) les solutions de l équation x 2 2x m = 0 sont donc les abscisses des points d intersection des courbes représentatives des fonctions f et g. Nous allons observer ce qui se passe lorsque m varie puis conjecturer le nombre de solution de l équation en fonction de la valeur de m. Nous restons dans le menu DYNA et nous allons représenter une deuxième fonction qui est la fonction carré ddd Nous permet de revenir dans le menu de saisie des fonctions Nous laissons en Y la fonction affine Dans Y2 nous saisissons la deuxième fonction Nfsl Puis nous allons fixer A à la valeur 2 et B variant de -5 à 5 (B correspondant au m de l énoncé) r2lqwl 6
u(dyna) à chaque appui sur la touche l la valeur de B change et nous pouvons donc conjecturer ce qui se passe suivant les valeurs de B. Conjecture : En observant le graphique nous pouvons conjecturer que pour m ] - ; -[, l équation n admet pas de solution car la droite ne coupe pas la parabole. Pour m = - l équation admet une unique solution car il y a un seul point d intersection. Pour m ]- ; + [, l équation admet deux solutions car il y a deux points d intersection. 7