Utilisation des nombres pour résoudre des problèmes Aspect cardinal Maternelle MS-GS Francette Martin Voici une situation fondamentale faisant intervenir le nombre cardinal : l enfant doit aller chercher en une seule fois une collection équipotente à une collection de référence ( qui n est donc plus visible) Exemples d activités : - une collection de pots étant donnée, aller chercher en une seule fois juste ce qu il faut de cubes pour en mettre un par pot - une collection de stylos étant donnée, aller chercher en une seule fois les capuchons dans un tas de capuchons - la table étant préparée pour un nombre précis de convives représentés par les chaises déjà installées, aller chercher en une seule fois les assiettes, puis les verres - une collection de ronds étant dessinée, aller chercher en une seule fois juste ce qu il faut de jetons pour mettre un jeton sur chaque rond. Trois types de situations : - les situations d autocommunication : c est le même enfant qui dispose de la collection de référence et va chercher en une seule fois une collection équipotente. La résolution de ce problème nécessite le dénombrement de la collection de référence, SAUF dans quelques cas particuliers : la collection de référence est peu importante (2,3,4 ou 5), il se peut alors que l enfant perçoive globalement la collection la collection de référence est plus importante, mais les objets sont répartis de telle sorte que l enfant peut faire une correspondance terme à terme ( implicite) pour construire sa collection Quand il y a dénombrement, il se peut que l adulte s en rende compte, quand l enfant lui-même explicite son action par le geste (il pointe les objets les uns après les autres) ou/et oralement (il utilise la suite des nombres 1,2,3 ).
Il se peut que le comportement de l enfant ne permette pas à l adulte de conclure que l enfant dénombre ou qu il ne dénombre pas. - situations de communication orale : l enfant qui a la collection de référence demande à un autre enfant juste ce qu il faut pour constituer une collection équipotente ( «je veux 8 cubes»). La résolution de ce problème nécessite une formulation orale du nombre d objets de la collection de référence. - Situations de communication écrite : l enfant qui a la collection de référence envoie un message écrit à un autre enfant pour obtenir juste ce qu il faut pour constituer une collection équipotente. La résolution de ce problème nécessite ou non la désignation écrite («8») du nombre d objets de la collection de référence : un message avec dessins des objets ou pointage des objets peut s avérer très efficace avec de petites collections. Dans ces 3 types de situations, la consigne ne propose pas explicitement l utilisation du nombre comme moyen de réussir mais quand l enfant mobilise le nombre pour résoudre ces problèmes, il doit mettre en œuvre certaines connaissances qu il va construire. Deux types de problèmes Dans ces situations, l enfant est confronté à 2 types de problèmes : - il doit savoir dénombrer une collection de n objets (collection nombre ) : la collection est donnée, il doit trouver le nombre - il doit savoir prendre n objets dans une collection (nombre collection) : le nombre est donné, il doit construire la collection. - dénombrer une collection de n objets ( pb de dénombrement d une collection) Ce problème peut être résolu de 3 façons : étant donné une collection d objets, l enfant peut - se dire le nombre d objets de la collection - dire le nombre d objets de la collection - écrire le nombre d objets de la collection - prendre n objets dans une collection ( problème de «prélèvement» de n objets). Ce problème peut être posé de 3 façons :
a) l enfant peut se dire le nombre n sans l avoir prononcé, ni écrit, et construire une collection de n objets b) le nombre n est donné oralement et l enfant doit construire la collection correspondante c) le nombre n est donné à l enfant par écrit, il doit construire la collection correspondante Dans les situations d autocommunication, l enfant doit d abord compter le nombre d objet de la collection de référence et se dire ce nombre, c est à dire résoudre un problème de dénombrement puis il doit aller chercher un nombre d objets correspondant à ce nombre qu il s est dit, c est à dire résoudre un problème de prélèvement. Le même enfant est donc confronté aux deux problèmes à la fois. Dans ces situations d autocommunication, il suffit pour réussir, que l enfant utilise une suite ordonnée stable ( même non numérique). En particulier, l enfant peut réussir en reproduisant toujours la même erreur dans la comptine «1,2,3,4,5,7,8» en dénombrant, et «1,2,3,4,5,7,8» en prenant les objets. Dans les situations de communication orale, l enfant qui demande les objets doit dire à son partenaire combien il y a d objets dans la collection de référence. Il doit donc résoudre un problème de dénombrement. L enfant qui fournit les objets doit construire une collection correspondant au nombre dit. Il doit donc résoudre un problème de prélèvement. Chaque enfant n a qu un problème à résoudre. Dans les situations de communication écrite, l enfant qui demande les objets peut écrire sur son message le nombre d objets de la collection de référence. Il doit donc résoudre un problème de dénombrement. L enfant qui fournit les objets doit construire une collection correspondante au nombre écrit, il a donc à résoudre un problème de prélèvement. Chaque enfant n a qu un problème à résoudre. Dans ces problèmes où l enfant est confronté à des nombres écrits, il doit nécessairement passer à la désignation orale des nombres. En effet, a) quand l enfant doit écrire le nombre d objets d une collection donnée : l enfant compte les objets, il se dit le nombre d objets et doit savoir écrire ce nombre. En fait, il résout deux problèmes : 1. de dire le nombre d objets d une collection donnée ( correspondance collection nombre dit) 2. écrire un nombre dit ( ce que l on appelle «dictée de nombres») ( correspondance nombre dit nombre écrit)
b) quand l enfant doit construire la collection, connaissant le nombre par écrit : l enfant doit lire le nombre écrit, et construire une collection correspondant à cette désignation orale. En fait l enfant résout deux problèmes : 1. lire un nombre par écrit ( correspondance nombre écrit nombre dit ) 2. construire une collection dont il s est dit le nombre ( correspondance nombre dit collection) Quand l enfant échoue, l enseignant ne sait pas d où vient l erreur, du dénombrement, du prélèvement, ou du passage nombre dit nombre écrit. Connaissances mises en place : Dans les situations d autocommunication, quand l enfant se met à compter le nombre d objets de la collection de référence pour aller chercher le même nombre dans la réserve d objets, c est qu il met implicitement en œuvre la propriété fondamentale : Quand deux collections sont équipotentes ( la consigne dit «un par pot et un seul») alors, elles ont le même nombre, et ceci dans une activité bien précise. Il n est pas sûr que ce comportement soit stable en particulier si les paramètres de la situation prennent d autres valeurs (nombre plus grand, objets de formes différentes, de tailles différentes ) Les enfants qui ne comptent pas n ont pas cette connaissance de la propriété fondamentale. Ils devront nécessairement se l approprier pour réussir dans les situations d autocommunication ( à condition que l enseignant propose une situation où la correspondance terme à terme n est plus possible ) et dans les situations de communication orale. Dans les situations de communication écrite, quand l enfant n écrit pas le nombre mais dessine les objets, il met en œuvre implicitement la transitivité de l équipotence car il passe par une collection intermédiaire, celle des dessins. Quand au lieu de faire les dessins d objets, il fait une simple marque (////), il met en plus en œuvre une propriété d invariance : l équipotence entre deux collections ne dépend pas de la nature des objets ( principe d abstraction).
Ces deux propriétés, utilisées implicitement, vont permettre de mettre en place la notion de nombre. L enfant peut construire ces savoirs - parce que la consigne étant donnée avec des termes accessibles à tous, sans termes techniques ou ambigus (autant, même nombre, pareil ) il peut comprendre ce qui lui est demandé et répondre au problème par une action - parce que confronté seul, plusieurs fois à un même type de problème, il peut juger à chaque fois de l efficacité de ses actions et par là même confirmer ou infirmer ses démarches - parce qu au cours des débats collectifs, ou des échanges entre enfants, certains enfants peuvent faire évoluer leurs stratégies, se forger des convictions, s approprier les connaissances des autres - enfin, parce que quand une connaissance a été utilisée et reconnue par chaque enfant dans la résolution d un problème, l enseignant prend acte de l acquisition de cette nouvelle connaissance par la classe. Cette connaissance change alors de statut dans la classe, on peut l évoquer, s y référer, s en servir pour résoudre de nouveaux problèmes