Application de la simulation au risque de marché 26 Avril 2007 Christian CAPARIN christian.caparin@wanadoo.fr
>>Introduction Introduction Simulation Action de remplacer une expérience aléatoire par une autre expérience aléatoire plus simple La finance de marché est un des domaines d'application de la simulation Nécessité de mettre du certain dans un environnement largement incertain marché Page 1
>>Introduction Position du problème CLIENTS BANQUE CAS 1: P augmente 1 Milliard d' 1 Milliard d' BANQUE Achat d'un produit financier au prix P Tout va bien CAS 2: P diminue Tout va mal: (Menaces sur la survie de l'entreprise) Nécessité d'avoir un outil permettant d'évaluer les réserves permettant de faire face au risque de marché!!!
>>Introduction Position du problème(i) Objectif Empêcher les pertes En jouant en bourse, on peut à tout moment tout perdre!!! Objectif = Évaluer la probabilité de perdre une somme d'argent
>>Introduction Plusieurs techniques Des techniques sans tirage de nombres pseudo-aléatoires Le Stress Testing La méthode de variance/covariance Des techniques basés sur des tirages de nombres aléatoires
>>Formalisation Mathématisation du problème(i) Soit un produit financier de prix P P dépend de p variables Z 1,.., Z p Nature diverses des variables Z 1,..Z p Internes au produit (cas de portefeuille d'actions) Externes au produit (Indices,...) Externes au marché (environnement politique, économique...) De format variés(elles peuvent être discrètes comme continues) marché
>>Formalisation Mathématisation du problème(ii) Date t Date t+1 Z 1... Z 1 +ΔZ 1... Z p Z p +ΔZ p P(Z 1,..,Z p ) P(Z 1 +ΔZ 1,..,Z p +ΔZ p )
>>Formalisation Mathématisation du problème(iii) On s'intéresse à: ΔP=P(Z 1 +ΔZ 1,..,Z p +ΔZ p )-P(Z 1,..,Z p ) P&L du produit Value At Risk avec une probabilité α notée VAR(α) Valeur que les pertes d'un produit financier ont α de chance de dépasser. Mathématiquement c'est le quantile 1-α de la distribution des gains du produit.
>>Formalisation Mathématisation du problème(iv) Value At Risk avec une probabilité 95% notée VAR(95%) Valeur que les pertes d'un produit financier ont 95% de chance de ne pas dépasser. Mathématiquement c'est le quantile à 5% de la distribution des gains du produit.
>>Formalisation Mathématisation du problème(v) PERTES GAINS VAR(α)
>>Les techniques sans tirages Le Stress Testing Soit P un produit financier dépendant d'une seule variable Z 1 P=P(Z 1 ) On calcule le quantile à 95% (ou à 5%) de ΔZ 1 (noté q Z ) La Value at Risk à 95% est donné par Var(95%)=P(Z+q Z )-P(Z)
>>Les techniques sans tirages Le Stress Testing Soit un produit financier contenant une action ACCOR dont le prix est Z 1 Le prix du produit est P=Z 1 On calcule le quantile à 95% (ou à 5%) de ΔZ 1 (noté q Z ) La Value at Risk à 95% est donné par VAR(95%)=P(Z 1 +q Z )-P(Z 1 )=q Z
>>Les techniques sans tirages Le Stress Testing Date Z1 ΔZ1 17/01/08 49,25-0,63 16/01/08 49,88-1,38 QUANTILE(5%) -1,38 15/01/08 51,26-1,04 14/01/08 52,3 1,76 VAR(95%) -1,38 11/01/08 50,54 1,04 10/01/08 49,5 1,41 09/01/08 48,09-2,94 08/01/08 51,03-0,63 07/01/08 51,66-1,13
>>Les techniques sans tirages Le Stress Testing On calcule le quantile à 95% (ou à 5%) de ΔZ 1 (noté q Z ) La Value at Risk à 95% est donné par Var(95%)=P(Z+q Z )-P(Z) Quel quantile choisir? Le quantile à 5% où à 95%?
>>Les techniques sans tirages Le Stress Testing Le quantile à 5% lorsque P est une fonction croissante Le quantile à 95 % lorsque P est une fonction décroissante
>>Les techniques sans tirages Le Stress Testing CAS OU P EST DECROISSANTE P(Z) VAR(95%)=P(Z+q Z )-P(Z) P(Z+q Z ) Z Z+Quantile à 95%
>>Les techniques sans tirages Le Stress Testing CAS OU P EST CROISSANTE P(Z) VAR(95%)=P(Z+q Z )-P(Z) P(Z+q Z ) Z+Quantile à 5% Z
>>Les techniques sans tirages Le Stress Testing (II) Avantages Inconvénients Simplicité d'utilisation Un quantile unique à calculer Pas du tout adapté pour les produits avec un prix dépendant de plusieurs paramètres Ne permet pas de traiter le cas de plusieurs produits financiers Nécessité d'identifier la monotonie du produit
>>Les techniques sans tirages La méthode variance/covariance(i) On dispose de p produits financiers A 1,...,A p en quantité q 1,..,q p dont le prix à t est donné par Z 1,..,Z p Exemple un portefeuille d'actions Le P&L de ce portefeuille d'actions P&L=P(Z+ΔZ)-P(Z) P&L=q 1 ΔZ 1 +...q p ΔZ p
>>Les techniques sans tirages La méthode variance/covariance(i) On suppose que le vecteur (ΔZ 1,...,ΔZ p ) est un vecteur gaussien Z 1,.., Z p ~N 0, Le P&L est donné par q 1 ΔZ 1 +...q p ΔZ p qui est une variable gaussienne vérifiant: P & L~N 0, q 1,..,q p q 1,..,q p t σ 2
>>Les techniques sans tirages La méthode variance/covariance(i) La VAR(95%) est donnée par la formule VAR(95%)=1,64 σ = q 1,..,q p q 1,.., q p t Exemple: un portefeuille d'actions 4 actions d'air France (Z 1 ) 2 action ACCOR (Z 2 )
>>Les techniques sans tirages La méthode variance/covariance(i) ΔZ1 ΔZ2-0,31-0,63 AIRFRANCE ACCOR -0,24-1,38 QUANTITE 4 2-0,76-1,04 0,45 1,76 0,34 1,04 MATRICE DE VARIANCE-COVARIANCE -0,18 1,41 AIRFRANCE ACCOR -1,25-2,94 AIRFRANCE 0,18 0,14-0,38-0,63 ACCOR 0,14 0,73-0,25-1,13-0,9-1,24-0,36-0,39 VARIANCE DU P&L 8,06-0,41-0,28 0,2-0,05 ECART-TYPE 2,84 0,38 1,28-0,63-0,53 VAR(95%) 4,66
>>Les techniques sans tirages La méthode variance-covariance(ii) Avantages Inconvénients Simplicité d'utilisation Un quantile unique à calculer Pas du tout adapté à des produits non linéaires Cadre théorique intéressant pour des produits basés sur des actions Pas adapté pour des produits dont les variations ne sont pas des variables gaussiennes
>>Les techniques sans tirages La méthode variance/covariance(iii) Pour un produit non linéaire On «linéarise» le produit P(Z 1 +ΔZ 1,., Z p +ΔZ p )=P(Z 1,.,Z p )+P'(Z 1,.,Z p )(ΔZ 1,.,ΔZ p ) t Le P&L devient: P&L=P'(Z 1,.,Z p )(ΔZ 1,.,ΔZ p ) t On applique alors la méthode de variance covariance Intéressant pour les obligations
>>Les techniques sans tirages Les techniques sans tirages Difficulté pour évaluer le risque des portefeuilles de produit variés Difficulté de se priver de l'hypothèse de normalité Difficulté pour modéliser des produits complexes (non linéaires et à plusieurs variables)
>>Les techniques sans tirages Vers les techniques avec tirage Objectif: avoir la distribution de: P&L= P(Z 1 +ΔZ 1,..,Z p +ΔZ p )-P(Z 1,..,Z p ) Algorithme itératif: Faire un tirage aléatoire de ΔZ=(ΔZ 1,..,ΔZ p ) (sous quelle loi?) Pour chaque tirage, on calcule le P&L Constitution d'un échantillon qui est tiré selon la distribution du P&L dont on peut évaluer le quantile
>>Les principales méthodes de simulation de nombres pseudoaléaoires Les méthodes basées sur la loi Objectif: uniforme(i) Simuler n observations Y 1,..,Y n issues d'une distribution f Hypothèse fondamentale Si U est une variable aléatoire admettant une densité une loi uniforme, alors g(u) admet comme densité f
>>Les principales méthodes de simulation de nombres pseudoaléaoires Les méthodes basées sur la loi uniforme Se doter d'un générateur de nombres pseudoaléatoires suivant une loi uniforme pour avoir X 1,..,X n (exemple: Kiss (Keep It Simple Stupid)) Calculer Y 1 =g(x 1 ),.., Y n =g(x n ) Y 1,..,Y n forment une suite de nombres pseudoaléatoires tirées selon f
>>Les techniques sans tirages Les méthodes basées sur la loi uniforme (III) Exemple: Simuler une variable aléatoire dont la la densité est donné par exp(-x)1 [0;+ [ Théorème fondamental Si U suit une loi uniforme -log(u) suit une loi exponentielle! Méthode Tirer des observations U 1,..,U n suivant une loi uniforme Y 1 =-log(u 1 ),.., Y n =-log(u n ) répondent à notre problème
>>Les techniques sans tirages Les méthodes basées sur la loi uniforme (IV) L'algorithme de Box-Muller Objectif: simuler une loi normale Méthode On simule deux lois uniformes U 1 et U 2 indépendantes On calcule { X = 1 2 ln U 1 cos 2 U 2 X 2 = 2 ln U 1 sin 2 U 2
>>Les principales méthodes de simulation de nombres pseudoaléaoires La méthode d'acceptation rejet(i) Objectif: Simuler une loi f Hypothèse fondamentale Il existe g que l'on sait simuler densité vérifiant f(x) M g(x) avec M réel
>>Les principales méthodes de simulation de nombres pseudoaléaoires La méthode d'acceptation rejet(ii) Étape 1: Simuler X suivant g et U suivant une loi uniforme Étape 2 Dire que Y=X si U f(x)/(m g(x)) Étape 3 Retour à 1
>>Les techniques avec tirage Rappels de nos objectifs Un produit financier dont le prix P dépend de plusieurs paramètres P=P(Z 1,..,Z p ) On cherche à déterminer le quantile à 95% du P&L ΔP=P(Z 1 +ΔZ 1,..,Z p +ΔZ p )-P(Z 1,..,Z p )
>>Les techniques avec tirage Monte-Carlo dans le cas gaussien(ii) Étape 1: On fait un tirage aléatoire pour ΔZ= (ΔZ 1,..,ΔZ p ) (ΔZ 1,..,ΔZ p ) suit une loi gaussienne multivariée Étape 2: On calcule pour chaque tirage ΔZ le P&L ΔP=P(Z 1 +ΔZ 1,..,Z p +ΔZ p )-P(Z 1,..,Z p ) Étape 3: On calcule le quantile avec la distribution de ΔP ainsi obtenue marché Page 34
>>Les techniques avec tirage Monte-Carlo dans le cas gaussien(ii) Produit financier défini par: P&L=10 ΔZ 1 +10 ΔZ 2-4ΔZ 12-3ΔZ 2 2 +30 exp(δz 1 )-30 ΔZ 1 et ΔZ 2 sont indépendants de variance 1 Étape 2: On calcule pour chaque tirage ΔZ le P&L Étape 3: On calcule le quantile avec la distribution de ΔP ainsi obtenue marché Page 35
>>Les techniques avec tirage Monte-Carlo dans le cas gaussien(iii) U1 U2 ΔZ1 ΔZ2 P&L 0,25 0,87 1,16-1,17 56,36 VAR(95%) 0,77 0,61-0,54-0,47-24,46-58,23 0,2 0,53-1,77-0,28-58,21 0,57 0,1 0,87 0,62 52,26 0,92 0,54-0,39-0,09-15,12 0,91 0,23 0,05 0,44 5,98 0,24 0,95 1,62-0,53 120,98 0,18 0,18 0,8 1,67 50,42 0,17 0,55-1,79-0,55-62,16 marché Page 36
>>Les techniques avec tirage Exemple sur un produit(i) Densite du P&L Densité 0.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010 Aucune chance que cette distribution soit gaussienne! 0 500 1000 P&L marché Page 37
>>Les techniques avec tirage Monte-Carlo dans le cas gaussien(i) Rappel P&L=10 ΔZ 1 +10 ΔZ 2-4ΔZ 12-3ΔZ 2 2 +30 exp(δz 1 )-30 Méthode avec tirage VAR(95%)=-51,83 Que donne la méthode sans tirage? VAR(95%)=-69 marché Page 38
>>Les techniques avec tirage Autre méthode de simulation Simulation à partir des historiques Idée de base: L'historique d'une variable est «tirée» selon sa propre loi!!!! Méthode Obtenir un historique des variables Tirer les ΔZ issus de cet échantillon au hasard marché Page 39
>>La validation La validation(i) Motivation Prouver que l'outil est pertinent (gérer la réticence des traders, assurer que les mises en réserve seront suffisantes...) Calibrer la probabilité du quantile( doit-on prendre un quantile de 95%,80%...) marché Page 40
>>La validation La validation(ii) Backtesting On se place sur une période On évalue le montant des gains et des pertes pour chacune des journées de la période On regarde si le gain ou la perte se situe dans l'intervalle donné par l'outil d'évaluation de risque Performance= le maximum de gains (ou pertes) tombant dans l'intervalle donné par l'outil marché Page 41
>>Autres applications Autres applications Construction de superstructure (plateforme pétrolière) Prospective sur un territoire marché Page 42