Anne-Laure Delaye Aude Latrive Astrid Verpeaux Olympiades de physique 2006-2007 Peut-on marcher sur l eau? Lycée Hoche, Versailles Professeurs : Mme Larasse M. Brasselet
C est dans le cadre d un atelier de sciences expérimentales que nous avons commencé en première S ce projet. Notre but était de participer aux Olympiades de Physique 2006-2007, mais nous avons également présenté le concours Faites de la science en juin dernier ; nous avons donc continué cette année en Terminale scientifique. Nous nous sommes d abord orientées vers tout ce qui concerne l eau, la capillarité, la tension superficielle, ce qui nous a conduites à nous intéresser aux araignées d eau capables de marcher sur l eau. Après plusieurs recherches sur ce domaine, nous avons découvert l existence du lézard Basilic, qui est devenu le centre de notre projet. Afin de nous aider dans nos expériences, nous nous sommes rendues à l ESPCI et avons rencontré après plusieurs échanges de mails Etienne Reyssat, étudiant en dernière année de thèse et spécialisé dans la mécanique des fluides. 2
Sommaire I. Le lézard basilic : présentation (page 4) II. Modélisation du lézard (page 5) 1. Expérience des plaques 2. Le coureur motorisé a. Dispositif expérimental b. Tableau de valeurs et exploitation c. Analyse de graphique et explications éventuelles 3. Expérience du «ski-nautique» III. Bernoulli : la bonne solution? (page 14) 1. Utilisation des données de l article a. Données b. Calculs 2. Application à l homme 3. Tension superficielle 3
Peut-on marcher sur l eau? Introduction: Peut-on marcher sur l'eau? Une question qui nous intéressait beaucoup, c est pour cela qu après quelques tentatives infructueuses à la piscine, nous avons décidé d approcher le sujet de manière aussi expérimentale, mais plus construite. Nous avons découvert l existence d un lézard, nommé le «basilic» qui arrive à se déplacer sur l'eau en courant. Il enfonce sa patte dans l'eau lorsqu'il court ce qui montre l'existence d'une force qui lui permet de prendre appui pour ressortir sa patte de l'eau et ainsi avancer. D'où vient cette force qui le porte? Est-ce que l'homme peut l'imiter? Cette force peutelle s'appliquer à son cas? C'est donc cette force exercée par l'eau que nous allons nous attacher à étudier. I. Le lézard basilic : présentation Le lézard basilic, ou «jesus lizard», pèse entre 2 et 200 grammes. Il vit en Afrique centrale et en Amérique du Sud. Il mesure environ 5 cm sans sa queue et 10 avec, et possède des pattes arrière légèrement palmées. La particularité de ce lézard basilic est qu il peut courir sur l eau, à la vitesse de 1.5m/s environ. Nous avons regardé une vidéo qui le montre lorsqu il court sur l eau, et avons observé que : o il court sur l eau en se servant uniquement de ses deux pattes arrière. Sa queue l aide à se stabiliser. o son mouvement se décompose en trois parties (et des recherches déjà effectuées sur le sujet le confirment) : la frappe : le lézard frappe verticalement l eau. 4 Sens du lézard Interface eau/air «Pied «du lézard
le «coup de rame» : la force reçue en réaction à sa frappe lui permettant de rester à la surface, il rame vers l arrière pour avancer (mouvement horizontal) Sens du lézard Interface eau/air le rétablissement : il sort sa patte de l eau et la ramène vers l avant pour effectuer un nouveau mouvement. o Il court sur l eau, et c est manifestement sa vitesse, donc la vitesse avec laquelle il frappe l eau qui lui permet de se maintenir à la surface. II. Modélisation du lézard o Protocole Dans un premier temps, nous avons essayé de reproduire le mouvement vertical de la patte du lézard sur l eau, pour pouvoir mesurer une relation entre la vitesse de la patte et la force que l eau oppose en retour. 5
Au lieu de pousser une plaque de haut en bas contre l eau, ce qui entraînait beaucoup de difficultés du point de vue de la stabilité du dispositif, nous avons effectué le mouvement opposé : Tirer une plaque de bas en haut (la plaque étant totalement immergée, la force mesurée est équivalente quel que soit le sens du mouvement de la plaque) Dynamomètre Eau Plaque Nous avons fait varier le paramètre de la taille de la plaque tirée. Plaque de 56 cm² Force (N) Vitesse (m/s) 0,1 0,057 0,1 0,060 0,1 0,086 0,2 0,074 0,2 0,12 0,2 0,083 0,2 0,095 0,3 0,13 0,3 0,16 0,3 0,15 Nous avons mesuré la durée d une «remontée» de plaque lorsqu on la tirait avec le dynamomètre, et ce pour différentes valeurs de forces indiquées sur le dynamomètre. Vitesse (m/s) Force (N) 0,020 0,1 0,018 0,1 0,022 0,1 0,055 0,2 0,049 0,2 0,054 0,2 0,053 0,2 0,070 0,3 0,069 0,3 0,073 0,3 0,079 0,3 0,10 0,4 0,093 0,4 0,098 0,4 0,084 0,4 0,093 0,5 0,16 0,8 0,15 0,8 0,22 0,8 0,21 0,8 6
F=F(V), plaque de dimension 56 cm² 0,35 0,3 N) 0,25 0,2 F=F(V) 0,15 0,1 0,05 0 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16 0,18 V (m/s) Nous obtenons un nuage de points très dispersés : avec nos instruments et dans les conditions de réalisation de l expérience, les mesures sont très peu précises. En utilisant une plaque de plus grande dimension, nous avons stabilisé le système, et obtenu des mesures un peu plus exactes. Plaque de 136 cm² F=f(V), plaque de dimensions 136 cm² 1 F (N) 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0 0,05 0,1 0,15 0,2 V(m/s) o Interprétation : Sur les graphiques, on peut remarquer la forme des nuages de points : Il semble que la force soit proportionnelle à la vitesse au carré. 7
Voici un graphe représentant la force en fonction de la vitesse au carré : F=f(v²), petite plaque F(N) 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0 0,01 0,02 0,03 V² (m²/s²) Série1 F=f(v²), grande plaque force (N) 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 vitesse ² (m²/s²) Série1 La courbe représentant la force en fonction de la vitesse au carré a la forme d une droite qui ne passe pas par l origine : pour v=0, la force indiquée sur le dynamomètre correspond à la résultante du poids et de la poussée d Archimède (la plaque coule naturellement). Il nous a donc semblé que la loi de Bernoulli pouvait être utilisée pour rendre compte du phénomène μv ² P + = cte 2 On se place dans le référentiel de la plaque A A B B 8
En appliquant la loi de Bernoulli en A et en B, on obtient : P A μv + 2 μv ² + 2 A² B = PB Or la vitesse en B est nulle μv P A² B PA = 2 μv A ² F = S, avec S surface de la plaque en m² 2 En prenant les vitesses mesurées, nous avons pu calculer les forces correspondantes en théorie : Dans les calculs, μ: masse volumique de l eau :1000kg.m -3 Les forces calculées sont obtenues à partir de la vitesse mesurée : On utilise la formule donnée par la loi de Bernoulli. Surface (m²) (Vmesurée)² (m²/s²) Force mesurée (N) Force calculée (N) 0,014 0,00043 0,10 0,0059 0,014 0,0029 0,20 0,039 0,014 0,0055 0,30 0,075 0,014 0,0084 0,40 0,11 0,014 0,044 0,80 0,60 0,0056 0,0047 0,10 0,013 0,0056 0,0084 0,20 0,024 0,0056 0,020 0,30 0,0055 Ces résultats nous ont paru satisfaisant dans la mesure où les forces calculées grâce à la loi de Bernoulli étaient à peu près du même ordre de grandeur que les forces mesurées avec le dynamomètre. Toutefois les forces mesurées sont systématiquement plus grandes que les forces calculées. Ceci peut s expliquer par plusieurs hypothèses : - La loi de Bernoulli s applique sur des fluides parfaits, elle néglige la viscosité. -les mesures de forces au dynamomètre étaient assez approximatives -les plaques oscillaient quand nous les tirions - enfin, un des inconvénients de notre dispositif était la difficulté de mettre en place un régime stationnaire : la force mesurée par le dynamomètre traduisait en partie l accélération, ce qui pourrait expliquer une mesure plus grande que la force calculée. 9
Nous nous sommes donc demandé si nous pouvions établir un autre montage permettant de pallier les trois derniers inconvénients. 2.Le coureur motorisé a. Dispositif expérimental A l'aide de mécanos, de boutons de portes et de pales en métal, nous avons essayé de construire un dispositif qui pourrait nous servir à observer le mouvement des pattes du lézard. Les pales, accrochées sur un bouton de porte sont enfoncées dans l'eau et sont reliées par une tige en métal qui tourne à l'aide d'un moteur. Lorsque l'on met le dispositif en marche grâce à un générateur, les pales se mettent à tourner dans l'eau et on observe le dispositif expérimental se soulever pour et former un angle en avant de la verticale. Cela valide donc notre idée de départ: les pales «s'appuient» sur l'eau et rencontrent une force qui leur permet de soulever le dispositif. Cela correspond donc à une partie de la force exercée par l'eau sur la patte du lézard et lui permettant d'avancer. Nous avons ensuite cherché à savoir quels étaient les paramètres qui influaient sur la valeur de cette force, et donc sur la valeur de l'angle du dispositif avec la verticale. Pour cela nous avons effectué des mesures à différentes hauteurs d'enfoncement du modèle dans l'eau, ce qui permet de faire varier la surface des pales en contact avec l'eau. D'une part nous avons déterminé l'angle formé par le modèle avec la verticale à l'aide d'un rapporteur pour différentes vitesses de rotation, que l'on pouvait régler à l'aide d'un générateur. 10
D'autre part nous avons cherché à déterminer la vitesse de rotation des pales. Pour cela nous avons utilisé un stroboscope donnant une fréquence. Lorsque l'immobilité apparente est observée, nous savons qu'une pale fait ¼ de tour entre deux éclairs successifs. On peut ainsi en déduire la vitesse angulaire, puisque ¼ de tour équivaut à un angle de π/2 et un tour équivaut à un angle de 2π. On obtient cette vitesse par la relation: ω=2π* fréquence Puis à partir de la vitesse angulaire on peut déterminer la vitesse grâce à la relation v=ωr avec R le rayon du cercle formé par les pales que nous avons mesuré à 7cm. Nous obtenons ainsi la force que nous avons cherchée à mesurer par le calcul. Ensuite nous nous sommes demandées à quelle force correspondait un angle donné. Pour cela nous avons noté l'angle que notre machine faisait par rapport à la verticale à une tension et une intensité donnée, puis nous tirions la machine avec le dynamomètre horizontalement jusqu'à l'angle désiré. Nous avons ainsi obtenu le tableau suivant: Mais la force que nous avons mesurée par ce moyen est horizontale or la force qu'on cherche à étudier a aussi une composante verticale. Cette force mesurée n'est alors qu'une composante de la force exercée réellement par l'eau sur les pales. Ces valeurs sont donc approximatives. 11 b. Tableau de valeurs et exploitation Force mes (N) Angle( ) 0,1 5 0,2 7,3 0,3 9,5 0,4 12,5 0,5 14,5 0,6 16,5 0,7 18,5 Nous avons pu élaborer des graphiques représentant la force en fonction de la vitesse angulaire pour différentes hauteurs d'enfoncement du dispositif dan l'eau. h bassine Nb flash/min Angle( ) U(V) I(A) Fmes(N) Fcalc(N) ω(rad/s) v(m/s) 9cm 510 5,50 3,50 0,26 0,12 0,98 13,4 0,93 535 7,00 4,00 0,30 0,19 1,22 14,0 0,98 660 9,00 4,50 0,33 0,28 1,23 17,3 1,21 820 10,0 5,00 0,36 0,33 1,20 21,5 1,50 10cm 500 10,0 4,50 0,36 0,28 1,75 13,2 0,92 560 11,0 5,00 0,40 0,33 1,98 14,5 1,01 635 12,5 5,50 0,42 0,40 2,42 16,3 1,14 760 14,0 6,00 0,46 0,47 1,64 20,1 1,41 11cm 430 8,50 4,50 0,38 0,25 2,17 11,3 0,79 480 10,0 5,00 0,41 0,33 2,26 12,6 0,88 530 11,4 5,50 0,44 0,35 2,38 14,5 0,02 575 12,5 6,00 0,48 0,40 2,73 15,1 0,06
Puis nous avons tracé les trois courbes suivantes pour les trois hauteurs d'enfoncement du dispositif dans l'eau: F( N) F=f(ω) 0,47 0,45 0,42 0,4 0,37 0,35 0,32 0,3 0,27 0,25 0,22 0,2 0,17 0,15 0,12 0,1 10 12, 15 17, 20 22, ω(rad.s-1) F(N) c. Analyse du graphique et explications éventuelles Nous avons dans un premier temps obtenu satisfaction avec ces trois courbes puisque l'on peut remarquer que plus la vitesse angulaire augmente plus la force mesurée est grande: c'est ce que l'on cherchait à obtenir. Ensuite, on voit que pour une même vitesse angulaire, plus le dispositif est enfoncé dans l'eau, plus la force mesurée est grande, ce qui est aussi logique. Par contre, on s'attendait à avoir une courbe proportionnelle à la vitesse angulaire au carré, d'après ce que l'on a vu précédemment sur la loi de Bernoulli (proportionnalité en vitesse carré), or on a une courbe dont l'apparence est celle d'une courbe proportionnelle plutôt à la racine carrée de la vitesse angulaire. Nous allons donc essayer d'expliquer ce phénomène: o Comme l inclinaison du dispositif augmente, la surface des pales en contact avec l eau diminue. D après la loi de Bernoulli, la force est proportionnelle à la surface, cela peut expliquer que la force augmente moins vite pour des angles plus grands. 12
o D'autre part, lorsque les pales sont animées d'une grande vitesse, cela crée des remous dans l'eau autour d'elles, donc la surface en contact avec l'eau diminue encore plus, ce qui peut aussi expliquer la forme des courbes, puisque l'on a pu observer que plus la surface des pales en contact avec l'eau est grande, plus la force augmente. Ensuite nous avons voulu testé la fiabilité de notre modèle en calculant de deux manières différentes la puissance : - On a mesuré la tension aux bornes du générateur et l'intensité mesurée pour pouvoir calculer la puissance délivrée par le générateur : P = U. I - On a pris la définition de la puissance d un point de vue du lézard : P = W = F F V t F V t t L = = t D'où la formule :. = <=> F = U. V I U I F. V <=> F= U. R I ω <=> F= U. I 2 π fr On constate que la force ainsi calculée est très supérieure à la force déterminée. Cela s'explique sûrement par la perte de puissance fournie par le générateur sous forme d'effet Joule. Cette perte est alors très importante et seule une petite partie de la puissance fournie par le générateur est réellement utilisée. 13
3. Expérience du «ski nautique» 3 Moteur Tiges de mécano Plaque de Plexiglas Dispositif permettant de fixer des poids sur la plaque Poubelle coupée en deux Dispositif au repos 14
Sens du mouvement Plaque inclinée à partir d une certaine vitesse Dispositif en mouvement Grâce à ce dispositif, qui a permis d obtenir un régime plus stable que les précédents, et qui permettait de simuler facilement différentes forces, nous avons pu mesurer la relation entre la force (le poids chargé sur la plaque) et la vitesse nécessaire pour soulever la plaque ainsi chargée. Masse(g) Temps pour un tour(s) Vitesse angulaire(rad/s) Vitesse Tension P=m*g 0 1,2 5,2 0,84 2,4 0 15 1,0 6,3 1,0 3,1 0,15 30 0,92 6,8 1,1 4,3 0,30 45 0,79 7,9 1,3 8,5 0,45 60 0,75 8,3 1,3 9,7 0,60 15
Sur ce graphique, on observe que la force semble varier en fonction de la vitesse au carré. Voici un graphique représentant la force en fonction de la vitesse au carré. F=f(v²) F(N) 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0 0,5 1 1,5 2 v²(m²/s²) Série1 A nouveau, en prenant les vitesses mesurées, nous avons calculé les forces correspondantes grâce à la loi de Bernoulli : SURFACE PLAQUE(m²) µ EAU(kg/m 3) VITESSE ²(m²/s²) Force calculée(n) Force mesurée(n) 0.004 1000 0.70 1.4 00 0.004 1000 1.0 2.0 0.15 0.004 1000 1.2 2.4 0.30 0.004 1000 1.6 3.2 0.45 0.004 1000 1.8 3.6 0.60 On observe que les forces calculées sont en l occurrence plus grandes que les forces mesurées, un résultat que l on pouvait attendre : en effet, la limite de l utilisation de la loi de Bernoulli dans le cas de ce dispositif, tient à ce que le fluide «fuit» largement sur les côtés de la plaque en rotation, alors que la Loi de Bernoulli suppose que sur toute la surface rencontrée par le fluide, celui-ci est stoppé. 16
III. Bernoulli : la bonne solution? 1. Utilisation des données de l article : Dans un premier temps, pour interpréter notre expérience, nous avons utilisé la loi de Bernoulli, qui se base sur le principe de conservation de l énergie. Mais, comme nous l avons mentionné ci-dessus, nous ne sommes pas encore sûres que cette interprétation est la bonne : Nous avons repris certaines données parmi les recherches déjà effectuées sur le basilic, pour calculer, en utilisant la loi de Bernoulli, la vitesse que le lézard devrait avoir pour marcher sur l eau. Si nous obtenons environ la même vitesse que dans l article, nous pourrons avoir la confirmation que la loi de Bernoulli décrit bien le même phénomène physique que celui qui intervient lors de la course du lézard. a. Données masse du lézard: m = 100 g distance d'enfoncement : d = 1 cm distance d'un pas : d' = 3 cm Temps d'enfoncement de la patte dans l'eau : 30% du temps total d'un pas. Nous utilisons donc cette formule qui provient de la loi de Bernoulli : P = μv² 2 Nous avons ainsi d'abord calculé le temps d'enfoncement d'un pas, dont nous avons besoin pour trouver le résultat final. b. Calcul Pour ce calcul, on nommera : la pression : p la vitesse d'enfoncement : v la vitesse du lézard : v' la distance d'enfoncement : d la distance d'un pas : d' - Temps d'enfoncement 17
d t = <=> v AN : t = 2,3 s <=> t= t= d 2 P μ d 2mg μs Vitesse du lézard d ' v' = v ' = <=> t' d ' 30 100 t AN : v' = 3,9 m.s-1 = 14 km.h-1 Cette vitesse est du même ordre de grandeur que celle mentionnée dans l article :1.5m/s Nous avons donc la confirmation que la loi de Bernoulli permet de rendre compte du phénomène physique responsable de la force que l eau exerce sur les pattes du lézard pour lui permettre de marcher sur l eau. 2.Application à l homme Nous avons donc pu utiliser la loi de Bernoulli pour trouver la vitesse que l homme devrait acquérir pour marcher sur l eau. Nous avons donc évalué la longueur d'un pas pour l'homme de 1 mètre, la longueur du pied de 0,2 m et nous avons effectué les mêmes calculs adaptés à un homme de 50kg. On trouve finalement : t = 0,04 s = 40 s v' = 7,5 m.s-1 = 27 km.h -1 Dans un autre article, nous avons lu que des recherches déjà effectuées ont fixé la vitesse nécessaire à l homme pour marcher sur l eau à 100km/h. La différence entre les deux vitesses provient peut-être du fait que nous avons pris des valeurs différentes pour les paramètres. De plus, l étude effectuée se fonde peut-être sur plus de paramètres que ceux que nous avons pris. 18
Mais même si cette vitesse correspond à la vitesse nécessaire pour supporter un homme, des questions se posent alors : est-ce possible pour un homme de courir à une telle vitesse sur un support mou, ne serait-ce qu'à cette vitesse assez minimale que nous avons trouvée? Est-ce que sa musculature est assez puissante pour le lui permettre? Il est probable que le support, sur lequel on court, offre moins de résistance en réaction à la pression des pieds s'il est plus mou, car on s'enfonce plus. Courir sur du sable requiert déjà beaucoup plus d'effort que sur la terre ferme, alors sur de l'eau, ce serait très difficile! 3. Tension superficielle Pour compléter notre approche, nous nous sommes intéressées à un autre phénomène physique : celui de la tension superficielle. Est-ce que ce phénomène joue aussi un rôle dans la force qui s exerce sur le lézard? F=γl l : longueur de la patte du lézard en contact avec l eau : 4*la longueur de la patte du lézard γ=70mnm 1 : coefficient de tension superficielle de l eau F = 70.10-3.4.1.10-2 =2,8.10-4 N On obtient une force de l ordre de 10-4 N, ce qui est très peu par rapport au poids du lézard et donc à la force qui lui est nécessaire pour se maintenir à la surface. Donc, la tension superficielle représente une toute petite partie de l origine de la force qui agit sur le lézard. 19
Conclusion : Nous avons donc tenté d effectuer une modélisation du lézard par différents moyens, ce qui nous a permis de trouver le phénomène physique qui intervient quand le lézard basilic marche sur l eau. Après avoir tenté d appliquer ce phénomène à l homme, nous sommes parvenues à la conclusion suivante : marcher sur l eau?non, mais courir? Peut-être. Rien ne s oppose donc théoriquement à ce que nous puissions courir sur l eau. La vitesse que nous avons définie et qui pourrait nous permettre de marcher sur l eau amène un nouveau problème : peut-on l atteindre? La prochaine étape sera alors peut-être la mise en pratique des résultats obtenus ; on pourrait par exemple modifier la surface de nos pieds, pour réduire la vitesse à atteindre : 20