Mathématiques 1ère bac pro ELEEC T5 : Comment peut-on se déplacer dans un fluide? 1 Pourquoi un bateau flotte-t-il? Déterminer expérimentalement la valeur de la force de poussée d Archimède. Connaître les conditions de flottabilité d un matériau. Connaître les conditions d équilibre d un corps flottant. Connaître la différence entre centre de gravité et centre de poussée. Connaître le principe de la poussée d Archimède. 2. Pourquoi les hublots des sous-marins sont-ils épais? Mesurer la pression d un liquide en un point. Déterminer expérimentalement les variations de pression au sein d un fluide Distinguer pression atmosphérique, pression relative et pression absolue. Utiliser la formule : PB- PA = ρ g h. Connaître la notion de pression, de surface pressée et de force pressante. Connaître la relation entre pression, surface pressée et force pressante. Connaître l unité du système international de mesure de la pression et quelques unités usuelles. 3. Comment un avion vole-t-il? Mettre en évidence expérimentalement l effet Venturi. Connaître l effet Venturi. I Pourquoi un bateau flotte-t-il? 1 Mise en évidence de la force d Archimède Activité expérimentale: Matériel : Un solide cylindrique Un dynamomètre et son support Deux éprouvettes graduées De l eau et de.. Du papier essuie-tout Mode opératoire : 1 Mesurer la valeur P du poids du solide à l aide du dynamomètre puis compléter, dans le tableau, les caractéristiques du poids de ce solide. 1
2 Immerger complètement le solide dans une éprouvette graduée remplie de 150mL d eau. Relever la valeur du dynamomètre et compléter, dans le tableau, les caractéristiques de la force, notée 1, exercée par le dynamomètre sur le solide. Faire vérifier la valeur de Pet F 1. 3 Noter avec précision le volume total V T (eau + solide). V T = ml 4 Immerger complètement le solide dans la deuxième éprouvette graduée remplie. Relever la valeur du dynamomètre et compléter, dans le tableau, les caractéristiques de la force, notée 2, exercée par le dynamomètre sur le solide. 5 Récupérer, essuyer et sécher le solide. Milieu Force Point d application Droite d action Sens Valeur (N) Air.... Eau Éthanol 1... 1... 2... 2... Interprétation : 6 D après les caractéristiques des forces, dans les milieux (eau et éthanol), les forces P r et F r sont : de même droite d action de sens opposés de valeurs différentes O Ainsi la somme des forces P r et F r est différente de 0 Or dans les milieux (eau et.), le solide est en équilibre donc le dynamique des forces doit être fermé. Ainsi il manque donc une troisième force s exerçant sur le solide, dans les milieux (eau et éthanol). 2
7 Compléter alors, le tableau, précisant les caractéristiques de celle-ci dans chacun des milieux. 8 La valeur cette force est-elle la même selon le milieu? non Conclusion : Tout corps plongé dans un liquide est soumis de la part du liquide à une force dont : la droite d action est verticale dirigée du bas vers le haut. la valeur dépend de la masse volumique du liquide. Cette force s appelle la «poussée d Archimède». 2 Calcul de la valeur de la force de poussée d Archimède Activité: 1 Dans la situation du solide de l expérience précédente, complètement immergé dans V 1 = 150mL d eau, rappeler le volume total V T (eau + solide).v T =. ml 2 En déduire le volume V de l eau «déplacé» (ou du solide immergé) : V= V... V... = ml 3 Convertir ce volume: V =...... L =...... m 3 (Rappel 1 m 3 = 1000 L) 4 Calculer la valeur P V du poids du volume de l eau déplacée grâce à la relation : 1000 kg/m 3 ), ρ(«rhô») est la masse volumique du liquide (pour l eau, ρ = P V = ρ. g.v où g est l intensité de pesanteur (en N/kg) et V est le volume de l eau déplacé ou celui du solide immergé(en m 3 ) P V =... P V = N 3
5 Rappeler la valeur R 1, de la force exercée par l eau dans la première expérience. R 1 =. N Conclusion : La valeur de la force de la poussée d Archimède est égale au poids du volume du liquide déplacé. Principe de la poussée d Archimède : Tout corps plongé dans un fluide (gaz, liquide), au repos, subit de la part de ce fluide une poussée: de droite d action verticale dirigée vers le haut de valeur est égale au poids du volume du fluide déplacé. Application : Calculer la valeur de la poussée d Archimède, notée P A, du solide de l expérience, complètement immergée dans de l huile. On donne : ρ huile = 800 kg/m 3 3 Les conditions de flottabilité d un matériau Activité: La «flottabilité» caractérise le comportement d un objet immergé au sein d un liquide. Un objet immergé dans un liquide est uniquement soumis à son poids P r et à la force de poussée d Archimède P r A. Nous savons que P r et P r A ont même droite d action et sont de sens opposé. Reste la comparaison des valeurs qui détermine le comportement de l objet. 4
P. P A L objet. vers le fond P. P A L objet est en entre deux eaux P. P A L objet. vers la surface Compléter alors les phrases suivantes : Dans l eau, la valeur du poids d un objet immobile entre deux eaux est égale à la valeur de la.. qui s exerce sur lui. Pour.. vers le fond, la valeur du poids d un objet doit être.. à la valeur de la.. qui s exerce sur lui. Pour.... à la surface, la valeur du poids d un objet doit être.. à la valeur de la.. qui s exerce sur lui. Que le poisson monte où descende, son poids est. C est donc la qui varie, dû à la variation du du volume d eau déplacé. Or la valeur du poids du volume d eau déplacé est fonction de la. volumique et du. d eau déplacé (Rappel :p= ρ.g.v). Donc plus le.. d eau déplacé est important, plus la valeur de son poids est. et plus la valeur de la.. d. sera... En contractant ou dilatant sa vessie natatoire, un poisson est capable de modifier son. et par conséquent la valeur de la.. d. qui s exerce sur lui. 5
On retiendra : «Conditions de flottabilité» : Un corps flotte si la valeur de son poids est... à la valeur de la force de poussée d Archimède. Un corps coule si la valeur de son poids est... à la valeur de la force de poussée d Archimède. 4. Les conditions d équilibre d un corps flottant Rappel et définition : Le point d application du poids P r, noté «.», s appelle le.. de.. Le point d application de la force de poussée d Archimède P r A, noté «C», s appelle le.. de.. Le point «C» se situe au centre de gravité du volume du fluide déplacé. Application : Un cube de bois flotte à la surface d un liquide. Indiquer avec précision la position, sur le schéma ci-contre : du centre de gravité G du centre de poussée C. On admettra : Conditions d équilibre d un corps flottant : Deux cas : Le centre de poussée C est au dessus du centre de gravité G : Si les deux points ne sont pas alignés, le couple de forces ( P r P r ) qui apparaît P r, A redressera le solide dans sa position verticale : l équilibre est alors stable. Le centre de poussée C est en dessous du centre de gravité G : 6
Si les deux points ne sont pas alignés, le couple de forces ( P r, P r A ) qui apparaît, fera chavirer le solide : l équilibre est alors instable. Conclusion : Pour pouvoir «descendre» le centre de gravité d un bateau, on ajoute un leste («la..») sous la coque du bateau. Application : Pour chacune des positions 1 et 2, indiquer si le corps flottant retrouve sa position d équilibre initiale ou non. Dans la position 1, le corps flottant. Dans la position 2, le corps flottant. 7
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II Pourquoi les hublots des sous-marins sont-ils épais? 1 Mise en évidence d une force pressante exercée par les solides Les personnages représentés ci-dessous ont un poids de 600 N. 1/ Expliquer le fait qu ils ne s enfoncent pas de la même façon dans la neige. En augmentant l aire de la surface sur laquelle repose le poids, on rend le déplacement plus facile. 2/ Quels seraient les effets à prévoir sur leur enfoncement dans la neige si chaque personnage se chargeaient d un sac à dos identique? Chaque personnage s enfoncerait davantage dans la neige. Conclusion : Une force répartie sur une surface de contact crée une grandeur physique appelée la «pression». Ainsi la pression caractérise l action d une force pressante sur une surface de contact. 2 Mise en évidence d une force pressante exercée par les liquides Activité expérimentale 1: Matériel : Un cristallisoir rempli d eau. Un tube cylindrique ouvert à chaque bout. Un obturateur muni d une ficelle attaché en son centre. Mode opératoire : Placer le tube dans l eau en maintenant l obturateur grâce à la ficelle pour que le tube reste étanche. Lorsque le tube est à la verticale et l obturateur est entièrement immergé, lâcher le fil. 9
Observation : L obturateur reste «collé» au tube cylindrique lorsqu ils sont plongés dans l eau. Conclusion : L obturateur subit une force pressante exercée par le fluide sur toute sa surface. Activité expérimentale 2: Matériel : Un ballon de baudruche percé d un petit trou Mode opératoire : On remplit le ballon de baudruche d eau et on observe la direction prise par l eau qui s échappe du ballon lorsqu on appuie ce dernier. Conclusion : La force pressante exercée par un fluide est perpendiculaire à la surface S 3 Calcul d une pression On admettra : La pression «p» due à une force pressante F r perpendiculaire à la surface de contact d aire S est donnée par la relation : p (en pascal Pa) Autre unité de pression : L unité de pression est le pascal. ( Pa) : p = F (en newton N) S (en mètre carré m²) 1Pa = 1newton par mètre carré ou 1N/m² Dans la pratique, on utilise souvent d autres unités de pression : 10
L hectopascal (hpa). Le bar (bar). 1 hpa = 100 000 Pa 1 bar = 10 5 Pa = 100 000 Pa Application : Compléter le tableau ci-dessous en calculant la pression exercée par les personnages sur la neige. Type de chausse Skis Après-skis Chaussures de ville Surface 17 dm² =... 280 cm²=... 180 cm²=... Pression (Pa) Pression (Bar)...... 1 2 11
4 La pression d un liquide Activité expérimentale 1: Matériel : Une capsule manométrique constituée d une membrane en caoutchouc. Un tube de verre en U contenant de l eau colorée. Un tuyau en caoutchouc qui relie la capsule au tube de verre. Mode opératoire : Remarquer que lorsque la membrane est plane et tendue, le niveau du liquide est fixe. Appuyer doucement puis de façon plus importante sur la membrane tout en observant la différence de niveau du liquide entre les branches. Observations : Au plus on appuie fort au plus la différence de niveau est importante. Conclusion : La capsule manométrique réagit aux forces pressantes : On l utilise pour comparer des pressions. Activité expérimentale 2: Mesure de pression dans un liquide au repos à l aide du logiciel LATIS PLP. Mode opératoire : Immerger la sonde manométrique dans l eau d un cristallisoir. Observer la variation de la pression relative lorsque l on déplace la sonde horizontalement puis verticalement dans l eau du cristallisoir. Observations : Lorsque l on déplace la sonde horizontalement, on constate que la pression reste la même. Lorsque l on déplace la sonde verticalement, on constate que la pression augmente avec la profondeur. 12
Conclusion : La pression est la même en tout point d un liquide au repos situé dans un plan horizontal Dans un liquide au repos, la pression augmente avec la profondeur. Activité expérimentale 3: Matériel : Éprouvette graduée. Manomètre. Règle graduée. Mode opératoire : Remplir l éprouvette avec de l eau jusqu à 2 cm de haut. Mesurer les pressions p B et p A de deux points A et B situés à une différence de profondeur «h» tels que B soit plus profond que A. Noter la différence de profondeur h. h = 10 cm = 0,1 m Calculer le produit ρ.g.h, où ρ est la masse volumique de l eau. ρ.g.h = 1000 9,81 0,10 = 981 Pa = 9,81 hpa Calculer la différence : p B p A = 17,161 4,312 = 12,842 hpa soit 1284,2 Pa Comparer le produit «ρ.g.h» et la différence «p B p A». On remarque que ρ.g.h est proche de p B p A Conclusion : La différence de pression entre deux points d un liquide est donnée par la relation : ρ est la masse volumique du liquide (en kg / p B p A = ρ.g.h m 3 g est l intensité de pesanteur (en N/kg) h est la différence de profondeur entre les points (en m) 13
Application : L épave du Titanic repose à 4000 m de profondeur. Calculer la pression qui s exerce à cette profondeur. Note : ρ eau de mer 1050 kg/m 3. p B p A = ρ.g.h p B = p A + ρ.g.h p B = 101 300 + 1050 10 4000 p B = 42 101 300 Pa p B = 421,013 bar 5 Différencier pression atmosphérique, pression absolue et pression relative 5.1 Pression absolue. Activité Les points A et B, à la surface du mercure, sont aussi au sein du mercure donc on peut écrire : p B p A = ρ mercure.g.h Au point A, à la surface du mercure, règne le vide ; La pression est nulle p A = 0 Pa Ainsi : p B = ρ mercure.g.h donc p B dépend seulement de la masse volumique du liquide donc de la nature du liquide. Définition : Toute pression mesurée par rapport à la pression du vide est une pression dite «absolue» ; elle dépend uniquement de la nature du liquide. Exemple : Au point B, à la surface du mercure, la pression est celle exercée par l atmosphère : p B = p atmosphère Ainsi : p B p A = ρ mercure.g.h = p B - 0 = p atmosphère alors p atmosphère = ρ mercure.g.h 14
Conclusion : La pression atmosphérique est donc une pression absolue. La pression atmosphérique est la pression de l air qui nous entoure. Elle se mesure à l aide d un baromètre. Elle vaut au niveau de la mer 1,013 bar soit 1013hPa soit 101300Pa. 5.2 Pression relative Pour vérifier la pression des pneus dans une station service on utilise un manomètre qui mesure une pression relative (la pression due à l air dans le pneu). Si l automobiliste gonfle ses pneus à 2,2 bar, alors la pression absolue de l air dans le pneu sera de 2,2 + 1 = 3,2 bar pabs = prelative + patm Application : 1 Écrire la formule de la pression relative du gaz au point G........... 2 En déduire le facteur «visuel» qui permet de connaître cette pression relative....... 1 15
3 2 III Les avions : Comment arrivent-ils arrivent à voler? Activité expérimentale : «Réaliser une maquette d aile d avion» Matériel: Une feuille de papier. Une règle graduée. Mode opératoire : 1) Plier une bande de papier de façon à avoir une partie bombée et coller ses deux extrémités. 2) Enfiler une règle dans une bande de papier et souffler sur la partie bombée. 3) Observer le mouvement de l aile. Observations : Quel mouvement effectue la queue de la feuille de papier (derrière la partie bombée)? La queue de la feuille se soulève Lorsque l on souffle sur la feuille, que peut-on peut on dire de la pression sous la feuille par rapport à celle au dessus? La pression sous la feuille est plus importante important que celle que dessus de la feuille 16
Interprétations : L air qui circule au dessus de la feuille a une vitesse supérieure à celle de l air qui circule dessous ; En effet l air qui circule au dessus de la feuille a un chemin plus long à parcourir que l air qui circule en dessous, pour un même temps donné. Lorsque la vitesse du fluide augmente, il apparaît une dépression (diminution de la pression) autour de l aile. La vitesse étant supérieure au dessus de l aile, la dépression est alors plus importante qu en dessous ; ainsi l aile ainsi est «aspirée» vers le haut: c est la «portance». Cette poussée verticale et dirigée vers le haut permet de compenser le poids de la feuille. Conclusion : Lorsqu un fluide est en mouvement le long d un solide, plus la vitesse du fluide est importante, plus la pression sur la surface du solide est faible Ce phénomène est connu sous le nom d effet Venturi 17
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En vol stabilisé à haute altitude, la cabine d un avion A380 est pressurisée. La pression à l intérieur est alors supérieure à la pression à l extérieur. Afin de simuler les conditions réelles de différence de pression p entre l intérieur et l extérieur de l avion, on réalise, en laboratoire d essai, une mise en pression de la cabine. Les conditions du test sont les suivantes : - pression atmosphérique extérieure pe = 1 013 hpa, - différence de pression p = 700 hpa 1) Déterminer la pression pi à l intérieur de l avion. 2) La porte de l avion est assimilée à un rectangle de 126 cm de largeur et de 210 cm de hauteur. a) Calculer, en tenant compte des conditions de simulation, la valeur de la force pressante F qui s exerce sur la porte. b) On admet que cette force pressante F peut être assimilée à une force ponctuelle appliquée au point A. Représenter ci-dessous cette force en utilisant comme échelle : 1 cm pour 4 000 dan. 3) On veut évaluer les risques physiologiques encourus par une personne qui resterait dans la cabine pendant le test. Pour cela, on compare la différence de pression p subie par cette personne à celle subie par un plongeur en mer se trouvant à 10 mètres de profondeur. a) L augmentation de pression subie par un plongeur en mer se trouvant à une hauteur h sous la surface est donnée par p = ρgh avec ρ = 1 035 kg/m3 et g = 9,8 N/kg. Calculer l augmentation de pression à 10 mètres sous la surface. b) Les risques physiologiques dus à l augmentation de pression de la personne qui resterait dans la cabine sont-ils importants? Justifier la réponse. (D après sujet de Bac Pro Aéronautique Session 2004) 19