Seconde 1 Chapitre 8 : fonctions affines et équations de droites. Page n 1 La ligne droite fait partie de notre environnement naturel, mais comme tout objet mathématique, elle nécessite une définition. La droite est la seule figure géométrique que l'on peut tracer en n'en connaissant que deux points. On peut s'intéresser à des phénomènes dans lesquels interviennent deux variables x et y où la variable y dépend de la variable x : on exprime alors y en fonction de x. Puis on place les points de coordonnées ( x ; y ) dans un repère du plan. Exemple : dans les pays anglo-saxons, la température s'exprime en degrés Fahrenheit ( F ) alors que dans les autres pays, on utilise les degrés Celsius ( C ). 0 C correspond à 32 F et 100 C correspondent à 212 F. On démontre que si x est une température en degré F et y cette même température en degré C alors, on a la relation y = 5 9 x 160. Ce qui permet de calculer une température en fonction de l'autre. 9 Dans tout ce chapitre, le plan est muni d'un repère ( O ; i, j ). 1 Fonctions affines. m et p sont deux réels donnés. Lorsqu à chaque réel x, on associe le réel m x + p, on définit une fonction affine f et on note f ( x ) = m x + p. Le nombre m est appelé coefficient directeur. Le nombre p est appelé l ordonnée à l origine. La représentation graphique d une fonction affine est l'ensemble des points de coordonnées ( x ; y ) tels que y = m x + p. C'est donc une droite d non parallèle à l'axe des ordonnées. Toute droite d non parallèle à l axe des ordonnées est la représentation graphique d une fonction affine. Soit une fonction affine f définie sur par f ( x ) = m x + p. Lorsque m = 0 alors f ( x ) = p. On dit que f est une fonction constante. Sa représentation graphique est la droite d'équation y = p. Elle est donc parallèle à l'axe des abscisses. Soit une fonction affine f définie sur par f ( x ) = m x + p. Lorsque p = 0 alors f ( x ) = m x. On dit que f est une fonction linéaire. Sa représentation graphique est une droite qui passe par l'origine du repère. Exemples : voir feuille annexe.
Seconde 1 Chapitre 8 : fonctions affines et équations de droites. Page n 2 Dans un repère, toute droite d a une équation de la forme : y = m x + p x = k si d est non parallèle à l'axe des ordonnées si d est parallèle à l'axe des ordonnées. Pour tracer une droite, je remplis un tableau de valeurs. Je peux utiliser deux méthodes : le calcul à la main la calculatrice et son mode table. Exemple : f ( x ) = -2x + 5. Tracer la représentation graphique de f. Voir feuille annexe pour l'explication et le tracé de cette droite. E1 Fonctions affines et droites. Tracer les courbes représentatives de f, g, h, r et s. f ( x ) = 3x g ( x ) = - 2,5 x h ( x ) = -3x + 2 r ( x ) = 3 s ( x ) = 1,5x 2. E2 Connaître les fonctions affines. Parmi les fonctions suivantes, dire lesquelles sont des fonctions affines et préciser les cas particuliers et les coefficients directeurs et les ordonnées à l'origine. f ( x ) = -3x + 2 ; g ( x ) = x + 2006 ; h ( x ) = 3x² + 5x 6 ; i ( x ) = 2 x + 3 ; j ( x ) = -3x ; k ( x ) = 750. 2 Caractérisation d'une fonction affine. Théorème : Soit f une fonction affine. Alors l'accroissement de l'image est proportionnel à l'accroissement de la variable. Et le coefficient de proportionnalité est égal au coefficient directeur. Réciproque : Soit f une fonction de dans. Si l'accroissement de l'image est proportionnel à l'accroissement de la variable alors la fonction f est une fonction affine.
Seconde 1 Chapitre 8 : fonctions affines et équations de droites. Page n 3 Conséquence : Les fonctions affines sont les seules fonctions dont l'accroissement de l'image soit proportionnel à l'accroissement de la variable. Exemple : soit f une fonction affine telle que f ( - 1 ) = 5 et f ( 3 ) = - 7. Déterminer f. Voir feuille annexe. Application : comment déterminer le coefficient directeur m? Soit f une fonction affine définie par f ( x ) = m x + p. Soit d la représentation graphique de f dans un repère. Soient A et B deux points de d. Alors m = f(xb) f(xa). x x B A E3 Démonstrations. E4 Savoir déterminer des fonctions affines. 1 ) Soit f une fonction affine telle que f ( - 1 ) = 3 et f ( 2 ) = 1. Déterminer f. 2 ) Soient A ( - 4 ; - 1 ) et B ( 2 ; 2 ) deux points. Justifier que la droite ( AB ) est la représentation graphique d'une fonction affine. Déterminer alors cette fonction affine. 3 ) Déterminer des équations des droites a ; b ; et c représentées ci dessous et en déduire lorsque c'est le cas les expressions des fonctions affines qu'elle représentent. d 2
Seconde 1 Chapitre 8 : fonctions affines et équations de droites. Page n 4 3 Variations. Soit f la fonction affine définie par f ( x ) = m x + p. Si m > 0 alors la fonction affine f est strictement croissante sur. Soit f la fonction affine définie par f ( x ) = m x + p. Si m < 0 alors la fonction affine f est strictement décroissante sur. Tableaux de variations : voir feuille annexe. E5 Démonstration. E6 Variations et signes de fonctions affines. Soient f, g, h, i et j les fonctions affines définies par f ( x ) = 4x 6 ; g ( x ) = - 5 4 x + 2 ; h ( x ) = - 7 ; i ( x ) = 3x et j ( x ) = 3 x+ 8. 5 1. Donner le sens de variation de chacune de ces fonctions. 2. Représenter graphiquement les fonctions f et g. 3. Résoudre graphiquement les inéquations f ( x ) > 0 et g ( x ) < 0. 4 Points, droites et parallélisme. Une droite passe par une infinité de points. Un point appartient à une droite si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation de la droite. On considère la droite d d'équation 3x 2y = 5. Est-ce que le point A de coordonnées ( -1 ; 1 ) est un point de d? Voir feuille annexe. Une droite a une infinité d'équations. En effet une équation de droite peut s'écrire de différentes façons. L'écriture y = 1,5x + 2,5 est appelée équation réduite de la droite. Soit la droite d'équation 3x 2y = 5. Trouver d'autres équations de cette droite. Voir feuille annexe.
Seconde 1 Chapitre 8 : fonctions affines et équations de droites. Page n 5 Deux droites D et D sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur. Autrement dit : Soient D et D' deux droites d'équations respectives y = m x + p et y = m' x + p' Alors D est parallèle à D' si et seulement si m = m'. Les droites suivantes sont elles parallèles? D 1 : y = 3x + 2 ; D 2 : 6x 2y + 4 = 0 D 3 : y = 3x + 5. Voir feuille annexe. Deux droites parallèles peuvent être strictement parallèles ( on dit aussi parallèles disjointes ) ou confondues. Dessins : voir feuille annexe. E7 Points, droites et droites parallèles. P 279 n 7 et n 8 et P 279 n 13 et n 14. Test de compréhension du chapitre 8. 1 ) Donner une définition d'un fonction affine. 2 ) Préciser les cas particuliers. 3 ) Définir le coefficient directeur. 4 ) Définir l'ordonnée à l'origine. 5 ) Donner toutes les équations de droite possible dans un repère. 6 ) Comment tracez-vous une droite d'équation donnée? 7 ) Déterminer les variations d'une fonction affine. 8 ) Comment démontre-t-on qu'un point appartient à une droite? 9 ) Combien une droite admet-elle d'équations? 10 ) Donner un critère facile pour vérifier le parallélisme de deux droites. 11 ) Que signifie " deux droites parallèles disjointes "?