Thème : Probabilité, échantillonnage 1. Introduction 2. Description du sujet 3. Analyse des réponses des l'élèves 4. Correction de la questions 2 5. Proposition d'exercice
2. Description du sujet Énoncé du sujet Un laboratoire souhaite déterminer si un objet est radioactif. Pour cela, il utilise un compteur Geiger. Cet appareil compte les coups provoqués par la désintégration de particules. Ces coups peuvent être dus à la radioactivités de l'objet, ou être provoqués par un bruit de fond parasite. Chaque centième de seconde, la probabilité que l'appareil capte un coup dû au bruit de fond est égale a 0,03. L'objet a été placé pendant dix secondes dans une pièce isolée et, durant ces dix secondes, le compteur a dénombré 37 coups. On cherche a savoir si ce résultat permet d'affirmer que l'objet est radioactif. 1. a) Simuler a l'aide d'un tableur le nombre de coups provoqués par le bruit de fond pendant une plage de 10 secondes. b) Organiser 200 simulations analogues. Un comptage de 37 coups en dix secondes semble-t-il exceptionnel? Que peut-on conjecturer sur la radioactivité de l'objet? 2. On fait l'hypothèse, notée (H 0 ) que l'objet n'est pas radioactif. Soit X la variable aléatoire qui décompte le nombre de coups provoqués par le bruit de fond pendant une plage de 10 secondes. a) Préciser la loi de la variable X et donner ses paramètres. b) Déterminer le plus petit entier N tel que P(X N) 0,95. c) On décide de rejeter l'hypothèse (H 0 ) si le nombre de coups mesurés par le compteur sur cet objet, placé pendant 10 secondes dans une pièce isolée, est supérieur ou égal a N + 1. Que peut-on en conclure quant à l'objet pour lequel on a mesuré 37 coups? Connaissances requises : Définitions des variables aléatoire de Bernoulli et Binomiale, hypothèse de probabilité. Maîtrise du tableur : Calcul de somme, moyenne. Utilisation de ALEA() et SI(). Niveaux concernés : lycée Classe de Première S, ES, L.
3. Analyse des réponses des élèves Élève 1 : Établis un mauvais raisonnement à partir des résultats Répond de manière fausse à la question posé Élève 2 : Établit une analyse cohérente de ses résultats S'intéresse aux simulation dont le résultats est supérieur ou égal à 37 Établit des approximations grossière Faiblesse dans la formulation de la réponse Élève 3 : Notion probable d espérance de loi de probabilité. Perception de notion de dispersion Faiblesse dans la formulation de la réponse Analyse très peu ses résultats.
4. Correction de la questions 2 2-a) : Chaque centième de seconde : épreuve de Bernouilli de paramètre p = 0,03. Chaque prise de 10 secondes : Somme de n=1000 itération de ces variable aléatoire indépendante de loi de Bernouilli. La loi de la variable X est donc une loi Binomial B(1000 ; 0,03) 2-b) : N P ( X N )= k=0 ( n k). k p. qn k Méthode A : Calculs avec tableur : Voir echantillonnage2b.calc Méthode B : Élaboration d 'un algorithme : Voir echantillonnage2b.xws 5. Proposition d'exercice Exercice 1ere ES,L 1) En utilisant une feuille de tableur, donner la loi binomiale B(50;0,516). 2) Jusifier que l'intervalle de fluctuation au seuil de 95% est l'intervalle [0,38;0,66]. 3) Comparer avec l'intervalle [ p 1 n ; p+ 1 n ]
Exercice 1ere ES,L,S Une société fabrique des boîtes en plastique de deux couleurs : des vertes et des bleues. La fabrication est automatisée et la machine est réglée à un niveau de 42% de boîtes vertes et 58% de boîtes bleues, correspondant à la demande du marché. Un test est fait sur un échantillon de 180 boîtes prélevées au hasard. 1) L'échantillon comporte autant de boîtes bleues que de boîtes vertes. La machine est-elle déréglée? 2) A partir de combien de boîtes bleues et de boîtes vertes obtenues sur un échantillon de 180 boîtes doit-on penser que la machine est déréglée? Exercice Ter S 1) Créer un algorithme permettant de déterminer l'intervalle de fluctuation à X% pour une loi binomiale de paramètre p et n. 2) Vérifier votre programmes en vous servant des réponses trouvées au premier exercice.