GUYOT Stéphanie Professeur stagiaire en mathématiques au collège Lo Trentanel de GIGNAC I.U.F.M. de l académie de Montpellier Site de Montpellier Eléments de Choix d Utilisation de l Informatique dans l Enseignement des Mathématiques en Classe de Cinquième Directeur de mémoire : Madame CARDIN-LEDUC Assesseur : Monsieur LEROUGE 1999-2000 Avril 2000 1
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ABSTRACT This memoir aims at showing the utility of a computer and its appropriate programmes in mathematics with a second - year group of pupils of a secondary school as follows : 1) A resuming lesson about the median of a segment 2) Discovery of the circle drawn out of a triangle 3) Approach to an experimental way of calculating the surface of a parallelogram. I. RESUME Ce mémoire a pour but d étudier les apports de l outil informatique en mathématiques en classe de cinquième pour les situations suivantes : 1) Séance de remédiation sur la médiatrice d un segment 2) Découverte du cercle circonscrit à un triangle 3) Initiation à la démarche expérimentale pour établir l aire du parallélogramme. II. MOTS-CLES iinformatique iatelier de Géométrie iworks imédiatrice icercle circonscrit iparallélogramme Avril 2000 3
INTRODUCTION De nos jours, l informatique occupe une place prépondérante dans notre société. Les enfants en sont le reflet : ils sont des utilisateurs privilégiés de l ordinateur. En outre, la majorité des établissements scolaires est aujourd hui équipée de cette récente technologie. Dans le commerce, un grand nombre de logiciels éducatifs sont à notre disposition. Ce nouvel environnement ne peut pas être sans incidence sur notre enseignement traditionnel. Aussi, la question qu il importe de se poser n est pas «Qu allons - nous faire avec ces machines?», mais plutôt «Pourquoi et comment pouvons nous utiliser ce nouvel outil dans notre enseignement?». Dans ma classe de 5 ème, trois situations ont particulièrement retenu mon attention pour tenter d apporter un début de réponse à cette question : - une séance de remédiation sur la notion de médiatrice - la découverte du cercle circonscrit à un triangle - l initiation à la démarche expérimentale pour établir la formule de l aire du parallélogramme. L attrait des élèves pour cet environnement différent est certainement un avantage pour le professeur. Mais cet outil offre d autres possibilités pour l enseignement des mathématiques. Les observations décrites dans ce mémoire proviennent d une classe de 5 ème de 26 élèves. L établissement dans lequel j exerce dispose d une salle d informatique constituée de 14 ordinateurs montés en réseau et connectés, d ici la fin de l année scolaire, à Internet. Une salle de cours dispose également d un ordinateur relié à un grand écran de télévision. J ai choisi de décrire, tout d abord, une intervention informatique lors d une séance de remédiation sur la médiatrice d un segment. Ses propriétés d équidistance apparaissent dès la classe de 6 ème, puis sont reprises l année suivante avant d aborder en parallèle les propriétés de la symétrie axiale et de la symétrie centrale. On peut les énoncer de la façon suivante : - Si M est un point de la médiatrice du segment [AB], alors M est à égale distance de A et de B. Avril 2000 4
- Si M est un point à égale distance des point A et B, alors M est sur la médiatrice du segment [AB]. La médiatrice intervient également lors du chapitre sur le cercle circonscrit à un triangle, deuxième support mathématique pour lequel j ai choisi d intégrer l informatique. Mon dernier choix concerne l initiation à la démarche expérimentale qui utilise la notion de conjecture. Conjecturer un résultat est une étape essentielle dans la résolution de certains problèmes de géométrie. Cette démarche doit être abordée très tôt au collège et occupe une place importante au lycée. Elle sera utilisée lors de la séquence sur l aire du parallélogramme. Cette dernière notion est nouvelle pour les élèves de 5 ème. La formule de l aire est donnée de la manière suivante : Pour calculer l aire d un parallélogramme, on multiplie un côté, appelé base, par la hauteur correspondante. Lors de l apprentissage de cette notion, les difficultés, non rencontrées pour l aire du rectangle, résident dans l intervention de la "hauteur" et dans le choix de la "base". Après avoir exposé les trois situations, présenté les deux logiciels retenus Atelier de Géométrie et Works (tableur) -, à travers la description et l analyse de séances en classe, je ferai un premier bilan de l utilisation de l informatique dans mon enseignement. Avril 2000 5
I. PROBLEMATISATION Dès mon arrivée au collège de Gignac, l équipe pédagogique de mathématiques m a fait part des diverses installations informatiques de l établissement. Cette année toutes les classes de 5 ème bénéficient de cette nouvelle technologie - en particulier ma classe, en demi groupe sous l autorité de ma conseillère pédagogique, Mme Cardin-Leduc. Etonnée par leur vif intérêt pour ce domaine, j ai d abord décidé de chercher l importance de l ordinateur dans la panoplie des outils pédagogiques. Par la suite, j ai essayé de voir pourquoi et comment intégrer l informatique dans l enseignement des mathématiques. Après avoir constaté quelques échecs concernant l acquisition de certaines notions dans un environnement classique, j ai émis des hypothèses sur le bénéfice que ma classe pourrait tirer de l utilisation d un ordinateur. Les trois situations dans lesquelles je ferai intervenir l outil informatique sont : - la remédiation - la découverte d une notion - l initiation à la démarche expérimentale et à la conjecture. 1) D une façon générale, que peut apporter l informatique aux élèves? a) La motivation? Aujourd hui, les enfants "baignent" dans un environnement audiovisuel et sont attirés par l écran. C est pourquoi, ils devraient réussir à aisément s adapter aux contraintes d utilisation d un logiciel et à en maîtriser les quelques techniques de base. Ils pourraient en ressortir valorisés, et certainement plus motivés. Ils parviendraient à plus de confiance en eux: ce serait une façon de les réconcilier avec le travail scolaire. Avril 2000 6
b) Aide à l apprentissage? Les élèves peut-être plus réceptifs en milieu informatique, devraient avoir un comportement différent vis-à-vis du savoir. Les contraintes imposées par la machine sont plus facilement acceptées que celles d un environnement classique. De plus, pour l élève, toute réalisation de la machine est reconnue exacte. On peut alors penser que ce nouveau milieu est un terrain favorable à l apprentissage. c) Un enseignement individualisé? L ordinateur peut être aussi un outil d aide individualisée à la résolution des problèmes mathématiques en particulier. Il permet notamment au professeur, libéré de certaines tâches - comme la gestion du groupe classe -, de se focaliser sur les élèves en grandes difficultés et sur les diverses erreurs rencontrées. De plus, les avoir en demi groupe représente un avantage non négligeable. L élève plus autonome, seul devant son écran, gère son apprentissage, son temps, au travers d un cheminement qui lui est propre. d) L autonomie? Le rapport enseignant / enseigné se trouve complètement modifié dans un environnement informatique : l enseignant n est plus l interlocuteur privilégié de l élève. En partie, ce n est plus le professeur qui "juge" le travail accompli, mais la machine. Il s opère alors un transfert didactique qui permet, peut-être, aux élèves de se sentir plus autonomes que dans un environnement classique. Ce changement brusque de milieu peut néanmoins entraîner des perturbations pour l enseignant. En effet, ce dernier peut éprouver quelques difficultés lors de la reprise en main du groupe classe, si celle-ci est nécessaire. Avril 2000 7
e) La rigueur? Du fait de leur attirance pour cet outil, les enfants sont plus enclins à accepter la rigueur imposée par l ordinateur que celle imposée par un professeur. Celle de la machine leur apparaît moins "arbitraire" que celle de l enseignant. En conséquence, ils ont tendance à s appliquer davantage aux diverses tâches qui leur sont confiées, même si ces dernières demandent beaucoup plus d attention. f) Un premier problème soulevé par l introduction de ce nouvel outil se pose : On peut prévoir quelques freins à cet apprentissage. Par exemple, le professeur est très vite confronté au problème matériel de l ordinateur : même si les médias inondent les esprits avec des promotions sur ces machines, cela ne signifie pas pour autant que chaque famille en possède un. Aussi, l enseignant doit faire face à une hétérogénéité des connaissances de base chez les élèves. Si bien que le premier travail de celui-ci est de donner les mêmes chances à chaque enfant de la classe en révisant les principes élémentaires de l utilisation de l outil informatique. L initiation aux logiciels peut être rapide pour certains et peut en bloquer d autres. Ces derniers risquent de s éloigner du savoir mathématique visé, pour se consacrer à la manipulation du nouvel outil. Le changement peut alors être un élément perturbateur. Le message d erreur qui apparaît lors de chaque mauvaise manipulation enseigne à certains la rigueur et freine les élèves les moins actifs. Malgré ce frein, j ai persisté dans l idée d introduire l ordinateur dans mon enseignement. En effet, le niveau de ma classe est très hétérogène, avec en particulier huit élèves en grandes difficultés dont la moyenne en mathématiques n a pas dépassé 5/20 l année dernière en 6 ème. Pour eux, tout particulièrement, j espère que l informatique sera un véritable vecteur de motivation dans l apprentissage des mathématiques. D une façon générale, le professeur doit adapter son enseignement dans ce milieu particulier où les rapports élève / éducateur se trouvent complètement modifiés. Après avoir présenté les trois situations dans lesquelles je souhaite Avril 2000 8
utiliser l informatique, je parlerai des deux logiciels qui seront employés cette année: "Atelier de géométrie" et "Works" (tableur). 2) Trois problèmes initiaux : J ai choisi d introduire l ordinateur dans trois types différents d activité : - lors d une séance de remédiation sur la médiatrice - lors de la découverte du cercle circonscrit à un triangle - pour conjecturer la formule de l aire du parallélogramme. a) Un constat d échec en environnement papier / crayon : la médiatrice d un segment En début d année, le premier chapitre de géométrie abordé avec ma classe de 5 ème, a été la symétrie centrale. A cette occasion, je me suis aperçu qu il était nécessaire de revoir la symétrie axiale, et donc la notion de médiatrice vue en 6 ème. J ai donc distribué une feuille polycopiée reprenant la définition et les propriétés d équidistance de la médiatrice d un segment. Ensuite j ai donné à faire plusieurs constructions sur le sujet - constructions à l aide du compas ou de l équerre - et nous avons vérifié les propriétés sur le papier. Cependant, les résultats d une interrogation écrite, dans laquelle il était demandé de citer la définition et les propriétés de la médiatrice, ont été alarmants : 3 élèves sur 24, seulement, ont donné la définition exacte et aucun n a su retrouver les propriétés. Au départ, j ai supposé qu ils n avaient pas appris leur leçon et qu ils se heurtaient à un problème de formulation pour décrire cet objet que la moitié est capable de tracer. Lors de la correction de ce contrôle nous avons travaillé à partir d un exemple d utilisation des propriétés ci-dessous : i (d) est la médiatrice du segment [AB]. O est un point de (d). Quelle est la nature du triangle ABO, et pourquoi? i Pourquoi le centre d un cercle est-il sur la médiatrice de toutes ses cordes? Après plusieurs explications, je me suis rendu compte qu ils rencontraient encore beaucoup de difficultés face à cette notion. Avril 2000 9
Il m a alors semblé qu utiliser les séances d informatique qui leur sont offertes, pourrait être une solution de remédiation à ce problème. L objectif est de leur faire redécouvrir cette notion dans un environnement différent : l exactitude et la rapidité des tracés sont plus importantes que dans l univers papier / crayon. Certains logiciels peuvent avoir l avantage de mesurer la longueur des segments et de déplacer les objets géométriques. Ainsi, l ordinateur, outil favorisant un enseignement individualisé, est idéal lors d une séance de remédiation. b) La découverte d une notion : le cercle circonscrit à un triangle Lors du chapitre sur les symétries centrale et axiale, j ai rencontré quelques difficultés quant à la propriété de la conservation des milieux par ces transformations. De nombreux élèves se sont tout d abord heurtés à la construction des symétriques des segments. Par la suite, il fallait constater la conservation les milieux. Malheureusement, l imprécision des tracés n a pas permis d observer correctement cette propriété. De plus, l observation de quelques dessins, souvent incorrects, ne m a pas semblé satisfaisante. La propriété étudiée n est pas vraiment ressortie lors de cette séance. Dès le chapitre de géométrie suivant, sur les triangles, je me suis demandé quel dispositif employer pour améliorer la découverte d une notion, en particulier pour aborder le cercle circonscrit à un triangle. Après cette première expérience sur la remédiation en informatique, une seconde séance en relation avec le nouveau chapitre se met en place. Il faut dans un premier temps faire constater aux élèves que dans tout triangle, les trois médiatrices sont concourantes, ce qui permet, ensuite, de définir le point qui est le centre du cercle passant par les trois sommets du triangle. L objectif de ces deux séances est de mettre en évidence des propriétés géométriques avec la possibilité, pour les élèves, d observer rapidement, à l aide d un logiciel, un grand nombre de dessins. Avril 2000 10
c) Initiation à la démarche scientifique : l aire du parallélogramme Mon troisième objectif est " d initier " les élèves, à la démarche expérimentale ou scientifique, à partir d un problème de mathématiques. Cette démarche s inscrit selon plusieurs étapes : - les observations - la conjecture - la mise en place un dispositif permettant de vérifier la conjecture - la réalisation d une synthèse. L informatique peut être utilisée pour ce type d activité. Cette démarche soulève un premier problème majeur : "la partie démonstration" est occultée. Les élèves risquent de penser que quelques observations suffisent à généraliser une propriété. Cependant, cette méthode est couramment employée en classe de 5 ème, où il est parfois difficile de faire des démonstrations. Les élèves ont l habitude de ce type de procédure. En effet, faire un dessin pour résoudre un problème de géométrie, s inscrit dans ce cadre, mais de manière statique. Les observations ne sont pas nombreuses, sauf si on prend en compte toutes celles apportées par l ensemble des élèves. L ordinateur a l avantage de faciliter la gestion des données, plus rapidement obtenues que dans un environnement classique. Je choisis alors d illustrer cette démarche lors de la séquence sur l aire du parallélogramme. Dans cet exercice, il s agit de faire deviner aux élèves la formule qui calcule l aire de ce quadrilatère. Pour cela, un grand nombre de mesures et de calculs sont nécessaires. L ordinateur semble alors être un outil performant pour ce type de réalisations. Cette séance peut être suivie d une autre qui visera à prouver le résultat en classe plénière. 3) Approche du problème à travers quelques logiciels. a) Plusieurs types de logiciels : On peut distinguer plusieurs types de logiciels. Quelques exemples : Avril 2000 11
- Des logiciels ludiques Certains logiciels, comme ADI, sont des banques d exercices, regroupés par niveaux et par thèmes. L élève gagne des points à chaque fois qu il donne une bonne réponse. S il a suffisamment de points, alors il a droit à un jeu. Le logiciel lui permet aussi de revenir sur les exercices où il a commis des erreurs. ADI peut ainsi être utilisé pour la remédiation ou pour familiariser les élèves à une notion. Cependant, c est un logiciel fermé - le professeur, contrairement à ses habitudes, ne peut pas construire lui-même les exercices - avec lequel ils peuvent travailler en totale autonomie. C est pourquoi je n ai pas retenu ce type de logiciel. - Des logiciels de calcul formel On peut citer l exemple de Maple. C est un logiciel de calcul scientifique qui fait du calcul formel. Il n est pas vraiment adapté à la classe de 5 ème parce que les élèves sont en phase d apprentissage des notions de base. - Des logiciels de traitement de texte Word en est un exemple. Il permet essentiellement de mettre en forme des documents écrits. On peut s en servir en classe pour familiariser les élèves avec l ordinateur. Cependant, il ne semble pas intéressant pour les trois problèmes posés. Je ne l ai donc pas retenu. - Des logiciels de programmation Ils sont difficilement utilisables en classe de 5 ème. - Des tableurs On peut citer l exemple d Excel. Il permet, entre autres, de décharger l utilisateur des calculs lourds ou répétitifs. C est un gestionnaire de données. - Des logiciels intégrés Works est un logiciel intégré. Il regroupe plusieurs modules : tableur, traitement de texte, base de données (création de carnets d adresses, Avril 2000 12
de listes). En mathématiques, on utilise plutôt le tableur. - Des logiciels de géométrie dynamique Certains logiciels, comme Atelier de géométrie ou Cabri géomètre permettent, notamment, de construire rapidement un grand nombre de figures géométriques, que l élève peut faire évoluer. Ce sont deux logiciels ouverts, qui peuvent être utilisés à tous les niveaux. Parmi tous ces types de logiciels, ceux qui s adaptent au niveau de la classe de 5 ème et qui correspondent aux expérimentations que je veux faire, sont les quatre derniers. Le collège possède uniquement Atelier de géométrie et Works. J ai donc travaillé avec ces deux derniers. Quelles sont les principales fonctions de ces deux logiciels? b) Atelier de géométrie Le dessin est souvent considéré comme un élément de "second ordre" par les mathématiciens, malgré son omniprésence en géométrie. Il n a, en effet, aucune place dans une démonstration. C est cette position qui est le plus souvent adoptée par les enseignants. Cependant, les différentes formes de représentation visuelles d un concept sont fondamentales, et le dessin est l outil naturel qui favorise l envie de chercher. i) Descriptif Atelier de géométrie est un logiciel qui permet de réaliser des constructions géométriques planes, à partir d objets de base. Il contient deux types de primitives : - les primitives de dessin pur, comme les points, les droites et les cercles. - les primitives géométriques : elles permettent de construire des objets qui dépendent, par des relations géométriques, d autres objets. On peut ainsi tracer une perpendiculaire ou une parallèle à une droite donnée, ou bien encore la bissectrice d un angle. Avril 2000 13
Il ressemble à Cabri-Géomètre. Tout comme ce dernier, il permet de déplacer les objets de base en conservant les propriétés décrites dans la construction de la figure. On peut alors observer "toutes" les possibilités pour un même ensemble de propriétés. Ce thème sera abordé ultérieurement dans la partie dynamique du logiciel. Quels sont les principaux avantages d Atelier de Géométrie qui peuvent être utilisés en classe de 5 ème? «il est simple d utilisation : par exemple, des messages d aide apparaissent pour chaque type de tracé. «on peut construire les images de figures par des transformations élémentaires du plan (symétries axiale et centrale). «on peut construire directement le milieu ou la médiatrice d un segment en désignant ce dernier avec la souris : aide non négligeable pour nos élèves particulièrement maladroits dans un environnement papier / crayon. Ils s en serviront pour découvrir le cercle circonscrit à un triangle. «il contient également des outils numériques, permettant la mesure des segments et des angles ainsi que le calcul de l aire des quadrilatères. Ces mesures et ces calculs s actualisent lorsque les objets sont déplacés. C est un outil très puissant - très utile pour revoir les propriétés d équidistance de la médiatrice. Par rapport à un travail effectué dans un environnement classique, il constitue aussi un avantage pour établir la formule de l aire du parallélogramme. En effet, lors d un problème ouvert, la donnée de l aire de ce quadrilatère par le logiciel devrait sans doute être mieux perçue par les élèves. L ordinateur est un instrument de mesure, tout comme l ampèremètre en sciences physiques, qui permet de conjecturer. Néanmoins, contrairement à Cabri-Géomètre, l enseignant n a pas la possibilité de supprimer certains icônes, perdant ainsi le contrôle de la situation didactique qu il désire mettre en œuvre. C est un inconvénient pour la séance de remédiation sur la médiatrice. Certains élèves seront tentés d utiliser directement l outil "construction de médiatrice". Il faut alors mettre en place un dispositif Avril 2000 14
particulier afin de retravailler sur la définition de cet objet. On peut prévoir le même type de problème lors du tracé de figures usuelles comme les triangles et les quadrilatères particuliers. Les icônes permettant de construire ces objets doivent être utilisés avec beaucoup de précautions, notamment parce que certains points crées ne peuvent pas être déplacés. On ne peut pas non plus ajouter des outils, possibilité offerte par Cabri- Géomètre grâce à la création de macro-constructions. Il faut préciser, enfin, qu Atelier de géométrie n offre pas la possibilité de faire des reports de longueurs. Malgré cela, il n existe aucune comparaison entre la précision du tracé avec le logiciel et celle faite par les élèves avec leurs instruments de géométrie, ou celle faite sur le tableau par le professeur. La précision, la rapidité du tracé informatique ne peuvent que faciliter et encourager l esprit de recherche. Pour bénéficier de "bons dessins", l enseignant n a pas d autre recours que de les préparer. Dans ce cas, Atelier de Géométrie offre un avantage supplémentaire : la figure réalisée peut être modifiée de façon dynamique, tout en gardant ses propriétés. ii) La dynamique du logiciel Le déplacement d objets est un des outils fondamentaux du logiciel. Aujourd hui, on différencie la géométrie classique de la géométrie assistée par ordinateur, communément appelée : "géométrie dynamique". Pourtant, l idée de démontrer à l aide du mouvement n est pas nouvelle : déjà au XVII e siècle, on découvre les propriétés de certaines figures en "tirant" sur des points et des droites. Citons une partie de la préface d un ouvrage de géométrie d Emile Borel (1905), reprise dans [B2] : «La géométrie est l étude du groupe des mouvements. Substituer de plus en plus l étude dynamique des phénomènes à leur étude statique, est d ailleurs une tendance essentielle de l esprit moderne ; c est l idée d évolution qui domine davantage la pensée contemporaine» C est ce point de vue que les concepteurs de logiciel de géométrie dynamique ont certainement essayé d adopter. Atelier de Géométrie permet la déformation Avril 2000 15
immédiate et visuelle : l utilisateur a la possibilité de déplacer les éléments de base d une figure. En classe de 5 ème, ceci devrait permettre : - de faire apparaître les propriétés communes que peut posséder un ensemble de figures comme : les médiatrices d un triangle sont concourantes. - de visualiser un grand nombre de dessins très utile pour les trois situations. Ceci est particulièrement appréciable pour la découverte du cercle circonscrit à un triangle : les élèves peuvent observer un grand nombre de triangles rapidement. iii) Un nouveau contrat didactique Cette possibilité de déplacer les objets permet d établir un nouveau contrat didactique avec les élèves qui doit être expliqué lors des séances de familiarisation avec le logiciel : la procédure de construction de l objet est correcte si elle reste correcte par déplacement. Dans un environnement informatique, l élève est alors obligé de fournir implicitement une procédure pour le tracé d un dessin, ce qui est difficile d imposer dans un environnement papier / crayon dans une classe de 5 ème. Je reviendrai sur ce point lorsque sera abordé le changement de statut de la figure. Les primitives géométriques s actualisent lorsque les objets initiaux dont elles dépendent sont déplacés. Ainsi, les médiatrices d un triangle se déplacent en même temps que le triangle. Les élèves devraient alors plus facilement admettre qu elles sont concourantes dans tous les triangles. De même, la hauteur relative à un côté d un parallélogramme et sa mesure, s actualisent lorsqu on déplace un des sommets de ce dernier, ce qui permet de prendre un nombre conséquent de mesures. En revanche, la trace laissée sur l écran par les primitives de dessin pur, reste identique lorsqu on déplace un autre objet de base. Ceci permet à l enseignant de montrer aux élèves que certaines constructions faites "à vue d œil" sont souvent fausses. Avril 2000 16
Comme illustration, je reprends un exemple traité dans [A2] : la construction du symétrique d un point P par rapport à une droite d. Le professeur peut montrer rapidement à un élève qui a placé au hasard le point P (figure a), que sa construction n est pas correcte, en déplaçant la droite d (figure b). En effet, le point P ne suivant pas le mouvement, n est plus de façon évidente pour l élève le symétrique du point P. Figure a Figure b Ce principe permet également de vérifier rapidement que la médiatrice d un segment est correctement construite sans avoir assisté au tracé. Ceci est difficilement réalisable dans l environnement papier / crayon. L informatique peut modifier la conception de la figure géométrique acquise par les élèves dans un environnement classique. iv) Modification du statut de la figure Force est de constater que l enseignement de la géométrie passe par la distinction entre figure et dessin. Les élèves ont une conception du dessin, différente de celle des mathématiciens, dans l environnement papier / crayon : ils confondent souvent la figure, objet théorique, avec sa représentation matérielle sur du papier, le dessin. Le problème vient en partie du fait qu ils prennent en considération des aspects non essentiels d un dessin tel que : la position de celuici par rapport aux bords de la feuille. Lorsque le professeur confie une construction à ses élèves, il s attend à ce que celle-ci soit effectuée, non pas en Avril 2000 17
positionnant uniquement des instruments sur du papier - règle, compas, équerre, -, mais selon un procédé qui respecte les propriétés géométriques de la figure. Il est donc difficile, pour les élèves, de voir la place que peut occuper le dessin en géométrie. Atelier de géométrie peut constituer une aide pour les élèves à résoudre cette problématique. Il oblige les élèves à décomposer et à analyser une construction en termes d objets géométriques : on ne pose plus l équerre sur la feuille, mais on trace une perpendiculaire. Ce logiciel impose, pour tracer un objet, de bien désigner tous les autres objets dont il dépend. Ainsi, pour construire la perpendiculaire à une droite passant par un point donné, il est nécessaire de bien l indiquer à l ordinateur. Dans le cas contraire, l élève s aperçoit qu il ne peut pas faire de dessin, ou alors qu il existe une infinité de constructions possibles. Si on considère le nouveau contrat didactique établi précédemment, la création sur l écran d un dessin doit alors passer par la description de la figure. Comme l objectif est d obtenir un dessin qui doit être conservé après déplacement des objets de base, les élèves sont contraints d établir un plan de construction qui tient compte des propriétés géométriques de la figure. Par exemple, le tracé de la médiatrice d un segment doit se faire après avoir analysé chaque mot de la définition. On peut supposer que la construction de cet objet sur l écran demandera un effort particulier aux élèves pour qui le tracé sur le papier est devenu un automatisme : "on mesure avec la règle le milieu du segment, puis on pose l équerre", alors que sur l écran "on construit le milieu du segment, puis on trace la perpendiculaire au segment passant par ce milieu" - ces deux objets doivent être obligatoirement désignés. Ce travail ne peut être que bénéfique pour comprendre mieux cette notion. En outre, le logiciel offre un grand choix d icônes, représentants des objets de base. Cela oblige les élèves à bien différencier les objets géométriques tels que les demi-droites, les segments et les droites. Cette différenciation s accentue lorsque l élève découvre que, dans cet environnement informatique, les implicites ne sont pas les mêmes que sur une Avril 2000 18
feuille. Par exemple, l existence d un segment n implique pas celle de la droite qui le supporte. Le logiciel trace "d un bloc" les éléments de base, alors que le crayon donne un rôle plus important au point. Mais il apporte, grâce à cette différence, une autre vision tout aussi intéressante. L existence d un point sur un objet ou à l intersection de deux objets n est plus systématique sur l ordinateur. Si l élève veut le créer, il doit désigner ces objets. Pour le cercle circonscrit, sur Cabri-Géomètre, l utilisateur doit penser à créer le point d intersection des médiatrices alors que celles-ci sont tracées, sinon l ordinateur ne perçoit pas le point. Atelier de Géométrie le crée automatiquement. Cependant, pour tracer le cercle, l élève doit attendre que deux des médiatrices changent de couleur pour indiquer le centre du cercle. Par conséquent, l existence d un objet mathématique, tel que l intersection de plusieurs figures, ne va pas de soi pour la machine. v) Aide à la formulation Le logiciel devrait contribuer à donner un statut différent au dessin, parce qu il impose aux élèves de communiquer à l ordinateur une procédure de construction qui tient compte des lois géométriques. Grâce à cette nécessité, il devrait également les aider dans la formulation en géométrie, dans un environnement classique. J espère, après avoir travaillé avec le logiciel, que, lors du récit d une construction géométrique, les élèves utiliseront de préférence des expressions du type "j ai tracé la parallèle à telle droite passant par ce point" plutôt que "j ai mis l équerre ici ". Je souhaite, en particulier, qu il les aide à formuler correctement la définition de la médiatrice d un segment. En conclusion, Atelier de géométrie apparaît comme un outil précieux dans l enseignement de la géométrie. Cependant, en complément à cette formation informatique, apprendre à utiliser un tableur me semble essentiel. Le tableur utilisé au collège est celui intégré dans Works. Avril 2000 19
c) Works (tableur) i) Descriptif rapide Les principales fonctions du logiciel Works, utilisables en classe de 5 ème peuvent se résumer à : - la création de tableaux - la réalisation de calculs à partir des données des tableaux - la réalisation de graphiques - la visualisation simultanée de l évolution d un tableau et d un graphique associé. ii) Apports du logiciel - Works aide les élèves à gérer, plus rapidement que dans un environnement classique, des données d un problème. Il permet de bien les familiariser avec la notion de tableau. - Il offre la possibilité de créer tous les types de graphiques rencontrés en classe de 5ème. Ces derniers sont construits rapidement, ce qui permet aux élèves de se consacrer à leur analyse et à leur interprétation. - En prenant en charge les calculs, domaine dans lequel les élèves sont assez maladroits, le logiciel leur permet d avoir plus de temps pour réfléchir à la résolution d un problème en envisageant plusieurs solutions. Ainsi, selon [A1] : il permet «de traiter, d analyser et de représenter très rapidement un grand nombre de données numériques». Les élèves fournissent dès lors un travail de qualité dans le domaine de la gestion de données ; ce qui est difficilement réalisable dans un environnement classique. Les documents ainsi créés sont certainement plus nombreux et plus facilement exploitables par le groupe classe. Fournir ce type de travail ne peut que motiver les élèves connaissant des difficultés, et ainsi les intéresser à un domaine particulier des mathématiques. Avril 2000 20