Mécanismes de régulation du couple d'un barillet

La chronométrie : de la source d énergie au régulateur Défis technologiques et humains Journée d Etude SSC Montreux, 28 septembre 2011 Mécanismes de régulation du couple d'un barillet Pascal Winkler Haute Ecole Arc, Hôtel-de-Ville 7, CH-2400 Le Locle 1 Résumé Pour fonctionner de manière optimale, le rouage de finissage d'une montre mécanique devrait recevoir un couple déterminé et constant du tambour de barillet. Comme le couple varie au cours de la décharge du barillet, une montre mécanique classique ne fonctionne de manière optimale qu'à un instant de ses deux ou trois jours d'autonomie usuels. Cet article présente deux mécanismes permettant de prélever le couple excédentaire au début de la décharge du barillet, pour réarmer le ressort par la bonde. Ces mécanismes permettent, en principe, d'obtenir un couple constant sur le rouage de finissage tout en augmentant l'autonomie de la montre. Un brevet concernant cette idée a été déposé par la Haute Ecole Arc, mais de nombreux aspects restent à développer en vue d'une industrialisation. 2 Introduction Le barillet constitue le réservoir d'énergie et le moteur des montres mécaniques classiques. Le barillet comporte un tambour muni de dents, un ressort constitué par une lame élastique enroulée en spirale et un axe (bonde). Le ressort est solidaire de la bonde en son centre et solidaire du tambour sur sa circonférence. Dans la suite de ce document, on distingue deux modes de fonctionnement de la montre. D'une part, le mode «remontage» et d'autre part, le mode «fonctionnement» proprement dit. Traditionnellement, lors du remontage de la montre, le rochet entraîne la bonde qui arme le ressort par son centre. Lorsque la montre est en mode fonctionnement, la bonde est fixe et le ressort se désarme en entraînant le tambour. Le pourtour du tambour est muni de dents et entraîne le rouage de finissage de la montre. La vitesse de rotation du tambour est constante et dépend du rapport d'engrenage entre le tambour et l'oscillateur et de la fréquence de l'oscillateur. Par contre, le couple que le tambour transmet au rouage chute avec la décharge du ressort. Cette variation du couple en fonction de l'état de charge du ressort influence l'amplitude de l'oscillateur (balancierspiral). Cette variation d'amplitude présente deux conséquences négatives : 1. La variation d'amplitude influence, à son tour, la vitesse de la montre (anisochronisme). C'est-à-dire que la montre dont le ressort est armé n'a pas la même erreur de marche que la montre dont le ressort est désarmé. 2. L'erreur de marche de la montre dépend de son orientation dans l'espace (perturbations dues aux positions). Cette dépendance aux positions est minimale pour une amplitude donnée du balancier (220 ). Donc, au cours de la décharge du barillet, la montre fonctionne la plupart du temps en dehors de cet optimum. Un autre aspect à mentionner est la quantité d'énergie utilisable dans un barillet de volume donné. Pour un matériau donné, l'énergie stockée dans une lame fléchie élastiquement est proportionnelle au volume de la lame. Dans les barillets traditionnels, la variation de couple est limitée en utilisant des lames fines et en ne laissant pas le ressort se décharger complètement. On n'utilise pas toute l'énergie disponible dans la lame afin d'éviter que le couple du barillet ne varie trop drastiquement. Les barillets classiques ne sont pas conçus pour stocker un maximum d'énergie, mais pour éviter une trop grande variation du couple au cours de leur décharge. Ils sont donc le résultat d'un compromis entre énergie stockée et variation du couple. L'idée des deux mécanismes présentés est de prélever le couple excédentaire au début de la décharge du barillet, de le réinjecter par la bonde et de pouvoir le réutiliser plus tard, lorsque le couple du barillet deviendrait insuffisant dans un système classique. Un mécanisme est constitué d'un train planétaire non-circulaire, présentant une entrée reliée à un mobile de remontage (rochet), une entrée reliée à la périphérie du ressort (tambour) et une sortie reliée cinématiquement au centre du ressort (bonde). Etant donné une courbe de décharge du barillet, la forme des engrenages non-circulaires du planétaire peut être calculée en vue d'obtenir un couple donné, par exemple un couple constant, à la sortie du mécanisme. Le système permet, en principe, d'améliorer la précision et l'autonomie des montres mécaniques. La précision est augmentée puisque l'échappement reçoit un couple constant indépendamment de l'état de charge du ressort. L'autonomie est augmentée puisque le ressort peut être conçu en vue d'optimiser l'énergie stockée dans un volume donné plutôt que sa variation de couple. La faisabilité technique et la résistance du mécanisme n'ont pas encore été démontrées et un important effort de développement reste à faire. Par exemple, dans leur version élémentaire, les mécanismes proposés comportent des engrenages non-circulaires plans et un barillet à faible développement. Dans ce cas, le couple maximum augmente fortement et partant, les pressions hertziennes sur les dents. Cela implique d'utiliser des profils de dentures spéciaux pour réduire les pressions hertziennes [1]. Journée d Etude 2011 35

3 Trains planétaires non-circulaires (PNC) Le mécanisme planétaire dont il est question ici, peut être schématisé par un système comportant trois entrées/sorties. Les vitesses de rotation des trois entrées/sorties sont reliées entre elles par la géométrie des engrenages. Par exemple, si les engrenages sont circulaires, comme dans la figure 1, les vitesses de rotation des entrées/sorties sont reliées par la relation: SA SB châssis C ω ( ρ ρ ρ ρ ) = ω ρ ρ ω ρ ρ (1) C A SB B SA A A SB B B SA roue solaire A Où x est la vitesse angulaire de l'entreé/sortie x et y est le rayon primitif de la roue y. roue solaire B Figure 2 : Exemple de train planétaire non-circulaire. SA A B C ω SB = ω SA ρ SB ρ SA ω B ρ B châssis C SB ω c ω A ρ A Figure 3 : Schéma-bloc représentant un planétaire noncirculaire. Les trois entrées/sorties sont représentées par les blocs A, B et C. roue solaire A roue solaire B Figure 1 : Train planétaire à deux roues solaires et double [2]. Si les engrenages composant le planétaire sont noncirculaires [3], la relation 1 reste valable, mais les valeurs des rayons changent en fonction des positions angulaires des roues. Ainsi, on peut créer un mécanisme dont la vitesse de rotation de la sortie est dépendante des vitesses et des positions de deux entrées. La figure 2 montre un exemple de train planétaire non-circulaire. Dans la suite de ce document, on utilisera parfois le schéma-bloc de la figure 3 pour représenter un planétaire non-circulaire. Les blocs A et B représentent les deux roues solaires et le bloc C représente le (ou châssis). 4 Mécanismes de ré-injection Contrairement à un mouvement conventionnel, dans les mécanismes présentés ci-après, l'organe de remontage (rochet) n'est pas solidaire de l'axe du barillet (bonde), mais ces deux pièces sont reliées par le PNC. Par contre, comme dans les montres mécaniques traditionnelles, le tambour entraîne le rouage de finissage de la montre à vitesse constante. Le rôle du PNC est de répartir le couple (M) du tambour entre le rouage et la bonde. Comme la puissance (P) vaut, P= M on peut dire que le PNC renvoie une partie de la puissance du tambour vers l'échappement (via le rouage) et une partie vers la bonde. Cela se traduit par la relation suivante: P = P P (2) rouage tambour bonde La géométrie des engrenages non-circulaires détermine la répartition de puissance entre ces deux branches cinématiques. En principe, il y a trois éléments (tambour, bonde, rochet) de la montre à connecter à trois entrées/sorties (A, B, C) du planétaire non-circulaire. Plusieurs agencements sont possibles dont deux différents sont proposés ci-après. Le mécanisme de régulation de couple du barillet appelé «mécanisme à ré-injection unidirectionnelle» permet de prélever une partie de la puissance du tambour pour recharger la bonde, mais il ne permet pas de prélever de la puissance à la bonde pour entraîner le rouage. Le mécanisme de régulation du couple du barillet appelé 36 Mécanismes de régulation du couple d un barillet

«mécanisme à ré-injection bidirectionnelle» permet nonseulement de prélever une partie de la puissance du tambour pour recharger la bonde, mais il permet également de prélever de la puissance à la bonde pour «aider» le tambour à entraîner le rouage. Ainsi, le sens de la réinjection peut être inversé lorsque le ressort est fortement déchargé. A B C 5 Mécanisme de ré-injection bidirectionnelle La figure 4 présente schématiquement le mécanisme de ré-injection bidirectionnelle. Le remontoir est solidaire de la roue A, d'une part, et d'un cliquet, d'autre part. La bonde est solidaire de la roue solaire B. Le tambour est solidaire du C, d'une part, et du rouage de finissage, d'autre part. Lors du remontage (fig. 4 a), la rotation de la roue A entraîne la bonde via la roue B. Ainsi, comme dans une montre classique, le ressort est armé lorsque le système de remontage est actionné. Concernant la montre en «mode fonctionnement», la figure 4 présente deux situations qui correspondent à un barillet très armé et à un barillet peu armé. Lorsque le barillet est fortement armé (fig. 4 b), une partie de la puissance disponible au tambour est utilisée pour entraîner le rouage de finissage, alors que le surplus de puissance est ré-injecté par la bonde. Lorsque le barillet est faiblement armé (fig. 4 c), la totalité de la puissance disponible au tambour est utilisée pour entraîner le rouage de finissage et, de plus, la bonde injecte également de la puissance, via le PNC, vers le rouage de finissage en tournant dans le sens inverse du remontage. La géométrie du planétaire non-circulaire détermine la quantité et la direction de la puissance passant par la bonde en fonction de l'état de charge du ressort de barillet. Une géométrie idoine permet de générer un couple constant sur le rouage de finissage. a) mode remontage b) mode fonctionnement barillet très armé A B C A B C c) mode fonctionnement barillet peu armé Figure 4 : Schéma bloc du mécanisme de ré-injection bidirectionnelle. Journée d Etude 2011 37

La figure 5 présente une vue en coupe et une vue de dessus du mécanisme de ré-injection bidirectionnelle. La roue A du PNC est solidaire du rochet de remontage. La roue B du PNC est solidaire de la bonde. Le (châssis) est solidaire du tambour de barillet. rochet de remontage bonde tambour SA SB roue A roue B rouage de finissage Coupe B-B ressort tambour rochet de bonde remontage roue A rouage de finissage roue SA roue SB roue B Figure 5 Vue en coupe et vue de dessus du mécanisme de ré-injection bidirectionnelle. 38 Mécanismes de régulation du couple d un barillet

6 Equations régissant le mécanisme de réinjection bidirectionnelle Le moment du barillet (M barillet ) dépend de l'angle du tambour ( C ) et de l'angle de la bonde ( B ). Il peut être décrit par une fonction continue: Mbarillet = f( θc, θb ) (3) Par exemple, cette fonction pourrait être: f( θc, θb) = Marmé k( θc θb), ( θ θ ) 0, θ [ ] C B dev Où M armé est le moment lorsque le barillet est complètement armé, k est la constante du ressort (rigidité) et dev est l'angle de développement complet du barillet. A l'équilibre, la somme des forces agissant sur le est nulle: ρsa ρ A ( M M ) = M (1 ) barillet rouage barillet ρ + ρ ρ A SA B Où x, est le rayon primitif du mobile x, au point de contact. A tout moment, les différentes roues dentées doivent rouler sans glissement les unes sur les autres. Cela se traduit par la relation (1) avec, en mode fonctionnement, A =0: ω ρ ρ + ω ( ρ ρ ρ ρ ) = 0 (6) B B SA C A SB B SA Cette dernière équation peut également s'écrire sous la forme différentielle: dθ ρ ρ + dθ ( ρ ρ ρ ρ ) = 0 (7) B B SA C A SB B SA A tout moment du fonctionnement, les différentes roues dentées doivent rester en contact deux à deux sur leur ligne des centres. Cela se traduit par le fait que la somme des rayons primitifs est égale à l'entraxe (e): ρa + ρsa = e (8) ρb + ρsb = e (9) Les équations ci-dessus constituent un système d'équations différentielles. La résolution de ce système d'équation permet d'obtenir les formes (primitives) que doivent avoir les roues dentées pour obtenir le couple M rouage à partir d'un barillet présentant un couple M barillet =f( C, B ). L'existence d'une solution analytique dépend de la fonction M barillet =f( C, B ). D'autre part, il faut introduire des conditions supplémentaires sur la géométrie des roues dentées pour restreindre les solutions à des formes réalisables. 7 Résolution des équations pour un cas particulier Afin de limiter les solutions des équations du paragraphe précédent, considérons le cas particulier suivant: On veut que le moment disponible pour le rouage (M rouage ) soit constant. (4) En vertu du principe de conservation de l'énergie, on impose que la valeur de M rouage soit égale à la moyenne du moment du barillet. On fixe l'entraxe. (5) On impose que M barillet soit de la forme M armé k f( C - B ) et on fixe M armé.et k On veut utiliser des engrenages non-circulaires à un tour. C'est-à-dire que la primitive est dans un plan xy. Autrement dit, la roue peut être découpée dans une plaque plane. Par opposition à des engrenages non-circulaires à plusieurs tours dont la ligne de contact s'élève selon la direction de l'axe de rotation z (en escargot). Cela implique qu'on fixe à 1 le nombre de tour de développement du ressort dans le barillet. On impose que la roue A soit identique à la roue SB. On impose que la bonde se retrouve dans sa position initiale (ressort complètement armé) lorsque le tambour est à la «fin» de sa course (ressort complètement désarmé). On impose la valeur minimale du rapport d'engrenage entre la roue SB du et la roue B, solidaire de la bonde. Cela permet de laisser de la place au centre de la roue B pour un moyeu. En introduisant les conditions particulières ci-dessus dans le système d'équation du paragraphe 6, on peut résoudre les équations et on obtient les primitives [3] des roues dentées (fig. 6). 0.002 0.001 0.002 0.002 0.004 0.006 0.001 0.002 y (mm) ρ A ρ B x (mm) Figure 6 : Courbes primitives des roues dentées. Cas particulier du mécanisme de ré-injection bidirectionnelle. La figure 7 présente une comparaison de différents couples disponibles en fonction de la position angulaire du tambour. La courbe M rouage conventionnel représente la caractéristique du barillet sans le mécanisme de réinjection. La courbe M rouage avec ré-injection représente le couple disponible au rouage en fonction de la position du tambour pour le cas particulier calculé ci-dessus. L'aire sous la courbe, qui représente l'énergie, est équivalente à l'aire sous la courbe M rouage conventionnel. La courbe M ressort avec ré-injection montre que, grâce au système de ré-injection, le ressort se décharge lentement au début de sa décharge (lorsque son couple est élevé) et plus rapidement lorsqu'il est désarmé. Il faut encore remarquer que, comme le tambour tourne à vitesse constante, l'abcisse représente proportionnellement le temps qui passe lorsque la montre est en «mode fonctionnement». ρ SB ρ SA Journée d Etude 2011 39

M (Nm) 0.20 0.15 0.10 0.05 M ressort avec ré-injection M rouage conventionnel M rouage avec ré-injection barillet est fortement armé (fig.9 b), une partie de la puissance disponible au tambour est utilisée pour entraîner le rouage de finissage, alors que le surplus de puissance est ré-injecté par la bonde. Lorsque le barillet est faiblement armé (fig. 9 c), la quasi totalité de la puissance disponible au tambour est utilisée pour entraîner le rouage de finissage, seule une infime partie est ré-injectée par la bonde. La géométrie du planétaire non-circulaire détermine la répartition de la puissance en fonction de l'état de charge du ressort de barillet. Une géométrie idoine permet de générer un couple constant sur le rouage de finissage. 1 2 3 4 5 Θ tambour (rad) Figure 7 : Graphique comparatif des moments disponibles en fonction de la position angulaire du tambour pour différents cas: i) le rouage d'un système conventionnel, ii) le rouage du système à ré-injection bidirectionnelle, iii) le ressort du système à ré-injection bidirectionnelle. La figure 8 montre la position angulaire de la bonde par rapport à la position angulaire du tambour au cours du temps de décharge de la montre (le temps est proportionel à tambour ). En début de décharge, la vitesse (pente de la courbe) de la bonde est maximale et cette vitesse s'annule lorsque M barillet =M rouage. Le sens de rotation de la bonde s'inverse lorsque le barillet est déchargé (M barillet <M rouage ) de manière à injecter de la puissance dans le rouage par la bonde. Cela reflète le fait que la puissance ré-injectée à la bonde est positive et importante lorsque le ressort est fortement armé, alors qu'elle est négative lorsque le ressort est désarmé. En fait, lorsque le ressort est désarmé, on devrait parler de "prélèvement" plutôt que de «réinjection». Θ (rad) 6 C B A a) mode remontage C B A 5 4 3 Θ tambour 2 1 Θ bonde b) mode fonctionnement barillet très armé 1 2 3 4 5 Θ tambour (rad) Figure 8 : Positions angulaires de la bonde et du tambour en fonction du temps (position du tambour). 8 Mécanisme de ré-injection unidirectionnelle La figure 9 présente schématiquement le mécanisme de ré-injection unidirectionnelle. D'une part, le remontoir est solidaire du C et d'autre part, il est relié à un cliquet anti-retour. La bonde est solidaire de la roue solaire B et le tambour est solidaire, d'une part, de la roue solaire A et, d'autre part, du rouage de finissage. Lors du remontage (fig. 9 a), le rouage de finissage peut être considéré comme arrêté et la rotation du fait tourner la bonde. Ainsi, comme dans une montre traditionnelle, le ressort est armé lorsque le système de remontage est actionné. Lorsque la montre est en mode «fonctionnement», la figure 9 présente deux situations qui correspondent à un barillet très armé et à un barillet peu armé. Lorsque le C B A c) mode fonctionnement barillet peu armé Figure 9 : Schéma bloc du mécanisme de ré-injection unidirectionnel. 40 Mécanismes de régulation du couple d un barillet

La figure 10 présente une vue en coupe et une vue de dessus du mécanisme de ré-injection unidirectionnelle. La roue A du PNC est solidaire du tambour de barillet. La roue B du PNC est solidaire de la bonde. Le (châssis) est solidaire d'un rochet de remontage. rochet de remontage bonde tambour SA SB roue B roue A rouage de finissage Coupe B-B ressort rochet de remontage bonde roue B tambour rouage de finissage roue SA roue SB roue A Figure 10 : Vue en coupe et vue de dessus du mécanisme de ré-injection unidirectionnelle. Journée d Etude 2011 41

Un système d'équations différentielles similaires aux équations du paragraphe 6 régit le mécanisme de réinjection unidirectionnel. En introduisant dans ce système des conditions particulières similaires à celles du paragraphe 7, on obtient les primitives des roues dentées (fig. 11). dans le mécanisme de ré-injection unidirectionnelle, le sens de rotation de la bonde ne peut pas s'inverser. Θ (rad) 15 Θ tambour 0.003 y (mm) ρ SA 10 0.002 ρ B 0.001 ρ A ρ SB 5 Θ bonde 0.002 0.002 0.004 0.006 0.001 0.002 x (mm) 5 10 15 Θ tambour (rad) Figure 13 : Positions angulaires de la bonde et du tambour en fonction du temps (position du tambour). 0.003 Figure 11 : Courbes primitives des roues dentées. Cas particulier du mécanisme de ré-injection unidirectionnelle. La figure 12 présente une comparaison de différents couples disponibles en fonction de la position angulaire du tambour. La courbe M rouage conventionnel représente la caractéristique du barillet sans le mécanisme de réinjection. La courbe M rouage avec ré-injection représente le couple disponible au rouage en fonction de la position du tambour pour le cas particulier calculé ci-dessus. On constate que l'aire sous la courbe, qui représente l'énergie, est équivalente à l'aire sous la courbe M rouage conventionnel. Il faut encore remarquer que, comme le tambour tourne à vitesse constante, l'abcisse de la figure 12 représente proportionnellement le temps qui passe lorsque la montre est en «mode fonctionnement». M (Nm) 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 M ressort avec ré-injection M rouage conventionnel M rouage avec ré-injection 5 10 15 Θ tambour (rad) Figure 12 : Graphique comparatif des couples disponibles en fonction de la position angulaire du tambour pour différents cas: i) Le rouage d'un système classique, ii) Le rouage du système à ré-injection unidirectionnelle, iii) Le ressort du système à ré-injection unidirectionnelle. La figure 13 montre la position angulaire de la bonde par rapport à la position angulaire du tambour au cours du temps de décharge de la montre (le temps est proportionel à tambour ). On constate que, en début de décharge, la vitesse (pente de la courbe) de la bonde est maximale et que cette vitesse tend à s'annuler lorsque le barillet est déchargé. Cela reflète le fait que la puissance ré-injectée à la bonde est importante lorsque le ressort est fortement armé et quasi-nulle lorsque le ressort est désarmé. Contrairement au mécanisme de ré-injection bidirectionnel, 9 Discussion Certains concepts présentés ici ont déjà été évoqués ou utilisés par d'autres auteurs. Le concept de ré-injection par la bonde est décrit par Takahashi [4], l'utilisation d'engrenages non-circulaires pour obtenir un couple constant est proposée par Papi [5] et l'utilisation d'un planétaire pour permettre de remonter le ressort tout en maintenant le couple sur le rouage de finissage est utilisé dans le Tourbograph de Lange & Söhne. Par contre la combinaison de ces différentes astuces en vue d'augmenter l'autonomie et la précision des montres n'a, à notre connaissance, pas encore été proposée. Partant du principe décrit, plusieurs variantes de réalisations sont possibles. Selon que le du planétaire non-circulaire est relié au tambour ou au rochet de remontage, le mécanisme sera bidirectionnel ou unidirectionnel. Le mécanisme de ré-injection bidirectionnelle présente l'avantage de permettre le prélèvement d'énergie à la bonde lorsque le ressort est très désarmé, par contre, avec des engrenages non-circulaires plans, le nombre de tours de développement du ressort est limité à un. Le mécanisme de ré-injection unidirectionnelle, tel que présenté ici, présente deux avantages. D'une part, il permet d'utiliser un ressort ayant plus d'un tour de développement. D'autre part, en mode fonctionnement, le châssis (rochet) ne tourne pas ce qui réduit les frottements par rapport au système de réinjection bidirectionnelle. Avec les systèmes de ré-injection proposés, l'utilisation de ressorts optimisés pour un faible nombre de tours de développement est favorable du point de vue de l'énergie stockée et de l'autonomie. Par contre les couples maximum importants de tels ressorts ne permettent pas d'utiliser des profils de dents et des épaisseurs de roues traditionnels. Il faudrait concevoir des dents dont les profils sont optimisés en vue de réduire les pressions hertziennes. Pour fonctionner correctement, le mécanisme présenté doit conserver la synchronisation entre l'état de charge du ressort et la position relative des engrenages noncirculaires. Cela implique que le ressort ne doit pas glisser au moyen d'une bride glissante en fin de remontage. Un arrêtage peut facilement être obtenu par la géométrie des flancs radiaux des engrenages non-circulaires. En effet, les 42 Mécanismes de régulation du couple d un barillet

engrenages non-circulaires en colimaçon se bloquent «naturellement» en fin de parcours. Si le mécanisme devait être intégré dans une montre automatique, il faudrait utiliser une solution pour arrêter ou débrayer la masse oscillante lorsque le ressort est complètement armé afin d'éviter de casser le rouage démultiplicatif du système de remontage automatique. Ce type de solution a déjà été proposé par le passé. Nous nous sommes limités à présenter l'utilisation du mécanisme de ré-injection pour obtenir une force constante à l'échappement, mais il faut insister sur le fait qu'en principe, le couple de sortie pourrait être n'importe quelle fonction continue, pour autant que les engrenages noncirculaires nécessaires soient réalisables. Les mécanismes décrits pourraient peut-être présenter un intérêt dans d'autres domaines que l'horlogerie. Pourraiton stocker l'énergie de freinage d'une voiture dans un barillet et restituer cette énergie au démarrage afin d'économiser de l'essence dans la plage où le moteur à explosion possède un rendement calamiteux? Serait-il avantageux d'utiliser le mécanisme pour entraîner une génératrice dans les appareils électroniques portables? Le principe des mécanismes proposés est élégant et répond à la longue quête des horlogers en vue d'utiliser toute l'énergie du ressort avec un couple constant. Par contre la faisabilité technique, le bilan de l'encombrement, la solidité des dents et les possibilités d'intégration dans un mouvement de montre requièrent encore passablement de développements. 10 Remerciements Je tiens à remercier mes collègues de la HE-Arc pour leur soutien et notamment Damien Prongué, qui partage généreusement, jour après jour, son savoir et ses critiques. Je remercie Frédéric Lebet, qui a réalisé plusieurs illlustrations. Je remercie François-Régis Richard de l'entreprise e-patent, pour ses nombreuses remarques pertinentes. 11 Références [1] LANDAU & LIFCHITZ, Théorie de l'élasticité, MIR, 1969. [2] M. VERMOT, Traité de construction horlogère, Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, 2011. [3] P. WINKLER, 13 e Journée d'etude SSC, Lausanne, 16 septembre 2009. [4] TAKAHASCHI, Brevet Seiko EP2042944, 2008. [5] A. PAPI, Brevet Girard-Perregaux EP1914604, 2006. Journée d Etude 2011 43